几个常见函数的导数
常见函数导数表
以下是一些常见函数的导数：
1. 常数函数：f(x)=c的导数为0。
2. 幂函数：f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数：f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*lna。
4. 对数函数：f(x)=lnx的导数为f'(x)=1/x。
5. 三角函数：
* 正弦函数：f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。
* 余弦函数：f(x)=cosx的导数为f'(x)=-sinx。
* 正切函数：f(x)=tanx的导数为f'(x)=sec^2x。
6. 反三角函数：
* 反正弦函数：f(x)=arcsinx的导数为f'(x)=1/√(1-x^2)。
* 反余弦函数：f(x)=arccosx的导数为f'(x)=-1/√(1-x^2)。
* 反正切函数：f(x)=arctanx的导数为f'(x)=1/(1+x^2)。
7. 双曲函数：
* 自然双曲正弦函数：f(x)=shx的导数为f'(x)=chx。
* 自然双曲余弦函数：f(x)=chx的导数为f'(x)=shx。
8. 幂函数：对于形如f(x)=ax^n的幂函数，其导数为
f'(x)=nax^(n-1)。
9. 分式函数：对于形如f(x)=u/v的函数，其中u和v都是可导的，其导数为f'(x)=(u'v-uv')/v^2。
这只是一部分常见函数的导数，实际上还有很多其他类型的函数，这些函数的导数都需要根据具体情况进行计算。
函数求导公式大全
函数求导公式大全函数的导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
求导公式是求函数导数的工具，通过掌握各种函数的求导公式，可以更快捷地求解导数，解决实际问题。
本文将介绍常见的函数求导公式，希望能够帮助大家更好地理解和掌握函数的导数计算。
1. 常数函数的求导公式。
常数函数的导数等于0，即对于常数c，其导数为f'(x)=0。
2. 幂函数的求导公式。
幂函数的求导公式为，若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为任意实数。
3. 指数函数的求导公式。
指数函数的求导公式为，若f(x)=a^x，则f'(x)=a^xlna，其中a为常数且a>0。
4. 对数函数的求导公式。
对数函数的求导公式为，若f(x)=lnx，则f'(x)=1/x。
5. 三角函数的求导公式。
（1）正弦函数的求导公式为，f'(x)=cosx。
（2）余弦函数的求导公式为，f'(x)=-sinx。
（3）正切函数的求导公式为，f'(x)=sec^2x。
（4）余切函数的求导公式为，f'(x)=-csc^2x。
6. 反三角函数的求导公式。
（1）反正弦函数的求导公式为，f'(x)=1/√(1-x^2)。
（2）反余弦函数的求导公式为，f'(x)=-1/√(1-x^2)。
（3）反正切函数的求导公式为，f'(x)=1/(1+x^2)。
（4）反余切函数的求导公式为，f'(x)=-1/(1+x^2)。
7. 复合函数的求导公式。
复合函数的求导使用链式法则，若y=f(u)和u=g(x)，则y=f(g(x))，其导数为f'(u)g'(x)。
8. 高阶导数的求导公式。
高阶导数是指对函数的导数再求导数，常用的高阶导数求导公式包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的高阶导数求导公式。
9. 隐函数的求导公式。
隐函数是指由x和y的关系式所确定的函数，其导数的求导公式需要使用隐函数求导法。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
最常见的导数公式
最常见的导数公式在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
各种函数的导数具有一些常见的形式，掌握这些导数公式是解题的关键。
在本文中，我们将介绍一些最常见的导数公式，帮助读者更好地理解导数的计算方法。
1. 常数函数的导数对于常数函数f(f)=f，其中f为常数，其导数为0，即$$ \\frac{d}{dx}C = 0 $$这是因为常数函数的图像是一条水平线，在任意点的斜率都为0。
2. 幂函数的导数对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，其导数为$n \\cdot x^{n-1}$，即$$ \\frac{d}{dx}x^n = n \\cdot x^{n-1} $$这条公式可以用幂函数的导数定义以及幂函数的微分性质推导得出。
3. 指数函数的导数对于自然指数函数f(f)=f f，其导数仍然是f f，即$$ \\frac{d}{dx}e^x = e^x $$指数函数f f的导数与自身相等，这是指数函数在微积分中的一个重要性质。
4. 对数函数的导数对数函数的导数也有一些常见的形式。
对于自然对数函数$f(x) = \\ln x$，其导数为$\\frac{1}{x}$，即$$ \\frac{d}{dx}\\ln x = \\frac{1}{x} $$对数函数的导数经常在解决与指数函数相关的问题时使用。
5. 三角函数的导数三角函数在微积分中也经常出现，它们的导数具有一定的规律。
以下是一些常见三角函数的导数公式：•正弦函数$f(x) = \\sin x$的导数为$\\cos x$，即$\\frac{d}{dx}\\sin x = \\cos x$•余弦函数$f(x) = \\cos x$的导数为$-\\sin x$，即$\\frac{d}{dx}\\cos x = -\\sin x$•正切函数$f(x) = \\tan x$的导数为$\\sec^2 x$，即$\\frac{d}{dx}\\tan x = \\sec^2 x$•余切函数$f(x) = \\cot x$的导数为$-\\csc^2 x$，即$\\frac{d}{dx}\\cot x = -\\csc^2 x$三角函数的导数公式在解决三角函数相关问题时非常有用。
函数的和、差、积、商的导数
的 导 数
常见函数的导数
1、常函数：
C 0
特别： 特别：
2、一次函数： (kx b) k
n 1 3、幂函数： ( x ) nx n
x 1
( x 2 ) 2 x
1 1 ( ) 2 x x
4、指数函数：(a
x
) a ln a(a 0且a 1)
1 ( A) x x 1 ( B) x (C ) 2 x
3
1 ( D) 2x3
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D )
3 3 3 3 ( A)[0, ] ( B )[ , ) (C )[0, ) ( , ] ( D)[0, ] [ , ) 4 4 2 2 4 2 4
例:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足
(1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
3 2 (2) s (t ) t 12t 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
2
练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是 否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4). y 12x 3 6 x 2 18x ,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8. y 3x4 2x3 9x2 4 ( 2)由 3 x 4 2 x 3 9 x 2 12x 4 0, y 12x 8
各种导数的求导公式
各种导数的求导公式求导公式是用来求函数导数的工具，它可以帮助我们快速准确地计算函数的导数。
在微积分中，导数是函数变化率的度量，它描述了函数在不同点上的斜率或变化率。
下面是常见的导数求导公式:1.常数函数的导数公式:如果f(x)=c，其中c是常数,则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式:如果 f(x) = x^n，其中 n 是实数, 则 f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式:如果 f(x) = a^x，其中 a 是指数底数, 则 f'(x) = ln(a) * a^x。
4.对数函数的导数公式:如果 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/ x。
5.三角函数的导数公式:- sin函数的导数公式：f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
- cos函数的导数公式：f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
- tan函数的导数公式：f(x) = tan(x)，则 f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式:- arcsin函数的导数公式：f(x) = arcsin(x)，则 f'(x) =1/√(1-x^2)。
- arccos函数的导数公式：f(x) = arccos(x)，则 f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- arctan函数的导数公式：f(x) = arctan(x)，则 f'(x) =1/(1+x^2)。
7.双曲函数的导数公式:- sinh函数的导数公式：f(x) = sinh(x)，则 f'(x) = cosh(x)。
- cosh函数的导数公式：f(x) = cosh(x)，则 f'(x) = sinh(x)。
- tanh函数的导数公式：f(x) = tanh(x)，则 f'(x) = sech^2(x)。
几个常用函数的导数应用
当一阶导数等于0的点，称 为函数的驻点，驻点可能是 极值点。
求最值
结合单调性和极值点，可以 求出函数的最大值和最小值。
02 二次函数
二次函数导数的定义
总结词
二次函数导数的定义是函数值关于自 变量的变化率。
详细描述
导数表示函数值随自变量变化的速率， 对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其 导数f'(x)=2ax+b。
通过求导数，可以判断函数的单调性。 例如，对于函数$f(x) = x^3$，其导数 $f'(x) = 3x^{2}$在实数范围内恒大于 等于0，因此该函数在整个定义域内单 调递增。
利用导数可以求出函数的极值点。例如， 对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^{2}$，令其为0解得$x=0$，在 这一点左侧导数小于0，右侧导数大于 0，因此该点为极小值点。
05 幂函数
幂函数导数的定义
幂函数导数定义
如果函数$f(x) = x^n$，那么它的导数$f'(x) = nx^{n-1}$。
导数定义解释
导数表示函数在某一点的变化率，对于幂函数，其导数 与原函数的关系是，当$x$变化时，$f'(x)$表示$f(x)$的 增减速度。
幂函数导数的计算
计算方法
根据幂函数导数的定义，对于任意实数$n$，有$f'(x) = nx^{n-1}$。
举例
在物理学中，振动和波动的研究中经常需要用到三角函数的导 数；在工程学中，信号处理和控制系统等领域也需要用到三角
函数的导数。
结论
掌握三角函数导数的计算和应用对于解决实际问题具有重 要的意义。
04 对数函数
几个常用函数的导数 课件
几个常用函数的导数
思维导航
1．你会用导数的定义求①f(x)＝c ②f(x)＝x(c为常数)的
导数吗？你能用导数的物理意义和几何意义解释上述结论吗？
2．依据导数的定义求y＝x2，y＝
1 x
，y＝
x ，y＝x3的导
数，观察分析得到的结果，你发现了什么？
原函数
导函数
f(x)＝x2
f ′(x)＝2x
②设曲线y＝
1 x
过点P(1,0)的切线与曲线相切于点A(x0，
x10)，则切线的斜率k＝－x102， ∴切线方程为y－x10＝－x120(x－x0)， ∵点P(1,0)在切线上，
∴－x10＝－x102(1－x0)，解得x0＝12.
故所求的切线方程为4x＋y－4＝0. [方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据
[正解] (1)易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由 上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
牛刀小试
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
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2
2
y
2 cos ( x
x )sin 2
x 2
x
x
cos ( x
x ) 2
sin x 2
x
,
2
y f '( x) (sin x)' lim
x0 x
x
lim cos(x x ) lim sin 2
x0
2 x0 x
2
cos x 1 cos x.
[公式4] (cosx)' sin x
一、复习旧知，以旧悟新：
一、复习旧知，以旧悟新：
1. 按定义求导数的几个步骤：
1 求函数的改变量y f ( x x) f ( x);
2 求平均变化率y
f ( x x)
f (x) ;
x
x
3 取极限, 得导数y' lim y . x0 x
2. 用导数的定义求下列各函数的导数：
(1) y=x5；
三、理解概念，初步应用：
例1 求下列函数的导数：
(1) y=x5;
(2)
y
1 x2
;
(3) y x .
例2
质点运动方程是s
1 t5
,求
质点在t 2时的速度.
例3 求曲线y sin x在点A( , 1 ) 62
的切线方程.
例4 求双曲线y 1 与抛物线 x
y x交点处切线的夹角.
例5 求过点P(3,5)且与曲线 y x2相切的直线方程.
因为y=C的图象是平行于x轴的 直线，其上任一点的切线即为直线 本身，所以切线的斜率都是0.
公式1可叙述为：常数函数的导数为零.
[公式2] ( xn )' nxn1 (n Q)
[公式2] ( xn )' nxn1 (n Q)
[证] y f ( x) xn ,
y f ( x x) f ( x) ( x x)n xn
[xn
C1 nΒιβλιοθήκη xn1xC
2 n
xn2 (x)2
...
C
n n
(x)n
]
xn
C
1 n
x n1x
C
2 n
xn2 (x)2
...
C
n n
(x
)
n
y x
C
1 n
x
n1
Cn2 xn2x
Cnn (x)n1,
f '( x) ( xn )'
y lim
x0 x
lim [C
x0
1 n
x
n1
C
2 n
x
n
2
(2) y=C.
二、新 课：
二、新 课：
1. 由导数定义本身，给出了求导数 的最基本的方法，但由于导数是用极限 来定义的，所以求导数总是归结到求极 限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困 难. 为了能够较快地求出某些函数的导数， 这一节我们将研究比较简捷的求导数的 方法，本节课根据导数定义先来证明几 个常见函数的导数公式.
2. 几个常见函数的导数公式：
2. 几个常见函数的导数公式：
[公式1] C' 0 (C为常数)
2. 几个常见函数的导数公式：
[公式1] C' 0 (C为常数)
因为y=C的图象是平行于x轴的 直线，其上任一点的切线即为直线 本身，所以切线的斜率都是0.
2. 几个常见函数的导数公式：
[公式1] C' 0 (C为常数)
x
C
n n
(x
)
n1
nxn1 .
[公式3] (sin x)' cos x
[公式3] (sin x)' cos x 常用极限: lim sin x 1.
x0 x
[证] y f ( x) sin x,
y f ( x x) f ( x)
sin( x x) sin x
2cos(x x )sin x ,