3.2.1几个常用函数的导数教案
3.2.1导数的计算-几种常见导数
5.若f(x)=x3，f′(x0)=3,则x0的值为 _________. 2 解:∵f′(x0)=3x0 =3, ∴x0=〒1.
作业
1、抄写一次基本初等函数的导数公式
2、求下列函数的导数：
(1) y x
5
(2) y 5
x
1 (2) y 5 x
2
(4) y e
5
3、求函数y cos x在x
3.2.1《导数的计算 -几种常见函数的导数》
一、复习 说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在
点x0处的 导数 求函数的导数的方法是 :
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
y f ( x x) f ( x) ; x x
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
n 3.曲线y=x 在x=2处的导数为12，
则n=( ) （ A ） 1 （ B） 3 （ C ） 2 （ D） 4 n-1 【解析】选B.∵y′=nx , ∴n〓2n-1=12,可得n=3.所以选B.
4.给出下列结论： 3 1 3 ①若y= 3 ,则y′=- x 4 ；②y= x , x 1 1 则y′= x ；③y=log2x,则y′= ； x 3 ④y=cosx，则y′=sinx. 其中正确的个数是( A ) （A）1 （B）2 （C）3（D）4
1 （7）若f(x)=loga x，则f ′(x)= xlna (a>0且a≠1)；
1 (8)若f(x)=lnx，则f ′(x)= x
.
例题 1 1.已知函数f(x)= x，则f′(-3)=( ) 1 1 1 （ A ） 4 （ B） （ C ） （ D ） 9
3.求下列函数的导数： 1 7 （1）y=x ；（2）y= x 2； log 1 x 3 （3）y= x ；（4）y= 2 .
高三数学教案 几种常见函数的导数1
几种常见函数的导数教学目标：1. 熟练掌握函数(),nC x n Q ∈，sin ,cos x x 的导数公式2. 掌握利用函数(),nC xn Q ∈，sin ,cos x x 的导数公式求切线问题和瞬时速度问题3. 掌握切线问题的求解，注意讨论切点的情况4. 培养学生分类讨论的数学思想 教学重难点： 重点：函数(),nC x n Q ∈的导数公式难点：()nxn Q ∈导数公式的推导；切线问题的求解教学过程：1. 公式1：0C '=（C 为常数）2. 公式2：()()1,nn xnx n Q -'=∈证明：()()()nn y f x x f x x x x ∆=+∆-=+∆-()()21122n nn n nn n n n x C xx C x x C x x --⎡⎤=+∆+∆+⋅⋅⋅+∆-⎣⎦()()21122nn n nn n n C x x C x x C x --=∆+∆+⋅⋅⋅+∆∴()()()()2112200lim lim n nn n n n n n x x y f x x C x x C x x C x x --∆→∆→∆'⎡⎤'===∆+∆+⋅⋅⋅+∆⎣⎦∆1n nx -=注意：二项式定理的运用：()11,2,3,r n r rr n T C ab r n -+==⋅⋅⋅例如：()323x x '=， ()2213231222x x x x x ----'⎛⎫'==-=-=- ⎪⎝⎭11112221122x x x --'⎛⎫'==== ⎪⎝⎭与112P 例2 比较22513332233x x x ----''⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭3. 公式3 ()sin cos x x '=---------------------由正变邪易4. 公式4 ()cos sin x x '=--------------------由邪变正难（加负号） （不要求证明）例题：（1）115P 练习----------1，2 （2）瞬时速度问题： 116P 习题3.2-----1，2 （3）切线问题①116P 习题3.2-----3，4，5注意：求切线的步骤：（1） 先确定已知点()00,x y 是否为切点（在点处为切点，点在曲线上不一定是切点） （2） 求导数()f x '或y '（3） 求斜率()0k f x '=或0|x x k y ='= （4） 利用点斜式写出切线方程②已知函数3y x =，求过点()1,1P 的切线方程解: 点()1,1P 满足3y x =，所以在3y x =的图像上（1） 当点()1,1P 为切点时，23y x '=，所以1|3x k y ='==切线方程为()131y x -=-，即：320x y --=（2） 当点()1,1P 不是切点时，设切点为()300,x x ()01x=，则020|3x x k y x ='==所以切线方程为()20003y y x x x -=-，点()1,1P 在切线上，∴()32000131x x x -=-，即：32002310x x -+=，所以()()20001210x x x ---=()()2001210x x -+=，∴012x =- 切点为11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭，切线方程为131842y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即：3410x y -+=注意：当切点不确定时，应对是否为切点进行分类讨论。
第3章 3.2.1常见函数的导数
第3章 §3.2 导数的运算3.2.1 常见函数的导数学习目标1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝kx ＋b ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝ 的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数.1x问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 幂函数与一次函数的导数思考1 函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？答案 当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；当k<0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越快.思考2你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及(12x)1212x答案 f′(x)＝(x n)′＝nx n－1.梳理 (1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地C′＝0(C为常数).(2)(x±)′＝±x±－1(±为常数).知识点二 基本初等函数的求导公式思考计算过程cosÀ6′＝－sin À6＝－12正确吗？ 答案 不正确.因为cos À6＝32为常数，其导数为0.梳理 原函数导函数f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a xln a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝f (x )＝ln x f ′(x )＝f (x )＝x ±(±为常数)f ′(x )＝±x±－11x ln a1x4.若f (x )＝1x 2，则f ′(x )＝－2x 3.( )3.sin À3′＝cos À3＝12.( ) 2.(ln x )′＝1x .( )1.(e x)′＝e x.( )[思考辨析判断正误]√×√√题型探究类型一 利用导数公式求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y＝x12；解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y＝1x4；解y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4 x5.(3)y＝5x3；解y′＝(5x3)′＝(35x31535x2535x2535x(4)y ＝2sin x 2cos x2；解 ∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ＝；解 y ′＝()′＝1x ln 12＝－1x ln 2. (6)y ＝3x.解 y ′＝(3x)′＝3xln 3.12log x 12log x反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.(1)f (x )＝；解f ′(x )＝ 12x ′＝12xln12＝－2－xln 2；跟踪训练1 求下列函数的导数：解 f ′(x )＝( )′＝1x ln 2＝2x ln 2；(2)f (x )＝2－x；(3)f (x )＝e 2；解 f ′(x )＝(e 2)′＝0；(4)f (x )＝cos x .解 f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x .2log x 2log x类型二 导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式解决切线问题例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.设切点为(x0，y0)，则PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，解 因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－12.所以切点为－12，14.所以所求切线方程为y－14＝(－1)x＋12，即4x＋4y＋1＝0.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.又因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，解 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则在点x＝x0处的导数为2x0，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12.所以切点为M12，14.所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，即sin 2x0＝2，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.命题角度2 利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.解 依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20).∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为12，14，∴所求的最短距离d ＝12－14－22＝728.反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大.¼AOB 解 设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1.故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，∴AB 为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，故点M (1,1)即为所求弧 上的点，使△ABP 的面积最大.¼AOB达标检测解析 ∵f ′(x )＝1x ln a ，则f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e .1.设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝___.1e2.下列结论：①(sin x )′＝－cos x ；②1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的结论是____.④解析由求导公式知，(sin x )′＝cos x ，1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，故④正确.3.在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为_____.依题意，得－8x －30＝tan 135°＝－1，∴x 0＝2. (2,1)解析 y ′＝(4x －2)′＝－8x －3，设点P (x 0，y 0)，又P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x 2上，∴y 0＝1.4.设正弦函数y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围为_______________.∴－1≤k l ≤1，∴±l ∈ 0，À4∪3 À4，À. 0，À4∪3 À4，À解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，x2 x ＝32x32x解∵y＝1x5＝x－5，∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－5x6.(1)y＝cos À6；解 y′＝0.(2)y＝1x5；5.求下列函数的导数.(3)y＝x2x；1232x解∵y＝解∵y ＝cosÀ2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)y ＝lg x ；(6)y ＝cosÀ2－x .解 y ′＝1x ln 10.(5)y ＝5x；解 y ′＝5xln 5.1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.规律与方法如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x 2＝cos x ，。
3.2.1常见函数的导数(1)
3.2.1/1.2.1常见函数的导数（1）班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】1．知识目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，体会算法的思想。
2．能力目标：进一步发展学生的思维能力.3．情感目标：体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法.【教学重点】基本初等函数的导数公式．【教学难点】基本初等函数的导数公式的推导．【教学过程】一、引入：利用导数的定义求函数的导数的流程是：你能根据如此流程计算下列函数的导数吗？（1）bkxxf+=)(；（2）2)(xxf=；（3）xxf=)(．1．以上求导公式可以归纳如下：（1）()kx b'+=（,k b为常数）；（2）='C（C为常数）；（3）()x'= ；（4）2()x'= ；（5）3()x'= ；（6）1()x'=；（7）'=．2．对于基本初等函数，有下面的求导公式：（8）)('ax=___________（a为常数）；（9）()x a'=（0>a，且1≠a）；（10）(log)ax'==（0>a，且1≠a）；（11）()x e'=；（12）=')(ln x；（13）=')(sin x；（14）=')(cos x．三、课堂反馈：1．下列结论：（1）'(cos )sin x x =；（2）'(sin )cos33ππ=；（3）若21()f x x =，则'2(3)27f =-； （4）'=正确的有__________________．2．函数1y x =的图象在点1(2,)2处的切线方程为____________________．3．若直线y x b =-+是函数1y x=图象的切线，则b = ，切点坐标为 ．4．若直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则b 的值为 ．5．求下列函数的导数：（1）100y x=； （2）4x y =； （3）y =； （4）41y x=； （5）5log y x =．四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．过曲线3y x -=上的点1(2,)8的切线方程为 ．2．曲线()()n f x x n N *=∈在2=x 处的导数为12，则n =______________．3．（1）曲线3x y =在点P 处的切线斜率为k ，当k =3时，P 点坐标为________________．（2）曲线()f x =(16,8)Q 处的切线方程为 ．4．函数()ln f x x =在点p 处的切线方程为1y x =-，则点p 的坐标为____________．5．函数()y f x =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ．6．求过曲线x y cos =上点)21,3(πP 且与过这点的切线垂直的直线方程为 ．7．求下列函数的导数：（1）23y x =-； （2）3y x =； （3）()3xf x =； （4）()ln f x x =．8．求下列函数的导数：（1）()cos f x x =； （2）()f x = （3）()2sincos 22x xf x =； （4）12()log f x x =．9．在曲线21x y =上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135．10．（1）求曲线()x f x e =在0x =处的切线方程；（2）求曲线()ln f x x =在（2,2e ）处的切线方程．小结反思：。
河北省高中数学第三章导数及其应用3.2.1几个常用函数的导数导学案新人教A版选修
二、填空题
7．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________.
8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝ ，则质点在t＝32时的速度等于____________.
9．在曲线y＝ 上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________.
3．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为( )
A． B．－ C． D．－
4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于 的点为( )
A．( ， )B．(－ ，－ )或( ， )
C．(2kπ＋ ， )D．(2kπ＋ ， )或(2kπ－ ，－ )
二、填空题
5．(2015·陕西理)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝ (x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
基础题
cbbadd
7.3
8.
9.(2,1)
10设双曲线上任意一点P(x0，y0)，
∵y′＝－ ，
∴点P处的切线方程y－y0＝－ (x－x0)．
令x＝0，得y＝y0＋ ＝ ；
令y＝0，得x＝x0＋x y0＝2x0.
∴S△＝ |x|·|y|＝2.
∴三角形面积为定值2.
提高题
Cdcd
5.(1,1)
6.4x－y－5＝0
练习：曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率为()
A．1B．2C ．eD．
例4若曲线y＝x－ 在点(a，a－ )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
练习：已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．
例5求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．
《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案1
《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案【教学目标】1.应用由定义求导数推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握并能运用几个基本初等函数的求导公式正确求函数的导数． 【教学难点】四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 【教学过程】一．问题提出导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲解1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆0y '=表示函数图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数y x =图像上点处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆三、小试牛刀 1． 求 (1)(x 3)′ (2)(21x)′2．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为 ( ) A ． (－2，－8) B ．(－1，－1)或(1，1)C ．(2，8)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18题后反思：导数的几何意义是：3．质点运动方程是51t s =， 求质点在2=t 时的速度．四、课堂练习1.求函数y =31x的导数： 2.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s )，求质点在t =3时的速度. 3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A .1eB ．－1eC ．－eD ．e【课堂小结与反思】。
3.2.1 常见函数的导数 教案(李凤廷)
山高级中学生态循环课堂教案 高二数学（文 ） 第 19周 05 总编号：71 主备人：李凤廷3.2.1 常见函数的导数 班级 姓名一、教学目标1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2．能利用导数公式求简单函数的导数．二、教学重难点：基本初等函数的导数公式的应用． 三、教学方法 学生阅读课本为主，讲练结合。
四、教学过程教学流程教学方法 一、学生背诵：1．在一点处导数 2．导函数 分组检查二、学生展示问题一：在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？问题二：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出P 点的坐标；②利用切线斜率的定义求出切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程．问题三：你会用导数的定义求下列各函数的导数：（1）b kx x f +=)( （b k ,为常数）； （2）C x f =)(（C 为常数）； （3）x x f =)(； （4）2)(x x f =； （5）3)(x x f =；（4） （6）xx f 1)(= （7）x x f =)(．问题四：1．几个常用函数的导数 ？ 2．基本初等函数的导数？学生口答 学生板书 思考： 由上面的结果，你能发现什么规律？ 三、学生互批：学生批改，教师强调学生展示错误的问题 分组互批 四、精讲归纳教师精讲例1利用求导公式求下列函数导数． （1）5-=x y ； （2）x x x y =；(3)3sin π=y ； （4）x y 4=； (5)x y 3log =； （6）)2sin(x y +=π； （7）)2cos(x y -=π．例2 若直线b x y +-=为函数xy 1=图象的切线，求b 及切点坐标．小结 求)(x f y =在某一点处的导数的一般步骤：（1）（2）（3）五、合作探究变式1 求曲线2x y =在点)1,1(处的切线方程． 变式2 求曲线2x y =过点)1,0(-的切线方程．变式3 已知直线1:-=x y l ，点P 为2x y =上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短．点评 求曲线“在某点”与“过某点”切线不一样．六、课堂检测： 1．见课本P82练习．第3题： ；第5题：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 2．见课本P84习题3.2．第4题（1）： ； 3．见课本P85第12题（2）．=)4(f ；=')4(f ．教学反思：。
几个常用函数的导数教案
几个常用函数的导数教案导数是微积分中一个非常重要的概念，它表示函数在某一点的变化率。
对于常用函数，我们常常需要求它们的导数，这样可以帮助我们更好地理解函数的性质和解决一些实际问题。
下面是几个常用函数的导数教案。
一、常数函数的导数常数函数的导数很简单，因为函数的值在整个定义域上都是相同的，所以它的导数是0。
我们可以通过实例来说明这个问题：比如，函数y = 3的导数为dy/dx = 0。
因为无论x取任何值，y的值都是3，没有变化的趋势。
二、幂函数的导数幂函数是形如y = x^n (n为常数)的函数，它们的导数可以通过幂函数的求导公式来计算。
公式如下：dy/dx = n * x^(n-1)其中，n是幂函数中的指数。
我们可以通过实例来演示幂函数的导数计算：比如，函数y = x^3的导数为dy/dx = 3 * x^(3-1) = 3 * x^2三、指数函数的导数指数函数是形如y = a^x (a是常数)的函数，它们的导数可以通过指数函数的求导公式来计算。
公式如下：dy/dx = a^x * ln(a)其中，ln(a)是常数a的自然对数。
我们可以通过实例来演示指数函数的导数计算：比如，函数y = 2^x的导数为dy/dx = 2^x * ln(2)四、对数函数的导数对数函数是指形如y = log_a(x) (a是底数，x>0)的函数，它们的导数可以通过对数函数的求导公式来计算。
公式如下：dy/dx = 1 / (x * ln(a))我们可以通过实例来演示对数函数的导数计算：比如，函数y = log_2(x)的导数为dy/dx = 1 / (x * ln(2))五、三角函数的导数三角函数是常用的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的导数可以通过三角函数的导数公式来计算。
公式如下：dy/dx = cos(x) [对于正弦函数]dy/dx = -sin(x) [对于余弦函数]dy/dx = sec^2(x) [对于正切函数]我们可以通过实例来演示三角函数的导数计算：比如，函数y = sin(x)的导数为dy/dx = cos(x)函数y = cos(x)的导数为dy/dx = -sin(x)函数y = tan(x)的导数为dy/dx = sec^2(x)通过上述教案，学生可以初步了解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导规则，为后续学习提供基础。
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3.2.1几个常用函数的导数教案
教学目标：
1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；
2. 利用公式解决简单的问题。
教学重点和难点
1．重点：推导几个常用函数的导数；
2．难点：推导几个常用函数的导数。
教学方法：
自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。
教学过程：
一 复习
1、函数在一点处导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的步骤。
二 新课
例1．推导下列函数的导数
（1）
()f x c = 解：()()0y f x x f x c c x x x
∆+∆--===∆∆∆， '00()lim lim 00x x y f x x ∆→∆→∆===∆ 1. 求()f x x =的导数。
解：
()()1y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-===∆∆∆， '00()lim lim 11x x y f x x ∆→∆→∆===∆。
'1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则'
1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。
思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？
(2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？
可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快.
2. 求函数2()y f x x ==的导数。
解： 22()()()2y f x x f x x x x x x x x x ∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆， ''00
()lim lim(2)2x x y y f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆。
'2y x =表示函数2y x =图象上每点（x,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化：
(1) 当x<0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢；
（2）当x>0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快。
3. 求函数1()y f x x
==的导数。
解： 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x
-∆+∆--+∆+∆====-∆∆∆+∆∆+⋅∆， ''220011()lim lim()x x y y f x x x x x x
∆→∆→∆===-=-∆+⋅∆ 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？
'(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+。
(2)改为点（3，3），结果如何？
(3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。
三 例题
1. 试求函数()y f x x ==
的导数。
解： ()()()()
()
1()
y f x x f x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆+∆-+∆+=∆+∆++∆+ ＝ ''0011()lim lim 2x x y y f x x x x x x
∆→∆→∆====∆+∆+ 2. 已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线
的切线方程。
解：'2y x =，设切点为00(,)M x y ，则0'
02.x x y x ==
因为PQ 的斜率411,21k -==+又切线平行于PQ ，
所以021k x ==，即012x =，切点11
(,)24M ，
所求直线方程为4410x y --=。
四 练习
1.如果函数()5f x =，则'(1)f =（ ）
A. 5
B. 1
C. 0
D.不存在
2.曲线221y x =-+在点（0，1）的切线斜率是（ ）
A.-4
B.0
C.2
D. 不存在
3.曲线21
2y x =在点1
(1,)2处切线的倾斜角为（ ）
A. 4π
- B. 1 C. 4π
D. 54π
答案：
1.C
2.B
3.C
五 小结
1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；
2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。
六 作业
1. P85 ，A 组 1
2.求双曲线1
y x =过点1
(2,)2的切线方程。