河南省平顶山市2008～2009学年普通高中毕业班第一次质量检测文科数学

平顶山市2008－2009学年高三第一次调研考试文科数学（必修＋选修I ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第II 卷3至8页．共150分． 考试时间120分钟．第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ∙=∙．如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk k n n P k C P P -=-．球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径． 一、选择题：1．函数lg y x x=-+的定义域为（ D ）A ．(0,)+∞B ．(,1]-∞C ． (,0)[1,)-∞+∞D ．(0,1]2．已知命题:23p x <<和:1q x >，则p q 是的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．将函数x y 2s in =的图象按向量a =)1,6(π-平移后所得图象的函数解析式是（ C ）A ．1)62sin(++=πx y B ．1)32sin(+-=πx yC ．1)32sin(++=πx y D ．1)62sin(+-=πx y 4．若221log 01a a<+，则a 的取值范围是 （ A ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(5．若x ，y 满足不等式组20,10,220,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则z=x －y 的取值范围是 （C ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．[1，2]6．在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ D ） A ．15 B ．12 C ．23 D ．457．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),[0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈=若时，则等于 ( A )A ．﹣2B ．2C ． ﹣98D ．988．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( C )A ．( 1，2)B ． (1，2 ]C ．[2，+∞）D ．(2，+∞) 9．已知(xx 12-)n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，则展开式中常数项是( D )A ．－1B ．1C ．－45D ．45 10．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则A B ∶A ′B ′等于（ Ａ ） A ．2∶1 B ．3∶1 C ．3∶2 D ．4∶3 11．已知函数x y 2log =的反函数是)(1x fy -=，则函数)1(1x fy -=-的图象可能是（C ）（A ）（B ）（C ）（D ）12．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝，则B 、C 1两点间的球面距离为（ B ）A ．4B ．23πC ．D ． 3π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． 13．已知向量2411()()，，，a =b =．若()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 ；-3 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S = ，则25811a a a a +++= ．715．函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象如图所示，则()()()()1232008f f f f ++++ 的值等于 0 ．16．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+ ，则||OM= 2 ．三、解答题：17．(本题满分10分)已知函数2()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）当x 为何值时函数()f x 取最大值，最大值是多少？ 解：（Ⅰ）()1cos 2sin 21f x x x ωω=+++ sin 2cos22x x ωω=++…………2分224x ωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．…………4分因()f x 的最小正周期是222ωππ=，所以222ωππ=，2ω=．…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()424f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当4242x k ππ+=+π，即()162k x k ππ=+∈Z 时，s i n 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最大值1，…………8分所以，当x ∈162k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，时，函数()f x 取最大值2．…………10分18．(本题满分12分)设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=- 是奇函数．（Ⅰ）求b 、c 的值；（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值．解：（Ⅰ）∵()32f x x bx cx =++， ∴ ()232f x x bx c '=++，322()(32)g x x bx cx x bx c =++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+-- ；…………3分∵ ()g x 是奇函数， ∴()g x =-()g x -，即32(3)(2)x b x c b x c +-+--≡32(3)(2)x b x c b x c --+-+，所以0c =， 3b =；…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，显然，当x ＜x ()g x '＞0； 当x ()g x '＜０．…………10分故，()g x 的单调增区间是(,-∞和)+∞；()g x 的单调减区间是(；且()g x 在x =x =时取极小值-．…………12分 19．(本题满分12分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投篮，命中率分别为12与p ，且乙投篮2次均未命中的概率为116． （Ⅰ）求乙投篮的命中率p ；（Ⅱ）求甲投篮2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投篮2次，求两人共命中2次的概率． 解：（Ⅰ）设“甲投篮一次命中”为事件A ，“乙投篮一次命中”为事件B ，由题意得221(1())(1)16P B p -=-=， 解得34p =或54p =（舍去），所以乙投篮的命中率为34．…………3分（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1()2P A =． 故甲投篮2次至少命中1次的概率为123C ()()()()4P A P A P A P A +=．…………6分（Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =， 1()2P A =， 3()4P B =， 1()4P B =． 甲、乙两人各投篮2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次． …………8分它们的概率分别为：11223C ()()C ()()16P A P A P B P B =， 1()()64P A A P B B = ，9()()64P A A P B B =． 所以甲、乙两人各投篮2次，共命中2次的概率为：3191116646432++=． …………12分20．(本题满分12分)在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明AB ⊥平面VAD ；（Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成二面角的大小． 解：（方法一）（Ⅰ）因为平面VAD ⊥平面ABCD ，平面VAD ∩平面ABCD=AD ，又AB 在平面ABCD 内，AD ⊥AB ，所以AB ⊥平面VAD ． …………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥AB ，AB ⊥AV ．依题意设AB=AD=AV=1，所以．…………6分设VD 的中点为E,连结AE 、BE ，则AE ⊥VD ，BE ⊥VD ， 所以∠AEB 是面VDA 与面VDB 所成二面角的平面角．…………9分又AE=2，BE=2，所以cos ∠37122+-=7． 故，面VAD与面VDB所成二面角的大小为arccos7． …………12分 （方法二）（Ⅰ）同方法一． …………3分（Ⅱ）设AD 的中点为O ，连结VO ，则VO ⊥底面ABCD ．又设正方形边长为1，建立空间直角坐标系如图所示． …………4分则，A （12，0，0）， B （12，1，0）， D （-12，0，0）， V （0，0）；1(0,1,0),(,1,(1,1,0)2AB VB BD ==-=--．…………7分由（Ⅰ）知AB是平面VAD 的法向量．设(1,,)n y z = 是平面VDB 的法向量，则1,10,(1,,)(,1,0,(1,1,220,(1,,)(1,1,0)0,y n VB y z n z n BD y z =-⎧⎧⎧∙=∙-=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=∙=⎪⎪⎪⎩∙--=⎩⎩，…………10分∴(0,1,0)(1,1,cos ,7AB n ⋅-<>==-，由图知，面VAD 与面VDB 所成的二面角为锐角， 故，面VAD与面VDB所成二面角的大小为arccos7．…………12分21．(本题满分12分)将数列{}n a 的各项按照第1行排a 1，第2行自左至右排a 2、a 3，第3行…的规律，排成如图所示的三角形形状．（Ⅰ）若数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，写出图中第五行第五个数；（Ⅱ）若函数f (x)=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，且f (1)=n 2，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设T m 为图中第m 行所有项的和，在（Ⅱ）的条件下，用含m 的代数式表示T m ． 解：（Ⅰ）第五行第五个数是43． …………2分（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为S n ．由f (1)=n 2得，S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =f (1)= n 2．…………3分当n=1时，a 1 =S 1= 1； 当n ≥2时，a n = S n - S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1． 又当n=1时，2n-1= 1= a 1，所以数列{}n a 的通项公式为：a n = 2n-1（n=1，2，3，…）．…………6分（Ⅲ）图中前m-1行共有项数为1+2+…+m-1=2(1)(11)22m m m m-+--=．…………8分由（Ⅱ）知，数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以，图中第m 行第一个数为2221212(11)12m m m ma m m -+-=++-=-+．…………10分即，第m 行的m 个数构成以21m m -+为首项，2为公差的等差数列， 故 232(1)(1)2m m m T m m m m -=-++=．…………12分22．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，点P到(0，、(0两点的距离之和等于4，若点P的轨迹为C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如果经过（0，1）点的直线l 交C 于A ，B 两点，且OA ∙OB=0，求该直线的方程及AB ．解：（Ⅰ）设P （x ，y ）．由椭圆定义知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆，其短半轴1b ==，所以C 的方程为2214y x +=．…………3分（Ⅱ）若直线l 与x 轴垂直，则OA ∙OB≠0，所以直线l 与x 轴不垂直．…………4分设l ：1y kx =+，1122()()A x y B x y ，，，，则由22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，， 消去y 并整理得 22(4)230k x kx ++-=． 所以1212222344k x x x x k k +=-=-++，， 2121212()1y y k x x k x x =+++．…………6分因 OA ∙OB=0，即12120x x y y +=，所以，222222233241014444k k k k k k k -+=---+=++++， 解得 12k =±． 故，该直线的方程为112y x =+或112y x =-+．…………9分此时，12417x x +=，121217x x =-，22212112()()4x x x x x x -=+-23224124134171717⨯=+⨯=． 所以AB =21|()|x x =-17=．…………12分。