3-2-1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
1.2.1几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
[ 小组合作型]
利用导数公式求函数的导数
求下列函数的导数： 1 5 3 (1)y＝x ；(2)y＝x4；(3)y＝ x ；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
12
【精彩点拨】
首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将
函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
【自主解答】
(1)y′＝(x12)′＝12x11.
[ 再练一题] 1 2．(1)求函数 f(x)＝ 在(1,1)处的导数； 3 x (2)求函数 f(x)＝cos x
π 在 4，
2 处的导数． 2
1 1 1 4 1 【解】 (1)∵f′(x)＝ 3 ′＝(x－3)′＝－3x－3＝－ ， 3 4 x 3 x 1 1 ∴f′(1)＝－ ＝－3. 3 3 1 (2)∵f′(x)＝－sin x， π π 2 ∴f′ 4 ＝－sin 4＝－ 2 .
原函数 f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
【答案】 0 αxα－1 cos x
导函数 f′(x)＝____________ f′(x)＝__________ 1 f′(x)＝xln a 1 f′(x)＝x
－sin x axln a ex
1．给出下列命题： 1 ①y＝ln 2，则 y′＝2； 1 2 ②y＝x2，则 y′|x＝3＝－27； ③y＝2x，则 y′＝2xln 2； 1 ④y＝log2x，则 y′＝xln 2. 其中正确命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
π t，∴v3＝cos
π 1 3＝2.
∴加速度 a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
1． 速度是路程对时间的导数， 加速度是速度对时间的导数． 2 ．求函数在某定点 ( 点在函数曲线上 ) 的导数的方法步骤 是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求 相应的导数值．
3-2-1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
1．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3 ＝( ) A.12B ．－12 C.32D ．－32 [答案] A[解析] y ′＝cos x ，y ′|x ＝π3 ＝cos π3＝12. 2．两曲线y ＝1x 与y ＝x 在交点处的两切线的斜率之积为________．[答案] －12[解析] 两曲线y ＝1x 与y ＝x 的交点坐标为(1,1)，∴k 1＝(1x )′|x ＝1＝－1x 2|x ＝1＝－1，k 2＝(x )′|x ＝1＝12x |x ＝1＝12. ∴k 1·k 2＝－12.3．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________.[答案] ±1[解析]因为y ′＝3x 2，所以曲线在(a ，a 3)处切线斜率为3a 2，切线方程为：y －a 3＝3a 2(x －a )所围成三角形如右图所示的阴影部分．切线与x 轴交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0；x ＝a 与x 轴交于点B (a,0)；切线与直线x ＝a 交于点M (a ，a 3)，∵S △ABM ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a 3·a 3＝16，， ∴a ＝±1.4．求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22且与在这点处的切线垂直的直线方程．[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .∴y ′|x ＝π4＝cos π4＝22.∴经过这点的切线的斜率为22，从而可知适合题意的直线的斜率为－ 2.∴由点斜式得适合题意的直线方程为y －22＝－2(x －π4)，2 2－24π＝0.即2x＋y－。
几个常用的基本初等函数的导数
几个常用的基本初等函数的导数
在函数微积分中，初等函数极其重要。
它们的概念简单易懂，但是在运用时，
会有一定的技巧。
函数的导数则更加复杂。
下面就将对一些常用的初等函数的导数，进行解析。
一元二次、三次方程的导数：一元二次函数的导数为2x,而一元三次函数的导
数为3x^2。
正弦和余弦函数的导数：正弦函数的导数为余弦函数，反之亦然，应用的时候
的话就是用唯一的关系扣出相互的导数。
对数函数和指数函数的导数：对数函数的导数为1/x，而指数函数的导数为
a^x，a是任意的一个常数。
幂次函数的导数：幂次函数的导数为ax^(a-1)，也就是说，如果原函数是x^a，那么其导数就是a*x^(a-1)。
以上就是我们对初等函数的导数进行解析。
在了解这些导数之后，可以在解决
更加复杂的函数问题时，有更好的准备，为未来的发展提供良好的基础。
希望学习互联网知识的人们，可以熟练运用这些函数导数，从而更好地解决问题。
几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式
f ( x ) = sin x, f ' (x ) = cos x
x '
f ( x ) = xα α ∈ Q* , f ' (x ) = αxα −1
f (x ) = c , f
'
(
(x ) = 0
)
x
x
'
x
对数函数
{
1 f ( x ) = log a x, f ( x ) = x ln a
'
1 f (x ) = ln x, f (x ) = x
x（2） y = x −3 3） y = x x ） （ ）
( )
方法总结： 方法总结：把函数转化为可以直接利用导数公式的基本函数模式
y 自主迁移：求导数（ ） 自主迁移：求导数（1） =
6
二、基本初等函数的导数公式
常数函数 幂函数
三角函数
指数函数
{ f (x ) = cos x , f (x ) = − sin x f ( x ) = a , f ( x ) = a ln a { f (x ) = e , f (x ) = e
( ) 幂的乘积） 结论 (x ) = αx (α ∈ Q （幂指数与自变量的α − 1 幂的乘积） )
x =x
' 1 2 1 − 1 1 1 1 −1 = = × x 2 = × x2 2 x 2 2
'
α '
α −1
*
一、几个常见函数的导数
1 y y 5 3 ：（1） 例1、求导数：（ ） = x （2） = 4 （3） = x 、求导数：（ y ） ） x
几个常见函数的导数公式 和基本初等函数的导数公式
常用求导积分公式及不定积分基本方法
常用求导积分公式及不定积分基本方法常用求导公式：1.一元函数求导公式：- 反函数求导法则：若y=f(u)，则u=f^(-1)(y)，则有(dy)/(dx) =1/(du/dy)- 常数乘法法则：若y=kf(x)，则(dy)/(dx) = kf'(x)-基本初等函数求导法则：- 常数函数求导法则：若y=c，则(dy)/(dx) = 0- 幂函数求导法则：若y=x^n，则(dy)/(dx) = nx^(n-1)- 指数函数求导法则：若y=a^x，则(dy)/(dx) = (lna) * a^x- 对数函数求导法则：若y=loga(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (xlna)- 三角函数求导法则：若y=sin(x)、cos(x)、tan(x)、cot(x)、sec(x)、csc(x)，则(dy)/(dx) = cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)、-csc^2(x)、sec(x)tan(x)、-csc(x)cot(x)，对应地还有反三角函数的求导公式- 反函数求导法则：若y=f^(-1)(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (dx/dy)-两个函数的和、差、积、商求导法则：- 和、差法则：若y=u+v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) + (dv)/(dx)，若y=u-v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) - (dv)/(dx)- 积法则：若y=uv，则(dy)/(dx) = u(dv)/(dx) + v(du)/(dx)- 商法则：若y=u/v，则(dy)/(dx) = (v(du)/(dx) - u(dv)/(dx))/ v^22.多元函数求导公式：-偏导数：对多元函数，其对其中其中一个自变量求导，其它自变量当作常数，即得到偏导数-偏导函数的求导法则：对偏导函数重复使用一元函数求导公式常用不定积分基本方法：1.基本初等函数的不定积分法则：- 幂函数积分法则：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n≠-1- 指数函数与对数函数积分法则：∫a^x dx = (1/lna) * a^x + C，∫(1/x) dx = ln，x， + C-三角函数与反三角函数积分法则：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C- ∫(1/√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C，∫(1/√(1+x^2)) dx = arctan(x) + C- 反函数的不定积分法则：若F'(x) = f(x)，则∫f^(-1)(x) dx =x * f^(-1)(x) - F(f^(-1)(x)) + C-特殊函数的不定积分法则：包括指数函数幂倍积分法则、二次函数积分法则等2.基本不定积分运算：- 基本线性运算：若∫f(x) dx = F(x) + C₁，∫g(x) dx = G(x) +C₂，则∫(af(x) + bg(x)) dx = aF(x) + bG(x) + C₃，其中a、b为实数- 递推公式：若∫f(x) dx = F(x) + C，则∫f(x)Ⓓ(x) dx = FⒹ(x) - ∫FⒹ(x) fⒹd(x) dx + C3. 分部积分法：设u(x)和v(x)具有连续一阶导数，根据分部积分公式，有∫u(x)v(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)uⒹ(x) dx4.换元积分法（含有待定变量）：设y=f(u)，u=g(x)，当g(x)可导、f(u)的原函数可积时5.改线积分法：将不定积分中的自变量换成关于自变量的函数。
基本初等函数导数公式大全
基本初等函数导数公式大全基本初等函数是指常见的代数函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及其组合。
这些函数在数学中起着重要的作用，我们经常需要求它们的导数以解决各种问题。
下面是基本初等函数的导数公式大全：1. 多项式函数：多项式函数是由若干个幂函数组成的函数。
对于多项式函数y = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀，其中a₀, a₁, ..., aₙ是常数，n是非负整数，则其导数为y' =n*aₙxⁿ⁻¹ + (n-1)*aₙ₋₁xⁿ⁻² + ... + a₁。
2. 指数函数：指数函数是以底数为常数e的幂函数，其中e ≈ 2.71828。
对于指数函数y = aᵢe^(bᵢx)（其中aᵢ, bᵢ为常数），其导数为y' = bᵢaᵢe^(bᵢx)。
3. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数。
对于对数函数y = logₐ(x)，其中a为常数且a > 0且a ≠ 1，则其导数为y' = 1/(xlna)。
4. 正弦函数与余弦函数：正弦函数y = sin(x)的导数为y' = cos(x)。
余弦函数y = cos(x)的导数为y' = -sin(x)。
5. 正切函数与余切函数：正切函数y = tan(x)的导数为y' = sec²(x)。
余切函数y = cot(x)的导数为y' = -csc²(x)。
6. 反正弦函数、反余弦函数与反正切函数：反正弦函数y = arcsin(x)的导数为y' = 1/√(1-x²)。
反余弦函数y = arccos(x)的导数为y' = -1/√(1-x²)。
反正切函数y = arctan(x)的导数为y' = 1/(1+x²)。
7. 双曲正弦函数与双曲余弦函数：双曲正弦函数y = sinh(x)的导数为y' = cosh(x)。
几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
【微思考】 (1)y=sinx在x=x0处的导数是多少?其几何意义是什么? 提示：y′=cosx，x=x0，f′(x0)=cosx0，几何意义是曲线 y=sinx在点(x0，y0)处的切线的斜率. (2)y=x3在(0，0)点存在切线吗?若存在，切线方程是什么? 提示：存在，y′=3x2，y′|x=0=3×02=0，所以过(0，0)点的 切线为y=0.
【解题探究】1.题(1)中抛物线x2=2y上两点P，Q的切线的斜率 等于多少? 2.题(2)中两条直线互相垂直的条件是什么? 【探究提示】1.kP=y′|x=4=4，kQ=y′|x=-2=-2. 2.两直线互相垂直的条件是斜率的乘积等于-1.
【自主解答】(1)由于P，Q为抛物线x2=2y(即y1= x2)上的点，
x3
数的导数公式？ 2.在题(2)中能否直接对②应用导数公式求导，如果不能，应 该如何处理？ 【探究提示】1.应用幂函数的导数公式求导，可先将原函数变 形为幂函数，再求导数. 2.不能直接用公式求导，应对函数进行变形，可变形为cos x.
【自主解答】(1)选D.因为f′(x)=(x-3)′=-3x-4，
类型二 导数的几何意义的应用 【典例2】(1)(辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P， Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线 交于点A，则点A的纵坐标为__________. (2)已知两条曲线y=sinx，y=cosx，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明 理由.
【微思考】
(1)若函数f(x)=x3，那么f′(m)的含义是什么?
提示：f′(m)的含义是函数f(x)=x3在x=m时所对应的导数值. (2)没有公式能直接求函数f(x)= 1 的导数，是不是其导数就
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式常用函数的导数公式及基本初等函数的导数公式是微积分中非常重要的知识点。
在计算导数时，这些公式能帮助我们更加方便地得到结果。
下面是常用函数的导数公式及基本初等函数的导数公式：1.常数函数：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数：若 f(x) = x^n，其中 n 为常数，则 f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数：若 f(x) = a^x，其中 a 为常数且 a > 0，a ≠ 1，则 f'(x) =ln(a) * a^x。
4.对数函数：(1) 若 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/x。
(2) 对数函数的基本性质：若 f(x) = ln(g(x))，则 f'(x) =g'(x)/g(x)。
5.三角函数：(1) 若 f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
(2) 若 f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
(3) 若 f(x) = tan(x)，则 f'(x) = sec^2(x)。
(4) 若 f(x) = cot(x)，则 f'(x) = -cosec^2(x)。
(5) 若 f(x) = sec(x)，则 f'(x) = sec(x) * tan(x)。
(6) 若 f(x) = cosec(x)，则 f'(x) = -cosec(x) * cot(x)。
6.反三角函数：包括反正弦函数（arcsin(x)或sin^(-1)(x)）、反余弦函数（arccos(x)或cos^(-1)(x)）和反正切函数（arctan(x)或tan^(-1)(x)）等。
根据反函数的导数公式，可以得到它们的导数公式：(1) 若 f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
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基础巩固强化
一、选择题
1．设y ＝e 3，则y ′等于( ) A ．3e 2 B ．e 2
C ．0
D ．以上都不是
[答案] C
[解析] ∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0.
2．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数y ＝sin x 的导数是( )
A ．y ＝sin x
B ．y ＝－cos x
C ．y ＝cos x
D ．y ＝－sin x [答案] C
[解析] ∵(sin x )′＝cos x ， ∴选C.
3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 [答案] B
[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．
4．若y ＝cos 2π
3，则y ′＝( ) A ．－3
2
B ．－12
C ．0 D.12
[答案] C
[解析] 常数函数的导数为0.
5．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D.12
[答案] D
[解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝1
2，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.
6．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 [答案] B
[解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1， 由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4. 二、填空题
7．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是__________． [答案] y ＝x －1
[解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) y ′|x ＝1＝1，∴切线的斜率为1， ∴所求切线方程为：y ＝x －1.
8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5
t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________．
[答案] 1
80
[解析] ∵s ′＝(5
t )′＝(t 15
)′＝15t －
45
，
∴质点在t ＝32时的速度为1
5×32－
4
5
＝1
5×(25)
－ 45
＝180.
9．在曲线y ＝4
x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．
[答案] (2,1)
[解析] 设P (x 0，y 0)，
∵y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1，
∴－8x －3
0＝－1.
∴x 0＝2，y 0＝1. 三、解答题
10．求证双曲线y ＝1
x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．
[解析] 设双曲线上任意一点P (x 0，y 0)， ∵y ′＝－1
x 2，
∴点P 处的切线方程y －y 0＝－1
x 20(x －x 0)．
令x ＝0，得y ＝y 0＋1x 0
＝2
x 0
；
令y ＝0，得x ＝x 0＋x 20y 0＝2x 0.
∴S△＝1
2|x|·|y|＝2.
∴三角形面积为定值2.。