线性代数知识点归纳同济第五版
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线性代数复习要点
第一部分 行列式
1. 排列的逆序数
2. 行列式按行(列)展开法则
3. 行列式的性质及行列式的计算
1. 行列式的计算:
① (定义法)12
1212
11
12121222()
121
2
()n n n
n n j j j n j j nj j j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a τ=
=
-∑
1
②(降阶法)行列式按行(列)展开定理:
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④ 若A B 与都是方阵(不必同阶),则
==()mn A O A A O
A B O B O B B O A A
A B B O B O
*==**=-1
例 计算
2-100-1
300001100-25
解
2-100
-1
30000110
-2
5
=2-1115735-13-25⋅=⨯= ⑤ 关于副对角线:
(1)
2
1121
21
1211
1()n n n
n
n n n n n n n a O a a a a a a a O
a O
---*
=
=-1
⑥ 范德蒙德行列式:()1
2
2
22
12
11
1112
n
i
j
n
j i n
n n n n
x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111
例 计算行列式
⑦ a b -
型公式:1
[(1)]()n a b b b b a b b
a n
b a b b b a
b b b b
a
-=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法.
⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式,其中
n D ,1n D -,2n D -等结构相同,再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,
使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A
,恒有:1
(1)n
n
k n k
k k E A S λλ
λ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;
3. 证明
0A =的方法:
①、A A =-; ②、反证法;
③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值.
4. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij
ij ij M A A M ++=-=-
第二部分 矩阵
1. 矩阵的运算性质
2. 矩阵求逆
3. 矩阵的秩的性质
4. 矩阵方程的求解
1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212
n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
称为m n ⨯矩阵. 记作:()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯
① 同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等. ③ 矩阵运算
a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减).
b. 数与矩阵相乘:数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ,规定为()ij A a λλ=.
c. 矩阵与矩阵相乘:设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==, 其中
注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律, 即公式00AB BA
AB A ==⇒=或B=0
不成立.
a.
分块对角阵
相
乘
:
11
11
2222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122n
n
n A A A ⎛⎫= ⎪⎝
⎭
b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量;
c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.
d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
④ 方阵的幂的性质:m n m n A A A +=, ()()m n mn A A =
⑤ 矩阵的转置:把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A .
a. 对称矩阵和反对称矩阵: A
T A A =.
A
T A A =-.
b. 分块矩阵的转置矩阵:T
T
T T
T A B A C C D B
D ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⑥ 伴随矩阵: ()
11
21112222*12n T
n ij n
n
nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
,ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1
*n A A
-=, 1
1A A --=.
分
块对角阵
的
伴
随
矩
阵
:
*
**A BA B AB ⎛⎫
⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
*
(1)(1)mn mn A A B B
B A **⎛⎫
-⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆 0A ≠.
①伴随矩阵法 1A A A *
-= ○注: 1
a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭1 主换位
副变号