控制系统的数学模型
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L[eat f (t)] F(s a)
例:
f(t) 1
t1 t2
f (t)=1(t-t1)-1(t-t2)
L[ f (t)] L[1(t t1)] L[1(t t2 )]
t
e t1s 1 e t2s 1
s
s
例:
f (t) e2t cos 3t
L[
f
(t
)]
(s
s2 2)2
9
四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下
d
2f dt
(t
2
)
]
s 2 F (s)
sf
(0)
f
' (0)
式中，f(0)、f’(0)、…为函数f(t)及各阶导数在t=0的值。
定义： s d
dt
3. 积分法则： 设：F (s)=L[f (t)]， f(0)=0，则有
定义：
L[
f
(t)dt]
1F (s) s
1 s
dt
4. 终值定理: 若F(s)=L[f(t)]，且当t→∞时，f(t)存在一个确定的值,
L1[F (s)] f (t) 1 jF (s)estdt
2j j
F(s)通常是s的有理分式函数，即分母多项式的阶次高于分子
多项式的阶次，F(s)的一般式为
F (s)
B(s) A(s)
sm sn
b1sm1 ... bm1s bm a1sn1 ... an1s an
式中a1、a2、…an及b1、b2、…bm为实数，m 、n为正数，且m<n。
j)
2 2j
j
则：
C2
lim (s 1
s1 j
j)
(s
s3 1 j)(s 1
j)
2 j 2j
f (t) 2 j e(1 j)t 2 j e(1 j)t
0
0 2j
t
1 2j
[ s
1
j
s
1]
j
s2
2
(e j cos j sin )
7
7. 余弦函数 cost
f(t)
其拉氏变换为：
L[cos t ]
s2
s
2
t
8. 单位脉冲函数（ 函数）
f(t)
f
(t)
(t)
0
(t 0) (t 0)
t
且定义
f
(t )
(t )dt
1
，则其拉氏变换为：
F(s)＝1
[(s
s1 ) m
F (s)]
13
当无重根时：
则：
F(s) C1 C2 Ci
Cn
n
Ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
f
(t)
L1[F(s)]
n
L1[
i 1
Ci s si
]
n i1
Ci e si t
其中：
Ci
lim (s
ssi
si ) F(s)
或
B(s)
1. 拉氏变换定义
函数 f(t) 、t为实变量，如果线性积分
f (t)estdt 0
（ s j 为复变量）
存在，则称其为函数 f(t) 的拉氏变换。
变换后的结果记作：
L[ f (t)] F (s) f (t)estdt 0
通常称F(s)为f(t)的象函数，而f(t)为F(s)的原函数。 变换符号为L，如：
一般采用分解F(s)的办法求其拉氏反变换。
12
A(s)=0的根一定有n个，由高数中的有理式分解定理
得： f (t) L1[F(s)]
L1[ (s
Cm s1)m
Cm1 (s s1)m1
C1 s s1
Cm1 s sm1
Cn s sn
]
[ Cm t m1 (m 1)!
Cm1 t m2 (m 2)!
Ci A' (s) |ssi
例：求F(s)的原函数
F (s)
s2
s
3 2s
2
解：分母多项式的根为： s1 1 j1 ,
s2 1 j1
方法一、F(s)可表示为
F(s)
s3
C1 C2
(s 1 j)(s 1 j) s 1 j s 1 j
其中：
C1
lim (s
s1 j
1
j)
(s
1
s3 j)(s 1
控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
系统的数学模型: 是描述系统输入、输出变量以 及内部各变量之间关系的数学表达式。
常用的数学模型:
1. 微分方程组 2. 状态方程 3. 传递函数 4. 动态结构图 5. 频率特性
数学模型的建立：解析法和实验辨识回归法
2
§ 2.1 拉氏变换
拉普拉斯(Laplace)变换简称为拉氏变换。
则其终值
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
该式为求系统的稳态(即t→∞)误差提供了方便。
e() lim e(t) lim sE(s)
t
s0
(注意，正弦函数则不能应用终值定理。)
5. 位移定理: 若F(s)=L[f(t)]，则有
和
L[ f (t 0 )] e 0s F(s)
f(t) L F(s)
几种典型 函数的拉氏变换:
2. 单位阶跃函数1(t)
f(t)
其拉氏变换为：
1 t 0 f (t) 1(t) 0 t 0
t
F(s) L[ f (t)] 1 s
3. 单位斜坡函数
f(t)
f
(t)
t
1(t
)
t 0
t0 t0
t
其拉氏变换为：
1 F (s) L[ f (t)] s2
三、拉氏变换基本法则
1. 线性法则： 设：F1(s)=L[f1(t)]， F2(s)=L[f2(t)]，a和b为常数，则
有
L[af1(t) bf2(t)] aF1(s) bF2(s)
2. 微分法则： 设：F(s)=L[f(t)]，则有
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[
6
4.
等加速度函数 f (t) 其拉氏变换为：
1 2
t
2
1(t
)
1t 2 0
2
t0 t0
f(t)
t
F (s)
L[
f
(t)]
1 s3
5. 指数函数 eat
f(t)
其拉氏变换为：F(s) L[eat ] 1
sa
t
6. 正弦函数 sin t 其拉氏变换为：
f(t)
L[sin t] sin t estdt 1 (e jt e jt )estdt
微积分运算
代数运算
一、 拉氏变换在自控原理中的应用 二、 拉氏变换 三、 拉氏反变换 四、 用拉氏变换解线性微分方程
3
一、 拉氏变换在自控原理中的应用
系统微分方程方程 解微分方程方程
物理系统 原理方框图 元件模型 拉氏变换 动态结构图 系统传递函数
系统象函数方程
拉氏反变换求解
系统分析
4
二、 拉氏变换
C2t
C1 ]e s1t
n
Ciesit
i m 1
其中：
Cm
lim (s
s s1
s1)m F (s)
Cm1
lim
来自百度文库s s1
d ds
[(s
s1 ) m
F (s)]
（m个重根）
Cm j
1 lim
j! ss1
dj ds j
[(s s1)m F (s)]
C1
1 lim
(m 1)! ss1
d (m1) ds ( m 1)
例:
f(t) 1
t1 t2
f (t)=1(t-t1)-1(t-t2)
L[ f (t)] L[1(t t1)] L[1(t t2 )]
t
e t1s 1 e t2s 1
s
s
例:
f (t) e2t cos 3t
L[
f
(t
)]
(s
s2 2)2
9
四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下
d
2f dt
(t
2
)
]
s 2 F (s)
sf
(0)
f
' (0)
式中，f(0)、f’(0)、…为函数f(t)及各阶导数在t=0的值。
定义： s d
dt
3. 积分法则： 设：F (s)=L[f (t)]， f(0)=0，则有
定义：
L[
f
(t)dt]
1F (s) s
1 s
dt
4. 终值定理: 若F(s)=L[f(t)]，且当t→∞时，f(t)存在一个确定的值,
L1[F (s)] f (t) 1 jF (s)estdt
2j j
F(s)通常是s的有理分式函数，即分母多项式的阶次高于分子
多项式的阶次，F(s)的一般式为
F (s)
B(s) A(s)
sm sn
b1sm1 ... bm1s bm a1sn1 ... an1s an
式中a1、a2、…an及b1、b2、…bm为实数，m 、n为正数，且m<n。
j)
2 2j
j
则：
C2
lim (s 1
s1 j
j)
(s
s3 1 j)(s 1
j)
2 j 2j
f (t) 2 j e(1 j)t 2 j e(1 j)t
0
0 2j
t
1 2j
[ s
1
j
s
1]
j
s2
2
(e j cos j sin )
7
7. 余弦函数 cost
f(t)
其拉氏变换为：
L[cos t ]
s2
s
2
t
8. 单位脉冲函数（ 函数）
f(t)
f
(t)
(t)
0
(t 0) (t 0)
t
且定义
f
(t )
(t )dt
1
，则其拉氏变换为：
F(s)＝1
[(s
s1 ) m
F (s)]
13
当无重根时：
则：
F(s) C1 C2 Ci
Cn
n
Ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
f
(t)
L1[F(s)]
n
L1[
i 1
Ci s si
]
n i1
Ci e si t
其中：
Ci
lim (s
ssi
si ) F(s)
或
B(s)
1. 拉氏变换定义
函数 f(t) 、t为实变量，如果线性积分
f (t)estdt 0
（ s j 为复变量）
存在，则称其为函数 f(t) 的拉氏变换。
变换后的结果记作：
L[ f (t)] F (s) f (t)estdt 0
通常称F(s)为f(t)的象函数，而f(t)为F(s)的原函数。 变换符号为L，如：
一般采用分解F(s)的办法求其拉氏反变换。
12
A(s)=0的根一定有n个，由高数中的有理式分解定理
得： f (t) L1[F(s)]
L1[ (s
Cm s1)m
Cm1 (s s1)m1
C1 s s1
Cm1 s sm1
Cn s sn
]
[ Cm t m1 (m 1)!
Cm1 t m2 (m 2)!
Ci A' (s) |ssi
例：求F(s)的原函数
F (s)
s2
s
3 2s
2
解：分母多项式的根为： s1 1 j1 ,
s2 1 j1
方法一、F(s)可表示为
F(s)
s3
C1 C2
(s 1 j)(s 1 j) s 1 j s 1 j
其中：
C1
lim (s
s1 j
1
j)
(s
1
s3 j)(s 1
控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
系统的数学模型: 是描述系统输入、输出变量以 及内部各变量之间关系的数学表达式。
常用的数学模型:
1. 微分方程组 2. 状态方程 3. 传递函数 4. 动态结构图 5. 频率特性
数学模型的建立：解析法和实验辨识回归法
2
§ 2.1 拉氏变换
拉普拉斯(Laplace)变换简称为拉氏变换。
则其终值
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
该式为求系统的稳态(即t→∞)误差提供了方便。
e() lim e(t) lim sE(s)
t
s0
(注意，正弦函数则不能应用终值定理。)
5. 位移定理: 若F(s)=L[f(t)]，则有
和
L[ f (t 0 )] e 0s F(s)
f(t) L F(s)
几种典型 函数的拉氏变换:
2. 单位阶跃函数1(t)
f(t)
其拉氏变换为：
1 t 0 f (t) 1(t) 0 t 0
t
F(s) L[ f (t)] 1 s
3. 单位斜坡函数
f(t)
f
(t)
t
1(t
)
t 0
t0 t0
t
其拉氏变换为：
1 F (s) L[ f (t)] s2
三、拉氏变换基本法则
1. 线性法则： 设：F1(s)=L[f1(t)]， F2(s)=L[f2(t)]，a和b为常数，则
有
L[af1(t) bf2(t)] aF1(s) bF2(s)
2. 微分法则： 设：F(s)=L[f(t)]，则有
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[
6
4.
等加速度函数 f (t) 其拉氏变换为：
1 2
t
2
1(t
)
1t 2 0
2
t0 t0
f(t)
t
F (s)
L[
f
(t)]
1 s3
5. 指数函数 eat
f(t)
其拉氏变换为：F(s) L[eat ] 1
sa
t
6. 正弦函数 sin t 其拉氏变换为：
f(t)
L[sin t] sin t estdt 1 (e jt e jt )estdt
微积分运算
代数运算
一、 拉氏变换在自控原理中的应用 二、 拉氏变换 三、 拉氏反变换 四、 用拉氏变换解线性微分方程
3
一、 拉氏变换在自控原理中的应用
系统微分方程方程 解微分方程方程
物理系统 原理方框图 元件模型 拉氏变换 动态结构图 系统传递函数
系统象函数方程
拉氏反变换求解
系统分析
4
二、 拉氏变换
C2t
C1 ]e s1t
n
Ciesit
i m 1
其中：
Cm
lim (s
s s1
s1)m F (s)
Cm1
lim
来自百度文库s s1
d ds
[(s
s1 ) m
F (s)]
（m个重根）
Cm j
1 lim
j! ss1
dj ds j
[(s s1)m F (s)]
C1
1 lim
(m 1)! ss1
d (m1) ds ( m 1)