5.3.1任意角的三角函数的概念教案(一)
三角函数的概念教学设计一等奖4篇
第1篇三角函数的概念教学设计一等奖三角函数一. 教学内容：三角函数【结构】二、要求（一）理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
（二）掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）（三）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
（四）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin（ωx φ）的简图、理解A、ω、< 1271864542"> 的意义。
三、热点分析1. 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2. 对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题3. 基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4. 立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：（1）首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理。
5.2.1 三角函数的概念(教学设计)
5.2.1 三角函数的概念课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：图1-2-1 (2)结论①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． (3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点O 的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)． 三角函数定义定义域 名称 sinα yr R 正弦 cosα x r R余弦tanαy x⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数 定义域 sin α R cos αRtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：图1-2-2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．四、典例分析、举一反三题型一 三角函数的定义及应用例1：求53π的正弦、余弦和正切值.例2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.基础练习题 1、求π4、3π2、7π6的三角函数值.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 本节课我们主要学习了哪些内容? 1.三角函数的定义.2.运用三角函数数学思想解决问题.六、板书设计七、作业课本179页练习及182页练习.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.。
任意角三角函数教案
任意角三角函数教案教案标题：任意角三角函数教案教案目标：1. 理解任意角的概念和测量方法。
2. 掌握正弦、余弦和正切函数在任意角上的定义和性质。
3. 能够应用任意角三角函数解决实际问题。
教学准备：1. 教学投影仪和计算机。
2. 白板、彩色笔和橡皮。
3. 教学PPT或其他教学辅助材料。
4. 学生教材和练习册。
教学过程：引入活动：1. 使用一个实际问题引起学生对任意角的兴趣，例如：一个船在河流中行驶，如何确定船的航向角度？知识讲解：2. 介绍任意角的概念和测量方法，包括角度的单位和测量工具。
3. 详细讲解正弦、余弦和正切函数在任意角上的定义和性质，包括函数图像、周期性、定义域和值域等。
示范演示：4. 在白板上绘制一个单位圆，并标注角度。
通过旋转单位圆，展示不同角度下正弦、余弦和正切函数的变化。
5. 通过具体的角度值示例，计算和绘制对应的正弦、余弦和正切函数值。
练习活动：6. 分发练习册或工作纸，让学生完成一些基础练习题，巩固对任意角三角函数的理解和运用能力。
7. 引导学生思考并解决一些实际问题，例如：一个建筑物的斜坡角度是多少？拓展应用：8. 提供更复杂的练习题，让学生应用任意角三角函数解决更具挑战性的问题，例如：计算两个船只之间的夹角。
总结回顾：9. 总结任意角三角函数的定义、性质和应用，并强调学生在实际问题中的运用能力。
评估反馈：10. 针对学生的学习情况，布置相应的作业，并在下节课进行检查和评估。
教学延伸：11. 鼓励学生自主学习和探究，推荐相关的在线学习资源和参考书籍。
教学辅助：12. 使用教学PPT或其他教学辅助材料，图示和示意图能够帮助学生更好地理解和记忆。
教学方式：13. 以讲解、演示、练习和讨论相结合的方式进行教学，注重学生的参与和互动。
教学时间：14. 根据教学内容和学生的学习进度，合理安排教学时间，保证学生的学习效果。
教学评估：15. 在教学过程中，及时观察学生的学习情况，通过课堂练习和问题解答等方式进行评估，及时调整教学策略。
(完整)《任意角的三角函数》教学设计
《任意角的三角函数（第一课时）》教学设计任意角的三角函数（1）一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1。
2.1任意角的三角函数第一课时。
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。
在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。
《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义.在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。
二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。
所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准）的教学设计就很值得思考探索。
如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。
第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。
根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
人教版A高中数学必修第一册5.2.1 三角函数的概念 教学设计(1)
5.2.1 三角函数的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第五章《三角函数》,本节课是第3课时,这是节关于任意角的三角函数的概念课.三角函数是高中范围内继指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,是函数的一个下位概念,与指对数函数、幂函数属于同一抽象( 概括)层次。
它是一种重要的基本初等函数,是解决实际问题的重要工具,也是学习数学中其他知识内容的基础。
在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。
在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数,此时它与三角形已经没有什么关系了。
任意角的三角函数是研究一个实数集( 角的弧度数构成的集合)到另一个实数集( 角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。
认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。
本节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的概念是本节课的重点,能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键。
A.借助单位圆理解任意角三角函数的定义;B.根据定义认识函数值的符号,理解诱导公式一;C.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题;D.体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结1.教学重点:任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义;2.教学难点:任意角的三角函数概念的建构过程。
多媒体一、复习回顾,温故知新 1. 1弧度角的定义【答案】等于半径长的圆弧所对的圆心角 2. 角度制与弧度制的换算:【答案】︒︒︒≈==30.571801180）（弧度，ππ3. 关于扇形的公式【答案】.21)3(;21)2(;12lR S R S R l ===αα）（ 4.在初中我们是如何定义锐角三角函数的? 【答案】.tan ,cos ,sin abc a c b ===ααα二、探索新知探究一.角α的始边在x 轴非负半轴,终边与单位圆交于点P 。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案一、教学目标1、了解任意角的概念及其特点。
2、掌握任意角的三角函数的定义及其性质。
3、能够运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题。
二、教学重点与难点1、任意角的概念及其特点。
2、任意角的三角函数的定义及其性质。
三、教学准备1、教材：《数学教材》2、教具：黑板、粉笔等。
四、教学过程（一）任意角的概念及其特点（10分钟）1、引入：同学们，我们之前学过的三角函数是在直角三角形中定义的，那么在直角以外的三角形中，是否可以定义三角函数呢？请看下面的图形。
2、呈现：通过黑板上画出一般三角形，告诉同学们这样的三角形中可以定义任意角。
3、引导：我们称这样的角为任意角，那么任意角有什么特点呢？4、总结：任意角的特点是：角度大小可以是任意的，不限于某个固定角度。
（二）任意角的三角函数的定义及其性质（20分钟）1、引入：同学们，我们知道在直角三角形中，三角函数是通过三角比来定义的。
那么在任意角中，我们应该如何定义三角函数呢？2、定义：通过黑板上画出一个一般的任意角，引导同学们回忆起直角三角形中的正弦、余弦、正切三角比的定义，告诉同学们这些三角比的定义可以推广到任意角中。
3、总结：定义任意角的三角函数如下：正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ等。
4、性质：通过黑板上列举一些性质，告诉同学们这些性质与直角三角形中的三角函数性质相似，但是要根据勾股定理和正负分区来进行判断。
5、示例：通过黑板上画出一些示例题，引导同学们运用任意角的三角函数定义和性质进行计算。
（三）运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题（40分钟）1、引入：同学们，任意角的三角函数不仅可以用来计算角度大小，还可以用来解决与实际问题相关的应用题。
请看下面的例子。
2、示例：通过黑板上列举一些实际问题相关的计算和应用题，引导同学们运用任意角的三角函数来解决这些问题。
3、练习：同学们进行课堂练习，通过黑板上列举一些练习题，让同学们在课堂上进行解答。
“任意角三角函数的概念”教学设计
“任意角三角函数的概念”教学设计一．内容和内容解析三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础．角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果．比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便．从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念．任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数．任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域．任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义．在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法．二．目标和目标解析本节课的目标是，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．学生已经学习过锐角三角函数sinα，cosα，tanα，了解三角函数是直角三角形中边长的比值，这个比值仅与锐角的大小有关，是随着锐角取值的变化而变化的，其值是惟一确定的，等函数的要素．这是任意角三角函数概念的“生长点”．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义的关键是由锐角三角函数这个线段长度的比值扩展为点的坐标或坐标的比值．因此，对锐角三角函数理解得怎样，对理解任意角三角函数有决定意义，复习锐角三角函数，加深对锐角三角函数的理解是必要的．要实现让学生“理解”任意角三角函数定义的教学目标，莫过于让学生参与任意角三角函数定义的过程．让学生感受到因角的概念的扩展，锐角三角函数概念扩展的必要性，任意角三角函数是锐角三角函数概念的自然延伸．反过来，既然锐角集合是任意角集合的子集，那么，锐角三角函数也应该是任意角三角函数的特殊情况，是一个包含关系．让学生参与定义，可以感受到这样定义的合理性，感受到这个定义是自然的．三．教学问题诊断分析从锐角三角函数到任意角三角函数的学习，从认知结构发展的角度来说，是属于“下、上位关系学习”，是一个从特殊到一般的过程，“先行组织者”是锐角三角函数的概念．教学策略上先复习包容性小、抽象概括程度低的锐角三角函数的概念，然后让学生“再创造”抽象程度高的上位概念（参与定义），并形成新的认知结构，让原有的锐角三角函数的概念类属于抽象程度更高的任意角三角函数的概念之中．学生过去在直角三角形中研究过锐角三角函数，这对研究任意角三角函数在认识上会有一定的局限性，所以学生在用角的终边上的点的坐标来研究三角函数可能会有一定的困难．可以让学生在原有的对锐角三角函数的几何认识的基础上，尝试让学生建立用终边上的点的坐标定义任意角三角函数，或者尝试用终边上的点的坐标定义锐角三角函数，然后再定义任意角的三角函数．教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集）．因为学生刚刚接触弧度制，未必能理解“把角的集合与实数集建立一一对应”到底是为了什么．可以在复习锐角三角函数时，把锐角说成区间（0，π2）内的角，以便分散这个难点． 四．教学支持条件分析利用几何画板软件，可以动态改变角的终边位置，从而改变角的终边上点的坐标大小的特点，便于学生认识任意角的位置的改变，所对应的三角函数值也改变的特点，感受函数的本质；感受终边相同的角具有相同的三角函数值；也便于观察各三角函数在各象限中符号的变化情况，加深对任意角三角函数概念的理解，增强教学效果．五．教学过程设计1．理解锐角三角函数要理解任意角三角函数首先要理解锐角三角函数．锐角三角函数是任意角三角函数的先行组织者．问题1 任意画一个锐角α，借助三角板，找出sin α，cos α，tan α的近似值．教师用几何画板任意画一个锐角．要求学生自己任意也画一个锐角，利用手中的三角板画直角三角形，度量角α的对边长、斜边长，计算比值．意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数的基础．突出：（1）与点的位置的选取无关；（2）是直角三角形中线段长度的比值．问题2 能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？意图：学生根据自己实际画图操作，以及计算比值的体验，会很快认为把斜边画成单位长比较方便，为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做铺垫．问题3 锐角三角函数sin α作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？ 意图：以便与后面的任意角三角函数的自变量是角（的弧度，对应一个实数），对应的函数值是α的终边与单位圆交点的纵坐标比较．锐角三角函数sin α作为一个函数，自变量是锐角．由于角的弧度值与实数可以一一对应，所以，α是（0，π2）上的实数．而与之对应的函数值sin α是线段长度的比值，是区间（0，1）上的实数．问题4 你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”意图：这个问题具有元认知提示的特点，引导学生勤于思考，逐步学会发现问题、提出问题、研究问题．三条边相互比，可以产生六个比．还有哪三个呢？再把已知的三个倒过来．2．任意角三角函数定义的“再创造”教师利用几何画板，把角α的顶点定义为原点，一边与x 轴的正半轴重合，转动另一条边，表现任意角．问题5 现在，角的范围扩大了．在直角坐标系中，使得角的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合．在这样的环境下，你认为，对于任意角α，sin α，cos α，tan α怎样来定义好呢？意图：可以打破知识结构的平衡，感受到学习新知识的必要性——角的范围扩大了，锐角三角函数也应该“与时俱进”，并不显得突然．把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程，发展思维．有两种可能的回答．可能一：在α的终边上任意画一点P （x ，y ），|OP |＝r ．sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x． 可能二：设角α的终边与单位圆的交点为P （x ，y ）．sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x． 不论出现可能一还是可能二，都再问：“都是这样的吗？”引导学生议论，以确认两种定义方法的一致性、各自特点．再问“你赞成哪一种？”，统一认识，建立任意角三角函数的定义．（板书）因为前面已经有引导，学生可能很快接受“可能二”．3．任意角三角函数的认识（对定义的体验）问题6（1）求下列三角函数值：sin270°，cos π，tan 7π6． 问题6（2） 说出几个使得cos α＝1的α的值．意图：通过定义的简单应用，把握定义的内涵．逐题给出，对于每一个答案，都要求学生说出“你是怎样得到的．”突出“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”的步骤．问题6（3） 指出下列函数值：sin π6； sin 13π6； sin （－11π6）． 意图：角的终边位置决定了三角函数值的大小．终边位置相同的角同一三角函数值相等．于是有sin （α＋2k π）＝sin α，cos （α＋2k π）＝cos α，tan （α＋2k π）＝tan α．（其中k ∈Z ）问题6（4）①确定下列三角函数的符号：cos250°； sin （－π4）； tan （－1030°）； sin1650°； tan （－9π4）； cos （11π4）． ②⎩⎨⎧cos θ＜0，tan θ＜0，θ在哪个象限？请说明理由．反过来呢？ ③角α的哪些三角函数值在第二、三象限都是负数？为什么？④tan α在哪些象限中取正数？为什么？意图：认识三角函数在各象限中的符号．问题7 做了这么多题，要反思．你是否发现了任意角三角函数的一些性质？还有些什么体会？意图：体验以后的概括，阶段小结．（1）抓住各三角函数的定义不放；（2）各象限中三角函数的符号特点，等．教师板书学生获得的成果、感受．4．任意角三角函数的定义域问题8 α是任意角，作为函数的sin α，cos α，tan α，它们的定义域分别是什么？意图：三角函数也是函数，自然应该关心它的定义域．建立了角的弧度制，角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系，因此，sin α，cosα的定义域是R ；tan α＝y x 中，x ≠0，于是tan α的定义域是{α|α≠π2＋k π，k ∈Z ，α∈R }． 仍然紧扣定义，并引导以弧度制表示它的定义域．5．练习（1）确定下列三角函数值的符号，并借助计算器计算：cos260°； sin （－π3）； tan （5π）． （2）求下列三角函数值：cos 17π4； tan （－23π6）； sin （1140°）． 6．小结问题9 下课后，你走出教室，如果有人问你：“过去你就学习过锐角三角函数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？”你怎么回答他？意图：通过问题小结．不追求面面俱到，突出锐角三角函数是三角形中，边长的比值，而任意角的三角函数是直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标，或者是坐标的比值．若时间允许，再问：“还有其他收获吗？”比如，终边相同的角的同一三角函数相等；各象限三角函数的符号；任意角三角函数的定义域，等．六．目标检测设计（1）α＝5π4，写出α的终边与单位圆交点的横坐标，并写出tan α的值． （2）求下列三角函数的值：cos （－23π6）； tan （25π6）． （3）角α的终边与单位圆的交点是Q ，点Q 的纵坐标是12，说出几个满足条件的角α． （4）点P （3，－4）在角α终边上，说出sin α，cos α，tan α分别是多少？。
任意角的三角函数的定义教案
教 案5.3.1任意角的三角函数的定义授课教师——王定洲教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别；3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
教学重点：1．掌握并理解任意角的三角函数的定义； 2．会运用任意角的三角函数的定义求函数值。
教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关； 教学方法：1．情境教学法；2．问题驱动教学法及小组讨论法。
教学用具：教学课件．多媒体、实物投影仪、教案、三角板等 教学过程： 一、复习引入（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。
这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。
初中阶段我们学习了锐角的三角函数。
【问题1】在Rt △ABC 中，sin α=斜边的对边角α= 、cos α=斜边的邻边角α= 、tan α=的邻边角的对边角αα= ．【问题2】如图，在Rt △ABC 中，求sin α,cos α,tan α。
（学生口答）sin α= cos α=tan α=4535443AB Ca bcB二、动脑思考，探索新知（情境2）我们已经把锐角推广到任意角，锐角三角函数的概念也能推广到任意角。
那么我们应如何来给任意角的三角函数下定义呢将Rt△ABC放在直角坐标系中，使得点A与__________重合，AC边在_______上．设点P（即顶点）的坐标为（x,y）,r为角终边上的点P到_______的距离，则r=________.于是，上面的三角函数的定义可以写作：sinα=、cosα=、tanα=．设α是任意大小的角，点(,)P x y为角α的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为r＝，那么角α的正弦、余弦、正切分别定义为sinyrα=；cosxrα=；tanyxα=．提问：1、当角大小发生变化时，比值会改变吗2、比值会随着点P在终边上的位置改变而改变吗一般地，在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．由定义可以看出：当角α的终边在y轴上时，ππ()2k kα=+∈Z，终边上任意一点的横坐标x的值都等于0，此时tan yxα=无意义．除此以外，对于每一个确定的角α，三个函数都有意义．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：三、例题分析例1 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求角α的正弦、余弦、正切值． 分析 已知角α终边上一点P 的坐标，求角α的某个三角函数值时，首先要根据关系式r =P 到坐标原点的距离r ，然后根据三角函数定义进行计算．解 因为2x =，3y =-，所以r ，因此siny r α==， cos x r α=== 3tan 2y x α==-． 例2求角2π的正弦、余弦和正切值； 解：由三角函数定义得： 当α=2π时sin y r α==1 cos x r α==0； tan yxα=不存在． 四、运用知识 强化练习1.已知角α的终边上的点P 的坐标如下，分别求出角α的正弦、余弦、正切值： ⑴ ()3,4P -； ⑵ ()1,2P -；2.求下列各角的正弦、余弦和正切值； （1）π （2）32π五、课堂小结：通过本课学习，你有哪些收获1.任意角的三角函数的定义；2.知道角的弧度制，并会求该角的三角函数;3.任意角的三角函数值与终边上点的位置无关，只与角的大小和终边的位置有关；4.正弦函数，余弦函数，正切函数的定义域。
任意角的三角函数的定义教案
任意角的三角函数的定义教案.doc（教学目标）：通过本课的学习，能够深入理解任意角的三角函数的定义，能够准确地掌握三角函数的基本性质和应用，提高数学思维能力，探索数学规律。
（教学重点）：深入理解任意角的三角函数的定义，能够灵活运用三角函数的基本性质和应用。
（教学难点）：任意角的三角函数的应用。
（教学方法）：课前探究、教师讲解、学生自主学习、合作学习、综合应用。
（教学过程）一、课前探究（10分钟）1、学生自主思考，运用已经学习的知识，谈一谈对任意角的概念的理解。
2、教师带领学生讨论，任意角和普通角有何不同。
二、任意角的三角函数的定义（20分钟）1、幻灯片呈现，教师带领学生看图说一说，对反正切函数进行解释。
2、学生自主学习，掌握任意角的三角函数的定义。
3、通过教师演示和学生自主尝试，能够掌握任意角三角函数的性质和应用。
三、任意角三角函数的性质和应用（40分钟）1、教师讲解任意角三角函数的性质，强调其和角度符号的关系。
2、学生自主演练，掌握任意角三角函数的计算方法和应用技巧。
3、课堂练习，提高学生的综合应用能力。
四、达成共识（10分钟）1、教师总结本堂课所学的内容，强调认真对待数学学习，勤于思考、探究，并且在课余时间进行巩固复习。
2、学生回答问题，提出自己的观点和建议。
（教学反思）：本节课旨在深入理解任意角的三角函数的定义，提高学生的数学思维能力和综合应用能力。
教师通过讲解和学生自主学习相结合，提高课堂效果，也鼓励学生自己去探究问题，积极思考，提高自己的学习效果。
在日后的数学学习中，希望学生们能够继续努力，不断提高自己的数学水平。
高中数学 任意角的三角函数教案 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案
任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； 〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符号；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解 例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1． 作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评 例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． 〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。
三角函数的概念教案
三角函数的概念【第1课时】三角函数的概念【教学目标】【核心素养】1．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．（重点、难点）2．掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）在各象限的符号．（易错点）3．掌握公式——并会应用．1．通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升数学运算素养．【教学过程】一、新知初探1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义（1）条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R 它的终边与单位圆交于点P （x ，y ），那么：（2）结论①y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x ；③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx（x ≠0）．（3）总结yx＝tan α（x ≠0）是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin αR cos αRtanα|x≠kπ＋π2，k∈Z 4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号（1）图示：（2）口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．5．公式一二、初试身手1．sin（－315°）的值是（）A．－22B．－12C．22D．12答案：C解析：sin（－315°）＝sin（－360°＋45°）＝sin45°＝2 2．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：B解析：由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．3．sin253＝________．答案：3 2解析：sin 253＝sinπ3＝32．4．角α终边与单位圆相交于点cosα＋sinα的值为________．答案：3＋1 2解析：cosα＝x＝32，sinα＝y＝12，故cosα＋sinα＝3＋1 2．三、合作探究三角函数的定义及应用类型1探究问题1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为（x，y），它与原点的距离为r，则sinα，cosα，tanα为何值？提示：sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx（x≠0）．2．sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sinα，cosα，tanα的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．例1：（1）已知角θ的终边上有一点P（x，3）（x≠0），且cosθ＝1010x，则sinθ＋tanθ的值为________．（2）已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．思路点拨：（1）依据余弦函数定义列方程求x→依据正弦、正切函数定义求sinθ＋tanθ（2）判断角α的终边位置→分类讨论求sinα，cosα，tanα（1）310＋3010或310－3010因为r＝x2＋9，cosθ＝x r，所以1010x＝xx2＋9．又x≠0，所以x＝±1，所以r＝10．又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝3，则sinθ＋tanθ＝310＋3010．当θ为第二象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝－3，则sin θ＋tan θ＝310－3010．（2）解：直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点（－1，3），则r ＝（－1）2＋（3）2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点（1，－3），则r ＝12＋（－3）2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－3．母题探究1．将本例（2）的条件“3x ＋y ＝0”改为“y ＝2x ”其他条件不变，结果又如何？解：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P （1，2），由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2．当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q （－1，－2），由r ＝|OQ |＝（－1）2＋（－2）2＝5，得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2．2．将本例（2）的条件“落在直线3x ＋y ＝0上”改为“过点P （－3a ，4a ）（a ≠0）”，求2sin α＋cos α．解：因为r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |，①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1．②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1．规律方法由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：（1）已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r>0）．则sinα＝yr，cosα＝xr．已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．三角函数值符号的运用类型2例2：（1）已知点P（tanα，cosα）在第四象限，则角α终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）判断下列各式的符号：①sin145°cos（－210°）；②sin3cos4tan5．思路点拨：（1）先判断tanα，cosα的符号，再判断角α终边在第几象限．（2）先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．答案：（1）C解析：因为点P α>0，α<0，由此可判断角α终边在第三象限．（2）解：①∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos（－210°）＜0，∴sin145°cos（－210°）＜0．②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0．规律方法判断三角函数值在各象限符号的攻略：1．基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2．关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3．注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．跟踪训练1．已知角α的终边过点（3a－9，a＋2）且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．答案：－2＜a≤3解析：因为cosα≤0，sinα＞0，所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过（3a－9，a＋2），－9≤0，＋2＞0，所以－2＜a≤3．2．设角α是第三象限角，且|sinα2|＝－sinα2，则角α2是第________象限角．答案：四解析：角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角，∵|sinα2|＝－sinα2，∴角α2诱导公式一的应用类型3例3：求值：（1）tan405°－sin450°＋cos750°；（2）sin7π3cos13π3．解：（1）原式＝tan（360°＋45°）－sin（360°＋90°）＋cos（2×360°＋30°）＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32．（2）原式＝44＝sinπ3cosπ6＋tanπ4cosπ3＝32×32＋1×12＝54．规律方法利用诱导公式一进行化简求值的步骤1．定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π，k∈Z]．2．转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．3．求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．跟踪训练3．化简下列各式：（1）a2sin（－1350°）＋b2tan405°－2ab cos（－1080°）；（2）cos 125π·tan4π．解：（1）原式＝a2sin（－4×360°＋90°）＋b2tan（360°＋45°）－2ab cos（－3×360°）＝a2sin90°＋b2tan45°－2ab cos0°＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2．（2）－116πcos125π·tan4π＝2cos25π·tan0＝sinπ6＋0＝12．四、课堂小结1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．五、课堂达标1．思考辨析（1）sinα表示sin与α的乘积．（）（2）设角α终边上的点P（x，y），r＝|OP|≠0，则sinα＝yr，且y越大，sinα的值越大．（）（3）终边相同的角的同一三角函数值相等．（）（4）终边落在y轴上的角的正切函数值为0．（）提示：（1）错误．sinα表示角α的正弦值，是一个“整体”．（2）错误．由任意角的正弦函数的定义知，sinα＝yr．但y变化时，sinα是定值．（3）正确．（4）错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．答案：（1）×（2）×（3）√（4）×2．已知角α终边过点P（1，－1），则tanα的值为（）A．1B．－1C．22D．－22答案：B解析：由三角函数定义知tanα＝－11＝－1．3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sinα＝15，则sinβ＝________．答案：－1 5解析：设角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），则角β的终边与单位圆相交于点Q（x，－y），由题意知y＝sinα＝15，所以sinβ＝－y＝－15．4．求值：（1）sin180°＋cos90°＋tan0°．（2）cos 25π3＋解：（1）sin180°＋cos90°＋tan0°＝0＋0＋0＝0．（2）cos25π3＋＝4＝cos π3＋tanπ4＝12＋1＝32．【第2课时】同角三角函数的基本关系【教学目标】【核心素养】1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．（重点）1．通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．（难点）2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养．【教学过程】一、新知初探1．平方关系（1）公式：sin 2α＋cos 2α＝1．（2）语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1．2．商数关系（1）公式：sin αcos α＝tan α（α≠k π＋π2，k ∈Z ）．（2）语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．思考：对任意的角α，sin 22α＋cos 22α＝1是否成立？提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．二、初试身手1．化简1－sin23π5的结果是（）A ．cos3π5B ．sin3π5C ．－cos3π5D ．－sin 3π5答案：C解析：因为3π5是第二象限角，所以cos3π5＜0，所以1－sin23π5＝cos23π5＝|cos 3π5|＝－cos3π5．2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是（）A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin2αC ．sin α＝－1－cos2αD ．tan α＝cos αsin α答案：B解析：由商数关系可知A ，D 均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B 正确．3．若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝________．答案：－43解析：因为α为第四象限角，且cos α＝35，所以sin α＝－1－cos2α＝－＝－45，所以tan α＝sin αcosα＝－43．三、合作探究直接应用同角三角函数关系求值类型1例1：（1）已知αtan α＝2，则cos α＝________．（2）已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．思路点拨：（1）根据tan α＝2和sin 2α＋cos 2α＝1列方程组求cos α．（2）先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α．答案：（1）－552，①cos2α＝1，②由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，又αcos α＜0，所以cos α＝－55．（2）解：∵cos α＝－817＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos2α＝＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158．如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos2α＝－1517，tan α＝158．规律方法利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：1．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．2．若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．跟踪训练1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．解：∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α．又sin 2α＋cos 2α＝1，∴（－3cos α）2＋cos 2α＝1，即10cos 2α＝1，∴cos α＝±1010．又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010；当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010．灵活应用同角三角函数关系式求值类型2例2：（1）已知sinα＋cosα＝713，α∈（0，π），则tanα＝________．（2）已知sinα＋cosαsinα－cosα＝2，计算下列各式的值．①3sinα－cosα2sinα＋3cosα；②sin2α－2sinαcosα＋1．思路点拨：（1）法一：求sinαcosα→求sinα－cosα→求sinα和cosα→求tanα法二：求sinαcosα→弦化切构建关于tanα的方程→求tanα（2）求tanα→换元或弦化切求值答案：（1）－12 5解析：法一：（构建方程组）因为sinα＋cosα＝7 13，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝49 169，即2sinαcosα＝－120 169．因为α∈（0，π），所以sinα＞0，cosα＜0．所以sinα－cosα＝（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝17 13．②由①②解得sinα＝1213，cosα＝－513，所以tanα＝sinαcosα＝－125．法二：（弦化切）同法一求出sinαcosα＝－60169，sinαcosαsin2α＋cos2α＝－60169，tanαtan2α＋1＝－60169，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－512或tanα＝－125．由sinα＋cosα＝713＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－125．（2）解：由sinα＋cosαsinα－cosα＝2，化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3．①法一（换元）原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89．法二（弦化切）原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89．②原式＝sin2α－2sin αcos αsin2α＋cos2α1＝tan2α－2tan αtan2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310．母题探究1．将本例（1）条件“α∈（0，π）”改为“α∈（－π，0）”其他条件不变，结果又如何？解：由例（1）求出2sin αcos α＝－120169，因为α∈（－π，0），所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＝－（sin α－cos α）2＝－1－2sin αcos α＝－1713．与sin α＋cos α＝713联立解得sin α＝－513，cos α＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－512．2．将本例（1）的条件“sin α＋cos α＝713”改为“sin α·cos α＝－18”其他条件不变，求cos α－sin α．解：因为sin αcos α＝－18＜0，所以αcos α－sin α＜0，cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－＝－52．规律方法1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α．2．已知tan α＝m ，求关于sin α，cos α的齐次式的值解决这类问题需注意以下两点：（1）一定是关于sin α，cos α的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；（2）因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值．提醒：求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．应用同角三角函数关系式化简类型3例3：（1）化简2sin2α－11－2cos2α＝________．（2）化简sinα1－cosα·tanα－sinαtanα＋sinα．（其中α是第三象限角）思路点拨：（1）将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．（2）首先将tanα化为sinαcosα，然后化简根式，最后约分．答案：（1）1原式＝2sin2α－11－21－sin2α＝2sin2α－12sin2α－1＝1．（2）解：原式＝sinα1－cosα·sinαcosα－sinαsinαcosα＋sinα＝sinα1－cosα·1－cosα1＋cosα＝sinα1－cosα·（1－cosα）21－cos2α＝sinα1－cosα·1－cosα|sinα|．又因为α是第三象限角，所以sinα＜0．所以原式＝sinα1－cosα·1－cosα－sinα＝－1．规律方法三角函数式化简的常用方法1．化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．2．对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．3．对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．跟踪训练2．化简tanα1sin2α－1，其中α是第二象限角．解：因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0．故tanα1sin2α－1＝tanα1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosα|cosαsinα|＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1．应用同角三角函数关系式证明类型4探究问题1．证明三角恒等式常用哪些方法？提示：（1）从右证到左．（2）从左证到右．（3）证明左右归一．（4）变更命题法．如：欲证明MN＝PQ，则可证MQ＝NP，或证QN＝PM等．2．在证明1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα＝sinα＋cosα时如何巧用“1”的代换．提示：在求证1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα＝sinα＋cosα时，观察等式左边有2sinαcosα，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，所以等式左边＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝sinα＋cosα2＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝sinα＋cosαsinα＋cosα＋1sinα＋cosα＋1＝sinα＋cosα＝右边．例4：求证：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα．思路点拨：解答本题可由关系式tanα＝sinαcosα将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．证明：法一：（切化弦）左边＝sin2αsinα－sinαcosα＝sinα1－cosα，右边＝sinα＋sinαcosαsin2α＝1＋cosαsinα．因为sin2α＝1－cos2α＝（1＋cosα）（1－cosα），所以sinα1－cosα＝1＋cosαsinα，所以左边＝右边．所以原等式成立．法二：（由右至左）因为右边＝tan2α－sin2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α－tan2αcos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α1－cos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2αsin2αtanα－sinαtanαsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边，所以原等式成立．规律方法1．证明恒等式常用的思路是：（1）从一边证到另一边，一般由繁到简；（2）左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；（3）比较法（作差，作比法）．2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：（1）巧用“1”的代换；（2）化切为弦；（3）多项式运算技巧的应用（分解因式）．提醒：解决此类问题要有整体代换思想．跟踪训练3．求证：（1）sinα－cosα＋1sinα＋cosα－1＝1＋sinαcosα（2）2（sin6θ＋cos6θ）－3（sin4θ＋cos4θ）＋1＝0．证明：（1）左边＝sinα－cosα＋1sinα＋cosα＋1 sinα＋cosα－1sinα＋cosα＋1＝（sin α＋1）2－cos2α（sin α＋cos α）2－1＝（sin2α＋2sin α＋1）－（1－sin2α）sin2α＋cos2α＋2sin αcos α－1＝2sin2α＋2sin α1＋2sin αcos α－1＝2sin α（sin α＋1）2sin αcos α＝1＋sin αcos α＝右边，∴原等式成立．（2）左边＝2[（sin 2θ）3＋（cos 2θ）3]－3（sin 4θ＋cos 4θ）＋1＝2（sin 2θ＋cos 2θ）（sin 4θ－sin 2θcos 2θ＋cos 4θ）－3（sin 4θ＋cos 4θ）＋1＝（2sin 4θ－2sin 2θcos 2θ＋2cos 4θ）－（3sin 4θ＋3cos 4θ）＋1＝－（sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ）＋1＝－（sin 2θ＋cos 2θ）2＋1＝－1＋1＝0＝右边，∴原等式成立．四、课堂小结五、当堂达标1．思考辨析（1）对任意角α，sin α2cos α2＝tan α2都成立．（）（2）因为sin 294π＋cos 2π4＝1，所以sin 2α＋cos 2β＝1成立，其中α，β为任意角．（）（3）对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立．（）提示：由同角三角函数的基本关系知（2）错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以（1）错，（3）错．答案：（1）×（2）×（3）×2．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin2α－cos2α的值是（）A ．43B ．3C ．－43D ．－3答案：A解析：因为tan α＝－12，所以2sin αcos αsin2α－cos2α＝2tan αtan2α－1＝－1＝43．3．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________．答案：－255解析：因为sin αcos α＝－12，且sin 2α＋cos 2α＝1，又因为α是第二象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－255．4．（1）化简sin2α－sin4α，其中α是第二象限角．（2）求证：1＋tan 2α＝1cos2α．解：（1）因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0，所以sin2α－sin4α＝sin2α（1－sin2α）＝sin2αcos2α＝－sin αcos α．（2）证明：1＋tan 2α＝1＋sin2αcos2α＝cos2α＋sin2αcos2α＝1cos2α．。
任意角的三角函数(教案)
任意角的三角函数(教案)一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学必修一的第四章第一节，主要内容包括任意角的三角函数的定义、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。
二、教学目标1. 让学生理解任意角的三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。
2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、探究学习的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解和应用。
2. 教学重点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的掌握。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室的布置，找出角的度量单位，引出角的概念。
2. 任意角的三角函数的定义：通过多媒体展示正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，让学生理解并掌握它们的定义。
4. 例题讲解：出示例题，让学生独立解答，然后讲解答案，讲解过程中强调解题思路和方法。
5. 随堂练习：出示随堂练习题，让学生独立完成，然后批改并讲解答案。
8. 布置作业：布置相关的作业题目，让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 任意角的三角函数的定义2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质七、作业设计1. 题目：已知一个角的度数为30°，求它的正弦值、余弦值和正切值。
答案：正弦值：1/2余弦值：√3/2正切值：√3/32. 题目：画出角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。
答案：见附图。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学过程中，学生对任意角的三角函数的定义掌握较好，但在正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解上还有待加强。
2. 拓展延伸：让学生研究任意角的三角函数在实际问题中的应用，如测量大树的高度、计算物体在斜面上的速度等。
重点和难点解析一、任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义是本节课的核心内容，学生需要理解并掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案1一、教学目标1、掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的.定义。
2、经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程、领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验。
3、培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观。
4、培养学生求真务实、实事求是的科学态度。
二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法。
难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数。
关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化)。
三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学。
四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域、现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域。
5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念
5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念一、教材分析1．教材的地位和作用：本节课是《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》的第一课时，在此之前，学生已经学过“锐角三角函数”的相关知识以及“角的推广”，现在学习本节课是一个“从特殊到一般”的学习过程，学好此知识也为接下来学习“同角三角函数的基本关系”打好扎实的基础，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。
另外三角函数知识在物理学、天文学、测量学、模具数控加工等领域均有重要的应用，因此它在现实生活中起着服务专业的作用。
2.学情分析及教材处理：本人所授课的班级为2012级数控专业班的学生，他们优点是思维形象直观，对专业兴趣浓厚，而且他们即将学习的数控专业知识中需要用到三角函数知识。
针对学生的优点，我对教材进行了适当的调整处理：○1增加信息化在教学中的运用，优化教师课堂教学，激发学生学习兴趣。
○2增加解决专业问题的实例，满足学生专业学习需求，体现数学的实用性。
不过中职学生也有自身的不足，那就是深入思考能力欠缺，计算能力比较薄弱。
针对学生的不足，我简化了定义的推导，强化了知识的应用。
同时让学生小组互助合作，借助计算器求值计算。
3．教学目标：➢知识目标：理解任意角三角函数的定义，能熟练运用相关知识解决实际问题。
➢能力目标：培养学生观察分析、探索归纳、解决问题的能力，提高学生信息素养。
➢情感目标：在学习中培养学生互教互学的合作精神，同时让学生感悟数学的实用性。
4．教学重点：任意角三角函数的定义。
5．教学难点：任意角三角函数定义在现实生活中的灵活应用。
二、教法、学法：在教学中，以数学家弗赖登塔尔的“数学现实”理论为指导，借助信息化手段辅助教学。
首先通过教师的动画演示，学生的观察思考，联系专业引入新课。
然后经过教师的启发诱导和学生的讨论交流，探究定义。
接着通过教师示范讲授例题，学生小组合作练习，巩固新知识。
最后通过教师的精讲点拨和学生的自主探究，将数学知识服务于专业。
任意角的三角函数,(第一课时)教案
第一章基本初等函数（Ⅱ）1．2 任意角的三角函数第一教案――――――――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时任意角的三角函数（一）【教学目标】1、知识目标（1）借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；（3）根据定义理解公式一；2．能力目标能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
3、情感目标让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，培养合情猜测能力。
【重点难点】1、重点任意角的三角函数的定义。
2、难点用角的终边上的点刻画三角函数。
案例（一）教学过程教学过程1、观察投影片，思考问题：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？”教师——请同学们把给定锐角α放在直角坐标系中，研究其正弦、余弦、正切，并给出投影，图1.2－1。
学生——观察图1.2－1，在锐角的终边上任取一点P （a,b ）,根据锐角三角函数的定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切。
教师——提出探究性问题：锐角三角函数的这些坐标表示，形式上与点P 的坐标值有关，点P 的位置不同，表示式中的a,b 也就不同，但实际上，作为锐角三角函数的值与终边上点P 的位置选择有关吗？请同学交流、讨论。
学生——利用相似三角形知识，不难探究出αααtan ,cos ,sin 的值与点P 的位置选择无关的结论。
师生——由此，师生达成共识：为了表示角α的三角函数值，可在α的终边上取一个“比较好”的特殊点。
同学们认为哪个点比较好？（发表各自的观点，说明理由）最后得出，将α的终边与单位圆的交点作为这个特殊点来表示锐角三角函数的值比较好，形式简单！2、任意角的三角函数的定义。
教师——到目前为止，我们在角和函数方面做了两个方面的工作，一是推广了角的概念，一是给出了锐角三角函数的坐标表示，那么，将这两个工作成果结合起来，你能给任意角定义各三角函数吗？请交流讨论给出你们的关点。
《任意角的三角函数》教案
《任意角三角函数》教案教学目标：知识与技能目标：1、理解任意角的三角函数的定义；2、根据三角函数的定义，求出三角函数值；3、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。
过程与方法目标：1、通过参与任意角的三角函数的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，以及数形结合思想，培养观察、分析、 探索、归纳、类比及解决问题的能力；2、通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程，体会从特殊到 一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：在探索任意角的三角函数的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神。
教学重点：任意角的三角函数的定义，会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。
教学难点：三角函数值在各象限的符号；已知三角函数值来判断角的象限. 教具准备：直尺、多媒体课件教学方法：启发式、讲授法、练习法教学过程一、情景设置:问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP 中，∠A 是直角，那么问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？ (学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为（x ，y ），那么22||y x OP +=，于是问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P 有何关系？这说明三角函数值的决定量是什么？学生互动：锐角α的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P 的位置无关， 可以利用相似三角形证明.教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，仅与角α有关.问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角α，比值xyr x r y ,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角α的OA Pα OA P αxy O A P α xyM N函数.问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。
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*运用知识 强化练习 ： 1.已知角 的终边上的点 P 的坐标如下，分别求出角 的正弦、余弦、正切值： ⑴ P 3, 4 ； ⑵ P 1, 2 ；
1 3． ⑶ P 2 , 2
cos x ； r tan y ． x
提问：1、当角大小发生变化时，比值会改变吗？ 2、比值会随着点 P 在终边上的位置改变而改变吗？ 说明 在比值存在的情况下，对角 的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角 的正 弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角 为自变量的函数， 分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数． 由定义可以看出：当角 的终边在 y 轴上时， kπ (k Z) ，终边上任意一点的 横坐标 x 的值都等于 0，此时 tan 个函数都有意义． 三角函数的定义域： 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示： 三角函数 定义域 R R ｛ ︱ kπ , k Z ｝
sin
;（三角形内角和定理） （勾股定理） ，sin ＝ ， cos ＝ , tan ＝ ; ; .
P(x,y) (B)
角的对边 ＝ 斜边 角的邻边 ＝ 斜边 角的对边 ＝ 角的邻边 B
c
cos
tan
y
r a
y
x M(C) c 2.在直角三角形中，求 30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。 o 角的度数 30° 45° 60°s A b C O (A) x
作业： 1、已知角 的终边上的点 P 的座标如下，分别求出角 的正弦、余弦、正切值： ⑴P(0.5,-0.4)；
1 2 )； ⑵( P( , 2 2
2 1 ，） ，则 tan 的值是多少？ 2 2
2、已知角 的终边经过点（
3
4
π 2 y 无意义．除此以外，对于每一个确定的角 ，三 x π 2
sin
cos
tan
2
当角 采用弧度制时，角 的取值集合与实数集 R 之间具有一一对应的关系，所 以三角函数是以实数 为自变量的函数． *巩固知识 典型例题 例 1 已知角 的终边经过点 P(2, 3) ，求角 的正弦、余弦、正切值． 分析 已知角 终边上一点 P 的坐标，求角 的某个三角函数值时，首先要根据关系式
sin
、
cos
、
tan
．
y P(x,y) r M O
*动脑思考 探索新知 概念 设 是任意大小的角，点 P( x, y) 为角 的终边 上的任意一点（不与原点重合） ，点 P 到原点的距 离为 r＝
sin y ； r
x
，那么角 的正弦、余弦、正切分别定义为
5.3.1 任意 角的三角函 课题 主备人 梁瑞红 修改人 赵志慧 时间 3.19 数的概念 （一） 学习目标： 1.复习直角三角形中的三角函数的定义，熟记 30°、45°、60°角的正弦、余弦、正 切值。 2. 学习任意角的三角函数的概念，会用三角函数定义求任意角的三角函数值； 3..培养学生的观察能力和培养学生的计算能力. 学习重点：任意角的三角函数的概念 学习过程： *构建问题 探寻解决 问题 1.复习初中知识：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， 三内角关系：A＋B＋C＝ 三边关系：
角的弧度数 sin cos) ( a )
1
拓展：我们已经把锐角推广到任意角，锐角三角函数的概念也能推广到任意角吗？ 如何将上述的三角形放入直角坐标系中？（请同学们自学教材 P102） 将 Rt△ABC 放在直角坐标系中，使得点 A 与__________重合，AC 边在_______上． 设点 P （即顶点） 的坐标为 （x,y） ,r 为角终边上的点 P 到_______的距离， 则 r=________. 于是，上面的三角函数的定义可以写作：