河北省石家庄市高三数学高中毕业班第一次高考模拟考试(理)人教版
河北省石家庄市高三数学毕业班复习教学质量检测(一)试题 理 新人教A版
高三数学（理科）一、选择题（60分）1、若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A B＝A、{x|x＞－3}B、{x|－3＜x＜3}C、{x|x＞－2}D、{x|－2＜x＜3}2、若,a b R∈，i为虚数单位，且a＋2i＝i（b＋i），则a＋b＝A、－1B、1C、2D、33、双曲线3x2－y2＝12的实轴长是A 、4 B、6 C、22D、424、采用系系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1 、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间［1，160］的人做问卷A，编号落入区问［161，320］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为A、4B、5C、6D、75、如右图所示，程序框图输出的结果为A、15B、16C、136D、1536、在平面直角坐标系中，不等式组1040xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域的面积是A、3B、92C、6D、97、如图所示，若向正方形ABCD内随机投入一质点，则所投的质点恰好落在CE与y轴及抛物线y＝x2所围成的阴影区域内的概率是A、15B、16C、17D、238、函数2cos23xy x=-的图象大致是9、若7cos(2)38xπ-=-，则sin()3xπ+学科网的值为A、14B、78C、±14D、±7810、已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为A、（5,7）B、（－15,1）C、（5,10）D、（－∞,1）11、如图，棱长为1的正方体ABC－A 1B1C1D1中，E，F为A1C1上两动点，且EF＝12，则下列结论中错误的是A、BD⊥CEB、△CEF的面积为定值C、直线BC与平面CEF所成的角为定值D、直线BE与CF所成的角为定值12、已知单位向量e与向量a，b满足：｜a－e｜＝｜a｜，（a－b）·（b－e）＝0，对每一个确定的向量a，都有与其对应的向量b满足以上条件，设M，m分别为｜b｜的最大值和最小值，令t＝｜M－m｜，则对任意的向量a，实数t的取值范围是A、［0,1］B、［0，12］C、［1,2+∞］D［1，+∞］二、填空题（20分）13、在621()xx+的展开式中，常数项为＿＿＿＿＿（用数字作答）。
河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题
河北省石家庄市2021届高中毕业班第|一次模拟考试理科数学试题(时间120分钟 ,总分值150分 )考前须知：1. 本试卷分第I 卷 (选择题 )和第II 卷 (非选择题 )两局部 ,答卷前 ,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 答复第I 卷时,选出每题答案后 ,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 答复第II 卷时 ,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4. 考试结束后 ,将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷(选择题,共60分 )一、选择题:本大题共12小题 ,每题5分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目 要求的.1.复数z =1 -i,那么z z+1对应的点所在的象限为 A.第|一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 假设集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ,}02|{2>-∈=x x R x B ,那么)(B C A R 所含的元素个数为A. OB. 1C. 2D. 33. 设随机变量ξ服从正态分布),1(2σN .假设P(ξ ,那么p(0<ξ<1)的值为 A. B C.0.4 D.4 双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合 ,且其渐近线的方程为3x ±4y =0,那么 该双曲线的标准方程为A. 116922=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-x yD. 191622=-x y5. 执行右面的程序框图 ,输出的S 值为 A. 1B. 9C. 17D. 206. 等比数列{a n } ,且dx x a a ⎰-=+22644 ,那么a 6(a 3 +2a 6 +a 10))的值为A. π2B. 4C. πD. -9π7. 现釆用随机模拟的方法估计该运发动射击4次 ,至|少击中3次的概率:先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数 ,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运发动射击4次至|少击中3次的概率为A. 0.852B. 0.8192C O.8D.8. 巳知点(x,y)在ΔABC 所包围的阴影区域内(包含边界),假设B(3,25)是 使得z =ax -y 取得最|大值的最|优解,那么实数a 的取值范围为A. 21-≥a B. 0≥a C. 21-≤a D. 021≤≤-a 9. 假设函数)0)(2sin()(>+=A x A x f ϕπ满足f(1) =0,那么A.f(x -2) -定是奇函数B.f(x +1) -定是偶函数C. f(x +3)一定是偶函数D, f(x -3)一定是奇函数10. 正三棱锥P -ABC 的主视图和俯视图如图所 示,那么此三棱锥的外接球的外表积为A 4π B, 12πC.316π D. 364π 11. 数列{a n },41,32,23,14,31,22,13,21,12,11… ,依它的10项的规律 ,那么a 99 +a 100 的值为A 2437B 67. C. 1511 D. 157 -12. 定义域为R 的奇函数f(x)的导函数为)(x f ' ,当0≠x 时 ,0)()(>+'xx f x f ,假设)2(ln 21ln ),2(2),21(21f c f b f a =--==,那么以下关于a,b,c 的大小关系正确的选项是 A. a>b>c B, a>c>bC. c>b>aD. b>a>c第II 卷(非选择题,共90分 )本卷包括必考题和选考题两局部,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空題,本大通共4小题,每题5分,共20分.13.过点(2,3)与圆(x -1)2+y 2=1相切的直线方程为_____.14. 如图,正方形ABCD 中,EF//AB,假设沿EF 将正方形折成一个二面角后,AE:ED:AD =1：1：2,那么AF 与CE 所成的角的余弦值为______.15.为举办校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训 ,培训工程及人数分 别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个工程 ,并且舞蹈和演唱工程必须 有女生参加,則不同的推荐方案的种数为_______.(用数字作答 )16.在ΔABC 中 ,B ∠ =600 ,O 为ΔA BC 的外心 ,P 为劣弧AC 上一动点 ,且OC y OA x OP += (x,y ∈R) ,那么x +y 的取值范围为 __ _____三、解答题：本大题共6小题 ,共70分.解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤. 17. (本小题总分值12分 )如图 ,有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸 (不知 道它们的高度 ,且不能到达对岸 ) ,某人想测量两 座建筑物尖顶A 、C 之间的距离 ,但只有卷尺和测 角仪两种工具.假设此人在地面上选一条基线EF ,用 卷尺测得EF 的长度为 a ,并用测角仪测量了一些角度：a AEF =∠,β=∠AFE ,θ=∠CEF ,ϕ=∠CFE ,γ=∠AEC 请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果.18.(本小题总分值12分 )为了调査某大学学生在某天上网的时间 ,随机对lOO 名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：表l:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)从这100名男生中任意选出3人 ,其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率；(II)完成下面的2X2列联表 ,并答复能否有90%的把握认为 "大学生上网时间与性别有关〞 ?表3:•附：19. (本小题总分值i2分 )如图 ,在四棱锥P -ABCD 中 ,PA 丄平面ABCD, 090=∠=∠ADC ABC ,0120=∠BAD ,AD =AB =1,AC 和 BD 交于O 点.(I)求证：平面PBD 丄平面PAC(II)当点A在平面PBD 内的射影G 恰好是ΔPBD 的重心时 ,求二面角B -PD -G 的余弦值.20. (本小题总分值12分 )椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1( -1 ,0) ,F 2(1,0) ,过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A,B 两点.(I)假设ΔABF 2为正三角形 ,求椭圆的离心率； (II)假设椭圆的离心率满足2150-<<e ,0为坐标原点 ,求证:OA 2 +OB 2<AB 221 (本小题总分值12分 ) 设函数f(x ) =x 2 +aln(x +1)(I)假设函数y =f(x)在区间[1, +∞ )上是单调递增函数 ,求实数a 的取值范围； (II)假设函数y =f(x)有两个极值点x 1,x 2且x 1<x 2求证: 2ln 21)(012+-<<x x f请考生在22〜24三题中任选一题做答 ,如果多做 ,那么按所做的第|一题记分.22. (本小题总分值10分)选修4 -l:几何证明选讲如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点A,B,C,D 弦AD 和BC 交于Q 点 ,割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F ,点M 在EF 上 ,且BMF BAD ∠=∠:(I)求证:PA·PB =PM·PQ (II)求证：BOD BMD ∠=∠23. (本小题总分值10分 )选修4 -4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系.x0y 中 ,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2=(I)求曲线l的直角坐标方程；|AB|的值24. (本小题总分值10分)选修4 -5:不等式选讲 巳知函数f(x) =|x -2| +2|x -a|(a∈R). (I)当a =1时 ,解不等式f(x)>3;(II)不等式1)(≥x f 在区间 ( -∞ , +∞)上恒成立 ,求实数a 的取值范围高中毕业班第|一次模拟考试数学理科答案一、选择题 A 卷答案1 -5 DCBCC 6 -10 ADADD 11 -12 AD B 卷答案1 -5 DBCBB 6 -10 ADADD 11 -12 AD 二、填空题13 . 4310x y -+=或2x = 14 .4515 . 24 16 . []1,2三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分)17.解：第|一步：在AEF ∆中 ,利用正弦定理 ,sin sin(180)AE EFβαβ︒=-- , 解得sin sin()a AE βαβ=+；……………4分第二步：在CEF ∆中 ,同理可得sin sin()a CE ϕθϕ=+；……………8分第三步：在ACE ∆中 ,利用余弦定理,AC…………12分 (代入角的测量值即可 ,不要求整理 ,但如果学生没有代入 ,扣2分 )18．解： (Ⅰ )由男生上网时间频数分布表可知100名男生中 ,上网时间少于60分钟的有60人 ,不少于60分钟的有40人 ,………………2分故从其中任选3人 ,恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为 1260403100C C C ……………4分 156539=………………6分 (Ⅱ ) (8)22200(18002800)200 2.201001001307091K ⨯-==≈⨯⨯⨯ ,………………10分∵2 2.20 2.706K ≈<∴没有90％的把握认为 "大学生上网时间与性别有关〞.………………12分 19. 解： (Ⅰ )依题意Rt ABC Rt ADC ∆≅∆ ,BAC DAC ∠=∠ ,ABO ADO ∆≅∆ ,所以AC BD ⊥ ,……2分而PA ⊥面ABCD ,PA BD ⊥ ,又PA AC A = ,∴BD ⊥面PAC , 又BD ⊂面PBD ,∴平面PAC ⊥平面PBD …………4分 (Ⅱ ) 过A 作AD 的垂线为x 轴 ,AD 为y 轴 ,AP 为z 轴 ,建立如下图坐标系 ,那么1,0)2B - ,(0,1,0)D,0)C ,设(0,0,)P λ ,所以1,)63G λ , 31(,)22PB λ=-- ,由AG PB ⊥,得311(,),)066322AG PB λλ⋅=⋅--= 解得212λ=,λ=.………………6分 ∴P 点的坐标为(0,；面PBD 的一个法向量为6(3,1AG ==m ,……………8分设面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n,(CD =- ,(0,1,PD = 00PDCD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0z -==⎪⎩ ,∴=n ………………10分cos ,||||⋅<>==n m n m n m ,所以二面角B PD A --．……………12分 20. 解： (Ⅰ )由椭圆的定义知1212||||||||AF AF BF BF +=+ ,又22||||AF BF = ,∴11||||AF BF = ,即12F F 为边AB 上的中线 ,∴12F FAB ⊥,……………………2分 在12Rt AF F △中,2cos30,43ca ︒=那么c a = ,…………………4分 (注： ,没有过程扣3分) (Ⅱ )设11(,)A x y ,22(,)B x y 因为0e <<1c = ,所以12a +>…………6分 ①当直线AB x 与轴垂直时 ,22211y a b += ,422b y a= ,4121221b OA OB x x y y a ⋅=+=-,42231a a a -+- =22235()24a a --+, 因为2532+>a ,所以0OA OB ⋅< , AOB ∴∠恒为钝角 ,∴222OA OB AB +<.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时 ,设直线AB 的方程为：(1)y k x =+ ,代入22221x y a b+= ,整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-= ,22122222a k x x b a k -+=+ ,222212222a k ab x x b a k -=+ 1212OA OB x x y y ⋅=+212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k ab k a k k b a k b a k-+-++=+ 2222222222()k a b a b a b b a k +--=+ 24222222(31)k a a a b b a k -+--=+………………10分 令42()31m a a a =-+- , 由 ①可知 ()0m a < ,AOB ∴∠恒为钝角. ,所以恒有222OA OB AB +<．………………12分21. 解： (Ⅰ )0122)(2/≥+++=x ax x x f 在区间),1[+∞上恒成立 , 即x x a 222--≥区间),1[+∞上恒成立 , …………………1分4-≥a .………………3分经检验 , 当a ＝ - 4时 , 1)1)(2(21422)(2/+-+=+-+=x x x x x x x f ,),1[+∞∈x 时 ,0)(/>x f ,所以满足题意的a 的取值范围为[4,)-+∞.………………4分(Ⅱ )函数的定义域),1(+∞- ,0122)(2/=+++=x ax x x f ,依题意方程0222=++a x x 在区间),1(+∞-有两个不等的实根 ,记a x x x g ++=22)(2 ,那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->->->∆1210)1(0g ,得210<<a .……………………6分 ,121-=+x x 022222=++a x x ,221212a x -+-= ,0212<<-x , 2222222121)1ln()22()(x x x x x x x f --++-=,令)0,21(,1)1ln()22()(22-∈--++-=x x x x x x x k ……………………8分)1ln(21)(2+++-=x x x x x k ,)1ln(2)1()(22/+++=x x x x k , 32//)1(262)(+++=x x x x k , 因为2)0(,1)1(////=-=-k k ,存在)0,1(0-∈x ,使得0)(0//=x k , 0)0(/=k ,02ln 21)2(/<-=-k ,0)(/<∴x k ,所以函数)(x k 在)0,2(-为减函数 ,…………………10分)21()()0(-<<k x k k 即2ln 21)(012+-<<x x f ……………………12分法二:6分段后面还有如下证法 ,可以参照酌情给分.【证法2】2x 为方程2220x x a ++=的解 ,所以22222x x a --=,∵102a <<, 120x x << ,212x =- ,∴2102x -<<,先证21()0f x x > ,即证2()0f x < (120x x << ), 在区间12(,)x x 内 ,()0f x '< ,2(,0)x 内()0f x '> ,所以2()f x 为极小值 ,2()(0)0f x f <=, 即2()0f x < ,∴21()0f x x >成立；…………………8分 再证21()1ln 22f x x <-+ ,即证22211()(ln 2)(1)(ln 2)(1)22f x x x >-+--=-+, 222222211(22)ln(1)(ln 2)ln 222x x x x x -++-->-,令221()(22)ln(1)(ln 2)2g x x x x x x =-++-- , 1(,0)2x ∈-…………………10分2(1)1()2(42)ln(1)(ln 2)12x x g x x x x x +'=-++---+,12(21)ln(1)(ln 2)2x x =-++--,ln(1)0x +< ,210x +> ,1ln 202-<,∴()0g x '> ,()g x 在1(,0)2-为增函数．111111()()(21)ln (ln 2)244222g x g >-=-⨯-+-111111ln ln 2ln 2422422=++-=-．综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立．………………………12分22.证明: (Ⅰ )∵∠BAD ＝∠BMF ,所以A,Q,M,B 四点共圆 ,……………3分所以PA PB PM PQ ⋅=⋅.………………5分(Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅ ,∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ,又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆ ,……………7分 ∴PMD PCQ ∠=∠ ,那么DCB FMD ∠=∠,………………8分 ∵BAD BCD ∠=∠ ,∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠,2BOD BAD ∠=∠,所以BMD BOD ∠=∠.…………………10分23.解：(Ⅰ)依题意22sin cos ρθρθ=………………3分得：x y =2∴曲线1C 直角坐标方程为：x y =2.…………………5分(Ⅱ)把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty tx 22222代入x y =2整理得：0422=-+t t ………………7分0>∆总成立 ,221-=+t t ,421-=t t23)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB ………………10分 另解：(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2 ,把x y -=2代入x y =2得： 0452=+-x x ………………7分0>∆总成立 ,521=+x x ,421=x x23)445(212212=⨯-=-+=x x k AB …………………10分 24. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞………………5分 (Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x a x a x x a x x f ,2232,222,223)(； 时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩； 时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x a x a x x f ； ∴)(x f 的最|小值为)()2(a f f 或；………………8分那么⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ,解得1≤a 或3≥a .………………10分。
河北省石家庄市(新版)2024高考数学人教版摸底(评估卷)完整试卷
河北省石家庄市（新版）2024高考数学人教版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题A，B，C是直线与函数（，）的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（）A．B．-1C．D．2第(2)题若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（）A．B．C．D．第(3)题已知函数，关于的不等式的解集为，则（）A．B．C．0D．1第(4)题已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题已知，为单位向量，则“，的夹角为”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，则（）A．0B．C．D．第(7)题将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为（）A．54B．45C．36D．27第(8)题的展开式中第四项的系数为540，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题函数的图象是双曲线，且直线和是它的渐近线．已知函数，则下列说法正确的是（）A．，B．对称轴方程是C．实轴长为D．离心率为第(2)题对于函数，下列结论正确得是（）A．的值域为B．在单调递增C．的图象关于直线对称D ．的最小正周期为第(3)题如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（）A．第6行第1个数为192B．第10行的数从左到右构成公差为的等差数列C．第10行前10个数的和为D．数表中第2021行第2021个数为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则________．第(2)题某公益社团有中学生36 人，大学生24 人，研究生16 人，现用分层抽样的方法从中抽取容量为19 的样本，则抽取的中学生的人数是___________ ．第(3)题已知，则________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知动直线：与轴交于点，过点作直线，交轴于点，点满足，的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知点，点，过作斜率为的直线交于，两点，延长，分别交于，两点，记直线的斜率为，求证：为定值.第(2)题已知是正项数列的前项和，满足，.(1)若，求正整数的值；(2)若，在与之间插入中从开始的连续项构成新数列，即为，求的前30项的和.第(3)题如图，底面是等腰梯形，，，点为的中点，以为边作正方形，且平面平面.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.第(4)题中，，．（1）若，，求的长度；（2）若，，求的最大值．第(5)题已知函数.（1）求的极值；（2）若，且，证明：.。
河北省石家庄市2019届高三一模考试数学(理)试题(含答案)
石家庄2019届高中毕业班模拟考试（一）理科数学答案一、选择题A 卷答案：1-5 CDACB 6-10BCCBD 11-12DAB 卷答案：1-5 CDBCA 6-10ACCAD 11-12DB二、填空题 13. 1 14. ()122y x =- 或()122y x =--三、解答题17. 解: （1） ∵△ABC 三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B=60°设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,由S =1sin 2ac B 可得12ac =.……2分 ∵sin 3sin C A =，由正弦定理知3c a =，∴2,6a c ==. ……4分△ABC 中，由余弦定理可得2222cos 28b a c ac B =+-=，∴b=即AC 的长为……6分（2）∵BD 是AC 边上的中线，∴1()2BD BC BA =+u u u r u u u r u u u r ……8分 ∴2221(2)4BD BC BA BC BA =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =221(2cos )4a c ac B ++=221()4a c ac ++ 1(2)94ac ac ≥+=，当且仅当a c =时取“=” ……10分 ∴3BD ≥u u u r ,即BD 长的最小值为3. ……12分18. 解：（1）证明：在PBC ∆中，60oPBC ∠=，2BC =，4PB =，由余弦定理可得PC =， 222PC BC PB +=Q ，PC BC ∴⊥，…………2分,PC AB AB BC B ⊥⋂=Q 又，PC ABC ∴⊥平面，PC PAC ⊂Q 平面，PAC ABC ∴⊥平面平面.…………4分（2）法1：在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以,,CA CM CP 所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系C xyz -如图所示：(0,0,0),(0,0,(2,0,0),C P AB F ，…………6分设平面PBC 的一个法向量为111(,,)x y z =m则11100CB x CP ⎧•=+=⎪⎨•==⎪⎩u u u r u u u r m m解得1x =11y =-，10z =即1,0)=-m …………8分设平面BCF 的一个法向量为222(,,)x y z =n则222200CB x CF x ⎧•==⎪⎨•=+=⎪⎩u u u r u u u r n n解得2x ，21y =-，21z =-即1,1)=--n …………10分cos ,<>===g m nm n m n 由图可知二面角P BC F --为锐角，所以二面角P BC F --的余弦值为512分 法2：由（1）可知平面PBC ⊥平面ABC ， 所以二面角P BC F --的余弦值就是二面角A BC F --的正弦值，…………6分作FM AC ⊥于点M ，则FM ⊥平面ABC ，作MN BC ⊥于点N ，连接FN ，则FN BC ⊥ FNM ∠为二面角A BC F --的平面角；…………8分Q 点F 为PA 中点，∴点M 为AC 中点，在Rt FMN ∆中，12FMPC ==QMN = 2FN ∴=…………10分ysin 5FM FNM FN ∴∠==,所以二面角P BC F --12分 19. 解答：根据题意可得111(30)5525133(31)25102512331(32)2551010411327(33)2251010525312211(34)210105550212(35)251025111(36)1010100P P P P P P P ξξξξξξξ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯= ……..部分对给2分，全对给4分ξ的分布列如下：…………………………………5分 13171121()3031323334353632.825254255025100E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……6分 （2）当购进32份时，利润为()()2131324314830416107.5213.92 4.16125.6252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=++=……8分当购进33份时，利润为()()()591313343248314163042477.883012.96 3.84124.6810042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=+++=……10分125.6>124.68可见，当购进32份时，利润更高！……12分20. 解：（1） 由抛物线定义,得02p PF x =+，由题意得： 00022240p x x px p ⎧=+⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩……2分 解得021p x =⎧⎨=⎩ 所以，抛物线的方程为24y x = ……4分（2）由题意知，过P 引圆()2223(0x y r r -+=<≤的切线斜率存在，设切线PA 的方程为1(1)2y k x =-+，则圆心M 到切线PA 的距离d r ==，整理得，22211(4)840r k k r --+-=. 设切线PB 的方程为2(1)2y k x =-+,同理可得22222(4)840r k k r --+-=.所以，12,k k 是方程222(4)840r k k r --+-=的两根，121228,14k k k k r +==-. ……6分设11(,)A x y ，22(,)B x y由12(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩得，2114480k y y k --+=，由韦达定理知，111842k y k -=，所以11211424242k y k k k -==-=-，同理可得2142y k =-. ……8分 设点D 的横坐标为0x ，则222121212122()2()12()2()3k k k k k k k k =+-++=+-+- ……10分设12t k k =+，则[)284,24t r =∈---， 所以，20223x t t =--，对称轴122t =>-，所以0937x <≤ ……12分 21.解：（1）2211(1)(),0a x a f x x x x x ---'=-=>（） 当10a -≤时，即1a ≤时，()0f x '>，函数)(x f 在(0,)+∞上单调递增，无极小值；……2分当10a ->时，即1a >时，()0,01f x x a '<⇒<<-，函数)(x f 在(0,1)a -上单调递减；()0,1f x x a '>⇒>-，函数)(x f 在(1,)a -+∞上单调递增；()=(1)1ln(1)f x f a a -=+-极小综上所述，当1a ≤时，)(x f 无极小值；当1a >时，()1ln(1)f x a =+-极小 ……4分（2）令1(sin 1)2ln sin 1()()()ln ,(0)a a x x x a x F x f x g x x x x x x-+--+=-=+-=> 当11a -≤≤时，要证：)()(x g x f >，即证()0F x >,即证ln sin 10x x a x -+>，法1：要证ln sin 10x x a x -+>，即证ln sin 1x x a x >-.①当01a <≤时，令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >. ……6分∴1sin 1ax a x ->-*（）……7分 令()ln 1q x x x x =-+，()=ln q x x '，当(0,1),()0x q x '∈<，()q x 在(0,1)单调递减；(1,),()0q x x '∈+∞>，()q x 在(1,)+∞单调递增，故()(1)0q x q ≥=，即ln 1x x x ≥-.当且仅当1x =时取等号又Q 01a <≤，∴ln 11x x x ax ≥-≥-**（）由*（）、**（）可知ln 11sin 1x x x ax a x ≥-≥->- 所以当01a <≤时，ln sin 1x x a x >- ……9分②当=0a 时，即证ln 1x x >-. 令()=ln m x x x ，()=ln 1m x x '+，()m x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，min 11()()=1m x m e e=->-，故ln 1x x >- .……10分③当10a -≤<时，当0,1]x ∈（时，sin 11a x -<-，由②知1()ln m x x x e =≥-，而11e->-， 故ln sin 1x x a x >-； ……11分 当1,x ∈+∞（）时，sin 10a x -≤，由②知()ln (1)0m x x x m =>=， 故ln sin 1x x a x >-；所以，当0,x ∈+∞（）时，ln sin 1x x a x >-.综上①②③可知，当11a -≤≤时，)()(x g x f >. ……12分 法2： 当11a -≤≤时，下证ln sin 10x x a x -+>，即证ln sin 1x x a x >-. ……5分① 当1x >时，易知ln 0x x >，sin 10a x -≤，故ln sin 10x x a x -+>； ……6分②当1x =时，0sin110a -+>显然成立，故ln sin 10x x a x -+>； ……7分③当01x <<时，sin 0x >，故sin sin sin x a x x -≤≤，令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >.，故sin a x x <； ……9分只需证()ln 10q x x x x =-+>，()=ln q x x '，当(0,1),()0x q x '∈<，()q x 在(0,1)单调递减，故()(1)0q x q >=，故ln sin 10x x a x -+>； ……11分综上①②③可知，当11a -≤≤时，)()(x g x f >. ……12分法3：易知1sin ()()ln x f x g x x a x x-=+- 要证()()f x g x >，即证1sin ln xx a x x+>⋅……6分 令1()ln x x x ϕ=+，则'21()x x xϕ-=，故min ()(1)1x ϕϕ== ……8分 令()sin h x x x =-，()cos 10h x x '=-≤，故()h x 在0+∞（，）上递减 由(0)0h =，从而当0x >时sin x x <，故sin 1xx< ……10分 由11a -≤≤，故sin 1xa x⋅< ……11分 综上，当11a -≤≤时，()()f x g x > ……12分 22.（Ⅰ）曲线C 的普通方程为：, ……2分令， ……3分化简得； ……5分（Ⅱ） 解法1：把 ……6分令，……7分方程的解分别为点A,B 的极径，……8分，……10分解法2：射线的参数方程为，把参数方程代入曲线C 的平面直角坐标方程中得，, ……6分令， 得， ……7分方程的解分别为点A,B的参数，……8分，……10分23.（Ⅰ）不等式可化为……1分或……2分或……3分解得的解集为……5分（Ⅱ）……6分，……8分当且仅当时，即时，取“=”，的最小值为．……10分方法2：……6分，……8分当时，取得最小值为．……10分。
2023年河北省石家庄市高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年河北省石家庄市高考数学一模试卷1. 设全集，若集合M满足，则( )A. B. C. D.2. 已知复数，则( )A. B. C. D.3. 为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是3：1，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是( )A. 16B. 24C. 32D. 404. 函数的大致图象为( )A. B. C.D.5. 已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为( )A. B. C. D.6. 中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小球的个数为( )A. 2400B. 2401C. 2500D. 25017. 已知圆台的上、下底面圆的半径之比为，侧面积为，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为( )A. B. C. D.8. 已知在上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.9. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则x的值可以是( )A. B. C. 0 D.10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则( )A. A与B互斥B. B与C相互独立C.D.11. 已知抛物线C：的焦点为F，过点分别向抛物线C与圆F：作切线，切点为分别为P，不同于坐标原点，则下列判断正确的是( )A. B. C. P，Q，F三点共线 D.12. 定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意，恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有( )A. 函数在上满足阶李普希兹条件B. 若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为2C. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解D. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则存在满足条件的函数，存在，，使得13. 某工厂生产的一批电子元件质量指标X服从正态分布，且，若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为______ .14. 已知，则______ .15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为______ .16. 长方体中，，，平面与直线的交点为M，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线CM与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是______ .17. 已知等比数列的前n项和为求数列的通项公式；设数列满足，求数列的前n项和18. 已知内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，求B；若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.19. 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为注：比赛结果没有平局求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.20. 如图，在▱ABCD中，，，将沿BD折起，使得点A到达点P处，如图若，求证：；若，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值.21. 已知函数当时，求的极小值.若有两个零点，求实数a的取值范围.22. 已知双曲线：，F为双曲线的右焦点，过F作直线交双曲线于A，B 两点，过F点且与直线垂直的直线交直线于P点，直线OP交双曲线于M，N两点.若直线OP的斜率为，求的值；设直线AB，AP，AM，AN的斜率分别为，，，，且，，记，，，试探究v与u，w满足的方程关系，并将v用w，u表示出来.答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意可得：，显然4是M中的元素，故ABD错误，C正确．故选：根据元素与集合的关系及补集运算即可．本题考查元素与集合的关系及补集概念，属基础题．2.【答案】B【解析】解：故选：利用复数乘法的几何意义求复数的模即可．本题考查复数的运算，属基础题．3.【答案】A【解析】解：设被抽取参与调研的乙村村民有x人，则甲村被抽取参与调研的有3x人，所以，即，所以参加调研的总人数为故选：根据分层抽样的要求计算即可．本题考查分层抽样的概念，属基础题．4.【答案】A【解析】解：由，故函数为非奇非偶函数，排除B、C；由，，所以，即可排除故选：应用定义判断函数奇偶性，比较，结合排除法即可得答案．本题考查函数的图象问题，函数的奇偶性，特值点，属中档题．5.【答案】B【解析】解：，，可得，所以在方向上的投影向量为故选：由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可．本题考查向量数量积的运算，向量数量积的性质，投影向量的概念，属基础题．6.【答案】D【解析】解：不妨设第n层小球个数为，由题意，，……，即各层小球之差成以3为首项，2为公差的等差数列，所以，故有，累加可得：，故故选：依据等差数列的定义与求和公式，累加法计算即可．本题考查数列的应用，累加法的应用，属基础题．7.【答案】C【解析】解：设圆台的上底面圆半径为r，则底面圆半径为2r，母线长为l，如图所示，作出圆台与球的轴截面．由于球O与圆台的上下底面及母线均相切，故根据圆台的侧面积公式，可得，所以球的直径为，故半径为，表面积为：故选：由圆台的侧面积公式及球的表面积公式计算即可．本题考查圆台的内切球问题，球的表面积公式的应用，方程思想，属基础题．8.【答案】D【解析】解：，且，，两边取对数可得，根据题意可得与在上有两个交点，设，则，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，，且时，；时，，要使与在上有两个交点，则，，故选：根据题意可得，两边取对数可得，从而根据题意可得与在上有两个交点，设，再利用导数研究的单调性及最值，从而建立不等式，即可求解．本题考查方程的解的个数问题，利用导数研究函数的单调性，数形转化思想，属中档题．9.【答案】BC【解析】解：根据三角函数的定义可得：，解得或，故选：根据三角函数的定义，建立方程，即可求解．本题考查三角函数的定义，方程思想，属基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于A项，互斥事件指不可能同时发生的两个事件，事件A可以有以下情况：第一次掷出1，第二次掷出5或第一次掷出3，第二次掷出3等，如此与事件B有同时发生的可能，故A错误；对于B项，，，故B正确；对于C项，易知，故C错误；对于D项，点数和为6，且两次点数相同仅有都是3点一种情况，故，故D项正确．故选：对于A、B选项，根据事件的对立与互斥定义即可分辨；对于C、D选项利用概率公式计算即可．本题考查互斥事件与独立事件的概念，古典概型的概率公式的应用，属基础题．11.【答案】ABC【解析】解：由题意可知抛物线的焦点，要求P，Q不同于一点，所以切线MP，MQ的斜率存在，且直线PM的斜率不为0，设抛物线的切线方程为，设，则P在x轴上方，，圆的切线方程为，Q在x轴上方，联立，整理可得，可得，即，则，且，，即；联立，整理可得：，由题意可得，即，且，，，对于A：，，故A正确；对于B：，，故B正确；对于C：，，，，Q，F三点共线，故C正确；对于D：，，，故D不正确．故选：设抛物线的切线方程为，设，则P在x轴上方，，圆的切线方程为，Q在x轴上方，分别与抛物线联立方程组求得点P，Q的坐标，进而结合每个选项的条件进行计算可判断结论．本题考查抛物的性质，考查直线与抛物线位置关系，考查运算求解能力，属中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，假设函数在上满足阶李普希兹条件，则，设，则，，又因为，所以存在正数，对，均有成立，故A正确；B选项：不妨设，因为在上单调递增，所以，所以，即为，即对，，恒成立，即在上单调递减，所以对恒成立，所以对恒成立，即，即M的最小值为2，B选项正确；C选项：假设方程在区间上有两个解，t，则，这与矛盾，故只有唯一解，C选项正确；D选项：不妨设，当时，；当时，，故对，，，不存在，使，，D选项错误．故选：根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB选项；再利用反证法判断C选项；通过分类讨论可判断D选项．本题属于新概念题，考查了函数恒成立问题、运算能力及逻辑推理能力，理解定义是关键，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题设，故，所以故答案为：由正态分布的性质知，结合即可求概率．本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由由，则，故，所以故答案为：利用诱导公式、二倍角正弦公式找到目标式与已知函数的关系，应用同角三角函数关系求得，即可求值．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．15.【答案】【解析】解：设，则，，，，椭圆的焦距为2c，可得，解得，由，，由勾股定理可得：，可得，得故答案为：由，且，设，由椭圆的定义可得，的表达式，由勾股定理可得m，a的关系，进而可得c，a的关系，求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的性质的应用及勾股定理的应用，属中档题．16.【答案】【解析】解：由题意，为动直线CM与底面所成角，只需求旋转过程中直线CM与面所成角的最大角即可，又面面ABCD，只需求直线CM与面ABCD最大夹角正弦值，过C作，交延长线于M，连接，显然，所以，故为平行四边形，则，，，所以为等腰三角形，过M作于H，则H必在线段上，综上，绕旋转过程中，M点轨迹是以H为圆心，MH为半径的圆上，设，则，故，所以，解得，则，，绕旋转过程中，CM是为轴，圆H为底面的圆锥的母线，所以为圆锥轴截面顶角的一半，且恒定不变，又，，而直线与面ABCD夹角为，且，，令，则，而，令，则，而，综上，，故的最大值是故答案为：根据题设，将问题转化为求直线CM与面ABCD夹角最大值，利用平面的基本性质找到M点位置，并确定其轨迹为圆锥底面圆周，进而确定圆锥轴线与面ABCD的夹角、CM与圆锥轴线的夹角，利用和差角正余弦公式求它们的差、和正余弦值，即可确定的最值．本题主要考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．17.【答案】解：设的公比为q，由题知，所以，两式相除得，，所以，，；由知，，【解析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解；先求出，然后利用裂项求和即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题．18.【答案】解：由余弦定理得，即，所以，又，则法一：为锐角三角形，，则，所以，可得，又，则，故由，即，而，所以，故面积的取值范围为法二：由，画出如图所示三角形，为锐角三角形，点A落在线段端点，除外上，当时，，当时，，【解析】利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小；法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得，即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：设事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，设事件“甲队第j局获胜”，其中，2，3，4，相互独立，又甲队明星队员M前四局不出场，故，又，；设C为甲3局获得最终胜利，D为前3局甲队明星队员M上场比赛，则由全概率公式可知：，每名队员上场顺序随机，，又，，，；根据贝叶斯公式可得：【解析】根据独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解；根据条件概率公式，全概率公式，即可求解；根据贝叶斯公式，即可求解．本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，全概率公式，贝叶斯公式，属中档题．20.【答案】解：证明：平行四边形ABCD中，，可得，，，又，，，又，，平面BDC，；方法一：如图，过点D做，且，连接PF，CF，由题意可知，，，，平面PDF，，，，又平面BCFD，平面平面PDF，取DF中点O，连接PO，由，得，平面BCFD，且，过O点作OM垂直于DF，建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得，，，，，设平面PBC的法向量为，平面PDC的法向量为，，令，则，故平面PBC的一个法向量为，同理，令，则，故平面PDC的一个法向量为，所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为方法二：由，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，设其中，，，解得，，，设平面PDC的法向量为，平面PBC的法向量为，，令，则，故平面PDC的一个法向量为；同理，令，则，故平面PBC的一个法向量为，又因为两个平面的夹角范围为：，所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为，故平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为【解析】利用勾股定理可得，继而可得面BDC，如此得证；方法一、建立P点及其在底面BDC的投影连线为z轴，再构建底面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量求两面的夹角；方法二、直接分别以BD、BC方向为x、y轴，建立空间直角坐标系，利用线段长求得P点坐标，再利用空间向量求两面的夹角．本题考查线面垂直的性质，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．21.【答案】解：的定义域为R，当时，，令，解得当x变化时，，的变化情况如表：x0-0+单调递减单调递增因此，当时有极小值，极小值为，若，则，在单调递减，至多有一个零点；若，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，，即，，即且，故在有一个零点，，且，先证时：设，则，当时，当时，故在上递增，在上递减．当时取到最大值，故时，因此在有一个零点．综上，a的取值范围为【解析】利用导数研究的单调性，进而求其极小值；讨论、，结合的符号研究的单调性，根据零点存在性定理判断各情况下区间零点情况，即可得参数范围．本题主要考查函数零点个数问题及导数与单调性及极值，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题．22.【答案】解：设，，，由题意知P为，则直线斜率为，所以直线的斜率为，故直线的方程为：；联立直线和曲线：，显然，此方程的两根为，，由韦达定理得：，，所以；设，，，则，因为，故为，代入，得点，所以：，因为点在双曲线上，故，满足双曲线方程，即，所以，所以，，又，联立直线OP与双曲线C：，根据题意易知，此方程的两根即为，，所以，所以，即：，所以：，即：【解析】由已知得P为，设，，由直线垂直关系、点斜式写出直线的方程，联立曲线并应用韦达定理、弦长公式求；设，，，根据已知求得、，进而有、关于所设参数的关系，再求直线OP，联立曲线求得，结合已知确定v与u，w的关系．本题考查直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，属中档题．。
河北省石家庄市高三第一次模拟考试——数学理数学(理)
河北省石家庄市 2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,{}*|12B x N x =∈-≤,则 ( ) A ． B ．C ．D ．2.若是复数, ,则 ( ) A ． B ．C ．1D ．3.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心B ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量与,随机变量的观测值越大,则判断“与有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位 4.函数 (为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数 (,)的最小正周期为,其图象关于直线对称,则的最小值为( ) A ． B ．C ．D ．6.已知三个向量，，共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A．48 B．54 C．64 D．608.已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为( )A． B．C．D．9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④10.已知，满足约束条件20,220,220,x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若恒成立,则直线被圆22(1)(2)25x y-+-=截得的弦长的最大值为( )A． B．C．D．11.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( )A． B．C．D．12.已知函数与的图象有三个不同的公共点,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．或 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题:，，则为 ．14.程序框图如图所示,若输入, , ,则输出的为 ．15.已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，为的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则 （注：、、分别为、、的面积）．16.已知数列中, , ,若为递增数列,则实数的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，内角，，的对边分别是，，，且. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）点满足，且线段，求的最大值. 18.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，.（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25（分贝），并规定测试值在区间为非常优秀，测试值在区间为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为，求的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号，，，（其中，，，为1,2,3,4的一个排列）．若为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求的概率．20.已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，为原点，，是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点．（Ⅰ）求的面积的最小值； （Ⅱ）证明：，，三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，．（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数存在两个极值点，，且，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、，且点在第一象限，当四边形的周长最大时，求直线的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-． （Ⅰ）当时，的最小值为1，求实数的值； （Ⅱ）当时，求的取值范围．参考答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12： 二、填空题13.， 14.1024 15. 16. 三、解答题17.解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴， ∵，∴．（Ⅱ）在中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴， ∵ ，∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为6． 18.（Ⅰ）证明：在中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知，，， 解得，所以，即，可求得． 在中， ∵, , , ∴,∴,∵平面, ,∴平面．（Ⅱ）过作直线垂直于，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系． ∵由（Ⅰ）可知，平面平面，∴在平面上的投影一定在上，过作于，则，，则， 易求，，， 则，，，设平面的法向量，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得．同理可求得平面的法向量，∴1212cos ||||13n n n n θ⋅===⋅19.解：（Ⅰ）的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， 的分布列为：0 1 2 3 4158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）序号，，，的排列总数为种， 当时，，，，．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，，，，的取值为，，，；，，，；，，，． 故．20.解：（Ⅰ）设，，∵，可得，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当时等号成立． ∴，∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形的面积的最小值为1． （Ⅱ）∵，，∴直线的方程为，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=， 由，得，① 同理可得，∵，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+②故由①②可知：， 代入椭圆方程可得 ∵，故，分别在轴两侧，， ∴，∴，，三点共线．21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，由题意222'()2,111a x x af x x x x x-+-=-=<--，224(2)()48a a ∆=---=-．①若，即，则恒成立， 则在上为单调减函数；②若，即，方程的两根为，，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，不符合题意． 综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为． （Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根， 即在有两个不等的实根，，于是，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足，， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，．[]22'()2ln (1)1xg x x x x x=--++-，， ∵，∴，又时，，∴，则在上单调递增， 所以，即，得证． 22.解：（Ⅰ），（为参数）． （Ⅱ）设四边形的周长为，设点，))θθθϕ=+=+， 且，，所以，当（）时，取最大值， 此时，所以，2cos 2sin θϕ==，此时，，的普通方程为．23.解：（Ⅰ）当时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当时，的最小值为，解得．（Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当时，成立， 所以，当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是．。
【附加15套高考模拟试卷】河北省石家庄市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试卷含答案
河北省石家庄市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12 B ．13 C ．16 D ．1122．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．133．已知椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，双曲线22221x y m n -=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，已知椭圆的离心率为134e =，则双曲线的离心率2e =（ ） A ．2 B ．92C ．924D ．3224．已知定义在实数集R 上的函数()f x 的图象经过点(1,2)--，且满足()()f x f x -=，当0≤<a b 时不等式()()0f b f a b a->-恒成立，则不等式(1)20f x -+<的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)-C ．(,0)(2,)-∞+∞UD ．(,2)(0,)-∞-+∞U5．若x ，y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．27．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面方正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 的轨迹一定是（ ）A ．B ．C ．D ．8．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于( ) A ．6B ．5C ．4D ．39．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（）A ．-1B ．0C ．1D ．210．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u uu r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．23B ．3C ．3D ．311．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．312．某小区打算将如图的一直三角形ABC 区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF ,在其内建造文化景观.已知20AB m =,10AC m =,则DEF ∆区域内面积(单位：2m )的最小值为（ ）A ．3B ．753C ．1003D ．37二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷.docx
2016届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学（理科）A 卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数i i z -=12（i是虚数单位），则=z ( )A ．i +-1B ．i --1C ．i +1D ．i -12.已知集合}065|{2<--=x x x A ，}33|{<<-=x x B ，则=B A I ( )A ．)3,3(-B ．)6,3(-C ．)3,1(-D ．)1,3(-3.设变量y ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( )A ．1B ．3C ．526D ．19-4.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则)2411(πf 的值为( )A ．26- B ．23- C ．22- D ．1-5.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( )A ．81B ．1C ．2D ．46.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：甲 乙 9 8 2 6 8 92 10 3 1 1 ①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7.过点)1,0(A 作直线，与双曲线1922=-y x 有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．无数8.如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,15(A 为( )A ．4229B ．107C ．2417 D ．102739.已知函数)2(+=x f y 的图象关于直线2-=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，|log |)(2x x f =，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>10.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )A ．4B ．316C ．320 D ．1211.C B A ,,是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OB OA OC μλ+=（R R ∈∈μλ,），则μλ+的取值范围是( ) A ．)1,0( B ．),1(+∞ C ．]2,1( D ．)0,1(-12.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A ．415B ．51C ．562D ．41第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.6)41(x x -的展开式中常数项为. 14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤<-=10),1(log 01,2sin )(2x x x x x f π，且21)(-=x f ，则x 的值为 . 15.已知ABC ∆中，BC AD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4ο于D ，则CD BD 的值为 . 16.若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）18.（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ，ο30=∠BAD ，ο45=∠BAC ，将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'，且使2'=D C . （Ⅰ）求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）求二面角B D C A --'的余弦值.19.（本小题满分12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分.用随机变量X 表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望.20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF .（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：直线AB 过定点.21. （本小题满分12分）已知b x ax e x f x +--=2)(2（e 为自然对数的底数，R b a ∈,）.（Ⅰ）设)('x f 为)(x f 的导函数，证明：当0>a 时，)('x f 的最小值小于0；（Ⅱ）若0)(,0>>x f a 恒成立，求符合条件的最小整数b . AD CB ① D 'CB A ②请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.（Ⅰ）证明：CD AE //；（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.2016届高三数学一模理科答案一．选择题：A 卷答案：1-5 BCBDA 6-10 CCCBB 11-12 BAB 卷答案：1-5 ACADB 6-10 CCCAA 11-12 AB二．填空题： 13.. 516- 14. 13-15. 6 16.32 三、解答题： 17. 解：（I ）由已知得2351112=4+8=2010910+=10+45=1002a a a a d a d a d ++⎧⎪⎨⨯⎪⎩， -------------------------------2分 解得112a d =⎧⎨=⎩，-------------------------------4分 所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，--------------------------------5分（II ）由（I ）可知21(21)2n n n a b n -⋅=-⨯，所以1352321123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，① 35721214123252(23)2(21)2n n n S n n -+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②---------------------7分①-②得：352121322(222)(21)2n n n S n -+-=+⨯++⋅⋅⋅+--⨯ 35212122(222)(21)23n n n n S -++⨯++⋅⋅⋅+--⨯∴=-………………9分 1218(14)22()(21)2143n n n -+-+⨯--⨯-=- 121628(14)(63)29n n n -+-+⨯-+-⨯=---------------------11分 2110(65)29n n ++-⨯=--------------------------12分 18. 解：（1）取AB 的中点O ，连,C O DO '，在,RT ACB RT ADB ∆∆，2AB =，则1C O DO '==，又2C D '=Q ，∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…………2分又C O AB '⊥Q ，AB OD O =I ，,AB OD ⊂平面ABDC O '∴⊥平面ABD ，…………………4分又C O '⊂Q 平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB…………5分（2）以O 为原点，AB ，OC '所在的直线分别为,y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则31(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(,,0)22A B C D '-， 31(0,1,1),(0,1,1),(,,1)22AC BC C D '''∴==-=-u u u u r u u u u r u u u u r …………6分 设平面AC D '的法向量为1111(,,)n x y z =u u r ，则11n AC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ，即1100n AC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ， 11111031022y z x y z +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令11z =，则11y =-，13x =， 1(3,1,1)n ∴=-u u r …………8分设平面BC D '的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，则22n BC n C D ⎧'⊥⎪⎨'⊥⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ，即2200n BC n C D ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ， 22222031022y z x y z -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令21z =，则21y =，233x =， 23(,1,1)3n ∴=u u r ………………10分 1233(1)11111053cos ,351731111533n n ⨯+-⨯+⨯∴===++⋅++⋅u u r u u r ，二面角A C D B '--的余弦值为35105-.……………12分 19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ， ∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x …………………2分随机变量ξ的所有可能取值为-4，-2,0,2,4； …………………………………8分()421645625P X ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，625216)53()52()2(3134===C X P 62596)53()52()2(314==-=C X P 625216)53()52()0(2224===C X P ； 625216)53()52()2(3134===C X P ()438145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X-4 -2 0 2 4 P 16625 96625 216625 216625 81625 …………………10分…………………12分 20.解：（1）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm =Q ，即42(2)2p p =---------------------2分 2440,2p p p ∴-+=∴=()1696216216814420246256256256256255EX ()=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=抛物线C 的方程为24y x =. -------------------4分（2）设点E (0,)(0)t t ≠，由已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+ 联立24y kx ty x =+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+= Q 直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt = 代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t --------------------------------------6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则0000010122y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++-------------------------------8分 思路1：直线AB 的斜率为22(1)1AB t k t t =≠±- 直线AB 的方程为222()21t y x t t t =-+-，--------------------------------------10分 整理22(1)1t y x t =-- ∴直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------11分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时直线AB 为1x =，过点(1,0)F .综上，直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------12分思路2：直线AF 的斜率为22(1)1AF t k t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BF t t t k t t t t -+==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线--------------------------------------10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线. --------------------------------------11分 ∴直线AB 过定点F .--------------------------------------12分21. 解：（Ⅰ）证明：令()()22x g x f x e ax '==--,则()2xg x e a '=-因为0a >，令0()0g x '=，0ln 2x a =所以当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增--------------------2分则ln 2min min ()()(ln 2)2ln 22=22ln 22a f x g x g a ea a a a a '===------------------------3分 令()ln 2G x x x x =--，(0)x >()1(ln 1)ln G x x x '=-+=-当(0,1)x ∈时，()0G x '>，()G x 单调递增当(1,)x ∈+∞时，()0G x '<，()G x 单调递减所以max ()(1)10G x G ==-<，所以min ()0f x '<成立. --------------------5分（Ⅱ）证明：()0f x >恒成立，等价于min ()0f x >恒成立令()()22x g x f x e ax '==--，则()2xg x e a '=-因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，又(0)10g =-<，022)1(g >--=a e ，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =---------------------6分则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；所以02min 000()()20x f x f x e ax x b ==--+>恒成立 (1)且00220x e ax --= (2)由（1）（2）,000020000002(1)2(1)22x x x x x e b e ax x e x x e x >-++=-+-+=-+即可-----------------8分 又由（2）00202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------------9分 令()(1),(0,ln 2)2x xm x e x x =-+∈()n x =1()(1)12x m x x e '=-+ 1()02x n x xe '=>， 所以021)0()(>=>n x n ，所以()m x 单调递增， 1)1()0()(0-=-=>e m x m ， 22ln 22ln )122ln ()2(ln )(2ln -=+-=<e m x m ---------------------11分所以1b >-，所以符合条件的=0b ---------------------12分法2：令0,(0)10,1x f b b ==+>>-，故符合条件的最小整数0b =.-------------------6分现证明0b =时，()0f x > 求2()2x f x e ax x =--的最小值即可令()()22x g x f x e ax '==--，则()2xg x e a '=-因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，又(0)10g =-<，(1)220g e a =-->，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；所以02min 000()()2x f x f x e ax x ==-- .(1) 且00220x e ax --= (2)00000min 000()()(2)2(1)22x x x x x f x f x e e x e x ==---=-----------------8分 又由（2）00202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------9分 现在求函数()(1),(0,ln 2)2x xp x e x x =--∈的范围 0()q x =1()(1)12x p x x e '=--，01()02x q x xe '=-<， 所以021)0()(<-=<q x q ，所以()p x 单调递减， 1)1()0()(0=-=<e p x p02ln 22ln )22ln 1()2(ln )(2ln >-=--=>e p x p -------------11分所以=0b 是符合条件的. -------------12分选做题：22.解：（I ）连接AB,Q P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又Q PA 与圆O 切于点A, PAB AEB ∴∠=∠,．．．．．．．．．．．．．4分 PFB AEB ∴∠=∠//AE CD ∴.．．．．．．．．．．．．．5分 （II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆， 由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ．．．．．．．．．．．．．7分由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯=．．．．．．．．．．．．．9分 222725213OP PA OA ∴=+=+=.∴四边形PBFA 的外接圆的半径为13. ．．．．．．．．．．．．10分 23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ．．．．．．．．．．．．2分 2C 的直角坐标方程为3x =；．．．．．．．．．．．．4分（II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A,PQ OP ⊥Q ,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ==．．．．．．．．．．．．6分代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ==．．．．．．．．．．．．8分所以PQ=1 |||||2cos|||22,cosAP AQθθ+=+≥当且仅当1|2cos|||cosθθ=时取等号，所以线段PQ长度的最小值为22.．．．．．．．．．．．．10分24.解：（I）由已知可得12,0()1, 0121,1x xf x xx x-<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min()1f x=，．．．．．．．．．．．．3分所以只需|1|1m-≤，解得111m-≤-≤，02m∴≤≤，所以实数m的最大值2M=. ．．．．．．．．．．．．5分（II）法一：综合法222a b ab+≥Q1ab∴≤1ab∴≤，当且仅当a b=时取等号，①．．．．．．．．．．．．7分又2a bab+≤Q21≤+∴baab2abbaab≤+∴，当且仅当a b=时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分由①②得，21≤+∴baab，所以2a b ab+≥.．．．．．．．．．．．．10分法二：分析法因为0,0a b>>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，22a b M +=Q ，所以只要证22224ab a b +≥，．．．．．．．．．．．．7分 即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥．．．．．．．．．．．．10分。
河北省石家庄市高考一模考试数学（理）试题（A）含解析
石家庄市高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】，其中，解得，，故选3. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．4. 点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】故选5. ，满足约束条件：，则的最大值为（）A. -3B.C. 3D. 4【答案】C【解析】依题意可画出可行域如下：联立，可得交点(2,-1)，如图所示，当经过点(2,-1)时，z最大为3.故选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A. 82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里【答案】C【解析】由题意可得：代入：则该三角形田面积为平方里故选8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知，几何体为半圆柱挖去半球体几何体的表面积为故选9. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在上的偶函数，，即，则函数的定义域为函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选10. 在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.11. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】如图：设，则：，取中点，分别作垂直于直线，连接则有，相减可得：即故设则，解得故，解得故选12. 设，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，正方向到正方向的角度为，那么对于任意的点，在下的坐标为，那么它在坐标系下的坐标可以表示为：，.根据以上知识求得椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故可化为方程表示为椭圆化简得：代入方程得：，，，故故选点睛：本题主要考查了三角函数的计算问题，以平面直角坐标系为载体，新定义坐标系，建立两坐标之间的关系，代入化简，由题意中的椭圆求出的值，再次代入求出结果，计算量比较大，有一定的难度。
河北省石家庄市2020届高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题
河北省石家庄市2019届高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题(时间120分钟，满分150分）注意事项：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I 卷时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷(选择题,共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含的元素个数为A. OB. 1C. 2D. 33. 设随机变量ξ服从正态分布),1(2σN .若P(ξ<2)=0.8，则p(0<ξ<1)的值为A. 0.2B. 0.3C.0.4D. 0.64 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则 该双曲线的标准方程为5. 执行右面的程序框图，输出的S值为A. 1B. 9C. 17D. 20A. π2B. 4C. πD.-9π7. 现釆用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率:先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A. 0.852B. 0.8192 C O.8 D. 0.758.巳知点(x,y)在ΔABC所包围的阴影区域内(包含边界),若B(3,A.f(x-2)—定是奇函数B.f(x+1)—定是偶函数C. f(x+3)一定是偶函数D, f(x-3)一定是奇函数10. 已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为A 4πB, 12πA. a>b>c B, a>c>b C. c>b>a D. b>a>c第II 卷(非选择题,共90分）本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空題,本大通共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(2,3)与圆(x-1)2+y 2=1相切的直线方程为_____.14. 如图,正方形ABCD 中,EF//AB,若沿EF 将正方形折成一个二面角15.为举办校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分 别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须 有女生参加,則不同的推荐方案的种数为_______.(用数字作答）16.在ΔABC 中，B ∠=600，O 为ΔABC 的外心，P 为劣弧AC 上一动点，且OC y OA x OP += （x,y∈R)，则x+y 的取值范围为 ____ _____三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分）如图，有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸（不知 道它们的高度，且不能到达对岸），某人想测量两 座建筑物尖顶A 、C 之间的距离，但只有卷尺和测 角仪两种工具.若此人在地面上选一条基线EF ，用 卷尺测得EF 的长度为a ，并用测角仪测量了一些角度：a AEF =∠,β=∠AFE ，θ=∠CEF ,ϕ=∠CFE ,γ=∠AEC 请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果.18.(本小题满分12分）为了调査某大学学生在某天上网的时间，随机对lOO 名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：表l:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)从这100名男生中任意选出3人，其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率；(II)完成下面的2X2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？表3:•附：19. (本小题满分i2分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD, 0120=∠BAD,AD=AB=1,AC 和 BD 交于O点.ABC，090∠ADC∠==(I)求证：平面PBD丄平面PAC(II)当点A在平面PBD内的射影G恰好是ΔPBD的重心时，求二面角B-PD-G的余弦值.20. (本小题满分12分）直线l 交椭圆于A,B 两点.(I)若ΔABF 2为正三角形，求椭圆的离心率；21 (本小题满分12分） 设函数f(x )=x 2+aln(x+1)(I)若函数y=f(x)在区间[1,+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；请考生在22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-l:几何证明选讲如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点A,B,C,D 弦AD 和BC 交于Q 点，割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F ，点M 在EF 上，且BMF BAD ∠=∠:(I)求证:PA·PB=PM·PQ (II)求证：BOD BMD ∠=∠23. (本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系.x0y 中，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2=(I)求曲线l的直角坐标方程；的值24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R). (I)当a=1时，解不等式f(x)>3;(II)不等式1)(≥x f 在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围2019年高中毕业班第一次模拟考试数学理科答案一、选择题A 卷答案1-5 DCBCC 6-10 ADADD 11-12 ADB 卷答案1-5 DBCBB 6-10 ADADD 11-12 AD 二、填空题13 . 4310x y -+=或2x = 14 .4515 . 24 16 . []1,2三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分)17.解：第一步：在AEF ∆中，利用正弦定理，sin sin(180)AE EFβαβ︒=--， 解得sin sin()a AE βαβ=+；……………4分第二步：在CEF ∆中，同理可得sin sin()a CE ϕθϕ=+；……………8分第三步：在ACE ∆中，利用余弦定理，AC ==…………12分 （代入角的测量值即可，不要求整理，但如果学生没有代入，扣2分） 18．解：（Ⅰ）由男生上网时间频数分布表可知100名男生中，上网时间少于60分钟的有60人，不少于60分钟的有40人，………………2分故从其中任选3人，恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为 1260403100C C C ……………4分 156539=………………6分 （Ⅱ） (822)200(18002800)200 2.201001001307091K ⨯-==≈⨯⨯⨯，………………10分∵2 2.20 2.706K ≈<∴没有90％的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.………………12分 19. 解：（Ⅰ）依题意Rt ABC Rt ADC ∆≅∆，BAC DAC ∠=∠，ABO ADO ∆≅∆，所以AC BD ⊥，……2分而PA ⊥面ABCD ，PA BD ⊥，又PA AC A =，∴BD ⊥面PAC ， 又BD ⊂面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD …………4分（Ⅱ）过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示坐标系，则1,0)2B -，(0,1,0)D，0)C ,设(0,0,)P λ，所以1,)63G λ， 31(,)2PB λ=--，由AG PB ⊥，得311(,)(,,)066322AG PB λλ⋅=⋅--= 解得212λ=，λ=.………………6分 ∴P 点的坐标为(0,；面PBD的一个法向量为6(3,1,AG ==m ，……………8分设面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n，(CD=，(0,1,PD = 00PDCD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00z -==⎪⎩，∴=n ………………10分cos ,||||⋅<>===n m n m n m ， 所以二面角B PD A --．……………12分 20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知1212||||||||AF AF BF BF +=+，又22||||AF BF =，∴11||||AF BF =，即12F F 为边AB 上的中线，∴12F F AB⊥,……………………2分 在12Rt AFF △中，2cos30,43c a ︒=则c a =，．…………………4，没有过程扣3分） （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y 因为0e <<，1c =，所以a >…………6分 ①当直线AB x 与轴垂直时，22211y a b +=，422b y a=，4121221b OA OB x x y y a ⋅=+=-,42231a a a -+-=22235()24a a --+， 因为2532+>a ，所以0OA OB ⋅<， AOB ∴∠恒为钝角，∴222OA OB AB +<.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =+，代入22221x y a b+=，整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-=，22122222a k x x b a k -+=+，222212222a k ab x x b a k -=+ 1212OA OB x x y y ⋅=+212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++ 2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k ab k a k k b a k b a k -+-++=+ 2222222222()k a b a b a b b a k +--=+ 24222222(31)k a a a b b a k -+--=+………………10分 令42()31m a a a =-+-， 由 ①可知 ()0m a <，AOB ∴∠恒为钝角.，所以恒有222OA OB AB +<．………………12分21. 解：（Ⅰ）0122)(2/≥+++=x ax x x f 在区间),1[+∞上恒成立， 即x x a 222--≥区间),1[+∞上恒成立， …………………1分4-≥a .………………3分经检验， 当a ＝- 4时， 1)1)(2(21422)(2/+-+=+-+=x x x x x x x f ，),1[+∞∈x 时，0)(/>x f ，所以满足题意的a 的取值范围为[4,)-+∞.………………4分（Ⅱ）函数的定义域),1(+∞-，0122)(2/=+++=x ax x x f ，依题意方程0222=++a x x 在区间),1(+∞-有两个不等的实根，记a x x x g ++=22)(2，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->->->∆1210)1(0g ，得210<<a .……………………6分,121-=+x x 022222=++a x x ，221212a x -+-=，0212<<-x ，2222222121)1ln()22()(x x x x x x x f --++-=，令)0,21(,1)1ln()22()(22-∈--++-=x x x x x x x k ……………………8分)1ln(21)(2+++-=x x x x x k ，)1ln(2)1()(22/+++=x x x x k ， 32//)1(262)(+++=x x x x k , 因为2)0(,1)1(////=-=-k k ，存在)0,1(0-∈x ，使得0)(0//=x k ， 0)0(/=k ，02ln 21)2(/<-=-k ，0)(/<∴x k ，所以函数)(x k 在)0,2(-为减函数，…………………10分)21()()0(-<<k x k k 即2ln 21)(012+-<<x x f ……………………12分 法二:6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.【证法2】2x 为方程2220x x a ++=的解，所以22222x x a --=,∵102a <<， 120x x <<，212x =-，∴2102x -<<, 先证21()0f x x >，即证2()0f x <（120x x <<）,在区间12(,)x x 内，()0f x '<，2(,0)x 内()0f x '>，所以2()f x 为极小值，2()(0)0f x f <=,即2()0f x <，∴21()0f x x >成立；…………………8分再证21()1ln 22f x x <-+，即证22211()(ln 2)(1)(ln 2)(1)22f x x x >-+--=-+,222222211(22)ln(1)(ln 2)ln 222x x x x x -++-->-,令221()(22)ln(1)(ln 2)2g x x x x x x =-++--， 1(,0)2x ∈-…………………10分2(1)1()2(42)ln(1)(ln 2)12x x g x x x x x +'=-++---+,12(21)ln(1)(ln 2)2x x =-++--,ln(1)0x +<，210x +>，1ln 202-<,∴()0g x '>，()g x 在1(,0)2-为增函数．111111()()(21)ln (ln 2)244222g x g >-=-⨯-+-111111ln ln 2ln 2422422=++-=-． 综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立．………………………12分22.证明:（Ⅰ）∵∠BAD ＝∠BMF ，所以A,Q,M,B 四点共圆，……………3分所以PA PB PM PQ ⋅=⋅.………………5分(Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅ ,∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ，又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆，……………7分 ∴PMD PCQ ∠=∠ ,则DCB FMD ∠=∠,………………8分 ∵BAD BCD ∠=∠，∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠,2BOD BAD ∠=∠,所以BMD BOD ∠=∠.…………………10分23.解：(Ⅰ)依题意22sin cos ρθρθ=………………3分得：x y =2∴曲线1C 直角坐标方程为：x y =2.…………………5分(Ⅱ)把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty tx 22222代入x y =2整理得：0422=-+t t ………………7分0>∆总成立，221-=+t t ，421-=t t23)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB ………………10分 另解：(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2，把x y -=2代入x y =2得：0452=+-x x ………………7分0>∆总成立，521=+x x ，421=x x 23)445(212212=⨯-=-+=x x k AB …………………10分 24. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x ⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞………………5分 (Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x a x a x x a x x f ,2232,222,223)(； 时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩； 时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x a x a x x f ； ∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分 则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分。
2024届石家庄一模数学试题+答案
2024年普通高中学校毕业年级教学质量检测（一）数学（时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知抛物线21:2C y x =，则C 的准线方程为（ ） A ．18x =B ．18x =− C ．18y =D ．18y =−2．已知复数121iz =+，复数22i z =，则12z z −=（ ）A ．1BCD ．103．已知命题():0,,e ln xp x x ∀∈+∞>，则（ ）A ．p 是假命题，():,0,ln xp x e x ¬∃∈−∞≤ B ．p 是假命题，():0,,ln xp x e x ¬∃∈+∞≤C ．p 是真命题，():,0,ln xp x e x ¬∃∈−∞≤ D ．p 是真合题，():0,,ln xp x e x ¬∃∈+∞≤4．已知圆台,O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ） A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是（ ） A ．66log 0.5log 0.7> B ．0.50.60.6log 0.5> C ．65log 0.6log 0.5>D ．0.6050.60.6>6．集校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：身高x （单位：cm) 167 173 175 177 178 180 181 体重y （单位：kg) 90545964677276由表格制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点()167,90对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r ．则下列选项正确的是（ ）A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<>B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <><C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x =′仍是x 的函数，通常把导函数()y f x =′的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x =′′，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，1n −阶导数的导数叫做n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()()n y fx =，例如e x y =的n 阶导数()()e e n xx =．若()cos2x f x xe x =+，则()()500f =（ ） A ．49492+B ．49C ．50D ．50502−8．已知函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于,A B 两点．若3AB π=，则ω=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
(全优试卷)河北省石家庄市高三数学一模考试(理科)试题 Word版含答案
2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =( )A ．{}|13x x ≤≤B ．{}|03x x ≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( ) A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF的面积为则准线l 的方程为( )A．x =B．x =-C ．2x =-D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p :n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.1024 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥, ∵BD ⊄平面SAD ,SDAD D =,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则(3,2,3)SB =-，(33,0,3)SA =-，(2,3)SC =-，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z=，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =，∴1212cos 91||||13n n n n θ⋅===-⋅.19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得221)1D n x n -=+，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+22),1m m -=+② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x af x x x x x -+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为1x =，2x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞．（Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ， 于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---，令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈． []22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ=， 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值， 此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =． 23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立，所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-；当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。
石家庄市2019届高中毕业班第一次模拟测试数学(理科)试卷含答案
C M y
B
CB n x2 3 y2 0 则 CF n x2 3z2 0
解得 x2
3 ， y2 1 ， z2 1 即 n ( 3, 1, 1) „„„„10 分
mn 3 1 0 2 5 2 2 m n 2 3 1 1 5
∴ BD 3 ,即 BD 长的最小值为 3. „„12 分
18. 解： （1）证明：在 PBC 中， PBC 60 ， BC 2 ， PB 4 ，由余弦定理可得 PC 2 3 ，
o
PC 2 BC 2 PB2 ， PC BC ，„„„„2 分
又 PC AB, AB BC B ，
2
三、解答题 17. 解: （1） ∵△ABC 三内角 A、B、C 依次成等差数列，∴B=60° 设 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,由 S 3 3 =
1 ac sin B 可得 ac 12 .„„2 分 2
„„4 分
∵ sin C 3sin A ，由正弦定理知 c 3a ，∴ a 2, c 6 . △ABC 中，由余弦定理可得 b2 a 2 c 2 2ac cos B 28 ，∴b= 2 7 . 即 AC 的长为 2 7 （2）∵BD 是 AC 边上的中线，∴ BD
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
试卷类型：A2010年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数 学(理科)说明：1．本试卷共4页，包括三道大题．22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n p k (1-p) k n - (k=0，l ，2，…，n)球的表面积公式S=4πR 2其中R 表示球的半径球的体积公式V=34πR 3其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，周期为π的是A ．y=sin2x B ．y=sin2x C ．y=cos 4x D ．y=tan2x 2．已知数列{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=15，a 4=7，则S 6的值为A ．30 8．35 C ．36 D ．243．已知函数f(x)的反函数f 1-(x)的图象经过4(1，O)点，则函数y= f(x-1)的图象必过点A ．(1，1)B ．(0，1)C ．(一1，2)D ．(一l ，1)4．动点P 到A(0，2)点的距离比它到直线l ：y=-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为A ．y 2=4xB ．y 2=8xC ．x 2=4yD ．x 2=8y5．设(1-2x)10=a 0 + a 1x + a 2x 2+…+ a 10x 10，则a 1+22a +232a +…+9102a 则的值为 A ．2 8．-2 C ．2043 D ．20466．若定义在[-1，1]上的两个函数f(x)、g(x)分别是偶函数和奇函数，且它们在[0， 1]上的图象如图所示，则不等式)()(x g x f <0的解集为A ．(-31,0)∪(31,1) B ．(-31,31) C ．（-1，-31)∪(31,1) D ．(-31，0) 7．过直线y=x 上一点P 引圆x 2+y 2-6x+7=0的切线，则切线长的最小值为 A ．22 B. 223 C ．210 D.2 8．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则A 1E 与BD 所成角的余弦值为A ．53 B. 1030 C ．43 D ．77 9．等腰直角三角形ABC 中，A=2π，AB=AC=2，M 是BC 的中点，P 点在∆ABC 内部或其 边界上运动，则即BP ·AM 的取值范围是A ．[-l ，0]B ．[1，2]C ．[-2，-1]D ．[-2，0]10．函数f(x)=sinx+2x f '(3π) ，f '(x)为f(x)的导函数，令a=-21，b=log 32,则下列关系正确的是A ．f(a) > f(b)B ．f(a) ＜ f(b)C ．f(a) = f(b)D ．f(|a|) ＜ f(b)11．如图，棋盘式街道中，某人从A 地出发到达B 地．若限制行进的方向只能向右或向上，那么不经过E 地的概率为A ．21B ．73C ．53 D. 5212．椭圆22a x +22by =1(a>b>0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且α∈[12π,4π]，则该椭圆离心率的取值范围为 A ．[22,1 ) B ．[22,36] C ．[36，1) D ．[22,23] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分；共20分．13.复数ii ++13的虚部为 14．已知集合A={x ︱︱x-a ︱≤l}，B={x ︱0652≥--x x }，若A ∩B=φ，则实数a 的取值范围是15．奇函数f(x)的图象按向量a 平移得到函数y=cos(2x 一3π)+1的图象,当满足条件的 ∣a ∣最小时，a =16．三棱锥A —BCD 内接于球0，BC=AD=32，AB=CD=2且∠BAD=∠BCD=2π，顶点 A 在面BCD 上的射影恰在BC 上，。
一动点M 从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经 过其它兰个顶点后回到出发点，则动点M 经过的最短距离为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤r17．(本小题满分l0分)如图，已知平面四边形ABCD 中，∆BCD 为正三角形，AB ＝AD=1，∠BAD=θ，记四边 形ABCD 的面积为S.(I)将S 表示为θ的函数；(Ⅱ)求S 的最大值及此时θ的大小．18．《本小题满分12分)已知公比q 为正数的等比数列{n a }的前n 项和为n s ，且4245s s =．(I)求q 的值；(Ⅱ)若()*-∈≥+=N n n S q b n n ,2,1且数列{n b }也为等比数列，求数列{(2n 一1)n b } 的前n 项和n T ．19.(本小题满分l2分)为提高某篮球运动员的投篮水平，教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录：每 次投中记l 分，投不中记一1分，统计平时的数据得如图所示频率分布条形图．若在某场训练中，该运动员前n 次投篮所得总分司为n s ，且每次投篮是否命中相互之间没有影响．(I)若设3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望；(Ⅱ)求出现28=S 且()3,2,10=≥i S i 的概率。
20．(本小题满分12分)如图，平行六面体ABCD —1111D C B A 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=3π 其中AC 与BD 交于点G ，1A 点在面ABCD 上的射影0恰好为线段AD 的中点。
(I)求点G 到平面11A ADD 距离；(Ⅱ)若G D 1与平面11A ADD ，所成角的正弦值为43， 求二面角1D -OC-D 的大小．21．(本小题满分12分) 如图，已知双曲线12222=-by a x (b>a>O)且∈a [1，2]，它的左、右焦点分别为21,F F ，左、右顶点分别为A 、B ．过2F 作圆222a y x =+的切线，切点为T ，交双曲线于P,Q 两点.(I)求证：直线PQ 与双曲线的一条渐近线垂直； (II) 若M 为2PF 的中点，0为坐标原点，∣OM ∣-∣MT ∣=1，∣PQ ∣=λ∣AB ∣，求实数λ的取值范围．22．(本小题满分l2分)已知过原点（0，0）作函数，()()a x x e x f x +-=2的切线恰好有三条，切点分别为 ()()()332211,,,,,y x y x y x ，且321x x x(I) 求实数a 的取值范围；(Ⅱ)求证：1x <-3．2010年石家庄市第一次模拟考试理科数学答案审核：魏会阁 校对：李茂生一选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.（A 卷答案）:1-5 BCADB 6-10 ACBDA 11-12 DB（B 卷答案）:1-5 DCABD 6-10 ACDBA 11-12 BD二、填空题: 本大题共4个小题，每小题5分，共20分13． 1- 14. {|05}a a << 15. ,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 4π 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：(Ⅰ)在ABD ∆中，由余弦定理得θcos 222-=BD ,……………………….1分 又ABD BCD S S S ∆∆=+=sin)cos 22(21sin 21θθ-+3π……………………………3分所以sin()3S θπ=-+ ，(0,)θ∈π ……………………………….5分 （Ⅱ） (,0∈θπ ） 2333θπππ∴-<-<，……………………………….7分 所以当231S 6523+==-取得最大值，最大值为时，时，即πθππθ. …10分 18．解（Ⅰ）若1=q ， 则12105a S = ,14164a S = ,,01≠a ∴4245S S ≠，不合题意. ……………………………………………….2分若1q ≠，由4245S S =得q q a q q a --⨯=--⨯1)1(41)1(54121，∴,412=q 又,0>q ∴21=q . ……………………………………………………………………………..5分 (Ⅱ)21111)21(221211])21(1[21--⋅-+=--+=n n n a a a b ，…………………………….7分 由{}n b 为等比数列知：02211=+a ，得 411-=a ， ∴n n n b 21)21(412=⋅=-. ….........................................................................................9分则n n n T 21225232132-++++= ， ① 132212232232121+-+-+++=n n n n n T ， ② ①-②得-=3n T 232n n +. ………………………………………………………………..12分 19. 解：（Ⅰ）分析可知ξ的取值分别为1，3. …………………………………………..2分22223312212(1)()()()(),33333p C C ξ∴==+= 33121(3)()(),333p ξ==+=…………………………………………………………….4分 ξ∴的分布列为21513.333E ξ=⨯+⨯= ………………………………………………………….6分 （Ⅱ）若28=S ，说明前八次投篮中，五次投中三次未投中，又)3,2,1(0=≥i S i 所以包含两种情况.第一种情况：第一次投中，第二次未投中，第三次投中，后五次中任意两次未投中.此时的概率为232152121233333P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=35253132⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C . ………………..8分 第二种情况：第一次和第二次都投中，后六次中任意三次未投中.此时的概率为3332622123333P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=35363132⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C . ……………………………………..10分 所以出现82S =且0(1,2,3)i S i ≥=的概率为：=+=21P P P 732032032187=. …….12分 20．解：(Ⅰ) 连结BO ,取DO 中点H ，连结GH ,因为1A O ⊥平面AC ,所以平面1AD ⊥平面AC ，又底面为菱形，O 为AD 中点，所以BO ⊥平面1AD ，因为GH ∥BO ，所以GH ⊥平面1AD ，…………………….3分 又GH =12BD =32， ξ 1 3 P 23 13所以点G 到平面11ADD A 的距离为32. …………………………………………..5分 (Ⅱ)方法一： 分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则 13(,,0)2G -，1(2,0,)D a -，所以133(,,)22D G a =-， 面1AD 的一个法向量()=0,3,0n ， 所以12332cos ,=33D G a ⋅+ n = ，解得1a =，…………………………………7分 因为面OCD 的一个法向量为(0,0,1)=n ，………………………………………………8分 设面1OCD 的一个法向量为(,,)x y z =p ，则1(2,0,1)OD =-，(2,3,0)OC =-，则有10;0.OC OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩p p 所以23020x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取3x =，(3,2,23)=m ， …………………………………………………………10分 则23257cos ,1919<>==p m ， 所以二面角1D OC D --的大小为257arccos19. ………………………………… 12分 方法二:连结1D H ,由（1）可知1GD H ∠为直线1D G 与平面1AD 所成角.则113sin 4GH GD H D G ∠==， 所以12D G =………………………….6分过1D 做11D O 垂直AD ,交其延长线于1O 点，连结1O G ,在1O DG ∆中，11,O D DG ==123GDO π∠=，所以1OG =， 那么在直角三角形11D O G ，11D O =1，………………………………………….8分过1O 做1O M CO ⊥于点M ，连结1D M ，则11D MO ∠为所求二面角的平面角， ………………………………………….9分 连结1CO ,则1OO 1O C ⊥，且1OO =2，1OC = 则在△1OO C中，1O M =，………………………………………………..11分所以11111tan 6D O D MO O M ∠==， 所以所求二面角1D OC D --的大小为arctan6……………………………12分 21．解：（Ⅰ）双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的渐近线为b y x a=±， 设直线PQ 的方程为()y k x c =-,(不妨设0<k )，由于与圆222x y a +=相切，∴a =，即222a k b =，直线PQ 的斜率a k b =-，…………………….3分 因为一三象限的渐近线为b a， 1a b b a-⋅=-. 所以直线PQ 与双曲线的一条渐近线垂直；……………………………………….5分 （Ⅱ）2222()1y k x c x y a b=-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22222222222()20b a k x a k cx a k c a b -+--=，设1122(,),(,)P x y Q x y ,则221222222222122222a k c x x b a k a k c a bx x b a k ⎧-+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，所以||PQ =222222(1)||ab k b a k +=-2222ab b a =-，…….7分 因为11||||2OM PF =,221||||2F M PF =, 2211||||(||||)2F M OM PF PF a -=-=， ||||1OM MT -=,代入上式得2||||1F M MT a -=+,又22||||||F M MT F T b -===，所以1b a =+. ……………………………………………………………………..9分因为||2AB a =，2222||ab PQ b a=-， λ22222(1)12121b a a b a a a +===+-++，………………………………………….10分 令21,t a =+则1,2t a -=[3,5]t ∈，11214t t λ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦， 因为1t t+在[3,5]为增函数，所以49,35λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ……………………………..12分 22. 解(Ⅰ))1()(2'-++=a x x e x f x ，设切点为),(00y x ，则切线方程为))(1()(002002000x x a x x e a x x e y x x --++=+--，代入（0，0）得0030=-+a ax x ，由题意知满足条件的切线恰有三条，则方程03=-+a ax x 有三个不同的解. …………………………………………….2分令a ax x x g -+=3)( , a x x g +=2'3)(. 当0≥a 时,）上增函数，是（∞+∞-≥)(,0)('x g x g ，则方程03=-+a ax x 有 唯一解, ………………………………………………………………………………………..3分当0<a 时 ，由30)('a x x g -±==得, ）上是减函数）上是增函数，在（和（在3,3,3)3,()(a a a a x g ---+∞----∞要使方程03=-+a ax x 有三个不同的根，只需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--.03;03a g a g⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--.033;03333a a a a a a a a ……………………………………………….5分 解得427-<a . …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）法一 : 由已知得a ax x x x x x x x -+=---3321))()((,则 a x x x x x x x x x =++=++323121321,0，a x x x =321. 由0,0,00427321>><<-<x x x a 知………………………………………8分 8)(22))(11()11(3223232222232322322212322≥++++=++=+x x x x x x x x x x x x x x x , 又因为32x x ≠所以811212322>+x x x ）（, 212322811x x x >+,…………………………………………………………………10分 又1111321=++x x x , 所以)111(2111)111(2331212322212321x x x x x x x x x x x x +++++=++ 11111112111232221232221321321232221=++∴++=+++++=x x x x x x x x x x x x x x x又2121212322219811111x x x x x x =+>++=, 39121-<>∴x x 即………………………………………………………………..12分法二a ax x x g -+=3)(,,(),0x g x g ⎛→-∞→-∞> ⎝, 由函数连续性知31a x --<<∞-,………………………………………8分 274a <-，(3)2740,g a ∴-=-->……………………………………10分且3-< 31-<∴x . ……………………………………………………………………...12分。