2011年厦门市高中毕业班第一次质量检查

2011年厦门市高中毕业班质量检查数学（文科）试卷一、选择题： 1．在复平面内，复数121ii+-对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点34(,)55-，则cos α的值为（ ）A ．45 B ．34- C ．45- D ．35- 3．下列命题中，真命题是（ ）A. 2,x R x x ∀∈≥ B ．命题“若1x =，则21x =”的逆命题C ．2,x R x x ∃∈≥D ．命题“若x y ≠，则sin sin x y ≠”的逆否命题4．已知2=，是单位向量，且与夹角为︒60，则()-⋅等于 （ ）A ．1B ．32-C ．3D ．34-5．已知等比数列{}n a 的公比2q =，其前4项和604=S ，则2a 等于 （ ） A ．8B ．6C ．—8D ．—66．双曲线1322=-my m x 的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是 ( ) A ．1 B ．1- C ．510-D ．5107．执行右边的程序框图，输出的S 等于 （ ） A ．43 B ．54 C ．65 D ．768．已知函数23(1),()23(1),x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨-++>⎪⎩()x x g 3=，这两个函数图象的交点个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α∥β，m ∥α，则m ∥β B ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α C ．若α⊥β，m ⊥β，则m ⊥α D ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β 10．将函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为（ ） A ．sin(2)14y x π=-+ B ．22cos y x =C ．22sin y x =D ．cos 2y x =-11．已知点),(y x P 满足条件0,,20y y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数，且k R ∈），若3z x y =+的最大值为8，则实数k 等于( ) A ．－6 B ．－16 C ． 6 D ．16 12．有如下四个函数，两个性质：①x x f sin )(=； ②12)(2-+=x x x f ； ③24)(3++-=x x x f ； ④12()log f x x =性质A ：存在不相等的实数1x 、2x ，使得)2(2)()(2121x x f x f x f +=+；性质B ：对任意1201x x <<<，总有()()12f x f x <.以上四个函数中同时满足性质A 和性质B 的函数个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题：13．函数()32f x x ax x =++在点()()1,1f 处的切线斜率为6，则实数a = ．14．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则抛物线方程为________ __．15．在半径为1的圆内一条直径AB 上任取一点M ，过点M 作垂直于直径AB 的弦，则弦长大于3的概率是 .16．把正整数1,2,3,4,5,6,……按某种规律填入下表，按照这种规律继续填写，2011出现在第______行第______列.三、解答题：17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥BCDA-中，AB⊥平面BCD，它的正视图和俯视图都是直角三角形，图中尺寸单位为cm．（Ⅰ）在正视图右边的网格内，按网格尺寸和画三视图的要求，画出三棱锥的侧（左）视图；（Ⅱ）证明：CD⊥平面ABD；的侧面积．18．（本小题满分12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对400名高一学生的一周的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．（Ⅱ）现采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本,①其中课外体育锻炼时间为[80, 120）分钟的学生应抽取多少人？②若从①中被抽取的学生中随机抽取2名，求这2名学生课外体育锻炼时间均为[80, 100）分钟的概率.DAC B19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c sin cos B b A =. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，且ABC ∆b 与c 的值. 20．（本小题满分12分）已知F 1、F 2为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，第二象限内的点P 在椭圆上，且以P 为圆心的圆与x 轴相切于点F 1. （Ⅰ）若a =3，∠F 1PF 2=600，求圆P 的方程；（Ⅱ）若| F 1F 2|=4，且圆P 与y 轴相交，求实数a 21．（本小题满分12分）现在“汽车”是很“给力”的名词. 某品牌汽车厂商对维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年数n 与累计．．维修费．．．n S （万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点(,)n n S 在函数2(0)y ax bx a =+≠图像上（如图所示），其中A （5，1.05）、B （10，4.1）．（Ⅰ）求出累计．．维修费n S 关于使用年数n 的表达式，并求出第n 年的维修费n a ；（Ⅱ）汽车开始连续使用后每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用由车主承担. 若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值（=总耗资费使用年数年平均耗资费，总耗资费=车价+车主．．承担的维修费）． 22．（本小题满分14分）已知函数()21ax b f x x +=+（其中常数,a b R ∈），()2sin g x x x π=- ( π是圆周率) . （Ⅰ）当1=a 时，若函数()f x 是奇函数，求()f x 的极值点；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）当0,,2b a ππ⎛⎤=∈⎥⎝⎦时，求函数()g x 在[]0,a 上的最小值()h a ，并探索：是否存在满足条件的实数a ，使得对任意的x R∈，()()f x h a >恒成立．2011年厦门市高中毕业班质量检查数学（文科）参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1. B2. D3. C4.C5. A6. B7.C8.B9.D 10. C 11. A 12. B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算. 每小题4分，满分16分. 13. 1 14. 24y x = 15.2116. 3, 1508 三、解答题：本题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．本题考查空间线面位置关系、三视图、多面体侧面积计算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想方法．满分12分． 解: (1)（评分标准：侧视图是底为10、高为15的直角三角形，要求按网格规范作图. 3分）（2）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ， ---------------------------------------------------4分 ∵俯视图是直角三角形，∴CD ⊥BD --------------------------------------------5分 ∵AB 、 BD 都在ABD 内，且相交于B 点，∴CD ⊥平面ABD.--------- ---------------7（3）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ， --------------------------------------------8分 又由（2）得CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥AD ， --------------------------------------9分 由图中尺寸知，AB =15，BC =20，CD =10，∴AD =25，BC =510，---------------10分 A B C A D C A B D S S S S ∆∆∆++=侧=150+125+275+cm 2）. -----------12分 18．本题考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想方法．满分12分． 解：（Ⅰ）（画频率分布直方图的评分标准：3分）该中学高一学生每周参加课外体育锻炼时间的众数是70分钟---5分（Ⅱ）① 课外体育锻炼时间为[20, 80）分钟的学生D A CB被抽到的人数为：6204004080=⨯+（人） -----------------7分 ② 课外体育锻炼时间为[80, 100）分钟的学生共有42040080=⨯人被抽取，记为：1a 、2a 、3a 、4a ．课外体育锻炼时间为[100, 120）分钟的学生共有22040040=⨯人被抽取，记为：1b 、2b ．满足条件的所有基本事件有：()21,a a 、()31,a a 、()41,a a 、()11,b a 、()21,b a 、()32,a a 、()42,a a 、()12,b a 、()22,b a 、()43,a a 、()13,b a 、()23,b a 、()14,b a 、()24,b a 、()21,b b ，共15个．--------------------10分记“这2名学生课外体育锻炼时间均为[80, 100）分钟” 为事件A ，则事件A 包含的基本事件有：()21,a a 、()31,a a 、()41,a a 、()32,a a 、()42,a a 、()43,a a ，共6个．∴52156)(==A P ．-----------------------------------------------------------------------------12分 19．本题考查三角函数、正弦、余弦定理定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程与函数、数形结合、化归与转化等数学思想方法．满分12分． 解：（Ⅰsin cos B b A =,sin sin cos A B B A =---------------------- --2分 又0B π<<，sin 0B ≠，cos A A =，即tan A =.---------------------4分 又0A π<<，6A π∴=.-------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）ABC ∆即1sin 2bc A =又由（1），得6A π=代入上式，得bc =---------------------------------------8分∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得221b c =+-即224b c +=-----10分2()24b c bc ∴+-=2()4243b c b c ∴+=+=1b c ∴+= 由①②解得11b b c c =⎧⎧=⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩分(或：直接由224bc b c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得11b b c c =⎧⎧=⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩)---------------------- ----------------12分20．本题考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力和探究能力，考查函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）∵圆P 与x 轴相切于F 1. ∴PF 1⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=90-------------------------1分 又∵∠F 1PF 2=60 ∴|PF 2|=2|PF 1| ∵|PF 1|+|PF 2|=a 2=6 ---------------------------------2分∴|PF 1|=2，|PF 2|=4，|F 1F 2|=23-----------------------------------------------------------------4分 ∴P (－3,2),r =|PF 1|=2∴圆P 的方程为(x +3)2+(y -2)2=4-------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设点P (m ，n )∵|F 1F 2|=4，∴2-=m -----------------------------------------------------------------------------7分把2-=m 代入椭圆得aa ab n 422-==--------------------------------------------------------8分 ∵圆P 与y 轴相交，且圆心P 到y 轴的距离为2 ∴2＜n --------------------------------9分即2＜aa 42-，0422>--a a解得5151+>-<a a 或---------------------------------------------------------11分∵0>a ，∴实数a 的取值范围为51+>a --------------------------------------------12分 21．本题考查函数、数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）由A （5，1.05）与B （10，4.1）在函数2(0)y ax bx a =+≠图像上得1.052554.110010a ba b=+⎧⎨=+⎩解得0.04,0.01a b ==，所以20.040.01y x x =+ --------2分 由(,)n n S 在20,040.01y x x=+知20.040.01n S n n =+-------------------------------3分111,0.05n a S === ------------------------------------------------------------------------------4分 12,0.080.03n n n n a S S n -≥=-=-所以*,0.080.03n n N a n ∈=- ---- ------------6分（2）由于在保修期间的维修费用由车企业承担， 所以当3n ≥时，车主所承担的累计维修费为23420.040.010.18n n a a a S S n n ++=-=+-万--7分车价＋车主承担的维修费=220.040.010.189.180.040.019n n n n +-+=++万元-----------------8分年平均耗资费为20.040.01990.040.010.01 1.21n n n n n ++=++≥=万元 ------10分当且仅当15n =由取等号 --------------------------------------------------------------------------11分 即使用15年这款汽车的年平均耗资费最少为1.21万元-------------------------------------12分 22．本题考查函数、导数知识及其应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想及化归与转化思想．满分14分． 解：（Ⅰ）函数()f x 是奇函数，∴对x R ∈，()()f x f x -=-成立，得2222,00111x b x b bb x x x -++=-∴=⇒=+++（利用奇函数，得()00f b ==也给1分）-------1()2,1x f x x ∴=+得()()()2222222121,11x x x f x x x +--+'==++----------------------------------2分 从()0f x '=得21,1x x =∴=±经检验1x =±是函数()f x 的极值点. ---------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)()21ax bf x x +=+，()()()()()22222212211a x x axb ax bx a f x x x +-+--+'∴==++， 从()2020f x ax bx a '>⇒--+>，得220ax bx a +-<①0,0a b ==时，()0f x =，不存在单调递增区间；②0,0a b =≠时，<ⅰ>0b >时，0x <，单调递增区间为(),0-∞；----------------5分 <ⅱ>0b <时，0x >，单调递增区间为()0,+∞；-----------------------------------6分③0a >，方程220ax bx a +-=的判别式22440b a ∆=+>，两根x ==单调递增区间为⎝⎭----------------------------------7分④0a <时，单调递增区间为⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭------8分 (Ⅲ)()2cos g x x π'=-，当[]0,x a ∈时，令()0g x '=得02cos x π=，其中00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当变化时，'()g x 与()g x 的变化情况如下表：∴函数g x 在0,a 上的最小值为0g 与g a 的较小者()00g =,()02g a g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭,()()h a g a ∴=()2sin h a a a π∴=-------------------------------------------------------------------------------10分函数()()21ax f x x R x =∈+是奇函数，且,2a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0x ∴>时，()20112ax a af x x x x<==≤++，当1x =时取得最大值2a 0x ∴=时，()00f = 0x ∴<时，(),02a f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， ∴函数()f x 的最小值为()2af x =-最小，-------------------------------------------------12分 要使对任意x R ∈，()()f x h a >恒成立，则()()f x h a >最小 2sin 2a a a π∴->-， 即不等式2sin 02a a a π-->在,2a ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上有解，a π=符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a ，使对任意x R ∈，()()f x h a >恒成立，-----------------14分（附：求()2af x =-最小的方法二如下）当0,,2b a ππ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦时，()21ax f x x ∴=+,()()222011ax a f x x x -+'∴==⇒=±+ 当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：又0x >时，()0f x > ()2f x ∴=-最小。