巧作图形 化繁为简
福田繁雄
--日本平面设计大师福田繁雄的海报语言简洁、幽默、巧妙并深刻，常以简练的线和面构成，具有强烈的视觉张力，充分显示了他对图形语言的驾驭能力。
福田把异质同构、视错觉等理念，以视觉符号的形式重现在其海报作品上，并将这些原理以客观和风趣的形式呈现，使简洁的图形成为信息传递的媒介，由此其设计作品兼具了艺术性与精神性的内涵。
福田作品突显魅力的法宝，是对错视原理的精到掌握和应用。
他善于运用图底关系、矛盾空间等错视原理，使其作品大放光彩。
正如福田自己所说的："我的作品，无论是平面的、还是立体作品的创作核心，都是围绕着以视觉感官的问题为前提来进行思考。
"因此，他不断地对视错觉进行探求，将不可能的空间与事物进行巧妙的组合达到视觉上的新知，将合理的与不合理的共同营造出奇异的视觉世界，在看似荒谬的视觉形象中透出一种理性的秩序感和连续性。
-异质同构原理的运用福田是将异质同构的设计理念，以视觉符号的形式呈现在其海报作品中的先驱。
在福田许多的海报作品中，可以看到他对该设计原理的巧妙运用。
置换是其运用异质同构设计理念的一种表现形式，是指选择一个常规、简洁的图形为基本形态，保持其骨骼不变，再根据创意，置换新的元素，组成新形。
这种表现手法，虽然物与形之间结构不变，但逻辑上的张冠李戴却使图形产生了更深远的意义。
其要点是借助一个基本形态，在保持基本形原来主要特征的前提下置换新的元素以完成再创造。
就形式而言，是以简约的结构包含复杂材料组合的有序整体。
）来共同诠释"图"与"底"的关系：即"图"与"底"发生反转并彼此融合成一个整体，进而产生双重的意象，同时也赋予整个画面无限扩展的空间感。
例如，在1975年为日本京王百货设计的宣传海报中（下图），福田就开始利用"图"、"底"间的互生互存的关系来探究错视原理。
画线段图巧解数学问题
学解决数学问题既是小学数学教学中的重点, 也是教学中的难点,有不少的数学问题, 文字叙述比较抽象, 数量关系比较复杂, 而小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段, 因此，他们对于一些抽象问题理解起来困难较大。
如果教师一味的从字面去分析题意, 用语言来表述数量关系, 即便是老师讲得口干舌燥, 学生也难以理解掌握。
即便是学生理解了, 也只是局限于会做某个题了。
如何帮助学生理解数学问题中抽象的数量关系，提高他们解决数学问题的能力，不言而喻，大家都会想到借助线段图，以线段图作为学生理解抽象数量关系的一个拐杖，而往往由于咱们的学生理解能力有限的问题，他们通常不善于借助线段图来分析数量关系，主要是由于他们对这种表示方法的“陌生感”所造成的。
为了让线段图成为学生学习应用题的一种工具，我们有必要考虑线段图的提前渗透问题。
关于线段图没有定义, 词典中也没有解释。
在新教材里，线段定义为直线上两点间的部分叫做线段，特点是有两个端点、有限长。
但关于线段图却没有定义，词典中也没有解释。
但我们可以这样理解:线段图是有几条线段组合在一起，用来表示具体问题中的数量关系，帮助学生理解题意，解答问题的一种平面图形，它的特点就是从抽象的文字到直观的图形的再创造、再演示过程。
明了线段图的特点之后，我们就要思考它在具体教学中有何价值。
一、线段图在解决问题中的重要作用。
新课程以来，线段图虽然在小学数学课堂教学中的使用逐渐减弱，但是在以解决问题为载体的数学教学中仍然具有重要的作用。
1 、有利于把抽象的概念形象化。
有的数学问题综合性强，要解决一个数学问题往往要涉及多个数学概念的应用。
由于某些概念比较抽象，加上自身遗忘等原因，学生对这些概念的认识变得比较模糊，不能准确地理解题目中的重要概念，弄清已知条件的意思，进而阻碍了问题的解答，这时教师就可以借助线段图把已知条件形象地展现出来帮助学生理解题意。
如在“和倍问题”中有这样一题：“一套衣服共456 元，上衣的价钱是裤子的2倍多6 元。
常见的图案变形方法
（4）要求：认真观察物象，抓住物象的基本形体和特征，进行简化、 提炼、概括，使图案更简练，更传神，更清晰，更概括。
（三）添加修饰法
添加修饰法亦称添加求全法，就是将已 经提炼概括、夸张变形处理后的图案形 象的外轮廓内适当添加一些有联想意义 的图案纹样，使图形更加丰富，更加美 妙，更有情趣。如我国传统图案中的花 中套花，花中套叶，叶中套花，以及十 二生肖中套花和有吉祥意义的图案形象 丰富优美、寓意性强，富有装饰意趣， 耐人寻味。
常见的添加修饰有以下几种形式：
1、画出平常看不见的部分。如兰花的根、荷花的藕，平常在泥里看不 见，添加求全法则要求把它们全部表现出来。
2、画出事物的发展过程。如表现葫芦从开花到结果的全过程。
3、画出同一物象的不同侧面，不同角度。如把人脸的正面和侧面组合 在一起。
作业
（1）临摹添加修饰法图案十二幅图。
作业
（1）临摹动物、人物神态夸张的变形图案各四幅图。
（2）自选物象进行写生变化，并自行构图作动物、人物神态夸张变形 图案各二幅图。
（3）规格：十六开纸，每张二幅图。
（4）要求：认真观察物象，抓住其富有表情性的部位特点，表现其特 征。
（二）简化修饰法
简化修饰法也称省略修饰法。就是抓住对象的基本形体和特征，将素 材进行删繁化简、去粗取精、提炼概括，使图案形象更简炼、更传神、 更清晰、更典型。
4、转折起伏的简化。如一枝花，枝叶有前后的穿插，花瓣叶片有卷曲 或转折，如实表现就没有装饰效果，去掉这些转折，把它象夹标本一 样的平展开来，就显得更单纯，更典型、更艺术、更具装饰效果。
作业
（1）临摹运用简化修饰法制作的图案十二幅图（花卉、动物各六幅 图）。
巧用化归思想解数学题
巧用化归思想解数学题作者：任可喜来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第13期摘要：化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易。
常见的化归问题有如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等。
实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由抽象到具体等方法。
关键词：化归思想；解数学题；典型例题中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）13-0112数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识。
数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在。
因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识。
现在的中学生在学习的过程中，普遍认为数学比较难学，下了很大的工夫，可是成绩并不理想，一听就懂，一做就不会，对于诸多数学问题感到无从下手。
许多教师为了解决这个问题做了许多努力，也取得了许多的收获和宝贵的经验。
下面，举例说明：例1.如图1，反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点。
（1）求 A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积。
解：（1）解方程组y=-y=-x+2得x1=4y1=-2；x2=-2y2=4所以A、B两点的坐标分别为A（-2，4） B（4，-2）（2）因为直线y=-x+2与y轴交点D 的坐标是（0，2），所以S△AOD=×2×2=2，S△BOD=×2×4=4，所以S△AOB=2+4=6点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标。
例2. 解方程：2（x-1）2-5（x-1）+2=0解：令y=x-1，则2y2-5y +2=0.所以y1=2或y2=，即x-1=2或x-1=.所以x=3或x=，故原方程的解为x=3或x=点拨：很显然，此为解关于x-1的一元二次方程。
巧用几何(体)图形妙解一类计数问题
．
一 ６ ＋ ０ ２ ● ● ２ ２ 。
．
ａ（ ２ ２ ＋ ｂ（ ２ ２２ ２ｍ ） ２ｍ ａｋ） －ｂ －
—
轨迹方程为： ＋ ２＝
６ ２＋ ０ ２ ２
一 。’ 』 Ｉ ， ｖ
直线在圆内的交 点个数． 圆外、圆上的交点不 在 考虑， 因此我 们联 想一 圆上任意 四点可以确定
ｌｋ ） （ 一３ ＋３ｋ ） （ 一２ ＋２ｋ ） （ 一４ ＋… ＋（ 一 ｋ ２ 一（ 一１ ＝ｋ ｋ ｋ ） ｋ ） Ｊ ＋２ ＋３ ＋… ＋（ 一２ 一 ｋ ） ｋ 【 ｘ２ １ ＋２ｘ３＋３ｘ ４ … ＋ （ ＋ ｋ一２（ ） 一１１ ）
因此一共增加 了
练习： 正方体所有顶 点确定的直线中， 共有 多少对异面直线？
答案： （詈一６ ） ７ ． ３ ｃ —６ ＝１４
例 ２ 圆 上有 ｎ 个不 同点 Ｐ ， ２ … ， 扎 １Ｐ ， Ｐ． 设两两连接这些 点所得线段 中， 任意三条 在 圆内都不共 点， 它们在圆 内共有 — — 则 个交点 （ ｎ≥４ ｉ 『 ， 、ｊ∈Ｎ ． ） 解析： 根据题 目条 件， 圆上 的点连接确定 的 直线中任意三条在圆内都不共 点， 我们要求这些
Ｓ
Ａ
图 ２
排列， 依次连接 ＋ １ ＋ Ｐ ， ＋ Ｐ ， ， １ ， １２ Ｐ １３… Ｐ ＋ Ｐ 可增加 ｋ 线段．分 别考察这 ｋ ｋ１ ｋ 条 条线段
Ｄ
图 １
与此前 圆内线段 的交点个数： 与 ＋ ｔ 交点个数为 ０ １＂ １ ；
点评： 从上题两种不 同解法可 以看出灵活选
１ ． 一） 一） １ｎ ２ （
(完整版)初中数学解题必备10大思想方法
初中数学解题必备10大思想方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
小学数学论文：巧用“数形结合”解决问题
“学”海无涯“画”作舟——巧用“数形结合”解决问题【内容摘要】 “数形结合”是一种重要的数学思想，在高年级数学教学中更是一种重要的解题策略。
运用“数形结合”有助于把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，几何问题明显化，从而起到优化解题途径的目的。
“数形结合”不但能提高学生的数学兴趣，又能有效地利用形象化的思维延深学生抽象化的数学思维。
【关键词】 数形结合 小学数学 形象思维 抽象思维 【正文】曾在网上看到老师们在讨论：运用下图来说明“方程和等式”的关系，是不是渗透“数形结合”的思想。
因为我同存疑惑，于是就想对这早已流行的词汇进行进一步的了解。
1、利用“集合图”理解概念之间的关系不是渗透“数形结合”的思想方法。
如上例等式与方程的关系。
数学概念是数学大厦的基石，数学概念之间有着千丝万缕的联系，“画图”是学习数学概念的一种重要方法，这里老师运用“集合图”来帮助学生区分、理解概念之间的关系，类似案例还有“长方形和正方形的关系”、“质数合数及1的集合图”等等。
2、“有余数除法”教学时也不是渗透“数形结合的思想。
例如教学17÷4＝4……1， 老师经常让学生用学具先动手操作分一分理解算理，再出示左下图借助“形”来理解算式中每个数字及运算符号的意义，建立“形”与“有余数除法”算式之间的联系，但这也不是真正意义上的“数形结合”。
3、（如右图）这一教学目的渗透的是“符号思想”，也不是“数形结合”的思想。
因为这里并不关注“图形”的几何特征，这里的“小正方形、小三角形、圆形”都只是表示未知量，渗透的是“符号思想”，可以理解为是X 的前身。
以上都不是数学意义上的“数形结合”。
“数的概念”缘于“数”，“数”源于“计数”。
在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的“图形”来表示抽象的“数”，直到出现表示“数”的各种抽象符号，“数”才真正脱去了“形”的束缚，从而极大地拓展了人们对“数”的认识和应用。
图形创意表现形式与手法
图形创意表现形式与手法本文主要介绍图形语言及图形创意的表现形式与手法,并对几种代表性的表现形式作了深入的分析和解剖.读者在考虑采用何种表现形式时，要对设计的创意与表现内容进行认真的理解与分析，根据内容选取最佳的表现形式,表达自己的创意。
探索图形表现的形式与方法，有助于读者掌握图形创意表现的组织规律,使之对图形表现由感性认识向理性认识飞跃，只有经过深思熟虑、认真组织的图形才能与创意思维相映生辉。
在设计表现中，读者要勇于打破单一的传统的思维惯性，充分发挥想象性思维的创造力，利用各种形式的有机组合，将想象和意念形象化、视觉化，创造出具有原创性意义的新颖有趣的视觉形象。
一、图形语言图形语言是现代社会中沟通交流的一种重要的视觉语言形式.图形语言从狭义上解释就是指形象、色彩、质感、量感等因素及它们之间的构成关系。
图形语言相对于设计作品就如同文章中的字、词、句，也可看成舞蹈中的肢体动作，音乐中的音符。
一般来说，文字可以表达较为明确的概念，但它的使用范围极为有限,只有在一定的国度或地域里,在信息传播者与接受者都认识和理解时才能够顺利地传播。
而图形语言更形象、直观、具体,它不受地域和语言的限制，且视觉传达冲击力更强烈，更易于大众理解与接受。
因此图形语言不仅有传达记事的性质，更能帮助人们理解，弥补文字的不足。
正如德国著名视觉设计大师霍尔戈•马蒂斯教授所说：“一幅好的设计应该是靠图形语言,而不是靠文字来注解。
"图形语言有着文字所无法比拟的魅力，它依靠优美的造型、巧妙的构图以及鲜明的色彩就能直观、形象地传播概念、信息和情感，并能够打破不同国界、地域和民族的界限而产生共鸣.口头语言是有地域性的，而图形语言恰恰是超越国界地域的“国际性语言”。
东西方文化的差异、地域的不同，在语言表达方式上各不相同；但对于同一图形而言，人们的理解往往是相通的,图形在很多地方起到语言无法替代的作用。
图形语言的基本目的是传播信息。
在现代图形设计中,为了便于形象的传播，易于消费者理解记忆，要求图形创意的形式语言必须简洁、明快，富有感染力.生活中，图形语言传达的准确性远远超过了纯粹的语言文字。
图案变化方法
添加
在图形设计的过程中，经常要将各种元素进行组合，运用想象力将相 互关联的元素组合在一起，使作品富含寓意，充满情趣，我国民间美术作 品中经常使用到这种手法，极富特色和艺术感染力。
条理
将各种构成元素依据形式美法则进行归纳、整合、求同、加强画面的 秩序感，将形象的色彩、形态和风格趋向同化，这种手法可以使作品秩序 感增强，条理清晰。
一定会的！
一定会的！
反复
将造型元素（色彩）进行单向或双向、多向或旋转的重复排列，以产 生节奏感，处理时可以是造型元素（色彩）的局部也可以是整体，这种处 理手法极易形成画面的秩序感。
一定会的！
渐变
是形态结构、色彩等在设定方向上做规律性增强或减弱，以使画面内 容更加丰富，有效增强画面的层次感和律动感，达到丰富、和谐、柔顺的 视觉和心理感觉，具体进行渐变处理过程中，依据具体的设计要求进行渐 变方向的调节，可呈单向、双向、多向或辐射等。 一定会的！
抽象
将造型特征明显的元素提取出来进行形态重构，不是简单地将对象特 征进行突出、调整或是修饰，而是将对象变化成纯粹的形态来表现原有形 象的神韵，贵在“似与不似之间”，使用这种手法处理的画面视觉冲击力 强，装饰效果显著。 一定会的！
巧合
将两种或两种以上的形象发生偶然的联系，形成具有特殊趣味的图形， 从而引发图形以外的联想，分为形与形的巧合、图与地的巧合、形与意的巧 合三种基本方式。
图案变化方法
TUFANBIANHUAFANGFA
简化
对对象的高度概括和提炼，删减无关紧要的部分，将图形趋于条理化 和规律化。处理时注重两点：一是抓住对象的基本特征，删繁就简，强雕 主要特征，二是层次的平面化。
夸张
重点突出对象最本质最典型的特征，使形象更加生动，更具有艺术感 染力，在设计中使用夸张的手法可使变化后的形象更生动，富有个性。
构造长方体巧解球与内接三棱锥的组合体问题
如图1B AD C C D A B如图2构造长方体巧解球与内接三棱锥的组合体问题山东省东阿实验高中数学组 贾冬梅设一个顶点上各棱长分别为c b a ,,的长方体1111D C B A ABCD -内接于球O ，也即它的八个顶点在同一球面上．由长方体特殊的几何性质可知，它的八个顶点到体对角线中点的距离都是2222c b a ++，所以体对角线的中点也就是球心O ，从而长方体的体对角线长等于球O 的直径．设球的半径为R ，则R c b a 2222=++．借助这个等量关系，完全可以使长方体与球之间的已知条件和所求问题沟通起来．在遇到球与内接三棱锥的组合体问题时，若将三棱锥补成长方体，便可使问题迎刃而解，既省时由省力．一、利用垂直构造长方体因为长方体一个顶点上的三条棱两两互相垂直，所以若一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，可将这三条侧棱当成长方体一个顶点上的三条棱补成长方体．例1已知球面上有四个点C B A P ,,,，如果PC PB PA ,,两两互相垂直,且a PC PB PA ===，求这个球的表面积和体积．解析：因为PC PB PA ,,两两互相垂直，所以以共顶点P 的三条棱PC PB PA ,,能补成 正方体，且此正方体内接于球，从而正方体的体对角线长即为球的直径．所以a R 32=，a R 23= ，23a S π=球,323a V π=球． 请同学们思考：①若平面PAB 、平面PBC 、平面PCA 两两互相垂直，其它条件不变，求这个球的表面积和体积．（“平面PAB 、平面PBC 、平面PCA 两两互相垂直”等价于“PC PB PA ,,两两互相垂直”）②三棱锥ABC P -中，三条侧棱PC PB PA ,,两两互相垂直，且a PA =，b PB =，c PC =，若空间一点O 到四个顶点C B A P ,,,的距离相等，则这个距离的数值是（ ）．（满足题意的点O 就是三棱锥ABC P -的外接球的球心，答案是2222c b a ++） 例2如图1，已知球O 的面上四点D C B A ,,,，ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥，3,1,1===BC AB DA ，求球O 的体积．解析：虽然本题不存在一个顶点上两两互相垂直的三条棱，但注意到ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥，仍可将其补成长方体（如图2），由题意，P C A B 如图4P 如图3C B A 它内接于球O ．易求球的半径25=R ，π655=球V ． 评注：不但具有线面垂直关系的三棱锥可以补成长方体，某些具有线面垂直关系的四棱锥也可以补成长方体．二、利用对棱相等构造长方体因为长方体向对面的对角线长度相等，所以在遇到对棱相等的三棱锥时，以相等的对棱当作长方体相对面的对角线将其补成长方体．例3 将例1中“PC PB PA ,,两两互相垂直”改为“PC PB PA ,,两两所成角均为 60”，其它条件不变，求这个球的表面积和体积．解析：由题意，得三棱锥ABC P -是正四面体（如图3），当然有BC PA =，AC PB =，AB PC =，以AB PC AC PB BC PA ,,,.,分别为面对角线构造正方体（如图4）,它必内接于球O ．设正方体棱长为x ，则x a 2=，a x 22=，体对角线长为a 26，球的半径为a R 46=，223a S π=球，386a V π=球． 例4设三棱锥ABC P -中，34==BC PA ，41==AC PB ，5==AB PC ，求这个球的表面积和体积．解析：以AB PC AC PB BC PA ,,,.,分别为面对角线构造长方体（类似于图4），设长方体一个顶点上的三条棱长分别为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+254134222222x z z y y x ，三式相加除以2，得体对角线的平方为50，，易求外接球的半径为225=R ，π50=球S ，π32125=球V ． 长方体是空间图形中特殊且内涵丰富的几何体，采用构造长方体的方式去处理一些球与三棱锥的组合体问题，往往能达到化难为易、化繁为简的效果．当然，我们在领略美妙的解题过程时，还要了解所用技巧的思想根源，以期提高同学们的观点和对问题认识的高度．这里使用构造法的思路源于几何体特殊的线面位置关系和度量关系，以及长方体的中心就是其外接球的球心．另外，这种方法也可以推广到球与其它的内接多面体，如正三棱柱的上、下底面中心连线的中点就是其外接球的球心（文后有一道这方面的练习题）．其次，构造法是数学的一种重要思想方法，同学们可通过加强灵活运用构造法的指导和训练来培养自己的创造能力．练习题：1．已知，三棱锥ABC P -中，底面三角形ABC 是边长为2的正三角形,ABC PA 底面⊥，且2=PA ,则此三棱锥的外接球的半径为（ ）A ．2B ．5C ．2D ．321 2．已知，在等腰梯形ABCD 中，22==DC AB , 60=∠DAB ，E 为AB 的中点．将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥DCE P -的外接球的体积为（ ）A ．2734πB ．26πC ．86πD ．246π 3．如图5，已知三棱锥ABC P -中，E 、F 分别是AC 、AB的中点，ABC ∆、PEF ∆都是正三角形，AB PF ⊥．（1）证明：PAB PC 平面⊥；（2）求二面角C AB P --的平面角的余弦值；（3）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为π12的球面上，求ABC ∆的边长．答案：1．D 2．C 3．（2）33；（3）22． 图5F ECB A P。
巧用思维导图简要复述故事
巧用思维导图简要复述故事1. 引言1.1 巧用思维导图简要复述故事思维导图是一种视觉化的工具，能够帮助人们更好地组织和理解信息。
巧用思维导图可以帮助我们简要复述故事，从而更深入地理解和记忆故事内容。
复述故事是一个很好的学习方法，可以帮助我们深入理解故事的情节、人物和发展。
有时候复述整个故事可能会太复杂或者太琐碎，而思维导图可以帮助我们将故事内容简洁明了地展现出来。
通过思维导图，我们可以将故事的主要情节、人物关系、事件发展等关键信息以图形化的方式展现出来，从而更好地理清故事结构，加深对故事的理解。
思维导图的分支结构使得我们可以将复杂的故事内容分解成更易于掌握的单元，帮助我们更加有条理地复述故事内容。
在接下来的内容中，我们将更详细地介绍什么是思维导图、如何巧用思维导图、如何简要复述故事，以及思维导图在故事复述中的应用。
通过结合思维导图和故事复述，我们可以提高记忆和理解能力，更好地整理和复述故事内容。
利用思维导图能够更好地整理故事结构，思维导图是简要复述故事的有效工具，结合思维导图和故事复述能够提高记忆和理解能力。
的方法将会在本文中得到详细阐述。
2. 正文2.1 什么是思维导图思维导图是一种以图形方式展示信息和观念之间关联的工具。
它通常由一个中心主题开始，然后在周围以分支的方式扩展出相关的子主题或关键词。
思维导图的具体形式可以是树状结构、循环结构或其他形式，但其基本原理是通过视觉化的方式来帮助人们组织和理清头绪。
在思维导图中，中心主题往往是一个核心概念或问题，而分支则是对该主题的具体说明或补充。
通过不同颜色、形状和线条的组合，思维导图可以帮助人们更直观地理解信息之间的逻辑关系，促进思维的联想和创造。
思维导图的优势在于其简洁明了的形式，能够帮助人们快速梳理和整理复杂的信息。
思维导图也具有可视化的特点，能够激发人们的视觉记忆和联想能力，提高信息的记忆和理解效果。
通过思维导图，人们可以更高效地组织自己的思维，快速捕捉重点信息，加深对知识的理解。
巧思妙构繁中求简--高考数学选择题解法技巧例析
，也别无选择 ，果断用此方法． 接解答 、代入检验 、分析排 除、特例代替 、割补转换 、估值推 方法） 算 、图解操作和趋势判 断等技巧 ，对 ２ １ ０ ０年高考数学全 国卷 Ｉ
理 科 中的 选择 题 进 行剖 析 ，真 正 实现 “ 招拆 招 ，巧 中淘 金 ” 见 ． 关键 词 ： 高考 数 学 ；选 择 题 ；解 题技 巧
得 出正确的结论 ，然后与选择支对照来确定． 对简单 、明晰及概
分析 ：此类题 型 比较 常见 ，而且 数 字小 ，运算 简便 ．由题
念辨析 的选择题可通过 直接演算或判断得 出结论 ． 因此 ，对于 意，可分 两种情 况讨论．①Ａ类选修课选 １门，Ｂ类选修课选 ２
比较 熟 悉 的题 型 ，如 果 在 脑 海 里 解 题 思 路 清 晰 ，运 算 量 小 ，就 门，有 ｃ 种不同的选法． 山 １ ２ ②Ａ类选修课选 ２门，Ｂ类选修课选
顺序从最 简单 的选择支开始 ，若选择支是 一个区间 （ 集合） ，则 体 Ａ Ｃ 的 体积 的最 大 值 为 （ ＢＤ 取选择支中的特殊数值代入检验排除选择支． 而计算 、化简等题 根据题 目具体 而定 ，也能较 大幅度提高解题速度． 例 ４ （Ｏ０年 高考数学全国卷 Ｉ ２１ 理科第 １ 题）复数 芝二 ｉ＝ ３ ＿２ ＋
切割转换成平 面图形 ，使问题得到简化 ． 此法常用于立体几何题
目，特 别 是 不 规则 的几 何 图形 ． 例 ８ （０ ０年 高 考 数 学 全 国 卷 Ｉ理 科 第 ７题 ） 正 方 体 ２１
分 析 ：从 为正 ，ｔ ０ 。 负 ，排 除 Ａ 与 Ｃ ａ １０ 为 ｎ ；再 从 正 切 是 正弦 与余 弦之 比知 分母 应含 有 ，从 而排 除 Ｄ ．
这些 问题 的解 决 所 需 要 的 知 识 都 是 学 生 已 经 掌 握 的 ，但 学 生 在
两点之间,线段最短——化繁为简破中考
两点之间、线段最短——化繁为简之破解中考难题1一、证明“三角形两边之和大于第三边”。
其推理的依据是两点之间、线段最短，源自七年级上册“直线、射线与线段”中，如下图：证明过程：如图，作任意三角形ABC。
以A,C为定点，根据“两点之间，线段最短”可得：AB+BC＞AC.同理，AC+BC＞AB.（？以哪两点为定点）AC+AB＞BC.∴三角形两边之和大于第三边。
二、巧用“两点之间，线段最短”1. 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．（涉及对称）2. 如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是________；（涉及到勾股定理）3. 如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；（涉及一次函数）4. 已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A、B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标．5.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标；（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案——化繁为简之破解中考难题1二、巧用“两点之间，线段最短”1. 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．（涉及对称）参考答案12. 如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是______；（涉及到勾股定理）3. 如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；（涉及一次函数）【考点]轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．[分析]找点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，先求出直线AC'的解析式，继而可得出点D的坐标．[解答]解：作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为(0，﹣2)，点A坐标为(6，4)，∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为(2，0)．故答案为：(2，0)．[点评]本题主要考查了最短线路问题，解题的关键是根据“两点之间，线段最短”，并且利用了正方形的轴对称性．4. 已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A、B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标．5.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标；（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．。
巧用思维导图提高思维品质，优化小学英语阅读教学
巧用思维导图提高思维品质，优化小学英语阅读教学[摘要]：思维导图色彩丰富、图形直观形象、化繁为简，易将枯燥乏味的阅读内容进行分析、比较、推理、综合、归纳、总结，能充分调动学生阅读文本的积极性，促使学生创造思维、发散思维，不断深入文本，解读文本，从而锻炼逻辑思维能力及分析、解决问题的能力，是一种高效的现代化教学手段，科学运用能够优化小学英语阅读教学，有效的提高教学质量水平和学生的思维能力，培养良好的素质教育和思维品质。
[关键词]：小学英语阅读教学；思维导图；思维品质；提高随着新课改标准的不断贯彻和落实，对小学生的英语综合能力有了更清晰、更高的要求。
作家铁凝之所以说:“阅读是有重量的精神运动。
”是因为英语阅读能够开阔学生的眼界，获取的信息量大，能提高学生的听说读写能力和语言的综合运用能力。
英语阅读能力是语言输入的重要环节之一，是学生形成语言能力的重要组成部分，也是核心素养的基石。
因此培养学生的英语阅读能力一直是小学英语教学中的重中之重。
但是，受传统教学观和应试教育的影响，我们在教学中只重听说不重阅读，往往对它有所忽视，课堂上老师总是过多的参与，不断地讲解和灌输，学生说得少练得少，这样既削弱了学生自主阅读的动力和兴趣，也降低了阅读效果。
因此阅读教学不仅是小学英语教学中的弱点，也是一个难点。
随着英语教育的发展，思维导图作为一种新的现代化教学手段，慢慢地吸引了教师的眼球。
正所谓教学有法，教无定法，贵在得法，小学英语阅读教学中运用思维导图这种教学方法直观、形象、有趣，可以激发学生的阅读兴趣，有效提升课堂效率和质量，从而促进学生思维品质和阅读能力的发展。
一、正确认识思维导图思维导图由心理学家托尼巴赞提出，利用抽象思维和形象思维相结合，以图文兼具的方式呈现，是表达发散性思维的有效工具，也是打开大脑潜能的万用钥匙。
它简单有效且实用性强，主要以某一问题为核心，采用从中心向四周发散的结构，通过用图、字、色、线等画图的方式使左右脑相互协作，建立起记忆链，有助于强化记忆，激发大脑的创新思维，培养思维的技能。
视觉传达设计中的文化传承与创新
视觉传达设计中的文化传承与创新在当今全球化的时代背景下，视觉传达设计作为一种重要的传播手段，不仅承载着信息传递的功能，还肩负着文化传承与创新的使命。
视觉传达设计通过图形、色彩、文字等元素的组合与运用，将抽象的文化内涵转化为直观、生动的视觉形象，使人们能够更轻松地理解和感受文化的魅力。
文化传承是视觉传达设计的重要责任之一。
每一种文化都有着独特的历史、价值观和审美观念，这些都是人类智慧的结晶。
视觉传达设计可以将传统文化中的经典元素进行提取和再创作，使其在现代社会中焕发出新的生机。
例如，中国的传统图案如龙、凤、牡丹等，经过设计师的巧妙处理，被运用到现代的平面设计、包装设计、服装设计等领域，既展现了中国文化的博大精深，又满足了人们对于传统文化的情感需求。
同时，不同地域的文化特色也为视觉传达设计提供了丰富的素材。
比如，非洲的木雕艺术、印第安人的图腾文化、日本的浮世绘等，都具有独特的艺术风格和表现形式。
设计师可以借鉴这些文化元素，将其与现代设计理念相结合，创造出具有多元文化特色的作品。
这样的设计不仅能够丰富人们的视觉体验，还能够促进不同文化之间的交流与理解。
然而，文化传承并非简单的复制和模仿，而是要在尊重传统文化的基础上进行创新。
创新是视觉传达设计发展的动力源泉，只有不断创新，才能使设计作品具有时代感和吸引力。
在数字化技术飞速发展的今天，视觉传达设计的手段和形式也在不断更新。
虚拟现实、增强现实、动态图形等新技术的出现，为设计师提供了更多的创作可能性。
例如，通过虚拟现实技术，设计师可以打造出沉浸式的文化体验场景，让人们仿佛置身于古代的文化氛围中；利用动态图形，能够使传统文化元素更加生动有趣，吸引年轻一代的关注。
此外，创新还体现在设计理念和思维方式的转变上。
设计师不再仅仅满足于表面的形式美，而是更加注重作品的内涵和情感表达，通过设计引发人们对于文化问题的思考。
在视觉传达设计中，实现文化传承与创新的有机结合需要设计师具备深厚的文化素养和敏锐的创新意识。
巧用公式 化繁为简
巧用公式化繁为简作者：苏学智来源：《初中生世界·七年级》2021年第05期因式分解是初中数学重要的恒等变形，巧用因式分解解决问题可以使问题化繁为简，能为我们计算分式、求解方程、研究函数等打下基础。
如果想达到巧用公式、便利解答的效果，那么在解题中熟练掌握各类公式是前提，火眼金睛看出特征是关键。
一、提公因式例1 化简：2x（3x+1）-（3x+1）（2x-3）-3。
解：原式=（3x+1）[2x-（2x-3）]-3=（3x+1）×3-3=9x。
【評析】我们在化简前应观察整式特征，发现前两项出现了共同因式，那么可以提取公因式，达到化繁为简的目的。
若不仔细观察，拿到手便利用单项式乘多项式以及多项式乘多项式法则，去括号、合并后求得结果，也不是不可以，只是稍显麻烦，步骤略多，还容易出错。
二、平方差公式例2 化简：（x+3y）2-（x-2y）2-5y2。
解：原式=[（x+3y）+（x-2y）][（x+3y）- （x-2y）]-5y2=（2x+y）⋅5y-5y2=10xy。
【评析】观察整式特征，发现前两项出现平方差形式，便可尝试用平方差公式展开运算。
也有同学会运用完全平方公式，去括号、合并后求出结果，孰繁孰简，大家自行分辨。
三、完全平方公式例3 化简：（x+2y）2-2（x+2y）（x-y）+（x-y）2。
解：原式=[（x+2y）-（x-y）]2=（3y）2=9y2。
【评析】观察整式，发现符合逆用完全平方公式化简的特征。
也有同学会先用完全平方公式以及多项式乘多项式去括号，再求得结果，导致项数太多，计算复杂且容易出错。
巩固练习1.先化简再求值：（3a+b）（a-b）-3a·（a-b），其中a=[12]、b=-4。
2.当x=-1、y=2021时，求代数式（x+2y）（x-2y）+（x+2y）2-4xy的值。
参考答案：1. -18 2. 2（作者单位：江苏省滨海县界牌初级中学）。
小学数学中如何运用“转化法”解决数学问题
小学数学中如何运用“转化法”解决数学问题摘要：转化法就是我们在解决一个问题时遇到困难，能够利用已有知识和经验灵活的将原来陌生的、复杂的的问题转化为另一个熟悉的、简单的问题来解答，它是一种非常重要的且常用的解决数学问题的思想方法。
因此，在小学数学教学中能恰当的活用“转化”的思想方法，将会收到化生为熟、化繁为简、化难为易的奇妙效果。
关键词：小学数学有效运用转化法解决问题小学生的思维正处在以形象思维向逻辑思维过渡的阶段，他们的抽象逻辑思维还带有很大成分的具体形象性，在学习过程中往往还需要感性材料来支撑，一些比较抽象的数学概念和数量关系更需要手段来辅助学习，用转化法将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给学生以直观感。
用转化法解决问题，就是把一个陌生的、学生从来未接触过的新知识转换成学生所学过的熟悉的旧知识，把题型结构较复杂的转换成题型结构较单一的，把题型中多种的数量转换成同一种数量等来解决问题的方法。
因此，小学数学教学要结合小学生身心发展的特点，合理渗透转化思想，有效提高学生学习数学的情趣。
一、运用转化法解繁杂问题在处理和解决数学问题时，常常会遇到一些运算或数量关系非常复杂的问题，这时教师不妨转化一下解题策略，化繁为简，反而会收到事半功倍的效果。
??例如，在学生掌握长方体、正方体的体积计算公式后，出示一个不规则的铁块，让学生求出它的体积。
学生们顿时议论纷纷，认为不能用长方体、正方体的体积计算公式--直接计算。
但不久就有学生提出，可以利用转化思想来计算出它的体积。
通过小组讨论后，学生们的答案可谓精彩纷呈。
方法一：用一块橡皮泥，根据铁块的形状，捏成一个和它体积一样的模型，然后把橡皮泥捏成长方体或正方体，橡皮泥的体积就是铁块的体积。
方法二：把这个铁块放到一个装有水的长方体的水槽内，浸没在水中，看看水面上升了多少，拿水槽内底面的长、宽与水面上升的高度相乘得到铁块的体积。
方法三：把铁块放到一个装满水的量杯内，使之淹没，然后拿出来，看看水少了多少毫升，这个铁块的体积就是多少立方厘米。
2个半圆重叠的阴影周长巧解-概述说明以及解释
2个半圆重叠的阴影周长巧解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述本文将探讨一个有趣的几何问题，即两个半圆重叠时的阴影周长计算方法。
阴影是我们日常生活中经常能够观察到的一个现象，而阴影的周长具有一定的规律性。
然而，在两个半圆重叠的情况下，阴影的周长计算变得复杂且困难。
为了解决这一难题，我们将介绍一种巧解方法并进行详细的推导。
通过本文的阐述，读者将能够理解两个半圆重叠情况下的周长计算方法，并且能够应用这种方法解决类似的几何问题。
在概述部分，我们首先会对整篇文章的结构进行简单的介绍，以让读者对接下来的内容有一个初步的了解。
然后，我们会说明本文的目的，也就是为什么要研究两个半圆重叠时的阴影周长计算方法。
通过本文的阐述和推导，我们旨在提供一种简单且高效的方法来解决这一几何问题。
同时，我们也希望能够探讨这种巧解方法的意义和应用，并为未来研究方向提供一些展望。
在接下来的正文部分，我们将从阴影的定义和特性开始，引入两个半圆重叠情况下的周长计算方法。
然后，我们将详细介绍巧解方法的推导过程，以便读者能够清楚地理解该方法的原理和使用方法。
最后，在结论部分，我们将对整篇文章进行总结，并对巧解方法的意义和应用进行讨论。
同时，我们还将展望未来研究方向，以期能够进一步推动这个领域的发展和应用。
通过阅读本文，读者将能够加深对阴影周长的理解，学会一种巧解方法，并掌握解决类似几何问题的技巧。
我们相信，这将为读者拓宽思维，提供新的解题思路，并对几何学的研究和应用起到积极的促进作用。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该是对整篇文章的结构进行介绍和概括，可以包括以下内容：文章的结构是指文章的整体组织和安排方式，以确保思路清晰、逻辑严密、层次分明。
本文的文章结构如下：首先，在引言部分，我们将对文章的背景和意义进行概述，以引起读者的兴趣。
然后，介绍文章的整体结构和各个部分的内容安排，为读者提供一个整体的框架。
其次，在正文部分，我们将分为三个小节进行论述。
巧用思维导图，优化二年级看图写话教学——以《爷爷学英语》写话为例
巧用思维导图，优化二年级看图写话教学——以《爷爷学英语》写话为例浙江省平阳县鳌江镇第十五小学浙江温州325400摘要：本文以部编版二年级语文教材中的看图写话和托尼·巴赞的《思维导图》为研究对象，结合“新课标”要求与一、二年段学生的身心发展规律，制定与二年段相适应的学段目标与策略。
本文以《爷爷学英语》写话为例，初步探索思维导图在二年级看图写话教学中的运用，并提出有效的策略。
关键词：思维导图；看图写话；二年级语文教学一．背景分析（一）思维导图的内涵思维导图是当下盛行的词汇，那么什么是思维导图呢？思维导图又名心智图，最早是英国学者托尼·巴赞在20世纪70年代初期所创，它将关键词、图画和色彩等元素建立起记忆链接，运用大脑机能，协助人类在逻辑与想象之间均衡发展，从而开启大脑潜能。
它是放射性思维的表达，是人类思维的自然功能，是打开大脑潜能的万能钥匙。
[1]由此可见，思维导图指的是一种将思维形象化的工具，具有化繁为简的功能。
人们透过它简单的支架地图，就能再现出储存在大脑中的丰富的图片或文字的内涵。
由此看来，思维导图一种极好的学习工具，它能够促进学生在写话实践中留心观察、深入思考，这培养了学生的高阶思维，内化学生的核心素养。
（二）看图写话的教学要求看图写话是促进学生写话的是一种方式，它的特点就是先看图后表达。
首先，它考验的是学生观察图片的能力；其次，要求学生要有思维整合的能力。
学生要将观察到的内容在大脑中进行想象和加工；最后再要求学生以写话的形式呈现出来。
《义务教育语文课程标准（2011版）》明确规定小学低段学生写话应达到的目标是：“对写话有兴趣，写自己想说的话，写想象中的事物，写出自己对周围事物的认识和感想。
”[2]可以看出，小学低年段的写话重点是在于培养学生的想写、想说、乐写、敢写的能力。
但根据皮亚杰的认知发展理论，小学低年段学生的认知水平处于“前运算阶段”后期向“具体运算阶段”的过渡时期，这个阶段的学生开始出现“可逆思维”，但仍不能摆脱对具体的、可感知的事物的依赖。
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巧作图形 化繁为简
在小学数学解题过程中，用作几何图形的方法，把题目的条件和问题清晰的表示出来，帮助分析理解题意，可以达到化繁为简，化抽象为直观的目的。
这就方法叫做数形结合，它是一种数学方法，也是一种数学思想。
一、用几何图形建立面积模型，形象地显示题目的数量关系。
在小学五年级有这样一道题：
读一本故事书，姐姐读完全书需要24天，妹妹读完全书需要32天。
已知姐姐每天读书的页数比妹妹多４页，问妹妹每天读书多少页？
五年级有一些学生是用方程解：
解：设妹妹每天读x 页。
32x ＝24×（x+４）
x ＝12
六年级学生用分数的方法解答：
4÷（241－32
1）＝384（页）…… 先求整本书的页数 384÷32＝12（页） …… …… 然后求出妹妹每天看的页数
上面两种解法，思维敏捷的优生能可以迅速这样解答。
一般的学生，不容易迅速想到利用等量关系建立方程解题，也不习惯于用分数方法去思考。
他们还是愿意用算术方法思考。
有几名学生想到了算术方法，自己也是明白的，但是他把自己的思考过程讲述给同学听，同学总是听不明白：
他们的解题过程是这样的：
24×４＝96（页）……姐姐２４天比妹妹多看的页数。
32－24＝８（天）……妹妹比姐姐多用的天数。
96÷８＝12（页）……妹妹用８天时间看了前24天比姐姐少看的96页，所以她每天12页。
他们的思考过程，十分清楚，非常合理。
但是全班的大部分同学不能理解，“为什么后面的８天正好就看了姐姐前24天多看的页数？”“不求出总页数就能求出妹妹每天读多少页？”。
面对学生的疑惑，我帮助他们建立了图形模型：
这里，长方形的长表示读书所用的天数，长方形的宽表示每天看的页数，长×宽＝长方形面积，也就是故事书的总页数。
姐妹两人读同一本书，总页数相等，所以两个长方形的面积也相等地。
从图中可以明显得出：从两个面积相等的长方形中去掉共同的部分(空白长方形),剩下的阴影部分面积是相等的。
这样，条件就直观清晰了，学生会发现，姐姐在24天中多看的页数正好是妹妹在后来8天看的页数。
理解了题目数量关系，问题的解答就变得简单明了。
学生轻松的列出算式：（24×4）÷（32－24）＝12（页）。
24天
二、巧添辅助线，用图形的几何特征简化问题。
在五年级上册多边形面积中，有一道这样的题：
如下图所示，一个平行四边被分成甲、乙两部分，甲的面积比乙大32m2。
甲的上底是多少米？
20m
分析：甲图是一个梯形，乙图是一个三角形。
要求梯形的上底，可以先计算出梯形的面积。
或者间接的先求出三角形面积，然后求出三角形的底，最后求出梯形的上底。
学生基本上是循着这个思路去解答的。
学生的方法有以下三种：
①20×8－32=128（平方米），128÷8＝16（米），20－16＝4（米）。
学生的算式似乎简单，却是经历了比较复杂的思考过程：首先从平行四边形中减去甲比乙多的面积32m2，剩下的是两个同样的三角形组成的平行四边形的面积，用它的面积除以高就是三角形的底，最后用平行四边形的底减去三角形的底得到梯形的底。
②20×8－32=128（平方米）128÷2＋32=96（平方米）,96×2÷8－20=4(米)。
这种解题过程同样复杂，是直接利用梯形的面积逆向求出上底。
从总面积中首先减去多出的32m2，剩下的是两个完全相同的三角形的面积。
然后，求出一个三角形的面积，再加上多出的面积，就是梯形的面积。
最后，通过梯形面积求出梯形的上底。
③（20×8－32）÷2=64（平方米），64×2÷8=16（米），20－16=4（米）。
这一种解法的思维过程是：先计算一个三角形的面积，然后计算三角形的底，最后求出梯形的上底。
这种方法与第一种类似，还是首先计算出三角形的底，所不同的是，第一种解法是利用组成平行四边形面积求出三角形的底，这里是直接求出三角形面积，然后求底。
从学生的解题思路分析，他们已经对多边形的面积计算及推导过程相当熟练了。
但是，学生思维过程仍然显得复杂。
如果在图上添加一条辅助线，在甲图中画一个与乙完全相同的三角形画（如下图），问题就迎刃而解。
20m
从图中知，甲比乙多的32m2正好是一个平行四边形，这个平行四边形的底正好是原梯形的上底，所以梯形的上底是：
32÷8=4（米）
小学生之所以找不到简便方法，是源于他们还不习惯于作辅助线。
如果只是就数量之间的关系进行思考，问题的解决显得复杂艰难的。
作一条辅助线，使问题的解决变得简捷方便。
当用图形去描述数量的特征时，图形和数量就结合起来。
这样，题目的条件就清晰地表现在
图上，数量之间的关系会显得更加明晰，这就更有利于小学生直观思考问题。
二者的结合使问题得到轻松地解决。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形无数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休”。
数形结合是一种重要数学思想，要培养学生用数形结合思想去思考问题的习惯和意识。