高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编及解析

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识要点

一、选择题

1．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144

【答案】D 【解析】 【分析】

按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生

的情况去掉，录取方案数为22

63C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为

24C 、2

2C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。

【详解】

根据题意，分3步进行分析：

①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，

③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有1

2

2C =种情况， 则有1262144⨯⨯=种不同的录取方案； 故选：D ． 【点睛】

本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。

2．已知函数，在区间

内任取一点，使

的概率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】 由

得，故

或

，由

，故

或

，故使

的概率为

.

【点睛】

本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.

3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种

【答案】C 【解析】 【分析】

给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】

甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区，

则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1

3

43C C ⋅；

第2社区2个、第3社区安排2个，共22

42C C ⋅；

第2社区3个，第3社区安排1个，共11

41C C ⋅；

故所有安排总数为132211

4342413()42C C C C C C ⨯⋅+⋅+⋅=.

故选：C. 【点睛】

本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

4．下列等式不正确的是（ ）

A ．111

m m

n

n m C C n ++=+ B ．121

11m m m n n n A A n A +-+--= C ．1

1m m n n A nA --=

D ．1(1)k k k

n n n nC k C kC +=++

【答案】A 【解析】 【分析】

根据排列和组合公式求解即可. 【详解】

根据组合公式得1

1!1(1)!1!()!1(1)!()!1

m

m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；

根据排列公式得

1221

11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!

m m

m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=

-=+-=⋅=----，则B 正

确；

根据排列公式得1

1!(1)!()!()!

m

m n n n n A n nA n m n m ---=

=⋅=--，则C 正确；

根据组合公式得()()1

!!

(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+⋅

=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

[]!!

()!()!!(1)!

k k

n n n n nC kC n k k n k k n k -⋅

=--+-=

即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；

故选:A 【点睛】

本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.

5．下列四个结论中正确的个数是

（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2

010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；

（2）已知2

(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=

（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为

ˆ23y

x =-； （4）“1x ≥”是“1

2x x

+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得

2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；

（2）中，已知(

)2

2,X N σ

~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所

以 (2)0.5P X >=是正确的；

（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质

和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23y

x =-是正确；

（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，

所以“1x ≥”是“1

2x x

+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线