八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷中考真题汇编[解析版]

八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．

（1）求a，b的值；

（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，

①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；

②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．

【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可．

（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．

②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】

（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0

∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0

∴a＝﹣2，b＝4．

（2）①如图1中，

∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0）．

故答案为（4，0）．

②∵a＝﹣2，b＝4

∴OA＝2OB＝4

又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°

∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°

①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．

∴∠PCB＝∠BOA＝90°，

又∵∠APB＝45°，

∴∠BAP＝∠APB＝45°，

∴BA＝BP，

又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，

∴∠ABO＝∠BPC，

∴△ABO≌△BPC（AAS），

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，

∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，

∴P（4，2）．

②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．

∴∠PDA＝∠AOB＝90°，

又∵∠APB＝45°，

∴∠ABP＝∠APB＝45°，

∴AP＝AB，

又∵∠BAD+∠DAP＝90°，

∠DPA+∠DAP＝90°，

∴∠BAD＝∠DPA，

∴△BAO≌△APP（AAS），

∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，

∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，

∴P（2，﹣2）．

综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．已知,如图A 在x 轴负半轴上，B （0，-4），点E （-6,4）在射线BA 上，

(1) 求证：点A 为BE 的中点 (2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F 的坐标.

(3) 如图，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN=NB=MA ，点I 为△MON 的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI .

【答案】（1）证明见解析；（2）22(0,

)7

F ；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）过E 点作E

G ⊥x 轴于G ，根据B 、E 点的坐标，可证明△AEG ≌△ABO ，从而根据全等三角形的性质得证；

（2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，过D 作DK ⊥x 轴于K ，然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ，进而求出D 点的坐标，然后设F 坐标为（0，y ），根据S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD 可求出F 的坐标；

（3）连接MI 、NI ，根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ，从而得到

∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI ，作IS⊥OM 于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ，得到C △POQ 周长.

试题解析：（1

）过E 点作EG⊥x 轴于G ，

∵B （0，-4），E （-6,4），∴OB=EG=4，

在△AEG 和△ABO 中，

∵90EGA BOA EAG BAO EG BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△AEG ≌△ABO （AAS ），∴AE=AB

∴A 为BE 中点

（2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，

过D 作DK⊥x 轴于K ，

∵∠FEA=45°，∴AE=AD ，

∴可证△AEG≌△DAK，∴D（1,3），

设F （0，y ），

∵S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD ，

∴

()()()111347463222

y y +⨯=+⨯++ ∴227y = ∴220,7F ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

（3）连接MI 、NI

∵I为△MON内角平分线交点，∴NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，在△MIN和△MIA中，

∵

MN MA

NMI AMI

MI MI

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△MIN≌△MIA（SAS），

∴∠MIN=∠MIA，

同理可得∠MIN=∠NIB，

∵NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，∠MON=90°，

∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°，

∴∠AIB=135°×3-360°=45°，

连接OI，作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON，OI平分∠MON，

∴IH=IS=OH=OS，∠HIS=90°，∠HIP+∠QIS=45°，

在SM上截取SC=HP，可证△HIP≌△SIC，∴IP=IC，

∠HIP=∠SIC，∴∠QIC=45°，

可证△QIP≌△QIC，

∴PQ=QC=QS+HP，

∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.

3．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．

（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；

（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．