高中数学《计数原理》
高中数学专题“计数原理”
高中数学“计数原理”教学研究一、对“计数原理”教学知识的深层次理解计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多的实际问题提供了思想和工具.在本章学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，进行了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题.（一）知识结构图1．返璞归真地看两个计数原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论基础．分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种基本思想方法．2．排列、组合是两类特殊而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理．教科书从简化运算的角度提出排列与组合的学习任务，通过具体实例的概括而得出排列、组合的概念；应用分步乘法计数原理得出排列数公式；应用分步计数原理和排列数公式推出组合数公式．对于排列与组合，有两个基本想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题．3．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”．如可以通过对中n取1，2，3，4的展开式的形式特征的分析而归纳得出；或者直接应用两个计数原理对展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也为证明猜想提供了基本思路.（二）“计数原理”在高中数学知识体系中的地位和作用为了更好的把握计数原理的要求，首先需要明确整体定位.标准对计数原理这部分内容的整体定位如下：“计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际提供了思想和工具.在本摸块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题.”为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（Ⅰ）两个基本计数原理是计数原理的开头课，学习它所需的先行知识与学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头.中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分类加法计数和分步乘法计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本计数原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本计数原理，学会正确地使用基本计数原理是这一章教学中必须抓住的一个关键.（Ⅱ）正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立.（Ⅲ）分类加法计数原理，分步乘法计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练.（三）教学的重点和难点分析1．本章的重点是分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列和组合的意义，以及排列数、组合数计算公式，二项式定理.2．本章的主要难点是如何正确运用有关公式解决应用问题.在解决问题时，由于对问题本身和有关公式的理解不够准确，常常发生重复和遗漏计算、用错公式的情况.为了突破这一难点，教学中应强调一些容易混淆的概念之间的联系与区别，强调运用各个公式的前提条件，并对学生计算中出现的一些典型错误进行认真剖析.二、“计数原理”的教学策略（一）在”新课标”中的处理特点计数是人与生俱来的一种能力，也是了解客观世界的一种最基本的方法.计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种基本思想方法.虽然该部分内容新教材和传统教材没有太大的区别，但在处理方式上，新教材更突出计数原理的地位和作用，强调计数原理的思想和方法，将排列、组合、二项式定理作为计数原理的一个应用实例.要求教学中要引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不是机械地套用公式，同时要避免繁琐的、技巧性过高的计数问题.由于计数原理的思想和方法是最基本的，所有的计数问题都不会超越分类和分步这两大类，因此要求在推导排列数公式和组合数公式的过程中让学生进一步理解计数原理的思想；在用排列组合公式和组合数公式解决实际问题时，也不要只是片面地将问题归结为排列、组合两类，而是引导学生学会用计数原理来分析问题.二项式定理是中学数学的传统内容，定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则.这个定理既是初中代数乘法公式的推广，也是进一步研究概率中二项分步的准备知识.学习二项式定理还可以深化对组合数的认识.新课标强调利用基本计数原理对二项式定理进行证明.（二）课程标准要求的具体化和深广分析1．如何认识“通过实例，总结分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，解决一些简单的实际问题.”的含义.可以从以下两个方面来把握标准的要求：第一，通过具体问题情境和实际事例，让学生不断感悟和总结两个基本计数原理，仅仅由教材中的几个实例是不够的，教师必须补充与之匹配的事例充实教材，这样学生才能更深刻地领悟两个基本计数原理.第二，在理解具体问题时，着重分析题意，领悟题眼，用分类或者分步或两者都用，分类要做到“不重不漏”，分步要做到步骤完整，善于归纳用计数原理解决计数问题的方法，这样有利于充分利用两个基本计数原理解题.2．如何认识“通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题.”第一，运用大量实例，理解排列的特殊性与组合的特殊性.排列的特殊性在于排列中元素的“互异性”和“有序性”，例如“从全班60名同学中选出4名同学，分别担任班长、学习委员、文艺委员、体育委员，”这就是一个排列问题.可以由学生思考为什么这个问题有元素的“互异性”和“有序性”的特点.与排列比较，组合的特殊性在于它只有元素的“互异性”而不需要考虑顺序，例如，上述问题如果改为“从全班60名同学中选出4名代表参加一项活动，”那么它就要变成一个组合问题了.本质上，“从n个不同元素中取出k个元素的组合”就是这几个不同元素组成的集合的一个k元子集.第二，排列数公式、组合数公式的推导是两个计数原理的一个应用过程，只有理解了排列、组合的概念，并会用两个计数原理解决实际问题，才能把排列数公式、组合数公式推导出来.第三，在教学中注意通过大量实例运用排列数公式、组合数公式解决，但是组合数的性质只作一般性的探究，至于应用不作重点要求，更不研究排列数的性质，在数学中必须引起注意.3．如何认识“能用计数原理证明二项式定理”利用计数原理求出的展开式的思维要点如下：第一，是个多项式乘法问题.根据多项式乘法，它的展开式的每一项，应是每一个多项式中某一项彼此相乘，所构成的单项式.第二，展开式的每一项是通过步乘积构成的，每一步有两种选择，因此，展开式的项数为.第三，展开式的每一项是由是由若干个和若干个的乘积构成，和的个数之和等于，它可以表示成：.第四，在展开式中，形如的同类项个数是多少呢？由于个来自不同的个多项式，它的个数是组合数.第五，在中，共有种不同的同类项，根据加法原理，其展开式为：（a+b）n=.这样，我们就通过乘法原理和加法原理证明了二项式定理，这是一种构造性的证明，即可以探索出问题的结果，同时可以证明出结果的正确性.4．如何理解“会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.”结合“杨辉三角”和从函数的角度来分析二项式系数的一些性质（①对称性②增减性与最大值③各二项式系数的和），在探究以上性质的过程中，实际上是二项式定理的应用，在教学中列举实例，将二项式系数的性质充分应用.（三）教学中的几个思维要点要点1：简单的计数问题讨论是有限集合所含元素的个数.排列数、组合数都是特定集合所含元素的个数，在讨论简单计数问题时，应明确所讨论的集合中元素的基本特征，这是解决简单计数问题的基点.要点2：正确使用基本计数原理是学习本部分内容的关键.中学数学课程中关于排列组合的计算公式都是以基本的计数原理为基础的，而一些较复杂的排列组合应用问题的求解，离不开两个计数原理，两个基本的计数原理是解决简单计数问题的通性通法，排列问题、组合问题以及二项式定理等都是依赖这些通性通法解决的.要点3：理解两个基本计数原理使用的条件是正确使用两个基本计数原理的前提.对于计数原理中的分布和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，需要教师引导，帮助学生找到分类和分步的特征和要求：分类要“类类互斥”，分步要“步步独立”.（四）典型例题的教学1．分清两个原理掌握分类计数原理和分步计数原理是复习好本章的基础.其应用贯穿于本章的始终.正确运用两个原理的关键在于：（1）先要搞清完成的是怎样的“一件事”.例1.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？分析：要完成的是“4名同学每人从三个项目中选报一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是应按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：3×3×3×3=34=81种报名方法.例2.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？分析：完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有4×4×4=43=64种可能的情况.例3.乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项？分析：因为展开后的每一项为第一个括号中的一个，第二括号中的一个与第三个括号中的一个的乘积，所以应分三步m1=3,m2=4,m3=5，于是展开后共有m1×m2×m3=3×4×5=60项.例4.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有（）A.34B.43 C43 D.44分析：事件为“加工3个零件”，每个零件都加工完这件事就算完成，应以“每个零件”分步，共3步，而每个零件能在四部车床中的任一台上加工，所以有4种方法，于是安排方法为4×4×4=43=64种，故选B.例5.5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（）A.54B.45C.5×4×3×2D.分析：因为5名同学都去听讲座，这件事才能完成，所以应以同学进行分步，又因为讲座是同时进行的，每个同学只能选其中一个讲座来听，于是有4种选择，当完成时共有4×4×4×4×4=45种不同的选法，故选B.例6.设集合A=，B=，则从A集到B集所有不同映射的个数是（）A.81B.64C.12D.以上都不正确分析：因映射为从A到B，所以A中每一元素在B中应有一元素与之对应，也就是A中所有元素在B中都有象，因此，应按A中元素分为4步，而对于A中每一元素，可与B中任一元素对应，于是不同对应个数应为3×3×3×3=34=81，故选A.(2)明确事件需要“分类”还是“分步 .例7．用1,5,9,13任意一个数做分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造多少个不同的分数？可构造多少个不同的真分数？解：由分步计数原理，可构造N=44=16个不同的分数由分类计数原理，可构造N=4+3+2+1=10个不同的真分数例8. 已知集合，，映射,当且时，为奇数，则这样的映射f的个数是（）A．10个 B．18个 C．32个 D．24个分析当取-1时，，共有4种取法；当取0时，，有2种取法；当取1时，,显然是奇数，共有4种选法.因此，这样的映射f的个数是是：种.(3)“分类”是要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性.“分步”时要注意“步”与“步”之间的连续性.例9. 小李有10个朋友，其中两人是夫妻，他准备邀请其中4人到家中吃饭，这对夫妻或者都邀请，或者都不邀请，有几种请客方法?解：请客方法以“这对夫妻是否被邀请”可分两类：(1)请其中的夫妻二人，则还须从余下的8人中选请2个，有种方法.(2)不请其中的夫妻二人，则应从其余的8人中选请4人，有种方法.由分类计数原理请客方法共有＋＝98种.例10.有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果.①4只鞋子没有成双的；②4只鞋中有2只成双，另两支不成双.解：①从10双鞋子中选取4双，有种不同选法；再在每双鞋子中各取一只，分别有取法，根据乘法原理，选取种数为：N==3360（种）②方法1：先选取一双有种选法，再从9双鞋种选取2双鞋有种选法，每双鞋各取一只，有种选法，根据乘法原理，选取种数为：N==1140（种）方法2：先选取一双有种选法，再从18只鞋中选取2只鞋有，而其中成双的可能性有9种，根据乘法原理，选取种数为：N=（-9）例11. 有红、蓝、绿三种颜色的卡片，每种颜色均有A、B、C、D、E字母的各一张，现每次取出四张，要求字母各不相同，三种颜色齐备，问有多少种不同的取法?分析：每次取出四张，所以有一种颜色的卡片取两张，这种颜色的取法数有，确定了颜色之后，再在这种颜色里取两个字母，方法数有；最后，在剩下的两种颜色的卡片及每种颜色下的三个字母中分别取一个，方法数有：故N=.2.分清是排列问题还是组合问题这两个概念共同点都是指从n个不同元素中进行不重复抽取的情况.分清一个具体问题是排列问题还是组合问题的关键在于看从n个不同元素取出m（m n）个元素是否与顺序有关，有序就是排列问题，无序则属于组合问题.例12．某街道有十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？解：问题等价于在七只亮着的路灯产生的六个空档中放入三只熄掉的路灯，因此满足条件的关灯方法有种.例13.有7名同学排成一排，甲同学最高，排在中间，其它六名同学身高不相等，甲的左边和右边以身高为准，有高到低排列，共有排法总数是分析：此问题相当于求六个元素中取出三个元素的组合数. 所以满足条件的排法有：例14.从12名队员中组队打篮球比赛，要求其中一队的年龄最小的队员也比另一队中年龄最大的队员要大，问有多少种不同的组队方法?分析：从12名队员中选两名观战的每一种选法，对应着一种组队方法:=66例15. 从0，1，……9这十个数字中任取3个组成没有重复数字的三位数，且要求百位数大于十位数，十位数大于个位数，这样的三位数有多少个？分析：显然顺序只有一种，任取3个数的组合数就是这样的三位数的个数，即个.例16.从2，3，5，7四个数中任取不同的两数，分别作对数的底数和真数问：（1）可得多少个不同的对数值？（2）可得多少个大于1的对数值？分析：（1）与顺序有关，是排列问题.；(2) 与顺序无关，是组合问题. .例17. 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者在与负方2号队员比赛，......直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程.那么，所有可能出现的比赛过程共有多少种？分析：设甲队：乙队：下标表示事先安排好的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序，比赛过程可类比为这14个字母互相穿插的一个排列.如：最后是胜队中不被淘汰的队员，如，和未参赛的队员，如所以比赛过程可表示为14个位置中取7个位置安排甲队队员，其余位置安排乙队队员.故比赛过程的总数：=3432.3.对复杂的排列组合问题，能正确解决的关键：做好分类，将复杂问题简单化.例18. 一天排语、数、外、生、体、班六节课（上午4节，下午2节），要求：第1节不排体育，数学课一定排在上午，班会一定排在下午，问这样的条件下，共有多少种排课表的方法？解法1：以数学课分类：（1）数学课排在第1节，则有种（2）数学课排在第2，3，4节之一，则有=108种由（1）（2）知，共有156种解法2：以体育课分类：（1）体育课在上午：=108种（2）体育课在下午：=48 .共有156种.例19. 在某次数学测验中，学号i（i=1，2，3，4）的四位同学考试成绩，且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为解：分两类：①共有种；②共有种.例20. 如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有（）A、240个B、285个C、231个D、204个分析：①如果三个数字是不重复的：含0：=36；不含0：.共有204个.②如果可以重复：=36. 综合①②：共有240种.例21.在5名乒乓球队员中,其中有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)解：两老一新时, 有种排法;两新一老时, 有种排法,即共有48种排法.例22.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种解析：投资于2个城市的方案有；投资于3个城市的方案有种.所以，共60种.答案选D.三、学习目标的检测正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件。
新教材2023年高中数学第六章计数原理6
第二步：从占据首位以外的 6 个元素中选 4 个排在除首位以外的其 他 4 个位置上，有 A46种排法．
由分步乘法计数原理，可得共有 A61·A64＝2 160(种)排法． 解法三(间接法)：即先不考虑限制条件，从 7 人中选出 5 人进行排列， 然后把不满足条件的排列去掉． 不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有 A57种，甲在首位的情况有 A64种，所以符合要求的排法有 A75－A46＝2 160(种)．
(2)(把位置作为研究对象，先满足特殊位置)第一步：从甲以外的 6 个元素中选 2 个排在首末两个位置上，有 A62种方法；第二步：从未排上 的 5 个元素中选 3 个排在中间 3 个位置上，有 A35种排法；
根据分步乘法计数原理，有 A26·A35＝1 800(种)排法． (3)(把位置作为研究对象)第一步：从甲、乙以外的 5 个元素中选 2 个排在首末两个位置，有 A25种排法； 第二步：从未排上的 5 个元素中选出 3 个排在中间 3 个位置上，有 A53种排法． 根据分步乘法计数原理，共有 A52·A53＝1 200(种)排法．
第二类：女生乙不站在正中间，完成这件事可分为三步． 第一步：女生乙有 4 个位置可选择，有 4 种站法； 第二步：女生丙不能站在正中间(可站在两端)，有 5 个位置可选择， 有 5 种站法； 第三步：其余 5 人可自由选择，有 A55种站法． 根据两个计数原理得，不同的站法共有 A66＋4×5×A55＝3 120 种．
共有 A55·A22＝240 种不同的排法，选 C． (2)先将 6 个歌唱节目排好，其不同的排法为 A66种，这 6 个歌唱节目 的空隙及两端共七个位置中再排 4 个舞蹈节目有 A74种排法，由分步乘法 计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为 A47·A66＝604 800(种)．
高中数学：《计数原理》(理)知识点串讲
《计数原理》（理）知识点串讲一、基本计数原理1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的办法，在第二类办法中有2m 种不同的办法，…在第n 类办法中有n m 种不同的办法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的办法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法，…，做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．说明：①分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成．②两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事情，可类比物理中的“并联”电路来理解；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是相依的、不可缺少的，一个步骤只能完成事情的一部分，必须依次完成所有的步骤，才能完成这件事情，可类比物理中的“串联”电路来理解．③运用两个基本原理解题时，应善于从语言的差异与变化中弄清面临怎样的“一件事”，弄清事件之间的关系是相依还是相斥，然后按照恰当的“对象”进行分类或分步，合理的设计相应的做事方式．分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”．这两个原理是解决排列组合问题的理论基础．二、排列与组合1．排列一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．说明：①排列的定义中包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排列”．②只有取出的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素不完全相同，或元素完全相同而顺序不同的排列属于不同排列．如1，2，3与2，3，4是不同排列；1，2，3与1，3，2也是不同排列．③排列中元素的有序性是判断一个具体问题是不是排列问题的标准，也是与组合问题的根本区别．例如：从1，2，3，5这四个数中每次任取两个数相加（或相乘），可得到多少个不同的和（积）？因为加法（乘法）满足交换律，它们的和（积）与顺序无关，如3+5=5+3，因此不是排列问题．如果从四个数中任取两个数相减（相除），一共有多少个不同的差（商）？因为减法（除法）不满足交换律，35355353⎛⎫-≠-≠ ⎪⎝⎭，取出的两个数就与顺序有关了，属于排列问题．2．排列数（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的排列数，用符号mn A 表示．说明：排列和排列数是两个不同的概念：一个排列是取出的m 个元素按照一定顺序排成的一个具体的排列，是具体的“一件事”；排列数是一个数，是所有的具体排列的数目． 如：从1、2、3中每次任取出两个元素，组成一个两位数．所有的排列有12，13，23，21，31，32．其中每一个数都是一个排列，而排列数是236card()A B ==，{}121323213132B ，，，，，．（2）排列数公式：!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m n m m n n m =---+=∈N -，，≤． 说明：规定0!1=；乘积形式多用于数字计算，阶乘形式多用于证明恒等式；排列数性质：11m m n n A nA --=；111m m m n n n A mA A ---=+．3．组合一般地，从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的组合．说明：如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合．组合的定义中包含两个基本内容：一是取出元素；二是并成一组，并成一组表示将元素合在一起与元素取出的顺序无关．取出的元素是否有顺序，是区分排列和组合的根本依据．4．组合数（1）定义：从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素的所有的组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的组合数，用符号C m n 表示．（2）组合数公式(1)(1)C !m n n n n m m --+=，C m m n n m mA A =． 5．组合数的性质性质1：C C m n m n n -=；性质112:C C C m m m n n n -+=+． 说明：性质1突出了从n 个不同元素中取出m 个元素与从n 个不同元素中取出n m -个元素是一一对应关系，当2n m <时，不计算C m n 而改为计算C n m n -．性质2中注意它的变形公式的应用，如1212(1)C C C (1)m m m n n n n n n m m m -----==-，11C C mm n n m n --=等．6．解排列组合问题的方法（1）先要判断是组合问题还是排列问题，按照元素的性质分类，按照事件的发生过程分步，不重不漏．借助树形图，框图等形的工具直观帮助解题．总体上有三种方法：直接法（先安排特殊元素和特殊位置），间接法（正难则反），分类讨论法．（2）排列组合问题的16字方针，12个技巧．方针是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合；技巧是：相邻问题捆绑法（莫忘松绑），不相邻问题插空法，多排问题直排法，定序问题可能法，定位问题优先法，有序分配问题先整体后局部分步法，多元问题分类法，构造模型处理法，至少、至多问题间接法，选排问题先选后排法，局部与整体问题排除法，复杂问题转化法．（3）分组问题的求法：设有m n 个元素，平均分成n 组，每组m 个，则有(1)(2)C C C C mm m mm n n m n m mnn A --种分法；平均分成n 组，再分配到n 个位置，有(1)(2)C C C C mm m m mn n m n m m--种分法．若不平均分组或不平均分组再分配，如：6个元素分成3组，一组1个，二组2个，三组3个，则有123653C C C ；若再将这3组分配给3个位置，则有12336533C C C A 种分法．三、二项式定理1．二项展开式在011222()C C C C C n n n n r n r r n n n n n n na b a a b a b a b b ---+=++++++中，右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，其中各项的系数C (012)r n r n =，，，，叫做二项式系数．式中的C r n r r n a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项；1r n r r r n T C a b -+=（0r n ≤≤，r ∈N ，n +∈N ），此公式称为二项展开式的通项公式． 说明：①其右端展开式共有1n +项．②通项公式1(0)r n r r r n T C a b r n r n -++=∈∈N N ，，≤≤表示的是第1(0)r r n +≤≤项．③a 与b 的位置不能互换，对于任意实数a 与b ，上面的等式恒成立．④二项式系数指01r n n n n n C C C C ，，，，，，二项展开式的系数与a b ，前面的系数有关．2．杨辉三角杨辉三角是我国古代数学的研究成果，它给我们提供了一种研究问题的数学模型，从不同的角度观察研究模型，就可以得到二项式系数的性质：一是对称性，结合公式m n m n n C C -=理解；二是增减性与最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，最大为2nnC ；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n n n C C -+=；三是各项的二项式系数的和等于2n ，即012r n n n n n n C C C C +++++=，它表明集合S 含有n 个元素，那么它的所有的子集（包括空集）的个数为2n 个．另外，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即1350242n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．3．二项展开式的应用（1）利用通项公式1(0)r n r r r n T C a b r n r n -++=∈∈N N ，，≤≤求指定项、特征项（常数项，有理项等）或特征项的系数．（2）近似计算，当a 与1相比较很小且n 不大时，常用近似公式(1)1n a na ±≈±，使用公式时要注意a 的条件以及对计算精确度的要求．（3）整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形，把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式的因式或只有一、二项不能整除．（4）求展开式的各项的系数和，对形如()n ax b +，2()()n ax bx c a b c ++∈R ，，的式子求其展开式的各项的系数和常用赋值法，即只需令1x =即可，奇数项的系数和为(1)(1)2f f +-，偶数项的系数和为(1)(1)2f f --． （5）最大系数与系数最大项的求法，如求()()nax b a b +∈R ，，展开式的系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式的各项系数分别为121n A A A +，，，，设第r 项的系数最大，应有11r r r r A A A A -+⎧⎨⎩，，≥≥，由此解出r 即可．。
2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理 章末知识梳理
返回导航
第六章 计数原理
数学（选择性必修·第3册 RJA）
3．排列数公式：Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)＝(nn－！m)． 4．全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，称为n个 不同元素的一个全排列． 5．排列数的性质：Amn ＝nAmn－－11＝mAmn－－11＋Amn－1．
[解析] 从数字1,2,3,4,5中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各
位数字之和等于6，
可分为三类情况：
(1)当三个数为1,1,4时，共有C
1 3
＝3(种)排法；(2)
当三个数为1,2,3时，具有A
3 3
＝6(种)排法；(3)当三个数为2,2,2时，只有1
种排法．由分类加法计数原理可得，共有3＋6＋1＝10(种)不同排法，即
返回导航
第六章 计数原理
数学（选择性必修·第3册 RJA）
要点专项突破
返回导航
第六章 计数原理
数学（选择性必修·第3册 RJA）
要点一
两个计数原理的应用
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理很少单独命题，多与排 列、组合等问题相结合，以选择题或填空题的形式考查，难度适中，属 中档题．
2．应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成 还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完 成事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既 要分类又要分步，此时，应注意层次分明，不重不漏．
返回导航
第六章 计数原理
数学（选择性必修·第3册 RJA）
[解析] (1)第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6
2025届高中数学一轮复习课件《计数原理》ppt
高考一轮总复习•数学
第20页
解析：(1)因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以 3 名学生进入校园的方式共 23＝ 8(种)．因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以 2 名教师进入校园的方式共有 22＝ 4(种)．所以 2 名教师和 3 名学生进入校园的方式共有 8×4＝32(种)．故选 D．
A．12 种 B．24 种 C．72 种 D．216 种
高考一轮总复习•数学
第15页
(2)设 I＝{1,2,3,4}，A 与 B 是 I 的子集，若 A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若
将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，
按其中一个子集中元素个数分类23个个；； 4个.
即十位数字最小． 称该数为“驼峰数”．比如 102,546 为“驼峰数”，由数字 1,2,3,4 构成的无重复数字 的“驼峰数”有________个．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由分步乘法计数原理知，用 0,1，…，9 十个数字组成三位数(可有重复数字) 的个数为 9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有 重复数字的三位数的个数为 900－648＝252.故选 B．
(2)根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间[7,14]中的 8 个整数，故公差 d 的范围是区 间[－3,3]中的整数．①当公差 d＝0 时，有 C18＝8(种)；②当公差 d＝±1 时，b 不取 7 和 14， 有 2×C16＝12(种)；③当公差 d＝±2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2×C14＝8(种)；④当公差 d＝±3 时，b 只能取 10 或 11，有 2×C12＝4(种)．综上，共有 8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数 法．
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
北师大高中数学选择性必修第一册5.1.1计数原理【课件】
自基主础训预练习
1. 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在 第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方 法.
2. 完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在 第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那 么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋m3 种不同的方法.
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
关键词
分类
分步
这件事，完成它可以有多种方式 这件事，完成它需要分多个步骤
或多种方案来进行. 如：既可以这 或多个阶段来进行. 如：完成了
样做，也可以那样做；或者说， 这一步，还需完成那一步；或者
本质 按这一类型的方法做也行，按那 说，完成了这部分，还需完成那
一类型的方法做也行，反正都能 部分，只有合起来才算是完成整
完成这件事. 那么，这就是分类去 个部分. 那么，这就是分步去完
完成.
成.
分类加法计数原理
关键词
分类
各类 (步) 的关 系
各类之间的方法是相互独立，也 是相互并列的，互不交叉，互不 重叠，所以，“分类互异”.
分步乘法计数原理 分步
各步之间的方法是相互独立，也 是相互连贯的，依次进行，互有 依赖. 所以，“分步互依”.
1. 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同吗? 提示：在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，若相同， 则它只能在同一类方案中且只能算是一种方法. 2. 分类加法计数原理中的“各种方法”与“完成这件事”有什么关系? 提示：分类加法计数原理中的“各种方法”都能独立“完成这件事”，与 “其他方法”没关系.
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.1排列与排列数公式a23a高二23数学
12/7/2021
第三十九页，共四十九页。
忽视排列问题中的限制条件致误 【例 4】 在 1,2,3,4 的排列 a1a2a3a4 中，满足 a1>a2，a3>a2， a3>a4 的排列个数是_____5___． 【错解】 排列的个数是 12 个或 8 个． 【错因分析】 3 个限制只注意 1 个限制条件或 2 个限制条 件．
12/7/2021
第七页，共四十九页。
知识点一 排列的概念
1．排列的定义
[填一填]
一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一 定的顺序 排成一列，叫做从 n 个 不同 元素中取出 m 个
元素的一个排列．
2．相同排列 两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且 元素的 排列顺序 也相同．
12/7/2021
第三十三页，共四十九页。
(2)计算AA5525的值． 解：AA5255＝5×4×5×3×4 2×1＝6.
12/7/2021
第三十四页，共四十九页。
类型三 列举法解决排列问题 【例 3】 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位
数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列．
Hale Waihona Puke [目标] 1.理解排列和排列数的特征.2.正确运用排列数公式 进行计算．
[重点] 理解排列的概念，会用排列数公式进行计算． [难点] 对排列的有序性的正确理解，排列数公式的逆用．
12/7/2021
第五页，共四十九页。
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
12/7/2021
第六页，共四十九页。
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第五章计数原理 精品教学课件
类型 2 分步乘法计数原理 【例 2】 某大学食堂备有 6 种荤菜，5 种素菜，3 种汤．现要 配成一荤一素一汤的套餐，问可以配制成多少种不同的品种？
[思路点拨]
[解] 完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一 个汤，因此需分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得：配制成不 同的套餐品种共有 6×5×3＝90 种．
20
55
(1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生任
学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
[解] (1)从每个班选 1 名学生任学生会主席，共有 3 类不同的方 案：
第 1 类，从高三(1)班中选出 1 名学生，有 50 种不同的选法； 第 2 类，从高三(2)班中选出 1 名学生，有 60 种不同的选法； 第 3 类，从高三(3)班中选出 1 名学生，有 55 种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从三个班中选 1 名学生任学生会主 席，共有 50＋60＋55＝165(种)不同的选法．
(2)分三步： 第一步，选 1 名医生，有 3 种选法； 第二步，选 1 名护士，有 5 种选法； 第三步，选 1 名麻醉师，有 2 种选法． 根据分步乘法计数原理知，共有 3×5×2＝30(种)选法．
当堂达标·夯基础
1．加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若 干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都 可以单独完成这件事．
1．分类加法计数原理 (1)定义：完成一件事，可以有 n 类办法，在第 1 类办法中有 _m__1种__方__法__，在第 2 类办法中有_m_2_种__方__法__，……在第 n 类办法中有 _m__n种__方__法__，那么，完成这件事共有 N＝_m_1_＋__m_2_＋__…__＋__m_n_种方法．(也 称“加法原理”)
高中数学计数原理
高中数学计数原理计数原理是数学中的一个重要概念，它在解决组合、排列和概率等问题时起着至关重要的作用。
在高中数学教学中，计数原理的应用也是非常广泛的。
本文将对高中数学计数原理进行系统的介绍和讲解，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、基本概念。
计数原理是指在一定条件下，通过对个体进行分类、分解、排列和组合等方法，确定事件的总数的一种数学方法。
在实际问题中，常常需要根据计数原理来确定某一事件的发生总数。
在计数原理中，最基本的概念就是排列和组合。
排列是指从给定的n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程称为排列。
而组合是指从给定的n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序，这个过程称为组合。
二、排列。
1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程称为排列。
2. 排列的计算公式为Anm=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。
在实际问题中，排列常常用于解决有序排列的问题，比如从5个不同的球中取出3个球，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方式。
三、组合。
1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序，这个过程称为组合。
2. 组合的计算公式为Cnm=n!/(m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。
在实际问题中，组合常常用于解决不考虑顺序的问题，比如从8个不同的人中选出3个人组成一个委员会，共有多少种不同的组合方式。
四、应用举例。
1. 案例一，某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，问共有多少种不同的组合方式？解答，根据组合的计算公式，Cn3=10!/(3!(10-3)!)=120，所以共有120种不同的组合方式。
2021_2022学年新教材高中数学第五章计数原理1计数原理课件北师大版选择性必修第一册202105
(2)完成一件事需要分成 A，B 两个步骤，在实行 A 步骤时有 m1 种方法，在实行 B 步骤时有 m2 种方法，即 card(A)＝m1，card(B)＝m2，那么完成这件事的不同方法 种数就是 card(A·B)＝card(A)·card(B)＝m1·m2.这就是当 n＝2 时的分步乘计数原 理．当 n＞2 时可类似得出．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N ＝_m_1_·__m_2·__…__·__m_n_种方法．(也称“乘法原理”)
【思考】 分步乘法计数原理有什么特点？ 提示：①完成一件事需要经过n个步骤； ②完成每一步有若干种方法，且每一步对其他步没有影响； ③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
【解析】(1)需要老师、男同学、女同学各 1 人，则分 3 步，第一步选老师，有 3 种不同的选法；第二步选男同学，有 8 种不同的选法；第三步选女同学，有 5 种 不同的选法．共有 3×8×5＝120 种不同的选法； (2)第一步选老师有 3 种不同的选法，第二步选学生有 8＋5＝13 种不同的选法， 共有 3×13＝39 种不同的选法．
(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从 1，2，3，4 中选取一个数字做千位数字，有 4 种不同的选取方法；第二步，从 1，2，3，4 中剩余的三个数字和 0 共四个数字中选取一个数字做百位数字，有 4 种不同的选 取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个做十位数字，有 3 种不同的选取 方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有 2 种不同的选 取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有 N＝4×4×3×2＝96 个．
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式a23a高二23数学
义及表示 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示
全排列的概念
n个不同元素__全__部__(q_uá_nb_ù_)取_的出一个排列
阶乘的概念
把_n_·(_n_－__1_)_·…__·_2_·_1记作n！，读作：n的阶乘
Anm＝___n_(_n_－__1_)…__(_n_－__m__＋__1_) ____
2021/12/12
第十五页，共三十六页。
[跟踪训练] 1．判断下列问题是否是排列问题 (1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？ (2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
[解] (1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序 排好．有多少个排列就有多少封信，共有A24＝12封信．
题．
()
2021/12/12
第八页，共三十六页。
[解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺 序也相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺 序”有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不 同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
第二页，共三十六页。
[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照_一__定_(_yī_dì_ng_)_的_顺排序成一列，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列的两个条件 (1)_元__素__(_yu相án s同ù) ． (2)_顺__序__(s_hù相nxù同) ． 思考：如何理解排列的定义？
高中数学计数原理知识点总结
高中数学计数原理知识点总结高中数学计数原理知识点总结如下：1. 计数原理：分类加法计数原理：完成一件事情，有n类方式，第一类有m1种方法，第二类有m2种方法，……，第n类有mn种方法，则完成这件事情共有N=m1+m2+...+mn种方法。
分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，……，第n步有mn种方法，则完成这件事情共有N=m1×m2×...×mn种方法。
2. 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。
所有排列的个数记作A(n,m)或anm，规定0≤m≤n。
3. 组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。
所有组合的个数记作C(n,m)或cnm，规定0≤m≤n。
C(n,m)=n!/(n-m)!C(n,m)=C(n,n-m)C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)4. 二项式定理：(a+b)n的展开式为：二项式系数：C(n,k)=n!/[(n-k)!k!]展开式一共有n+1项各项系数为二项式系数各项次数之和等于(a+b)的次数5. 特殊项的二项式定理：当a=b=1时，(1+1)n=2n的展开式为：当k=0时，项为：1当k=1时，项为：n+1当k=2时，项为：C(n,2)+3C(n,3)/2!当k=3时，项为：C(n,3)+8C(n,4)/3!当k=4时，项为：C(n,4)+15C(n,5)/4!以上是高中数学计数原理知识点总结。
希望对您有帮助。
计数原理知识梳理-2024届高三数学一轮复习
计数原理知识梳理一、两个原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．推广：如果完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，…，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N ＝m 1＋m 2＋…＋m n ．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．推广：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…,做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N ＝m 1×m 2×…×m n ．(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏； ②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复； ③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法． 5.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件． (3)对完成各步的方法数要准确确定． 6. 应用两种原理解题要注意 (1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； (3)有无特殊条件的限制； (4)检验是否有重漏．7.与两个计数原理有关问题的解题策略(1)在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理. (2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．二、排列与组合 1.排列；如果与顺序无关，则是组合． 2.排列数、组合数的定义、公式、性质全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，全排列数公式：所有全排列的个数，即(1)(2)21!nn A n n n n =⨯-⨯-⋅⋅⋅⨯⨯=．3.排列、组合问题的求解常用方法与技巧解排列组合综合问题，先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，具体有下面几种常用方法： (1)特殊元素或特殊位置优先法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．优先安排．(2)相邻问题捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列． (3)相间问题插空法：对不相邻问题，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．(4)定序问题倍除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (5)多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理． (6)分球问题隔板法：相同元素的分配问题常用“隔板法”,每组至少一个．(7) 分组分配问题的策略：对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．对于整体均分，分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．对于部分均分，若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！．(8)间接法：正难则反、等价转化的方法，比如“至少”或“至多”含有几个元素的题型． 三、二项式定理 1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝(n ∈N *)，等号右边的式子称为()na b +的二项展开式．(2)通项公式：T k ＋1＝ ，它表示第 项；注意：(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题． 2.二项展开式的特征：（1）二项展开式共有 项；（2）二项式系数依次为组合数012,,,,,,knn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅；（3）各项次数都等于二项式的幂指数n ；（4）字母a 的指数由n 开始按降幂排列到0，b 的指数由0开始按升幂排列到n ． 注意：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是特指相应的组合数C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关． 3.4.(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝ .(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝ .5.求二项展开式中特定项(或系数)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项T k ＋1＝C k n a n －k b k，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k ；第三步，把k 代入通项中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量． 6.求三项展开式中某些特定项(或系数)的策略(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．7.二项式定理中的字母可取任意数或式，在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.8.二项展开式中系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，注意解出k 后要检验首末两项．。
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
高中数学计数原理
高中数学计数原理高中数学中的计数原理是一种基础的数学方法，用于计算不同情况下的计数问题。
计数原理包括排列、组合两个基本方法，通过它们可以解决各种不同的计数问题。
首先，我们来看一下排列。
排列是指从一组事物中按照一定顺序选取若干个的方法数。
在排列中，每一次选择都会对结果产生影响，所以顺序是非常重要的。
具体而言，排列可以分为有放回排列和无放回排列两种情况。
在有放回排列中，我们可以使用一个简单的例子来说明。
假设有3个不同的球，现在要从中任选2个球放回，问一共有多少种不同的放法。
我们可以使用以下方法来计算：第一个球有3种选择，第二个球同样有3种选择，所以总共有3x3=9种不同的放法。
接下来，我们来看一下无放回排列。
在无放回排列中，每次选择后都将该物体排除，不再使用。
同样以一个例子来说明。
假设有4个不同的球，现在要从中任选3个球不放回，问一共有多少种不同的放法。
我们可以使用以下方法来计算：第一个球有4种选择，第二个球有3种选择，第三个球有2种选择，所以总共有4x3x2=24种不同的放法。
除了排列，我们还有组合。
组合是指从一组事物中选取若干个无顺序的方法数。
在组合中，顺序不重要，我们只关心选择的物体是否相同。
同样，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种情况。
有放回组合是指每次选择后将该物体放回，继续下一次选择。
例如，从3个不同的球中选取2个球，可以计算出有放回组合的方法数为4。
而无放回组合是指每次选择后将该物体排除，不再使用。
例如，从3个不同的球中选取2个球，可以计算出无放回组合的方法数为3。
通过掌握排列和组合这两种计数方法，我们可以解决各种不同情况下的计数问题。
在解题过程中，我们需要明确问题的具体情况，确定是使用排列还是组合，并且根据题目给出的条件进行运算。
通过不断练习和积累，我们可以灵活运用计数原理来解决各种复杂的计数问题。
计数原理高三数学知识点
计数原理高三数学知识点计数原理是高三数学中的一个重要知识点，主要涉及到排列组合和概率统计方面的内容。
本文将对计数原理进行详细的介绍和讲解。
1. 基本概念计数原理是研究事物的计数方法和规律的数学理论。
在高三数学中，计数原理主要包括排列和组合两个部分。
2. 排列排列是指从一组元素中按照一定的顺序抽取若干个元素进行排列的方法。
排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，P表示排列数，n表示一组元素的个数，m表示抽取的元素个数。
排列的应用场景非常广泛，比如从一组数字中选取若干个数字进行排列，从一组人员中选取若干人进行排列等等。
3. 组合组合是指从一组元素中按照一定的顺序抽取若干个元素形成一个集合的方法。
组合的计算公式为：C(n, m) = n! / [(n - m)! * m!]其中，C表示组合数，n表示一组元素的个数，m表示抽取的元素个数。
组合的应用场景也非常广泛，比如从一组数字中选取若干个数字形成一个集合，从一组人员中选取若干人形成一个小组等等。
4. 基本性质排列和组合都具有一些基本的性质，这些性质对于解题非常重要，需要牢记。
以下是一些常用的性质：（1）互补性原理：P(n, m) = C(n, m) * m!在排列中，从一组元素中选取m个进行排列，即为P(n, m)；而在组合中，从一组元素中选取m个形成一个集合，然后对这个集合进行排列，即为C(n, m) * m!。
（2）和原理：C(n, m) = C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m)在组合中，C(n, m)表示从一组元素中选取m个形成一个集合的数目。
根据和原理，可以将这个问题分解成两个子问题，分别是从前n-1个元素中选取m-1个的集合和从前n-1个元素中选取m个的集合。
由此可得，C(n, m) = C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m)。
5. 概率统计中的计数原理计数原理在概率统计中也有广泛的应用。
高中数学计数原理公式
高中数学计数原理公式计数原理是数学中的一种基本方法，它在解决组合问题和排列问题时起着非常重要的作用。
在高中数学中，我们经常会遇到各种计数原理的应用，因此掌握计数原理的公式和方法对于高中数学学习至关重要。
首先，我们来介绍一下计数原理的基本概念。
计数原理包括加法原理和乘法原理两种基本方法。
加法原理指的是，如果一个任务可以通过几个步骤完成，而每个步骤有若干种方法可选，则完成这个任务总共有多少种方法，就等于各个步骤方法数的和。
乘法原理指的是，如果一个任务可以通过若干个步骤完成，而每个步骤有若干种方法可选，则完成这个任务总共有多少种方法，就等于各个步骤方法数的乘积。
接下来，我们来看一些高中数学中常见的计数原理公式。
首先是排列的计数公式。
排列是指从给定的n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。
排列的计数公式为，Anm = n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×…×1。
这个公式就是乘法原理的应用，因为每一步的选择都会减少一个可选的元素，直到选完m个元素为止。
其次是组合的计数公式。
组合是指从给定的n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑元素的顺序。
组合的计数公式为，Cnm = n!/(m!(n-m)!)。
这个公式同样是乘法原理的应用，不同的是在计算n!时，需要除以m!和(n-m)!，因为组合中不考虑元素的顺序，所以要除去重复计算的情况。
另外，还有一种常见的计数问题是多重集的排列计数。
多重集是指包含若干个相同元素的集合，它的排列计数公式为，An1,n2,...,nk = n!/(n1!×n2!×...×nk!)，其中n1,n2,...,nk表示多重集中每个元素的个数。
这个公式同样是乘法原理的应用，只不过在计算n!时，需要除以每个元素的阶乘。
总结一下，高中数学中的计数原理公式主要包括排列计数公式、组合计数公式和多重集的排列计数公式。
高中数学计数原理知识点总结及练习教案课程学生
教师： 学生： 时间：_ 2016 _年_ _月 日 段 第__ 次课n m +种不同的方法分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成种不同的方法，……，做第n m ⨯ 种．排列的概念：从n 个不同元素中，任取）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．排成一列，叫做从n ）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中2)(n m -+的连乘积，叫做n !)!n n m - .个不同元素中取出2)(!n m m -+(r n r r n nn n C a b C b n N -+++∈r rn n C x x +++.．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对．二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是r r n n C x x +++，12r nn n n n C C C C ++++++在运用二项式定理时一定要牢记通项公式1r n r n T C a -+=体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。
另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指n m ⨯种不同的方法．分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为()A．40B．50C．60D．702．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有() A．6个B．9个C．18个D．36个4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．368．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96 C．108 D．1449．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72（B）96（C）108（D）14417. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A.10B.11C.12D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
高中数学选修2-3(人教B版)第一章计数原理1.4知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 计数原理 1.3计数模型（补充）一、学习任务掌握计数的几种模型，并能处理一些简单的实际问题．二、知识清单数字组成模型 条件排列模型 分组分配模型染色模型计数杂题三、知识讲解1.数字组成模型与顺序相关的数字问题，通常是计算满足某些特征的数字的个数．常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数等等，其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决，各个数位数字不相同通常是与排列相关的问题．由 、、、、 这五个数字可组成多少个无重复数字的五位数？解：首位不能是 ，有 种，后四位数有 种排列，所以这五个数可以组成 个无重复的五位数．012340C 14A 44=96C 14A 44用数字 、 组成四位数，且数字 、 至少都出现一次，这样的四位数共有______个（用数字作答）．解：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是 或 的情况不合题意，所以符合题意的四位数有 个．23231423−2=1424从 ， 中选一个数字，从 、、 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A． B． C． D．解：B当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，剩余 个数字排在首位，共有 种方法；当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，其余 个数字全排列，共有 种方法．依分类加法计数原理知共有 个奇数．02135241812601352C 2321C 121=6C 23C 1221352C 2321C 122=12C 23C 12A 226+12=18用 ， ，， ， ， 这 个数字，可以组成______个大于 且小于 的012345630005421描述：例题：2.条件排列模型计算满足某些限制条件的排列的个数，常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某人只能或不能排在某些位置的问题等等．不重复的四位数．解：分四类：①千位数字为 ， 之一时，百十个位数只要不重复即可，有 （个）；②千位数字为 ，百位数字为 ，，， 之一时，共有 （个）；③千位数字是 ，百位数字是 ，十位数字是 ， 之一时，共有 （个）；④最后还有 也满足条件．所以，所求四位数共有 （个）．175342=120A 3550123=48A 14A 245401=6A 12A 135420120+48+6+1=175 名男生， 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，男生必须排在一起；（3）全体站成一排，甲、乙不能相邻．解：（1）先考虑甲的位置，有 种方法，再考虑其余 人的位置，有 种方法．故有种方法；（2）（捆绑法）男生必须站在一起，即把 名男生进行全排列，有 种排法，与 名女生组成 个元素全排列，故有 种不同的排法；（3）（插空法）甲、乙不能相邻，先把剩余的 名同学全排列，有 种排法，然后将甲、乙分别插到 个空中，有 种排法，故有 种不同的排法．34A 136A 66=2160A 13A 663A 3345=720A 33A 555A 556A 26=3600A 55A 26有甲、乙、丙在内的 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有______种．解：甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有 种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一个，有 种方法；最后甲、乙两人的排法有 种方法．综上，总共有 种排法．6144A 44A 13A 22=144A 44A 13A 22 把椅子摆成一排， 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A． B． C． D．解：D“不相邻”应该用“插空法”，三个空椅子，形成 个空，三个坐人的椅子插入空中，因为人不同，所以需排序，所以有 种不同坐法．6314412072244=24A 34某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同课程的排法？解：法一： 门课程总的排法是 种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有 种排法，数学排在最后一节有 种排法，但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一节，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是： 种．法二：① 体育、数学即不排在第一节也不排在最后一节，这种情况有 种排法；② 数学6A 66A 55A 55A 44−2+=504A 66A 55A 44⋅A 24A 44⋅144种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．（以数字作答）72种花，且相邻的96高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
成了，才能完成这件事情。
2、各步之间是相关联的
小结：分类计数与分步计数理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立完成
2、各类办法是互斥的、并列的、独立的
分步计数原理
分步计数原理 完成一件事，需要分成 n
个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步 有m2种不同的方法，…，做第 n 步有 mn种不同
的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 mn 种不同的方法．
注：1、每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完
北师大版高中数学选修2-3第一章
分类计数原理
分类计数原理 完成一件事，有n 类办法，
在第1类办法中有 m1 种不同的方法，在第2类办 法中有m2种不同的方法，…，在第n 类办法中
有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
N m1 m2 mn 种不同的方法．
注：1、每类办法都能独立完成这件事情。