深圳南山区星河学校数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]

深圳南山区星河学校数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

1．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.

理解：

（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；

（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；

在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；

应用：

（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.

【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°

【解析】

【分析】

（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．

（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；

（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值；

【详解】

解：（1）∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠C ，

∵BD=BC=AD ，

∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ，

设∠A=∠ABD=x ，则∠BDC=2x ，∠C=°180-2

x 可得°180-22

x x = ∴x=36°

则∠A=36°；

（2）如图所示：

（3）如图所示：

①当AD=AE 时，

∵2x+x=27°+27°，

∴x=18°；

②当AD=DE 时，

∵27°+27°+2x+x=180°，

∴x=42°；

综上所述，∠C 为18°或42°的角．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.

(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；

(2)如图2，若点A 的坐标为()

23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不

变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-；（3）EN=

12

(EM-ON)，证明见详解. 【解析】

【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；

（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-.

（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出

∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12

(EM-ON).

【详解】

（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,

∴∠AQC=90°

,

∵ABC △为等腰直角三角形，

∴AC=AB,∠CAB=90°

, ∴∠QAC+∠OAB=90°,

∵∠QAC+∠ACQ=90°,

∴∠ACQ=∠BAO,

又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,

∴AQC BOA ≅(AAS),

∴CQ=AO,AQ=BO,

∵OA=2,OB=4,

∴CQ=2,AQ=4,

∴OQ=6,

∴C(-6,-2).

(2)如图（2）作DP ⊥OB 于点P ,

∴∠BPD=90°,

∵ABD △是等腰直角三角形，

∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,

∵∠OBD+∠BDP=90°,

∴∠ABO=∠BDP , 又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,

∴AOB BPD ≅

∴AO=BP ,

∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n,

∵A ()23,0-,

∴OA=3

∴m+n=23

∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23

∴整式2253m n +-3-

（3）()12

EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.