线性代数知识点归纳同济第五版

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线性代数复习要点

第一部分 行列式

1. 排列的逆序数

2. 行列式按行(列)展开法则

3. 行列式的性质及行列式的计算

1. 行列式的计算:

① (定义法)12

1212

11

12121222()

121

2

()n n n

n n j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a D a a a a a a τ=

=

-∑

1

②(降阶法)行列式按行(列)展开定理:

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④ 若A B 与都是方阵(不必同阶),则

==()mn A O A A O

A B O B O B B O A A

A B B O B O

*==**=-1

例 计算

2-100-1

300001100-25

2-100

-1

30000110

-2

5

=2-1115735-13-25⋅=⨯= ⑤ 关于副对角线:

(1)

2

1121

21

1211

1()n n n

n

n n n n n n n a O a a a a a a a O

a O

---*

=

=-1

⑥ 范德蒙德行列式:()1

2

2

22

12

11

1112

n

i

j

n

j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111

例 计算行列式

⑦ a b -

型公式:1

[(1)]()n a b b b b a b b

a n

b a b b b a

b b b b

a

-=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法.

⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式,其中

n D ,1n D -,2n D -等结构相同,再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,

使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A

,恒有:1

(1)n

n

k n k

k k E A S λλ

λ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;

3. 证明

0A =的方法:

①、A A =-; ②、反证法;

③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值.

4. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij

ij ij M A A M ++=-=-

第二部分 矩阵

1. 矩阵的运算性质

2. 矩阵求逆

3. 矩阵的秩的性质

4. 矩阵方程的求解

1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212

n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

称为m n ⨯矩阵. 记作:()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯

① 同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等. ③ 矩阵运算

a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减).

b. 数与矩阵相乘:数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ,规定为()ij A a λλ=.

c. 矩阵与矩阵相乘:设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==, 其中

注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律, 即公式00AB BA

AB A ==⇒=或B=0

不成立.

a.

分块对角阵

11

11

2222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪

⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122n

n

n A A A ⎛⎫= ⎪⎝

b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量;

c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.

d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

④ 方阵的幂的性质:m n m n A A A +=, ()()m n mn A A =

⑤ 矩阵的转置:把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A .

a. 对称矩阵和反对称矩阵: A

T A A =.

A

T A A =-.

b. 分块矩阵的转置矩阵:T

T

T T

T A B A C C D B

D ⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⑥ 伴随矩阵: ()

11

21112222*12n T

n ij n

n

nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪

== ⎪ ⎪⎝⎭

,ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1

*n A A

-=, 1

1A A --=.

块对角阵

*

**A BA B AB ⎛⎫

⎛⎫=

⎪ ⎪⎝⎭⎝

*

(1)(1)mn mn A A B B

B A **⎛⎫

-⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆 0A ≠.

①伴随矩阵法 1A A A *

-= ○注: 1

a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪--⎝⎭

⎝⎭1 主换位

副变号

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