13.2.1 全等三角形13.2.2全等三角形的判定条件
13.2.1全等三角形及全等三角形的判定条件
提示：同学们可以结合
30°50°30° B
图形旋转的性质和全等 三角形的性质加以思考！
40°
C D
E
如图，△ABD≌△ACE，若∠ADB=100°，∠B=30°，请 求出△ACE中各角的大小。
解：∵ △ABD≌△ACE，
∴∠AEC= ∠ADB=1000 ， ∠C= ∠B=300， 又∵∠A+∠AEC+∠C=180° ∴∠A=1800∠AEC- ∠C =1800-1000-300=500
A
E B D C
全等三角形的判定条件
我们知道：若两个三角形的三条边与三个角都分别对 应相等，那么这两个三角形一定可以互相重合，即全等。
从刚刚的复习可以知道，六个元素（三条边、三个角）都要对应相等 ，两个三角形才会全等。能否再减少一些条件,找到更为简便的判定三角形 全等的方法？
思考：对两个三角形来说，六个元素（三条边、三个角）中
活动探究：请同桌分别画出一个三角形，使得它们有两个角 （ 45°， 60° ）或两条边（3cm ， 5cm ）或一角一边分别
对应相等（ 30°， 4cm ） ，观察所画的两个三角形能完全重 合（全等）吗？
问题：如果有两组元素对应相等，两个三角形一定全等吗？
小结：有两组元素对应相等，这两个三角形也不一定全等。
第13章
13.2.1
全等三角形
全等三角形 及全等三角形的判定条件
全等三角形
完成教材59页的“做一做”
一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形完全重合.
•能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 D A
B C
记作： △ABC ≌△DEF
F E 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形判定定理
全等三角形判定定理全等三角形判定定理，听起来是不是有点复杂？其实，它很简单。
全等三角形就是形状和大小完全一样的三角形。
想象一下，两个兄弟，一个高一个矮，但他们的面貌一模一样。
三角形也是如此。
我们可以通过几个方法来判断它们是否全等。
首先，看看边。
边长相等，三角形就可能全等。
你想啊，两个三角形如果边都一样长，肯定有戏。
比如，边AB等于边DE，边BC等于边EF，边CA 等于边FD。
这样，光从边上看，它们就像是换了身衣服的双胞胎。
接下来，角也是一个重要的判断依据。
三角形的角度相等，说明它们可能是“兄弟”。
如果一个三角形的角A等于另一个三角形的角D，角B等于角E，角C等于角F，那它们就是全等的。
记住，角和边是全等三角形的“秘密武器”。
然后，我们得谈谈全等三角形的判定定理。
这里有三条法则，简单易记。
第一，边边边（SSS），就是三个边都相等。
第二，边角边（SAS），两个边和夹角相等。
第三，角边角（ASA），两个角和夹角的边相等。
掌握这些，基本上就可以轻松判断全等三角形。
深入了解，我们还可以说说全等三角形的性质。
全等三角形不仅形状和大小一致，它们的周长和面积也一样。
这就像两杯水，虽然杯子不同，但水量是一样的。
这个性质在实际应用中很有帮助，尤其在设计和建筑上。
想象一下，设计师要确保两个相似的结构完全一致，这些全等三角形就能派上用场。
我们再谈谈全等三角形在生活中的应用。
你可能没注意，建筑师、工程师和设计师经常利用这些知识。
他们设计的建筑，很多地方都是由全等三角形构成的。
比如，房子的屋顶，很多都是三角形。
全等三角形的判定能确保屋顶的稳固性和美观度。
多好的一件事啊！在学校，数学老师也常常用全等三角形来解释几何问题。
课堂上，学生们画出不同的三角形，通过测量边长和角度，来判断它们是否全等。
这样做不仅锻炼了动手能力，还培养了逻辑思维。
全等三角形就像一把钥匙，打开了几何世界的大门。
全等三角形的应用，不仅限于几何和建筑。
我们在生活中，很多时候也能见到它们的身影。
2024-2025学年初中数学八年级上册(冀教版)教案第13章全等三角形
第十三章全等三角形13.1 命题与证明（1（2题教学反思例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a >b ，那么a 2>b 2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab <0，那么a >0，b <0. 教师引导，学生分析：可以先把原命题的条件和结论写出来，然后调换条件和结论即可得逆命题，最后判断真假性.教师提示：写逆命题并不是简简单单地把条件和结论互换即可，还要使命题的语句具有逻辑性. 解：（1）命题是真命题.逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．是真命题.（2）是假命题.逆命题为：如果a 2>b 2，那么a >b ，是假命题.（3）是真命题.逆命题为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数，是真命题.（4）是假命题.逆命题为：如果a >0，b <0，那么ab <0.是真命题. 练习：请写出下列命题的逆命题，并指出原命题和逆命题的真假性：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（3）如果一个数能被3整除，那么这个数也能被6整除. （4）已知两数a ,b .如果a +b >0，那么a -b <0. 学生独立完成，教师点评：（1）原命题是真命题，逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等.逆命题也为真命题.（2）原命题是真命题，逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角. 逆命题为假命题.（3）原命题是假命题，逆命题为：如果一个数能被6整除，那么这个数也能被3整除.逆命题为真命题.（4）原命题是假命题，逆命题为：如果a -b <0，那么a +b >0.逆命题为假命题. 2.证明教师提问：刚才你们是怎么判断一个命题是假命题的？ 学生：举反例推翻这个命题.教师：那怎么判断一个命题是真命题呢？也用举例吗？仅仅举几个例子足以说明它是真命题吗？命题有真命题，也有假命题，要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可；要说明一个命题是真命题，则需要进行推理论证，即证明.定义：要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明. 例2 证明：平行于同一条直线的两条直线平行.已知：如图 ，直线a ，b ，c ，a ∥c ， b ∥c . 求证： a ∥b .证明：如图，作直线d ，分别与直线 a ，b ，c 相交∵ a ∥c (已知)，∴ ∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). ∵ b ∥c (已知)， 教学反思A BDCE∴ ∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等). ∴ ∠1＝∠3(等量代换). ∴ a ∥b (同位角相等，两直线平行). 即平行于同一条直线的两条直线平行.教师：通过这个题，如何做证明题？（学生讨论） 证明的步骤：第一步：根据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言； 第二步：根据条件、结论、 图形写出已知、求证； 第三步：根据基本事实、已有定理等进行证明.定义：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理.．练习：已知：如图，点O 在直线AB 上，OD ,OE 分别是BOC AOC ∠∠,的平分线. 求证：OD ⊥OE .学生独立完成，教师点评：证明：∵ 点O 在直线AB 上，∴ ∠AOC +∠BOC ＝180°(平角的定义）. ∵ OD ，OE 分别是∠AOC ，∠BOC 的平分线，∴ ∠DOC ＝21∠AOC ,∠EOC ＝ 21∠BOC （角平分线的定义）， ∴ ∠DOC +∠EOC ＝21（∠AOC +∠BOC ）＝21×180°＝90°.∴ OD ⊥OE .课堂练习1.命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ”的逆命题是______________________．2.写出下列命题的逆命题：(1)如果两直线都和第三条直线垂直，那么这两直线平行； (2)若a ＋b >0，则a >0，b >0； (3)等腰三角形的两个底角相等．3.已知：如图，直线a ,b 被直线c 所截，∠1与∠2互补. 求证：a ∥b.参考答案1.如果3a ＝3b ，那么a ＝b.2.解： (1)如果两直线平行，那么这两直线都和第三条直线垂直.(2)若a >0，b >0，则a +b >0.(3)有两个角相等的三角形是等腰三角形．3.证明：∵ ∠1和∠3是对顶角，教学反思O∴ ∠1＝∠3.又∵ ∠1与∠2互补，∴ ∠1+∠2＝180°.∴ ∠2+∠3＝180°，∴ ∠1＝∠3（等角的补角相等）. ∴ a ∥b （同旁内角互补，两直线平行）.课堂小结（学生总结，教师点评） 1.互逆命题 2.证明证明的一般步骤：第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言.第二步，根据图形写出已知、求证. 第三步，根据基本事实、已有定理等进行证明.布置作业完成教材第34页习题第1，2，3题.板书设计 13.1 命题与证明教学反思一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题.命题与证明互逆命题命题与证明要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明.第十三章全等三角形13.2 全等图形教学目标1.理解全等图形，了解全等图形的对应点、对应边和对应角.2.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角.3.知道全等三角形的性质.教学重难点重点：了解全等图形的对应点、对应边和对应角；知道全等三角形的性质.难点：理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角.教学过程导入新课观察思考：（学生观察，教师引导）问题：如图，观察给出的五组图形.（1）每组图形中，两个图形的形状和大小各有怎样的关系？（2）先在半透明纸上画出同样大小的图形，再将每组中的一个图形叠放到另一个图形上，观察它们是否能够完全重合.（4）探究新知1.全等图形同桌两人合作完成，学生回答，教师评价.实验发现：(1)(2)(3)组中的两个图形能够完全重合，(4)(5)组中的两个图形不能完全重合．定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.考考你对全等图形的理解：观察下面三组图形，它们是不是全等图形？（1）（2）（3）教师归纳：全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同.有关的概念：对应点当两个全等的图形重合时，互相重合的点叫对应点.如图，△ABC与△A′B′C′是两个全等三角形，点A和点A′,点B和点B′,点C和点C′分别是对应点.教学反思对应边当两个全等的图形重合时，互相重合的边叫对应边.如AB和A′B′,CB和C′B′,AC和A′C′.对应角当两个全等的图形重合时，互相重合的角叫对应角.如∠A和∠A′，∠B和∠B′, ∠C和∠C′.2.全等三角形全等的表示方法“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.如△ABC与△A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，读作三角形ABC全等于三角形A′B′C′.（教师提示：书写时应把对应顶点写在对应的位置上）3.全等三角形的性质根据以下几个问题归纳全等三角形有哪些性质？（教师引导，学生讨论）1.两个能够完全重合的线段有什么关系？2.两个能够完全重合的角有什么关系？3.两个全等三角形的对应边之间有什么关系？对应角之间有什么关系？师生共同归纳：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的性质的几何语言：（学生完成填空）如图，∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝____，AC＝____，BC＝_____（全等三角形对应边_____），∠A＝_____，∠B＝_____，∠C＝_____（全等三角形对应角_____）.练习：如图1，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个全等三角形的对应角.教师引导，学生分析：找对对应点是解决此题的关键（△BOD与△COE中，B-C,D-E,O-O;△ADO与△AEO中A-A,D-E,O-O）解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.图1图2例已知：如图2，△ABC≌△DEF，∠A＝78°，∠B＝35°，BC＝18.(1)写出△ABC和△DEF的对应边和对应角.(2)求∠F的度数和边EF的长.（学生独立完成，教师评价）解：(1)边AB和边DE，边BC和边EF，边AC和边DF分别是对应边；教学反思AB CE DF∠A 和∠D ， ∠B 和∠DEF ， ∠ACB 和∠F 分别是对应角. (2)在△ABC 中，∵ ∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ACB ＝180°-∠A -∠B ＝180°-78°-35°＝67°. ∵ △ABC ≌△DEF ，∴ ∠F ＝∠ACB ＝ 67°，EF ＝BC ＝18. 拓展：(1)全等三角形的对应元素相等．其中，对应元素包括对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、对应周长、对应面积等；(2)全等三角形的性质是证明线段相等、角相等的常用依据．课堂练习1.如图1，△ABC ≌△BAD ，如果AB ＝6 cm , BD ＝4 cm ，AD ＝5 cm ，那么BC 的长是( )A .7 cmB .5 cmC .4 cmD .无法确定2.如图2，△ABC ≌△ADE ，∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为( )A .40°B .35°C .30°D .25°3.如图3，已知△ABE ≌△ACD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，下列选项不正确的是( ) A.AB ＝AC B.∠BAE ＝∠CAD C.BE ＝DC D.AD ＝CD4.如图4，△ABC ≌ △ADE ,若∠D ＝∠B ， ∠C ＝ ∠AED ，则∠DAE ＝__________.5.如图5，△ABC ≌△DEF ，且B ，C ，F ，E 在同一直线上，判断AC 与DF 的位置关系，并证明.参考答案1.B2. B3.D4.∠BAC5.解：AC ∥DF . 理由如下：∵ △ABC ≌△DEF ，∴ ∠ACB ＝∠DFE ， ∴ 180°-∠ACB ＝180°-∠DFE ， 即∠ACF ＝∠DFC ，∴ AC ∥DF .教学反思A DB C A BC DE F图1 图2 图3 图4 AB C DE 图5课堂小结13.2全等图形布置作业完成教材第37页习题A组、B组.板书设计1.全等图形及相关的概念；2.全等三角形的表示方法及性质.教学反思全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形全等图形全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形的性质全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等第十三章 全等三角形13.3 全等三角形的判定第1课时 边边边教学目标1.进行三角形全等条件的探索，积累数学活动经验；2.掌握基本事实一，利用基本事实一证明两个三角形全等；3.会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学重难点 重点：掌握基本事实一，利用基本事实一证明两个三角形全等；难点：会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学过程 导入新课1.什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.如图，已知△ABC ≌△DEF①AB ＝DE，② BC ＝EF ，③CA ＝FD ；④∠A ＝∠D ， ⑤∠B ＝∠E ，⑥∠C ＝∠F .探究新知 一、探究互动一 思考1：满足上述六个条件可以保证△ABC ≌△DEF 吗？思考2：可以用较少的条件判定△ABC ≌△DEF 吗？在以上六个条件中，能否选择其中部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？教师引导，学生探究（小组合作）探究1 只给一个条件，可以分哪几种情况？能够判断两个三角形全等吗？两个三角形不全等；两个三角形不全等； 结论：一个条件不能够判断两个三角形全等.探究2 只给两个条件.①两条边对应相等：若AB ＝DE ，AC ＝DF ,但两个三角形不全等；教学反思②一条边和一个角对应相等：若AB ＝DE ，∠A ＝ ∠D ，但两个三角形不全等；③两个角对应相等：若∠A ＝ ∠D ,∠C ＝ ∠AFE ，但两个三角形不全等.结论：两个条件也不能够判断两个三角形全等.探究3 给出三个条件.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩①三角对应相等；②三边对应相等；三个条件③两边一角对应相等；④两角一边对应相等.问题 有三个角对应相等的两个三角形全等吗？结论：不一定全等.小亮认为，剩下的三种情况才有可能判断两个三角形全等，你赞同他的说法吗？二、探究互动二——基本事实一问题1：准备一些长都是13 cm 的细铁丝.和同学一起，每人用一根铁丝，折成一个边长分别是3 cm ，4 cm ，6 cm 的三角形. 把你做出的三角形和同学做出的三角形进行比较，它们能重合吗?问题2：准备一些长都是13 cm 的细铁丝.和同学一起，每人用一根铁丝，余下 1 cm ，用其余部分折成边长分别是3 cm ，4 cm ，5 cm 的三角形. 再和同学做出的三角形进行比较，它们能重合吗? 小组互动，教师指导. 归纳：基本事实一：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等（可简记为“_______”或“_____”）.几何语言：如图，在△ABC 和△ DEF 中，,,,AB CA BC ⎧⎪⎨⎪⎩＝ ＝ ＝ ∴ △ABC ≌△ DEF （ ）.例1 如图1，已知点A ，D ，B ，F 在一条直线上，AC ＝FE ，BC ＝DE ，AD ＝FB .求证：△ABC ≌△FDE . 教师指导，学生分析：在两个三角形中分别找到对应的三条边，然后证明它们分别相等. 证明：∵ AD ＝FB ，∴ AD +DB ＝FB +DB ，即AB ＝FD .教学反思在△ABC 和△FDE 中，∵ ,,AC FE AB FD BC DE ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴ △ABC ≌△FDE (SSS ).图1 图2例2 如图2，已知：AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE . 求证：∠BAC ＝∠DAE .证明：在△ABD 和△ACE 中，∵ AB AC AD AE BD CE ＝，＝，＝，⎧⎪⎨⎪⎩∴ △ABD ≌△ACE (SSS)，∴ ∠BAD ＝∠CAE . ∴ ∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ， 即∠BAC ＝∠DAE .练习：1.如图，下列三角形中，与△ABC 全等的是_______.2.已知：如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝CE ． 求证:(1)∠A ＝∠D ;(2)AB ∥DE . 学生独立完成，教师评价 1.③ 2.证明：（1） ∵ BF ＝CE ，∴ BF +FC ＝FC +CE ，即BC ＝EF .在△ABC 和△DEF 中， ∵,,AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴ △ABC ≌△DEF (SSS)， ∴ ∠A ＝∠D .（2）由（1）△ABC ≌△DEF ，可得∠B ＝∠E ，∴ AB ∥DE .三、三角形的稳定性问题1 问题2：观察右面两组木架，如果分别扭动它们，会得到怎样的结果？教学反思教师归纳：教学反思三角形的特性：三角形木架的形状_________，也就是说三角形是具有_____的图形.四边形的特性：四边形木架的形状_______，也就是说四边形是_________的图形.理解“稳定性”只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.想一想：在我们日常生活中，还有哪些地方运用到了三角形的稳定性？你能举出例子来吗？课堂练习1.如图1，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定( )A.△ABD≌△ACDB.△BDE≌△CDEC.△ABE≌△ACED.以上都不对2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法中正确的是( )A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值C.稳定性和不稳定性均有利用价值D.以上说法都不对3.在生活中我们常常会看见如图2所示的情况加固电线杆，这是利用了三角形的________.4.如图3，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图4，D，F是线段BC上的两点，AB＝CE，AF＝DE，要使△ABF≌△ECD，还需要条件________ (填一个条件即可）.6.如图5，AD＝BC，AC＝BD.求证：∠C＝∠D .图1 图2 图3图4图5参考答案1.C2.C3.稳定性4.C5.BD＝CF(答案不唯一)如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”)内容解题思路应用边边边注意事项三角形的稳定性结合图形找隐含条件和现有条件，找出三边对应相等1.证明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中6.证明：连接AB（图略）,在△ABD和△BAC中，,,, AD BC BD AC AB BA ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABD≌△BAC(SSS)，∴∠D＝∠C.课堂小结1.基本事实一；2.基本事实一的应用；3.三角形的稳定性.布置作业完成教材第40页习题.板书设计13.3全等三角形的判定第1课时边边边教学反思第十三章全等三角形13.3 全等三角形的判定第2课时边角边教学目标教学反思1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”；2.会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用；3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件.教学重难点重点：会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用；难点：了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件.教学过程旧知回顾回顾基本事实一的内容.导入新课问题情境小明不小心将一块大脸猫的玻璃摔成了三块(如图所示)，为了配一块和原来完全一样的玻璃，他带哪一块玻璃就可以了? 你能替他解决这个难题吗? 带着问题我们还是一块儿来学习一下这节课的内容吧!探究新知观察思考：问题1：画一个三角形，使它的两条边长分别是1.5cm，2.5cm，并且使长为1. 5cm的这条边所对的角是30°.小明的画图过程如图所示.小明根据所给的条件，画出了两个形状不同的三角形，这说明两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形不一定全等．那么两边和它们的夹角对应相等，这两个三角形又将是怎样的呢?问题2：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.(1)将△ABC叠放在△A′B′C′上，使顶点B与顶点B′重合，边BC落在边B′C′上，点A与点A′在边B′C′的同侧．点C与点C′是否重合，边BC与边B′C′是否重合? 边BA 是否落在边B ′A ′上，点A 与点A ′是否重合? (2)由“两点确定一条直线”，能不能得到边AC 与边A ′C ′重合，△ABC 和△A ′B ′C ′全等？教师引导，学生自主探索. 归纳：基本事实二如果两个三角形的________和它们的______对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“________”或“_____”）几何语言：在△ABC 和△ DEF 中， ____________AB A AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝，∠＝，＝， ∴ △ABC ≌△ DEF （______）．例 已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝CB . 求证：△ADC ≌△CBA . 教师引导，学生分析： 由两条直线平行可得内错角相等，还有隐含条件AC是公共边，可由SAS 证得结论.证明：∵AD ∥BC (已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等).在△ADC 和△CBA 中，∵(),12(),(),AD CB AC CA ⎧⎪⎨⎪⎩＝已知∠＝∠已推出＝公共边 ∴△ADC ≌△CBA (SAS ).三角形全等在实际生活中也有很广泛的应用.下图是一种测量工具的示意图．其中AB ＝CD ，并且AB ,CD 的中点O 被固定在一起， AB ,CD 可以绕点O 张合.在图中，只要量出AC 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．这是为什么？请把你的想法和同学进行交流．原理：SAS. 练习：在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立： 如图，在△AOB 和△DOC 中， AO ＝DO (已知)，______＝________( )，BO ＝CO (已知)，∴ △AOB ≌△DOC （ ）.学生独立完成，教师评价.答案：∠ AOB ∠ DOC 对顶角相等 SAS 课堂练习 1.如图，△ABC 中，已知AD 垂直于BC ，D 为BC 的中点，则下列结论不正确的是( ) A . △ABD ≌△ACD B . ∠B ＝∠CC . AD 是∠BAC 的平分线 D . △ABC 是等边三角形2.如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形( )A .一定全等B .一定不全等C .不一定全等D .面积相等 3.如图1，AB ，CD ，EF 交于点O ，且它们都被点O 平分，则图中共有______对全等教学反思内容 应用 边角边 如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.（简写成 “边角边”或“SAS ”)1.“SSA ”不能作为判断三角形全等的依据;2. 根据已知条件，找到图形中的隐含条件，如公共边，公共角，对顶角，邻补角，外角，平角等，证明三角形全等.三角形.图1 图2 4.如图2，△ABC 和△EFD 分别在线段AE 的两侧，点C ，D 在线段AE 上，AC ＝DE ，AB ∥EF ，AB ＝EF .求证：△ABC ≌△EFD .5.某大学计划为新生配备如图3所示的折叠凳，图4是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 设计为30 cm ，则由以上信息可推得CB 的长度是多少？ 参考答案 1.D 2.C 3.34.证明：∵ AB ∥EF ，∴ ∠A ＝∠E .在△ABC 和△EFD 中，,,,AC ED A E AB EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠＝∠＝∴ △ABC ≌△EFD （SAS ）.5.解：∵ O 是AB ，CD 的中点，∴ OA ＝OB ,OD ＝OC .∴ CB ＝AD .在△AOD 和△BOC 中，OA OB AOD BOC OD OC ⎧⎪⎨⎪⎩＝,∠＝∠，＝， ∴ △AOD ≌△BOC (SAS ). ∵ AD ＝30 cm ,∴ CB ＝AD ＝30 cm.课堂小结1.基本事实二；2.SAS 的应用. 布置作业完成教材第43页习题.板书设计 13.3 全等三角形的判定第2课时 边角边 教学反思第十三章 全等三角形13.3 全等三角形的判定 第3课时 角边角、角角边教学目标1.分不同情况探索“两角一边”条件下两个三角形是否全等；2.掌握AAS 或ASA ，并会利用其证明两个三角形全等；3.会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学重难点 重点：掌握AAS 或ASA ，并会利用其证明两个三角形全等；难点：分不同情况探索“两角一边”条件下两个三角形是否全等.教学过程 导入新课探究新知1.角边角、角角边 问题1：如图，在△ABC和△A ′B ′C ′中，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′.∠C ＝∠C ′.把△ABC 和△A ′B ′C ′叠放在一起，它们能够完全重合吗? 问题2：提出你的猜想，并试着说明理由.学生讨论会发现：将△ABC 叠放在△A ′B ′C ′上，使边BC 落在边B ′C ′上，顶点A 与顶点A ′在边B ′C ′的同侧．由BC ＝B ′C ′可得边BC 与边B ′C ′完全重合．因为∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′ ，∠B 的另一边BA 落在边B ′A ′上， ∠C 的另一边落在边C ′A ′上，所以∠B 与∠B ′完全重合， ∠C 与∠C ′完全重合．由于“两条直线相交只有一个交点”，所以点A 与点A ′重合.所以， △ABC 和△A ′B ′C ′全等. 归纳：基本事实三如果两个三角形的 两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“角边角”或“ASA ”）几何语言： 如图，在△ABC 和△ DEF 中，∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，教学反思∴ △ABC ≌△ DEF （ASA ）．问题3：已知：如问题1中的图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ∠A ＝∠A ′， ∠B ＝ ∠B ′，BC ＝B ′C ′. 求证： △ABC ≌△A ′B ′C ′.教师引导，学生观察：可将∠A ＝∠A ′这个条件转化为∠C ＝∠C ′. 证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠ A ′ ＋∠ B ′ ＋∠ C ′ ＝180°(三角形内角和定理)， 又∵ ∠A ＝∠A ′， ∠B ＝ ∠B ′(已知)， ∴ ∠C ＝∠C ′(等量代换).在△ABC 和△A ′B ′C ′中，,,,B B BC B C C C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩′′′′ ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA ). 想一想：从中我们可以得到什么规律？ 归纳：全等三角形的判定定理 如果两个三角形的 两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“角角边”或“AAS ”）几何语言：在△ABC 和△ DEF 中，∠B ＝∠E ，∠A ＝∠D ，BC ＝EF ， ∴ △ABC ≌△ DEF （AAS ）． 例 已知：如图，AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，BC ∥EF . 求证：△ABC ≌△DEF .教师引导，学生分析.通过BC ∥EF ，可得∠ABC ＝∠E ，再根据等量代换可得AB ＝DE .证明：∵ AD ＝BE (已知)，∴ AB ＝DE (等式的性质). ∵ BC ∥EF (已知)， ∴∠ABC ＝∠E (两直线平行，同位角相等).在△ABC 和△DEF 中，,A FDE AB DE ABC E ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠∴ △ABC ≌△DEF (ASA ). 练习：1.如图1，已知△ABC 的三条边和三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC 全等的图形是( )A.甲B.乙C.甲、乙D.甲、乙都不是图1 图22.如图2，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点O ,AE ＝AD ，要使△ABE ≌△ACD ，根据“AAS ”需添加的一个条件是___________. 学生独立完成，教师评价.答案：1.B 2.∠B ＝∠C （答案不唯一）课堂练习1.在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知∠A ＝44°，∠B ＝67°，∠C ′＝69°，∠A ′教学反思＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形________________.2.如图1，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝________.图1 图23.如图2，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若BD＝2cm，CF＝4cm，则AB的长为( )A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm4.如图3，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：△ABC≌△ABD.5.已知：如图4，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2, 求证：AB＝AD.图3 图4参考答案1.全等2.33.C4.证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，12,,, AB ABABC ABD ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠＝∠＝∠∴△ABC≌△ABD（ASA）. 5.证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90 °.在△ABC和△ADC中，12B DAC AC⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，∠＝∠，＝（公共边）,∴△ABC≌△ADC（AAS)，∴AB＝AD.课堂小结1.角边角、角角边的内容；2.利用角边角、角角边解决问题.布置作业完成教材第47页习题.教学反思板书设计13.3全等三角形的判定第3课时角边角、角角边教学反思角边角角角边内容应用如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“ASA”)如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“AAS”)注意“AAS”“ASA”中两角与边的区别第十三章 全等三角形13.3 全等三角形的判定第4课时 具有特殊位置关系的三角形全等教学目标1.会从图形变换的角度，认识两个可能全等的三角形的位置关系；2.会综合运用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等.教学重难点重点：会从图形变换的角度，认识两个可能全等的三角形的位置关系；难点：会综合运用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等. 教学过程 导入新课1.图形的变换---平移、旋转；2.三角形全等的几个基本事实. 探究新知 问题：如图，每组图形中的两个三角形都是全等三角形.观察每组中的两个三角形，请你说出其中一个三角形经过怎样的变换(平移或旋转)后，能够与另一个三角形重合.学生讨论会发现： （1）、（2）图通过平移重合；（3）、（4）、（5）、（6）通过旋转重合. 归纳：实际上，在我们遇到的两个全等三角形中，有些图形具有特殊的位置关系，即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转(有时是两种变换) 得到的.发现两个三角形间的这种特殊关系，能够帮助我们找到命题证明的途径，较快地解决问题.例1 已知：如图，在△ABC 中， D 是BC 的中点，DE ∥AB，交AC 于点 E ，DF ∥AC ，交AB 于点F .求证：△BDF≌△DCE .教师引导，学生分析：将△BDF 沿BC 方向向右平移可使△BDF △DCE 重合. 证明：∵ D 是BC 的中点(已知)，∴ BD ＝DC (线段中点定义∵ DE ∥AB ，DF ∥AC ，(已知)∴ ∠B ＝∠EDC ，∠BDF ＝∠C ，(两直线平行，同位角相等)在△BDF 和△DCE 中，B EDC BD DC BDF C ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠，∴ △BDF ≌△DCE (ASA ).例2 已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F . 求证：DE ＝FE .教师引导，学生分析：将△ADE 绕点E 旋转，可与△CFE 重合.证明：∵CF ∥AB (已知)，∴∠A ＝∠ECF (两直线平行，内错角相等). 在△EAD 和△ECF 中， 教学反思,A ECF AE CE AED CEF ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠ ∴△EAD ≌△ECF (ASA ).∴DE ＝FE (全等三角形的对应边相等). 练习： 1.如图1，由∠1＝∠2，BC ＝DC ，AC ＝EC ，得△ABC ≌△EDC 的根据是( ) A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS图1 图2 2.已知：如图2，AB ∥CD ,AD ∥BC . 求证：AB ＝CD ,AD ＝BC .学生独立完成，教师评价.答案：1.A2.证明：连接AC （图略），∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB.∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAC ＝∠DCA. 在△BAC 和△DCA 中,BAC DCA AC CA BCA DAC ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠，∴ △BAC ≌△DCA ， ∴ AB ＝CD ,AD ＝BC . 课堂练习 1. 如图1，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE ，BD 交于点O ，则∠AOB 的度数为________．2.如图2，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC 与∠DFE 的度数和是( )A.60°B.90°C.120°D.150° 图1 图2 图3 图4 3.如图3，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB ＝AD ，BC ＝DC .将仪器上的点A与∠PR Q 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C画一条射线AE ，AE 就是∠PR Q 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠Q A E ＝∠P AE .则说明这两个三角形全等的依据是( )A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS4.如图4,AE ＝AC ,AB ＝AD ,∠EAB ＝∠CAD ,试说明:∠B ＝∠D.参考答案 1.120° 2.B 3.D 4.证明：∵ ∠ EAB ＝∠ CAD ，∴ ∠ EAB +∠ BAD ＝∠ CAD +∠ BAD ， 即∠ EAD ＝∠ CAB .教学反思。
13.2.1全等三角形13.2.2全等三角形的判定条件
课题：13.2.1全等三角形【学习目标】：1、知道全等三角形的性质2、会找全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。
【学习重点】：目标1 2一、自主学习：预习课本59页并完成做一做。
二、自学检测：1、请指出下列全等三角形的对应边和对应角（1） △ ABE ≌ △ ACF（2） △ BCE ≌ △ CBF （3）△ BOF ≌ △ COE2、下列说法中，正确的是（ ）A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形是指面积相等的两个三角形C ．全等三角形的周长和面积分别相等D ．所有的等边三角形都是全等三角形3、下面命题错误的是（ ）A ．边长相等的两个等边三角形全等B ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C ．有两条边对应相等的两个等腰三角形全等D ．形状和大小完全相等的两个三角形全等4、如图△ ABD ≌ △CDB ，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC= ，CD=______,5、如图△ABD ≌ △EBC ，AB=3cm,BC=5cm,求DE=______________6、如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°三、合作探究；问题导思：__________________________是全等图形。
那么，______________________________叫做全等三角形。
______________________________是对应顶点______________________________是对应边______________________________是对应角全等三角形的性质：________________________________________四、课堂小结：本节课你学到了什么？还有什么疑问？五、当堂检测1、下列说法中不正确的是 （ ）A.全等三角形的对应高相等B.全等三角形的面积相等C.全等三角形的周长相等D.周长相等的两个三角形全等C A B B 'A '4第题5第题6第题2、 已知:如图,△ABC ≌△DEF,AC ∥DF,BC ∥EF.则不正确的等式是 （ ）A.AC=DFB.AD=BEC.DF=EFD.BC=EF3、如图，△ABC ≌△DCB ，A 和D.C 和B 分别是对应顶点，若AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，BC ＝5cm ，则DC 的长为 （ ）A.4cmB.5cmC.6cmD.以上都不对4、如图，D 、E 分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°5、如图，将Rt △ABC(其中∠B ＝340，∠C ＝900）绕A 点按顺时针方向旋转到△AB 1 C 1的位置，使得点C 、A 、B 1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）A ．56°B ．68°C ．124°D ．180°六、课后反思13.2.2全等三角形的判定条件学习目标：1、会用刻度尺作一条线段等于已知线段2、会用量角器作一个角等于已知角.3、能自己试验探索出判定三角形全等所需要的几个条件学习重点：三角形全等的条件 学习难点：寻求三角形全等的条件学习过程一、自主学习1、复习：什么是全等三角形？全等三角形有些什么性质？如图3，△A BC ≌△ADE 那么相等的边是：相等的角是：探究点1：目标展示一1．只给一个条件：一组对应边相等（或一组对应角相等），•画出的两个三角形一定全等吗？（1）只有一组边对应相等的两个三角形：（2）只有一组角相等的两个三角形：C A1.试一试：画一个有一角为30°的三角形，与同桌所画的三角形对比一下，观察它们是否全等？再画一个有一条边为10cm的三角形，结果怎样呢？2.填表：60页上表格3.发现：探究点2：目标展示二2．给出两个条件画三角形,有____种情形。
全等三角形与全等三角形的判定条件-课件
15．(8分)如图AF和 CE是对应边．
(1)写出△ABF和△CDE的其他对应角和对应边； (2)若∠B＝30°，∠DCF＝20°，求∠EFC的度数．
解：(1)∠BAF与∠DCE，∠BFA与∠DEC是对应角； AB与CD，BF与DE是对应边 (2)50°
解：对应角有∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，对应边有AB＝ DC，AC＝BD，BC＝CB.理由：全等三角形的对应角相等， 对应边相等
9．(6分)如图所示，△ABC≌△DEF，若AB＝DE，∠B＝50 °，∠C＝70°，∠E＝50°，AC＝2 cm，求∠D的度数及DF的 长．
解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，∠A＝ ∠D，DF＝AC＝2 cm，∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠A ＝180°－50°－70°＝60°，∴∠D＝∠A＝60°
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 6:54:58 PM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
1．(4分)下列说法正确的是( C )
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等
D．所有的等边三角形全等
2．(4分)如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则
DE的长是( A )
A．5
B．4
C．3
D．2
第13章全等三角形-13.2.2全等三角形+课件+++2024—-2025学年华师大版数学八年级上册
巩固练习
1.如图所示，∠1=∠2，∠B=∠D，△ABC翻折后与
△ADE重合，说明△ABC≌△ADE，则下列结论正确
的是（ D ）
A．AB=AE C．∠ABC=∠AED
B．AC=ED D．∠BAC=∠DAE
巩固练习
2.如图所示，若△ABC沿AB方向平移得到△A′B′C′， 则∠A=∠B′A′C′，∠ABC= ∠A′B′C′，∠C= ∠C′， AB= A′B′，AA′= BB′，AC∥ A′C′．
能否减少一些条件，找到更简便的判定两个三角形 全等的方法呢？
对两个三角形来说，六个元素(三条边、三对角)中至少 要有几个元素对应相等，这两个三角形才会全等呢？
探索新知
探究1 如果两个三角形只有一组对应相等的元素，那么会出 现几种可能的情况？这两个三角形会全等吗？
两种，一组角或者边对应相等. （1） 画几个有一边长为 8 cm 的三角形，这样得到的三角 形是否全等？
巩固练习
3. 如图，△ABC≌△AED，AB 是△ABC 的最大边，AE 是△AED 的最大边，∠BAC 与∠ EAD 是对应角，且∠BAC = 25°，∠B = 35°，AB = 3 cm，BC = 1 cm，求出∠E，∠ ADE 的度数和线段 DE，AE 的长度.
解：∵ △ABC≌△AED(已知)， ∴∠E =∠B = 35°(全等三角形对应角相等)， A
三种，一条边和一个角相等；两个角相等；两条边相等.
按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围 的同学比较一下，所画的图形是否全等.
掌握新知
(1) 三角形的两个内角分别为 30° 和 70°.
30° 70°
13.2.1 全等三角形及其性质
总结
知3－讲
旋转变换前后位置的边是对应边，前后位置的角是 对应角．
（来自《点拨》）
知3－讲
例5 图13.2--7，将长方形ABCD
沿AE折叠，使点D落在BC边
上的点F处，若∠BAF＝56°， 则∠DAE＝________°. 17
图13.2--7
导引：因为△AEF是由△AED沿直线AE折叠而成的，
所以△ADE≌△AFE，所以∠DAE＝∠FAE.
因为∠BAF＝56°，∠BAD＝90°，
所以∠DAF＝90°－∠BAF＝90°－56°＝34°，
所以∠DAE＝ ∠DA1F＝ ×34°1 ＝17°.
2
2
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
解决折叠问题的关键是弄清在折叠过程中发生的是 全等变换，即折叠前后的两个图形(本例是三角形)全等， 其折叠前后的对应边相等，对应角相等．类似的还有平 移和旋转问题．在此过程中，得出了全等三角形，然后 根据全等三角形的性质解题．
总结
对应元素的确定方法： (1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、
对应角，如△CAB≌△FDE，则AB与DE、AC与DF、BC与 EF 是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角；
(2)图形位置确定法：①公共边一定是对应边，②公共角一 定是对应角；③对顶角一定是对应角；
（来自教材）
知4－导
显然，由于三角形的内角和等于180°，如果两
个角分别 对应相等，那么另一#必然也相等.这
样，
若两个三角形的 三条边、两个^分别对应相等，
则这
两个三角形仍然全等.
能否再减少一些条件？对两个三角形来说，六
个元 素（三条边、三个角）中至少要有几个元
第13章 13.2 1.全等三角形+2.全等三角形的判定条件
全等三角形的性质．
【例 2】如图所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着 AB、AC 边翻折 180° 形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α＝ 80° .
【思路分析】据∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，可求出∠2＝25°，∠3＝15°， △ABC 沿 AB 翻折得到△ABE，∴△ABC≌△ABE，△ABC 沿 AC 翻折得 到△ACD，∴△ABC≌△ADC，然后根据全等性质计算．
【方法归纳】经过平移、旋转、翻折得到图形与原图形全等，以获取边和 角对应相等的关系．
知识点一：全等三角形 能够完全重合的两个三角形是 全等三角形 ，相互重合的顶点是 对应顶点 ， 相互重合的边是 对应边 ，相互重合的角是 对应角 ，全等三角形的 对应边 相等， 对应角 相等． 1．下列命题中正确的是( D ) A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．全等三角形是指能够完全重合的两个三角形
到的三角形与原三角形是全等三角形．其中正确的命题是( B )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．如图，△ABC 在一条直线上运动到△A′B′C′的位置，延长 AC、A′B′ 相交于 D 点．
(1)试说明∠A＝∠D； (2)试说明 BB′＝CC′； (3)你还能发现哪些信息？
全等三角形的判定全等三角形的条件
全等三角形的判定全等三角形的条件全等三角形是指具有完全相同形状和大小的两个三角形。
在几何学中，我们可以通过比较两个三角形的边长和角度来确定它们是否全等。
下面将详细介绍全等三角形的条件。
1. SSS判定法（边边边）：当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形是全等的。
例如，若三角形ABC和三角形DEF的边长分别满足AB = DE，BC = EF，AC = DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
2. SAS判定法（边角边）：当两个三角形的一对边和夹角分别相等时，这两个三角形是全等的。
例如，若三角形ABC和三角形DEF满足AB = DE，∠BAC =∠EDF，BC = EF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
3. ASA判定法（角边角）：当两个三角形的一对角度和夹边分别相等时，这两个三角形是全等的。
例如，若三角形ABC和三角形DEF满足∠BAC = ∠EDF，BC = EF，∠CBA = ∠FED，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
4. RHS判定法（直角边斜边）：当两个直角三角形的一对直角边和斜边分别相等时，这两个三角形是全等的。
例如，若三角形ABC和三角形DEF满足∠ABC = ∠DEF，AB = DE，AC = DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
需要注意的是，这些判定法都是基于几何定理的推导得出的。
在实际应用中，我们可以根据已知条件使用这些判定法来判断两个三角形是否全等。
除了以上判定法，还有一些特殊情况下的判定法，比如：- 两个等腰三角形的顶角相等时，可以判定它们全等；- 两个等腰直角三角形的斜边相等时，可以判定它们全等。
总之，全等三角形的判定主要基于边长和角度的相等性。
当我们已知一些边长和角度的关系时，可以利用上述判定法来判断两个三角形是否全等。
这在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
全等判定定理
全等判定定理全等判定定理，又称全等三角形判定定理，是几何学中重要的基本定理之一。
它可以用来判定两个三角形是否全等。
全等三角形是指具有相同边长和相同内角的三角形。
全等判定定理的应用范围广泛，不仅在几何学中有重要地位，也被应用到其他学科中。
我们来了解一下全等三角形的定义和性质。
全等三角形的定义是指两个三角形的对应边长相等，并且对应内角相等。
根据全等三角形的性质，我们可以得出以下四个判定条件：SSS判定条件、SAS判定条件、ASA判定条件和AAS判定条件。
其中，SSS判定条件是指两个三角形的三边分别相等；SAS判定条件是指两个三角形的两边和夹角分别相等；ASA判定条件是指两个三角形的两个角和一边分别相等；AAS判定条件是指两个三角形的两个角和一边分别相等。
接下来，我们来详细介绍全等判定定理的应用。
首先是SSS判定条件。
当我们已知两个三角形的三边分别相等时，我们可以使用SSS 判定条件来判断它们是否全等。
例如，已知三角形ABC的边长分别是AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，已知三角形DEF的边长分别是DE=3cm，EF=4cm，DF=5cm。
根据SSS判定条件，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF全等。
其次是SAS判定条件。
当我们已知两个三角形的两边和夹角分别相等时，我们可以使用SAS判定条件来判断它们是否全等。
例如，已知三角形ABC的边长分别是AB=3cm，BC=4cm，夹角∠BAC=60°，已知三角形DEF的边长分别是DE=3cm，EF=4cm，夹角∠DEF=60°。
根据SAS判定条件，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF全等。
再次是ASA判定条件。
当我们已知两个三角形的两个角和一边分别相等时，我们可以使用ASA判定条件来判断它们是否全等。
例如，已知三角形ABC的两个角分别是∠BAC=60°，∠ABC=30°，边AC=5cm，已知三角形DEF的两个角分别是∠DEF=60°，∠DFE=30°，边DF=5cm。
华东师大版八年级数学上册《三角形全等的判定》课件
10．如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在 C′ 处，折痕为 EF，若 AB＝1，BC＝2，则△ABE 和△BC′F 的周长之和为 6 ．
第 10 题图
11．如图，A、D、E 三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.试说明：
(1)BD＝DE＋CE； (2)△ABD 满足什么条件时，BD∥CE? 解：(1)∵△BAD≌△ACE，
基础过关
B．腰对应相等的两个三角形全等
C．所有长方形都是全等图形
D．所有半径相等的圆都是全等图形
2．如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D，△ABC 翻折后与△ADE 重合，说明
△ABC≌△ADE，则下列结论正确的是( D )
A．AB＝AE
B．AC＝ED
C．∠ABC＝∠AED
D．∠BAC＝∠DAE
第 2 题图
13．2 三角形全等的判定 13．2.1 全等三角形
13．2.2 全等三角形的判定条件
知识点 1 全等三角形的性质 1．能够 完全重合 的两个三角形是全等三角形，相互重合的顶点是 对应顶点，相互重合的边是 对应边 ，相互重合的角是 对应角 ． 2．全等三角形的对应边 相等 ，对应角 相等 ．
知识点 2 全等三角形的判定条件 3．若两个三角形的三条边与三个角都分别对应相等，那么这两个三角形
第 5 题图
6．如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点 A、D、E 在同一条直线上，∠ACB ＝20°，则∠ADC 的度数是 65° ．
第 6 题图
7．如图，已知△ACE≌△DBF，AD＝9，BC＝2. (1)求 AC 的长； (2)求证：CE∥BF.
第 7 题图
解：(1)∵△ACE≌△DBF， ∴AC＝DB. ∴AC－BC＝DB－BC， 即 AB＝CD. ∴AD＝AB＋BC＋CD＝2AB＋2＝9. ∴AB＝3.5. ∴AC＝AB＋BC＝5.5. (2)证明：∵△ACE≌△DBF，
八年级数学上册第13章全等三角形13.2三角形全等的判定5边边边说课稿华东师大版
《13。
2。
5 边边边》说课稿一、教材分析：（一）本节内容在全书和章节的地位本节内容选自华师版初中数学八年级上册第13章,本课是探索三角形全等条件的第4课时，是在学习了全等三角形的概念,全等三角形的性质后展开的。
对于全等三角形的研究，实际是平面几何对封闭的两个图形关系研究的第一步，它是两个三角形间最简单、最常见的关系，它不仅是下节课探索三角形全等其它条件的基础，还是证明线段相等、角相等的重要依据，同时也为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好的模式和方法。
因此，本节课的知识具有承前启后的作用,占有相当重要的地位。
（二）三维教学目标1．知识与能力目标本节课主要给学生讲解全等三角形的“SSS"判定公理，同时理解三角形的稳定性,能用三角形全等解决一些现实问题，熟悉掌握“SSS"｜的判定方法，能够自主探索,动手操作，在过程中体会到自主学习索取知识的乐趣，从而启发学生学习数学的方式，为下节课打下基础。
2．过程与方法目标通过分解三角形的各个边和角，两个三角形做对比，用问题分解法求解,探索全等三角形的全等条件，经历认知探知过程，体会挖掘知识的过程。
通过两个三角形边与角的对比发现全等三角形的判定条件“SSS”，锻炼学生分析问题，解决问题的能力。
3．情感态度与价值观培养学生勇于探索、团结协作的精神，积累数学活动的经验。
（三）重点与难点1．教学难点认识三角形全等的发现过程以及边边边的辨析.能够对运用三角形判定公理“SSS”解决三角形全等问题，对三角形其他定理的拓展与思考，了解三角形的稳定性.2．教学重点利用性质和判定，关键是学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角. 准确理解“SSS"三角形判定的公理，规范书写全等三角形的证明;二、教法与学情分析1．教法分析数学是一门培养人的思维,发展人的思维的重要学科,因此在教学中，不仅要使学生知其然,而且还要使学生知其所以然。
13.2.2全等三角形的判定--边角边
两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，有几种情况呢？
两边一角
（1）两边夹一角 （边—角—边） （2）两边一对角 （边—边—角）
请大家按照要求完成教材65页的“做一做”
大家完成“做一做”，经过观察、对比有什么发现？
AC=AD （已知） 这两个条件够吗 ? ∠CAB=∠DAB（已知） AB=AB(公共边) ∴ △ACB≌△ADB (SAS)
C
A
D
B
解：∵在△OAD 和△OBC中
C B
OA = OB(已知） ∠AOD =∠BOC（对顶角相等） OD = OC （已知）
O
A D
∴△OAD≌△OBC (S.A.S.)
•两边及一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
请大家按照要求完成教材63页的“做一做”
大家完成“做一做”，经过观察、对比有什么发现？
•两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
•简记为: “边角边”或“SAS”
基本事实（公理）
基本事实（边角边公理）:
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 简记为: “边角边”或“SAS”
用数学几何语言表达： ∵在△ABC与△A`B`C`中 AB=A`B` ∠B=∠B` BC=B`C` ∴△ABC≌△A`B`C`（SAS）
A A`
B
C
B`
C`
例 ： 已知:
如图:AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
证明:△ACB ≌ △ADB 证明: ∵在△ ACB和△ADB中
如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，先在池塘旁取一个能直 接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长 至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A， B两点的距离。你知道其中的道理吗? A C
全等三角形的判定条件
A
D
B
C
E
F
已知： △ABC≌ △DEF 找出其中相等的边和角
△ABC≌ △DEF
AB=DE,BC=EF,CA=FD ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ E, ∠ C= ∠ F
反之，判别两个三角形全等需要哪些条件？
只给一个条件（一条边或一个角）
只给一条边时 如：
3cm
3cm
3cm
只给一个条件（一条边或一个角）
只给一个角时 如：
45°
45°
45°
给出两个条件时(一边及一角) 如果三角形的一条边为3cm,一个内角为30°
30° 3cm
30° 3cm
30° 3cm
给出两个条件时(已知两角) 如果三角形两个内角分别为30°,45°时
30°
45°
30°
30°
45° 45°
给出两个条件时(已知两边) 如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
13.2.1 全等三角形的判定条件
1、什么是全等形？什么是全等三角形？ 能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、什么是全等三角形的对应顶点、对应边、对应角？ 两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重 合的角叫做对应角。
3、全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
找全等三角形对应边和对应角的方法： 1、从长短大小
两个全等三角形的一对最长边（最大角）是对应边（角）；一对最短边（最小角）是对应边 （角）
2、从对应边与对应角的关系 对应角所对的边为对应边；对应边所对的角为对应角；两个对应角所夹的边为对应边；两条对应 边所夹的角为对应角。
13.全等三角形的判定条件PPT课件(华师大版)
树老易空，人老易松，科学之道，戒之 以空，戒之以松，我愿一辈子从实而终。
——华罗庚
请拿出你的课本、彩 色笔和练习本等用品， 还有你的激情和坐姿。
华师版数学八年级上册
第13章 全等三角形
13.2.1 全等三角形的判定条件
一天，小明的妈妈叫他去玻璃店买一块三 角形玻璃，小明不谨慎把买的三角形玻璃打 碎成了三块，他为了省事，他从打碎的三块 玻璃中选一块去，小明想法能办得到吗？若 能，你认为小明应该拿哪块玻璃去呢？为什 么？请同学们小组讨论一下。思考后请同学 们回答？
(3)图形大小确定法： 全等三角形的最大的边(角)是对应边(角)，最小的 边(角)是对应边(角)。
例题讲授
例1 如图，△ABC ≌△CED， ∠B和∠DEC是对应角， BC与ED是对应边，说出另两组对应角和对应边。
D B
A
E
C
解： 对应角： ∠A= ∠DCE ∠D= ∠ACB 对应边： AC=CD AB=CE
例：如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的 高，△ABD和△ACD全等吗？试根据等腰三角形 的有关知识说明理由。
分析：根据等腰三角形底边上的高线、中线和
顶角的平分线三线合一可以得到边角分别相等。
解：∵ △ABC是等腰三角形 ∴AB=AC BD=CD AD=AD ∠B=∠C ∠BAD=∠CAD， ∠ADB=∠ADC ∴ △ABD ≌ △ACD
思考：能否减少一些条件，找到更简便的判定两 个三角形全等的方法呢？
思考：如果两个三角形有一个相等的部分（边或角），
那么有几种可能的情况？这两个三角形一定全等吗？
1.两个三角形有一条边对应相等：
3cm
3cm
2. 两个三角形有一个角对பைடு நூலகம்相等：
全等三角形的判定条件教案新版华东师大版
13.2 三角形全等的判定13．2.1 全等三角形13．2.2 全等三角形的判定条件1．理解全等三角形、对应边、对应角的概念．2．理解全等三角形的性质．3．初步感知全等三角形的三种变换方式．重点1．全等三角形的对应边，对应角．2．全等三角形的性质．难点全等三角形的变换方式．一、创设情境1．先在一张纸板上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？二、探究新知学生活动：动手操作、用脑思考、与同伴讨论、得出结论．教师活动：指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸板上画出三角形，然后固定重叠的两张纸板，注意整个过程要细心．互动交流：剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．教师活动：在纸板上任意剪下一个三角形，要求各小组选派学生拿一个三角形做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形是否全等．学生活动：要求学生实践感知、得出结论：两个三角形全等．教师活动：要求学生将剪下的两个三角形顶点标上字母，看重合的边角有何关系？学生活动：将两个三角形按要求标上字母，并注意放置，与同桌交流何时可重合．教学说明：根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范．1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如果图1中△ABC和△DB′C′全等，点A和点D，点B和点B′，点C和点C′是对应顶点，记作△ABC≌△DB′C′.3．全等三角形的对应边相等，对应角相等．4．一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．三、练习巩固1．如图，△ACE≌△DBF，点A，B，C，D在同一条直线上，且AE＝DF，CE＝BF，AD＝8，BC＝2.(1)求AC的长；(2)求证：CE∥BF.2．如图，△ABC≌△DEF，AB＝DE，∠A＝∠D，找出图中的所有相等的线段与角．四、小结与作业小结这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结．作业完成本课时后面对应的练习．本节课通过动手剪出两个完全相同的三角形，通过比较、运动，如平移、翻折、旋转来学习全等三角形、对应角、对应边的概念，进而归纳出全等三角形的性质．教师应结合刚开始学习的学生不注意将对应的顶点写在对应的位置的特点并不断强化，因此如何找对应边、对应角是本节的难点，教师应结合例题习题归纳：有公共边(角)的，公共边(角)为对应边(角)；有相等边(角)的，相等的边(角)为对应边(角)；有对顶角的，对顶角是对应角，对应边对的是对应角，对应角对的是对应边．。
证明全等三角形的所有条件
证明全等三角形的所有条件全等三角形是指两个三角形的所有对应边和角都相等。
在几何学中，全等三角形的性质和条件是非常重要的，它们可以帮助我们解决各种与三角形相关的问题。
下面，我将详细介绍全等三角形的所有条件。
1. 全等三角形的首要条件是三边对应相等。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们就是全等三角形。
这是全等三角形的最基本的条件。
2. 两个三角形的两边和夹角相等也可以说明它们是全等三角形。
具体来说，如果两个三角形的一条边和与其相对的两个夹角分别与另一个三角形的一条边和与其相对的两个夹角相等，那么这两个三角形就是全等的。
这个条件被称为边角边（SAS）全等条件。
3. 两个三角形的两角和夹边相等也可以说明它们是全等三角形。
具体来说，如果两个三角形的两个夹角和一条边分别与另一个三角形的两个夹角和一条边相等，那么这两个三角形就是全等的。
这个条件被称为角边角（ASA）全等条件。
4. 两个三角形的两边和夹边分别相等也可以说明它们是全等三角形。
具体来说，如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个夹角分别与另一个三角形的一条边和与其相邻的两个夹角相等，那么这两个三角形就是全等的。
这个条件被称为边边角（SSA）全等条件。
需要注意的是，边边角（SSA）全等条件并不能唯一确定两个三角形是全等的。
在某些情况下，两个三角形可能具有相同的边长和夹角，但仍然不全等。
因此，在使用SSA条件时，还需要额外的条件来确保两个三角形的全等性。
全等三角形的条件包括边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）这三种情况。
在解决实际问题时，我们可以根据题目给出的已知条件，利用这些全等条件来判断两个三角形是否全等，从而得出解答。
除了以上的全等条件，还有一些关于全等三角形的性质值得我们注意。
例如，全等三角形的对应边和角相等，面积也相等。
此外，全等三角形还具有相似的性质，比如它们的内角和相等，对应边比例相等等。
总结起来，全等三角形的条件是非常重要的，它们可以帮助我们在解决各种与三角形相关的问题时确定两个三角形是否全等。
两个三角形全等的充要条件
两个三角形全等的充要条件
三条边对应相等；两条边和它们的夹角对应相等；两角及其一角的对边对应相等；两个角和它们的夹边对应相等；经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
三角形全等判定
全等三角形判定方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
全等三角形判定方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
全等三角形判定方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
全等三角形判定方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
全等三角形判定方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。