方向导数与偏导数
方向导数与偏导数
¶l
t® 0
x0
t
t® 0
t
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方向导数的定义
定义: 设
单位向量为
r e
xr0
.
Î R2, 是平面上一向量，与l 同向的
二元函数
在
内让自变量x
l
由
xr0
沿与
r e
l
平行的直线变到
从而对应的函数值有改变量
lim f (xr0 + terl
f(
)-
xr0
f
r (+xr0t)el
第五章
3.1 方向导数与偏导数
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r l
引例: 设 xr0 Î 其单位向量记为
R2
r
,
e
,
是平面上某一向量，
r el
是一个二元函数.
l
现讨论
f
在点xr0
处沿l
L r x0
方向的变化率.
解：过点 作与l 平行的直线 L,它的方程为
f (x)在点xr0 处沿方向l 的变化率，就是当点x 在直线 L 上变化时f (x)在点xr0 处的变化率.
zx (x0 , y0 ) ;
即:
x0 x
x0
x
同理给出 f 对 y 的偏导数的记号和定义式.
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定义 设函数 z f (x, y)在区域D 内有定义，
则f 对x 及 y 的偏导函数分别定义为
及
其中 (x, y) ? D,(x Dx, y) ? D,(x, y Dy) ? D.
(1) 定义中的 t 的绝对值是两点 xr0 与xr0 + terl 之间的距离d .
§7.3 方向导数、偏导数与全微分
西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(2007~2008下)
当P(x, y)沿着直线 l 变动时, 二元函数f(x, y)可表示为与 f(x, y)= f(x0+tv1, y0+tv2) 此时f(x, y)表示为t 的一元函数. 令 g(t)= f(x0+tv1, y0+tv2)，则 g(0)= f(x0, y0).
x0
O
y0
西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(2007~2008下)
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xy 2 2 , x y 0 例5 讨论函数 f ( x, y ) x 2 y 2 2 2 0, x y 0 在点(0,0)处的偏 导数与连续性的关系.
解 由偏导数的定义知道 f ( x ,0) f (0,0) (0, 0) lim fx 0 x 0 x f (0, y ) f (0, 0) f y (0, 0) lim 0 y 0 y 函数f (x,y)在点(0,0)处的两个偏 导数均存在. 但是函数f (x,y)在点(0,0)处是不连续的.
dz z xdx z y dy
( y 3x y)dx (3xy x )dy;
3 2 2 3
西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(2007~2008下)
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(2) u ( x 2 y ) .
z
解
u , uy 2z( x 2 y) , x z( x 2 y )
梯度 f 是一个向量 , 其长度为 ( x , y )]2 [ f y ( x , y )]2 f [ f x
当 f 0 时, 称 f 的方向为梯度方向.
几何意义: 梯度方向是函数变化率最大的方向.
多元函数的连续性,偏导数,方向导数及可微性之间的关系
多元函数的连续性,偏导数,方向导数及可微性之间的关
系
多元函数这些性质之间的关系是：可微分是最强的性质，即可微必然
可以推出偏导数存在，必然可以推出连续。
反之偏导数存在与连续之间是
不能相互推出的（没有直接关系），即连续多元函数偏导数可以不存在；
偏导数都存在多元函数也可以不连续。
偏导数连续强于函数可微分，是可
微分的充分不必要条件，相关例子可以在数学分析书籍中找到。
其中可微分的定义是：
以二元函数为例（n元类似）
扩展：可微分可以直观地理解为用线性函数逼近函数时的情况（一元
函数用一次函数即切线替代函数增量，二元函数可以看做是用平面来代替，更多元可以看做是超平面来的代替函数增量，当点P距离定点P0的距离
p趋于零时，函数增量与线性函数增量的差是自变量与定点差的高阶无穷
小（函数增量差距缩小的速度快与自变量P靠近P0的速度））。
方向导数的计算公式
方向导数的计算公式方向导数是多元函数在其中一给定点沿任意指定方向的变化率。
在数学中，有多种方法可以计算方向导数，其中包括利用梯度向量和利用偏导数的公式。
首先，我们来介绍利用梯度向量计算方向导数的方法。
假设有一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，在其中一点P(x1,x2,...,xn)处的梯度向量记为∇f，其定义为：∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)方向导数D_u(f)表示函数f在给定点P沿着向量u=(a1,a2,...,an)的方向的变化率，计算公式为：D_u(f) = ∇f · u = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn) · (a1,a2, ..., an)其中，·表示向量的点积运算。
利用上述公式，我们可以得到一个向量的方向导数。
不过，需要注意的是，该公式适用于在其中一点P处的方向导数。
如果我们需要计算沿着一条曲线的方向导数，则需要将曲线参数化为一个向量函数并将其代入计算。
另外一种计算方向导数的方法是基于偏导数的公式。
在此之前，我们先来回顾一下偏导数的定义。
对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，其在其中一点P(x1,x2,...,xn)处的偏导数∂f/∂x_i 表示函数f在P点上沿着变量x_i方向的变化率。
有了偏导数的定义，我们可以得到沿任意指定方向的方向导数的计算公式：D_u(f) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn) · (du_1/du,du_2/du, ..., du_n/du)其中，du_i/du 表示向量u在第i个分量上的导数，即 u_i'(t)。
可以看出，该计算公式与梯度向量的计算公式相似，唯一的区别在于，在计算向量u在第i个分量上的导数时，需要应用链式法则。
在实际计算中，为了准确计算方向导数，我们可以采用以下步骤：1.计算多元函数f的梯度向量∇f；2.将所求的方向向量u归一化，即使其成为单位向量；3.计算向量u在多元函数f的梯度向量∇f上的投影，即D_u(f)=∇f·u。
函数 在点 可微、连续、偏导数存在、偏导数连续、方向导数之间的关系.
在数学中，对于多变量函数，以下是函数在某一点可微、连续、偏导数存在、偏导数连续以及方向导数之间的关系：
可微性与连续性的关系：
如果函数在某一点可微，那么它在该点必然是连续的。
可微性是连续性的一个更强的条件。
可微性与偏导数存在的关系：
如果函数在某一点可微，那么它在该点的偏导数必然存在。
可微性确保了函数在某一点处对每个自变量的偏导数都存在。
偏导数存在与偏导数连续的关系：
如果函数在某一点的偏导数都存在，并且这些偏导数在该点连续，那么函数在该点是可微的。
偏导数存在且连续是可微性的一个必要条件。
方向导数与可微性的关系：
如果函数在某一点可微，那么它在该点沿任意方向的方向导数都存在。
可微性保证了函数在某一点沿任意方向的变化率都存在。
总结起来，可微性是一个更强的条件，它包含了连续性、偏导数存在和偏导数连续的要求。
方向导数的存在与可微性也有关系，可微性保证了函数在某一点沿任意方向的变化率都存在。
这些关系反映了函数在点的各个性质之间的相互依存关系。
多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系思考
本篇文章，探讨下多元函数微分学下的一些知识点之间的关系。
包括全微分、偏导数、方向导数、梯度、全导数等内容。
初学这些知识的时候，学生会明显觉得这些概念不难掌握，而且定义及计算公式也很容易记住，但总觉得差那么点东西，说又不知道从何说起。
反正笔者是这种感觉。
其实最根本的原因是没有理清这些知识间的关系，对这些知识并没有本质的理解。
不妨现在就跟笔者一起再重新认识下它们，看看是否解开了你内心得些许疑惑。
一、导数和微分到底是什么，以及为什么会有这些概念关于导数和微分到底是个什么玩意，笔者在探讨一元函数微分的时候有清晰的描述，现在再复述一遍，如下：导数和微分其实就是数学家创造的两个代数工具，是为了从代数的角度来描述函数图像在几何上的变化。
说白了，就是每次描述函数图像变化，不用再画图了，有了这个，直接用算式算算就行了。
因此导数和微分也是沟通几何和代数的重要桥梁之一。
而导数描述的是函数在一点处的变化快慢的趋势，是一个变化的速率，微分描述的是函数从一点（移动一个无穷小量）到另一点的变化幅度，是一个变化的量。
我们知道在一元函数中，函数从一点到另一点的变化只有一个方向，就是沿着函数曲线移动就行了。
而且函数在某一点处的切线也只有一条，因此函数的变化快慢只由这个切线（的斜率）决定。
然而多元函数就不同了，多元函数往往是一个面，这也是为什么多元函数的微分学会多出那么多东西，催生那么多概念。
但是不要怕，其实多出的东西只是一元函数微分的拓展，本质都是一样的，不信请跟着笔者往下看，不难的，万变不离其宗。
我们来看图1。
现在跟着笔者，咱们一起像数学家一样来思考（其实学会从数学家的角度来思考问题，往往最能达到理解知识的本质的目的）。
描述函数的变化，一个是描述函数的变化快慢，一个是描述函数变化多少。
比如图1中，类似于一元函数的探讨，我想知道函数在A点变化的快慢趋势，以及从A点到B点变化的幅度是多少。
另外我们多元函数的图像还有一个有意思的问题，就是函数可以固定一个变量，让另一个变量来变化，那么这又是与一元函数的十分不同的变化了，其实这是一个变化维度的问题。
2 偏导数 方向导数
z f z 数，记作 ， ， y 或 f y ( x , y ) . y y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
如图
几何意义:
偏导数 f x ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0
x 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0Tx 对 轴的
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x 0
y 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0T y 对 轴的
斜率.
二、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f xx ( x , y ), 2 f yy ( x , y ) x x x y y y
解
| x0|0 0 f y (0,0). f x (0,0) lim x 0 x
xy 2 2 例 5 设 f ( x, y) x y 0 求 f ( x , y )的偏导数.
( x , y ) ( 0,0 ) ( x , y ) ( 0,0 )
解
当( x , y ) (0,0)时, 按定义可知：
f ( x ,0) f (0,0) 0 f x (0,0) lim lim 0, x 0 x 0 x x f (0, y ) f (0,0) 0 f y (0,0) lim lim 0, y 0 y 0 y y
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例2 (2）求多元函数 ux2sinx(y)的高阶偏导数
解：输入命令
>> syms x y u %定义符号变量 >> u=x^2*sin(x*y);%给出函数 >> dx2=diff(u,x,2);%对x求2 阶偏导 >> dy2=diff(u,y,2);%对y求2 阶偏导 >> dxdy=diff(diff(u,x),y); %先对x求偏导， 再对y求偏导
f f f x y z
g g g
x hxy hyz h
z
作业
计算习题9.3.1第2、3、4题
谢谢！
g(t) f ( p0 tev ) f v ( p0) g'(0)
例2.用matlab求函数 ux2sinx(y)在点A(5,1)沿点A(5,1) 到点B(9,4)的方向上的方向导数
解：输入命令
>>A=[5,1 ];%给出点A >>B=[9,4 ];%给出点B >>L=sqrt(sum((B-A).^2));%求AB线段长 >>cosx=(B(1)-A(1))/L;%求方向向量的第一分量 >>cosy=(B(2)-A(2))/L; %求方向向量的第二分量 >>syms x y t%定义符号变量 >>g=(x+t*cosx)^2*sin((x+t*cosx)*(y+t*cosy));%定义关于 t的函数 >>dg_dl=diff(g,t);%对t求导数 >>b=subs(dg_dl,{x,y,t},{5,1,0});
结果：du_dl=(8*x*sin(x*y))/5 +x^2*cos(x*y)*((3*x)/5 + (4*y)/5) b =19.2765
方向导数存在与偏导数存在的关系
方向导数存在与偏导数存在的关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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方向导数,可微,偏导存在的基本关
方向导数,可微,偏导存在的基本关系!!
f(x,y)在(0,0)偏导数存在说明沿x,y轴的正,负方向导数存在.
那么(x,y)在任意点处偏导数存在和任意方向的方向导数存在是什么关系?
那么偏导数不存在和任意方向的方向导数存在是什么关系?
那么方向导数和可微的关系又是什么?
2李的新东方2004考研flash 29-2节说
f(x,y)在某点可微===》f(x,y)在某点沿任何方向存在方向导数==》f(x,y)在某点存在偏导数
但是660（2006版）题210页407题
函数z=(x^2+y^2)^(1/2)在点（0，0）
这个函数在(0,0)偏导不存在， 但是在这点处任意方向的方向导数存在（答案这么说的）
那么跟f(x,y)在某点沿任何方向存在方向导数==》f(x,y)在某点存在偏导数 是否矛盾，哪个对？
2.以二元函数为例,f(x,y)在(x,y)处关于x(或y)可偏导的充要条件是:f(x,y)沿着x轴的正方向和负方向的方向导数都存在且为相反数.
1.这只是我个人的想法哦,仅供参考:
"沿任何方向的方向导数存在"的条件虽然很强,但并不能保证沿着某个方向及其相反方向的方向导数互为相反数,因此不能保证偏导数存在;同样偏导数存在也不能保证在任何方向上方向导数都存在.
1.在M0点沿任何方向的方向导数存在 不能推出M0点偏导数存在
2.M0点偏导数存在 不能推出在M0点沿任何方向的方向导数存在
3.在M0点沿坐标轴方向的方向导数存在 不能推出M0点偏导数存在
4.M0点偏导数存在 一定有在M0点沿坐标轴方向的方向导数存在
1，3的反例 f(x,y)=|x|
2的反例 f(x,y)=xy/(x^2+y^2)^2。
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率和方向性。
在本文中，我们将介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一点上对某个变量的偏导数。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi，其中∂表示偏导数的符号，f表示函数，xi表示自变量。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数，对某个变量求导即可。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以分别计算∂f/∂x和∂f/∂y。
计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导，得到2x + 2y。
同理，计算∂f/∂y时，将x视为常数，对y求导，得到2x + 2y。
因此，函数f(x, y)的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。
二、方向导数的定义和计算方法方向导数是多元函数在某一点上沿着某个方向的变化率。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的方向导数可以表示为∇f·u，其中∇f表示函数f的梯度，u表示方向向量。
方向导数的计算方法可以通过梯度向量和方向向量的点积来实现。
梯度向量∇f表示函数在某一点上的变化率最大的方向，它的计算方法为∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处的方向导数可以表示为∇f(1, 2)·u，其中∇f(1, 2) = (4, 6)。
如果方向向量u为(1, 1)，则方向导数为(4, 6)·(1, 1) = 10。
这表示在点(1, 2)处沿着方向(1, 1)的变化率为10。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 最优化问题：偏导数可以用于求解多元函数的最大值和最小值。
高数第七节、方向导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在， 则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (0, 1) :
f l
f y ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
（3）同理，在 y 轴的两个方向上
el (cos , cos ) ( 0, 1) 正方向：
偏导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在， 则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (0, 1) :
f l
( x0 , y0 )
结论2：偏导数存在并不能保证斜方向上的方向导数 存在。 思考：若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否 保证偏导数一定存在？ 例1：z x 2 y 2 , P0 (0, 0 ), el (cos , cos ) y x t cos 解： , y t cos
偏导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在， 则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (1, 0) :
f l
f x ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
（3）同理，在 y 轴的两个方向上
el (cos , cos ) ( 0, 1) 正方向：
问题1：方向导数与偏导数的关系？ 假设 z = f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 偏导数存在 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x x 0 y （1）在 x 轴的正方向上， t x P ( x0 x, y0 ) el (cos , cos ) (1, 0) P0 ( x0 , y0 ) el ( 1, 0) t | PP0 | x, 0 x f f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) x l ( x0 , y0 ) x 0
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中重要的概念，用于研究多变量函数的变化规律。
它们在各个学科领域中都有广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
本文将详细介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及实际应用。
一、偏导数偏导数是多元函数中对某一变量的导数，保持其他变量不变。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以对其中的任意一个变量进行求导，得到对应的偏导数。
用符号∂表示偏导数。
1.1 定义对于一个二元函数f(x, y)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂x = lim(Δx→0)(f(x+Δx, y) –f(x,y))/Δx类似地，我们可以计算f(x, y)对y的偏导数：∂f/∂y = lim(Δy→0) (f(x, y+Δy) –f(x,y))/Δy1.2 计算方法偏导数的计算与求常导数类似，只需将其他变量视为常数。
对于高阶偏导数的计算，可逐个变量进行求导。
1.3 应用举例偏导数的应用非常广泛。
举几个例子：例1：经济学中的边际效应在经济学中，边际效应描述了某一变量的微小变化对整体效果的影响。
偏导数可以用来计算边际效应，帮助经济学家进行政策制定和预测。
例2：物理学中的速度与加速度在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。
对于复杂的多变量函数，通过求偏导数可以得到速度和加速度的具体数值。
二、方向导数方向导数可以理解为多元函数在给定方向上的变化率。
与偏导数类似，方向导数可以帮助我们理解函数在不同方向上的变化情况。
2.1 定义设函数f(x, y)在点P(x0, y0)处可微分，方向向量为u=(a, b)，则函数f(x, y)在P点沿u的方向导数为：∂f/∂u = ∂f/∂x * a + ∂f/∂y * b2.2 计算方法方向导数的计算需要使用向量运算。
可以根据给定的方向向量和偏导数，按照一定的公式计算得到方向导数。
2.3 应用举例方向导数的应用非常广泛，尤其在优化问题和最优化算法中常常用到。
偏导数与方向导数
设函数uf(x, y)在点p0(x0, y0)的某一邻域U(P0)内有 定义, v是以P0(x0, y0)为始点的一条射线, 与v同方向 的单位向量为ev(cos, cos)=(cos,sin)。则其 方向导数为：
例2 (2）求多元函数 u x2 sin(xy) 的高阶偏导数
解：输入命令
>> syms x y u %定义符号变量 >> u=x^2*sin(x*y);%给出函数 >> dx2=diff(u,x,2);%对x求2 阶偏导 >> dy2=diff(u,y,2);%对y求2 阶偏导 >> dxdy=diff(diff(u,x),y); %先对x求偏导， 再对y求偏导
解：输入命令
>> syms x y u %定义符号变量 >> u=x^2*sin(x*y); %给出函数 >> dx=diff(u,x)；%对x求偏导 >> dy=diff(u,y)；%对y求偏导
结果： dx =2*x*sin(x*y) +x^2*y*cos(x*y) dy =x^3*cos(x*y)
f f f
x y z
g g g
x h
x
y h
y
z h
z
结果：du_dl =(8*x*sin(x*y))/5+(3*x^3*cos(x*y))/5 +(4*x^2*y*cos(x*y))/5
偏导存在但方向导数不存在的例子
偏导存在但方向导数不存在的例子例子1: 二元函数f(x, y) = |x| + |y|考虑二元函数f(x, y) = |x| + |y|，我们可以观察到在原点(0, 0)处，偏导数存在但方向导数不存在。
首先计算偏导数，对于f(x, y)来说，其偏导数分别为：∂f/∂x = sgn(x)，其中sgn(x)为x的符号函数∂f/∂y = sgn(y)，其中sgn(y)为y的符号函数我们可以看到，无论在原点(0, 0)处，x和y的偏导数都不存在。
这是因为在原点(0, 0)处，x和y的值都是0，而符号函数在0处的导数不存在。
接下来我们来看方向导数的计算。
方向导数可以通过梯度向量和方向向量的点积来计算。
对于方向向量(α, β)，其中α和β为实数，方向导数为：Df = ∇f · (α, β)其中∇f为梯度向量。
对于函数f(x, y) = |x| + |y|，梯度向量为：∇f = (sgn(x), sgn(y))将其代入方向导数的计算公式，得到方向导数为：Df = (sgn(x), sgn(y)) · (α, β) = αsgn(x) + βsgn(y)我们可以看到，无论方向向量(α, β)的取值如何，由于在原点(0, 0)处，x和y的符号函数的值都是0，方向导数都会变成0。
所以，在原点(0, 0)处，方向导数不存在。
例子2: 二元函数f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)考虑二元函数f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)，我们可以观察到在原点(0, 0)处，偏导数存在但方向导数不存在。
首先计算偏导数，对于f(x, y)来说，其偏导数分别为：∂f/∂x = (y(x^2 + y^2) - xy(2x))/(x^2 + y^2)^2 = y^3/(x^2 + y^2)^2∂f/∂y = (x(x^2 + y^2) - xy(2y))/(x^2 + y^2)^2 = x^3/(x^2 + y^2)^2我们可以看到，在原点(0, 0)处，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y都为0，因为分子为0，分母为常数。
偏导数与方向向量_概述说明以及解释
偏导数与方向向量概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在微积分中，偏导数和方向向量是非常重要的概念。
偏导数可以理解为多元函数在某一特定变量上的导数，而方向向量则指示了函数在某个点上的变化方向。
通过研究偏导数和方向向量，我们可以深入理解函数的性质和变化规律。
1.2 文章结构本文将首先介绍偏导数的定义与基本概念，包括如何计算和性质特点。
接着将探讨偏导数的几何意义，从图像上直观地理解其含义。
其次，我们将引入方向向量的概念以及其定义方式，并详细介绍方向导数和如何计算。
最后，我们将讨论方向敏感度和梯度下降法，它们利用了方向向量来寻找函数的极值点。
1.3 目的本文旨在全面介绍偏导数与方向向量的相关知识，并深入探讨它们之间的关系。
通过阅读本文，读者将获得对于这两个概念作用、计算方法以及几何意义等更深入的理解。
同时，我们还将讨论如何利用偏导数和方向向量来求解函数的极值问题，为读者提供更广阔的应用视角。
以上就是本文“1. 引言”部分的详细内容，希望对您的长文撰写有所帮助。
2. 偏导数:2.1 定义与基本概念:偏导数是多元函数的一种求导方式，用于衡量函数在某个变量上的变化率。
偏导数表示了函数关于某个自变量的变化速率，其他自变量保持不变。
对于一个具有多个自变量的函数，在求偏导数时，我们将其中一个自变量看作主要关注的自变量，而将其他自变量视为常数。
具体地说，对于二元函数：设函数z = f(x, y)，如果我们只关注x方向上的变化，即假设y为常数，则x方向上的偏导数为∂z/∂x。
同样地，如果我们只关注y方向上的变化，则y方向上的偏导数为∂z/∂y。
2.2 计算方法与性质:计算偏导数时，将需要求偏导的自变量看作主要关注的自变量，而将其他自变量视为常数。
然后按照普通单变量函数求导法则来进行计算。
下面是一些常见的性质：- 常系数: 常数项在求导过程中被视为0。
- 线性运算: 对于线性组合（加法和乘法）形式表达式，可以分别对每一项进行求导。
导数和偏导数
导数和偏导数我们常听到“导数”和“偏导数”这两个词，不知道它们的来历，今天我就来跟大家讲讲它们的来历吧。
一、导数的概念所谓“导数”是一个与我们生活有着密切关系的物理概念。
可以说在我们的生活中处处都会用到导数。
例如：我们买东西付钱时要写账单、或是买食品、用水要记录时也会使用导数，我们坐车、走路、乘飞机、打车等等，都离不开导数。
只要把你学过的定义带入到上面的例子中，就会发现，导数就是一个与我们生活有着密切联系的物理概念。
二、偏导数的概念如果再给导数下一个定义，也就是说导数是一个连续的函数，那么偏导数就是指方向与变化趋势相反的导数，也叫做反函数。
举个例子，比如说在初中数学里所学到的洛必达法则，就是一种偏导数。
三、导数与偏导数的应用在我们的生活中，不论是大到国家领导人出访，还是小到普通百姓生活，甚至各个地区人们之间的交流，都需要使用导数来解决问题，甚至可以说没有导数，我们就不能很好地去生活。
当然，不光只有我们的生活才使用到导数，其实我们在解答数学问题时也经常使用到导数，因为解答数学问题必须借助于函数图像，函数图像就是由一些点构成的。
所以，我们要想准确地计算出一个数学问题的答案，我们就要先了解一些数学问题中的一些概念，如函数的表示法、导数的概念及其计算法则等。
因此，我们可以得出结论：导数与偏导数就是对于一些具体问题而提出的一种解决方法，它们在一定程度上更能让我们从根本上了解问题，认识问题的本质。
四、导数与偏导数在教学中的意义1、加深对导数和偏导数含义的理解，明白导数和偏导数的重要性，能自觉利用导数和偏导数解决有关问题。
2、体会数形结合的思想，理解导数和偏导数与函数概念的联系，会画函数图象。
3、体会解析几何研究问题的思想方法，培养分析问题的能力。
4、了解并掌握一些基本的数学思想方法，逐步提高观察能力、运算能力、推理能力、空间想象能力和抽象概括能力，逐步养成良好的学习习惯。
那么，什么是“平均数”？什么又是“方差”呢？我们在平时的学习生活中经常接触到“平均数”这个名词，可是却从来没有真正仔细地了解过，其实“平均数”和“方差”就是反映总体中两个数值之间离散程度的一个统计量，只是在数学上称之为“均值”和“方差”而已。
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义导数是微积分的重要概念，描述了函数的变化率和切线的斜率。
而函数可以是多变量的，也就是包含多个自变量的函数。
在多变量函数中，我们常常使用偏导数来描述函数在某个指定变量处的变化率。
本文将会探讨偏导数的几何意义以及其在实际应用中的重要性。
一、偏导数的定义和计算方法首先，我们来了解一下偏导数的定义。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以将其中一个自变量视为固定值，而对其他自变量求导。
这就得到了偏导数。
偏导数可以记作∂f/∂xi，其中∂表示对单个变量求导。
计算偏导数的方法与对单变量函数求导的方法类似。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们将其中的其他自变量视为常数，然后对指定的自变量进行求导。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，在x处求偏导数时，我们将y视为常数，对x进行求导，得到2x；而在y处求偏导数时，我们将x视为常数，对y进行求导，得到2y。
二、1. 偏导数与斜率的关系偏导数可以看作是多变量函数图像上某点处的切线斜率。
在二维平面中，对于函数f(x,y)，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y分别表示了函数在x和y 方向上的变化率。
因此，它们可以用来确定函数图像上某点处的切线斜率。
当在点(x0,y0)处求对x的偏导数时，结果表示了函数曲面在(x0,y0)点处关于x轴的切线斜率。
同理，对y的偏导数可表示函数曲面在(x0,y0)点处关于y轴的切线斜率。
2. 偏导数与方向导数的关系方向导数是一种描述函数在给定方向上变化率的概念。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，它的方向导数在点(x0,y0,...,zn)处的方向u处定义为：Duf(x0,y0,...,zn) = ∇f(x0,y0,...,zn)·u其中∇f(x0,y0,...,zn)表示函数在点(x0,y0,...,zn)处的梯度向量，u表示方向向量。
梯度向量可以看作是偏导数组成的向量，即：∇f(x0,y0,...,zn) = ( ∂f/∂x0, ∂f/∂y0,..., ∂f/∂zn )因此，可以将方向导数与偏导数联系起来。
偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系
数学学习与研究2014.14【摘要】本文通过定理及反例的形式给出偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系,从而使学习者更加认清三者之间的联系.【关键词】偏导数;全微分;方向导数对于偏导数、全微分、方向导数三者之间的内在联系一直是学生难以理解和容易混淆的内容,本文以二元函数为例,通过定理及反例的形式给出偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系,以便加深学生对上述内容的理解.一、偏导数存在与全微分存在之间的关系定理一如果函数z =f (x ,y )在点(x ,y )可微分,则该函数在点(x ,y )的偏导数∂z ∂x 、∂z ∂y存在.反之不成立.例1函数f (x ,y )=xy x 2+y2√,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{在点(0,0)处有f x (0,0)=0,f y (0,0)=0,但是lim ρ(Δx=Δy )→0Δz -(f x (0,0)Δx +f y (0,0)Δy )ρ=limρ(Δx=Δy )→0Δx ·Δx (Δx )2+(Δx )2=12,并不是比ρ高阶的无穷小,因此,该函数在点(0,0)处的全微分不存在.定理二如果函数z =(x ,y )的偏导数∂z ∂x ,∂z ∂y 在点(x ,y )连续,则函数在该点可微分.二、偏导数存在与任意方向的方向导数存在之间的关系首先,函数z =f (x ,y )在点(x ,y )两个偏导数存在,只能说明该函数在点(x ,y )沿=(1,0)(或=(-1,0))及=(0,1)(或=(0,-1)),(x ,y ).例2设函数f (x ,y )=xy x 2+y 2,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{函数f (x ,y )在(0,0)处有f x (0,0)=0,f y (0,0)=0.设l 是以(0,0)为始点、=cos π4,cosπ4()的一条射线,则limρ→0+f ρcos π4,ρcosπ4()-f (0,0)ρ=lim ρ→0+ρ2cos π4cos π4ρ3=12lim ρ→0+1ρ,此极限显然不存在,所以∂f∂l (0,0)不存在.其次,函数z =f (x ,y )在点(x ,y )沿任意方向的方向导数都存在并不能保证该函数在点(x ,y )偏导数存在.例3设f (x ,y )=x 2+y 2√,则f (x ,y )在点(0,0)沿任意射线l(=(cos α,cos β))的方向导数为:∂f∂l(0,0)=lim ρ→0+f (ρcos α,ρcos β)-f (0,0)ρ=lim ρ→0+(ρcos α)2+(ρcos β)2√ρ=1.但是,f x (0,0),f y (0,0)显然不存在.所以函数z =f (x ,y )在点(x ,y )处沿任意方向的方向导数存在既不是它在点(x ,y )处偏导数存在的充分条件也不是必要条件.三、任意方向的方向导数存在与全微分存在之间的关系定理三如果函数z =f (x ,y )在点(x ,y )全微分存在,则该函数在点(x ,y )沿任意方向的方向导数存在.反之不成立.例4设函数f (x ,y )=xy x 2+y 2√,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{则f (x ,y )在点(0,0)沿任意方向l(=l =(cos α,cos β))的方向导数为:∂f∂l (0,0)=lim ρ→0+f (ρcos α,ρcos β)-f (0,0)ρ=lim ρ→0+ρ2cos αcos βρ2=cos αcos β.但由例1可知,该函数在点(0,0)处的全微分不存在.上述定理的证明,可参考同济大学数学系编的《高等数学》,在此不再赘述.【参考文献】[1]同济大学数学系编.高等数学[M ].北京:高等教育出版社,2009.[2]刘玉琏,傅沛仁,林玎等.数学分析讲义[M ].北京:高等教育出版社,2010.偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系◎徐志敏(大连交通大学116028). All Rights Reserved.。
7-7-4方向导数的进一步讨论
而方向导数为
可以看出方向导数与全导数的区别.求全导数
时，
不一定是单位向量.而方向导数里的方向向量一定 是单位向量.方向导数是函数沿着某个方向的变化率.
例2 设函数
其中
在曲线
上，在
处求函数沿着曲线的变化率即函数的全导数，
并求函数沿着这点处曲线切线方向的方向导数.
解 处
因此
，在
曲线的切向量 处，
多少个单位？
解 求方向导数
， 沿直线方向移动
个单位时，函数大概变化
个单位.
韩志涛
1 与偏导数的区别：
方向导数的定义为
，注意到
所以方向导数与偏导数不同.
设
在一点
处
，当
时
这时
与偏导数
不同.
偏导数存在相当于是沿着坐标轴的两个相反方向的 方向导数相等.
例1 设函数 在原点处，函数可导吗？有方向导数吗？
解 是一个圆锥曲面，它与坐标面的截痕在原点附近 是折线，一定不可导. 事实上，
没有极限，故
不存在.
类似地，
也不存在.但是这个函数在原点沿各个
方向都有 方向导数且等于1. 事实上，
函数不可导，则一定不可微.我们给出的计算公式
是在函数可微的条件下，这是个充分条件.可以看出， 方向导数存在并不需要函数可微.
2 与全导数的区别：以前学习过全导数，设 全导数
，其中 是曲线 的切向量.这里的切向量不一定是单位向量. 全导数是函数 沿着曲线的变化率.
，在 ，曲线切线方向上的单位切向量
由此可以得到函数沿着曲线的变化率即全导数
而函数沿着曲线切线方向的方向导数
3 方向导数与导数的比较： 按照弧长的计算公式
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r0 与 r0 + tel
在 r0 沿
l 方向
> 0(< 0),
则f在
r0
处
沿 l 方向增加(减少).
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方向导数的几何意义 过直线
L : r = r0 + tel
作平行于z 轴的平面II，
的方向相对应，
D xi 0
f ( x 0 + D x i ei ) - f ( x 0 ) xi
其中
x 0 = ( x 0 ,1 , x 0 ,2 , , x 0 , n ).
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正向的方向导数存在，则称此方向导数为f 在点 ( x0 , y0 ) 处对x ( y )的偏导数. f 对x的偏导数，记为
zx
( x0 , y 0 )
;
即:
x0 x
x0
x
同理给出 f 对 y 的偏导数的记号和定义式.
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定义
设函数 z
f ( x, y )在区域D
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在
r0 与 e
l
固定的情况下，当点 r 在直线L 上变化时，函数
是自变量为t 的一元函数，记作
F (t ) = f (r0 + tel ). (r)在 r0
因此，f
处沿方向l 的变化率就是函数F(t)在t=0
处的导数，即
¶ f ¶l = lim t® 0 r0
在点 r0
其单位向量记为 el , 是一个二元函数. 现讨论 f 方向的变化率. 解：过点
r0
P
处沿l
P( x, y, z )
作与l 平行的直线 L, 它的方程为
f (x)在点
处沿方向l 的变化率，就是当点 在直线 L
(x)在点 r0
上变化时f
处的变化率.
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f ( t co s q , t sin q ) -
从而
¶ f (0 , 0 ) ¶l
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= 0.
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偏导数的定义
定义3.2 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的邻域
U ( x0 , y0 ) 内定义，若
f 在点( x0 , y0 ) 处沿 x 轴( y 轴)
从而对应的函数值有改变量 f (r0 + tel ) - f (r0 ). f ( r0 + te l ) - f ( r0 ) lim t® 0 t
¶ f ( r0 ) ¶l
若
存在，则称此极限值为f 在 r0 点处沿 l 方向的方向导数. 记作
¶f , ¶l r 0
? f (0 , 0 ) ¶l = lim
t® 0
的方向导数.
0
时，有
f (0 , 0 ) t 2 co s q ×sin q
f ( t c o s q , t sin q )
= lim
t® 0
co s q + t sin q
2
2
4
=
sin q co s q
2
;
当 co s q =
0
时，由于
f (0, 0 ) = 0,
F (t ) - f (0) t
= lim
t® 0
f ( r0 + tel ) - f (r0 ) t
.
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一、方向导数的定义
定义:
设 r0 Î R 2 , r0 沿与
是平面上一向量，与l 同向的
在
el平行的直线变到
单位向量为 el . 二元函数 内让自变量r 由
ì z = f ( x, y ) ï C :ï í ï y = y0 ï î
在点 M ( x
0
, y 0 , f ( x 0 , y 0 ))
处切线 T x
的斜率，即
f x ( x 0 , y 0 ) = tan a ,
同理，
f y ( x 0 , y 0 ) = tan b .
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n元函数的方向导数与偏导数 二元函数的方向导数的定义及偏导数定义可直 接推广到n元函数中. 方向导数定义为
¶f ¶l x 0
= lim
t® 0
f ( x 0 + te l ) - f ( x 0 ) t
偏导数定义为
¶f 禗 i x x 0 = lim
(2)
当t <0, P0 P 的方向与l 的方向相反， f (r0 + tel ) - f (r0 ) f (r0 ) - f (r0 + tel ) = t t 表示 PP0 (关于 l 的方向)的斜率.
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当 t ® 0,
或
¶f ¶ l r0
,
即
f ( r0 + te l ) - f ( r0 ) t
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= lim
t® 0
.
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关于方向导数的几点说明
(1) 定义中的 t 的绝对值是两点 之间的距离d . (2) 方向导数实际上是函数 f 关于距离的变化率. (3) 若方向导数
第三节
第五章
多元数量值函数的导数与微分
一、方向导数 与偏导数 二、全微分 三、梯度及其与方向导数的关系 四、高阶偏导数及高阶全微分 五、多元复合函数的偏导数和全微分 六、由一个方程确定的隐函数的微分法
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3.1、方向导数与偏导数
引例: 设
r0 Î R ,
l
2
是平面上某一向量，
r ® r0 ,
割线转化为切线.
如果极限
lim
t® 0
f (r0 + tel ) - f (r0 ) t
P 0
存在，那么曲线C 在点
仅有唯一的切线T，
¶f
它关于 l 方向的斜率是方向导数 ¶ l
.
r0
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例3.1. 设二元函数
求 f 在点(0,0)沿方向 解：当co s q ¹
平面与曲面相交的曲线为C. (1) 当t
>0, P0 P 的方向与l f ( r0 + tel ) - f ( r0 )
t
表示曲线C的割线 交角的正切值, 即
PP 0
与向量 l
PP 0
(关于 l 的方向)的斜率.
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方向导数的几何意义
内有定义，
则f 对x 及 y 的偏导函数分别定义为
及
其中
( x, y ) ? D , ( x
D x, y ) ? D , ( x, y
D y)
D.
抖 f 抖 x z x
f 对 x 的偏导函数简记为
fx , zx ,
,
.
f 对 y 的偏导函数简记为
fy, zy,
抖 f 抖 y
,
z y
.
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例3.2 设函数 z =
arctan
y x
,求
抖 z 抖 x
,
z
y 及 ¶x
¶z
.
(1,1)
把 解： y 看作常数，对x求导得
把 x 看作常数，对y求导得
由
¶z ¶x
得
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二元函数偏导数的几何意义 z 由方向导数的定义知， = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处对x 的 处对x 的偏导数就是曲面 z = f ( x, y) 与平面 y = y0 的交线