平面向量的实际背景及基本概念
2.1平面向量的实际背景及基本概念
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心， 在图中所标出的向量中： E D (1)试找出与FE共线的向量；
F
O C
热 热 身
解： （1） OA BC， （2） FE BC
若不相等，则之间有什么关系？
A
B
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|，
立
BACK
练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且
存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则
c =____ 0
BACK
练习：
1.与非零向量 a （非单位向量）平行的 2 向量中，不相等的单位向量有_____ 个.
BACK
练习：如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边上的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出
三维目标 1.通过实例，利用平面向量的物理背景以及研 究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以 及确定平面向量的两个要素，分清数量与向量 的区别。 2.理解自由向量、平行向量、相等向量、相反 向量等概念，并能判断它们之间的关系，并会 辨认图形中的相等向量或作出与某一向量相等 的向量。 3.在教学过程中，应充分根据平面向量的两个 要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移 这一特性。培养学生数形结合的思想。
教学反思：
位移和距离 这两个量
香港
上海 台北
想一想：
观察下述三个量，哪个与另两个有区别？
m=5kg
(1)
F=20N
(2)
v =20km/h
(3)
（2）（3）都是有大小和方向的量
授课教师：高 波
一、向量的定义
说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
平面向量的实际背景及基本概念
向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律，即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时，向量减法不满 足结合律。
• 意义：数乘向量在实际问题中具有重要意义，如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义：两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结 果是一个实数，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质：向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$，$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质：点乘满足交换律和分配律，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$， $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外， 点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。
高一数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念课件
问题2：两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同
的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等
种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是
一种宝贵品质。
——加里宁
结语
谢谢大家！
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量 进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研 究的——向量.
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物
理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长
度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量. 注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重 性，不能比较大小.
解：（1）DE、BF、FB、FA、
A
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那 么它们的终点的集合组成什么图形？
P
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量的定义： 相等向量的定义： 共线向量与平行向量关系：
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240km .
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a b c
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
平面向量的实际背景及基本概念
一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
提示：圆
P
相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等，记作：
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中，我们有：若
=
b
A4, =
，则 B=1
B2
B3
，在向量中，你能提出类似的问题吗？结论怎样？
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作：AB 或 a .
注：向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”，“1”，向量中有
没有类似的特殊向量？
零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
零向量的方向是任意的！
单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量？
3.与向量OA 共线的向量有哪些？
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量：既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素：大小、方向.
数量：只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接：物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
平面向量的实际背景及基本概念
数乘向量
• 数乘向量：一个实数与一个向量的乘积是一个向量，其模 等于该实数乘以原向量模，其方向与原向量方向相同或相 反（当实数为负时）。
03
平面向量的性质与运 算
向量的模
向量的模的性质
• 齐次性：对于任意实数λ和向量 a，有|λa|=|λ||a|。
向量的模定义：向量的大小或长 度称为向量的模。记作|a|，其中a 为向量。
速度与加速度的合成
总结词
平面向量在速度和加速度的计算中有着重要的应用， 通过速度和加速度的合成可以更好地分析物体的运动 状态。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的重 要物理量，可以用向量表示其大小和方向。通过将速 度和加速度进行合成，可以更好地分析物体的运动状 态，例如，在曲线运动中，可以将速度分解为多个分 量，然后分别对每个分量进行分析，以确定物体在曲 线上的位置、速度和加速度。此外，在航天工程中， 也需要利用平面向量来计算卫星轨道和航天器姿态等 参数。
VS
向量的积分
向量的积分可以表示向量在某个区间内的 累积效果，其计算方法与函数的积分类似 。
THANK YOU
05
平面向量的扩展与延 伸
向量的空间几何意义
向量的长度
表示向量的大小，可以通过模长来衡 量。
向量的夹角
表示两个向量之间的角度，可以通过 向量的点积来计算。
向量的平行
当两个向量共线时，它们是平行的。
向量的垂直
当两个向量正交时，它们是垂直的。
向量的函数表示
向量的线性函数
向量的线性函数是指与向量成正比的函数， 可以表示为y=mx+b的形式。
向量的二次函数
向量的二次函数是指与向量平方成正比的函数，可 以表示为y=mx²+bx+c的形式。
6平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念说课稿尊敬的各位评委老师，上午好！今天我说课的题目是“平面向量的实际背景及基本概念”，选自人民教育出版社普通高中课程标准试验教科书·数学·必修4第二章第二节的内容。
下面我将从教材分析、学生情况分析、教法学法分析、教学过程设计、板书设计这五个方面进行说课。
敬请各位专家、评委批评指正。
一．教材分析1、本节内容的地位和作用向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有着深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移),相似,垂直,勾股定理等就可以转化为向量的加(减)法,数乘向量,数量积运算(运算率),从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数,几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中具有广泛的应用.平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力,位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习.为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础.2教学目标根据我对知识与能力，情感态度与价值观，过程与方法三个维度的统一的理解，我制定的一下教学目标。
(1)理解向量,零向量,单位向量,共线向量,平行向量,相等向量的概念,会用字母表示向量,能读写已知图中的向量.会根据图形判定向量是否平行,共线,相等.(2)培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法,培养学生观察问题,分析问题,解决问题的能力。
(3)让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
3、教学重点、难点掌握向量的概念，要抓住向量的本质——大小和方向.尽管学生有着相对比较丰富的物理素材，但对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以平面向量的含义是本节课的重点也是难点.解决这一难点的关键是多用几何图形中相等的有向线段让学生辨认，加深对向量的理解.同时，相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示也是本节课的重点.教学重点：向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示.教学难点：向量的含义.二、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
人教版高中数学高一A版必修4 第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念
第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题： (1)什么是向量？向量和数量有何不同？ (2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？ (4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、…说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？ 不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？ 说明二：有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0； 单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的． 向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量． 注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？ 练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结 通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．。
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.学习重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.学习难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学习过程：一、复习引入 请同学想想哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：1.向量的概念：我们把____________________________________叫向量数量与向量的区别：_______________________________________2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；.有向线段：____________线段就叫做有向线段，三个要素：______________- ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.零向量、单位向量概念：①_______________叫零向量，记作____ 的方向是任意的注意0 与0的区别②__________________________叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①__________________________叫平行向量；②我们规定_________与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .6、相等向量定义：___________________________________叫相等向量.A(起点) B （终点）a说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与．有向线段的起点无关．．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有．．向线段的起点无关）．．．．．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.三：理解和巩固：例1 书本第75页例1.例2 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？练习1.（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？2．课本77页练习四小结：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量课后作业：课本77页习题2.1A组第3、4、5题。
第二章 平面向量的实际背景及基本概念
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知识预览
1．向量的概念与几何表示 (1)我们把既有大小又有方向的量叫做向量． (2)具有方向的线段叫做有向线段，A 为起点，B 为终点 → → 的有向线段记作AB， 线段 AB 的长度叫做有向线段AB的长度， → 记作|AB|，有向线段包括三个要素：起点、方向、长度．
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→ 解：(1)由四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形，知DC， → → → ED与AB长度相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为 → → DC和ED. → → → → → → (2)依据图形可知DC，ED，EC与AB方向相同，BA，CD， → → → → → → DE， 与AB方向相反， CE CD 所以与向量AB共线的向量有BA， ， → → → → → DC，ED，DE，EC，CE.
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自测自评
1．下列各物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤ 加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解析：②③④⑤是向量． 答案：D
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2．下列结论中错误的是( ．．
)
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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目标定位
目 标 要 求 1.了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出 向量． 2． 理解向量的概念， 相等向量的概念及向量的几何表示． 3．掌握向量的概念及共线向量的概念. 热 点 提 示 1.对向量概念以及共线向量的考查是本节的热点． 2．本节内容常与三角函数、解析几何结合命题． 3．多以选择题、填空题的形式考查.
说课第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
200km .
AC 表示A地至C地的位移，且
280km .
25
平行向量：
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
（三）情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进
一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
（四）学科核心素养 a. 数学抽象：平面向量的概念 b. 逻辑推理：共线向量的判断 c. 数学运算：向量相等 d. 直观想象：向量的几何表示 e.数学建模：向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 （1）相等向量一定是平行向量？
考
a
：
是
b
（2）平行向量一定是相等向量？
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作: AB
有向线段的三要素：起点、，它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法：
(1)几何表示法：用有向线段表示
2.1平面向量的实际背景及基本概念
12.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标一、知识与技能1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示.2. 掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.3. 并会区分平行向量、相等向量和共线向量．二、过程与方法本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念．三、情感、态度与价值观1. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．2. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．教学重点、难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教学关键：向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量概念的理解．教学突破方法：本节课内容简单，可让学生仔细阅读课本，并合作探究，得出结论．最后老师画龙点睛． 教法与学法导航教学方法：启发诱导，探究合作．学习方法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．教学准备教师准备：多媒体、投影仪.学生准备：练习本.教学过程一、创设情境，导入新课如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了．分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线B D 实际上都是有方向、有长短的量．引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 由此引出新课.二、主题探究，合作交流提出问题①在物理课中，我们学过力的概念．请回顾一下力的表示方式是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？你能否给出准确的定义呢？②数量与向量的区别在哪里？师生互动：教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量．物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量．A B C D2至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量．显然数量和向量的区别就在于方向问题．提出问题1. 如何表示向量？2. 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？3. 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？4. 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？5. 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？6. 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？师生互动：教师指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论以上问题．1. 向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母a 、b （黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |．2. 有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度．向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．3. 零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0． 0的方向是任意的．注意0与0的含义与书写区别．②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量．说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小．4. 平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行．说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a 、ｂ、ｃ平行，记作a ∥ｂ∥ｃ．5. 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．说明：（1）向量a 与b 相等，记作a=b ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点．．．．．．．．无关．．． 6. 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）．又如上图，a 、b 、c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分A(起点)B （终点）a3别作出OA ＝a ，OB =b ，OC =c ．这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．三、拓展创新，应用提高例1 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用有向线段表示A 地至B 、C 两地的位移．（精确到1 k m ）分析：本例是一个简单的实际问题，要求画出有向线段表示位移，目的在于巩固向量概念及其几何表示． 解：AB 表示A 地至B 地的位移，且|AB |≈232 km ；（AB 长度×8 000 000÷100 000）AC 表示A 地至C 地的位移，且|AC |≈296 km ．（AC 长度×8 000 000÷100 000） 点评：位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如上图，由A 点确定B 点、C 点的位置．例2 如图，设O 是正六边形ABC D EF 的中心.分别写出图中所示向量与OA OB OC 、、相等的量． 解：OA =CB =DO ;OB =DC =EO ;OC =AB =ED =FO ．点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同．四、小结1. 本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；2. 介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．五、课堂作业1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…，a n ，则这n 个向量 （ ）.A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如右图所示，在△ABC 中，D E ∥BC ，则其中共线向量有（ ）.4A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．若命题p 为a =b ，命题q 为|a |=|b |，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要又不充分条件4．如下图所示，在四边形ABC D 中，若AB DC ，则下列各组向量相等的是（ ）.A ．AD 与CB B ．OA 与OC C ．AC 与DBD ．DO 与OB5．已知a ，b 是任意两个向量，有下列条件：①|a |=|b |；②a =b ；③a 与b 的方向相反；④a =0或b =0；⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 共线的充分不必要条件的为．_________（把你认为正确的序号全都填上）6．如图所示，四边形ABC D 和AB D E 都是平行四边形．（1）写出与ED 相等的向量；（2）若|AB |=3，求向量EC 的模．参考答案：1．D 2．C 3．A 4．D 5．②③④6．（1）与ED 相等的向量有DC 和AB ，因为四边形ABC D 和AB D E 都是平行四边形，故AB =ED =DC ．（2）向量EC 的模|EC |=6．。
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.2
向量的几何表示
判断题 1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b ） ）
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 23
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
课堂练习 <<教材>> P.5 书面作业 <<教材>> P.77 习题2.1 A组3.4.5.6 B组2 练习1.2.3.4.5
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
( 2 ) 若 | a | | b |, 则 a b ; ( 3 ) 若 AB DC ， 则 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 AB DC ; ;
( 4 )平行四边形 ( 5 )若 m
ABCD 中 ， 一 定 有 k;
n, n k , 则 m
( 6 ) 若 a // b , b // c , 则 a // c 其中不正确命题的个数 A .2
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重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.3 相等向量与平行向量 1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量。向量 a 与 b 相等，记作：a b
a b V4 c a=b=c
注：1.若向量 a , b
V1 V2 V3
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念
2．1 平面向量的实际背景及基本概念你昨天听天气预报了吗？今天白天的天气情况如何？温度15～32℃，东南风3～4级．天气情况中涉及两个量：一个是温度，另一个是风速．前者在选定单位后，用一个实数就可以确切地表示；而后者则不同，除说明它的大小外，同时还必须说明它的方向．回顾学习数的概念我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移……这些量进行抽象，形成一种新的量，即本节知识——向量．1．概念(1)向量：既有__大小__，又有__方向__的量叫做向量，如力、位移等．(2)数量：只有大小，没有__方向__的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．[知识点拨]向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．(3)有向线段：带有__方向__的线段叫做有向线段．其方向是由__起点__指向__终点__，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB →(如图所示)，线段__AB __的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：__起点__、__方向__、__长度__.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的__终点__就唯一确定．[知识点拨]有向线段与向量的区别和联系区别从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的联系有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段2．向量的表示法(1)几何表示：用__有向线段__表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的__长度__(或称模)，如果向量AB →的长度记作 |AB →| ．(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a 、b 、c 、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a →、b →、c →，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A 为起点，以B 为终点的向量记为AB →．3．有关概念[知识点拨]1.理解向量概念应关注的三点(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量． 2．对平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a ，都有0∥a ，这里注意概念中提到的“非零向量”．(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的．(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量． 1．下列物理量中不是向量的有( A )(1)质量 (2)速度 (3)力 (4)加速度 (5)路程 (6)密度 (7)功 (8)电流强度 A ．5 B ．4 C ．3D ．2[解析] 看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，(2)(3)(4)既有大小也有方向，是向量，(1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量．2．单位向量的长度等于( B ) A ．0B ．1C ．2D ．不确定3．设O 是等边三角形ABC 的外心，则向量OA →，OB →，CO →是( D ) A ．相同起点的向量 B ．平行向量 C ．相等向量D ．模相等的向量[解析] 如图，易知A 、B 、C 均错误；由题意得点O 到△ABC 的三个顶点的距离相等，∴|OA →|＝|OB →|＝|CO →|，故选D ．4．如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，(1)图中与AB →共线的向量有 DC →、CD →、BE →、EB →、AE →、EA →、BA →； (2)图中与AB →相等的向量有 DC →、BE →；(3)图中与AB →模相等的向量有 DC →、CD →、BA →、BE →、EB →、DA →、AD →、CB →、BC →； (4)图中与EC →相等的向量有 BD →．[解析] 根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形．命题方向1 ⇨向量相等、向量共线的概念 典例1 给出下列命题： (1)平面向量的方向一定相同； (2)向量的模一定是正数；(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确的序号是__(3)__．[思路分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．[解析] (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．故填(3)．『规律总结』 对于判断命题正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．〔跟踪练习1〕给出下列几种说法： ①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ； ②若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． 其中错误的序号是__①②③④__．[解析] ①错误．共线向量指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量可移到同一直线上，则表示两向量的有向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同．④错误 .当b ＝0时，则a 与c 就不一定平行了． 命题方向2 ⇨考查向量相等或共线典例2 如图所示，△ABC 中，三边长均不相等，E 、F 、D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →长度相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．[思路分析] (1)共线向量只需在图中找出与线段EF 平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF 长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF 平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与EF →的方向相同的向量．[解析] (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →．(2)∵E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC ，∴EF ＝BD＝DC ．∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →． (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →．〔跟踪练习2〕如图所示，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO →、BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？ [解析] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →； (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →；(3)|AO →|＝|CO →|＝|DO →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|； 向量的几何表示用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形的知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．典例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|．[解析] (1)向量AB →、BC →、CD →，如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中， AB 綊CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →.|AD →|＝|BC →|＝200 km ．『规律总结』 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验．〔跟踪练习3〕飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1400km 到达B 地，再从B 地按东偏南15°的方向飞行1400km 到达C 地，那么C 地在A 地什么方向？C 地距A 地多远？[解析] 如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →|＝1400km ．BC →表示飞机从B 地按东偏南15° 方向飞行到C 地的位移，则|BC →|＝1400km ． 所以AC →为从A 地到C 地的位移．在△ABC 中，|AB |＝|BC |＝1400，且∠ABC ＝(90°－15°)－15°＝60°，所以∠BAC ＝60°，且|AC |＝1400．所以C 地在A 地北偏东60°－15°＝45°，距离A 地1400km ． 混淆向量的有关概念典例4 给出下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中，正确的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[错解] D[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆．[思路分析] ①忽略了0与0的区别，a ＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b ＝0时，a 、c 可以为任意向量，故a 不一定平行于c ．[点评] 明确向量及其相关概念的联系与区别：(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关．(2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．(3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量． 〔跟踪练习4〕下列说法正确的是( C ) A ．平行向量就是向量所在直线平行的向量 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度为0D ．共线向量是在一条直线上的向量[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A 错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B 错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D 错．故选C ．K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列说法正确的是( C ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量[解析] A 中向量不能比较大小，B 中向量模相等，可能方向不同，D 中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A 、B 、D 都是错误的，C 显然正确．2．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，则下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ．其中正确的是( B ) A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤D ．②③⑤[解析] |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 与b 不一定平行，故②不正确.a|a |是a 方向上的单位向量，不一定平行于b ，故⑤不正确．3．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA →相等的向量是( D )A ．OC →B ．OD →C ．OB →D ．CO →[解析] OA →与CO →方向相同且长度相等，则OA →＝CO →．4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 是( A ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．矩形D ．正方形[解析] ∵AB →∥CD →，∴AB ∥CD ． 又∵|AB →|≠|CD →|，∴AB ≠CD ．∴四边形ABCD 是梯形．5．在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的终点组成__一个圆__． [解析] 模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起点的距离相等，所以各终点应在同一个圆上．A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，正确的个数是( B ) ①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量；④向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量． A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．2．下列说法中，不正确的是( D ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同[解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．3．下列命题中正确的个数为( B )①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量AB →与CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ③若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；④四边形ABCD 是平行四边形，则必有|AB →|＝|CD →|； ⑤a ∥b ，则a 、b 方向相同或相反． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①显然错误；②中AB →与CD →共线，只能说明AB 、CD 所在直线平行或在一条直线上，所以错；③a 与b 共线，说明a 与b 方向相同或相反，a 与b 不一定相等，所以③错； ④对；⑤a 可能为零向量，则a ∥b ，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是( C )A ．南偏东60°B ．南偏东45°C ．南偏东30°D ．南偏东15°[解析] 如图所示，此人从点A 出发，经由点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C ． 5．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( C ) A ．恒成立 B ．当a ≠0时成立 C ．当b ≠0时成立D ．当c ≠0时成立6．下列说法正确的是( C )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →C ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB →与CD →平行，则A 、B 、C 、D 四点共线[解析] A 不正确．|a |＝|b |，但a 与b 方向可任意．B 不正确，向量不能比较大小．C 正确．D 不正确.AB →与CD →平行，则直线AB 与CD 可能平行，可能重合，则A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故选C ．二、填空题7．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”、“相等”、“无关”)． 8．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是 |AB →|＝|DC →| ． 三、解答题9．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量．[解析] (1)与AF →相等的向量为BE →、CD →，与AE →相等的向量为BD →． (2)DA →，CF →，FC →．10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个；(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？[解析] (1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个． (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个．B 级 素养提升一、选择题1．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( C ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形[解析] 由BA →＝CD →⇒BA ∥CD 且|BA →|＝|CD →|，又|AB →|＝|AD →|，故四边形ABCD 为菱形. 2．下列说法中错误的是( C )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等[解析] 长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C 错误． 3．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E ，点F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是( D )A ．AD →＝BC →B ．AC →＝BD → C ．PE →＝PF →D ．EP →＝PF →[解析] 由相等向量的定义，显然EP →＝PF →．4．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( B )A ．C AB ．A ∩B ＝{a }C ．C BD ．A ∩B{a }[解析] 因为A ∩B 中还含有a 方向相反的向量，所以B 错． 二、填空题5．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD →中，相等的有__2__对．[解析] AB →＝DC →，BC →＝AD →.其余不等．6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__．[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π． 三、解答题7．如图所示，已知四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形． (1)与AB →相等的向量有哪些？(2)与AB →共线的向量有哪些？ (3)若|AB →|＝1.5，求|CE →|的大小．[解析] (1)与AB →相等的向量即与AB →同向且等长的向量，有ED →，DC →．(2)与AB →共线的向量即与AB →方向相同或相反的向量，有BA →，ED →，DC →，EC →，DE →，CD →，CE →．(3)若|AB →|＝1.5，则|CE →|＝|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝3．8．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？[解析] 如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形，∴AC ＝2000km ．又∵∠ACD ＝45°，CD ＝10002，∴△ACD 为直角三角形，即AD ＝10002km ，∠CAD ＝45°． 答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km ．C 级 能力拔高如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是互相全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( C )A ．|AB →＝|EF →| B ．AB →与FH →共线 C ．BD →＝EH →D ．DC →与EF →共线[解析] A 一定成立，B 一定成立，D 因DC →与EF →一定不共线，故一定不成立，故选C ．。
人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（ ） （6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √） （2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB，CD。 注意字母的顺序
量
长度（模）符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 （量 共线）向量 用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不 重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再 找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一 反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量． 对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可．
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标1. 让学生理解平面向量的实际背景，了解向量在现实生活中的应用。
2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、相等向量、相反向量等。
3. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘等。
4. 培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
二、教学内容1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、工程学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。
2. 向量的定义：介绍向量的概念，强调向量是有大小和方向的量。
3. 向量的表示方法：介绍向量的表示方法，包括箭头表示法、坐标表示法等。
4. 相等向量、相反向量：介绍相等向量和相反向量的概念，强调它们的性质和运算规律。
5. 向量的线性运算：介绍向量的加法、减法和数乘运算，包括运算规则、运算性质等。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念和运算规律。
2. 利用多媒体辅助教学，通过动画、图片等形式展示向量的实际背景和运算过程。
3. 采用小组讨论、合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4. 结合例题讲解，让学生通过实践操作理解和掌握向量的运算方法和技巧。
四、教学评估1. 通过课堂提问、作业批改等方式及时了解学生的学习情况，发现问题并及时解决。
2. 设计一些实际问题，让学生运用所学的向量知识解决，评估学生对知识的掌握程度。
3. 组织课堂讨论，评估学生的参与程度和团队协作能力。
五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括向量的实际背景图片、向量运算的动画演示等。
2. 教材：提供相关章节的学习材料，供学生预习和复习使用。
3. 练习题库：提供丰富的练习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于巩固所学知识。
4. 参考资料：提供一些相关的研究论文、书籍等，供有兴趣深入学习的学生参考。
六、教学安排1. 课时安排：本章节共需4课时，每课时45分钟。
2. 课堂活动安排：第一课时：向量的实际背景介绍，向量的定义和表示方法学习。
人教版数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念 说课
• 4．从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素 （方向、大小）及向量可以平移的特点．
• 学习新课之前，我先介绍两个预备知识。
• 预备知识1：如果由你来简略介绍实数，你准备介绍什么？按 照什么顺序介绍？
• 请看投影.同学们思考的基本线索可能是：什么是实数→几何 表示→特殊的实数→简单的相互关系等．）
• 反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的 重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性 质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通 过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．
• 如果采用全新的思维视角，恰当的教与学，可以使得向量不仅 生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.
• 建议教学时，可以渗透在具体内容中，不必作抽象讲解， 以避免空洞说教．
• §2.1是《平面向量》的最基本内容，教材首先从学生熟知的力、位 移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了 平面向量的有关知识.
• 这节课将直接影响到我们对向量的进一步研究和学习，如向量间 关系、向量的加法、减法以及乘法等运算，还有向量的坐标运算 等．
• 基于以上分析，具体教学时，需要设计一个能让学生开展概括活 动的过程，引导他们经历从具体事例（位移、力、速度等）中领 悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表 示，类比数的集合认识“向量的集合”，类比直线（段）的基本关 系认识向量的基本关系．
• 要使学生从中体会到学情分析】从§2.1内容上看，“平面向量的实际背景及基本概念”概 念多但不难理解，但从“概念的形成”的角度看，本节内容，重要的 不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、 认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实 事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程．
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二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. A(起点) B （终点）
a
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有
．．
向线段的起点无关
．．．．．．．．.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的
．．．．．．
起点无关）
．．．．．.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
（四）理解和巩固：
例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形
的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
,）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（,
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
①向量与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥
不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.。