几个常用函数的导数优秀课件
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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 课件
k1＝y |xx0 cos x0 , k2＝y |xx0 sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的， 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相 垂直.
【互动探究】若把题1中的函数改为y＝sin x,请求出在点
【解题探究】1.如何求函数 y 的x导数?已知直线的方程如 何求直线与x轴交点的坐标？ 2.如何确定三角形面积最大？题目中隐含的P点所满足的条件 是什么？
探究提示： 1.(1)由(xα)′=αxα-1求导数. (2)令直线方程中的y=0,求得的x就是交点的横坐标. 2.(1)|AB|是定值，若使三角形ABP面积最大，只需P到AB的 距离最大. (2)点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
【解析】1.依题意，y
|x x1
2
1 x1
，
因为n与m垂直，所以n的斜率为2 x1，
所以直线n的方程为：y y1 2 x1 (x x1)，
令y=0，则 x1 2 x1 (xQ x1)，
所以
xQ
1 2
容x易1，知道：xR=x1，
于是，|RQ|=|xQ-xR|=1 .
2
答案：1
2
2.因为|AB|为定值，
所以三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
所以点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
设点P(x0,y0)，由题意知点P在x轴上方的图象上，
即P在 y 上x ，所以 y 1 .
2x
又因为
k AB
所1 以,
2
1得x0=11, .
2 x0 2
由 y0 得x0y, 0=1,所以P(1,1).
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的， 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相 垂直.
【互动探究】若把题1中的函数改为y＝sin x,请求出在点
【解题探究】1.如何求函数 y 的x导数?已知直线的方程如 何求直线与x轴交点的坐标？ 2.如何确定三角形面积最大？题目中隐含的P点所满足的条件 是什么？
探究提示： 1.(1)由(xα)′=αxα-1求导数. (2)令直线方程中的y=0,求得的x就是交点的横坐标. 2.(1)|AB|是定值，若使三角形ABP面积最大，只需P到AB的 距离最大. (2)点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
【解析】1.依题意，y
|x x1
2
1 x1
，
因为n与m垂直，所以n的斜率为2 x1，
所以直线n的方程为：y y1 2 x1 (x x1)，
令y=0，则 x1 2 x1 (xQ x1)，
所以
xQ
1 2
容x易1，知道：xR=x1，
于是，|RQ|=|xQ-xR|=1 .
2
答案：1
2
2.因为|AB|为定值，
所以三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
所以点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
设点P(x0,y0)，由题意知点P在x轴上方的图象上，
即P在 y 上x ，所以 y 1 .
2x
又因为
k AB
所1 以,
2
1得x0=11, .
2 x0 2
由 y0 得x0y, 0=1,所以P(1,1).
几个常用函数的导数 课件
本文详细阐述了几个常用函数的导数形式。首先，给出了常数函数、幂函数、对数函数以及三角函数的导数表达式，如f(x)=c的导数为0，f(x)=x的导数为1，f(x)=x^2的导数为2x等。此外，还通过具体例题，展示了如何运用这些导数公式求解复杂函数的导数，如(sinx)'=cosx，(lnx)'=1/x等。进一步，文档探讨了利用导数求切线方程的方法，包括在给定点处的切线方程以及过某点的切线方程。通过实例分析，详细说明了如何确定切点、计算斜率并最终得出切线方程。最后，加深了读者对切线方程求解过程的理解。
几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
【微思考】 (1)y=sinx在x=x0处的导数是多少?其几何意义是什么? 提示：y′=cosx，x=x0，f′(x0)=cosx0，几何意义是曲线 y=sinx在点(x0，y0)处的切线的斜率. (2)y=x3在(0，0)点存在切线吗?若存在，切线方程是什么? 提示：存在，y′=3x2，y′|x=0=3×02=0，所以过(0，0)点的 切线为y=0.
【解题探究】1.题(1)中抛物线x2=2y上两点P，Q的切线的斜率 等于多少? 2.题(2)中两条直线互相垂直的条件是什么? 【探究提示】1.kP=y′|x=4=4，kQ=y′|x=-2=-2. 2.两直线互相垂直的条件是斜率的乘积等于-1.
【自主解答】(1)由于P，Q为抛物线x2=2y(即y1= x2)上的点，
x3
数的导数公式？ 2.在题(2)中能否直接对②应用导数公式求导，如果不能，应 该如何处理？ 【探究提示】1.应用幂函数的导数公式求导，可先将原函数变 形为幂函数，再求导数. 2.不能直接用公式求导，应对函数进行变形，可变形为cos x.
【自主解答】(1)选D.因为f′(x)=(x-3)′=-3x-4，
类型二 导数的几何意义的应用 【典例2】(1)(辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P， Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线 交于点A，则点A的纵坐标为__________. (2)已知两条曲线y=sinx，y=cosx，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明 理由.
【微思考】
(1)若函数f(x)=x3，那么f′(m)的含义是什么?
提示：f′(m)的含义是函数f(x)=x3在x=m时所对应的导数值. (2)没有公式能直接求函数f(x)= 1 的导数，是不是其导数就
几个常用函数的导数 课件
几个常用函数的导数
几个常用函数的导数
思维导航
1．你会用导数的定义求①f(x)＝c ②f(x)＝x(c为常数)的
导数吗？你能用导数的物理意义和几何意义解释上述结论吗？
2．依据导数的定义求y＝x2，y＝
1 x
，y＝
x ，y＝x3的导
数，观察分析得到的结果，你发现了什么？
原函数
导函数
f(x)＝x2
f ′(x)＝2x
②设曲线y＝
1 x
过点P(1,0)的切线与曲线相切于点A(x0，
x10)，则切线的斜率k＝－x102， ∴切线方程为y－x10＝－x120(x－x0)， ∵点P(1,0)在切线上，
∴－x10＝－x102(1－x0)，解得x0＝12.
故所求的切线方程为4x＋y－4＝0. [方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据
[正解] (1)易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由 上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
牛刀小试
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
几个常用函数的导数
思维导航
1．你会用导数的定义求①f(x)＝c ②f(x)＝x(c为常数)的
导数吗？你能用导数的物理意义和几何意义解释上述结论吗？
2．依据导数的定义求y＝x2，y＝
1 x
，y＝
x ，y＝x3的导
数，观察分析得到的结果，你发现了什么？
原函数
导函数
f(x)＝x2
f ′(x)＝2x
②设曲线y＝
1 x
过点P(1,0)的切线与曲线相切于点A(x0，
x10)，则切线的斜率k＝－x102， ∴切线方程为y－x10＝－x120(x－x0)， ∵点P(1,0)在切线上，
∴－x10＝－x102(1－x0)，解得x0＝12.
故所求的切线方程为4x＋y－4＝0. [方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据
[正解] (1)易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由 上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
牛刀小试
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
《几个常用函数的导数》ppt课件
THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要 性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜 率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数 导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等 于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的 导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导 数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握 导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零 的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小 值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法 。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法， 它基于极限的定义，通过求极限来得 到函数的导数。对于可导的函数，其 导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式 导数公式 举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导 数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为 。
课几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件(人教A选修
*h'(x)
应用：在计算 复杂函数的导 数时，可以通 过链式法则将 复杂函数分解 为简单函数， 从而简化计算
过程
注意事项：在 使用链式法则 时，需要注意 函数的定义域 和值域，以及 函数的连续性
和可导性
乘积法则和商的导数法则
乘积法则：导数等于导数的乘积 商的导数法则：导数等于导数的商 复合函数的导数法则：导数等于导数的复合 反函数的导数法则：导数等于原函数的导数的倒数
04
导数的运算法则
导数的四则运算法则
加法法则：导数 相加等于导数之 和
减法法则：导数 相减等于导数之 差
乘法法则：导数 相乘等于导数之 积
除法法则：导数 相除等于导数之 商
链式法则
定义：链式法 则是导数的运 算法则之一， 用于计算复合
函数的导数
公式：若 f(x)=g(h(x))，
则 f'(x)=g'(h(x))
导数是函数在某一点的局 部线性逼近的斜率极限
02
常用函数的导数
一次函数、二次函数、幂函数的导数
一次函数：y=ax+b，导数为a
二次函数：y=ax^2+bx+c， 导数为2ax+b
幂函数：y=x^n，导数为 nx^(n-1)
指数函数和对数函数的导数
指数函数： y=a^x，其导 数为y'=a^x * ln(a)
导数的几何意义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数的基本性质
导数是函数在某一点的切 线斜率
导数是函数在某一点的瞬 时变化率
导数是函数在某一点的局 部线性近似
应用：在计算 复杂函数的导 数时，可以通 过链式法则将 复杂函数分解 为简单函数， 从而简化计算
过程
注意事项：在 使用链式法则 时，需要注意 函数的定义域 和值域，以及 函数的连续性
和可导性
乘积法则和商的导数法则
乘积法则：导数等于导数的乘积 商的导数法则：导数等于导数的商 复合函数的导数法则：导数等于导数的复合 反函数的导数法则：导数等于原函数的导数的倒数
04
导数的运算法则
导数的四则运算法则
加法法则：导数 相加等于导数之 和
减法法则：导数 相减等于导数之 差
乘法法则：导数 相乘等于导数之 积
除法法则：导数 相除等于导数之 商
链式法则
定义：链式法 则是导数的运 算法则之一， 用于计算复合
函数的导数
公式：若 f(x)=g(h(x))，
则 f'(x)=g'(h(x))
导数是函数在某一点的局 部线性逼近的斜率极限
02
常用函数的导数
一次函数、二次函数、幂函数的导数
一次函数：y=ax+b，导数为a
二次函数：y=ax^2+bx+c， 导数为2ax+b
幂函数：y=x^n，导数为 nx^(n-1)
指数函数和对数函数的导数
指数函数： y=a^x，其导 数为y'=a^x * ln(a)
导数的几何意义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数的基本性质
导数是函数在某一点的切 线斜率
导数是函数在某一点的瞬 时变化率
导数是函数在某一点的局 部线性近似
导数公式大全(最具说服力的)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
(cot x) = - csc2x .
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数旳导数公式：
(arcsin x) 1 , 1- x2
-1
(arccos x)
,
1- x2
(arctan
x)
1 1 x2
,
(arc
cot
x)
1
dx 4
dx n
f (x) 称为 f (x) 旳一阶导数.
而把
例3 求下列函数旳二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(- sin x) cos x - x sin x
y" - sin x - (sin x x cos x) -2sin x - x cos x
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) - u2(x) .
乘法法则旳推广：
(uvw) ' u 'vw uv ' w uvw '
补充例题： 求下列函数旳导数：
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1， 求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0，
故
几个常用函数的导数 同步课件
答 函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图 象如图所示，导数分别为y′＝2， y′＝3，y′＝4.
(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示 这三条直线的斜率． (2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．
(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数 有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越 慢． 函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝 对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少 得越慢．
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝___0___ f′(x)＝__α_x_α_－_1
f(x)＝sin x
f′(x)＝__c_o_s_x___
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝___－__s_in__x__
因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，
由图知点P在x轴上方，y＝
x，y′＝21
， x
由题意知kAB＝12.
∴kl＝2 1x0＝12，即x0＝1，
∴y0＝1.∴P(1,1)．
小结 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何 意义准确计算．
探究点三 导数公式的综合应用 例3 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两
点，O是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使 △ABP的面积最大． 解 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直 线为l，如图． 由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交 于A、B两点， 所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大， 只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧 上的一 点，
(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示 这三条直线的斜率． (2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．
(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数 有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越 慢． 函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝 对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少 得越慢．
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝___0___ f′(x)＝__α_x_α_－_1
f(x)＝sin x
f′(x)＝__c_o_s_x___
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝___－__s_in__x__
因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，
由图知点P在x轴上方，y＝
x，y′＝21
， x
由题意知kAB＝12.
∴kl＝2 1x0＝12，即x0＝1，
∴y0＝1.∴P(1,1)．
小结 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何 意义准确计算．
探究点三 导数公式的综合应用 例3 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两
点，O是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使 △ABP的面积最大． 解 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直 线为l，如图． 由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交 于A、B两点， 所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大， 只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧 上的一 点，
《几个常用函数的导数》PPT课件
1从图象上看, 它们的导数分别表示什么? 2这三个函数中,哪一个减小得最快?哪一
个减小得最慢 ?
3函数 y kx k 0增 减的快慢与什么
有关 ?
练一练1：
函数y f (x) x2的导数
练一练2：
函数y f (x) 1 的导数 x
练一练1：
y
函数y f (x) x2的导数
f '(x) 2x
复习回顾：
1.导数的概念
lim lim f '(x)
y
f (x x) f (x)
x x0
x0
x
2.导数的几何意义
切线的斜率
3.导数的物理意义
瞬时速度
4.求函数的导数的方法是: （三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x) ;
O
x
几何意义：
图1.2 3
f (x) x2在点(x, f (x))处的切线的斜率为2x
物理意义：
f (x) x2在时刻x的瞬时速度为2x
练一练2： 函数9;
(
x)
1 x2
探究三： 求函数y f (x) 1 在点（1，1）出的切线方程
x
x y20
练一练3： 函数y f (x) x的导数
f
'
(x)
1 x2
f '(x) 1 2x
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
个减小得最慢 ?
3函数 y kx k 0增 减的快慢与什么
有关 ?
练一练1：
函数y f (x) x2的导数
练一练2：
函数y f (x) 1 的导数 x
练一练1：
y
函数y f (x) x2的导数
f '(x) 2x
复习回顾：
1.导数的概念
lim lim f '(x)
y
f (x x) f (x)
x x0
x0
x
2.导数的几何意义
切线的斜率
3.导数的物理意义
瞬时速度
4.求函数的导数的方法是: （三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x) ;
O
x
几何意义：
图1.2 3
f (x) x2在点(x, f (x))处的切线的斜率为2x
物理意义：
f (x) x2在时刻x的瞬时速度为2x
练一练2： 函数9;
(
x)
1 x2
探究三： 求函数y f (x) 1 在点（1，1）出的切线方程
x
x y20
练一练3： 函数y f (x) x的导数
f
'
(x)
1 x2
f '(x) 1 2x
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
导数的运算ppt课件
解：(1) y x2 sin x sin x x2
2x sin x x2 cosx
(2) y x ln x xln x 3 cos x 3cos x
ln x 1 3sin x
新课讲授
法则2：
uv uv vu
同理：
c 0
cu cu
【例4】求函数的导数 y 2x3 4x2 3x 5
法则1：u v u v
新课讲授
法则1：
u v u v
【例1】求函数的导数
y x3 sin x
解：y x3 sin x
3x2 cosx
新课讲授
法则1：
u v u v
同理：
u v w u v w
【例2】求函数的导数
y 1 sin ln x
x4解：yFra bibliotek1复习回顾
1、常用的基本求导公式
（1）xa axa1
（2）ex e x
（3）ln x
1 x
（4）sin x cosx
（5）cos x sin x
复习回顾
2、求下列函数的导数
（1）y x3
（2）设
f x cosx，求 f 和
6
f
3
新课讲授
u v 假设 和 分别为两个可导函数
sin
ln
x
x 4
x2 0 1 x
1 x2
1 x
课堂练习
P 课本 45,练习题
新课讲授
u v 假设 和 分别为两个可导函数
法则1：u v u v 法则2：uv uv vu
新课讲授
法则2：
uv uv vu
【例3】求下列函数导数
(1) y x2 sin x
几个常用函数的导数 课件
解析：因为 y＝3 x2，所以 y′＝(3 x2)′＝(x32)′＝23x －13.所以 f′(8)＝32× ＝31，即曲线在点 P(8,4)处的切线 的斜率为31.
所以适合条件的直线的斜率为－3.
从而适合条件的直线方程为 y－8＝－3(x－4)， 即 3x＋y－20＝0. 点评：解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性 质：①切点在切线上；②切点在曲线上；③切点处的导 数为此点处的切线的斜率．
跟踪 训练
3．若曲线 y＝x－12在点
处的切线与两坐标轴
围成的三角形的面积为 18，则 a＝( )
A．64
B．32
C．16
D．8
分析：本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的 求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．
跟踪 训练
解析：y′＝
，∴k＝
，切线方程
是 y－ ＝
(x－a)．令 x＝0 得 y＝23a－21；
基本初等函数的导数公式
基础 梳理
1．几个常用函数的导数.
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝1x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝______0________ f′(x)＝______1________ f′(x)＝______2_x_______ f′(x)＝____－__x_12________
1
y′＝___x___
题型1 直接用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x13；
(2)y＝3 x4；
(3)y＝2sinx2cosx2；
(4)y＝4ln x＋ln
1 x3.
解析：(1)y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－4＝－x34.
所以适合条件的直线的斜率为－3.
从而适合条件的直线方程为 y－8＝－3(x－4)， 即 3x＋y－20＝0. 点评：解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性 质：①切点在切线上；②切点在曲线上；③切点处的导 数为此点处的切线的斜率．
跟踪 训练
3．若曲线 y＝x－12在点
处的切线与两坐标轴
围成的三角形的面积为 18，则 a＝( )
A．64
B．32
C．16
D．8
分析：本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的 求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．
跟踪 训练
解析：y′＝
，∴k＝
，切线方程
是 y－ ＝
(x－a)．令 x＝0 得 y＝23a－21；
基本初等函数的导数公式
基础 梳理
1．几个常用函数的导数.
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝1x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝______0________ f′(x)＝______1________ f′(x)＝______2_x_______ f′(x)＝____－__x_12________
1
y′＝___x___
题型1 直接用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x13；
(2)y＝3 x4；
(3)y＝2sinx2cosx2；
(4)y＝4ln x＋ln
1 x3.
解析：(1)y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－4＝－x34.
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c(x)528(840x10)0 100x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)(150208x4)'52'8 (14 0 (1 x0 ) 0 5x0 )2 28 (140 x0 )'
0(10( 10x)0 0 5x)22 8( 41)
求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪 一个增加得最慢？ （3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么 有关？
练习3、求函数y=f(x)=x2的导数
因为 yf(x x)f(x)(x x)2x2
x
x
x
x2 2xx(x)2 x2 x
例4 求下列函数的导数:
(1 )
y
1 x
2 x2
;
(2)
y
x 1 x2
;
(3) y tan x;
(4) y (2 x2 3) x ;
答案:
(1)
y
1 x2
4 x3
;
(3)
y
c
1 o s2
; x
(2)
y
1 x2 (1 x2)2
;
(4) y 10x2 3; 2x
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的 速度上涨。
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
2xx
所以 ylim yli(m 2x x)2x
x 0 x x 0
你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。 y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为
1，2x，3x2 你猜测 y = x n 导数是什么? y' =nxn-1
练习4、求函数y = f(x) =-1x 的导数
因为 yf(xx)f(x)x 1 x1 x
x
x
x
x(xx) 1 x(xx)x x2xx
所以 y lx i0 m y x lx i0 (m x 2 1 x x) x 1 2
探 究
画出函数
y
1 x
的图象。
根据图象，描述它的变化
？ 情况，并求出曲线在点（1，
1）处的切线方程。
求切线方程的步骤：
y' 3x2 2
练习 求下列函数的导数。
(1) y 2 e x (2) y 2 x5 3x2 5 x 4 (3) y 3 co s x 4 sin x (4 ) y x 3 sin x co s x (5) y 2 sin x co s x 2 x 2 1
22 (6) y (x 1)(x 2)
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
练习 求下列函数的导数。
(1) y= 5 y 0
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: gf((xx))
解：因为 y(x32x3)
(x3)(2x)(3) 3x2 2 所以，函数y=x3-2x+3的导数是
5284 (100 x)2
(1)因c为 '(9)0(1502 9 0)8 0 2 45.8 24
所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨
(2)因c为 '(9)8(1502098)8241321
所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨
例6 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足 s1t4 4t3 16t2 4
p(t)p0(15%t)
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在 第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精 确到0.01）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t)1.05t ln1.05
p '( 1) 0 1 .01l5 0 1 n .0 5 0 .0(元 8 /年 )
几个常用函数的导数优秀课件
练习1、求函数y=f(x)=c的导数。
因为 yf(x x)f(x)cc0
x
x
x
所以 ylimylim 00
x x0
x0
练习2、求函数y=f(x)=x的导数
因为 yf(x x )f(x )x x x 1
x
x
x
所以 ylimylim 11
x x0
x0
探 在同一平面直角坐标系中， 究 画出y=2x,y=3x,y=4x的 ？ 图象，并根据导数定义，
(2) y= x 4 y 4x3
(3) y= x -2 y2x3 2 x3
(4) y= 2 x y 2x ln2
(5) y=log2x
y 1 x ln 2
思考如何求下列函数的导数：
(1) y 1 x4
(2)yx x
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物 价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
（1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x 0)f(x 0)x (x 0).
基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)(150208x4)'52'8 (14 0 (1 x0 ) 0 5x0 )2 28 (140 x0 )'
0(10( 10x)0 0 5x)22 8( 41)
求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪 一个增加得最慢？ （3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么 有关？
练习3、求函数y=f(x)=x2的导数
因为 yf(x x)f(x)(x x)2x2
x
x
x
x2 2xx(x)2 x2 x
例4 求下列函数的导数:
(1 )
y
1 x
2 x2
;
(2)
y
x 1 x2
;
(3) y tan x;
(4) y (2 x2 3) x ;
答案:
(1)
y
1 x2
4 x3
;
(3)
y
c
1 o s2
; x
(2)
y
1 x2 (1 x2)2
;
(4) y 10x2 3; 2x
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的 速度上涨。
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
2xx
所以 ylim yli(m 2x x)2x
x 0 x x 0
你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。 y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为
1，2x，3x2 你猜测 y = x n 导数是什么? y' =nxn-1
练习4、求函数y = f(x) =-1x 的导数
因为 yf(xx)f(x)x 1 x1 x
x
x
x
x(xx) 1 x(xx)x x2xx
所以 y lx i0 m y x lx i0 (m x 2 1 x x) x 1 2
探 究
画出函数
y
1 x
的图象。
根据图象，描述它的变化
？ 情况，并求出曲线在点（1，
1）处的切线方程。
求切线方程的步骤：
y' 3x2 2
练习 求下列函数的导数。
(1) y 2 e x (2) y 2 x5 3x2 5 x 4 (3) y 3 co s x 4 sin x (4 ) y x 3 sin x co s x (5) y 2 sin x co s x 2 x 2 1
22 (6) y (x 1)(x 2)
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
练习 求下列函数的导数。
(1) y= 5 y 0
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: gf((xx))
解：因为 y(x32x3)
(x3)(2x)(3) 3x2 2 所以，函数y=x3-2x+3的导数是
5284 (100 x)2
(1)因c为 '(9)0(1502 9 0)8 0 2 45.8 24
所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨
(2)因c为 '(9)8(1502098)8241321
所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨
例6 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足 s1t4 4t3 16t2 4
p(t)p0(15%t)
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在 第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精 确到0.01）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t)1.05t ln1.05
p '( 1) 0 1 .01l5 0 1 n .0 5 0 .0(元 8 /年 )
几个常用函数的导数优秀课件
练习1、求函数y=f(x)=c的导数。
因为 yf(x x)f(x)cc0
x
x
x
所以 ylimylim 00
x x0
x0
练习2、求函数y=f(x)=x的导数
因为 yf(x x )f(x )x x x 1
x
x
x
所以 ylimylim 11
x x0
x0
探 在同一平面直角坐标系中， 究 画出y=2x,y=3x,y=4x的 ？ 图象，并根据导数定义，
(2) y= x 4 y 4x3
(3) y= x -2 y2x3 2 x3
(4) y= 2 x y 2x ln2
(5) y=log2x
y 1 x ln 2
思考如何求下列函数的导数：
(1) y 1 x4
(2)yx x
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物 价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
（1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x 0)f(x 0)x (x 0).
基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;