几个常用函数的导数 课件
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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
1.2几个常用函数的导数(高中数学人教A版选修2-2)
变式训练
1.求下列函数的导数 : (1)y＝ sinx－2x2; (2)y＝ cosx· lnx; ex (3)y＝ . sinx
解 :(1)y′＝ (sinx－2x2)′ ＝ (sinx)′－ (2x2)′ ＝ cosx－ 4x. (2)y′＝ (cosx· lnx)′ ＝ (cosx)′·lnx＋ cosx· (lnx)′ cosx ＝－ sinx· lnx＋ . x
(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x [ 点评 ] 法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，
等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变
量的导数．
2．复合函数求导
对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当 选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要 特别注意的是中间变量的系数．如 (sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′ ＝ 2cos 2x ，而 (sin
语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘上第二个函数，加上第一个函 数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数
乘上分母减去分子乘上分母的导数，再 除以分母的平方
2.复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通 过变量u，y可以表示成 x的函数 ，那么称这个函 数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
x 2
x
（5） y ln(4 x)
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的． ①y＝a
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 课件
k1＝y |xx0 cos x0 , k2＝y |xx0 sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的， 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相 垂直.
【互动探究】若把题1中的函数改为y＝sin x,请求出在点
【解题探究】1.如何求函数 y 的x导数?已知直线的方程如 何求直线与x轴交点的坐标？ 2.如何确定三角形面积最大？题目中隐含的P点所满足的条件 是什么？
探究提示： 1.(1)由(xα)′=αxα-1求导数. (2)令直线方程中的y=0,求得的x就是交点的横坐标. 2.(1)|AB|是定值，若使三角形ABP面积最大，只需P到AB的 距离最大. (2)点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
【解析】1.依题意，y
|x x1
2
1 x1
，
因为n与m垂直，所以n的斜率为2 x1，
所以直线n的方程为：y y1 2 x1 (x x1)，
令y=0，则 x1 2 x1 (xQ x1)，
所以
xQ
1 2
容x易1，知道：xR=x1，
于是，|RQ|=|xQ-xR|=1 .
2
答案：1
2
2.因为|AB|为定值，
所以三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
所以点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
设点P(x0,y0)，由题意知点P在x轴上方的图象上，
即P在 y 上x ，所以 y 1 .
2x
又因为
k AB
所1 以,
2
1得x0=11, .
2 x0 2
由 y0 得x0y, 0=1,所以P(1,1).
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的， 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相 垂直.
【互动探究】若把题1中的函数改为y＝sin x,请求出在点
【解题探究】1.如何求函数 y 的x导数?已知直线的方程如 何求直线与x轴交点的坐标？ 2.如何确定三角形面积最大？题目中隐含的P点所满足的条件 是什么？
探究提示： 1.(1)由(xα)′=αxα-1求导数. (2)令直线方程中的y=0,求得的x就是交点的横坐标. 2.(1)|AB|是定值，若使三角形ABP面积最大，只需P到AB的 距离最大. (2)点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
【解析】1.依题意，y
|x x1
2
1 x1
，
因为n与m垂直，所以n的斜率为2 x1，
所以直线n的方程为：y y1 2 x1 (x x1)，
令y=0，则 x1 2 x1 (xQ x1)，
所以
xQ
1 2
容x易1，知道：xR=x1，
于是，|RQ|=|xQ-xR|=1 .
2
答案：1
2
2.因为|AB|为定值，
所以三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
所以点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
设点P(x0,y0)，由题意知点P在x轴上方的图象上，
即P在 y 上x ，所以 y 1 .
2x
又因为
k AB
所1 以,
2
1得x0=11, .
2 x0 2
由 y0 得x0y, 0=1,所以P(1,1).
1.2.1几个常用函数的导数
1 （8）(ln x ) x
1 x ln a
例2 根据基本函数的导数公式和导数运算法则， 求函数y=x3 2 x 3的导数。
解：y ' =（x 2 x 3） '
3
（x ）（ ' 2 x）（ ' 3） '
3
3x 2。
2
练习：求下列函数的导数：
(1) y 2e
1、熟记以下导数公式：
（1） （C)‘=0
（2）( x
( 3)
) x 1 (sin x) cos x
x
x
1、 [ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x);
2、 [ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x);
y c(
c 是常数)的导数。
y 0 常数的导数等于零 x 0 x 2 、求函数 y x 的导数。 y y lim lim 1 1. x 0 x x 0 y lim
y lim (2 x x) 2 x. x x0 1 y 1 1 4 函数 y f ( x) , 的导数 f ( x) lim lim 2. x 0 x x 0 x( x x) x x lim 3 函数 y f ( x) x , 的导数 f ( x) x 0
从图知:当x<0时，函数减少得快； 当x>0时，函数减少得慢。
练习1 求下列函数的导数：
(1) y x
解：
4
(2) y x
3
1 (3) y 2 x
(4) y x
几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
【微思考】 (1)y=sinx在x=x0处的导数是多少?其几何意义是什么? 提示：y′=cosx，x=x0，f′(x0)=cosx0，几何意义是曲线 y=sinx在点(x0，y0)处的切线的斜率. (2)y=x3在(0，0)点存在切线吗?若存在，切线方程是什么? 提示：存在，y′=3x2，y′|x=0=3×02=0，所以过(0，0)点的 切线为y=0.
【解题探究】1.题(1)中抛物线x2=2y上两点P，Q的切线的斜率 等于多少? 2.题(2)中两条直线互相垂直的条件是什么? 【探究提示】1.kP=y′|x=4=4，kQ=y′|x=-2=-2. 2.两直线互相垂直的条件是斜率的乘积等于-1.
【自主解答】(1)由于P，Q为抛物线x2=2y(即y1= x2)上的点，
x3
数的导数公式？ 2.在题(2)中能否直接对②应用导数公式求导，如果不能，应 该如何处理？ 【探究提示】1.应用幂函数的导数公式求导，可先将原函数变 形为幂函数，再求导数. 2.不能直接用公式求导，应对函数进行变形，可变形为cos x.
【自主解答】(1)选D.因为f′(x)=(x-3)′=-3x-4，
类型二 导数的几何意义的应用 【典例2】(1)(辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P， Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线 交于点A，则点A的纵坐标为__________. (2)已知两条曲线y=sinx，y=cosx，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明 理由.
【微思考】
(1)若函数f(x)=x3，那么f′(m)的含义是什么?
提示：f′(m)的含义是函数f(x)=x3在x=m时所对应的导数值. (2)没有公式能直接求函数f(x)= 1 的导数，是不是其导数就
1.2导数的计算(4课时)
作业： P18习题1.2A组：1.
1.2
导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 第一课时
问题提出 1.如何求函数f(x)的导数？
y= 2.函数y＝c，y=x，y=x2，
，
f (x + Vx ) - f (x ) f¢ (x ) = lim Vx ® 0 Vx 1
x 的导数分别是什么？.
思考3：若y＝c表示路程关于时间的函数， 则y′＝0的物理意义如何解释？
物体的瞬时速度始终为0，即物体处于静 止状态.
探究（二）：函数y＝f(x)＝x的导数 思考1：函数f(x)＝x的图象是什么？相 对于x的函数值增量△y等于什么？ y y ＝x
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
f¢ (x ) = k
思考5：函数f(x)＝kx(k≠0)的图象是什 么？其导数表示什么？ y＝kx的图象是过原点的一条直线
f¢ (x ) = k 表示直线y＝kx的斜率.
思考6：函数f(x)＝kx(k≠0)增(减)的快 慢与k的取值有什么关系？ k＞0时，k越大，f(x)增加得越快； k＜0时，k越大，f(x)减少得越慢.
= ln x 的
导数是什么？
1 (loga x )¢= x ln a
1 (ln x )¢= x
探究（二）：导数的四则运算法则
[f (x ) + g(x )]¢ (x ) + g (x ) 相等吗？ 思考1： 与 fⅱ 为什么？
[f (x ) + g(x )]ⅱ = f (x ) + g (x )
(x ), g (x ) 有什么关 [f (x ) - g(x )]¢与 f ⅱ 思考2： 系？ [f (x ) - g(x )]ⅱ = f (x ) - g (x )
数学(新人教A版必修1-1)：3.2.1几种常见函数的导数课件
练习：求下列函数的导数
3 1 (1)y＝ 2 (2)y＝ x x
(1)y′＝－2x
x
－3
(3)y＝2
x
(4)y＝log2x
1 2 (2)y′＝ x－ 3 3 1 (4)y′＝ xln2
(3)y′＝2 ln2
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例2.已知y
x，1)求y ;
2.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2 上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切 线方程。
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四、小结
1 1.会求常用函数 y c, y x, y x , y , x
2
的导数.其中: 公式1: C 0 (C为常数) .
• [点评] (1)用导数的定义求导是求导数的 基本方法，但运算较繁．利用常用函数的 导数公式，可以简化求导过程，降低运算 难度． • (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的 特征，恰当地选择求导公式，将题中函数 的结构进行调整．如将根式、分式转化为 指数式，利用幂函数的求导公式求导．
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说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x ) | x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
2)求曲线在点（ ， 11 ）处的切线方程. x 解：1）y x x x x x x y 1 1 y lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
《几个常用函数的导数》ppt课件
THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要 性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜 率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数 导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等 于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的 导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导 数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握 导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零 的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小 值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法 。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法， 它基于极限的定义，通过求极限来得 到函数的导数。对于可导的函数，其 导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式 导数公式 举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导 数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为 。
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 课件
3.利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁 杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解决这个 问题? 提示:可以使用给出的导数公式进行求导,简化运算过 程,降低运算难度.
结论:导数的描述
原函数 f(x)=c (c为常数)
f(x)=xα (α∈Q*)
f(x)=sin x
用文字语言描述导数
常数的导数为0
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
主题 几个常用函数的导数与 基本初等函数导数公式 1.f(x)=x,f(x)=x2,f(x)= x均可表示为y=f(x)=xα (α∈Q*)的形式,其导数有何规律?
提示:因为(x)′=1·x1-1,(x2)′=2·x2-1,(
(
1
x2
)′=
1
x
1 2
1，,所以(xα)′=α·xα-1.
【解析】(1)设点P(x0,y0)是曲线y= 1 上任意一点,因
x
为y′=- 1 ,所以切线斜率为k=- 1 ,所以切线方程为
x2
x 02
y-y0=-
1
x
2 0
(x-x0),即x+
x
2 0
y-2x0=0,所以切线与坐标轴
的交点为(2x0,0), (0, 2 ) ,所以切线与两条坐标轴围成
x0
的三角形的面积为 1 |2x0|×|
y
2 1 x 2
22
,即:x- 2
2y +2=0.所以切点坐标为
(2, 2) ,切线方程为x- 2 2y+2=0.
【方法总结】求曲线方程或切线方程时的注意点 (1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线 方程也满足切线方程. (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率. (3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切 点.
高中数学 121 几种常用函数的导数及导数的运算法则课件 新人教版选修22
第二十三页，共41页。
(2)y′＝(xl＋nx1)′ ＝1xx＋x＋11－2lnx ＝1－x＋lnx1＋2 1x ＝x－xxx＋lnx1＋2 1.
第二十四页，共41页。
(3)∵f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5) ＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5， ∴f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′ ＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
第三十页，共41页。
规律技巧 1在求曲线的切线方程时，注意两个“说 法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程. 在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线， 不论 点P在不在曲线上，点P不一定是切点.
2求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标 为x0，y0，然后写出切线方程y－y0＝f′x0x－x0，代入点P 的坐标，求出x0，y0，再写出切线方程.
(3)f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)
第十页，共41页。
名师讲解 1.有理数幂函数的导数(xn)′＝nxn－1(n为有理数)，应注意 其特点 (1)y＝xn中，x为自变量，n为常数． (2)它的导数等于幂指数n与自变量x的(n－1)次幂的乘积． (3)公式中n∈Q，但对于n∈R公式也成立． (4)特别注意n为负数或分数时，求导不要搞错．如( x )′ ＝(x12)′＝12x12－1＝12·x－12＝21 x.
第四十页，共41页。
(3)∵y＝1＋ sin2xcos2x＝1＋12sinx，
∴y′＝(1＋12sinx)′＝12cosx.
(4)y′＝(
x x＋1
)′－(2x)′＝
x＋1－x x＋12
－2xln2＝
1 x＋12
－
2xln2.
(2)y′＝(xl＋nx1)′ ＝1xx＋x＋11－2lnx ＝1－x＋lnx1＋2 1x ＝x－xxx＋lnx1＋2 1.
第二十四页，共41页。
(3)∵f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5) ＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5， ∴f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′ ＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
第三十页，共41页。
规律技巧 1在求曲线的切线方程时，注意两个“说 法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程. 在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线， 不论 点P在不在曲线上，点P不一定是切点.
2求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标 为x0，y0，然后写出切线方程y－y0＝f′x0x－x0，代入点P 的坐标，求出x0，y0，再写出切线方程.
(3)f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)
第十页，共41页。
名师讲解 1.有理数幂函数的导数(xn)′＝nxn－1(n为有理数)，应注意 其特点 (1)y＝xn中，x为自变量，n为常数． (2)它的导数等于幂指数n与自变量x的(n－1)次幂的乘积． (3)公式中n∈Q，但对于n∈R公式也成立． (4)特别注意n为负数或分数时，求导不要搞错．如( x )′ ＝(x12)′＝12x12－1＝12·x－12＝21 x.
第四十页，共41页。
(3)∵y＝1＋ sin2xcos2x＝1＋12sinx，
∴y′＝(1＋12sinx)′＝12cosx.
(4)y′＝(
x x＋1
)′－(2x)′＝
x＋1－x x＋12
－2xln2＝
1 x＋12
－
2xln2.
人教新课标版数学高二课件 3.2 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
x＝
1x＝x
1 2
，
∴y′＝
1
x
3 2
.
2
解答
(2)y＝2cos22x－1. 解 ∵y＝2cos22x－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
解答
类型二 导数公式的应用 命题角度1 求切线方程 例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由.
解答
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用 (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1＝ y' |xx0 ＝cos x0，k2＝ y' |xx0 ＝－sin x0. 要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
f′(x)＝_α_x_α－__1
f(x)＝sin x
f′(x)＝_c_o_s _x_
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝－__s_i_n_x_
f′(x)＝ axln a(a>0)
f′(x)＝_ex_ 1 f′(x)＝_x_ln__a_(a>0，且a≠1)
解答
( 人教A版第2课时导数的运算法则课件 (共36张PPT)
(5)y＝sincxo＋s 2cxos x ＝csoins2xx＋－csoins2xx＝cos x－sin x， ∴y′＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x. (6)y＝xln x＝12xln x， ∴y′＝12(x)′·ln x＋12x·(ln x)′＝12ln x＋12.
1．运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析 函数 y＝f(x)的结构和特征，若直接求导很烦琐，一定要先进行合理的化简 变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导． 2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角 函数公式对解析式进行化简、整理，然后再套用公式求导．
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第 2 课时 导数的运算法则
考纲定位
重难突破
1.能利用导数的四则运算法 则求解导函数. 2.能运用复合函数的求导法 则进行复合函数的求导.
重点：用导数的运算法则求 函数的导数. 难点：求复合函数的导数.
又点 P 在第二象限内，∴x0＝－2. 又点 P 在曲线 C 上， ∴y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15， ∴点 P 的坐标为(－2,15)．
求解与切线有关的综合问题： (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点 P 处的切线方程 和求曲线过点 P 的切线方程．在点 P 处的切线，一定是以点 P 为切点，过点 P 的切线，点 P 不一定是切点； (2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为(x0，y0)，然后写 出切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)，最后代入点 P 的坐标，求出(x0，y0)．切点 在解决此类问题时起着至关重要的作用．
导数的几何意义课件(共28张PPT)
y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
高中数学新教材选择性必修第二册《5.2导数的运算》全部课件
思考2 试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，
g′(x)的关系. 答案 ∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－x＋1x＝Δx＋x－ x＋ΔΔxx， ∴ΔΔyx＝1－xx＋1 Δx. ∴Q′(x)＝Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→01－xx＋1 Δx＝1－x12. 同理，H′(x)＝1＋x12. Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
∴所求的最短距离
d＝12－142－2＝7
8
2 .
跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O 是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 AOB上求一 点P，使△ABP的面积最大. 解 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大， 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1. 故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0. 故P(1,1)点即为所求弧 AOB 上的点，使△ABP的面积最大.
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
几个常用函数的导数 课件
几个常用函数的导数
几个常用函数的导数
思维导航
1．你会用导数的定义求①f(x)＝c ②f(x)＝x(c为常数)的
导数吗？你能用导数的物理意义和几何意义解释上述结论吗？
2．依据导数的定义求y＝x2，y＝
1 x
，y＝
x ，y＝x3的导
数，观察分析得到的结果，你发现了什么？
原函数
导函数
f(x)＝x2
f ′(x)＝2x
②设曲线y＝
1 x
过点P(1,0)的切线与曲线相切于点A(x0，
x10)，则切线的斜率k＝－x102， ∴切线方程为y－x10＝－x120(x－x0)， ∵点P(1,0)在切线上，
∴－x10＝－x102(1－x0)，解得x0＝12.
故所求的切线方程为4x＋y－4＝0. [方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据
[正解] (1)易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由 上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
牛刀小试
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
几个常用函数的导数
思维导航
1．你会用导数的定义求①f(x)＝c ②f(x)＝x(c为常数)的
导数吗？你能用导数的物理意义和几何意义解释上述结论吗？
2．依据导数的定义求y＝x2，y＝
1 x
，y＝
x ，y＝x3的导
数，观察分析得到的结果，你发现了什么？
原函数
导函数
f(x)＝x2
f ′(x)＝2x
②设曲线y＝
1 x
过点P(1,0)的切线与曲线相切于点A(x0，
x10)，则切线的斜率k＝－x102， ∴切线方程为y－x10＝－x120(x－x0)， ∵点P(1,0)在切线上，
∴－x10＝－x102(1－x0)，解得x0＝12.
故所求的切线方程为4x＋y－4＝0. [方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据
[正解] (1)易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由 上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
牛刀小试
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
7几个常用函数的导数共23页文档
x
y
3.函数f(x)在点x0处的导数 f(x0) 就是导函数 f(x) 在x=x0处的函数值,即 f(x 0)f(x)|x x 0.这也是求函 数在点x0 处的导数的方法之一。
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得 到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，
(2)已y知 x12,求 f(3).
解 y ( x 2 ： ) 2 x 2 1 2 x 3
f(3 ) 2 (3 ) 3 2 1 2 2 72 7
小结：利用导数公式求函数在某点处的导数，大大减 小了运算量，而且对于原来用定义无法解决的函数求 导也找到了一个新的思路。
课堂练习
几何意义：表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1
在同一平面直角坐标系中，
探 究
画出y=2x,y=3x,y=4x的
？ 图象，并根据导数定义，
求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一 个增加得最慢？
(3)函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？
小结：对于简单函数的求导关键是学会合理转化关系 式，即求导过程中，可以根据函数的特征，将式子结 构适当调整，如根式，分式可转化为指数式，进而选 择合适的求导公式，以便可以直接利用公式求解.
例2: (1 )已 y 知 x3 ,求 f(2 ).
解 y ( x ： 3 ) 3 x 3 1 3 x 2 f(2)3(2)212
公 式 四 ： （ 1） '1
y
3.函数f(x)在点x0处的导数 f(x0) 就是导函数 f(x) 在x=x0处的函数值,即 f(x 0)f(x)|x x 0.这也是求函 数在点x0 处的导数的方法之一。
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得 到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，
(2)已y知 x12,求 f(3).
解 y ( x 2 ： ) 2 x 2 1 2 x 3
f(3 ) 2 (3 ) 3 2 1 2 2 72 7
小结：利用导数公式求函数在某点处的导数，大大减 小了运算量，而且对于原来用定义无法解决的函数求 导也找到了一个新的思路。
课堂练习
几何意义：表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1
在同一平面直角坐标系中，
探 究
画出y=2x,y=3x,y=4x的
？ 图象，并根据导数定义，
求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一 个增加得最慢？
(3)函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？
小结：对于简单函数的求导关键是学会合理转化关系 式，即求导过程中，可以根据函数的特征，将式子结 构适当调整，如根式，分式可转化为指数式，进而选 择合适的求导公式，以便可以直接利用公式求解.
例2: (1 )已 y 知 x3 ,求 f(2 ).
解 y ( x ： 3 ) 3 x 3 1 3 x 2 f(2)3(2)212
公 式 四 ： （ 1） '1