材料力学09组合变形_1斜弯曲_土

解： 梁为斜弯曲 作弯矩图 可见危险截面位于固定 端处，其上铅垂弯矩、 水平弯矩分别为
Mz 1.5 kN m
M y 2 kN m
1.5 kN m Mz
2 kN m
My
x x
9
抗弯截面系数
Wz

bh2 6
46875 mm3
Wy

hb2 6
31250
mm3
1.5 kN m
第九章 组合变形
第一节 引 言
主要任务： 解决组合变形杆件的强度问题 基本假设： 在线弹性、小变形条件下，假设组合变形中的每一
种基本变形彼此独立、互不影响。 基本方法： 叠加法，即将组合变形分解为几种基本变形，分别
计算每种基本变形的内力、应力；然后进行叠加， 确定构件的危险截面、危险点以及危险点的应力状 态；最终建立组合变形杆件的强度条件。
解： 大梁为斜弯曲 当小车行至梁跨度中点时，
梁的最大弯矩最大。
将 F 沿 y、z 主轴分解，有
Fy F cos 29 kN
Fz F sin 7.76 kN
作弯矩图， 可见跨中截面为危 x
险截面，其上铅垂弯矩、水平 M z
Mz
弯矩分别为 x
Mz Fy l / 4 29 kN m
max

M max Wz
Fl 4 43.3 MPa Wz
可见，载荷虽然只偏离了铅垂线 15°，但最大正应力却为原来的 3.5 倍。因此，当截面的 Wz 和 Wy 相差较大时，应尽量避免斜弯 曲。
8
[例2] 图示矩形截面梁，已知 l = 1m，b = 50 mm，h = 75 mm。试 求梁中最大正应力及其作用点位置。若截面改为直径 d = 65 mm 的 圆形，再求其最大正应力。
29 106 692.2 103

7.76 106 70.8 103
MPa
所以，大梁的强度符合要求。
7
max
Mz Wz

My Wy
29106 7.76106 692.2103 70.8103
151.5 MPa
讨论：若载荷不偏离铅垂线，则有
A
Mz Mz
My My
z
Fz
B
F Fy
y
l
x x
2
3. 分析危险截面上的应力
铅垂弯矩 Mz 引起的应力
z

Mz Iz
y
水平弯矩 My 引起的应力
y

My Iy
z
总应力
Mz y My z
Iz
Iy
说明：总应力 的正负由 Mz、My、
y、z 的正负号确定。
A
Mz Mz
My My
z B
x
梁中的最大弯曲正应力
Mz
发生在固定端截面的 1、
x
2 两点，大小为
2 kN m
My
max
Mz Wz

My Wy
1.5103 2.0103 46 875109 31 250 109
96 MPa
10
若截面改为直径 d = 65 mm的圆形，再求其最大正应力。
圆形截面梁的截面没有棱角，不能按上述方法计算，因为两个弯 矩 引起最大应力点不是同一个点。由于圆为中心对称图形，故只需 危将险截面上的合成 弯危矩险截面上的两个弯矩合成后，即可按对称弯曲计算。
My
My
M y Fz l / 4 7.76 kN m
6
Mz 29 kN m
M y 7.76 kN m
查型钢表，No. 32a 工字钢的抗弯截面系数
Wz 692 cm3
Wy 70.8 cm3
根据具有棱角截面的斜弯曲梁的强度条件
max
Mz Wz

My Wy

max
Mz Wz

My Wy
≤

其中，Mz、My 分别为危险截面上的铅垂弯矩、水平弯矩。
5
[例1] 如图，桥式起重机大梁由 No. 32a 工字钢制成，梁长 l = 4 m，
材料的许用应力[ ] = 160 MPa 。吊车行进时载荷的方向偏离铅垂 线一个角度 。已知 =15°、F = 30kN，试校核大梁强度。
M
M
2 z

M
2 y
2.5 kN m
此时梁中的最大弯 曲正应力
max
M Wz

2.5103 N m π 653 109 m3
92.7
MPa
32
M z 1.5 kN m M y 2 kN m
11
Mz Iz
y0

My Iy
z0
0
中性轴为一条通过截面形心的直线
离中性轴最远的点即为危险点 4
说明： 2）中性轴的斜率
tan y0 Iz tan
z0 I y 若 Iz ≠Iy，则 ≠ ，即中性轴不垂 直于载荷作用平面，故称为斜弯曲。
m nA
z
F 中性轴
y
5. 根据危险点的应力状态建立强度条件 危险点为单向拉伸（压缩）应力状态，故对于具有棱角截面的斜 弯曲梁，其强度条件为
1
第二节 斜弯曲
1. 分析载荷，判断变形类型 两个对称弯曲的组合（弯弯组合）
2. 分析内力，确定危险截面及其 上内力
作内力图： 危险截面位于固定端 A 处，其上
铅垂弯矩： M z Fl cos 水平弯矩： M y Fl sin
说明： 1）规定使截面上第一象限的点 受拉的弯矩为正。 2）组合变形强度计算时，弯曲内力只 考虑弯矩。
F
y
l
x
x
3
4. 确定危险点及其应力状态
m
z
对于具有棱角截面，可直接判断危险
点。 显然，危险点为 m 点或 n点。
nA
危险点为单向拉伸（压缩）应力状
F 中性轴
y
态，其处最大正应力
max
Mz Wz

My Wy
说明： 1）对于无棱角截面，则需根据中性轴判断危险点。
记中性轴上任一点的坐标为 ( z0 , y0 ) ，由 = 0，得中性轴方程