控制系统的数学模型

二、简单函数的拉氏变换
– 单位阶跃函数 – 指数函数 – 正弦函数与余弦函数 – 单位脉冲函数 – 单位速度函数 – 单位加速度函数
1. 单位阶跃函数 1t
1
1t
0 1
t0 t0
0
t
L1t
e 1t stdt 0
1 s
e st
0
1 s
2 . 指数函数et 1t 1
0
t
e e e e L t 1 t t 1 t st dt s tdt
ei
t
Ra
ia
t
La
dia t
dt
em
t
Tt KT ia t
em
t
K
e
do t
dt
T t
f
do t J
dt
d 2o t
dt 2
将上面四个方程联立，可得
La
J
d
3o t
dt 3
La
f
Ra J
d 2
dt
o 2
t
Ra
f
KT Ke
do t
dt
K
T
ei
t
若 忽 略 电 枢 电 感 ， 可 简化 为 ：
0
0
e 1
s t 1
s
0 s
3、 正 弦 函 数sint 1t f(t) 和 余 弦 函 数cos t 1t 1
f(t)=sint
0
根据欧拉公式：
t
-1 f(t)=cost
e j cos j sin
正弦及余弦函数
e e j
可利用L
cos j t 1 t
sin
则sin
cos
实验方法——指对系统加入激励信号，测出其 响应信号，再经分析、拟合以辨识系统的数学 模型。这种方法也称为系统辨识。
数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
本章注重讨论解析法建立物理系统的数学模型。
建立控制系统的数学模型，并 在此基础上对控制系统进行分析、 综合，是控制工程的基本方法。
对于函数 xt ，满足下列条件
1、 当t 0时 ，xt 0; 当t 0时 ，xt 在 每 个 有 限 区 间 分 段 连续 。
e 2、 xt t dt ， 其 中 — 正 实 数 0
则可定义xt 的拉氏变换为X S
X S Lxt
e xt st dt 0
象函数
原函数
复变量 量纲 t1
1
L f (t) 0 testdt
t
est s
0
e
st
s
dt
0
1 s2
Re(s) 0
0
1
t
单位速度函数
单位加速度函数
0 t 0
f
(t
)
1 2
t
2
t0
f(t)
L
f
(t)
0
1 2
t
2est
dt
1 s3
Re(s) 0
0
t
单位加速度函数
函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换 表直接或通过一定的转换得到。
应记住的 一些简单函数的
拉氏变换
原函数 1t
f (t)
tn eat
F (s)
n!
( s a ) n 1
w eat sin wt (sa)2 w2
sa eat cos wt (sa)2 w2
et 1t sin t 1t cost 1t
t n 1t
象函数
1 s
1
s
s2 2
s
s2 2
n! s n1
性化方程
2-3 拉氏变换及反变换
—一种解线性微分方程的简便方法
• 拉氏变换的定义
• 简单函数的拉氏变换 • 拉氏变换的性质 • 拉氏变换的反变换 • 应用拉氏变换求解常系数线性微分方程
是分析工程控制系统的基本数学方法
微分方程 （时间域） 拉氏变换 拉氏反变换 代数方程 （复数域）
传递函数
一、拉氏变换定义：
微分方程 （时间域） 拉氏变换 拉氏反变换 代数方程 （复数域）
方块图 传递函数 信号流图
微分方程模型
微分方程模型是在时域中描述系统
（或元件）动态特性的数学模型，它是一 种最基本的数学模型，利用它可得到描述 系统（或元件）动态特性的其它形式的数 学模型。
实例
–质量-弹簧-阻尼系统 –无源电路网络 –电枢控制直流电动机
sn
f 1 0 sn
f 2 0 sn1
f n 0 s
n
式中，符号 f n 0 f t dtn t0
n
若 f 1 0 f 2 0 f n 0 0
L
f
tdtn
F s
sn
n
eL t f t Fs
4 衰减定理
e e 例：求 L 例 ：求 L
t
t
解解: : 已已知知
其 中 ：n m
2-2 数学模型的线性化
实际系统一般都有非线性现象：
电机死区 齿轮间隙
放大器饱和
严格讲： 所有系统
都是非线性的
严格讲： 所有系统都是非线性的
尽管线性系统的理论已经相 当成熟，但非线性系统的理论还 远不完善。另外，迭加原理不适 用于非线性系统，这给解非线性 系统带来很大不便。故我们尽量 对所研究的系统进行线性化处理， 然后用线性理论进行分析。
i1t i2 t it
1
o
ui t uo t R1i2 t 2
1 c
i1 t
dt
R1i2
t
3
uo t R2it
4
将2 、3、4 分 别 代 入1， 并 整 理 得 到 ：
R1C
duo t
dt
R1 R2 R2
uo t
R1C
dui t
dt
ui t
例3 电枢控制式直流电动机
的结果。
e j e j
e j
2j
e j
2
于是：
Lsint
1t
L
e
jt
e
jt
1t
2 j
1 2j
1
s j
1
s j
s2
2
同理：
Lcost
1t
L e
jt
e
jt
1t
2
1 2
s
1
j
源自文库
1
s j
s2
s
2
单位脉冲函数(t)
0
(t)
lim0
1
(t 0且t ) f(t)
(0 t )
sn2
f
(0)
f
(n1) (0)
若 ：f 0 f 0 f n2 0 f n1 0 0
L
d
n f t
dt n
snF
s
例4：已知f
(t)
coswt，对应的F (s)
s2
s，
w2
求g(t) sin wt的拉氏变换。
拉氏变换微分性质的应用
解：f '(t) wsin wt g(t) f '(t) , w
l
台劳级数展开，得：
m Ti(t)
sin o
o
o3
3!
o5
5!
当
很
o
小
时
，
可
忽
略
高
阶
小量
，
则
sin o o 可 近 似 为 线 性 方 程:
P15单图摆2-5 单 摆
ml 2
d
2
dt
o 2
t
m
gl
o
t
T
i
t
线性化步骤：
1. 找出静态工作点（工作点不同， 所得方程系数也不同）
2. 在工作点附近展开成台劳级数 3. 略去高阶项，得到关于增量的线
f (t) est s
0
0
df (t dt
)
est s
dt
即：
F(s)
f
(0) s
1 s
L
df (t) dt
所以：
L
df (t) dt
sF (s)
f
(0)
两个重要推论：
Ld 2dft
(t
2
)
s 2 F (s)
sf
(0)
f
(0)
L
d
nf dt
(t
n
)
s n F (s)
s n1
f
(0)
LLsisnintt ss222 的2 的 极点极s点 sj j
在在虚虚轴轴上 上，，而而不不在在 左半左s 平半面s 平 。面。
sinsin t t无无终 终值值。。 终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同。
cos t
cos t
LLccoosst t
s
2s2s
s
2
2
eeLL tct ocsos t t
s
s s
s22 2
2
5 延时定理
L f t 1t es Fs
f t1t
f t 1t
0
0
6 初值定理
例5：
lim f t lim sF s
t0
s
lim lim 求
t 0
sin t
三、拉氏变换的性质
• 线性性质
• 微分定理 • 积分定理 • 衰减定理 • 延时定理 • 初值定理 • 终值定理 • 周期函数的象函数 • 卷积分的象函数
三、拉氏变换的性质
1. 叠加性质
L
a
f
t b
1
f
t
2
a
F1S b F 2 s
2. 微分定理
L
d dt
f
t
sF s
f
0
证明：由于
0
f (t)estdt
基于MATLAB的拉氏变换
一般情况下，L变换是以字母t为自变 量，以其他字母作为参数来进行变换， 这些均为字符变量。
Syms t Laplace(dirac(t)) Laplace(heaviside(t)) Laplace(t) Laplace(0.5*t^2)
基于MATLAB的拉氏变换
下面计算exp(at)和sin(wt)的拉氏变换 Syms a t w x f1=laplace(exp(a*t)) f2=laplace(sin(w*t))
s
s s2 2
0
初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函 数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。
7 终值定理
lim f t lim sF s
t
s0
使7用条 终件 值： 定f理t 的终值存在，即f t 有稳态解，
即 F s的极 点全在 左半s 平面 。
lim lim 例6例：6求 ：求 ssiinnt t t t
则G(s) L[g(t)] L[ f '(t)] 1 L[ f '(t)]
w
w
1 [sF(s) w
f
(0)]
1[ w
s
2
s2
w2
1]
w s2 w2
3 积分定理
L
f tdt
Fs
s
f 1 0
s
两个推论：
其中 f 1t f t dt
L
f t dtn
F s
一、数学模型的定义 描述系统输入、输出变量及内部各变量之
间相互关系的数学表达式，称为系统数学模型。
二、数学模型的种类 控制系统常用的数学模型有：微分方程、
差分方程、传递函数、状态空间模型等
三、数学模型的建立方法
建立数学模型通常有两种方法，即解析法 和实验法。
解析方法——根据系统各环节所遵循的物 理或化学规律分别列写相应的运动方程，这种 方法要求明确系统的结构和特性。
3. 将各环节方程式联立，削去中间变量， 最后得到只含有输入、输出变量以及 参量的系统方程式。
单输入、单输出系统微分方程的
一般形式：
a x a x a a 0 o n t 1 o n1 t n1 x o t n xo t b x b x b b 0 i m t 1 i m1 t m1 x i t m xi t
Ra J
d 2
dt
o 2
t
Ra
f
K T
Ke
do t
dt
K T ei t
若 电 枢 电 感 、 电 枢 电 阻都 忽 略 ， 可 进 一 步 简 化为 ：
K
e
do t
dt
ei
t
列写系统微分方程的一般步骤：
1. 将系统划分环节，确定各环节的输入 及输出信号，每个环节列写一个方程；
2. 根据物理定律或通过实验得出的物理 规律列写各环节的原始方程，并适当 简化，线性化；
1
L (t)
0
lim
0
1
est dt
lim 1 (1 e s )
0 s
0 单位脉冲函数
t
由洛必达法则： lim 1 (1 e s ) lim (1 e s )
0 s
0 ( s)
所以： L (t) lim e s 1
0
单位速度函数（斜坡函数）
0 t 0
f(t)
f (t) t t 0
Ra
La
f
ei(t)
em
o (t)
T
J
ia if=常数
根据电磁感应定律，有
eK K K K i e R i L e 其中根其根，据中据Pm1基e3，磁—Tt图根i尔— 2场t-tT4—据霍电反对枢—牛夫T电e控载d电制顿a定Tt势流do机直at第律a常线t流tft力二，数电圈d矩 动定有d的机o作t常a律td用i数d定 a t定tJ律，d律2有d，tmo2有 tt
例1 质量-弹簧-阻尼系统
牛顿第yo(t)二定律： F Ma 工件
动
力滑
台
Fi
t
k
yo
t
fyo t FiM(t) yo t
即：Myo t fyo t kyo t Fi t
yo(t)
k
M
Fi(t)
f
例2 无源电路网络
ui
u C i1t
R1
i2 t
it R2
根 据 基 尔 霍 夫 定 律 和 欧姆 定 律 ， 有
线性化的两个条件：
1. 非线性因素对系统影响很小 2. 系统变量只发生微小偏移，可通
过切线法进行线性化，求其增量 方程
根 据 牛 顿 第 二 定 律 ， 有：
T itmg sin otl ml 2
d 2o t
dt 2
这 是 一 个 非 线 性 微 分 方程 ，
o(t) 将 sin o在 o 0 附 近 用
CH2 控制系统的数学模型
§2.1 系统的数学模型 §2.2 数学模型的线性化 §2.3 拉氏变换及其反变换 §2.4 传递函数及典型环节的传递函数 §2.5 系统的方块图及其联接 §2.6 基于MATLAB的控制系统建模 §2.7 控制系统模型的转化与连接
2.1 系统的数学模型
对于一个控制系统，在一定的输 入作用下有些什么运动规律，我们不 仅希望了解其稳态情况，更重要的是 了解其动态过程。如果能将物理系统 在信号传递过程中的这一动态特性用 数学表达式描述出来，就得到了组成 物理系统的数学模型。