12凸集及凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数在数学中，凸集和凸函数是两个非常重要的概念。
它们在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍凸集和凸函数的定义、性质和应用。
凸集凸集是指在一个向量空间中，如果对于任意两个点x和y，它们的线段上的所有点都在该集合内，那么这个集合就是凸集。
简单来说，凸集就是一个“凸起来”的集合，它的内部没有凹陷的部分。
凸集有很多重要的性质。
其中最重要的是：凸集的交集仍然是凸集。
这个性质在优化问题中非常有用，因为它可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集。
凸函数凸函数是指在一个实数域上，如果对于任意两个点x和y，它们的线段上的所有点都在函数图像的上方，那么这个函数就是凸函数。
简单来说，凸函数就是一个“凸起来”的函数，它的图像没有凹陷的部分。
凸函数也有很多重要的性质。
其中最重要的是：凸函数的下凸壳是一个凸函数。
这个性质在优化问题中非常有用，因为它可以帮助我们求解一些最优化问题的解。
应用凸集和凸函数在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
其中最常见的应用是在最优化问题中。
凸集和凸函数的性质可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集或凸函数，从而简化问题的求解过程。
凸集和凸函数还可以用于解决一些几何问题。
例如，我们可以使用凸包算法来求解一个点集的凸包，从而得到一个凸集。
同样地，我们也可以使用凸函数来求解一些几何问题，例如最小二乘法。
在经济学中，凸集和凸函数也有广泛的应用。
例如，在市场经济中，供求关系可以被视为一个凸函数，从而帮助我们预测市场价格的变化。
总结凸集和凸函数是数学中非常重要的概念。
它们在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
凸集和凸函数的性质可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集或凸函数，从而简化问题的求解过程。
同时，它们也可以用于解决一些几何问题和经济学问题。
凸集与凸函数的性质与应用
凸集与凸函数的性质与应用凸集与凸函数是数学中两个非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将围绕凸集与凸函数的性质展开讨论，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、凸集的定义及性质1. 凸集的定义在数学中，一个集合称为凸集，如果对于集合中的任意两点，连接这两点的线段上的所有点也在该集合内部。
2. 凸集的性质（1）凸集的交集仍然是凸集。
即若集合A和集合B都是凸集，则它们的交集A∩B也是凸集。
（2）凸集的闭包仍然是凸集。
即若集合A是凸集，则它的闭包A 也是凸集。
（3）凸集的仿射变换仍然是凸集。
即若集合A是凸集，线性变换T将A的元素变换到B，B上的任意两点通过T来自A的元素，B也是凸集。
二、凸函数的定义及性质1. 凸函数的定义在实数域上，如果一个函数的定义域是凸集，并且满足对于任意一对定义域内的点x₁和x₂以及任意的x∈ [0,1]，都有凸函数性质：x(xx₁+(1−x)x₂) ≤ xx(x₁)+(1−x)x(x₂)则该函数被称为凸函数。
2. 凸函数的性质（1）凸函数上的割线位于函数图像的下方或与之切线重合。
（2）凸函数的上、下半级集都是凸集。
即对于凸函数x(x)，有以下性质：- x∈ℝ且x∈ℝ，x(x) ≤ x≤ x(x) 成立，则对于该函数来说，有x(x) ≤ x，其中x∈ [x, x]。
- 若x(x) ≤ x，则x(x) ≤ x，其中x∈ℝ。
三、凸集与凸函数的应用1. 最优化问题凸集与凸函数在最优化问题中有着广泛的应用。
凸函数的性质保证了在一定条件下的最优解存在且唯一。
在优化问题中，我们可以将目标函数设为凸函数，将约束条件设为凸集，从而利用凸函数的性质来求解最优解，简化了问题的求解过程。
2. 经济学凸集与凸函数在经济学中也有重要的应用。
例如，生产函数、效用函数等都是凸函数，它们描述了在一定约束下的最优决策。
同时，凸集与凸函数也被应用在市场均衡理论、优化分配问题等经济学中的重要概念和工具中。
3. 机器学习凸集与凸函数在机器学习中也占据重要地位。
凸函数和凸的
凸函数和凸的凸函数和凸集是数学中的两个重要概念，在数学和工程应用中非常常见。
本文将着重介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、凸函数1. 定义对于实数集合X上的函数f，如果对于任意的x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，都有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)则称f是X上的凸函数。
简单来说，就是图像上任意两点连线在函数图像下方时，该函数为凸函数。
如下图：2. 性质（1）凸函数的一阶导数单调增加。
（2）如果f(x)在[a,b]内是凸函数，则∀x∈(a,b)，有f(x)≤f(a)+f'(a)(x−a)或f(x)≤f(b)+f'(b)(x−b)（即解析式可以被类比为斜率大于等于零的直线），同时也可以得出：f(a)+f(b)2≥f(a+b2)即弦比切的定理。
（3）如果f(x)在[a,b]上是二次凸函数，则额外满足：f(a+x+b−a−2x2b−a)≤f(a)+f(b)2−f'(a)(b−a)4根据其定义可知，凸函数有一个很好的性质，即对于任意一个凸函数f(x)，其局部最小值也是全局最小值。
这个性质在优化问题中非常有用。
3. 应用凸函数在优化问题中很常见，比如线性规划、非线性规划、半正定规划以及凸优化等。
此外，凸函数在机器学习中也有非常广泛的应用，比如核方法、支持向量机等。
二、凸集1. 定义凸集是指对于一个实数集合X，如果对于其中的任意两个点x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，有αx1+(1−α)x2∈X则称X是凸集。
也就是说，凸集内的任意两点连线上的任意一点也在凸集内。
如下图：2. 性质（1）凸集的交仍为凸集。
（2）凸集的凸组合一定在该凸集内。
（3）凸集的闭包也是凸集。
（4）如果X是凸集，则对于x∈X，X是以x为球心的超球体内的凸集。
3. 应用凸集和凸函数在很多方面都是密切相关的，比如凸优化和半正定规划等都涉及到凸集的概念。
凸集也被广泛应用于统计学和经济学中，例如一些概率模型的凸包上界（convex hull upper bound）和有效边界（efficient set）等等。
1-2凸集与凸函数解析
2018/12/15
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例:试证线性函数是 Rn 上的凸函数
f x cT x c1 x1 c2 x2
证明 :设 x , y R, 0,1 ,则
T f x 1 y c x 1 y
cn x n
x 1 y 1 x 1 1 y 1
2 2
f x 1 y f x 1 f y
2
2
1 x y 0
因此 f x 在 , 上是严格凸函数.
若 x 是 S 中的一个极点,且有 x x1 1 x2 , 0,1 , 注：
x1 , x2 S ,则必有 x x1 x2 .
例3：D x R n x aa 0 , 则 x a
上的点均为极点．
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证：设 x a , 若存在 y , z D 及 0,1 , 使得 x y 1 z , 则：
T
y R 表示 y 轴上的点．
则 D1 D2 表示两个轴的所有点， 它不是凸集； 而 D1 D2 R 2 凸集．
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推论： 设 Di , i 1, 2,
, m 是凸集， 则
D
i 1 i
m
i
也是凸集， 其中 i 是实数．
定义1.2:设 xi D , i 1, 2,
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三、凸函数
定义 1.4: 设函数 f x 定义在凸集 D Rn 上 , 若对任意的
x , y D, 0,1 ,都有 :
凸集和凸函数
凸集和凸函数凸集和凸函数是数学中一些重要的概念。
它们的应用范围广泛，涉及到诸如优化、几何学、经济学、物理学等领域。
本文将分步骤阐述凸集和凸函数的定义、性质及应用。
一、凸集的定义和性质凸集是指在欧几里得空间中，对于其中的任意两点，它们之间的连线都落在该集合内。
换句话说，凸集中的任何一条线段都是完全落在凸集内的。
要说明集合是凸的，需要证明其满足如下两个条件：①对于其中的任意两点x和y，它们之间的任意一个点z，都应该满足z=λx+(1-λ)y（其中0≤λ≤1）；②该集合是一个凸组合的闭包。
凸集有以下性质：1. 任意两个凸集的交集也是凸集；2. 凸集的闭包是凸集；3. 凸集的凸壳是凸集；4. 凸集的极小凸包是凸集；5. 凸集是连通的。
二、凸函数的定义和性质凸函数是指在函数图像下方的区域是凸集。
凸函数有以下几个特征：1. 任意两个点的线段都落在函数图像下方；2. 函数的一阶导数递增或数值非负；3. 函数的二阶导数数值非负。
凸函数具有以下性质：1. 任意两个凸函数的和是一个凸函数；2. 凸函数的下凸包是凸函数；3. 凸函数的上凸包是凸函数；4. 若函数f在定义域D内是凸的，那么其上任意一点的全体支撑线构成的集合是非空凸集。
在实际应用中，凸函数可用于优化问题、光学物理等方面。
因为凸函数有唯一的最小值和全局最小值，这种性质对于优化问题非常重要。
光学物理中，利用凸函数可对某些照明系统进行设计。
三、凸集和凸函数的应用凸集和凸函数的应用非常广泛。
它们在很多领域都得到了充分的应用，下面将简单介绍一些常见应用：1. 最优化问题。
凸函数有唯一的最小值和全局最小值，因此可以用于优化问题中，如线性规划、非线性规划等。
2. 几何形状分析。
凸集的定义是指一个区域内的两点连线都在该区域内，因此凸集可以用于分析几何形状。
3. 光学物理。
利用凸函数可以对光学系统进行设计，尤其是在非均匀照明下平均照度问题的解决中可以应用到凸函数。
4. 机器学习。
凸函数的定义
凸函数的定义凸函数是数学中一种非常基础且重要的概念，其在优化理论、微观经济学等领域都有着广泛的应用。
本文就来介绍凸函数的定义及其一些基本性质。
一、凸函数的定义在介绍凸函数之前，我们先来了解一下凸集的概念。
凸集是指对于该集合中任意两个点，它们之间的连线上的所有点也都属于该集合。
例如，一个圆形就是一种凸集，而一条线段则不是。
有了凸集的定义，我们就可以引出凸函数的定义了。
如果函数f 的定义域上的任意两点构成的线段都落在函数的上方，则该函数被称为凸函数。
反之，如果这些线段都落在函数的下方，则该函数被称为上凸函数。
这里需要注意的是，对于凸函数来说，图形上的“上方”指的是函数图像的上面，即函数值更大的区域。
而对于上凸函数，则是函数图像的下面，即函数值更小的区域。
二、凸函数的基本性质1.一阶导数单调递增对于凸函数来说，其一阶导数具有单调性。
也就是说，如果 f是一个凸函数，则其一阶导数 f' 是单调递增的。
反之，如果 f 的一阶导数是单调递增的，则 f 是凸函数。
这个性质非常重要，因为它可以用来证明很多凸函数的性质。
例如，如果我们知道了某个函数的一阶导数的单调性，就可以进一步证明该函数的二阶导数不小于零，从而证明该函数是凸函数。
2.上凸函数和下凸函数的判定对于一个函数 f，如果其一阶导数 f' 单调递减，则该函数是上凸函数。
反之，如果其一阶导数 f' 单调递增，则该函数是下凸函数。
这个判定方法可以用来判断很多函数的凸性。
例如，如果我们知道某个函数的一阶导数的单调性，并且该函数的一阶导数单调递增，则该函数是下凸函数。
3.凸函数的次导数函数的次导数是指它的 n 阶导数。
对于凸函数来说，它的次导数也具有一定的性质。
如果 f 是一个凸函数，则其次导数都不小于零。
这个性质可以用于推断一个函数是否是凸函数。
例如，如果我们知道某个函数的一阶和二阶导数都不小于零，则可以推断该函数是凸函数。
三、凸函数应用实例凸函数在优化理论、微观经济学等领域都有着广泛的应用。
凸集与凸函数
凸集与凸函数凸集与凸函数是数学中具有较高应用价值的两个概念，它们在优化、经济学、工程学、数学物理等领域都有着广泛的应用。
一、凸集的定义凸集是指在欧几里得空间中，对于任意两个点$x_1$和$x_2$ ，如果这两个点都处于凸集内，那么它们之间的所有点也都应该在该凸集内，即：$$x_1,x_2\in C\Rightarrow\lambda{x_1}+(1-\lambda)x_2\in C\0\leq\lambda\leq1$$其中的$\lambda$是权重系数，使得对于$x_1$和$x_2$的线性组合能够在凸集内。
凸集不仅包括均匀分布的整个区域，而且还包括所有边界上的点。
凸函数是指在定义域内的任意两个点$x_1$和$x_2$之间，其函数值的线性组合仍然处于函数的值域内，即：凸函数是凸集上的实值函数，其定义域是一个凸集。
凸函数的定义与凸集的定义类似，可以形式化证明凸函数在其定义域上是凸集。
具体来说，对于凸函数$f(x)$，当且仅当它的定义域是凸集时，它才是凸函数。
同时，凸函数也存在一些性质，例如其导数是递增的、局部最小值是全局最小值等。
除此之外，凸集与凸函数还有许多更深入的联系。
例如，可分离凸函数、第一性原理的凸优化算法、鞍点理论等，都是凸集与凸函数相关的研究领域。
四、应用举例凸集与凸函数的应用非常广泛，例如：1. 在优化中，凸集与凸函数是常用的工具。
例如，线性规划、半定规划、凸优化等问题都涉及到凸集和凸函数。
2. 在经济学中，凸集与凸函数可以用来描述市场需求、供给等重要问题，例如企业的利润最大化、消费者选择最大化等问题。
3. 在计算机科学中，凸集与凸函数被广泛应用于机器学习、人工智能等领域。
例如，梯度下降法、反向传播算法等都是基于凸函数的优化算法。
总之，凸集与凸函数是数学中非常重要的概念，不仅应用广泛，而且具有一些深刻的理论性质。
在未来的科学研究中，凸集与凸函数的研究将会得到更加广泛的关注和应用。
凸集凸函数凸规划
凸集-----性质
k
推论：设Di , i 1,2,, k是凸集，则 i Di i 1 也是凸集，其中i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例：D1 x,0T x R 表示 x 轴上的点． D2 0, yT y R 表示 y 轴上的点．
x 1 y D,
则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x Rn a1 x1 a2 x2 an xn b ,
H
半空间：
x Rn a1x1 a2 x2
= x Rn aT x b
则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集；
而 D1 D2 R2 凸集．
凸集-----凸包(Convex Hull)
定义 设 S Rn , S 中任意有限个点的所有凸 组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
m
m
H(S) i xi xi S, i 0, i 1,2...,m, i 1, m N
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数
设 D Rn 是非空凸集， f x: S R,
若对任意的 x, y D (x y),及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y
则称函数 f x 为 D 上的严格凸函数．
i 1
i 1
凸组合 (Convex Comb, xi Rn , i 1,2,...m且 i 1.
凸集和凸函数和凸规划-课件
凸集---定义
01
线性组合 (linear Combination)
单击此处添加小标题
02
仿射组合 (Affine Combination)
单击此处添加小标题
03
凸组合 (Convex Combination)
单击此处添加小标题
04
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
单击此处添加小标题
第3讲 凸集、凸函数、凸规划
凸集 (Convex Set) 凸函数 (Convex Function) 凸规划 (Convex Programming) 凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
则有：
即点
属于超球,
所以超球为凸集．
凸集----举例
(1)
任意多个凸集的交集为凸集．
(2)
设
是凸集，
是一实数，
则下面的
集合是凸集：
凸集-----性质
(3)
推论：
设
是凸集，
则
也是凸集，
其中
是实数．
(4)
S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
凸集-----性质
注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸 函数的依据.
凸函数
定理4-----
01
几何
02
解释
03
一个可微函数
04
是凸函数当且
05
仅当函数图形
06
上任一点处的
07
切平面位于曲
08
面的下方.
演示文稿凸集与凸函数
可证, S的仿射包
k
kLeabharlann affS { i xi | i 1,i R, xi S,i 1,.., k, k }
i1
i1
2. 凸集与凸函数
Df2.1 Rn中任一集合S的维数定义为它的仿射包 affS的维数,即包含S的仿射集的最小维数. Df 2.5 由m 1个向量组成的向量组x0 , x1 ,...xm 称为是仿射无关的,是指集合{x0 , x1 ,...xm}的维 数为m,即仿射包aff {x 0 , x1 ,...xm}维数是m. 一般,有限点集的仿射包aff {x0 , x1 ,...xm} L x0, L aff {0, x1 x 0 ,...xm x 0 } 是包含{x1 x0 ,...xm x 0 }的最小子空间. L的维数是m x1 x 0 ,...xm x 0线性无关.
m
有1x1 ... mxm S,其中 i 1, i1
i 0 R,i 1,.., m.
2. 凸集与凸函数
运用定义不难验证如下命题：
命题2.2 设S1和S2为En中两个凸集,是实数,则 1,S1 {x x S1}为凸集。 2，S1 S2为凸集 3，S1 S2 ={x(1)+x(2) x(1)S1 ,x(2)S2 }为凸集 4，S1 S2 ={x(1)-x(2) x(1) S1 ,x(2) S2 }为凸集
2. 凸集与凸函数
•可验证,仿射集的交集仍是仿射集
若记 AT (a1, a2 ,..., am ),b (b1,b2,...,bm )T
Hi {x | aiT x bi}.i 1, 2,..., m, 则
M
H m
i1 i
Df2.3 给定Rn中集合S,包含S的所有仿射集的交集,
凸函数和凸集
凸函数和凸集凸函数和凸集是数学中的重要概念，它们在优化、经济学、几何等领域中得到广泛应用。
本文将分别介绍凸函数和凸集的定义、性质和应用。
1. 凸函数在欧氏空间中，凸函数是指函数定义域上的任意两点连线的函数值都不超过这条连线在端点处的函数值之和。
换句话说，对于函数$f(x)$而言，若对于定义域内的任意两个点$x_1$和$x_2$以及$0≤λ≤1$，都有$$f(λx_1+(1−λ)x_2)≤λf(x_1)+(1−λ)f(x_2)$$则函数$f(x)$为凸函数。
凸函数有下凸函数和上凸函数两种类型。
下凸函数在定义域内是一个向上弯曲的U形曲线；上凸函数则是一个向下弯曲的U形曲线。
凸函数具有许多重要的性质，例如：1）凸函数的导数是单调不减的。
2）凸函数的任意局部极小值也是全局最小值。
3）连续凸函数的零点是唯一的。
4）任意两个凸函数的和仍然是凸函数。
除了这些性质之外，凸函数还具有广泛的应用，例如：1）优化问题中的约束条件可以用凸函数来描述。
2）在经济学中可以用凸函数来描述效用函数。
3）机器学习算法中的损失函数往往是凸函数。
2. 凸集$$λx_1+(1−λ)x_2∈C$$则$C$是一个凸集。
常见的凸集包括单位球、正半轴、正半空间、多面体等。
凸集也具有许多重要的性质，例如：2）对于凸集的任意两个不交子集$C_1$和$C_2$，它们的距离$d(C_1,C_2)$是唯一确定的。
3）凸包是凸集的一个重要概念，指由集合内所有点组成的最小凸集，也就是包含该集合的所有凸集的交集。
2）在计算几何学中，几何对象通常是凸集。
3）医疗图像处理中，凸包可以用来分割不规则的肿瘤区域。
孙文瑜-1.2凸集与凸函数
邋l i xi , 其中l i 挝R+ , xi
i= 1
m
R n , i = 1, 2,...m且
i= 1
l i = 1.
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
n x , 其中 R , x R , i 1,2,...m . i i i i i 1 m
1.2.1 凸集
例1.2.2 1)超平面H= x | p T x 是凸集，其中p R n 是非零向量，称为超平面H的法向量， R 2)闭半空间H - = x | p T x≤ 和H - = x | p T x≥ 是凸集
T ＋ T 3)开半空间H－ = x | o o
1.2.1 凸集
Def1.2.1 凸集 集合D R n 称为凸集，如果对于任意x，y D，有 x+ 1 y D, 0 1
换句话说，如果任意两点x,y∈D，则连接x和y的直线段上所有点都在D内
1.2.1 凸集
凸集---相关定义
线性组合 (linear Combination)
å
仿射组合
m i= 1
m
l i xi , 其中 l
i
挝R, xi
R n , i = 1, 2, ...m.
i= 1
(Affine Combination)
R n , i = 1, 2,...m, 且
邋l i xi , 其中l i 挝R, xi
m
m
l i = 1.
i= 1
凸组合 (Convex Combination)
1.2.1 凸集
多面集(Polyhetral)
是由有限个闭半空间的交组成的集合 D= { x | piT x≤b i , i = 1, 2,..., m } 其中pi 是非零向量，b i Î R。
凸集与凸函数
Df 2.13设S n非空，y n ,则点y与集合S 之间的距离dist(y,S)定义为 dist（y, S ) inf y-x (2.4) xS Th2.5设S为E n中的闭凸集，y S,则存在唯一的
点x S, 使得 y-x inf y-x
xS
2. 凸集与凸函数
2. 凸集与凸函数
•2.1 仿射集
对n维欧氏空间中任意两点x≠y,则通过x和y的直线可表为 l(x,y)={(1-λ)x+λy|λ∈R }
Df 2.1 若集合M n包含所有的通过其内任意 两点的直线,即x, y M, ,有 (1-)x +y M 则称M为一个仿射集(仿射流形,仿射子空间)。
4，S1 S2 ={x(1)-x(2) x(1) S1 ,x(2) S2 }为凸集
Df 2.9 集合T n的凸包是指所有包含T的凸集的 交集, 记为 conv T C , C为凸集.
C T
2. 凸集与凸函数
有限点集{x 0 , x1 ,..., x m } n的凸包称为多胞形。 若{x 0 ,x1 ,..., x m }仿射无关时，对应的凸包称为m维单纯形。 向量x i 称为该单纯形的顶点。
y r 2 ) 0(k,m )
2
所以为柯西列，必有极限,且由S为闭集知。 此极限点必在S中。 下证明唯一性
2. 凸集与凸函数
ˆ 设有x S, ˆ x y x y r. 1 ˆ 由S为凸集，有 （x+x） S, 由 Schwartz 不等式 2 1 1 1 ˆ ˆ y- （x+x） x y x y r, 2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ 再由r的定义 y- （x+x） x y x y r 2 2 2 ˆ ˆ y x (y x) || y x ||| ||| y x || | | 1 1,因否则导出y S, 矛盾。
凸分析
凸分析凸分析是数学中的一个分支，主要研究凸集和凸函数的性质及其应用。
它在优化问题、经济学、工程学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍凸集、凸函数、凸优化等基本概念，并探讨凸分析在实际问题中的应用。
一、凸集和凸函数首先，我们来了解凸集的概念。
一个集合称为凸集，当且仅当对于该集合中的任意两个点，连接这两个点的线段仍然在集合内部。
换言之，如果集合中的任意两点连线上的所有点都属于该集合，那么该集合就是凸集。
凸函数是定义在凸集上的实值函数。
一个函数在定义域上是凸的，如果对于定义域内的任意两个点，函数值在这两点所连线上的所有点的函数值都不大于（或不小于）这两个点所对应的函数值。
换言之，如果函数的值沿着它的定义域内的任意一条线段都或者是递增的，或者是递减的，那么该函数就是凸函数。
二、凸分析的基本原理凸分析依赖于凸集和凸函数的重要性质。
其中，凸函数有很多重要的性质，如凸函数的导数是递增的，凸函数的局部最小值也是全局最小值等。
通过这些性质，我们可以利用凸函数来解决不等式约束的优化问题，进而提高问题的最优解。
凸分析还研究了凸函数的次导数和次微分，并且使用它们来证明了很多关于凸函数的重要定理。
这些定理为凸分析提供了强大的工具和方法，使得我们能够更好地理解和解决实际问题。
三、凸优化与应用凸优化是凸分析的一个重要应用领域。
它研究的是在凸函数下的优化问题，考虑了约束条件下的最优解。
凸优化问题具有较好的求解性质，有许多高效的算法和工具可用于解决各种实际问题。
凸优化在经济学、金融学、工程学等领域具有广泛的应用。
例如，在经济学中，我们常常需要在有限资源下最大化效益或者最小化成本，凸优化问题对于这类问题的求解非常有效。
在金融学中，我们可以使用凸优化来构建投资组合，以实现风险最小化或者收益最大化。
在工程学中，凸优化可用于电力系统、通信网络等领域的优化设计。
此外，凸分析还具有在信号处理、机器学习等领域的应用。
例如，在信号处理中，我们可以利用凸分析的方法来降低噪声、提取信号特征等。
12凸集与凸函数
2024/7/3
1
例1：证明超球 x r 为凸集．
证明：设 x , y 为超球中的任意两点，0 1,
则有： x 1 y
x 1 y r 1 r r 即点 x 1 y 属于超球
所以超球为凸集．
2024/7/3
2
凸集的性质
（１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集
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5
二、极点
定义1.3 设 D为凸集，x D, 若 D 中不存在
两个相异的点y , z 及某一实数 0,1
使得 x y 1 z , 则称 x 为 D 的极点．
注：若 x 是 S 中的一个极点,且有 x x1 1 x2 , 0,1,
x1, x2 S ,则必有 x x1 x2 .
xn2
18
(2)若在 D 内G x 正定,则 f x 在 D 内是严格凸函数.
注：反之不成立．
例: f x x4 显然是严格凸的,但在点 x 0 处G x 不是正
定的.
二、凸规划 定义 1.6: 设 D Rn 为凸集, f x 为 D 上的凸函数,则称规划
问题min f x 为凸规划问题. xD
下面的图形给出了凸函数 f x, y x4 3x2 y4 y2 xy
的等值线的图形,可以看出水平集是凸集.
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凸函数的判定
定 理 1.1: 设 f x 是 定 义 在 凸 集 D Rn 上 , x, y D , 令
t f tx 1 t y ,t 0,1,则:
f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2 处的函数
值.
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
2024/7/3
最优化方法(凸集与凸函数)
方框是不是属于 方框是不是属于 D 呢？？
根据凸集的定义
1 − α3 α1 α2 α1 + α 2 + = = =1 (1 − α 3 ) (1 − α 3 ) (1 − α 3 ) (1 − α 3 )
问题解决了。证明怎么写？ 问题解决了。证明怎么写？
5
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集，则任意 m 个点 x ( i ) ∈ D( i = 1,2,⋯ , m ) 的凸组合仍 即有： 属于 D ， 即有：
~ x+x 凸集， 由于 D 是凸集，故有 ∈ D ，又因为 γ 是集合 D 到 y 的 2
最短距离，上式应有等号成立，因此，存在实数 最短距离，上式应有等号成立，因此，存在实数 α 距离 应有等号成立 ~ y − x = α(y − x)
12
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集， y ∈ R n 但是 y ∉ D ，则 的距离最小， （1）存在唯一的点 x ∈ D ，使得集合 D 到点 y 的距离最小，即 x − y = inf { x − y , x ∈ D} （2） x ∈ D 是点 y 到集合 D 的最短距离点的充分必要条件为
有界集和无界集的交集是什么集？ 有界集和无界集的交集是什么集？
D y S
有没有看到闭凸集在哪里？ 有没有看到闭凸集在哪里？
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是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集， y ∈ R n 但是 y ∉ D ，则 的距离最小， （1）存在唯一的点 x ∈ D ，使得集合 D 到点 y 的距离最小，即
x − y = inf { x − y , x ∈ D} （2） x ∈ D 是点 y 到集合 D 的最短距离点的充分必要条件为
i =1 i =1
m
m
凸集的例子
凸集的例子在数学和几何学中，凸集是一个重要而有趣的概念。
它不仅在纯数学领域有广泛的应用，而且在实际问题的建模和解决中也起着至关重要的作用。
本文将为您介绍几个关于凸集的例子，帮助您更好地理解这一概念的实际意义。
例子一：凸多边形凸多边形是最简单的凸集之一。
它是由若干条线段连接而成的多边形，并且任意两点之间的连线都位于多边形内部。
简而言之，凸多边形没有凹陷的部分，任意两点之间的线段都在多边形内部，不会穿过多边形的边界。
著名的例子是正方形和正五边形，它们都是凸多边形的典型代表。
例子二：凸函数在数学中，凸函数是一个非常重要的概念，它在优化问题、经济学、物理学等多个领域中都有广泛的应用。
凸函数的定义是：对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的实数x1和x2，以及0<=t<=1，都有以下关系成立：f(tx1+(1-t)x2)<=tf(x1)+(1-t)f(x2)那么函数f(x)就是一个凸函数。
直观地理解，凸函数的图像在任意两点之间的部分都位于连接这两点的线段的上方。
典型的例子包括二次函数f(x)=ax^2+bx+c（其中a>=0）以及指数函数f(x)=e^x等。
例子三：凸规划凸规划是数学规划中的一个重要分支，其目标是在满足一组约束条件的前提下，优化一个凸函数。
凸规划在工程、经济学、金融学等领域中都有广泛的应用。
考虑一个典型的凸规划问题：最小化f(x)，其中x是一个n维向量，f(x)是一个凸函数，同时满足约束条件g_i(x)<=0，h_j(x)=0，其中g_i(x)和h_j(x)分别是凸函数和仿射函数。
凸规划之所以重要，是因为它有着良好的性质和高效的求解算法，能够在实际问题中得到可行且高效的解决方案。
总结凸集是数学和几何学中一个重要且有趣的概念，它广泛应用于纯数学领域和实际问题的建模与解决中。
本文介绍了几个关于凸集的例子，包括凸多边形、凸函数和凸规划。
通过这些例子，我们希望读者能够更好地理解凸集的实际意义和应用价值。
集合的凸集合与凸函数集合的运算法则与代数结构
集合的凸集合与凸函数集合的运算法则与代数结构1. 凸集合的定义与基本性质凸集合的定义：设X是一个非空集合，C是X的一个子集。
如果对于任意x1,x2∈C和任意0≤λ≤1，有λx1+(1−λ)x2∈C,则称C是X的一个凸集合。
凸集合的基本性质：1.任何线段的端点都在该凸集中，则该线段也在凸集中；2.凸集的交集是凸集；3.凸集的并集是凸集，但差集不一定凸；4.凸集和仿射子空间的交集是凸集；5.凸集和开球的交集是凸集；6.凸集和闭球的交集是凸集；7.凸集的闭包是凸集；8.凸集的内点集是凸集；9.凸集的边界是凸集；10.凸集的相对内点集是凸集。
2. 凸函数集合的定义与基本性质凸函数集合的定义：设X是一个非空集合，ℱ是X上的函数集合。
如果对于任意f1,f2∈ℱ和任意0≤λ≤1，有λf1+(1−λ)f2∈ℱ,则称ℱ是X上的一个凸函数集合。
凸函数集合的基本性质：1.凸函数集合的交集是凸函数集合；2.凸函数集合的并集是凸函数集合；3.凸函数集合的闭包是凸函数集合；4.凸函数集合的内点集是凸函数集合；5.凸函数集合的边界是凸函数集合；6.凸函数集合的相对内点集是凸函数集合；7.凸函数集合中任意两个函数的最小值函数和最大值函数也在凸函数集合中。
3. 凸集合与凸函数集合的运算法则凸集合的运算法则：1.凸组合：给定凸集合C和λ1,λ2,⋯,λn≥0满足∑λini=1=1，以及x1,x2,⋯,x n∈C，则∑λini=1x i∈C.2.凸包：给定集合S和x∈S，则x的凸包定义为conv(S)={∑λini=1x i∣λ1,λ2,⋯,λn≥0,∑λini=1=1,x1,x2,⋯,x n∈S}.凸包总是凸的，并且是包含S的最小凸集。
凸函数集合的运算法则：1.凸组合：给定凸函数集合ℱ和λ1,λ2,⋯,λn≥0满足n=1∑λii=1，以及f1,f2,⋯,f n∈ℱ，则nf i∈ℱ.∑λii=12.凸包：给定函数集合S和f∈S ，则f的凸包定义为conv(S)={∑λini=1f i∣λ1,λ2,⋯,λn≥0,∑λini=1=1,f1,f2,⋯,f n∈S}.凸包总是凸的，并且是包含S的最小凸函数集合。
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元函数 t 在0,1 上为凸函数. (2) 设 x, y D, x y , 若 t 在 0,1 上 为 严 格 凸 函 数 , 则 f x 在 D 上为严格凸函数.
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该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 之间的部分是一段向下凸的弧.
0,1表示连接 x1, f x1 , x2, f x2 的线段.
f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2 处的函数
值.
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
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2020/8/4
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凸函数的性质
(1)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 k 0 ,则 kf x 也
f x 1 y f x 1 f y,
则称 f x 为凸集 D 上的凸函数。
定义1.5 严格凸函数
注:将上述定义中的不等式反向,可以得到凹函数的定义。
例: 设 f x x 12 ,试证明 f x 在 , 上是严格凸
函数.
2020/8/4
9
证明: 设 x, y R ,且 x y, 0,1 ,都有
§1.2 凸集与凸函数
2020/8/4
1
一、凸集
定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y D , 及实数 0 1, 都有：
x 1 y D
则称集合 D 为凸集．
注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn
超平面：H x Rn a1x1 a2x2 an xn b
m
ai xi ,
称为 xi ,i 1, 2,
,m,
i 1
i 1
的凸组合．
注：凸集中任意有限个点的凸组合仍然在该 凸集中．
2020/8/4
6
二、极点
定义1.3 设 D为凸集，x D, 若 D 中不存在
两个相异的点y , z 及某一实数 0,1
使得 x y 1 z , 则称 x 为 D 的极点．
f x 1 y f x 1 f y
x 1 y 12 x 12 1 y 12
1 x y2 0
因此 f x 在, 上是严格凸函数.
2020/8/4
10
例:试证线性函数是 Rn 上的凸函数
f x cT x c1 x1 c2 x2 cn xn
2020/8/4
3
凸集的性质
（１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集
为凸集． （２） 设 D 是凸集， 是一实数， 则下面的
集合是凸集：D y y x , x D
（３）设 D1 , D2 是凸集，则 D1 , D2 的和集
D1 D2 y y x z, x D1, z D2 是凸集;
则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集；
而 D1 D2 R2 凸集．
2020/8/4
5
m
推论：设 Di ,i 1, 2, , m 是凸集，则 i Di i 1
也是凸集，其中i 是实数．
定义1.2:设 xi D ,i 1, 2, , m, 实数 ai 0,
m
ai 1, 则 x
注：若 x 是 S 中的一个极点,且有 x x1 1 x2 , 0,1,
x1, x2 S ,则必有 x x1 x2 .
例3：D x Rn x a a 0, 则 x a
上的点均为极点．
2020/8/4
7
证：设 x a , 若存在 y, z D 及 0,1, 使得 x y 1 z , 则： a2 x 2 y 1 z, y 1 z
是 D 上的凸函数.
(2)设 f1 x , f2 x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 , 0 , 则 f1 x f2 x 也是 D 上的凸函数.
(3)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数, 是实数,则水平集
S f , x x D, f x 是凸集.
2 y 2 1 2 z 2 2 1 y z
a2
不等式要取等号，必须 y z a ,
且 y, z y z , 容易证明 y z x ,
根据定义可知 x 为极点．
2020/8/48Fra bibliotek三、凸函数
定义 1.4: 设函数 f x 定义在凸集 D Rn 上,若对任意的
x, y D, 0,1,都有:
2020/8/4
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一阶判别条件 定理 1.2: 设在凸集 D Rn 上 f x 可微,则: f x 在 D 上为
凸函数的充要条件是对x, y D ,都有:
f y f x f xT y x
定理 1.3: 严格凸函数(充要条件)
2020/8/4
18
二阶判别条件 定理 1.4: 设在开凸集 D Rn 内 f x 二阶可微,则
(1) f x 是 D 内 凸 函 数 的 充 要 条 件 为 : 对 x D, f x 的
Hesse 矩阵半正定.其中
2 f 2 f
2 f
x12
x1 x2
x1 xn
2 f 2 f
G
x
2
f
x
x2
x1
x22
2 f
x2 xn
2 f 2 f
2 f
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xn
x1
xn x2
证明:设 x, y R, 0,1 ,则 f x 1 y cT x 1 y
cT x 1 cT y f x 1 f y
所以cT x是凸函数.
类似可以证明cT x 是凹函数.
2020/8/4
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凸函数的几何性质
对一元函数 f x ,在几何上 f x1 1 f x2 ,
半空间：H x Rn a1x1 a2 x2 an xn b
2020/8/4
2
例1：证明超球 x r 为凸集．
证明：设 x , y 为超球中的任意两点，0 1,
则有： x 1 y
x 1 y r 1 r r 即点 x 1 y 属于超球
所以超球为凸集．
2020/8/4
20
定理 1.5: (1)凸规划问题的任一局部极小点 x 是全局极小点, 全体极小点组成凸集.
(2) 设 D Rn 为凸集, f x 为 D 上的严格凸函数,且凸规划 问题min f x 的全局极小点存在,则全局极小点是唯一的.
xD
2020/8/4
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D1 , D2的差集 D1 D2 y y x z, x D1, z D2 也是凸集。
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注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例2：D1 x,0T x R 表示 x 轴上的点． D2 0, yT y R 表示 y 轴上的点．
2020/8/4
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下面的图形给出了凸函数 f x, y x4 3x2 y4 y2 xy
的等值线的图形,可以看出水平集是凸集.
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凸函数的判定
定 理 1.1: 设 f x 是 定 义 在 凸 集 D Rn 上 , x, y D , 令
t f tx 1 t y ,t 0,1,则:
xn2
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(2)若在 D 内G x 正定,则 f x 在 D 内是严格凸函数.
注：反之不成立．
例: f x x4 显然是严格凸的,但在点 x 0 处G x 不是正
定的.
二、凸规划 定义 1.6: 设 D Rn 为凸集, f x 为 D 上的凸函数,则称规划
问题min f x 为凸规划问题. xD