高考数学复习”一本“培养优选练小题对点练10计数原理、概率、统计、复数、算法、推理与证明理
【精品高考数学】2020年高三数学(山东专用)-第10练-计数原理、概率、随机变量及其分布列+答案
第10练-计数原理、概率、随机变量及其分布列一、单选题1．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A ．3600种B ．1440种C ．4820种D ．4800种2．从集合{A ，B ，C ，D ，E ，F }和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ）A ．85B ．95C ．2040D ．2280 3．()()4121x x ++的展开式中3x 的系数为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．204．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,,6)i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有（ ）A ．22种B ．24种C ．25种D ．27种5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．320 6．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）．A ．1415B ．115C ．29D ．7．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则（ ） A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（ ）A ．E ξ增加，D ξ增加B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加D ．E ξ减小，D ξ减小二、多选题9．设集合{2,3,4}M =，{1,2,3,4}N =，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点(,)P m n 落在直线x y k +=上”为事件()*38,k A k k N ≤≤∈，若事件k A 的概率最大，则k 的取值可能是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7 10．对于二项式()3*1n x n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ）A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项；B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项；C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项；D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项.11．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427 B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2912．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．25B ．45C ．60D ．75三、填空题13．在2n x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____. 14．安排,,,,,A B C D E F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，安排方法共有___________． 15．若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ．16．设2018220180122018(1)ax x a x a a x a -=++++L ，若12320182320182018a a a a a +++⋯+=()0a ≠，则实数a =________.四、解答题17．武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为12，游客之间选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）（i）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为m A，求数列{}m A的前10项和；（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为n B，探讨n B与1n B-之间的关系，并求数列{}n B的通项公式.18．某游戏棋盘上标有第0、1、2、L、100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.第10练-计数原理、概率、随机变量及其分布列一、单选题1．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A．3600种B．1440种C．4820种D．4800种【答案】A【解析】【分析】不相邻问题用插空法，先将除甲乙外的其他5人全排列，再将甲乙2人插入6个空中，即可. 【详解】第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，5554321120A=⨯⨯⨯⨯=种第二步，将甲乙2人插入6个空中，266530A=⨯=种则不同的排法种数是5256120303600A A=⨯=g种故选：A【点睛】本题考查排列问题，插空法是解决本题的关键.属于较易题.2．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（）A．85 B．95 C．2040 D．2280【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，再将选出的4个元素全排列，即得解.【详解】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A ，B ，D ，E ，F 中选出2个字母，有C 52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A 44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法； 故选：C ．【点睛】本题考查了排列组合综合，考查了学生综合分析，转化化归，分类讨论的能力，属于中档题.3．()()4121x x ++的展开式中3x 的系数为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．20【答案】C【解析】【分析】将代数式变形为()()()()444121121x x x x x ++=+++，求出展开式的通项，利用x 的指数为3，求出参数值，然后代入展开式通项可求得3x 的系数.【详解】 ()()()()444121121x x x x x ++=+++Q ，展开式通项为1,444422r r k k r r k k r k T C x xC x C x C x +=+=+，令13r k =+=，得3r =，2k =，则展开式中3x 的系数为3244242616C C +=+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了二项展开式中指定项的系数问题，考查计算能力，是基础题．4．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,,6)i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有（ ）A ．22种B ．24种C ．25种D ．27种【答案】D【解析】分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的表示三次骰子的点数之和是8,16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的125;134;116;224;233;466;556，共有7种组合，利用分类计数原理能得到结果. 详解：由题意知正方形ABCD （边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的表示三次骰子的点数之和是8,16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的有125;134;116;224;233;466;556，共有7种组合，前2种组合125;134，每种情况可以排列出336A =种结果，共有3322612A =⨯=种结果；116;224;233;466;556各有3种结果，共有5315⨯=种结果，根据分类计数原理知共有121527+=种结果，故选D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．320【答案】D【解析】【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为123,,A A A ，口香糖为123,,B B B ，进行四次取物，基本事件总数为：6543360⨯⨯⨯=种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种糖、烟、糖、糖： 332118⨯⨯⨯=种糖、糖、烟、糖：323118⨯⨯⨯=种包含的基本事件个数为：54，所以，其概率为54336020= 故选：D【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用.6．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）．A ．1415B ．115C ．29D ． 【答案】A【解析】【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，可以求()P A ,运用公式()1()P A P A =-，求出()P A .【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ， 所以232101()=15C P A C =，因此114()1()=11515P A P A =--=,故本题选A. 【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.7．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=pi ，P （i ξ=0）=1—pi ，i=1，2.若0<p1<p2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A【解析】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ．【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（ ）A ．E ξ增加，D ξ增加B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加D ．E ξ减小，D ξ减小 【答案】C【解析】 【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n :，可得出2n EX =，再从甲盒子里随机取一球，则ξ服从两点分布，所以()111222E P n ξξ===++，()1111222D P n ξξ=-==-+，从而可判断出E ξ和D ξ的增减性.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n :，其中()336k n k nC C P X k C -==，其中k ∈N ，3k ≤且k n ≤，362n nEX ==. 故从甲盒中取球，相当于从含有12n+个红球的1n +个球中取一球，取到红球个数为ξ. 故()111211222n P n n ξ+===+++， 随机变量ξ服从两点分布，所以()111211222n E P n n ξξ+====+++，随着n 的增大，E ξ减小； ()1111222D P n ξξ=-==-+，随着n 的增大，D ξ增大.故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.二、多选题9．设集合{2,3,4}M =，{1,2,3,4}N =，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点(,)P m n 落在直线x y k +=上”为事件()*38,k A k k N ≤≤∈，若事件k A 的概率最大，则k 的取值可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】BC 【解析】 【分析】先计算出基本事件的总数，再分别求出事件3A 、事件4A 、事件5A 、事件6A 、事件7A 、事件8A 所包含基本事件的个数及相应的概率即可. 【详解】由题意，点(,)P m n 的所有可能情况为(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共12个基本事件，则事件3A ：点(,)P m n 落在直线3x y +=包含其中(2,1)共1个基本事件，所以()3112P A =；事件4A ：点(,)P m n 落在直线4x y +=包含其中(2,2)、(3,1)共2个基本事件，所以()416P A =；事件5A ：点(,)P m n 落在直线5x y +=包含其中(2,3)、(3,2)、(4,1)共3个基本事件，所以()514P A =；事件6A ：点(,)P m n 落在直线6x y +=包含其中(2,4)、(3,3)、(4,2)共3个基本事件，所以()614P A =；事件7A ：点(,)P m n 落在直线7x y +=包含其中(3,4)、(4,3)共2个基本事件，所以()716P A =；事件8A ：点(,)P m n 落在直线8x y +=包含其中(4,4)共1个基本事件，所以()8112P A =.综上可得，当5k =或6时，()()()56max 14k P A P A P A ===.故选：BC. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算问题，关键是要分情况讨论，属中等难度题.10．对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ）A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项；B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项；C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项；D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。
2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)专题10.1两个基本计数原理
第十篇计数原理、概率、随机变量及其散布专题 10.01两个基本计数原理【考试要求】认识分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.【知识梳理】1.分类加法计数原理达成一件事有两类不一样方案，在第 1 类方案中有m 种不一样的方法，在第 2 类方案中有n 种不一样的方法.那么达成这件事共有N＝ m＋ n 种不一样的方法.2.分步乘法计数原理达成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不一样的方法，做第 2 步有 n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 N＝m× n 种不一样的方法 .3.分类加法和分步乘法计数原理，差别在于：分类加法计数原理针对“分类” 问题，此中各样方法相互独立，用此中任何一种方法都能够做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都达成了才算达成这件事.【微点提示】分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决摆列组合问题的基础，并贯串其一直.1.分类加法计数原理中，达成一件事的方法属于此中一类，而且只属于此中一类.2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步达成”.【疑误辨析】1.判断以下结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1) 在分类加法计数原理中，两类不一样方案中的方法能够同样.()(2) 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接达成这件事.()(3) 在分步乘法计数原理中，每个步骤中达成这个步骤的方法是各不同样的.()(4) 在分步乘法计数原理中，事情是分两步达成的，此中任何一个独自的步骤都能达成这件事.()【答案】(1) ×(2)√(3) √(4)×【分析】分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不一样的，每一种方法都能达成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不一样的，每步的方法只好达成这一步，不可以达成这件事，所以(1)， (4) 均不正确 . 【教材衍化】2.(选修 2－ 3P28B2 改编 )现有 4 种不一样颜色要对如下图的四个部分进行着色，要求有公共界限的两块不可以用同一种颜色，则不一样的着色方法共有()A.24 种B.30 种C.36 种D.48 种【答案】 D【分析】需要先给 C 块着色，有 4 种结果；再给 A 块着色，有 3 种结果；再给 B 块着色，有 2 种结果；最后给 D 块着色，有 2 种结果，由分步乘法计数原理知共有4× 3× 2×2＝ 48(种 ).3.(选修 2－ 3P5 例 3 改编 )书架的第1 层放有 4 本不一样的计算机书，第2层放有 3本不一样的文艺书，第 3层放有 2 本不一样的体育书 .从书架中任取 1 本书，则不一样取法的种数为________.【答案】9【分析】从书架上任取 1 本书，有三类方法：第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法 .依据分类加法计数原理，不一样取法的种数是N＝ m1＋ m2＋ m3＝ 4＋ 3＋ 2＝ 9.【真题体验】4.(2016 全·国Ⅱ卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会集，再一同到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓能够选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9【答案】 B【分析】分两步，第一步，从E→ F，有 6 条能够选择的最短路径；第二步，从 F → G，有 3 条能够选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6× 3＝ 18 条能够选择的最短路径.应选 B.5.(2019 杭·州模拟 )教课大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A.10 种B.25种C.52种D.24种【答案】 D【分析】每相邻的两层之间各有 2 种走法，共分 4 步 .由分步乘法计数原理，共有24种不一样的走法 .x2 y26.(2019 菏·泽六校联考 )椭圆m＋n＝ 1 的焦点在 x 轴上，且 m∈ {1 ， 2， 3，4， 5} ， n∈ {1 ， 2， 3，4， 5，6，7} ，则这样的椭圆的个数为________.【答案】10【分析】由于焦点在 x 轴上， m>n，以 m 的值为标准分类，分为四类：第一类：m＝ 5 时，使 m>n， n 有4 种选择；第二类：m＝ 4 时，使 m>n，n 有 3 种选择；第三类：m＝3 时，使 m>n，n 有 2 种选择；第四类：m＝ 2 时，使 m>n，n 有 1 种选择 .由分类加法计数原理，切合条件的椭圆共有10 个.【考点聚焦】考点一分类加法计数原理的应用【例 1】 (1)从甲地到乙地有三种方式能够抵达 .每日有 8 班汽车、 2 班火车和 2 班飞机 .一天一人从甲地去乙地，共有 ________种不一样的方法 .(2) 知足 a，b∈ { － 1，0，1，2} ，且对于 x 的方程 ax2＋ 2x＋ b＝0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为________.【答案】(1)12(2)13【分析】(1) 分三类：一类是乘汽车有8 种方法；一类是乘火车有 2 种方法；一类是乘飞机有 2 种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋ 2＋ 2＝ 12(种 )方法 .(2) 当 a＝ 0 时， b 的值能够是－ 1， 0，1， 2，故 (a，b)的个数为4；当 a≠ 0 时，要使方程ax2＋ 2x＋ b＝ 0 有实数解，需使＝ 4－ 4ab≥ 0，即 ab≤ 1.若 a＝－ 1，则 b 的值能够是－ 1， 0，1， 2， (a，b) 的个数为 4；若a＝ 1，则 b 的值能够是－ 1， 0， 1， (a， b)的个数为 3；若 a＝ 2，则 b 的值能够是－ 1， 0， (a，b) 的个数为 2.由分类加法计数原理可知，(a， b)的个数为 4＋ 4＋ 3＋2＝ 13.【规律方法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的重点词、重点元素和重点地点 .(1) 依据题目特色恰入选择一个分类标准.(2)分类时应注意达成这件事情的任何一种方法一定属于某一类，而且分别属于不一样种类的两种方法才是(3) 分类时除了不可以交错重复外，还不可以有遗漏，如本例(2) 中易漏 a＝0 这一类 .【训练 1】 (1) 从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会，则不一样的选法种数为()A.6B.5C.3D.2(2)从会集 {1 ，2，3，， 10} 中随意选出三个不一样的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】(1)B (2)D【分析】(1)5 个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.(2) 以 1 为首项的等比数列为1， 2，4； 1， 3， 9；以 2 为首项的等比数列为 2， 4， 8；以4 为首项的等比数列为 4， 6， 9；把这 4 个数列的次序颠倒，又获取此外的 4 个数列，∴所求的数列共有2(2＋ 1＋ 1)＝ 8(个 ).考点二分步乘法计数原理的应用【例 2】 (1) 用 0， 1， 2，3， 4， 5 可构成无重复数字的三位数的个数为________.(2) 五名学生报名参加四项体育竞赛，每人限报一项，则不一样的报名方法的种数为________.五名学生抢夺四项竞赛的冠军 (冠军不并列 )，则获取冠军的可能性有______种 .【答案】(1)100 (2)45 54【分析】(1) 可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有 5 种放法；第二步：十位数字有 5 种放法；第三步：个位数字有 4 种放法，依据分步乘法计数原理，三位数的个数为5× 5× 4＝ 100.(2) 五名学生参加四项体育竞赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有 4 种报名方法，共有45种不同的报名方法 .五名学生抢夺四项竞赛的冠军，可对 4 个冠军逐个落实，每个冠军有 5 种获取的可能性，共有 54种获取冠军的可能性 .【规律方法】 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后次序的，而且分步一定知足：达成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都达成了，才算达成这件事.2.分步一定知足两个条件：一是步骤相互独立，互不扰乱；二是步与步保证连续，逐渐达成.【训练 2】已知 a∈ {1 ，2，3} ，b∈ {4 ，5，6，7} ，则方程 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ 4 可表示不一样的圆的个数为()第4页共11页第4页共11页【答案】 C【分析】获取圆的方程分两步：第一步：确立 a 有 3 种选法；第二步：确立 b 有 4 种选法，由分步乘法计数原理知，共有3× 4＝12( 个).考点三两个计数原理的综合应用【例 3】 (1)(2017 ·天津卷 )用数字 1，2， 3， 4，5， 6， 7， 8， 9 构成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个 (用数字作答 ).(2) 假如一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体由中两，个极点确立的直线与含有四个极点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36【答案】(1)1 080 (2)D【分析】(1) 当不含偶数时，有 A 4＝ 120(个 )，5当含有一个偶数时，有1 3 4C4C5A 4＝ 960(个 )，所以这样的四位数共有 1 080 个.(2) 在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24 个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12 个“ 正交线面对” ，所以共有36 个“正交线面对”.【规律方法】1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：(1)一般是先分类再分步 .在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可适合地列出表示图或列出表格，使问题形象化、直观化.2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不一样的地区分步达成.【训练 3】 (1)(2019 ·衡水调研 )用 0， 1，， 9 十个数字，能够构成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279(2)( 一题多解 )(2019 青·岛质检 )如下图，用 4 种不一样的颜色涂入图中的矩形A， B， C，D 中，要求相邻的矩形涂色不一样，则不一样的涂法有()A.72 种B.48 种C.24 种D.12 种(3) 如下图，在连接正八边形的三个极点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个 (用数字作答 ).【答案】(1)B (2)A (3)40【分析】(1)0， 1， 2，， 9 共能构成 9×10× 10＝900(个 )三位数，此中无重复数字的三位数有9× 9× 8＝ 648(个 )，∴ 有重复数字的三位数有900－ 648＝252(个 ).(2) 法一第一涂 A 有 4 种涂法，则涂 B 有 3 种涂法， C 与 A，B 相邻，则 C 有 2 种涂法， D 只与 C 相邻，则 D 有 3 种涂法，所以共有 4× 3× 2× 3＝ 72 种涂法 .法二按要求涂色起码需要 3 种颜色，故分两类：一是 4 种颜色都用，这时A有 4种涂法， B有 3种涂法，C 有 2 种涂法， D 有 1 种涂法，共有 4× 3× 2× 1＝ 24(种 )涂法；二是用 3 种颜色，这时 A， B， C 的涂法有4× 3×2＝24(种 )， D 只需不与 C 同色即可，故 D 有 2 种涂法，所以不一样的涂法共有24＋ 24× 2＝ 72(种 ).(3)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8× 4＝ 32(个 ).第二类，有两条公共边的三角形共有8 个 .由分类加法计数原理知，共有32＋ 8＝ 40(个 ).【反省与感悟】1.应用两个计数原理的难点在于明确分类仍是分步.在办理详细的应用问题时，第一一定弄清楚“分类”与“分步”的详细标准是什么.选择合理的标准办理事情，能够防止计数的重复或遗漏.2.(1) 分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理乞降，获取总数.(2)分步要做到“ 步骤完好” ，达成了全部步骤，恰巧达成任务，自然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后依据分步乘法计数原理，把达成每一步的方法数相乘，获取总数 . 3.混淆问题一般是先分类再分步 .4.要适合画出表示图或树状图，使问题的剖析更直观、清楚，便于探究规律.【易错防备】1.确实理解“达成一件事”的含义，以确立需要分类仍是需要分步进行.2.分类的重点在于要做到“ 不重不漏” ，分步的重点在于要正确设计分步的程序，即合理分类，正确分步.3.确立题目中能否有特别条件限制.【分层训练】【础稳固题组】(建议用时： 35 分钟 )一、选择题1.从会集 {0 ， 1，2， 3， 4， 5， 6} 中任取两个互不相等的数a，b 构成复数a＋bi ，此中虚数的个数是()A.30B.42C.36D.35【答案】 C【分析】由于 a＋ bi 为虚数，所以b≠0，即 b 有 6 种取法， a 有 6 种取法，由分步乘法计数原理知能够组成 6× 6＝36 个虚数 .2.已知两条异面直线 a， b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这13 个点能够确立不一样的平面个数为( )A.40B.16C.13D.10【答案】 C【分析】分两类状况议论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点能够确立 8 个不一样的平面；第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点能够确立 5 个不一样的平面 .依据分类加法计数原理知，共能够确立8＋ 5＝ 13 个不一样的平面 .3.(2019 济·南调研 )有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数在数学检测时要求每位教师不可以在本班监考，则不一样的监考方法有 ( )A.8 种B.9 种C.10 种D.11 种【答案】 B【分析】设四位监考教师分别为A，B，C，D ，所教班分别为a，b，c，d，假定 A 监考 b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不一样方法，同理A监考c，d时，也分别有3 种不一样方法，由分类加法计数原理，共有 3＋ 3＋ 3＝ 9(种 )不一样的监考方法.4.(2019 宁·波质检 )将一个四周体ABCD 的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不可以涂同样颜色，则不一样的涂色方案有()A.1 种B.3 种C.6 种D.9 种【答案】 C【分析】由于只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应当将四周体的对棱涂成同样的颜色，故有3× 2×1 ＝ 6(种 )涂色方案 .5.某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由 6 或 8 构成的，则这样的电话号码的个数为()A.20B.25C.32D.60【答案】 C【分析】依照题意知，后五位数字由 6 或 8 构成，可分 5 步达成，每一步有 2 种方法，依据分步乘法计数原理，切合题意的电话号码的个数为25＝ 32.6.会集 P＝ {x ，1} ，Q＝ {y ， 1，2} ，此中 x， y∈ {1 ， 2， 3，， 9} ，且 P? Q.把知足上述条件的一对有序整数对 (x， y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A.9B.14C.15D.21【答案】 B【分析】当 x＝ 2 时， x≠y，点的个数为1×7＝ 7.当 x≠2时，由 P? Q，∴ x＝ y.∴ x 可从 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 中取，有7种方法 .所以知足条件的点共有7＋ 7＝ 14(个 ).7.将 2 名教师， 4 名学生疏成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和2 名学生构成，则不一样的安排方案共有( )A.12 种B.10 种C.9 种D.8 种【答案】 A【分析】第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C21＝ 2(种 )选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，此外两名到乙地，有C42＝6(种)选派方法；由分步乘法计数原理可知，不一样的选派方案共有2× 6＝ 12(种).8.从会集 {1 ， 2，3， 4，， 10} 中，选出 5 个数构成子集，使得这 5 个数中随意两个数的和都不等于11，则这样的子集有 ( )A.32 个B.34 个C.36 个D.38 个【答案】 A【分析】将和等于11 的放在一组： 1 和 10，2 和 9，3 和 8，4 和 7，5 和 6.从每一小组中取一个，有C21＝2种，共有 2× 2× 2× 2× 2＝ 32(个 ).二、填空题9.某人从甲地到乙地，能够乘火车，也能够坐轮船，在这天的不一样时间里，火车有 4 趟，轮船有 3 次，问这人的走法可有________种 .【答案】7【分析】由于某人从甲地到乙地，乘火车的走法有 4 种，坐轮船的走法有 3 种，每一种方法都能从甲地到乙地，依据分类加法计数原理，可得这人的走法可有4＋ 3＝ 7(种 ).10.乘积 (a1＋ a2＋ a3)(b1＋ b2＋ b3＋ b4)(c1＋ c2＋ c3＋ c4＋ c5)睁开后的项数为________.【答案】60【分析】从第一个括号中选一个字母有 3 种方法，从第二个括号中选一个字母有 4 种方法，第三个括号中选一个字母有 5 种方法，故依据分步乘法计数原理可知共有N＝ 3× 4× 5＝ 60(项 ).11.在编号为1，2，3，4，5，6 的六个盒子中放入两个不一样的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不可以在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不一样的放小球的方法有________种 .【答案】20【分析】设两个不一样的小球为A，B，当 A 放入 1 号盒或许 6 号盒时， B 有 4 种不一样的放法；当 A 放入 2，3， 4， 5 号盒时， B 有 3 种不一样的放法，一共有4× 2＋ 3× 4＝ 20 种不一样的放法 .12.三边长均为正整数，且最大边长为11 的三角形的个数是________.【答案】36【分析】另两边长用x，y(x，y∈N* )表示，且不如设1≤ x≤ y≤ 11，要构成三角形，一定x＋ y≥ 12.当 y 取11时， x 可取 1，2，3，， 11，有 11 个三角形；当 y 取 10 时， x 可取 2，3，，10，有 9 个三角形；；当 y 取 6 时， x 只好取 6，只有 1 个三角形 .所以所求三角形的个数为11＋ 9＋7＋ 5＋ 3＋1＝ 36.【能力提高题组】(建议用时： 15 分钟 )13.如图，图案共分9 个地区，有 6 种不一样颜色的涂料可供涂色，每个地区只好涂一种颜色的涂料，此中 2 和 9 同色、 3 和 6 同色、 4 和 7 同色、 5 和 8 同色，且相邻地区的颜色不同样，则涂色方法有()A.360 种B.720 种C.780 种D.840 种【答案】 B【分析】由题意知 2， 3， 4， 5 的颜色都不同样，先涂 1，有 6 种方法，再涂 2，3， 4， 5，有 A 45种方法，故一共有 6·A 45＝ 720 种 .14.我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”)，则首位为 2 的“六合数”共有 ()A.18 个B.15 个C.12 个D.9 个【答案】 B【分析】依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4，0，0 构成 3 个数分别为400，040，004；由 3， 1， 0 构成 6 个数分别为310， 301， 130， 103， 013， 031；由 2， 2， 0 构成 3 个数分别为220，202， 022；由 2， 1， 1 构成 3 个数分别为211，121， 112.合计 3＋6＋ 3＋ 3＝15(个 ).15.从 1，2，3，4，7，9 六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则全部不一样对数值的个数为________. 【答案】17【分析】当所取两个数中含有 1 时， 1 只好作真数，对数值为0，当所取两个数不含有 1 时，可获取 A 25＝20(个 )对数，但log23＝ log 49， log3 2＝ log 94， log2 4＝ log 39， log4 2＝ log93.综上可知，共有20＋ 1－4＝ 17(个 ) 不一样的对数值.16.已知会集 M ＝ {1 ， 2，3，4} ，会集 A ， B 为会集 M 的非空子集，若对 ? x∈ A ， y∈ B ，x<y 恒建立，则称(A ， B) 为会集 M 的一个“子集对”，则会集 M 的“子集对”共有 ________个 .【答案】17【分析】A＝ {1} 时， B 有 23－1 种状况； A＝ {2} 时， B 有 22－ 1 种状况；A＝{3} 时， B 有 1种状况； A＝{1，2}时， B 有 22－1 种状况；A＝{1，3} ，{2 ，3} ，{1， 2，3} 时， B 均有 1 种状况，故知足题意的“ 子集对” 共有7＋3＋1＋3＋3＝17个.【新高考创新展望】17.(试题创新 )工人在安装一个正六边形部件时，需要固定如下图的六个地点的螺栓.若按必定次序将每个螺栓固定紧，但不可以连续固定相邻的 2 个螺栓，则不一样的固定螺栓方式的种数是________.第10页共11页第10页共11页【答案】60【分析】第一步在六个螺栓中随机选择一个固定，有 6 种不一样的选法，不如以选择地点 1 的螺栓为例，第二步，选择一个与 1 不相邻的地点的螺栓固定，此时有两类：地点 4 或地点 3， 5，入选择地点 4 时，第三个固定的螺栓地点能够为2， 6 中的一个，第四个固定的螺栓的地点相应有两种状况，此时第五个固定和第六个固定的地点相应确立；入选择地点3，5 时，不如以地点 3 为例，此时第三个固定的螺栓的地点能够为 5， 6 中的一个，若第三个固定的地点为5，则第四个固定的地点只有 2 一种选择，第五个固定的地点有两种选择，第六个固定的地点相应确立，若第三个固定的地点为6，则第四个固定的地点只好为4，第五个固定的地点只好为2，第六个固定的地点相应确立.综上所述，不一样的固定螺栓方式的种数为6× [2× 2＋ 2× (2 ＋1)] ＝60.第11页共11页第11页共11页。
高中数学 培优复习专用教材 第10章 计数原理与概率统计 改好672页 最新版
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第十章
组合中常见的问题 组合中常见的问题有分组中的“至多”与“至少”、“含”与 “不含”、“平均分组”问题,对于“至多”与“至少”可以进行分 类或用排除法处理,“含”先将这些元素取值,再由另外元素补足, “不含”先将不含的元素排除,再从其他元素中选取,分组时要考虑 特殊元素;“平均分组”先分组,再消去重复的组数.
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第十章
【解析】(1)分三类:第一类甲在周一,有A2 4 种排法;第二类甲在 2 周二,有A2 3 种排法;第三类甲在周三,有A2 种排法;所以共有 2 2 A2 4 +A3 +A2 =20 种方法. (2)分两步:第一步先排周五,有A1 3 种排法;第二步再排其他,有 1 2 A2 4 种排法;所以共有A3 A4 =36 种方法. 2 (3)分三类:第一类丙在周一或周五,有A1 2 ×3×A2 =12 种方法; 2 第二类丙在周二或周四,有A1 2 ×4×A2 =16 种方法;第三类丙在周三, 2 有A1 2 ×2×A2 =8 种方法,所以共有 12+16+8=36 种方法. 1 (4)分四类:第一类甲、丙在周一、周二,有A2 A 2 2 种方法;第二类 甲、 丙在周二、 周三,有A2 丙在周三、 周四,有A2 2 种方法;第三类甲、 2种 1 方法;第四类甲、丙在周四、周五,有A2 2 A2 种方法,所以共有 1 2 2 2 1 A2 2 A2 +A2 +A2 +A2 A2 =12 种方法.
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第十章
3.组合 (1)组合:从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素为一组,叫作 从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个组合. (2)组合数:从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组 ������ 合的个数,叫作从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的组合数,用C������ 表 示.
2023-2024学年高考数学专项复习——计数原理与概率统计(附答案)
2023-2024学年高考数学专项复习——计数原理与概率统计决胜2024年高考数学专项特训:计数原理与概率统计（解答题篇）1．镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；(2)现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这10 颗板栗中随机抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.2．杭州第19届亚运会，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，标志着我国体育运动又有了新的突破.某大学从全校学生中随机抽取了130名学生，对其日常参加体育运动情况做了调查，其中是否经常参加体育运动的数据统计如下：经常参加不经常参加男生6020女生4010(1)利用频率估计概率，现从全校女生中随机抽取5人，求其中恰有2人不经常参加体育运动的概率；(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否经常参加体育运动与性别有关联.0.1α=2χ参考公式.()()()()22(),n ad bc n a b c da b c d a c b d χ-==+++++++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.8283．某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得cm 男生样本的均值为170，方差为17，女生样本的均值为160，方差为30．(1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吧？4．一个问题，甲正确解答的概率为，乙正确解答的概率为.记事件甲正确解答，事0.80.7:A 件乙正确解答.假设事件与相互独立.:B A B (1)求恰有一人正确解答问题的概率；(2)某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下：解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为.A B +所以.()()()0.80.7 1.5P A B P A P B +=+=+=请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程.5．某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得010-分．根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为，且甲、乙答对与否互不影响，12,23每次答题的结果也互不影响．(1)求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望；X (2)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率．6．为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：运动鞋款式A B C D E 回访顾客（人数）700350300250400满意度0.40.50.60.50.6注：1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；(2)从A 、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的X X 分布列和数学期望；(3)用“”和“”分别表示对A 款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对1ξ=0ξ=1η=0η=B 款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）()D ξ()D η7．某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二A B n 条路线上有个路口.m (1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路2n =2m =23口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，3435哪条路线更好？请说明理由.(2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，i X ()()110ii i P X P X p ==-==11ni i n ii E X p ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率()2112,1,2,3,,n ni i i i i j i j E X p p p i j n ==≠⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ i 为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.12i8．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；(3)计划安排A 、B 、C 、D 、E 五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A 不任教“围棋”课程，教师B 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．9．根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：(1)2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？(2)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？10．绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：喜欢旅游不喜欢旅游总计男性203050女性302050x A(1)求月份与商品的月销售量(2)若规定月销售量大于35的月份为合格月，在合格月中月销售量低于分，月销售量不低于50的视为优秀，记12．聊天机器人（chatterbot ）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.X X k =0,1,,8k = ()P X k =()P X k =k 13．某班社会实践小组在寒假去书店体验图书销售员工作，并对某图书定价x (元)与当天销量y (本/天)之间的关系进行调查，得到了一组数据，发现变量大致呈线性关系，数据如下表,x y 所示定价x （元）681012销量y （本/天）141187参考数据：，1()()24nii i xx y y =--=-∑参考公式：回归方程中斜率的最小二乘估计值公式为y bx a =+$$$121()()()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ (1)根据以上数据，求出y 关于x 的回归直线方程；(2)根据回归直线方程，预测当该图书每天的销量为4本时，该图书的定价是多少元？14．俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出1ξ=的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，0ξ=1ξ=则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为．35310(1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；ξ(2)求张老师当天穿西装的概率．15．已知一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外全部相同.每次从盒子中随机取出1个球，并换入1个黑球，记以上取球换球活动为1次操作.设次操作后盒子中所剩黑n 球的个数为.ξ(1)当时，求的分布列；3n =ξ(2)当时，求的分布列和数学期望.(3)n k k =≥ξ()E ξ16．数字乡村是乡村振兴的战略方向，也是建设数字中国的重要内容.从乡村民宿到旅游演艺，(2)估计这100名员工各项素质分数的平均数与方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(3)若该平台准备挑选成绩较好的员工组建少？17．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出18．某超市计划按天从厂家订购酸奶，每瓶进价为4元，零售价为6元，若进货不足，则该超市以每瓶5元的价格进行补货，若销售有余，则厂家以3元回购，为此该超市收集并整理了30天这种酸奶的销售记录，得到了如下数据：销售瓶数2030405060频数361263以频率代替概率，记为这家超市每天销售该酸奶的瓶数，表示超市每天购进该酸奶的瓶X n 数.(1)求的分布列和数学期望；X (2)以销售该酸奶所得的利润的期望为决策依据，在和之中选一个，应选用哪个？55n =60n =答案：1．(1)57.5(2)分布列见解析，85【分析】（1）先通过分析确定中位数在内；再设中位数为，列出方程求解即可.[)50,60m （2）先根据分层抽样确定从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗[)40,506[]70,80中抽取颗；再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式4X 可得出答案．【详解】（1）因为，()0.0080.018100.260.5+⨯=<0.260.032100.580.5+⨯=>所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．[)50,60设该板栗园的板栗质量的中位数为，m 则，解得，()500.0320.260.5m -⨯+=57.5m =所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取[)40,50颗，从质量在内的板栗中抽取颗．0.0181060.0180.012⨯=+[]70,800.0121040.0180.012⨯=+的所有可能取值为．X 0,1,2,3,4，()()431664441010C C C 180,1C 14C 21P X P X ======，()()22136464441010C C C C 342,3C 7C 35P X P X ======．()44410C 14C 210P X ===从而的分布列为X X01234P114821374351210故．()1834180123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2．(1)；128625(2)经常参加体育运动与性别没有关联.【分析】（1）由题设知抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，应用二项1(5,)5X B 分布概率求法求概率；（2）写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验基本思想得到结论.【详解】（1）由表格知：经常参加与不经常参加体育运动的女生比例为，4:1所以，抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，1(5,)5X B 故恰有2人不经常参加体育运动的概率.232541128C ()()55625=（2）由题设得列联表如下：22⨯经常参加不经常参加男生602080女生40105010030130故，22130(60104020)0.433 2.706100308050χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以，依据小概率值的独立性检验认为经常参加体育运动与性别没有关联.0.1α=3．(1)不能，因为题目没有给出男、女生的样本量(2)均值为166，方差为46.2【分析】（1）由于不知道男、女生的样本量，故无法得到总样本的均值和方差；（2）根据男、女样本量按比例分配，得到总样本的均值，再根据公式得到总样本的方差.【详解】（1）不能，因为题目没有给出男、女生的样本量．（2）总体样本的均值为，300200170160166500500⨯+⨯=总体样本的方差为．2230020017(170166)30(160166)46.2500500⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦4．(1)0.38(2)答案见解析【分析】（1）分析可知，事件“恰有一人正确解答”可表示为，利用互斥事件和独立AB AB +事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）指出该同学作答的错误之处，分析可知，“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为，利用互斥事件和独立事件的概率公式可求AB AB AB ++得所求事件的概率，或利用对立事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）解：事件“恰有一人正确解答”可表示为，AB AB +因为、互斥，与相互独立，AB AB A B 所以.()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+0.20.70.80.30.38=⨯+⨯=（2）解：该同学错误在于事件、不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式.A B 正确的解答过程如下：“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为，且、、两两互斥，与相互独立，AB AB AB ++AB AB AB A B 所以()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++.()()()()()()0.20.70.80.30.80.70.94P A P B P A P B P A P B =++=⨯+⨯+⨯=或者.()()()()11P A B P AB P A P B +=-=-()()110.810.70.94=---=5．(1)分布列见解析，()53E X =-(2)55108【分析】（1）由题意知，取值可能为，分别求出对应的概率，写出分布列，再X 10,0,10-由数学期望公式即可.（2）由独立事件乘法公式及互斥事件的概率即可求出结果.【详解】（1）取值可能为，X 10,0,10-；()121101233P X ⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；()1212101123232P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121101236P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭所以的分布列为X X10-010P131216．()1115100103263E X =-⨯+⨯+⨯=-（2）由（1）可知在一局比赛中，乙获得10分的概率为，乙获得0分的概率2111323⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭为，乙获得分的概率为．121211123232⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10-1211236⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭在3局比赛中，乙获得30分的概率为；3111327P ⎛⎫==⎪⎝⎭在3局比赛中，乙获得20分的概率为；2223111C 326P ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭在3局比赛中，乙获得10分的概率为，2212333111111C C 323636P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以乙最终获胜的概率为．12311115527636108P P P P =++=++=6．(1)顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．C 9100(2)的分布列见解答．的期望是1X X (3)()()D D ξη<【分析】（1）求出款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数，然后求解顾客是款C C 式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率．（2）的取值为0，1，2，设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对X M A 该款式运动鞋满意”，事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运N E 动鞋满意”，说明事件与相互独立．然后求解的概率，得到分布列，然后求解期M N X 望．（3）由两点分布的方差公式计算比较与的大小．()D ξ()D η【详解】（1）由题意知，是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为，C 3000.6180⨯=故从所有的回访顾客中随机抽取1人，此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．18092000100=（2）的取值为0，1，2．设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对X M A 该款式运动鞋满意”，事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，N E 且事件与相互独立．M N 根据题意，，．()0.4P M =()0.6P N =则，(0)()(1())(1())0.60.40.24P X P MN P M P N ===--=⨯=，()()(1)()()()1()1()()0.40.40.60.60.52P X P MN P MN P M P N P M P N ==+=-+-=⨯+⨯=，(2)()()()0.40.60.24P X P MN P M P N ====⨯=所以的分布列为：X X012P0.240.520.24的期望是：．（3）都服从两点分布，X ()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=,ξη，，()10.4P ξ==()10.5P η==，，()()0.410.40.24D ξ=⨯-=()()0.510.50.25D η=⨯-=所以.()()D D ξη<7．(1)应选择第一条路线，理由见解析(2)2113342n n+-⋅【分析】（1）由题意，，分别求出相应的概率然后，结合期望公式即可10,1,2X =20,1,2X =比较，得出结论.（2）结合所给的均值方差性质，以及等比数列前项和公式即可求解.n 【详解】（1）应选择第一条路线，理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、，1X 2X 则，，10,1,2X =20,1,2X =，，，()2111039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()1122141C 339P X ==⨯⨯=()2212242C 39P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭所以；()1484993E X =+=又，，，()212104510P X ==⨯=()2321391454520P X ==⨯+⨯=()233924520P X ==⨯=所以；()299272202020E X =+⨯=因为，所以应选择第一条路线.427320<（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为，X 所以；，()11nni i i i E X E X p ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑()22112n n i i i ji i i j E X E X p p p ==≠⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑设随机变量，取值为，其概率分别为，且，Y Y ()1,2,3,,i Y i n =L i q 11ni i q ==∑()(){}21ni i i D Y Y E Y q ==-⎡⎤⎣⎦∑()(){}2212n i i i i ii Y q E Y Y q E Y q ==⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦∑()()()()()22221112nnni i i i i i i i Y q E Y Y q E Y q E Y E Y ====⋅-⋅+⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑∑所以()()()()22D X E X E X =-2112nn i i j i i i j i p p p p =≠=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑，21122nn i i j i i j i i j i i j p p p p p p =≠=≠⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑()21ni i i p p ==-∑又因为，所以.12i i p =()1111111111224411241124n nn n i i i i D X ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---∑∑2113342n n =+-⋅8．(1)480(2)360(3)1140【分析】（1）采用插空法，先拍其余四科，再插空；（2）特殊的先排，再用分步乘法；（3）按甲所教科目的数量分类，然后由分类加法计数原理求解.【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况；44A 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；25A 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；4245A A 480⨯=（2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；26A 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；14C 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；23C 因此，所有选课种数为.212643A 6C C 30⨯⨯=（3）①当A 只任教1科时：先排A 任教科目，有种；再从剩下5科中排B 的任教科目，15C 有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以15C 2343C A 当A 只任教1科时，共有种；1123554343C C C A 5532190021⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯②当A 任教2科时：先选A 任教的2科有中，这样6科分为4组共有25C 种，245454C A 432124021⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯所以，当A 任教2科时，共有种，9002401140+=综上，A 不任教“围棋”的课程安排方案有1140种．9．(1)48(2)72【分析】（1）捆绑法结合分步计数原理即可；（2）插空法结合分步计数原理即可；【详解】（1）根据题意，先将2名女教师排在一起，有种坐法，22A 2=将排好的女教师视为一个整体，与3名男教师进行排列，共有种坐法，44A 24=由分步乘法计数原理，共有种坐法．22448⨯=（2）根据题意，先将3名男教师排好，有种坐法，33A 6=再在这3名男教师之间及两头的4个空位中插入2名女教师，有种坐法，24A 12=由分步乘法计数原理，共有种坐法．61272⨯=10．(1)有的把握认为喜欢旅游与性别有关95%(2)分布列见解析，()45E ξ=【分析】（1）将表中数据代入的计算公式并将计算结果与比较大小，由此可知结果；2K 3.841（2）根据条件判断出，然后计算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，22,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:ξ根据分布列可求.()E ξ【详解】（1）因为，22100(20203030)4 3.84150505050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有的把握认为喜欢旅游与性别有关.95%（2）由表中数据可知：从全市男性市名中随机抽取一人，该人喜欢旅游的概率为，202505=由题意可知：，的可能取值为0,1,2.22,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:ξ所以，()222290C 15525P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()111222121C 15525P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()02222242C 15525P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的分布列为：ξξ12P9251225425所以（或者）.()912440122525255E ξ=⨯+⨯+⨯=()24255E ξ=⨯=11．(1)ˆ523yx =+(2)分布列见解析，()21E X =【分析】（1）由题意先分别算出，，结合已知参数即可算出，4x =721140ii x==∑ˆ5b =，从而即可得解.ˆ23a=（2）合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，由超几何分布的概率公式即可求出分布列，进一步得出数学期望.【详解】（1），，()112345674,437x y =++++++==711344i i i x y ==∑，72222222211234567140ii x==++++++=∑所以，，213447443ˆ514074b -⨯⨯==-⨯ˆˆ435423a y b x =-⋅=-⨯=所以.ˆ523yx =+（2）由题可知，合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，所以，()()()21123232333555C C C C 113315,20,25C 10C 5C 10P X P X P X =========所以的分布列为X X152025P11035310数学期望.()1331520252110510E X =⨯+⨯+⨯=12．(1)0.75(2)6【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，A B 由题意，，，则()0.1P A =()0.8P B A =()0.3P B A =，()1()0.9P A P A =-=.()()()()()()()0.90.80.10.30.75P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+=⨯+⨯=（2）依题意，，，3(8,)4X B 8831()()()44k k kP X k -==C 当最大时，有()P X k =()()()()1,1,P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩即解得：，，8171888191883131C C ,44443131C C ,4444k k k k k k k k k kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩232744k ≤≤k ∈N 故当最大时，.()P X k =6k =13．(1)；1.220.ˆ8yx =-+(2).14【分析】（1）利用最小二乘法直接计算求回归直线方程即可；（2）利用回归直线方程代入计算即可.【详解】（1）由表格可知，6810121411879,1044x y ++++++====则，()()()()4222221()698910912920ii x x =-=-+-+-+-=∑所以，41421()()1.2()ˆiii ii x x y y bx x ==--==--∑∑则，故；1.2.8ˆ20ˆy x aa =-+⇒= 1.220.ˆ8y x =-+（2）由（1）知，当时，，1.220.ˆ8yx =-+4y =14x =即当该图书每天的销量为4本时，该图书的定价是元.1414．(1)分布列见解析；，()13E ξ=()29D ξ=(2)25【分析】（1）结合古典概型即可写出分布列，进而可求期望与方差；（2）结合条件概率即可求解.【详解】（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种，6636⨯=掷出的点数之和是3的倍数有：，12种；(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)则掷出的点数之和不是3的倍数有24种，随机变量的取值为0，1，ξ，()2420363P ξ===()1211363P ξ===所以的分布列为：ξξ1P2313．()21101333E ξ=⨯+⨯=；()22111221033339D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装．A AB B 根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为，()13P A =()23P A =穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为，()30.65P B A ==()310P B A =则当天穿西装的概率为．()()()()()13232353105P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=所以张老师当天穿西装的概率为．2515．(1)分布列见解析(2)分布列见解析，数学期望为2323k⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）首先分析题意，列出，即3次摸换球后的可能取值为1，2，3，3n =ξ再一次计算可能即可.（2）利用（1）中题意，进行分析即可，最后算出答案.【详解】（1），即3次摸换球后的可能取值为1，2，3.3n =ξ当，即3次摸球都摸到黑球，1ξ=1111(1)33327P ξ==⨯⨯=当，即3次摸球中有且仅有2次摸到黑球，1次白球，2ξ=()()()(2)P P P P ξ==++黑黑白黑白黑白黑黑112122222333333333=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1427=当，即3次摸球中有且仅有1次摸到黑球，2次白球，3ξ=()()()(3)P P P P ξ==++黑白白白黑白白白黑12122121133333333=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.1227=分布列为∴ξ122P12714271227（2）时，即次摸球换球后，黑球个数可能取值为1，2，3(3)n k k =≥k ξ同（1）当，即次摸球都摸到黑球，1ξ=k 1(1)3kP ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭当，即次摸球有且仅有“”次摸到黑球，1次摸到白球，2ξ=k 1k -()()()(2)P P P P ξ==+++白黑黑黑黑黑黑黑白黑白12122122123333333k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯++⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112223kk k -=+++ .当，()2121312kk -=⋅-2123k k -=⋅3ξ=(3)1(1)(2)P P P ξξξ==-=-=，，()2211133k kk -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12113k k +-=-()()14213211()3333k k k k k E ξ+--⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭2233kk ⋅=-2323k⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由题知，平均数为65x =方差为20.1(6582)0.3S =⨯-+⨯（3）因为从100名员工中挑选工组建“数字乡村发展部”，所以应选成绩为70百分位数及其后的分数的员工，所以被挑选的员工分数不低于.87.517．(1)12(2)方案二，理由见解析【分析】（1）由古典概型结合组合数公式求解；（2）分别求解两方案的均值和方差比较可得结果【详解】（1）设顾客的奖励额为X,依题意得()111324C C 160C 2P X ===（2）根据方案一，设顾客的奖励额为其可能取值为30，，30m60，901,X ，，()22124C 130C 6P X ===()1122124C C 4260C 63P X ====()22124C 190C 6P X ===()112130609060636E X =⨯+⨯+⨯=()()()()2221121306060609060300636D X =-⨯+-⨯+-⨯=根据方案二，设顾客的奖励额为其可能取值为40，60，802,X ，，()22224C 140C 6P X ===()1122224C C 4260C 63P X ====()22224C 180C 6P X ===()212140608060636E X =⨯+⨯+⨯=()()()()22221214004060606080606363D X =-⨯+-⨯+-⨯=商场对奖励总额的预算是30000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二18．(1)分布列见解析，数学期望为40；(2).55n =【分析】（1）直接根据表格计算离散型随机变量的分布列及期望即可；（2）分类计算两种情形的分布列及期望，比较大小决定即可.【详解】（1）根据表格可知的所有可能取值为：，X 20,30,40,50,60且，()()36200.1,300.23030======P X P X，()()()1263400.4,500.2,600.1303030=========P X P X P X 所以分布列为：X2030405060P0.10.20.40.20.1.()200.1300.2400.4500.2600.140E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）①当时，设为“超市销售该酸奶所得的利润”，55n =1Y 则当时，；当时，；20X =12201355Y =⨯-⨯=30X =123012535Y =⨯-⨯=当时，；当时，；40X =124011565Y =⨯-⨯=50X =12501595Y =⨯-⨯=当时，；60X =125515115Y =⨯+⨯=所以的分布列为：1Y 1Y 5356595115P0.10.20.40.20.1，()150.1350.2650.4950.21150.164E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=②当时，设为“超市销售该酸奶所得的利润”，则60n =2Y 当时，；20X =22201400Y =⨯-⨯=当时，；30X =223013030Y =⨯-⨯=当时，；40X =224012060Y =⨯-⨯=当时，；50X =225011090Y =⨯-⨯=当时，；60X =2260120Y =⨯=所以的分布列为：2Y 2Y 0306090120P0.10.20.40.20.1，()200.1300.2600.4900.21200.160E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故应选.()()12E Y E Y >55n =。
小题专练11-2023届高考数学一轮复习新高考版
小题专练11计数原理、概率与统计(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1..(考点:古典概型的应用,★)有编号分别为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球,每个盒子放入一个小球,则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为().A.1 3B.56C.23D.8272.(考点:随机数表的应用,★)福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02,…,33的33个球组成,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从随机数表第1行的第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为().A.21B.09C.02D.173(考点:二项分布的期望与方差,★)已知随机变量ξ~B(n,p),且E(ξ)=6,D(ξ)=3,则n的值为().A.10B.8C.16D.124.(考点:组合和计数原理的应用,★★)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有().A.60种B.64种C.65种D.66种5.(考点:二项式定理的应用,★★)设(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,若a3+a4=0,则a5=().A.256B.-128C.64D.-326.(考点:排列组合的应用,★★)某食品厂为了促销,制作了3种不同的精美卡片,每袋食品中随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖,现购买4袋该食品,能获奖的概率为().A.4 27B.827C.49D.897.(考点:条件概率的应用,★★)若全体Ω={1,2,3,4,5,6},令事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},则P(B|A)的值为().A.2 3B.13C.12D.358.(考点:线性回归方程,★★)具有相关关系的两个量x 、y 的一组数据如下表,回归方程是y ＾=0.67x+54.9,则m=( ).x 10 20 30 40 50 y62m758189A.65B.67C.68D.70二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:正态分布与线性回归,★★)下列说法中正确的是( ).A .已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),P (ξ<4)=0.84,则P (2<ξ<4)=0.16B .以模型y=c e kx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=ln y ,将其变换后得到线性回归方程z ＾=0.3x+4,则c ,k 的值分别是e 4和0.3C .已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为y ＾=a+bx ,若b=2,x −=1,y −=3,则a=1 D .若样本数据x 1,x 2,…,x 10的方差为2,则数据2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的方差为1610.(考点:扇形统计图,★★)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中正确的是( ). A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半11.(考点:独立性检验的应用,★★)针对时下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的45,女生喜欢抖音的人数占女生人数的35,若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则调查人数中男生可能有( )人. 附:P (K 2≥k 0) 0.050 0.010 k 03.8416.635K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ). A .25 B .45C .60D .7512.(考点:概率的求解公式,★★)下列对各事件发生的概率判断正确的是( ).A .某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B .三人独立破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为15,13,14,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为25C .甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为12D .设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同,则事件A 发生的概率是29三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:分层抽样的应用,★★)某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2∶6∶4,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中青年人人数为100,则n= . 14.(考点:二项式定理的应用,★★)若二项式(√x +m x 2)n 的展开式的二项式系数之和为32,常数项为10,则实数n 的值为 ,实数m 的值为 .15.(考点:正态分布的应用,★★)已知在某市的高二期末考试中,该市学生的数学成绩X~N (90,σ2),若P (70≤X≤90)=0.4,则从该市学生中任选一名学生,该学生的数学成绩小于110分的概率为 .16.(考点:离散型随机变量的数学期望,★★★)某袋中装有5个除编号外完全相同的小球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个小球,记被取出的小球的最大号码数为ξ,则E (ξ)= .答案解析：1.(考点:二项分布的期望与方差,★)已知随机变量ξ~B (n ,p ),且E (ξ)=6,D (ξ)=3,则n 的值为( ). A .10 B .8 C .16 D .12【解析】依题意,由二项分布的期望和方差公式得{E (ξ)=np =6,D (ξ)=np (1-p )=3,解得{n =12,p =12. 【答案】D2.(考点:随机数表的应用,★)福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02,…,33的33个球组成,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从随机数表第1行的第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为( ).A .21B .09C .02D .17【解析】从随机数表第1行的第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,除去大于33的数字以及重复数字,则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02,故选出的第6个红色球的编号为02. 【答案】C3.(考点:古典概型的应用,★)有编号分别为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球,每个盒子放入一个小球,则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为( ). A .13 B .56 C .23 D .827【解析】以(a ,b ,c )表示编号为1,2,3的盒子分别放编号为a ,b ,c 的小球,则所有的基本事件有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),共6种,其中,事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有(2,3,1),(3,1,2),共2个,因此“小球的编号与盒子编号全不相同”的概率为26=13. 【答案】A4.(考点:组合和计数原理的应用,★★)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( ).A .60种B .64种C .65种D .66种【解析】从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,有3种情况:4个偶数,2个偶数2个奇数,4个奇数.所以不同的取法共有C 44+C 42C 52+C 54=66(种).【答案】D5.(考点:二项式定理的应用,★★)设(1-2x )n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ,若a 3+a 4=0,则a 5=( ). A .256B .-128C .64D .-32【解析】∵a 3+a 4=C n 3·(-2)3+C n 4·(-2)4=0,∴n=5,则a 5=C 55·(-2)5=-32.【答案】D6.(考点:排列组合的应用,★★)某食品厂为了促销,制作了3种不同的精美卡片,每袋食品中随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖,现购买4袋该食品,能获奖的概率为( ). A .427 B .827 C .49 D .89【解析】由分步乘法计数原理可知,3种不同的精美卡片随机放进4袋食品中共有34=81种不同放法,4袋食品中有3种不同的卡片的放法有C 42·A 33=36种,根据等可能事件的概率公式得能获奖的概率为3681=49,故选C . 【答案】C7.(考点:条件概率的应用,★★)若全体Ω={1,2,3,4,5,6},令事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},则P (B|A )的值为( ). A .23 B .13 C .12 D .35【解析】由题意可得P (A )=36=12,事件AB={2,5},则P (AB )=26=13,由条件概率公式得P (B|A )=1312=23. 【答案】A8.(考点:线性回归方程,★★)具有相关关系的两个量x 、y 的一组数据如下表,回归方程是y ＾=0.67x+54.9,则m=( ).A.65B.67C.68D.70 【解析】∵x −=10+20+30+40+505=30,y −=62+m+75+81+895=307+m5,将点(30,307+m 5)代入回归直线方程得0.67×30+54.9=307+m 5,解得m=68.故选C. 【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:正态分布与线性回归,★★)下列说法中正确的是( ).A .已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),P (ξ<4)=0.84,则P (2<ξ<4)=0.16B .以模型y=c e kx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=ln y ,将其变换后得到线性回归方程z ＾=0.3x+4,则c ,k 的值分别是e 4和0.3C .已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为y ＾=a+bx ,若b=2,x −=1,y −=3,则a=1 D .若样本数据x 1,x 2,…,x 10的方差为2,则数据2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的方差为16 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),P (ξ<4)=0.84,∴P (2<ξ<4)=P (ξ<4)-0.5=0.84-0.5=0.34,故A 错误; ∵y=c e kx ,∴ln y=ln(c e kx )=kx+ln c ,∵z ＾=0.3x+4,∴ln y=0.3x+4,从而k=0.3,ln c=4,∴k=0.3,c=e 4,故B 正确; ∵直线y ＾=a+bx 过点(x −,y −),∴3=a+b ,∵b=2,∴a=1,故C 正确;∵样本数据x 1,x 2,…,x 10的方差为2,∴数据2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的方差为2×22=8,故D 错误.【答案】BC10.(考点:扇形统计图,★★)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中正确的是( ). A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解析】设新农村建设前,农村的经济收入为a ,则新农村建设后,农村经济收入为2a.新农村建设前后,各项收入的对比如下表:故选BCD.【答案】BCD11.(考点:独立性检验的应用,★★)针对时下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做,女生喜欢抖音的人数占了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的45,若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则调查人数中男生可能有()人.女生人数的35附:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ). A .25 B .45 C .60 D .75【解析】设男生的人数为5n (n ∈N *),根据题意列出2×2列联表如下:则K 2的观测值k=10n×(4n×2n -3n×n )25n×5n×7n×3n=10n 21,由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则3.841≤k<6.635,即3.841≤10n21<6.635,解得8.0661≤n<13.9335.因为n ∈N *,则n 的可能取值有9,10,11,12,13,所以调查人数中男生人数的可能值为45,50,55,60,65,故选BC . 【答案】BC12.(考点:概率的求解公式,★★)下列对各事件发生的概率判断正确的是( ).A .某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B .三人独立破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为15,13,14,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为25C .甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为12D .设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同,则事件A 发生的概率是29【解析】对于A 选项,该学生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为(1-13)2×13=427,故A 正确;对于B 选项,用A ,B ,C 分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则P (A )=15,P (B )=13,P (C )=14,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为45×23×34=25,所以此密码被破译的概率为1-25=35,故B 错误;对于C 选项,设“从甲袋中取到白球”为事件A ,则P (A )=812=23,设“从乙袋中取到白球”为事件B ,则P (B )=612=12,故取到同色球的概率为23×12+13×12=12,故C 正确;对于D 选项,易得P (A ∩B −)=P (B ∩A −),即P (A )·P (B −)=P (B )·P (A −),即P (A )[1-P (B )]=P (B )·[1-P (A )],所以P (A )=P (B ).又P (A −∩B −)=19,所以P (A −)=P (B −)=13,所以P (A )=23,故D 错误.【答案】AC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:分层抽样的应用,★★)某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2∶6∶4,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中青年人人数为100,则n= .【解析】用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中青年人人数为100,则100n=42+6+4,解得n=300. 【答案】30014.(考点:二项式定理的应用,★★)若二项式(√x +m x 2)n的展开式的二项式系数之和为32,常数项为10,则实数n 的值为 ,实数m 的值为 . 【解析】由题意得2n =32,即n=5, 则(√x +m x 2)n 的展开式的通项公式为T r+1=C 5r ·(√x )5-r ·(m x2)r =m r ·C 5r ·x 5-5r2. 令5-5r 2=0,可得r=1,则(√x +m x 2)n展开式中的常数项为T 2=m ·C 51=5m ,故5m=10,解得m=2. 【答案】5 215.(考点:正态分布的应用,★★)已知在某市的高二期末考试中,该市学生的数学成绩X~N (90,σ2),若P (70≤X≤90)=0.4,则从该市学生中任选一名学生,该学生的数学成绩小于110分的概率为 . 【解析】∵X~N (90,σ2),∴μ=90,又P (70≤X ≤90)=0.4,∴P (90≤x ≤110)=0.4,∴P (X ≥110)=1-0.4×22=0.1,则P (X<110)=1-0.1=0.9.∴该学生的数学成绩小于110分的概率为0.9.【答案】0.916.(考点:离散型随机变量的数学期望,★★★)某袋中装有5个除编号外完全相同的小球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个小球,记被取出的小球的最大号码数为ξ,则E (ξ)= . 【解析】由题意可知ξ的可能取值为3,4,5, 则P (ξ=3)=C 33C 53=0.1,P (ξ=4)=C 32C 53=0.3,P (ξ=5)=C 42C 53=0.6,所以E (ξ)=0.1×3+0.3×4+0.6×5=4.5. 【答案】4.5。
高考数学复习资料88专题10 计数原理、概率与统计 含答案
1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3,4,5)，则P (2<X ≤4)＝________.2．若随机变量X 的概率分布如下表所示，则表中a 的值为________.3．(2015·泰州二模改编)5名幸运之星，这5名幸运之星可获得A 、B 两种奖品中的一种．规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品，设X ，Y 分别为获得A ，B 两种奖品的人数，记ξ＝|X －Y |，则随机变量ξ的均值是________． 4．已知随机抛掷一枚质地均匀的骰子，其中该骰子有3个面上的标号为0,1个面上的标号为1,2个面上的标号为2，用ξ表示随机抛掷一次骰子后所得的标号．若η＝mξ－2，E (η)＝3，则m ＝________.5．下列表达式中是离散型随机变量X 的分布列的是________． ①P (X ＝i)＝0.1，i ＝0,1,2,3,4； ②P (X ＝i)＝i 2＋550，i ＝1,2,3,4,5；③P (X ＝i)＝i10，i ＝1,2,3,4,5；④P (X ＝i)＝0.2，i ＝1,2,3,4,5.6．某次国际象棋比赛规定，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平的概率为b ，负的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知该队员比赛一局得分的均值为1，则ab 的最大值为________．7．(2015·乌鲁木齐二诊)一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了，设放对的个数为ξ，则ξ的均值为________．8．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)＝________.9．在某公司举办的某次春游活动中，员工之间举行了一次猜谜游戏，已知共有A ，B 两类谜语供员工竞猜，其中A 类谜语共8个，猜对1个可得2元奖金，B 类谜语共2个，猜对1个可得5元奖金，猜不对均无奖金．游戏规定：每次竞猜时，先从这10个谜语中随机选出3个，再进行猜谜，所得奖金为3次猜谜的奖金之和．已知某员工能够完全猜对A 类谜语，而猜对B 类谜语的概率为12，则该员工竞猜一次获得的奖金数额的均值是________．10．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 为常数，则P (12<X <52)＝________.11．设离散型随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k ·(13)n －k，k ＝0，1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则V (ξ)的值为________．12．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)，则选出的3名同学中女同学的人数X 的概率分布为________．13．若一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件然后放回，则直至取到正品时所需次数X的分布列为P (X ＝k )＝________________________________________________________________________. 14．离散型随机变量X 的概率分布如下表，且E (X )＝2，则V (2X －3)＝________.答案解析1.715解析 由分布列的性质得，12a ＋22a ＋32a ＋42a ＋52a＝1，解得a ＝7.5， ∴P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝315＋415＝715.2.16解析 ∵12＋16＋16＋a ＝1，∴a ＝16.3.18581解析 这5名幸运之星中，每人获得A 奖品的概率为26＝13，获得B 奖品的概率为46＝23，ξ的可能取值为1,3,5，且P (ξ＝1)＝C 35(13)3(23)2＋C 25(13)2(23)3＝4081. P (ξ＝3)＝C 45(13)4×23＋C 15(13)(23)4＝1027， P (ξ＝5)＝C 05(13)0(23)5＋C 55(13)5(23)0＝1181， 故随机变量ξ的均值E (ξ)＝1×4081＋3×1027＋5×1181＝18581.4．6解析 由E (η)＝mE (ξ)－2＝3，可得mE (ξ)＝5，由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2， 且P (ξ＝0)＝36＝12，P (ξ＝1)＝16，P (ξ＝2)＝26＝13，所以E (ξ)＝16＋23＝56，所以56×m ＝5，即m ＝6.5．④ 6.18解析 由题意可知，2×a ＋1×b ＋0×c ＝1， 即2a ＋b ＝1，所以ab ＝12(2a )·b ≤12·(2a ＋b 2)2＝18，当且仅当2a ＝b ＝12，即a ＝14，b ＝12时取等号．7．1解析 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法， 放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38，P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1.8.316解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝123＋124＝316. 9.6310解析 设该员工竞猜一次获得的奖金数额为ξ，由题意可知，当选出的3个谜语均为A 类谜语时，ξ＝6；当选出的3个谜语中有2个A 类谜语，1个B 类谜语时，ξ＝4或9；当选出的3个谜语中有1个A 类谜语，2个B 类谜语时， ξ＝2或7或12.所以P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715，P (ξ＝4)＝C 28C 12C 310×(1－12)＝730，P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310×12＝730，P (ξ＝2)＝C 18C 22C 310×(1－12)2＝160，P (ξ＝7)＝C 18C 22C 310×C 12×12×(1－12)＝130， P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310×(12)2＝160，故均值E (ξ)＝6×715＋4×730＋9×730＋2×160＋7×130＋12×160＝6310.10.56解析 由题意可知，P (X ＝n )＝a n (n ＋1)＝a (1n －1n ＋1)，又因为∑i ＝1nP i ＝1，所以P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝1， 即a (1－15)＝1，解得a ＝54，所以P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×(1－12)＋54×(12－13)＝56. 11．8解析 由题意可知，ξ～B (n ，23)，∴23n ＝E (ξ)＝24.∴n ＝36. 又V (ξ)＝n ×23×(1－23)＝29×36＝8.12.解析 随机变量X P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3)，所以随机变量X 的概率分布是13.(310)k －1710，k ＝1,2,3，…解析 由于每次取出的产品仍放回，每次取时完全相同， 所以，X 的可能取值是1,2，…，k ，…， 相应的取值概率： P (X ＝1)＝710，P (X ＝2)＝310×710＝21100，P (X ＝3)＝310×310×710＝631 000，…P (X ＝k )＝(310)k －1710，… 14．4解析 p ＝1－16－13＝12，∴E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2，解得a ＝3，∴V (X )＝16×(0－2)2＋12×(2－2)2＋13×(3－2)2＝1，∴V (2X －3)＝22V (X )＝4.。
高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布高考大题规范解答__概率统计pptx课件
1.(2023·江西上饶、景德镇等地名校联考)(12分)2022年12月份以 来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复 苏，记发放的消费券额度为x(百万元)，带动的消费为y(百万元)．某省随 机抽查的一些城市的数据如下表所示.
x3
3
4
5
5
6
6
8
y 10 12 13 18 19 21 24 27
P(ξ＝10)＝C13CC1137C13＝395， P(ξ＝11)＝CC23C37 11＝335，(10 分) ∴ξ 的分布列为：
P 6 7 8 9 10 11
ξ
1 35
9 35
9 35
4 35
9 35
3 35
∴ξ 的数学期望 E(ξ)＝6×315＋7×395＋8×395＋9×345＋10×395＋
答对的概率为23，乙能答对的概率为35；第二关的 6 道题目中甲能答对 4 题，乙能答对 3 题．
(1)求甲获胜的概率； (2)设 X 表示甲获得的优惠券总金额，求 X 的分布列和期望．
[解析] (1)令事件 A 为“甲第一关胜出进入第二关”，事件 B 为“乙 第一关胜出进入第二关”，
则 P(A)＝12×23＋12×1－35＝13＋15＝185，(2 分) P(B)＝12×1－23＋12×35＝12×13＋130＝3104＝175 或PB＝1－PA＝175，(3 分) 令：C1：第二关甲两题都答对
8
(xi－－x )(yi－－y )＝16＋12＋5＋0＋0＋3＋6＋27＝69，(2 分)
i＝1
8
(xi－－x )2＝4＋4＋1＋0＋0＋1＋1＋9＝20，
i＝1
8Hale Waihona Puke (yi－－y )2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252，(3 分)
2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5讲离散型随机变量的分布列均值与方
3．(选择性必修3P69例6)A、B两种股票，每股收益分布列如表 股票A收益分布列
收益X/元 －1 0 2 概率 a 0.3 0.6
股票B收益分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 b
则投资___A____股票期望大，投资___A____股票风险高．
[解析] 由分布列的性质易知a＝0.1，b＝0.3， 从而E(X)＝1.1，E(Y)＝1，D(X)＝1.29，D(Y)＝0.6， ∴E(X)>E(Y)，投资A股票期望大， D(X)>D(Y)投资A股票风险高．
a 2
A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先减小后增大
D．D(X)先增大后减小
[解析] 由题意： E(X)＝0×1－2 a＋1×12＋2×a2＝a＋12， 所以 D(X)＝1－2 a0－a－122＋121－a－122＋a22－a－122＝－a2＋a＋14 ＝－a－122＋12， 因为12∈0，23，所以 D(X)先增后减，故选 D．
X0 2 4 P 0.4 0.3 0.3
[解析] 由题意知E(X)＝2×0.3＋4×0.3＝1.8，∴E(5X＋4)＝5E(X) ＋4＝13.
2．(角度 2)(2023·广东深圳调研)设 0<a<1，离散型随机变量 X 的分
布列如下，则当 a 在0，23内增大时( D )
X 0 12
P
1－a 2
1 2
1．均值：称 E(X)＝__x_1_p_1＋__x_2_p_2_＋__…__＋__x_ip_i＋__…__＋__x_n_p_n_＝__i∑＝_1_x_ip_i__为随
机变量 X 的均值或数学期望．
n
2．方差：称 D(X)＝∑i＝1 (xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的方差，其算术 平方根 DX为随机变量 X 的__标__准__差____.
2025届高考数学一轮复习教案：计数原理、概率、随机变量及其分布-事件的独立性、条件概率与全概率公式
第四节事件的独立性、条件概率与全概率公式【课程标准】1.了解两个事件相互独立的含义.2.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.3.会利用全概率公式计算概率.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查相互独立事件、条件概率、全概率;条件概率、全概率是高考热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.相互独立事件(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=__P(A)P(B)__成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.2.条件概率(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=(B)()为在事件A 发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)两个公式:①利用古典概型:P(B|A)=(B)();②概率的乘法公式:P(AB)=__P(A)P(B|A)__.【微点拨】P(B|A)与P(A|B)是两个不同的概率,前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,A n是一组__两两互斥__的事件,A1∪A2∪…∪A n=Ω,且P(A i)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=.我们称此公式为全概率公式.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立B.若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)C.抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第二枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立D.若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B⊆Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)【解析】选BCD.因为当两个事件A,B相互独立时公式P(AB)=P(A)P(B)成立,所以选项A错误;因为事件A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),P(B|A)=(B)()=P(B),所以选项B正确;因为抛掷2枚质地均匀的硬币,第一枚正面朝上,与第二枚正面的朝向无关,所以选项C正确;因为事件A1与A2是对立事件,所以B=A1B+A2B,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以选项D正确.2.(必修第二册P253习题4改条件)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出此谜题的概率分别为12,23,则此谜题没被破解出的概率为()A.16B.13C.56D.1【解析】选A.设“甲独立地破解出此谜题”为事件A,“乙独立地破解出此谜题”为事件B,则P(A)=12,P(B)=23,故P()=12,P()=13,所以P()=12×13=16,即此谜题没被破解出的概率为16.3.(条件概率公式使用错误)已知3件次品和2件正品混在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是()A.310B.35C.12D.14【解析】选C.设事件A表示第一次取出次品,事件B表示第二次取出次品,P(A)=35,P(AB)=35×24=310,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是P(B|A)=(B)()=31035=12.4.(2022·天津高考)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A 的概率为________;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为________.【解析】由题意,设第一次抽到A为事件B,第二次抽到A为事件C,则P(BC)=452×351=1221,P(B)=452=113,所以P(C|B)=(B)()=1221113=117.答案:1221117【巧记结论·速算】如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2)…P(A n).【即时练】从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为13,视力合格的概率为16,其他几项标准合格的概率为15,从中任选一名学生,则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A.49B.190C.45D.59【解析】选B.各项均合格的概率为13×16×15=190.【核心考点·分类突破】考点一事件的相互独立性角度1事件独立性的判断[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【解析】选B.设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D).则P(A)=P(B)=16,P(C)=56×6=536,P(D)=66×6=16,对于A选项,P(AC)=0;对于B选项,P(AD)=16×6=136;对于C选项,P(BC)=16×6=136;对于D选项,P(CD)=0.若两事件X,Y相互独立,则P(XY)=P(X)P(Y),因此B选项正确.【解题技法】两个事件相互独立的判断方法(1)定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).【对点训练】某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动,号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动”的主力军,开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习,设事件A=“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”,事件B=“甲、乙两人所选课程完全不同”,事件C=“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”,则()A.A与B为对立事件B.A与C互斥C.A与C相互独立D.B与C相互独立【解析】选C.依题意,甲、乙两人所选课程有如下情形:①有一门相同;②两门都相同;③两门都不相同.故A与B互斥不对立,A与C不互斥,所以P(A)=C41C31C21C42C42=23,P(B)=C42C42C42=16,P(C)=C32C32C42C42=14,且P(AC)=C31C21C42C42=16,P(BC)=0,所以P(AC)=P(A)P(C),P(BC)≠P(B)P(C),即A与C相互独立,B与C不相互独立.角度2独立性事件的概率[例2](2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,若甲先发球,两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为________;若乙先发球,两人又打了4个球后该局比赛结束,则甲获胜的概率为________.【解析】记两人又打了X个球后该局比赛结束,设双方10∶10平后的第k个球甲得分为事件A k(k=1,2,3…),则P(X=2)=P(A1A2)+P(12)=P(A1)P(A2)+P(1)P(2)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.由乙先发球,且甲获胜的概率P=P(A12A3A4)+P(1A2A3A4)=P(A1)P(2)P(A3)P(A4)+P(1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.4×0.5= 0.1.答案:0.50.1【解题技法】求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.【对点训练】(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.【解析】(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34.(3)丙最终获胜有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18.比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.【加练备选】某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1和元件2同时正常工作,或元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件正常工作的概率均为34且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件正常工作的概率为()A.764B.1532C.2732D.5764【解析】选D.讨论元件3正常与不正常:第一类,元件3正常,上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作,则正常工作的概率为34×1=34;第二类,元件3不正常,上部分必须正常,则正常工作的概率为14×(34×34)=964,故该部件正常工作的概率为34+964=5764.考点二条件概率[例3](1)七巧板是中国民间流传的智力玩具.它是由如图所示的七块板组成:五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形.可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等多种图案.现从七巧板中取出两块,已知取出的是三角形,则两块板恰好是全等三角形的概率为()A .35B .25C .27D .15【解析】选D .设事件A 为“从七巧板中取出两块,取出的是三角形”,事件B 为“两块板恰好是全等三角形”,则P (AB )=2C 72=221,P (A )=C 52C 72=1021,所以P (B |A )=(B )()=2211021=15.(2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100人(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:项目不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患有该疾病”.(|)(|)与(|)(|)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.①证明:R =(|)(|)·(|)(|);②利用该调查数据,给出P (A |B ),P (A |)的估计值,并利用①的结果给出R 的估计值.【解析】①因为R =(|)(|)·(|)(|)=(B )()·()(B )·(B )()·()(B ),所以R =(B )()·()(B )·(B )()·()(B ).所以R =(|)(|)·(|)(|).②由已知P (A |B )=40100=25,P (A |)=10100=110,又P (|B )=60100=35,P (|)=90100=910,所以R =(|)(|)·(|)(|)=25×91035×110=6.所以指标R 的估计值为6.【解题技法】求条件概率的常用方法(1)定义法:P (B |A )=(B )().(2)样本点法:P (B |A )=(B )().【对点训练】1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为()A .0.8B .0.4C .0.2D .0.1【解析】选A .根据题意,在该地的中学生中随机调查一位同学,设选出的同学爱好滑冰为事件A,选出的同学爱好滑雪为事件B,由于该地中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,则P(B)=0.5,同时爱好两个项目的占该地中学生总人数的50%+60%-70%=40%,则P(AB)=0.4,则P(A|B)=(B)()=0.40.5=0.8.2.根据历年的气象数据可知,某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25,刮四级以上大风的概率为0.4,既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为()A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1【解析】选A.设“发生中度雾霾”为事件A,“刮四级以上大风”为事件B,所以P(A)=0.25,P(B)=0.4,P(AB)=0.2,则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为P(B|A)=(B)()=0.20.25=0.8.考点三全概率公式的应用[例4](1)一份新高考数学试卷中有8道单选题,小胡对其中5道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9,没有思路的题只能猜一个答案,猜对答案的概率为0.25,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为() A.79160B.35C.2132D.58【解析】选C.设事件A表示“小胡做对”,事件B表示“小胡选到有思路的题”,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|) =58×0.9+38×0.25=2132.(2)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07;当发送信号1时,被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为()A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51【解析】选D.设事件A=“发送的信号为0”,事件B=“接收的信号为1”,则P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.07,P(B|)=0.95,因此P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×(0.07+0.95)=0.51.【解题技法】利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i=1,2,…,n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.【对点训练】某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱装100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率为0.05.(1)任取一箱,求从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.【解析】记事件A为取到的是甲厂的产品,事件B为取到的是乙厂的产品,事件C 为取到的是废品.(1)P(A)=3050=35,P(B)=2050=25,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=7125.(2)P(A)=30×10030×100+20×120=59,P(B)=20×12030×100+20×120=49,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=118.。
高考数学一轮复习专题10计数原理概率复数第79练计数原理排列与组合练习含解析0521110.docx
第79练计数原理、排列与组合[基础保分练]1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( )A.30个B.42个C.36个D.35个2.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A.40B.16C.13D.103.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.2794.从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A.32个B.34个C.36个D.38个5.如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有( )A.180种B.150种C.200种D.240种6.(2019·宁波模拟)若用红、黄、绿、蓝四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有( )A.48种B.72种C.96种D.216种7.(2019·金丽衢十二校联考)三位数中，如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列，则称为“等差三位数”，例如，147,642,777,420等等.等差三位数的总个数为( )A.32B.36C.40D.458.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对9.有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为________.10.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数：5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计，该运动员射击4次至少击中3次的概率为__________________________________.[能力提升练]1.定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数.若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个2.(2019·金华模拟)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有( )A.150种B.114种C.100种D.72种3.某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的同学，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为( )A.484B.472C.252D.2324.某校开设5门不同的选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有( )A.330种B.420种C.510种D.600种5.(2019·绍兴嵊州模拟)一个口袋中装有大小相同的5个小球，编号分别为0,1,2,3,4，现从中随机地摸一个球，记下编号后放回、连摸3次，若摸出的3个小球的最大编号与最小编号之差为2，则共有________种不同的摸球方法(用数字作答).6.(2019·杭州模拟)有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外均相同)各4只，都分别标有字母A ，B ，C ，D .任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有______种.答案精析基础保分练1．C 2.C 3.B 4.A 5.A 6.C 7.D 8．C 9.1310.0.75 能力提升练1．C [第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A 24个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C 34个，共2＋8＋4＝14(个)．]2．C [先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以有C 25C 23C 11A 22＋C 35C 12C 11A 22＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)，故选C.]3．B [若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C 14C 212＝264(种)选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C 312－3C 34＝208(种)选法．故总共有264＋208＝472(种)不同的选法．]4．A [依题意，就甲、乙、丙三位同学总共所选课程数进行分类计数：第一类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为3时，满足题意的方法数共有C 35·A 33＝60(种)；第二类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为4时，满足题意的方法数有C 45·C 24·A 33＝180(种)；第三类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为5时，满足题意的方法数有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种)，因此满足题意的方法数共有60＋180＋90＝330(种)，故选A.]5．36解析 要能产生最大编号与最小编号之差为2，则将其必须要摸到的球分为三类，即0和2,1和3,2和4.当必须摸到0和2时，其排法有2次0和1次2，或1次0和2次2，或0,1,2各1次，其不同摸法有C 23＋C 13＋A 33＝12，因此满足条件的摸法有3×12＝36.6．36解析 若字母各不相同且三种颜色齐备，则取出的小球中有2只颜色相同，所以满足条件的取法共有C 24C 12C 11A 22×A 33＝36种．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
(浙江专用)高考数学一轮复习 专题十 计数原理 10.1 计数原理与排列、组合试题(含解析)-人教版
专题十计数原理【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、计数原理、排列、组合1.分类加法计数原理,分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用两个原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.从近几年高考命题情况来看,这一部分主要考查分类加法、分步乘法计数原理以及排列、组合的简单应用.题型以选择题、填空题为主,在解答题中一般将排列、组合知识综合起来,有时也与求事件概率,分布列问题相结合考查.1.求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数求解所求的项.2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.1.用排列、组合知识解决计数问题时,如果遇到的情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太容易计算时,往往利用表格法、树状图法将其所有的可能一一列举出来,这样会更容易得出结果.2.求解二项展开式的特定项时,即求展开式中的某一项,如第n项,常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项,先准确写出通项T r+1=r a n-r b r,再把系数与字母分离出来(注意符号),最后根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出关系式求解即可.二、二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【真题探秘】§10.1计数原理与排列、组合基础篇固本夯基【基础集训】考点计数原理、排列、组合1.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( )A.60B.96C.48D.72答案 C2.在我国第一艘航空母舰“某某舰”的某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼-15”飞机甲、乙、丙、丁、戊准备着舰,规定乙机不能最先着舰,且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻),那么不同的着舰方法种数为( )A.24B.36C.48D.96答案 C3.中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( )A.72种B.36种C.24种D.18种答案 B5.将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C6.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有( )A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种答案 D7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有种.答案1808.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12综合篇知能转换【综合集训】考法一排列、组合问题的解题方法1.(2019某某万州二模,6)某中学某班主任要从7名同学(其中3男4女)中选出两名同学,其中一名担任班长,另一名担任学习委员,且这两名同学中既有男生又有女生,则不同的安排方法有( )A.42种B.14种C.12种D.24种答案 D2.(2018某某某某调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数,这样的四位数有( )A.250个B.249个C.48个D.24个答案 C3.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( )A.18种B.24种C.48种D.36种答案 B4.(2019某某嘉峪关一中模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为.答案605.(2020届某某某某执信中学10月月考,14)有6X卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4X,可排出的四位数有个.答案14考法二分组分配问题的解题方法6.(2018某某某某二模,8)某某西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( )A.90种B.180种C.270种D.360种答案 B7.(2019某某某某第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有( )A.72种B.108种C.180种D.360种答案 C8.(2018某某某某一模,5)某学校为了更好地培养尖子生,使其全面发展,决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”,要求每名教师的“包教”学生不超过2人,则不同的“包教”方案有( )A.60种B.90种C.150种D.120种答案 B9.(2020届某某某某一中10月月考,7)小明和小红都计划在国庆节的7天假期中,到某某“两日游”,若他们不同一天出现在某某,则他们出游的不同方案共有( )A.16种B.18种C.20种D.24种答案 C【五年高考】考点计数原理、排列、组合1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B3.(2015某某,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B4.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规X01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规X01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个答案 C5.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案166.(2017某某,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 0807.(2017某某,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6608.(2015某某,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560教师专用题组考点计数原理、排列、组合1.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种答案 C2.(2014某某,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168答案 B3.(2014某某,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C4.(2014某某,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130答案 D5.(2014某某,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案 D6.(2014某某,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B7.(2014某某,14,4分)在8X奖券中有一、二、三等奖各1X,其余5X无奖.将这8X奖券分配给4个人,每人2X,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案608.(2014,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案369.(2018某某,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2…i n的一个逆序,排列i1i2…i n的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2), f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解析本题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以f n(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n(1)=n-1.为计算f n+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此, f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.当n≥5时,f n(2)=[f n(2)-f n-1(2)]+[f n-1(2)-f n-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22.因此,当n≥5时, f n(2)=n 2-n-22.疑难突破要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“f n(k)”的含义,不妨从比较小的1,2,3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的排列中的倒数第2个位置、f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到f n+1(2)与f n(2),f n(1), f n(0)的关系:f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n,从而得到f n(2)(n≥5)的表达式.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届九师联盟9月质量检测,8)从1,3,5,7,9中任取两个数,从0,2,4,6,8中任取2个数,则组成没有重复数字的四位数的个数为( )A.2 100B.2 200C.2 160D.2 400答案 C2.(2020届某某某某一中第一次月考,8)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,那么不同的选法有( )A.50种B.60种C.70种D.90种答案 C3.(2020届某某某某七中第二次月考,4)7个人排成一排准备照一X合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有( )A.480种B.720种C.960种D.1 200种答案 C4.(2020届某某洪湖二中月考,9)“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习版块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题版块.某人在学习过程中,“阅读文章”与“视听学习”两个学习版块之间最多间隔一个答题版块的学习方法有( )A.192种B.240种C.432种D.528种答案 C5.(2018全国百所名校冲刺卷(四),8)航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C6.(2019某某金卷先享题二,8)在高三下学期初,某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动,已知现有3名教师对4名学生家庭进行问卷调查,若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查,又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查,那么不同的问卷调查方案的种数为( )A.36B.72C.24D.48答案 A7.(2019某某某某一模)如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有( )A.6种B.9种C.12种D.36种答案 C8.(2018某某哈六中二模,9)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.48B.72C.90D.96答案 D9.(2019某某某某模拟,8)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的.现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品,每个仓库放2种,那么安全存放的不同方法种数为( )A.12B.24C.36D.48答案 D二、多项选择题(共5分)10.(改编题)下列说法正确的是( )A.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,不同的放法有A85种B.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子放球数量不限,不同的放法有85种C.5个相同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,则不同的放法有C85种D.8个相同的小球,放入5个不同的盒子中,每盒不空的放法有C84种答案ABC三、填空题(每题5分,共15分)11.(2020届某某夏季高考模拟,13)某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种.答案3612.(2020届某某寿光现代中学10月月考,14)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间.每个车间至少分配一名员工,甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为.答案3613.(2019某某某某中学第一次摸底考试,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有个.答案12014.(2020届某某东阳中学10月月考,14)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去某某、某某、某某三个城市进行暑期社会实践,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有种;其中学生甲被单独安排去某某的概率是.答案150;775。
高三理科数学小对点练10 计数原理、概率、统计、复数、算法、推理与证明
小题对点练十计数原理、概率、统计、复数、算法、推理与证明建议用时：40分钟一、选择题1．复数满足1＋2i＝4＋3i，那么\to的虚部是A．－1 B．1C．－2 D．22．在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为ξ，那么ξ的方差是A．3 B．4 C．13．现有编号为A，B，C，D的四本书，将这4本书平均分给甲、乙两位同学，那么A，B两本书不被同一位同学分到的概率为4．2021·全国卷Ⅰ某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图9所示的饼图：图9那么下面结论中不正确的选项是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，那么不同的安排方法种数为A．18 B．24C．48 D．966．在－26展开式中，二项式系数的最大值为a，含5项的系数为b，那么错误!＝B．－错误!D．－错误!7．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为8 2021·安庆市二模如图10，四边形OABC是边长为2的正方形，曲线段DE所在的曲线方程为＝1，现向该正方形内抛掷1枚豆子，那么该枚豆子落在阴影局部的概率为图102,4 2,42,4 2,49．假设1＋21－27＝a0＋a1＋a22＋…＋a88，那么a0＋a1＋a2＋…＋a7的值为A．－2 B．－3C．253 D．12610．某高中体育小组共有男生24人，其50 m跑成绩记作a i i＝1,2，…，24，假设成绩小于为达标，那么如图11所示的程序框图的功能是图11A．求24名男生的达标率B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数D．求24名男生的不达标人数11在如图12所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是错误!，且是相互独立的，那么灯亮的概率是图1212．2021·兰州市一诊假设错误!错误!的展开式中各项的系数之和为81，那么分别在区间[0，π]和错误!内任取两个实数，，满足＞in 的概率为A．1－错误!B．1－错误!C．1－错误!错误!二、填空题13．a∈R，i为虚数单位，假设错误!为实数，那么a的值为________．14．样本数据3,4,5，，的平均数是5，标准差是错误!，那么＝______15．周末，某高校一学生宿舍甲、乙、丙、丁四位同学正在做四件不同事情：看书、写信、听音乐、玩游戏．下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信；④丙不在看书，也不在写信．这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学在做的事情是：________ 16．如图13中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，…，假设按此规律继续下去，那么a n＝________图13习题答案1答案：B解析：[由题意得，＝错误!＝错误!＝错误!＝2－i，∴\to＝2＋i，∴\to的虚部是1，应选B]2答案：A解析：[抛掷4枚均匀的硬币1次，正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率为C错误!错误!4＝错误!，因为ξ～B错误!，所以ξ的方差是16×错误!×错误!＝3，应选A]3答案：C解析：[将4本书平均分给甲、乙两位同学，共有C错误!＝6种不同的分法，A，B两本书不被同一位同学分到，那么有C错误!C错误!C错误!＝4种分法，所以所求概率为错误!＝错误!，应选C]4答案：A解析：[法一：设建设前经济收入为a，那么建设后经济收入为2a，那么由饼图可得建设前种植收入为，其他收入为，养殖收入为建设后种植收入为，其他收入为，养殖收入为，养殖收入与第三产业收入的总和为，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．应选A法二：因为＜×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A 项是错误的．应选A]5答案：B解析：[甲连续2天上班，共有周一，周二，周二，周三，周三，周四，周四，周五四种情况，剩下三个人进行全排列，有A错误!＝6种排法．因此共有4×6＝24种排法，应选B]6答案：B[在－26展开式中，二项式系数的最大值为a，∴a＝C错误!＝2021式中的通项公式：T r＋1＝C错误!6－r－2r，令6－r＝5，可得r＝1∴含5项的系数为b＝－2C错误!＝－12，那么错误!＝－错误!＝－错误!应选B]7答案：B解析：[第一次摸出新球记为事件A，那么P A＝错误!，第二次取到新球记为事件B，那么P AB＝错误!＝错误!，∴PB|A＝错误!＝错误!＝错误!]8答案：A解析：[根据条件可知，E错误!，阴影局部的面积为错误!错误!d＝2－n 错误!＝2错误!－错误!＝3－2n 2，所以，豆子落在阴影局部的概率为错误!应选A]9答案：C解析：[令＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－3，a8＝2×－27＝－256，∴a0＋…＋a7＝－a8－3＝]10答案：B解析：[由题意可知记录的是时间超过的人数，而i记录的是参与测试的总人数，因此错误!表示24名男生的不达标率，应选B]11答案：C解析：[设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，那么灯亮事件D＝ABC∪AB\to C∪A\to BC，且A，B，C相互独立，ABC，AB\to C，A\to BC互斥，所以PD＝P ABC∪AB\to C∪A\to BC＝P APBPC＋P APBP\to C＋P AP\to BPC＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!，应选C]12答案：B解析：[令＝1，可得3n＝81，n＝4，那么∈[0，π]，∈[0,1]，点，所在区域为矩形，面积为S＝π，满足＜in 的区域面积S′＝错误!in d＝－co错误!＝＞in的区域面积S1＝π－2，满足＞in的概率为错误!＝1－错误!，应选B]13答案：－2解析：[∵a∈R，错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!i为实数，∴－错误!＝0，∴a＝－2]14答案：42解析：[由错误!＝5得＋＝13，①由错误!＝错误!得2＋2－10－10＋45＝0，②①×10＋②得，2＋2＝85 ③①2－③得，2＝84，即＝42]15答案：看书解析：[由于这些判断都是正确的，那么由①可知甲在听音乐或玩游戏；由②可知乙在看书或玩游戏；由④可知丙在听音乐或玩游戏；那么甲与丙一个在听音乐一个在玩游戏，由此可知乙肯定在看书．]16答案：错误!解析：[由题观察所给的图形，对应的点分别为1,1＋4,1＋4＋7,1＋4＋7＋10，…，可得点的个数为首项为1，公差为3的等差数列的和，那么a n＝S n＝n＋错误!＝错误!]。
【小初高学习】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第10章 计数原理、概率
第六节 几何概型[考纲传真] (教师用书独具)1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．(对应学生用书第181页)[基础知识填充]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，与区域的形状，位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110.( )(3)概率为0的事件一定是不可能事件．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A [P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．]3．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]，则f (x )为增函数的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45C [f (x )＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，x ∈[－1,4]，∴f (x )在[1,4]上是增函数．∴f (x )为增函数的概率为P ＝4－14－(－1)＝35.]4．(2017·全国卷Ⅰ)如图1061，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()图1061A ．14B ．π8C ．12D ．π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B ．]5．如图1062所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图10620.18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.](对应学生用书第181页)(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13 B ．12 C ．23D ．34(2)如图1063所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．图1063(1)B (2)13 [(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B ．(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′.依题意，点P ′在上任何位置是等可能的，若射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在上发生”．又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率]A ＝与角度有关的几何概型作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段x 2－2ax ＋4a －3＝0有两个正根的概率为( )A ．23 B ．12 C ．38D ．13(2)(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________． (1)C (2)59[(1)因为方程x 2－2ax ＋4a －3＝0有两个正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，4a －3>0，4a 2－4(4a －3)≥0，解得34<a ≤1或a ≥3，所以所求概率P ＝1－34＋(5－3)5－(－1)＝38，故选C ．(2)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5， ∴P ＝59.]◎角度1 与平面图形面积有关的几何概型(2018·成都二诊)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到同学须等待，15分钟后还未见面便离开．则两位同学能够见面的概率是( )【导学号：79140362】A ．1136B ．14C ．12D ．34D [从下午5：30开始计时，设两位同学到达的时刻分别为x ，y 分钟，则x ，y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤30，0≤y ≤30，如图中正方形OABC 所示，若两位同学能够见面，则x ，y 应满足|x －y |≤15，如图中阴影部分(含边界)所示，所以所求概率P ＝30×30－2×12×15×1530×30＝34，故选D ．]◎角度2 与线性规划交汇的问题(2017·广州综合测试)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( ) A ．14 B ．12 C ．23 D ．34A[依题意作出图像如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14.] ◎角度3 与定积分交汇的问题(2018·郑州第二次质量预测)在区间[1，e]上任取实数a ，在区间[0,2]上任取实数b ，使函数f (x )＝ax 2＋x ＋14b 有两个相异零点的概率是( )A ．12(e －1)B ．14(e －1)C ．18(e －1)D ．116(e －1)A [函数f (x )＝ax 2＋x ＋14b 有两个相异零点，即方程ax 2＋x ＋14b ＝0有两个不等的实数根，则Δ＝1－ab >0，b <1a.所有试验结果为Ω＝{(a ，b )|1≤a ≤e,0≤b ≤2}，面积为2(e－1)，使函数f (x )有两个相异零点的事件为Ω1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪b <1a ，1≤a ≤e，0≤b ≤2，面积为⎠⎛1e 1ad a ＝ln a|e1＝1－0＝1，则所求概率为P(A)＝12(e －1)，故选A ．]x ＝RAND (0,1)，y ＝RAND (0,1)，则x 2＋y 2<1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8(2)如图1064，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．图1064(1)A (2)512 [(1)由几何概型的概率计算公式知，所求概率P ＝14×π×121×1＝π4，故选A ．(2)由题意知，阴影部分的面积S ＝⎠⎛12(4－x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3⎪⎪⎪21＝53，所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.]在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．1－π12 [如图，与点O 距离不大于1的点的轨迹是一个半球，其体积V 1＝12×43π×13＝2π3.事件“点P 与点O 距离大于1的概率”对应的区域体积为23－2π3，根据几何概型概率公式得，点P 与点O 距离大于1的概率P ＝23－2π323＝1－π12.]关键是计算问题的总体积总空间以及事件的体积事件空间，对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求.跟踪训练] 所示，点是AB 一只蝴蝶在几何体ADF BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F AMCD 内的概率为( )【导学号：79140363】图1065A ．34B ．23C ．13D ．12D [由题图可知V F AMCD ＝13×S AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.]。
高考数学”一本“培养优选练小题对点练9概率、统计、复数、算法、推理与证明文
小题对点练(九) 概率、统计、复数、算法、推理与证明(建议用时：40分钟)一、选择题1．复数z ＝2＋i1－i 的共轭复数对应的点在复平面内位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [复数z ＝2＋i 1－i ＝2＋i 1－i ×1＋i 1＋i ＝1＋3i 2＝12＋32i ，则复数z 的共轭复数为z ＝12－32i ，所以复数z 的共轭复数对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，该点位于第四象限，选D.]2．已知复数z ＝21＋i (i 是虚数单位)，则下列命题中错误的是( )A ．|z |＝ 2B ．z 在复平面上对应的点在第二象限 C.z ＝1＋i D ．z 的虚部为－1B [由题可知z ＝21＋1·1－i 1－i ＝2－2i1－i2＝1－i ，从而|z |＝1＋－12＝2，z 在复平面上对应的点(1，－1)位于第四象限内，z ＝1＋i ，z 的虚部为－1，故选B.]3．设a 是实数，若复数a1－i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x ＋y ＝0上，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2B [a 1－i＝a 1＋i1＋i1－i＝a 1＋i2＝a 2＋a2i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，因此a 2＋a 2＝0，得a ＝0，故选B.]4．(2018·南宁联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图21甲和图21乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )图21A. 100,20B. 200,20C. 200,10D. 100,10B [由图可知总学生数是10 000人，样本容量为10 000×2%＝200人，高中生40人，由乙图可知高中生近视率为50%，所以人数为40×50%＝20人，选B.]5．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图22所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n －m 的值是( )图22A ．5B ．6C ．7D ．8B [甲组学生成绩的平均数是88＝78＋86＋84＋88＋95＋90＋m ＋927⇒m ＝3，乙组学生成绩的中位数是89，所以n ＝9，n －m ＝6，选B.]6．某学校为判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：根据表中数据得到K 2＝5023×27×20×30≈4.844，已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.现作出结论“选修文科与性别相关”，估计这种判断出错的可能性约为( )A ．97.5%B ．95%C ．2.5%D ．5%D [K 2≈4.844＞3.841，而P (K 2≥3.841)≈0.05，这种判断出错的可能性约为5% ，选D.]7．在区间[－1，m ]上随机选取一个数，若x ≤1的概率为25，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [由2m ＋1＝25得m ＝4.选C.] 8．传说战国时期，齐王与田忌各有上等，中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜。
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小题对点练(十)计数原理、概率、 统计、复数、算法、推理与证明(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z 的虚部是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2B [由题意得，z ＝4＋3i 1＋2i ＝ 4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝10－5i1＋4＝2－i ，∴z ＝2＋i ，∴z 的虚部是1，故选B.]2．在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为ξ，则ξ的方差是( )A ．3B ．4C ．1 D.1516A [抛掷4枚均匀的硬币1次，正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率为C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，因为ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫16，14， 所以ξ的方差是16×14×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝3，故选A.]3．现有编号为A ，B ，C ，D 的四本书，将这4本书平均分给甲、乙两位同学，则A ，B 两本书不被同一位同学分到的概率为( )A.14B.13C.23D.12C [将4本书平均分给甲、乙两位同学，共有C 24＝6(种)不同的分法，A ，B 两本书不被同一位同学分到，则有C 12C 12C 22＝4(种)分法，所以所求概率为46＝23，故选C.]4．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图9所示的饼图：图9则下面结论中不正确的是( ) A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A [法一：设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.法二：因为0.6＜0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A 项是错误的．故选A.]5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为( )A ．18B ．24C ．48D ．96B [甲连续2天上班，共有(周一，周二)，(周二，周三)，(周三，周四)，(周四，周五)四种情况，剩下三个人进行全排列，有A 33＝6种排法．因此共有4×6＝24种排法，故选B.]6．在(x －2)6展开式中， 二项式系数的最大值为a ，含x 5项的系数为b ，则a b＝( ) A.53 B ．－53C.35D ．－35B [在(x －2)6展开式中，二项式系数的最大值为 a ，∴a ＝C 36＝20.展开式中的通项公式：T r ＋1＝C r 6x6－r(－2)r ，令6－r ＝5，可得r ＝1.∴含x 5项的系数为b ＝－2C 16＝－12，则a b＝－2012＝－53.故选B.] 7．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A.35B.59C.110D.25B [第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P AB P A ＝1335＝59.]8. (2018·安庆市二模)如图10，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为xy ＝1，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为()图10A.3－2ln 24 B.1＋2ln 24 C.5－2ln 24D.－1＋2ln 24A [根据条件可知，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，阴影部分的面积为 ⎠⎛212⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x d x ＝(2x －ln x )⎪⎪⎪⎪12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－ln 12＝3－2ln 2， 所以，豆子落在阴影部分的概率为3－2ln 24.故选A.]9．若(1＋2x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7的值为( ) A ．－2 B ．－3 C ．253D ．126C [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－3，a 8＝2×(－2)7＝－256， ∴a 0＋…＋a 7＝－a 8－3＝253.选C.]10．某高中体育小组共有男生24人，其50 m 跑成绩记作a i (i ＝1,2，…，24)，若成绩小于6.8 s 为达标，则如图11所示的程序框图的功能是( )图11A ．求24名男生的达标率B ．求24名男生的不达标率C ．求24名男生的达标人数D ．求24名男生的不达标人数B [由题意可知k 记录的是时间超过6.8 s 的人数，而i 记录的是参与测试的总人数，因此k i表示24名男生的不达标率，故选B.]11.在如图12所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )图12A.18B.14C.38D.78C [设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮事件D ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以P (D )＝P (ABC ∪AB C ∪A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38，故选C.]12．(2018·兰州市一诊)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，n 4内任取两个实数x ，y ，满足y ＞sin x 的概率为( )A ．1－1πB ．1－2πC ．1－3πD.12B [令x ＝1，可得3n＝81，n ＝4，则x ∈[0，π]，y ∈[0,1]，点(x ，y )所在区域为矩形，面积为S ＝π，满足y ＜sin x 的区域面积S ′＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝2.所以满足y＞sin x 的区域面积S 1＝π－2，满足y ＞sin x 的概率为π－2π＝1－2π，故选B .]二、填空题13．已知a∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．－2 [∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝ a －i 2－i 2＋i 2－i ＝2a －1－ a ＋2 i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.]14．已知样本数据3,4,5，x ，y 的平均数是5，标准差是2，则xy ＝______. 42 [由3＋4＋5＋x ＋y5＝5得x ＋y ＝13，①由15[ 3－5 2＋ 4－5 2＋ 5－5 2＋ x －5 2＋ y －5 2]＝ 2 得x 2＋y 2－10x －10y ＋45＝0，② ①×10＋②得，x 2＋y 2＝85 ③ ①2－③得，2xy ＝84，即xy ＝42.]15．周末，某高校一学生宿舍甲、乙、丙、丁四位同学正在做四件不同事情：看书、写信、听音乐、玩游戏．下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信； ④丙不在看书，也不在写信．已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学在做的事情是：________. 看书 [由于这些判断都是正确的，那么由①可知甲在听音乐或玩游戏；由②可知乙在看书或玩游戏；由④可知丙在听音乐或玩游戏；那么甲与丙一个在听音乐一个在玩游戏，由此可知乙肯定在看书．]16．如图13中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则a n ＝________.图133n 2－n2 [由题观察所给的图形，对应的点分别为1,1＋4,1＋4＋7,1＋4＋7＋10，…，可得点的个数为首项为1，公差为3的等差数列的和，则a n ＝S n ＝n ＋3n n －1 2＝3n 2－n2.]小题对点练 计数原理、概率、统计、复数、算法、推理与证明 【教师备选】(建议用时：40分钟)一、选择题1．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法D [总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.]2．设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )A ．6 038B ．6 587C ．7 028D ．7 539B [由题意知，P (0<X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×(1－0.341 3)＝6 587.故选B.]3．已知某路段最高限速60 km/h ，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如图(单位：km/h)．若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为( )A.415B.25C.815D.35C [由茎叶图可知，这6辆汽车中有2辆汽车超速，所以从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为P ＝C 12C 14C 26＝815，故选C.]4．(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，故选D.]5．(2018·凉山州二诊)某校在教师交流活动中，决定派2名语文教师，4名数学教师到甲、乙两个学校交流，规定每个学校派去3名老师且必须含有语文老师和数学老师，则不同的安排方案有( )A ．10种B ．11种C ．12种D ．15种C [设2名语文教师为A ，B ，第一步，先分组，与A 同组的2名数学老师共有C 24种，另两名数学老师与B 同组有C 22种方法，第二步，再安排到两个学校交流，有A 22种方法，由分步乘法计数原理可得，共有C 24C 22A 22＝12种，故选C.]6．(2018·烟台市高考诊断)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.18C.38D.316B [不妨设小正方形的边长为1，则两个等腰直角三角形的边长为1,1，2，一个等腰直角三角形的边长为2，2，2，两个等腰直角三角形的边长为2,2,22，即最大正方形边长为22，P ＝1－12×2＋1＋1＋2×28＝18，选B.]7．已知(1＋x )n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212A [由题意可得C 4n ＝C 6n ，∴n ＝4＋6＝10，由二项式系数的性质可得，奇数项的二项式系数和为12×210＝29.故选A.]8．(2018·郑州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495,135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90C [495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2⇒m ＝45，故选C.]9．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元B [由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．]10．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为( )A ．62,62.5B ．65,62C ．65,63.5D ．65,65D [选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则0.20.4×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.]11.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (1＋2x )5的展开式中，x 3的系数为( ) A ．120 B ．160 C ．100D ．80A [⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (1＋2x )5＝x (1＋2x )5＋1x(1＋2x )5，∵x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为x ·C 25(2x )2＝40x 3，1x(1＋2x )5的展开式中含x 3的项为1x·C 15(2x )4＝80x 3，∴x 3的系数为40＋80＝120，故选A.]12．2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各2名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种B [第1类，(1)班的孪生姐妹在甲车上，则甲车上另外2名同学来自(2)，(3)，(4)中不同班级，有C 23C 12C 12＝12种方式；第2类，(1)班的孪生姐妹不在甲车上，则从(2)，(3)，(4)中选择一个班级的2名同学在甲车上，另外2名来自其余两个不同班级，有C 13C 12C 12＝12种方式，由分类加法计数原理可得不同的乘坐方式共有12＋12＝24种，故选B.]二、填空题13．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是________．189256 [该人投篮4次，命中3次的概率为P 1＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝2764；该人投篮4次，命中4次的概率为P 2＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256，故至少命中3次的概率是P ＝2764＋81256＝189256.]14．在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为________．928[分析题意可知，抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P ＝C 24·C 23C 58＝928.]15．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．乙 [由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．]16．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的期望E (η)＞74，则p 的取值范围是_________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ， P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞74，解得p ＞52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]。