2020年高中数学人教A版选修4-1练习(九) 弦切角的性质 Word版含解析

合集下载

数学人教A版选修4-1学案课堂导学第二讲第四节弦切角的性质 Word版含解析

课堂导学三点剖析一、弦切角定理【例】如图、切⊙于、,∠°,则∠等于()图°°°°思路分析：连结,∠与∠分别处于两个三角形,它们之间的联系途径就是弦切角. 解:连结.∵是弦、切圆于、,∴∠∠,∠∠.∴∠∠.在△中,∠(°∠)°,∴∠∠°.答案二、弦切角定理综合运用【例】如图切⊙于是⊙的割线,在上截取,求证:∠∠.图证明：∵,∴∠∠.∵∠∠∠,∠∠∠,∴∠∠∠∠.又∵切⊙于为弦,∴∠∠.∴∠∠.三、本节数学思想选讲【例】如图,已知为⊙直径为延长线上一动点,过点作⊙的切线,设切点为.()请你连结,作∠的平分线,交于点,测量∠的度数.()当在延长线上运动时,∠的度数作何变化?请你猜想,并证明.图解析:()作图,并测量,∠°.()∠不随在延长线上的位置变化而变化,即∠°是一个定值.证明:连结交于,∵∠是△的外角,∴∠∠∠.同理,∠∠∠.但∠∠.又∵是弦与⊙切于,∴∠∠.∴∠∠.∴.∵是直径,∴∠°.∴△是等腰直角三角形.∴∠°.各个击破类题演练如图,△为⊙的内接三角形为直径为延长线上一点切⊙于点,∠°,则∠等于()图°°°°解析:∵是直径,∴∠°.∴∠∠°,∠∠°.∵是切线为弦,∴∠∠.∴∠∠°.答案类题演练如图⊥直径为⊙切线为切点,求证:∠∠.图证明:连结,∵是直径,∴∠°.∴∠∠°.∵⊥,∴∠°.∴∠∠°.∴∠∠.又∵切⊙于是弦,∴∠∠.∴∠∠.类题演练在△中,∠的平分线与△的外接圆相交于,过作圆的切线.求证∥.。

高中数学人教A版选修4-1学案第2讲 4 弦切角的性质 Word版含解析

四弦切角的性质
．掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题．(重点)
．体会分类思想，运动变化思想和化归思想．(难点)
[基础·初探]
教材整理弦切角定理
阅读教材～，完成下列问题．
．弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．．弦切角定理
()文字语言叙述：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
()图形语言叙述：
如图--，与⊙切于点，则∠＝∠.
图--
．在⊙外，切⊙于，交⊙于，，则( )
．∠＝∠．∠＝∠
．∠＝∠．∠＝∠
【解析】由弦切角定理知∠＝∠.
【答案】
．如图--所示，与⊙相切于点，和是⊙上两点，∠＝°，则∠等于( )
图--
．°．°
．°．°
【解析】根据弦切角定理：∠＝∠＝°.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
如图--，是半圆的直径，是圆周上一点(异于，)，过作圆的切线，过作直线的垂线，垂足为，交半圆于点，求证：＝.。

高中数学选修4-1(人教版)练习：第二讲2.4弦切角的性质

第二讲直线与圆的位置关系2.4 弦切角的性质A级基础巩固一、选择题1．如图所示，MN与⊙O相切于点M，Q和P是⊙O上两点，∠P QM＝70°，则∠NMP等于( )A．20°B．70°C．110°D．160°解析：根据弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70°.答案：B2.如图所示，过圆内接△ABC的顶点A引切线交BC的延长线于点D，若∠B＝35°，∠ACB＝80°，则∠D等于( )A．45°B． 50°C．55°D．60°解析：因为AD是圆的切线，所以∠DAC＝∠B＝35°.又因为∠D＋∠DAC＝∠ACB，所以∠D ＝∠ACB －∠DAC ＝80°－35°＝45°. 答案：A3.如图所示，AB 为圆的直径，弦AC 与AB 成30°角，DC 切圆于点C ，AB ＝5 cm ，则BD 等于( )A ．10 cmB ．5 cm C.52cm D ．1 cm解析：连接BC (如图)，则∠ACB ＝90°， ∠BCD ＝30°＝∠D ，故BD ＝BC ＝52cm.答案：C 4．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，EC 切⊙O 于点C .若∠BOC ＝76°，则∠BCE 等于( )A ．14°B ．38°C ．52°D ．76° 解析：因为EC 为⊙O 的切线，所以∠BCE ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝38°.答案：B5.如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如图所示∠CAB＝55°，那么∠AOB等于( )A．55°B．90°C．110°D．120°解析：延长AO交⊙O于D，连接BD(如图)，因为AC切⊙O于A，AB是弦，所以∠D＝∠CAB.又∠D＝12∠AOB，所以∠AOB＝2∠CAB＝110°.答案：C二、填空题6．如图所示，EB，EC是圆O的两条切线，B，C是切点，A，D 是圆O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A＝____．解析：连接OB，OC，AC(如图)，根据弦切角定理，∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.答案：99°7．如图所示，已知圆O 的直径AB ＝5，C 为圆周上一点，BC ＝4，过点C 作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD ＝________．解析：由弦切角定理，有∠ACD ＝∠B ，所以CD AC ＝cos ∠ACD ＝cos B ＝BC AB .所以CD52－42＝45.故CD ＝125.答案：125 8．如图所示，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，A D ⊥CE 于D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．解析：由弦切角定理，有∠ACD＝∠ABC＝30°，所以AC＝2AD，AB＝2AC，即AB＝4，圆O的面积S＝π·(42)2＝4π.答案：4π三、解答题9．如图所示，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，在PC上截取PD＝PA，求证：∠1＝∠2.证明：因为PA＝PD，所以∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠C＋∠1，∠PAD＝∠PAB＋∠2，所以∠C＋∠1＝∠PAB＋∠2.又PA切⊙O于点A，AB为弦，所以∠PAB＝∠C.所以∠1＝∠2.10.如图所示，已知AB切⊙O于B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O 于D，DE是⊙O的切线，CE⊥DE于E，DE＝3，CE＝4，求AB的长．解：因为CE ⊥DE 于E ， DE ＝3，CE ＝4，所以CD ＝5. 连接BD (如图)．因为DE 切⊙O 于点D ，所以∠EDC ＝∠DBC . 又因为BC 为⊙O 的直径，所以∠BDC ＝90°. 所以Rt △BDC ∽Rt △DEC .所以CD BC ＝CE CD ＝DE BD ，即5BC ＝45＝3BD .所以BC ＝254，BD ＝154.又因为AB 与⊙O 相切于点B ，所以AB ⊥BC .所以AC ＝12516.所以AB ＝7516.B 级能力提升1.如图所示，已知AB ，AC 与⊙O 相切于点B ，C ，∠A ＝50°，点P 是⊙O 上异于点B ，C 的一个动点，则∠BPC 的度数是( )A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°解析：当点P 在优弧BC ︵上时，由∠A ＝50°，得∠ABC ＝∠ACB ＝65°.因为AB 是⊙O 的切线，所以∠ABC ＝∠BPC ＝65°.当P 点在劣弧BC ︵上时，∠BPC ＝115°. 答案：C2.如图所示，已知AB 和AC 分别是⊙O 的弦和切线，点A 为切点，AD 为∠BAC 的平分线，且交⊙O 于点D ，BD 的延长线与AC 交于点C ，AC ＝6，AD ＝5，则CD ＝________．解析：由弦切角定理，有∠CAD ＝∠B .又∠C ＝∠C ，则△ACD ∽△BCA ，所以CD AC ＝AC BC，又∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，则BC ＝CD ＋BD ＝CD ＋AD . 设CD ＝x ，则x 6＝6x ＋5，x ＝4或－9(舍去)，故CD ＝4. 答案：43.如图所示，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E .(1)试探究AE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(2)已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案：①你选用的已知数据是________； ②写出求解过程(结果用字母表示)．解：(1)AE 与⊙O 相切．理由：连接OC (如图)．因为CD∥OA，所以∠AOC＝∠OCD，∠ODC＝∠AOB.又因为OD＝OC，所以∠ODC＝∠OCD.所以∠AOB＝∠AOC.在△AOC和△AOB中OA＝OA，∠AOC＝∠AOB，OC＝OB，所以△AOC≌△AOB，所以∠ACO＝∠ABO.因为AB与⊙O相切，所以∠ACO＝∠ABO＝90°.所以AE与⊙O相切．(2)①选择a、b、c，或其中2个．②解答举例：若选择a、b、c，法一：由CD∥OA，ac＝br，得r＝bca.法二：在Rt △ABE 中，由勾股定理(b ＋2r )2＋c 2＝(a ＋c )2，得r ＝a2＋2ac －b2. 法三：由Rt △OCE ∽Rt △ABE ， a r ＝b ＋2r c ，得r ＝－b ＋b2＋8ac4. 若选择a 、b .法一：在Rt △OCE 中，由勾股定理得： a 2＋r 2＝(b ＋r )2，得r ＝a2－b22b；法二：连接BC ，由△DCE ∽△CBE ，得r ＝a2－b22b .。

高中同步数学课时训练：2.4弦切角的性质(人教A版选修4

知能巩固提升(九)/课后巩固作业(九)（时间：45分钟满分：100分）一、选择题(每小题6分，共36分)1.如图，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P=40°，则∠ACP等于( )(A)20° (B)25°(C)30° (D)40°2.如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB是直径，MN是切圆于C点的切线，若∠BCM=38°,则∠B=( )(A)32° (B)42°(C)52° (D)48°3.已知如图，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C，B两点，且PCB过点O，AE ⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA=2，AC是⊙O的直径，PC 交⊙O 于点B ，∠PAB ＝30°，则⊙O 的半径为( ) (A)1 (B)2(()C D 5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC=BC ，则sin ∠MCA=( )()()()()1A B C D 22256.(易错题)如图，已知AB ，AC 与⊙O 分别相切于B ，C ，∠A=50°，点P 是⊙O 上异于B ，C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )(A)65° (B)115° (C)65°或115° (D)130°或50° 二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·广东高考)如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B,D 是弦AC 上的点，∠PBA=∠DBA,若AD=m,AC=n,则AB=______.8.如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE=40°，则∠P=____.9.如图，△ABC是圆O的内接三角形，圆O的半径r=1,AB=1,BC=EC是圆O 的切线，则∠ACE=______.三、解答题(每小题14分，共28分)10.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC 与BD相交于点E.求证:△ABE≌△ACD.11.如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥CD;(2)若AD=2,AC=求AB的长.【挑战能力】(18分)如图，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A、B 为垂足的直线AD、BC交于D、C两点，过M点作NM⊥CD交AB于点N，求证：MN2=AD·BC.答案解析1.【解析】选B.连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC.∴∠OCP=90°，∴∠P+∠COP=90°，∴∠COP=90°-∠P=50°.又∵∠PCA是弦切角，∴∠PCA=∠AOC=25°.2.【解析】选C.连接AC.∵∠BCM=38°，MN是⊙O的切线，∴∠BAC=38°，∵AB为⊙O的直径，∴∠B=90°-38°=52°.3.【解析】选C.其中∠B，∠AEC都与∠CAP相等，连接OA，OE，则△AOE为等腰三角形.∵OC⊥AE，∴OC垂直平分AE，∴△ACE为等腰三角形，∴∠EAC=∠AEC=∠CAP.4. 【解析】选C.∵AB 是弦，且PA 与⊙O 相切于点A ， ∴∠C=∠PAB ＝30°，又∵AC 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥AP ， ∴在Rt △PAC 中，AP 2AC tan C tan30===︒∴⊙O 的半径为5. 【解析】选D.由弦切角定理，得∠MCA=∠ABC.∵AC sin ABC AB 5∠====故选D. 【误区警示】本题易错选A.错因是由AC=BC ，易错误得出∠B=30°，故得出sin ∠MCA=sin B=sin 30°=. 6. 【解析】选C.当点P 在优弧上时，由∠A=50°，得∠ABC=∠ACB=65°， ∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠ABC=∠BPC=65°.当P 点在劣弧上时，∠BPC=115°.故选C.【误区警示】本题容易错选A.容易忽视点P 在劣弧上的情况而导致漏解. 7.【解题指南】本题要注意利用圆的几何性质，判断出∠PBA=∠ACB=∠ABD,从而证出△ABD ∽△ACB ，这是解答此题的关键. 【解析】由题意知∠PBA=∠ACB=∠ABD ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AD ABAB AB AC===，所以答案：8.【解析】如图所示，连接BC，则∠ACE=∠ABC，∠ACB=90°.又∠ACE=40°，∴∠ABC=40°.∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-40°=50°，∠ACP=180°-∠ACE=140°.又∵AB是⊙O的直径，则∠ABP=90°.又∵四边形ABPC的内角和等于360°，所以∠P+∠BAC+∠ACP+∠ABP=360°.所以∠P=80°.答案：80°9.【解析】连接OA,OB,OC,∵OA=OB=1,AB=1,∴△AOB为等边三角形,∴∠AOB=60°.∵OB=OC=1,BC=∴∠BOC=90°,∴∠AOC=30°,∵EC是圆O的切线,∴∠ACE=∠AOC=15°.答案：15°10.【证明】在△ABE和△ACD中,AB=AC,∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠EDC, ∵BD∥MN,∴∠EDC=∠DCN,∵直线MN是圆的切线,∴∠DCN=∠CAD,∴∠BAE=∠CAD,∴△ABE≌△ACD.【方法技巧】如何证明两个三角形全等(1)依据：①SAS;②ASA;③AAS;④SSS;⑤直角三角形HL.(2)思路:①首先分析两个要证全等的三角形中已经给出的条件.②在已有条件的基础上找出或证出与它们搭配的其他条件.③对“SAS”定理，应用时不要出现用“SSA”的错误.11.【解析】(1)如图,连接BC.∵直线CD与⊙O相切于点C,∴∠DCA=∠B.∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.∴∠ADC=∠ACB.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ADC=90°,即AD⊥CD.(2)∵∠DCA=∠B,∠DAC=∠CAB,∴△ADC∽△ACB.∴∴AC2=AD·AB.∵AD=2, 【挑战能力】【解题指南】本题首先需根据条件证明△ADM ∽△MNB,然后再证明进而得到所证的结果.【证明】连接AM 、MB ，∵DA ⊥AB ，MN ⊥CD ， ∴∠MDA+∠MNA=180°，又∵∠MNA+∠MNB=180°， ∴∠MDA=∠BNM ，又∵CD 为⊙O 的切线，∴∠1=∠2， ∴△ADM ∽△MNB,∴AD AM MN AM,MN BM BC BM==同理：，∴即有MN 2=AD ·BC.。

数学人教A版选修4-1学案课堂探究第二讲四弦切角的性质 Word版含解析

课堂探究探究一弦切角定理在使用弦切角定理时，关键是要弄清哪个角是弦切角，这样才能正确解决问题．【典型例题】如图，是⊙的切线，是⊙的弦，过作的垂线，垂足为，与⊙相交于点，平分∠，且＝，求△各边的长．思路分析：∠为弦切角，于是∠＝∠，再由平分∠和△是直角三角形可求得∠的度数，进而解直角三角形即可．解：∵为⊙的切线，∴∠＝∠.∵平分∠，∴∠＝∠.又∵∠＋∠＝°，∴∠＝∠＝°.则有＝，＝，＝，＝.点评在题目中出现了圆的切线，常用弦切角定理解决问题．探究二弦切角定理的应用在证明与圆有关的命题时，弦切角定理与圆周角定理等经常要综合应用，正确找出符合定理条件的角是应用定理的前提．【典型例题】已知△内接于⊙，∠的平分线交⊙于，的延长线交过点的切线于.求证：＝.思路分析：直接证明此等式有一定的难度，可以考虑把它分解成两个比例式的形式，然后借助相似三角形的性质得出结论．证明：连接，如图所示．∵是∠的平分线，∴∠＝∠.又∠＝∠，∠＝∠，∴∠＝∠.∴＝.又为⊙的切线，∴∠＝∠，∴∠＝∠.故在△和△中，∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△.∴＝，＝，∴＝.又＝，∴＝.点评已知直线与圆相切，证明线段成比例时，常先利用弦切角定理和圆周角定理获得角相等，再通过三角形相似得到成比例线段．探究三易错辨析易错点：忽视弦切角的一边是切线【典型例题】如图所示，△内接于⊙，⊥，∠＝°，∠＝°，则∠＝.错解：∵⊥，∴∠是弦切角．∴∠＝∠.又∠＝°，∴∠＝°.错因分析：错解中，误认为∠是弦切角，其实不然，虽然⊥，但不是切线．正解：∵∠＋∠＋∠＝°，∴∠＝°－∠－∠＝°.又⊥，∴∠＋∠＝°.∴∠＝°－∠＝°－°＝°.。

数学人教A版选修4-1课后导练：第二讲第四节弦切角的性

课后导练基础达标1.如图2-4-7,PC 与⊙O 相切于C 点,割线PAB 过圆心O,∠P=40°,则∠ACP 等于( )图2-4-7 A.20° B.25° C.30° D.40° 解析:连结OC,∵PC 切⊙O 于C,∴OC ⊥PC. ∴∠OCP=90°.∴∠P+∠COP=90°. ∴∠COP=90°-∠P=50°. 又∵∠PCA 是弦切角, ∴∠PCA=21∠AOC=25°. 答案:B2.如图2-4-8,四边形ABCD 是圆内接四边形,AB 是直径,MN 是⊙O 切线,C 为切点,若∠BCM=38°,则∠B 等于( )图2-4-8 A.32° B.42° C.52° D.48° 解析:连结AC,∵MN 切圆于C,BC 是弦, ∴∠BAC=∠BCM.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. ∴∠B+∠BAC ＝90°. ∴∠B+∠BCM=90°. ∴∠B=90°-∠BCM=52°. 答案:C3.如图2-4-9,CA 为⊙O 的切线,切点为A,点B 在⊙O 上,如果∠CAB=55°,那么∠AOB 等于( )图2-4-9A.55°B.90°C.110°D.120° 解析:延长AO 交⊙O 于D,连结BD,∵AC 切⊙O 于A,AB 是弦, ∴∠D=∠CAB. 又∵∠D=21∠AOB, ∴∠AOB=2∠CAB=110°. 答案:C4.如图2-4-10,∠ABC=90°,O 是AB 上一点,⊙O 切AC 于D,交AB 于E,连结DB 、DE 、OC,则图中与∠CBD 相等的角共有( )图2-4-10A.1个B.2个C.3个D.4个解析:∵AB ⊥BC,∴BC 与⊙O 相切,BD 为弦. ∴∠CBD=∠BED. 同理,∠CDB=∠BED. ∴∠CBD=∠CDB. 又OC ⊥BD,DE ⊥BD, ∴DE ∥OC.∴∠BED=∠BOC. ∴∠CBD=∠BOC. ∴共3个. 答案:C5.如图2-4-11,AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C,∠A=50°,点P 是圆上异于B 、C 的一动点,则∠BPC 的度数是( )图2-4-11A.65°B.115°C.65°或115°D.130°或50° 解析:点P 可能位置有两种情况,点P 在优弧上或在劣弧上.图2-4-12(1)如图2-4-12,在优弧上, ∵AB 、AC 是切线,∴∠ABC=∠P 1,∠ACB=∠P 1,∠ABC=21(180°-∠A)=65°. (2)如图2-4-13,在劣弧上,可在优弧上任取一点Q,图2-4-13由(1)知∠Q=65°,∵四边形BP 2CQ 内接于圆O, ∴∠BP 2C+∠Q=180°. ∴∠BP 2C=180°-∠Q=115°. 综上,∠BPC=65°或115°. 答案:C 温馨提示本题运用了运动变化思想、分类思想和化归思想. 综合运用6.如图2-4-14,AD 是圆内接△ABC 的∠A 的平分线,交圆于D,E 为BC 中点,BF 为圆的切线,DF ⊥BF. 求证:DE=DF.图2-4-14证明:连结BD,∵BF 是切线,BD 是弦, ∴∠DBF=∠BAD. ∵=,∴∠DBC=∠DAC.又∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠DAC.∴∠DBF=∠DBE, 即BD 是∠EBF 的平分线. ∵∠BAD=∠DAC,∴=,即D 是中点.∵E 是BC 中点,∴DE ⊥BC. ∴DE=DF.7.如图2-4-15,梯形ABCD 中,AB ∥DC,AD=BC,以AD 为直径的⊙O 交AB 于点E,⊙O 的切线EF 交BC 于F,求证:EF ⊥BC.图2-4-15证明:∵AD是直径,∴∠AED=90°.∴∠DEF+∠BEF=90°.∵EF切⊙O于点E,DE是弦,∴∠DEF=∠A.∴∠A+∠BEF=90°.∵AD=BC,AB∥DC,∴∠B=∠A.∴∠B+∠BEF=90°.∴∠BFE=90°.∴EF⊥BC.8.两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B、C.求证:∠APB=∠CPD.图2-4-16证明:过P作两圆的公切线MN.∵PB是小圆弦,MN是切线,∴∠BPM=∠BCP.∵PA是大圆弦,MN是切线,∴∠APM=∠D.∴∠BPM-∠APM=∠BCP-∠D.又∠BCP=∠D+∠CPD,∴∠BCP-∠D=∠CPD.∴∠APB=∠CPD.9.如图2-4-17,AB是⊙O的弦,CD是经过⊙O上一点M的切线.图2-4-17求证:(1)AB∥CD时,AM=MB.(2)AM=MB时,AB∥CD.证明:(1)∵AB∥CD,∴∠A=∠AMC.∵CD切⊙O于M,AM是弦,∴∠AMC=∠B.∴∠A=∠B.∴AM=BM.(2)∵AM=MB,∴∠A=∠B.又∵CD切⊙O于M,AM是弦,∴∠AMC=∠B.∴∠AMC=∠A.∴AB∥CD.拓展探究10.如图2-4-18,AB是半圆O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合),点Q在半圆O上运动且总保持PQ=PO,过Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C.图2-4-18(1)当∠QPA=60°时,请你对△QCP的形状作出猜想,并证明;(2)当QP⊥AO时,△QCP的形状是___________三角形.(3)由(1)、(2)得出的结论,请你进一步猜想,当点P在线段AM上运动到任何位置时△QCP一定是___________三角形.解析:(1)△QCP是等边三角形,证明:连结OQ,则CQ⊥OQ.∵PQ=PO,∠QPC=60°,∴∠POQ=∠PQO=30°.∴∠C=∠CQO-∠POQ=60°.∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°.∴△QPC是等边三角形.(2)等腰直角(解析:略)(3)等腰(解析:略)备选习题11.如图2-4-19,BC为⊙O直径,DE切⊙O于A点,BD⊥DE于D,若∠ABD=50°,则的度数为_________________.图2-4-19解析:∵BD⊥DE,∴∠BDA=90°.∴∠ABD+∠BAD=90°.∴∠BAD=90°-50°=40°.∵AB是弦,AD是切线,∴∠C=∠BAD=40°.∴BC是直径.∴∠BAC=90°.∴∠C+∠ABC=90°.∴∠ABC=90°-∠C=50°.∴的度数为100°.答案:100°12.如图2-4-20,AB为⊙O的直径,DA、DE为⊙O两切线,A、C为切点,A、B、E共线,若的度数为60°,则∠CAD的度数为____________,∠E的度数为_____________.图2-4-20解析:∵度数为60°,∴∠BAC=30°,∠BCE=30°.∵AD为切线,∴BA⊥AD.∴∠BAC+∠CAD=90°.∴∠CAD=90°-∠BAC=60°.∵AB为直径,∴∠ACB=90°.∴∠ABC=90°-∠BAC=30°.∴∠E=∠ABC-∠BCE=30°.答案:60°30°13.两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于C，求证：∠APC＝∠CPB.图2-4-21证明:过P作两圆公切线MN,设PB交小圆于D,连结CD.∵PC是小圆弦,MN切小圆于P,∴∠MPC=∠PDC.∵PA是大圆弦,MN切大圆于P,∴∠MPA=∠B.∴∠MPC-∠MPA=∠PDC-∠B.∵∠PDC=∠B+∠BCD,∴∠PDC-∠B=∠BCD.∴∠APC=∠BCD.又AB切小圆于C，CD是小圆弦,∴∠BCD=∠CPB.∴∠APC=∠CPB.14.如图2-4-22,△ABC中,过A与BC相切于D的圆分别交AB、AC于E、F,且EF∥BC. 求证:AD平分∠A.图2-4-22证明:连结DF,∵BC 切圆于D,DF 是弦, ∴∠3=∠2.∵EF ∥BC,∴∠3=∠4. 又∠1=∠4,∴∠1=∠2,即AD 平分∠BAC.15.如图2-4-12(1),OA 和OB 是⊙O 的半径,且OA ⊥OB,P 是OA 上任一点,BP 的延长线交⊙O 于Q,过Q 的⊙O 的切线交OA 的延长线于R,易证RP=RQ(不要求证明). (1)现将PA 向上平移至图2-4-23(2)位置,结论还成立吗?若成立,请证明.(2)若将PA 向上平移至⊙O 外,结论还成立吗?如图2-4-23(3),若成立,请证明.(1) (2) (3)图2-4-23解析:(1)成立.证明:连结OQ,则QR ⊥OQ. ∴∠PQR+∠BQO=90°.∵∠RPQ=∠1,∠1+∠B=90°, ∴∠RPQ+∠B=90°.又OB=OQ,∴∠B=∠BQO. ∴∠PQR=∠RPQ.∴RP=RQ. (2)结论仍然成立.证明:连结OQ,则OQ ⊥RQ. ∴∠RQO=90°.∴∠RQP+∠BQO=90°.∵OA ⊥PA,∴∠P+∠ABP=90°. 又∠PBA=∠OBQ,∵OB=OQ, ∴∠OBQ=∠OQB.∴∠P=∠PQR.∴RP=RQ.。

数学人教A版选修4-1学案：课堂导学第二讲第四节弦切角的性质含解析精品

课堂导学三点剖析一、弦切角定理【例1】如图2-4-1,PA 、PB 切⊙O 于A 、B,∠P=50°,则∠D 等于( )图2-4-1A.65°B.75°C.40°D.30°思路分析：连结AB,∠P 与∠D 分别处于两个三角形,它们之间的联系途径就是弦切角. 解:连结AB.∵AB 是弦,PA 、PB 切圆于A 、B,∴∠ABP=∠D,∠BAP=∠D.∴∠ABP=∠BAP.在△ABP 中,∠ABP=21 (180°-∠P)=65°, ∴∠D=∠ABP=65°.答案:A二、弦切角定理综合运用【例2】如图2-4-3,PA 切⊙O 于A,PBC 是⊙O 的割线,在PC 上截取PD=PA,求证:∠1=∠2.图2-4-3证明：∵PA=PD,∴∠PAD=∠PDA.∵∠PDA=∠C+∠1,∠PAD=∠PAB+∠2,∴∠C+∠1=∠PAB+∠2.又∵PA 切⊙O 于A,AB 为弦,∴∠PAB=∠C.∴∠1=∠2.三、本节数学思想选讲【例3】如图2-4-5,已知AB 为⊙O 直径,P 为AB 延长线上一动点,过点P 作⊙O 的切线,设切点为C.(1)请你连结AC,作∠APC 的平分线,交AC 于点D,测量∠CDP 的度数.(2)当P 在AB 延长线上运动时,∠CDP 的度数作何变化?请你猜想,并证明.图2-4-5解析:(1)作图,并测量,∠CDP=45°.(2)∠CDP不随P在AB延长线上的位置变化而变化,即∠CDP=45°是一个定值.证明:连结BC交PD于E,∵∠CDP是△ADP的外角,∴∠CDP=∠A+∠2.同理,∠CED=∠1+∠3.但∠1=∠2.又∵BC是弦,PC与⊙O切于C,∴∠3=∠A.∴∠CDE=∠CED.∴CD=CE.∵AB是直径,∴∠DCE=90°.∴△CDE是等腰直角三角形.∴∠CDE=45°.各个击破类题演练1如图2-4-2,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为直径,D为BC延长线上一点,PC切⊙O于C 点,∠PCD=20°,则∠A等于( )图2-4-2A.20°B.25°C.40°D.50°解析:∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠PCD+∠ACP=90°,∠A+∠B=90°.∵PC是切线,AC为弦,∴∠ACP=∠B.∴∠A=∠PCD=20°.答案:A类题演练2如图2-4-4,AD⊥直径CE,AB为⊙O切线,A为切点,求证:∠1=∠2.图2-4-4证明:连结AE,∵CE是直径,∴∠CAE=90°.∴∠E+∠ACE=90°.∵AD⊥EC,∴∠ADC=90°.∴∠2+∠ACE=90°.∴∠2=∠E.又∵AB切⊙O于A,AC是弦,∴∠1=∠E.∴∠1=∠2.类题演练3在△AEF中,∠A的平分线AD与△AEF的外接圆相交于D,过D作圆的切线BC. 求证:EF∥BC.图2-4-6解析:欲证EF∥BC,只需证∠AEF=∠B,∠B在圆外,考虑弦切角.证明:连结DF,∵BC切⊙O于点D,DF为弦,∴∠ADB=∠AFD.∵AD平分∠A,∴∠1=∠2.∴△ABD∽△ADF.∴∠ADF=∠B.又∵=,∴∠AEF=∠ADF.∴∠AEF=∠B.∴EF∥BC.温馨提示从本题题设出发,还有很多结论,读者可自行推导.。

数学人教A版选修4-1学案：课堂探究第二讲四弦切角的性质含解析精品

课堂探究探究一弦切角定理在使用弦切角定理时，关键是要弄清哪个角是弦切角，这样才能正确解决问题．【典型例题1】如图，AD 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的弦，过C 作AD 的垂线，垂足为B ，CB 与⊙O 相交于点E ，AE 平分∠CAB ，且AE ＝2，求△ABC 各边的长．思路分析：∠BAE 为弦切角，于是∠BAE ＝∠C ，再由AE 平分∠CAB 和△ABC 是直角三角形可求得∠C 的度数，进而解直角三角形即可．解：∵AD 为⊙O 的切线，∴∠BAE ＝∠ACB .∵AE 平分∠CAB ，∴∠BAC ＝2∠BAE .又∵∠ACB ＋∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝∠C ＝30°.则有BE ＝1，AB ＝3，BC ＝3，AC ＝2 3.点评在题目中出现了圆的切线，常用弦切角定理解决问题．探究二弦切角定理的应用在证明与圆有关的命题时，弦切角定理与圆周角定理等经常要综合应用，正确找出符合定理条件的角是应用定理的前提．【典型例题2】已知△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D ，CD 的延长线交过B 点的切线于E .求证：CD 2BC 2＝DE CE. 思路分析：直接证明此等式有一定的难度，可以考虑把它分解成两个比例式的形式，然后借助相似三角形的性质得出结论．证明：连接BD ，如图所示．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD .又∠BCD ＝∠BAD ，∠CBD ＝∠CAD ，∴∠BCD ＝∠CBD .∴BD ＝CD .又BE 为⊙O 的切线，∴∠EBD ＝∠BAD ，∴∠EBD ＝∠BCD .故在△BED 和△CEB 中，∠EBD ＝∠ECB ，∠BED ＝∠CEB ，∴△BED ∽△CEB .∴BD BC ＝BE CE ，BD BC ＝DE BE，∴⎝⎛⎭⎫BD BC 2＝DE CE . 又BD ＝CD ，∴CD 2BC 2＝DE CE. 点评已知直线与圆相切，证明线段成比例时，常先利用弦切角定理和圆周角定理获得角相等，再通过三角形相似得到成比例线段．探究三易错辨析易错点：忽视弦切角的一边是切线【典型例题3】如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥AC ，∠C ＝32°，∠B ＝110°，则∠BAD ＝__________.错解：∵AD ⊥AC ，∴∠BAD 是弦切角．∴∠BAD ＝∠C .又∠C ＝32°，∴∠BAD ＝32°.错因分析：错解中，误认为∠BAD 是弦切角，其实不然，虽然AD ⊥AC ，但AD 不是切线．正解：∵∠C ＋∠B ＋∠BAC ＝180°，∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝38°.又AD⊥AC，∴∠BAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAD＝90°－∠BAC＝90°－38°＝52°.。

数学人教A版选修4-1课后训练：2.4弦切角的性质含解析

课后训练1．如图，O 的半径为2 cm,O 切AC 于D ，切BE 于E ，∠ACB ＝60°,则CE 的长为（）．A ．3cmB ．23cm 3C ．3cm 3D ．23cm2．如图,AB 是O 的直径,直线EF 切O 于B ，C 、D 为O 上的点，∠CBE ＝40°，AD CD =,则∠BCD 的度数是( )．A ．110°B ．115°C ．120°D ．135°3．如图，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，EF 切O 于C 点，那么图中与∠DCF 相等的角的个数是( )．A ．4B ．5C ．6D ．74．如图，BD 为O 的直径，AB 、AE 切O 于B 、C ，∠BDC ＝65°,则∠BAC ＝________。

5．如图，已知AB 与O 相切于点M ，MC MD =，且MC 、MD 为14圆周长,则∠AMC ＝__________。

6．已知,如图，△ABC内接于O,DC切O于C点，BC平分∠ACD，则△ABC为________．7．如图，AB是O的直径，CD是O的切线，C为切点，AC 平分∠BAD．求证：AD⊥CD．8．如图，P是O的半径OA上的一点，D在O上，且PD＝PO.过点D作O的切线交OA的延长线于点C，延长DP交O于K，连接KO，OD．(1）证明：PC＝PD；(2)若该圆的半径为5，CD∥KO，求出OC的长．如图,BC为O的直径,AB AD=，过点A的切线与CD的延长线交于点E.(1）试猜想∠AED是否等于90°？为什么？（2）若25AD=，ED∶EA＝1∶2，求O的半径．(3）在（2）的条件下求∠CAD的正弦值．参考答案1.答案：B解析：∵CD、CE是O的切线，∴OC平分∠ECD．∴∠OCE＝12∠ECD＝12(180°－∠ACB)＝12(180°－60°）＝60°.∴CE＝OE cot60°＝323233⨯=(cm）．2。

数学人教A版选修4-1课后导练：第二讲第四节弦切角的性质含解析

课后导练基础达标1。

如图2-4—7，PC与⊙O相切于C点,割线PAB过圆心O，∠P=40°，则∠ACP等于（）图2—4-7A.20° B。

25°C。

30°D.40°解析:连结OC,∵PC切⊙O于C，∴OC⊥PC.∴∠OCP=90°。

∴∠P+∠COP=90°。

∴∠COP=90°-∠P=50°。

又∵∠PCA是弦切角,1∠AOC=25°.∴∠PCA=2答案：B2.如图2—4-8,四边形ABCD是圆内接四边形，AB是直径,MN是⊙O 切线,C为切点,若∠BCM=38°,则∠B等于（)图2-4—8A.32°B。

42° C.52°D。

48°解析：连结AC，∵MN切圆于C，BC是弦，∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC＝90°.∴∠B+∠BCM=90°。

∴∠B=90°—∠BCM=52°.答案:C3.如图2-4—9,CA为⊙O的切线,切点为A,点B在⊙O上,如果∠CAB=55°,那么∠AOB等于（）图2—4—9A.55°B。

90° C.110°D。

120°解析：延长AO交⊙O于D，连结BD,∵AC切⊙O于A，AB是弦，∴∠D=∠CAB。

1∠AOB,又∵∠D=2∴∠AOB=2∠CAB=110°。

答案：C4.如图2-4-10，∠ABC=90°，O是AB上一点，⊙O切AC于D，交AB于E,连结DB、DE、OC,则图中与∠CBD相等的角共有( )图2-4-10A.1个B.2个C。

3个 D.4个解析：∵AB⊥BC，∴BC与⊙O相切,BD为弦.∴∠CBD=∠BED。

同理，∠CDB=∠BED。

∴∠CBD=∠CDB.又OC⊥BD，DE⊥BD,∴DE∥OC。

高中数学人教A版选修4-1学业分层测评9 弦切角的性质 Word版含解析.doc

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2-4-12所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝( )图2-4-12A.12 B.22 C.32D.55【解析】由弦切角定理，得∠MCA ＝∠ABC . ∵sin ∠ABC ＝AC AB ＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55，故选D.【答案】 D2．如图2-4-13，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，EF 切⊙O 于C 点，那么图中与∠DCF 相等的角的个数是( )图2-4-13A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 ∠DCF ＝∠DAC ，∠DCF ＝∠BAC ，∠DCF ＝∠BCE ， ∠DCF ＝∠BDC ，∠DCF ＝∠DBC .【答案】 B3.如图2-4-14所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD ＝2，AB＝6，则AC的长为()图2-4-14A．2 B．3C．2 3 D．4【解析】连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴ACAD＝ABAC，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝23，故选C.【答案】 C4．如图2-4-15，PC与⊙O相切于C点，割线P AB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于()【导学号：07370043】图2-4-15A．20°B．25°C．30°D．40°【解析】如图，连接OC，BC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°. ∵OC＝OB，∴∠B＝12∠POC＝25°，∴∠ACP＝∠B＝25°.【答案】 B5．如图2-4-16所示，已知AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A＝50°，点P 是⊙O上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是()图2-4-16A．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°【解析】当点P在优弧上时，由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°.故选C.【答案】 C二、填空题6.如图2-4-17所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.图2-4-17 【解析】∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB.∴ABAC＝ADAB，∴AB2＝AD·AC＝mn，∴AB＝mn.【答案】mn7．如图2-4-18，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上．AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________．图2-4-18【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD＝2OA＝4.【答案】 48.如图2-4-19，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.图2-4-19 【解析】连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵PB＝OB＝2，OC＝2，∴PC＝23，∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝2×234＝ 3.【答案】 3三、解答题9．如图2-4-20所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT，AT于C，D.图2-4-20求证：△CTD为等腰三角形．【证明】∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形．10．如图2-4-21，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A，B为垂足的直线AD，BC交于D，C两点，过M点作NM⊥CD交AB 于点N，求证：MN2＝AD·BC.图2-4-21 【证明】连接AM，MB，因为DA⊥AB，MN⊥CD，所以∠MDA＋∠MNA＝180°.又因为∠MNA＋∠MNB＝180°，所以∠MDA＝∠MNB，又因为CD为⊙O的切线，所以∠1＝∠2，所以△ADM∽△MNB，所以ADMN＝AMBM，同理MNBC＝AMBM，所以ADMN＝MNBC，即有MN2＝AD·BC.[能力提升]1．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB ＝30°，AP＝3，则CP＝() 【导学号：07370044】A.3B．2 3C．23－1 D．23＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥P A，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，在Rt△OP A中，由AP＝3，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝ 3.【答案】 A2．如图2-4-22，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为()图2-4-22A．1 B．2C．3 D．4【解析】连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P，∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP，得PC2＝PB·P A，即AC2＝PB·P A.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径为r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.【答案】 A3．如图2-4-23，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝__________.图2-4-23【解析】由P A为⊙O的切线，BA为弦，得∠P AB＝∠BCA.又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以PBAB＝ABBC.而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝35.【答案】354．如图2-4-24，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD 于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.图2-4-24证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.【证明】(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2.从而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt △BFE，所以BC＝BF.类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.。

高中数学人教A版选修4-1课时跟踪检测(九)弦切角的性质Word版含解析

解析：连接 BC， ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ACB＝ 90° . 又∠ ACE＝ 40° ， ∴∠ PCB＝∠ PBC ＝ 50° . ∴∠ P＝ 80° . 答案： 80°
6．如图，点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上，且 PB＝ OB＝ 2， PC 切圆 O 于 C 点， CD ⊥AB 于 D 点，则 CD＝ ________.
∴∠ DAE ＝ 90° ，
∠
ADF
＝
1 2(180°
－∠
ห้องสมุดไป่ตู้DAE
)＝
45°
.
(2) ∵∠ B＝∠ EAC ，∠ ACB＝∠ ACE，
∴△
ACE ∽△
BCA
.∴
AC BC
＝
AE AB.
又∵ AB＝ AC，
∴∠ B＝∠ ACB ＝23∠ ADF ＝ 30° .
∴在
Rt△ ABE
中， AC＝ AE ＝ tan BC AB
(1) 求∠ ADF 的度数； (2) 若 AB＝ AC，求 AC∶ BC. 解： (1)∵ AC 为圆 O 的切线， ∴∠ B＝∠ EAC . 又 DC 是∠ ACB 的平分线，
∴∠ ACD ＝∠ DCB .
∴∠ B＋∠ DCB ＝∠ EAC＋∠ ACD ，即∠ ADF ＝∠ AFD .
又∵ BE 为圆 O 的直径，
即 AC＝ 2 3.
4． P 在⊙ O 外， PM 切⊙ O 于 C，PAB 交⊙ O 于 A， B，则 ( )
A．∠ MCB ＝∠ B
B．∠ PAC＝∠ P
C．∠ PCA＝∠ B
D．∠ PAC＝∠ BCA
解析：选 C 由弦切角定理知∠ PCA＝∠ B.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

课时跟踪检测(九) 弦切角的性质
一、选择题
1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A，B，则()
A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠P
C．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA
解析：选C由弦切角定理知∠PCA＝∠B.
2．如图，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于()
A．20°B．25°C．30°D．40°
解析：选B连接OC.
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC.∵∠P＝40°，
∴∠POC＝50°.
连接BC，
则∠B＝1
2∠POC＝25°，
∴∠ACP＝∠B＝25°.
3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC 的长为()
A．2 B．3 C．2 3 D．4
解析：选C连接BC，则∠ACB＝90°，
又AD⊥EF，
∴∠ADC＝90°，
即∠ADC＝∠ACB，
又∵∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD，
∴AC
AD＝
AB
AC，
∴AC 2＝AD ·AB ＝12，即AC ＝2 3.
4．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A 连接BC .
∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P . ∵∠BCP ＝∠A ，∴∠BCP ＝∠P . ∴BC ＝BP ＝1. 由△BCP ∽△CAP 得 PC PA ＝PB PC . ∴PC 2＝PB ·PA ，即AC 2＝PB ·PA . 而AC 2＝AB 2－BC 2，设⊙O 半径为r ，
则4r 2－12＝1·(1＋2r )，解得r ＝1. 二、填空题
5．如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝________.
解析：连接BC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. 又∠ACE ＝40°， ∴∠PCB ＝∠PBC ＝50°. ∴∠P ＝80°. 答案：80°
6．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD
⊥AB于D点，则CD＝________.
解析：连接OC.
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC.
∵PB＝OB＝2，
OC＝2.
∴PC＝2 3.
∵OC·PC＝OP·CD，
∴CD＝2×23
4＝ 3.
答案： 3
7．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.
解析：由PA为⊙O的切线，BA为弦，
得∠PAB＝∠BCA，
又∠BAC＝∠APB，
于是△APB∽△CAB，
所以PB
AB＝
AB
BC.
而PB＝7，BC＝5，
故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝35.
答案：35
三、解答题
8.如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A，B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.
求证：CB＝CE.
证明：连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，
所以∠ACB＝90°，
即∠BCF＋∠ACD＝90°.
又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.
所以∠BCF＝∠DAC.
又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF，
又∠DAC＝∠CBE，
所以∠CBE＝∠CEB，
所以CB＝CE.
9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，
弦BD∥XY，AC，BD相交于点E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．
解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，
所以∠1＝∠2.
因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，
所以∠2＝∠3.
因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.
因为∠ABD＝∠ACD，
又因为AB＝AC，
所以△ABE≌△ACD.
(2)因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，
所以△BCE∽△ACB，所以BC
AC＝
CE
CB，
即AC·CE＝BC2.
因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，所以6·(6－AE)＝16.
所以AE＝10
3(cm)．
10.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A 点，DC是∠ACB的角平分线，交AE于点F，交AB于D点．
(1)求∠ADF的度数；
(2)若AB＝AC，求AC∶BC.
解：(1)∵AC为圆O的切线，
∴∠B＝∠EAC.
又DC是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠DCB.
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD. 又∵BE为圆O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∠ADF＝1
2(180°－∠DAE)＝45°.
(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE，
∴△ACE∽△BCA.∴AC
BC＝
AE
AB.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝2
3∠ADF＝30°.
∴在Rt△ABE中，AC
BC＝
AE
AB＝tan ∠B＝tan 30°＝
3
3.
.....................................
使用本文档删除后面的即可
致力于打造全网一站式文档服务需求，
为大家节约时间
文档来源网络仅供参考
欢迎您下载可以编辑的word文档
谢谢你的下载
本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，
打造全网一站式精品需求!
欢迎您的下载，资料仅供参考!
（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。