概率统计学习指导：第十章 回归分析
概率论与数理统计(回归分析)
调整R方值 考虑到自变量数量的R方值，用 于比较不同模型之间的拟合优度。 调整R方值越接近于1，说明模型 拟合优度越好。
残差图 通过观察残差与实际观测值之间 的关系，判断模型是否符合线性 关系、是否存在异方差性等。
05
逻辑回归分析
逻辑回归模型
01
逻辑回归模型是一种用于解决 二分类问题的统计方法，基于 逻辑函数将线性回归的预测值 转换为概率形式。
多元非线性回归模型
在多个自变量X1, X2, ..., Xp的条件下，预测因变量Y的非线性数 学模型。模型形式为Y = f(β0, β1*X1, β2*X2, ... , βp*Xp)，其
中f表示非线性函数。
多元逻辑回归模型
用于预测分类结果的多元回归模型，适用于因变量Y为二分 类或多分类的情况。
多重共线性问题
非线性回归模型是指因变量和自 变量之间的关系不是线性的，需 要通过变换或参数调整来拟合数 据。
形式
非线性回归模型通常采用指数函 数对数函数、多项式函数等形 式来表达。
适用范围
非线性回归模型适用于因变量和 自变量之间存在非线性关系的情 况，例如生物医学、经济学、社 会学等领域。
常用非线性回归模型
指数回归模型
线性回归模型假设因变量和自变 量之间存在一种线性关系，即当 一个自变量增加或减少时，因变 量也会以一种恒定的方式增加或 减少。
最小二乘法
01
02
03
最小二乘法是一种数学 优化技术，用于估计线
性回归模型的参数。
最小二乘法的目标是找 到一组参数，使得因变 量的观测值与预测值之
间的平方和最小。
最小二乘法的数学公式为： β=(XTX)^(-1)XTY，其中 X是自变量的数据矩阵，Y 是因变量的数据向量，β
概率统计中的回归分析和方差分析
概率统计中的回归分析和方差分析回归分析是概率统计中一种重要的分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以通过建立一个数学模型，来预测和解释两个或多个变量之间的关系。
而方差分析则是用于比较两个或多个总体均值差异的统计方法。
这两种方法在概率统计领域中具有广泛的应用，本文将对回归分析和方差分析进行介绍和探讨。
一、回归分析回归分析是一种统计方法，主要用于建立一个数学模型以描述自变量和因变量之间的关系。
它常用于预测、解释和分析数据，为研究者提供有关变量之间关系的信息。
回归分析中最常用的模型是线性回归模型，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
在回归分析中，我们首先要选择适当的自变量和因变量。
自变量通常是研究者认为可能影响因变量的变量，而因变量是研究者希望通过自变量来解释和预测的变量。
然后，我们通过收集一定数量的数据来建立数学模型，并进行回归分析。
回归分析的核心目标是通过估计回归系数来确定自变量与因变量之间的关系。
回归系数可以告诉我们两个变量之间的相关性和影响程度。
在线性回归模型中，回归系数表示当自变量的单位变化引起因变量的变化时，因变量的平均变化量。
回归系数的显著性测试可以告诉我们该变量是否对因变量有显著影响。
此外，回归分析还可以进行多元回归和非线性回归等分析。
多元回归用于分析多个自变量和一个因变量之间的关系，非线性回归用于分析自变量和因变量之间的非线性关系。
这些分析方法可以进一步深入研究变量之间的关系。
二、方差分析方差分析是用于比较两个或多个总体均值差异的统计方法。
它通过分析不同组别之间的方差来推断总体均值是否存在显著差异。
方差分析适用于多组数据的比较，常用于实验设计和质量控制等领域。
方差分析将总体的方差分解成组间方差和组内方差，然后通过计算F统计量来进行假设检验。
如果F统计量大于临界值，则拒绝原假设，认为组别之间存在显著差异；否则，接受原假设，认为组别之间没有显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
概率与统计中的相关性与回归分析
概率与统计中的相关性与回归分析在概率与统计学领域中，相关性与回归分析是两个重要的概念和工具。
它们被广泛应用于数据分析、预测模型和决策制定等领域。
本文将介绍相关性与回归分析的基本概念、方法和应用，并探讨它们在实际问题中的重要性。
一、相关性分析相关性分析是用来衡量两个变量之间线性关系的强度和方向。
它通过相关系数来度量变量之间的线性相关程度。
常用的相关系数包括Pearson相关系数、Spearman相关系数和判定系数等。
Pearson相关系数适用于连续变量，它的取值范围在-1到1之间。
当相关系数为1或-1时，表示完全正相关或完全负相关，为0时表示无相关关系。
Spearman相关系数适用于有序变量，它通过比较变量的秩次来衡量相关程度。
判定系数用于评估拟合优度，它表示通过回归模型能解释的因变量变异的比例。
相关性分析可以揭示变量之间的关联关系，并为进一步的分析提供参考。
例如，在市场营销中，通过分析产品销售额与广告投入之间的相关性，企业可以评估广告对销售的影响，并作出相应的决策。
二、回归分析回归分析是一种用来建立变量之间相互依赖关系的统计方法。
它基于已有数据，通过建立回归模型来预测因变量的取值。
常用的回归方法包括线性回归、多项式回归、岭回归等。
线性回归是回归分析中最常用的方法之一。
它假设自变量与因变量之间存在线性关系，通过最小化残差平方和来估计回归系数。
多项式回归适用于变量之间呈现非线性关系的情况，通过引入高次项来拟合数据。
岭回归则用于解决自变量间存在共线性的问题。
回归分析可以用于预测、解释和探索变量之间的关系。
例如，在金融领域，通过建立股票价格与经济指标之间的回归模型，投资者可以预测股票价格的走势并作出相应的投资决策。
三、相关性与回归分析的应用相关性与回归分析在各个领域都有重要的应用。
在医学研究中，可以通过相关性分析来探究疾病因素之间的关系，通过回归分析来建立疾病预测模型。
在经济学中，可以使用相关性分析和回归分析来研究经济指标之间的关联性，并做出相应的政策建议。
统计学中的回归分析方法解析
统计学中的回归分析方法解析统计学中的回归分析是一种重要的数据分析方法，它可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测和解释。
本文将对回归分析的基本概念、回归模型、模型评估以及一些常用的扩展方法进行解析。
通过深入探讨回归分析的应用方式和原理，希望读者能够更好地理解和运用这一方法。
一、回归分析概述回归分析是一种基于样本数据分析方法，用于研究因变量与自变量之间的关系。
在回归分析中，我们将自变量的取值代入回归方程中，以得出因变量的预测值。
回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归两种情况。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最基础的一种情形。
它假设因变量与自变量之间存在着线性关系，通过拟合一条直线来解释数据的变化趋势。
简单线性回归模型的表达式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
1.2 多元线性回归当我们需要考虑多个自变量对因变量的影响时，就需要使用多元线性回归模型。
多元线性回归模型的表达式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差项。
二、回归模型的建立与评估在回归分析中，我们需要建立合适的回归模型，并评估模型的拟合优度和统计显著性。
2.1 模型建立模型建立是回归分析的核心部分。
在建立模型时，我们需要选择合适的自变量，并进行模型的参数估计。
常用的参数估计方法有最小二乘法、最大似然估计等。
2.2 模型评估为了评估回归模型的拟合优度，我们可以使用各种统计指标，如决定系数R²、调整决定系数adj R²、F统计量等。
同时，我们还需要检验模型的显著性，即回归系数是否显著不为零。
三、回归分析的扩展方法除了简单线性回归和多元线性回归之外，回归分析还有许多扩展方法，包括非线性回归、逐步回归、岭回归等。
概率论--回归分析
是有 EY= f(X) ，所以能够用f(X) 作为Y旳近似。
当X为随机变量时， 求Y对X旳条件期望，也有 E(Y|X)= f(X)
记
y=f(x)
则称 y=f(x) 为 Y对X旳回归方程
1、 f(x) 称为回归函数
2、随机误差 e 旳方差D e是回归模型旳主要参数， D e旳大小反应了f(X) 对Y 旳近似程度：
(3)所求回归直线为 yˆ ˆ0 ˆ1x
3、求最小二乘估计旳环节
(1)依所知数据求出
X
1 n
n
X
i 1
i
Y
1 n
n
Yi
i 1
L XX
n
(Xi
X )2
n
X
2 i
nX
2
i 1
i 1
n
n
n
LXY (X i X )(Yi Y ) (X i X )Yi X iYi nXY
i 1
i 1
i 1
Y= f(X1 ， X2 ， , Xp ) + e ，其中E e = 0
则称为多元回归模型
注：线性回归模型是在应用上最主要且在理论上发展最完善 旳回归模型
一、一元线性回归模型：
1、理论模型：是指回归模型 Y= f(X)+e 中旳 f(X) 为线性函数，
即有
Y= β0+ β1 X+e
E e = 0 ，0 D e = σ2
可用R来检验X 与Y旳线性有关性。
给当定e~检N验(0水,σ2平),且，e1 选，用e2，统…计e量n相互F 独 立( n时1，2R)当2R假2 设H0 :β0=0 成
立时，F~F(1,n-2)
假设H0 :β0=0 旳拒绝域为： P( P r ( n 2 ))
第十章_logit回归
第十章 logitic 回归本章导读：Logitic 回归模型是离散选择模型之一，属于多重变数分析范畴，是社会学、生物统计学、临床、数量心理学、市场营销、会计与财务等实证分析的常用方法。
10.1 logit 模型和原理Logistic 回归分析是对因变量为定性变量的回归分析。
它是一种非线性模型。
其基本特点是：因变量必须是二分类变量，若令因变量为y ，则常用y=1表示“yes ”，y=0表示“no ”。
[在发放股利与不发放股利的研究中，分别表示发放和不发放股利的公司]。
自变量可以为虚拟变量也可以为连续变量。
从模型的角度出发，不妨把事件发生的情况定义为y=1，事件未发生的情况定义为0，这样取值为0、1的因变量可以写作：⎩⎨⎧===事情未发生事情发生01y 我们可以采用多种方法对取值为0、1的因变量进行分析。
通常以P 表示事件发生的概率（事件未发生的概率为1-P ），并把P 看作自变量x 的线性函数。
由于y 是0-1型Bernoulli 分布，因此有如下分布：P=P （y=1|x ）：自变量为x 时y=1的概率，即发放现金股利公司的概率1-P=P （y=0|x ）：自变量为x 时y=0的概率，即不发放现金股利公司的概率 事件发生和不发生的概率比成为发生比，即相对风险，表现为PP odds -=1.因为是以 对数形式出现的，故该发生比为对数发生比（log odds ），表现为)1ln(P P odds -=。
对数发生比也是事件发生概率P 的一个特定函数，通过logistic 转换，该函数可以写成logistic 回归的logit 模型：)1(log )(log PP P it e -= Logit 一方面表达出它是事件发生概率P 的转换单位；另一方面，它作为回归的因变量就可以自己与自变量之间的依存关系保持传统回归模式。
根据离散型随即变量期望值的定义，可得：E(y)=1(P)+0(1-P)=P进而得到x P y E 10)(ββ+==因此，从以上分析可以看出，当因变量的取值为0、1时，均值x y E 10)(ββ+=总是代表给定自变量时y=1的概率。
第10章 回归分析(谢永钦)北京邮电大学出版社
随机变量Y服从正态分布
，即Y的概率密度为
其中
，而 是不依赖于x的常数。
概率论与数理统计
在n次独立试验中得到观测值（x1,y1）,（x2,y2），… （xn,yn），利用极大似然估计法估计未知参数a1, a2，… ak，时，有似然函数
似然函数L取得极大值，上式指数中的平方和 取最小值。
即为了使观测值（xi , yi）(i=1,2,…,n)出现的可能性最大，应当选
择参数a1,a2,…,ak，使得观测值yi与相应的函数值
的偏
差平方和最小。这就是最小二乘法 的概率意义。
概率论与数理统计
在n次独立试验中得到观测值（x1,y1）,（x2,y2）,… （xn,yn），利用极大似然估计法估计未知参数a1, a2，… ak,时，有似然函数
似然函数L取得极大值，上式指数中的平方和 取最小值。
8
总计
38.529 9
198.313 F0.01(1,8)=11.26
**
因为 F > F0.01(1，8)，所以儿子的身高Y与父亲的身高X之间 的线性相关关系特别显著。
概率论与数理统计
2. 相关系数检验法（r检验法）
考察相关系数r的大小: •若相关系数r的绝对值很小,则表明y与x之间的线性相关关系不显著, 或者根据不存在线性相关关系 •若相关系数r的绝对值较大(接近于1)时,才表明y与x之间的线性相关 关系显著
显然，当x变化时E(Y|X=x)是x的函数，记作
可以用一个确定的函数关系式
大致地描述 y 与 x 之间的相关关系。
函数
称为y关于x的回归函数，简称回归； 称为y关于x的回归方程。
概率论与数理统计
回归方程反映了y的数学期望E(y)随x的变化而变化的规律性。 y与x的相关关系表示为
《数学》第十章“概率统计”教材分析及教学建议
《数学》第十章“概率统计”教材分析及教学建议作者：郑步春来源：《江苏教育·职业教育》2014年第01期【摘要】统计与概率的内容在九年义务教育阶段已经成为数学课程的基本组成部分。
《中等职业学校数学教学大纲》要求继续加强随机性数学教学。
通过本章教学，可使学生进一步确立尊重事实、用数据说话的态度，学会用随机观点来解释现象，做出估计和决策，形成正确的世界观和方法论。
在准确把握教学要求基础上，从认真剖析概念、注意概念的区别与联系、重视展开探究活动、关注与学生的实际经验相联系等方面，做好概率统计章节教学。
【关键词】计数原理概率统计通过本章学习，重在让学生理解确定事件和不确定事件的基本概念，粗略地感知某一事件发生的可能性，用数量较为精确地刻画具体某一事件发生的可能性，进一步确立尊重事实、用数据说话的态度，学会用随机观点来解释现象，做出估计和决策，形成正确的世界观和方法论。
一、概率统计章节教学目标概率是随机事件发生的可能性的数量指标，指在独立随机事件中，某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显地稳定在某一固定常数附近。
对于任何事件的概率值一定介于0和1之间。
有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。
具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。
在客观世界，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。
如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
如果随机变量是连续的，那么都有一个分布曲线。
实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。
正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。
平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。
数学题解析：概率统计题目详解
数学题解析：概率统计题目详解概率统计作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
掌握概率统计的理论和方法，对于解决实际问题具有重要意义。
在学习概率统计的过程中，我们经常会遇到各种各样的题目，下面将对一些常见的概率统计题目进行详细解析，帮助大家更好地理解和掌握概率统计。
1. 概率的定义和性质概率是描述一个事件发生的可能性大小的度量。
在概率统计中，我们通常用一个数值来表示一个事件发生的概率，其取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
概率具有以下性质：•非负性：任何事件的概率都是非负的。
•必然性：必然事件的概率为1。
•加法性：对于互不相容的事件，它们的概率和等于它们各自的概率之和。
2. 事件的独立性和相互排斥性在概率统计中，事件的独立性和相互排斥性是非常重要的概念。
理解它们对于解决概率统计题目至关重要。
•事件的独立性：两个事件A和B是独立的，如果事件A的发生与事件B 的发生是互不相关的，即事件A的发生不影响事件B的发生，反之亦然。
•事件的相互排斥性：两个事件A和B是相互排斥的，如果事件A的发生与事件B的发生是互斥的，即事件A和事件B不可能同时发生。
3. 概率计算的基本方法在概率统计中，我们通常使用两种基本的计算方法：基本概率和条件概率。
•基本概率：对于一个随机事件，以相等的概率发生某一结果的概率称为基本概率。
例如，从一个均匀的骰子中投掷一次，每个数字的概率都是1/6。
•条件概率：在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，记作P(B|A)。
条件概率的计算需要用到概率的乘法规则。
4. 排列与组合在概率统计中，排列与组合是常见的计数方法，它们在解决概率统计题目中发挥着关键作用。
•排列：指的是从一组不同的元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式。
排列的计算公式是P(n,m) = n! / (n-m)!•组合：指的是从一组不同的元素中选取若干个元素的方式，不考虑元素的顺序。
组合的计算公式是C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)5. 抽样与抽样分布在概率统计中，抽样是指从总体中随机地选取样本的过程。
高考数学 一轮 第九章 概率与统计 第10讲 回归分析与独立性检验 理
1.下面是 2×2 列联表：
项目
y1
x1
a
x2
22
合计
b
y2
合计
21
73
25
47
46
120
则表中 a，b 的值分别为( C )
A.94,72
B.52,50
C.52,74
D.74,52
解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又 a＋22＝b，∴b＝74.
3.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运 动，得到如下的列联表：
(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线
y＝
1 2
x＋1上，则这组样本数据
的样本相关系数为( D )
A.－1
B.0
C.12
D.1
解析：由题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系 数为 1.故选 D.
考点 1 线性回归分析
例 1：已知 x 与 y 之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为^y＝b^x＋a^.若
某同学根据上表中前两组数据(1,0)和(2,2)求得的线性回归直线
方程为 y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.b^>b′，a^>a′
B.b^>b′，a^<a′
C.b^<b′，a^>a′
D.b^<b′，a^<a′
解析：由表格知，－x ＝261＝72，－y ＝163. 则b^＝1×0＋2×122＋＋232×＋13＋2＋4×42＋3＋525＋×632＋－66××472－2 6×72×163 ＝57， a^＝－y －b^－x ＝163－57×72＝－13.
[课件]概率统计 回归分析PPT
![[课件]概率统计 回归分析PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/1c5275dd04a1b0717fd5dde7.png)
（四）线性假设的显著性检验
采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间 一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散 点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函 数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得 到的数据用假设检验方法来判断。
n
n
( xi )a ( xi 2 )b xi yi .
i 1 i 1 i 1
2 1 1 记 号 ： y y x x x , i,x i,S x x i ni ni i
n
n
n
S x x y ,S y y y . x y i i y y i
ˆ ˆ ˆ 性 质 ： a , ba 分 别 是 , b 的 无 偏 估 计 ， 从 而 E ( Y ) a b x 。
1 ˆ 证 明 ： 因 为 b S / SS x x Y , x y x x x x i i i 1 x x i
1 ˆ E ( b ) S x x E ( Y ) S x x ( a b x ) x x i i i i i
即 要 检 验 假 设 H : bH 0 ,1 : b 0 , 0
若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则， 若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程 无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：
（1）影响Y取值的，除了x，还有其他不可忽略的因素； （2）E(Y)与x的关系不是线性关系，而是其他关系； （3）Y与x不存在关系。
( 5 ) 回 归 函 数 ( x ) a b x 的 点 估 计 和 置 信 区 间 ；
人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十章第三节变量的相关性与一元线性回归模型列联表与独立性检验
i1
，其中 (yi yi )2 是残差平
(yi y)2
i1
i1
方和，R2 越大，残差平方和_越__小__，模型的拟合效果_越__好__．R2 越小，残差平方和
_越___大__，模型的拟合效果__越__差___．
5．列联表与独立性检验
(1)关于分类变量 X 和 Y 的抽样数据的 2×2 列联表：
【解析】选 C.因为 χ2＝5，根据临界值表知 P(χ2≥3.841) ＝0.05，P(χ2≥6.635) ＝0.01，
故有 95%以上的把握认为“X 和 Y 有关系”．
4．(回归方程的性质)(多选题)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)利用最小二乘法得到两个变量的经验回归方程为 ＝ x＋ ，，那么下列说法 正确的是( ) A．样本相关系数 r 不可能等于 1
X YY=0Y=1合计 X=0 a b a+b X=1 c d c+d
合计a+c b+dn=a+b+c+d
n（ad－bc）2
计算随机变量 χ2＝
，利用 χ2 的取值推断
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
分类变量 X 和 Y_是__否__独__立__的方法称为 χ2 独立性检验．
(2)独立性检验【3】 基于小概率值 α 的检验规则： 当 χ2≥xa 时，推断 H0 不成立，即认为 X 和 Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过 α； 当 χ2<xa 时，没有充分证据推断 H0 不成立，可以认为 X 和 Y 独立． 利用 χ2 的取值推断分类变量 X 和 Y 是否独立的方法称为 χ2 独立性检验，简称独立 性检验．
x0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7
概率与统计中的回归分析
概率与统计中的回归分析概率与统计是一门研究随机现象规律的学科，其中回归分析作为其中重要的方法之一，被广泛应用于各个领域。
回归分析通过建立模型来研究自变量与因变量之间的关系，并用以预测或解释变量之间的数值关系。
本文将介绍回归分析的基本概念、假设条件、模型建立与评估等相关内容。
一、回归分析的基本概念回归分析是通过观察自变量与因变量的关系来推断两者之间的数学关系，并基于此建立模型。
在回归分析中，通常将自变量表示为X，因变量表示为Y。
回归分析的目标是找到一个最佳的模型，使得模型的预测结果与观测结果之间的误差最小。
二、回归分析的假设条件回归分析的有效性基于一些假设条件，包括线性关系、独立性、常态性、同方差性等。
首先，回归分析要求自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量的变化可以通过自变量的线性组合来解释。
其次，回归分析假设观测数据间是相互独立的，即各观测值之间的误差不相关。
此外，回归分析还要求观测数据服从正态分布，且误差项具有同方差性，即误差项的方差在各个自变量取值点上相等。
三、回归分析的模型建立回归分析的模型建立需要选择一种合适的函数形式来描述自变量与因变量之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归模型、多项式回归模型、指数回归模型等。
这些模型的选择应根据实际问题的需要和数据的特点来确定。
在模型建立过程中，还需要进行变量筛选、变量转换等步骤，以提高模型的拟合效果。
四、回归分析的模型评估为了评估回归模型的拟合效果，常用的方法包括残差分析、回归系数的显著性检验、决定系数的解释等。
残差分析可以用来检验模型的合理性，通过观察残差的分布是否符合正态分布和同方差性等假设条件来评估模型的拟合情况。
回归系数的显著性检验可以用来判断自变量是否对因变量具有显著的影响。
决定系数则是用来衡量模型对观测数据的解释程度，其值范围在0到1之间，越接近1表示模型对数据的解释越好。
五、回归分析的应用领域回归分析作为统计学中的一项重要方法，在多个领域中广泛应用。
概率与统计中的相关性与回归分析
概率与统计中的相关性与回归分析概率与统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。
在其中，相关性和回归分析是两个基本的概念和方法。
本文将对概率与统计中的相关性和回归分析进行探讨，并介绍其应用。
一、相关性相关性是指两个或多个变量之间存在的相互关系。
在概率与统计中，我们通过相关系数来度量相关性的强弱。
常见的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数是最常用的相关系数，它衡量的是两个连续变量之间的线性相关性。
其取值范围为-1到1，当相关系数为1时表示完全正相关，为-1时表示完全负相关，为0时表示无相关。
通过计算样本数据的皮尔逊相关系数，我们可以判断两个变量之间的相关性。
而斯皮尔曼相关系数则适用于两个有序变量之间的相关性分析，它不要求变量之间呈线性关系。
通过计算样本的斯皮尔曼相关系数，我们可以判断变量之间的单调关系。
通过研究相关性，我们可以发现变量之间的联动关系，进而对现象进行解释和预测。
相关性分析在金融、经济、社会科学等领域有广泛的应用。
二、回归分析回归分析是一种用于建立变量之间模型关系的统计方法。
它通过观察一个或多个自变量和一个因变量之间的关系，来推导出因变量与自变量之间的函数关系。
回归分析的目的是通过已知的自变量来预测因变量的值。
在回归分析中，最常用的方法是线性回归分析。
线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系。
我们通过最小二乘法来拟合数据，找到最佳的线性模型。
然后，根据该模型来进行预测和解释。
此外，还有非线性回归分析、多元回归分析等方法应用在实际问题中。
回归分析在经济学、市场营销、生物学等领域有着广泛的应用。
它不仅可以用于预测和解释，还可以帮助我们理解变量之间的影响关系。
三、相关性与回归分析的应用案例1. 金融市场中的相关性和回归分析在金融市场中，我们经常需要研究不同证券之间的相关性。
通过计算相关系数，我们可以分析不同证券之间的相关性水平，以便进行资产配置和风险管理。
同时，回归分析也广泛应用于金融市场。
概率与统计中的相关与回归分析
概率与统计中的相关与回归分析概率与统计是一门研究随机现象的学科，而相关与回归分析是概率与统计中的重要内容。
相关与回归分析是用于研究变量之间关系的统计方法，可以帮助我们理解变量之间的相互作用、预测未来的趋势，并进行决策和推断。
相关分析是一种用来衡量两个或多个变量之间关系强度的方法。
它可以帮助我们确定两个变量是否具有线性关系以及这种关系的方向。
相关系数是常用的相关分析指标，它的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近于1时，表示两个变量呈正相关；当相关系数接近于-1时，表示两个变量呈负相关；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间没有线性关系。
回归分析是用于研究一个或多个自变量与因变量之间关系的方法。
通过构建回归模型，我们可以根据自变量的取值预测因变量的值，并对因变量的变化进行解释。
在回归分析中，自变量可以是一个或多个，可以是定性的（如性别、年龄段）也可以是定量的（如收入、教育水平）。
回归模型的形式可以是线性的也可以是非线性的，具体选择哪种形式需要根据问题的特点和数据的分布来确定。
相关与回归分析在实际应用中有广泛的应用。
举个例子，假设我们想研究某个商品的价格与销量之间的关系。
通过收集大量的数据，我们可以进行相关与回归分析，得到商品价格与销量之间的相关系数和回归模型。
进一步分析后，我们可以预测商品在不同价格下的销量情况，并根据这些结果制定销售策略，优化商品定价。
除了预测和决策外，相关与回归分析还可以用于研究变量之间的因果关系。
通过回归分析，我们可以控制其他可能影响因变量的自变量，从而确定自变量对因变量的影响是否显著。
这种因果关系的研究对于许多领域的研究是至关重要的，如医学、社会科学等。
总之，概率与统计中的相关与回归分析是一种重要的统计方法，它可以帮助我们理解变量之间的关系、预测未来的趋势，并进行决策和推断。
相关与回归分析在实际应用中具有广泛的应用领域，无论是在商业领域还是科学研究中，都有着重要的作用。
通过学习和应用相关与回归分析，我们可以更好地理解和利用数据，为实际问题的解决提供有力的支持。
概率与统计中的回归分析和相关系数
概率与统计中的回归分析和相关系数概率与统计是数学中重要的分支领域之一，它研究随机事件的规律性和不确定性。
在概率与统计的应用中，回归分析和相关系数是两个常用的方法和概念。
本文将介绍回归分析和相关系数的基本原理、应用以及它们在实际问题中的重要性。
第一部分：回归分析的基本原理回归分析是一种通过建立模型来研究自变量与因变量之间关系的方法。
在回归分析中，自变量是影响因变量的因素，而因变量是我们希望研究的指标或者结果。
回归分析的目标是确定自变量与因变量之间的数学函数关系，从而通过自变量的取值来预测因变量的值。
回归分析中常用的模型包括线性回归模型和非线性回归模型。
线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，而非线性回归模型则允许更加复杂的关系形式。
回归分析的基本原理是最小二乘法，即通过最小化观测值与预测值之间的误差平方和来找到最佳的拟合模型。
第二部分：回归分析的应用回归分析在各个领域中都有广泛的应用。
在经济学中，回归分析可以用来分析商品价格与供需关系、收入与消费关系等经济现象。
在医学研究中，回归分析可以用来研究病人的生活习惯与患病风险之间的关系。
在工程领域中，回归分析可以用来预测材料的强度与其他因素之间的关系。
回归分析的应用还可以进一步扩展到多个自变量的情况下，这就是多元回归分析。
多元回归分析可以揭示多个因素对于因变量的影响，并通过分析自变量之间的相互作用来研究其复杂关系。
第三部分：相关系数的概念和计算方法相关系数是用来衡量两个变量之间关系强度的统计量。
常见的相关系数有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和切比雪夫相关系数等。
其中，皮尔逊相关系数是最常用的，并且适用于连续型变量。
皮尔逊相关系数的取值范围为-1到1，符号表示变量之间的正相关或负相关，数值表示相关关系的强度。
计算皮尔逊相关系数的方法是通过计算两个变量的协方差和标准差，然后将协方差除以标准差的乘积。
相关系数越接近1或-1，表示相关性越强，越接近0则表示相关性越弱。
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法统计学是一门应用广泛的学科，它帮助我们了解和解释数据背后的规律和关联。
回归分析是统计学中一种重要的方法，它用于研究变量之间的关系，并预测一个变量如何随其他变量的变化而变化。
回归分析的基本原理是建立一个数学模型来描述变量之间的关系。
这个模型通常采用线性方程的形式，即y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn，其中y是因变量，x1、x2、...、xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数。
回归系数表示了自变量对因变量的影响程度。
回归分析有两种基本类型：简单线性回归和多元线性回归。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量的情况。
简单线性回归可以帮助我们了解两个变量之间的直线关系，而多元线性回归可以考虑更多的因素对因变量的影响。
在进行回归分析之前，我们需要收集数据并进行数据清洗和变量选择。
数据清洗是指处理缺失值、异常值和离群值等问题，以确保数据的质量。
变量选择是指选择对因变量有显著影响的自变量，以减少模型的复杂性。
回归分析的核心是估计回归系数。
我们可以使用最小二乘法来估计回归系数，即找到能使观测值与模型预测值之间的误差平方和最小的回归系数。
最小二乘法可以通过矩阵运算来求解回归系数的闭式解，也可以使用迭代算法来逼近最优解。
回归分析的结果可以通过各种统计指标来评估模型的拟合程度和预测能力。
常见的指标包括决定系数（R-squared）、调整决定系数（adjusted R-squared）、标准误差（standard error）和显著性检验（significance test）等。
这些指标可以帮助我们判断模型是否合理，并进行模型比较和选择。
除了线性回归，回归分析还有其他类型的方法，如逻辑回归、多项式回归和非线性回归等。
逻辑回归适用于因变量是二元变量的情况，多项式回归适用于因变量和自变量之间存在非线性关系的情况，非线性回归适用于因变量和自变量之间存在复杂的非线性关系的情况。
概率论与数理统计第十章 回归分析精品教案
第十章 回归分析回归分析的主要目的是寻求一个随机变量y 对一组随机变量12,,,p x x x L 的统计依赖关系。
统计依赖关系不再是单纯的因果关系，而是变量之间的相关关系。
也就是说，变量12,,,p x x x L 的变化对变量y 确有影响，但无法将其用函数式精确表示。
回归（regression ）这一术语是1886年高尔顿（Galton ）研究遗传现象时引进的，他发现：虽然高个子的先代会有高个子的后代，但后代的增高并不与先代的增高等量，后代的身高有向平均高度靠拢的趋势。
他称这一现象为“向平常高度的回归”。
尔后，皮尔逊（K. Pearson ）搜集了上千对父子的身高数据，分析出儿子的身高y 和父亲的身高x 大致可归结为以下关系：0.51685.674y x =+(cm)。
这意味着父亲身高超过父代平均身高10cm ，则其儿子的身高大约只超过子代平均身高5cm ，可见子代身高有向平均值返回的趋势。
如今，人们将回归分析理解为研究变量间统计依赖关系的方法，而并非Galton 的原意，但回归这一名词却一直沿用下来，成为统计中最常用的概念之一。
10.1 一元线性回归先从观察值出发来讨论。
设(,)X Y是反映总体的两个特征的指标。
对X Y进行n次观察，获得观察值（x i, y i）,i=1,2,…，n，从而得到平面上的(,)n个点，如图10-1所示。
在n较大的情况下（n较小就不足为凭），如果有一条曲线基本上通过这些点，或使这些点的大部分偏离曲线不远，则称这条曲线为观察值的拟合（曲线），亦称此曲线为y对x的回归曲线。
如果这条曲线的方程能表示成y=f (x)，则称方程y=f (x)为y对x的回归方程。
当此曲线是直线时，就称之为直线回归。
这是对回归概念的一个很粗糙的解释，但却是它的一个直观的出发点。
本书不对回归概念及回归分析的理论进行过多的讨论，主要给出回归方程的建立及有关的检验方法。
在一元线性回归中，假定因变量（或响应变量）y是随机变量，自变量x 是可以精确观察或严格控制的一般变量。
回归分析基础
*
* 那么，对于每一个xi，在直线yy 的差：bx上确 个y * a bx 的值，y* 与x 处实际观测值 a i i 个yii a bxii的值，yi i与xi处实际观测值yi的差：
那么，对于每一个xi，在直线y a bx上确可以确定一 *
*
..., N )是变量x，y的一组观测数据。 * ..., N )是变量x，y的一组观测数据。
回归分析主要解决以下几方面的问题： （1）确定几个特定变量之间是否存在相关关 系，如果存在的话，找出她们之间合适的数学 表达式； （2）根据一个或几个变量的值，预报或控制 另一个变量的取值，并且要知道这种预报或控 制的精确度； （3）进行因素分析，确定因素的主次以及因 素之间的相互关系等等。
i 1
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b 联合求解得：
i 1
N N _ 联合求解得： _ 1 N N ( xi x)( yi y_ ) xi yi N1 xi N yi N N N _ i 1 i 1 1 b= ( xi x)( yi y ) xi yi i xii 1 yi (6 3) N N _ 1 i N 2 2 2 i 1 i 1 x N ( 1 x i)1 b= ( xi x) i (6 3) i N N N _ 1 i=1 i 1 2 N i 1 2 2 ( x x) xi N ( xi ) _ _ i i 1 i 1 a y i=1 x b (6 4)
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的地方，出现的机会少，而且y0的取
^
y0落在 y0 S y （一）预报问题范围内的可能性为68％
利用此关系，对于指定的x0，我们有95％的把握说， 一般来说，对于固定x0处的观测值y0，其取值是以 y0 为
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第十章回归方程一、内容提要（一）一元线性回归分析设x，y是两个相关的变量,x的取值是可以精确控制的，称之为普通变量；x的变化引起y的变化，但关系不确定，y是随机变量，当x取值为x0时，y有许多值可取，但又不能事先确定。
1.最小二乘估计当x取n个不同的值x1,x2,…,x n时，作n次独立试验，就得到y的n个观测值y1,y2,…y n于是得到观测数据（x1,y1）,(x2,y2),…(x n,y n) (10.1)以上述n个二维有序数组为坐标，在直角坐标系中可描出n个点，称之为平面散点图。
若这些点大体上落在某条直线附近，我们就说y与x之间大致呈线性关系，此时我们设想：y=β0+β1x+ε(10.2)其中ε是其它随机因素引起的误差。
将观测数据（10.1）代入（10.2）,得到12⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++=n n nx y x y x y εββεββεββ1022121101 （10.3） 称（10.3）式为一元线性回归分析的数学模型，这里假定εi （i =1,2,…,n ）相互独立地服从正态分布N （0，σ2）。
用最小二乘法确定β0，β1的估计值b 0，b 1，就是要选择b 0，b 1，使残差平方和[]∑∑==+-=-=n i ni i i i i x b b y yy Q 112102)()ˆ(达到最小。
记∑∑====n i ni i i y n yx n x 11,1ˆ,1 ∑∑∑===-=-=ni ni ni i i i xxx n x x x s 111222,)(1)(∑∑∑===-=-=n i ni ni i i i yyy n y y y S 111222,)(1)(∑∑∑∑====-=--=ni ni ni ni i i i i i i xyy x n y x y y x x S 1111).)((1))((得到β1，β0的最小二乘估计xxxy ni ini i ini ini ii S S x xy y x xx n xyx n yx b =---=--=∑∑∑∑====12112211)())(( （10.4）3x b y b 10-= (10.5)2.相关检验由（10.4）及（10.5）得到经验回归方程x b b y10ˆ+= （10.6） 也称其为经验公式，并称b 1为回归系数，于是得到y i 的估计值i i x y 10ββ+=。
进行相关性检验，就是要检验假设H 0：β1=0 （10.7）(1)F 检验 记∑==-=ni xy i R s b y yS 112,)ˆ( ∑=-=-=ni R yy i i e s s yy S 12.)ˆ( 称S yy 为总平方和；S R 为回归平方和；S e 为剩余（或误差）平方和。
可以证明如下平方和分解公式S yy =S R +S e且当假设（10.7）成立时，统计量)2,1(~)2/(--=n F n S S F e R4给定显著性水平α，查F 分布表得到F 分布的临界值)2,1(-=n F αλ。
当F ＞λ时，拒绝假设（10.7），认为y 与x 之间线性关系显著；反之，若F ≤λ，则接受假设（10.7），认为y 与x 之间的线性关系不显著。
通常，将检验结果归结在方差分析表10.1中。
表10.1 方差分析表方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值 显著性回归 剩余 S R S e 1 n -2 S R /1S e /(n -2))2(1/-n S S e R总 和 S yy n -10.050.05＜F ≤F 0.01（1,n -2）时，认为回归方程显著，并在方差分析表中用*表示；当F ＞F 0。
01（1，n -2）时，认为回归方程高度显著，并在方差分析表中用**表示。
（2）复相关系数 引入无量纲指标yyeyy yy R S S S S S R -==2（10.8） yyeS S R -=1 (10.9) 称R 为复相关系数,不难推出如下关系式:F n FR n R R F +-=--=)2(,)2/()1(225因此进行相关系数检验与F 检验是等价的.可以证明，b 0，b 1分别为β0,β1的无偏估计,即有E(b 0)=β0,E(b 1)=β1.且 ∑=--=-=ni i i e y y n n S S 122)ˆ(212 为σ2的无偏估计.3. 预报与控制若前面建立的经验公式(10.6)是显著的,则可用于对y 的预报和对x 的控制。
现给定x =x 0,则y 0的置信概率为1-a 的预报区间为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+++-++-xx a xx a S x x n S t y S x x n S t y20202020)(11ˆ,)(11ˆ （10.10） 由预报问题可知，当x =x 0时，y 0的置信概率为1-a 的预报区间的长度xx a S x x n S t x l 2020)(112)(-++=因此，对于y 的取值区间（y 1,y 2）,要实现对x 的控制，必须要求y 2-y 1≥l(x 1)，其中x 1满足b 0+b 1x 1=212y y +。
6当n 较小时，控制问题无实际意义，当n 较大，并且 S t y y a ⋅〉-2122时，从方程组⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=S t x b b y S t x b b y a a 2210221101 （10.11）分别解出x 1,x 2,得到，当b 1＞0时x 的控制区间为),(21x x ,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-)(1),(120212011S t b y b S t b y b a a 。
当b 1＜0时x 的控制区间为（x 2,x 1）,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---)(1),(120112021S t b y b S t b y b a a 。
4.线性化实际问题中，y 与x 的关系可能并不是线性关系。
若由观测数据描出的散点图和某条已知曲线y =ƒ(x )近似，则可通过适当的变换，将非线性问题线性化，下面列举常见的几种情况。
（1）双曲线xba y +=1（图10-1）7图10-1令x b a y xx y y '+='='='则有,1,1 （2）幂函数y =ax b (图10-2)令x b a y na a nx x ny y '+'='='='='则有,1,1,1图10-2（3）指数曲线y =ae bx (图10-3)令bx a y na a ny y +'='='='则有,1,18图10-3（4）指数曲线xb ae y =(图10-4)令x b a y na a xx ny y '+'='='='='则有,1,1,1图10-4（5）对数曲线y=a+b1nx （图10-5） 令x b a y nx x '+=='即有,1（6）S 型曲线xbea y -+=1（图10-6） 令x b a y ，e x yy x '+='='='-即有,1（二）多元线性回归分析设因变量y与自变量x1,x2，…x p之间有y=β0+β1x1+β2x2+…βp x p+ε其中ε为其它随机因素引起的误差，β0，β1…βp为P+1个待定常数。
图10-5今作n次独立试验，得到n组观测值（x11,x12,…,x1p；y1）（x21,x22,…,x2p；y2）……（x n1,x n2,…,x np；y n）图10-6于是有910⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++=+++++=+++++=n np p n n n p p p p x x x y x x x y x x x y εββββεββββεββββK KK K K 2211022222211021112211101 （10.12） 这里，我们假定x 1，x 2，…x p 是p 个可观察的一般变量，ε1，ε2，…，εn 是n 个相互独立，且服从同一正态分布N （0，σ2）的随机变量。
1.参数β0，β1…，βp 的最小二乘估计记 ∑∑====n i ni i ij j y n y x n x 11,1,1).,2,1())((),,2,1,())((1111p i yx n y x y y x x L p j i x x n x x x x x x L nk i k ki nk k i ki iy nk ji kj ki nk j kj i ki ij ΛΛ=-=--==-=--=∑∑∑∑====则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++py p pp p p yp p yp p L b L b L b L L b L b L b L L b L b L b L ΛΛΛΛΛ22112222212111212111 （10.13）及 p p x b x b x b y b ----=Λ22110 （10.14）11式（10.13）是b 1，b 2，…，b p 的线性方程组，当其系数矩阵满秩时有唯一解。
从中求出b 1，b 2，…，b p ，再代入（10.4）求出b 0，于是得到βi 的最小二乘估计b i （i =0，1，2…，p ）。
由此得到经验回归方程p p x b x b x b b y Λ+++=22110^(10.15)称b 1，b 2，…，b p 为回归系数，称i ip p i i i y x b x b x b b y 为+++=21110ˆ的估计值。
2.显著性检验欲检验y 与x 1，x 2，…，x p 之间的线性关系是否显著，即要检验假设0:210===p H βββ （10.16）沿用一元线性回归分析中的有关记号：∑∑==-=-=ni i n i i yy y n y y yS 12221,)( ∑∑===-=n i ni iy i i R L b y yS 112,)ˆ( .R yy e S S S -=在上述平方和的计算中，除∑2i y 需要重新计算外，其余各项在计算回归方程时都已算出，可以直接应用。
（1）复相关系数与F 检验引进无量纲的指标R.R 2与R 的表达式仍由（10.8）式和（10.9）式决定，并称R 为复相关系12数。
易知：0≤R ≤1.显然，R 越接近1回归效果越好。
虽然我们常把R 作为衡量回归效果的一个重要指标，但是，R 与p 和n 的大小有关，当n 相对于p 并不很大时常常有较大的R 。
特别当n =p +1时，即使p 个自变量与y 风马牛不相干，亦必有R=1。
这就是说，实际计算中，要注意p 与n 的适当比例。
一般认为，n 至少应是p 的5～10倍。
考虑到p 与n 的作用，可以给出一个比R 更为合理的指标：)1/(/--=p n S p S F e R 当假设（10.16）成立时，统计量F 服从F （p,n -p -1）分布。