高考数学(理)二轮专题练习【专题6】(1)直线与圆(含答案)
高考数学复习专题训练—直线与圆(含答案及解析)
高考数学复习专题训练—直线与圆一、单项选择题1.(2021·全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021·湖南湘潭模拟)已知半径为r(r>0)的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的值为()A.54B.√2C.32D.√33.(2021·北京清华附中月考)已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.74.(2021·江西鹰潭一中月考)已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为()A.√7+11B.17C.√37+11D.155.(2021·湖北黄冈中学三模)已知直线l:mx+y+√3m-1=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=()A.2B.4√33C.2√3D.46.(2021·重庆八中月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为()A.4√2B.2√2C.8D.8√27.(2021·山西临汾适应性训练)直线x+y+4=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-4)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[8,12]B.[8√2,12√2]C.[12,20]D.[12√2,20√2]8.(2021·山东青岛三模)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是()A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3√3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点9.(2021·河北邢台模拟)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列不是M,N 两圆公切线的直线方程为()A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y+√5=0D.x+2y-√5=0二、多项选择题10.(2021·广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是()A.-3B.3C.2D.-211.(2021·海南三亚模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2三、填空题12.(2021·辽宁营口期末)若直线l1:y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称,则当l2经过点N(0,-1)时,点M到直线l2的距离为.13.(2021·山东滨州检测)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,则圆N的标准方程为.14.(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且构成正方形ABCD,则|m-n|的值为.15.(2021·河北沧州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+2my+1=0(m>0),直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,则k=,直线l与圆C的位置关系为.答案及解析1.A 解析 由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√32+(−4)2=95.故选A . 2.C 解析 直线y=-2x 和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x 的距离d=12×√4+1=√52,2√r2-d 2=2√r 2-54=2,解得r=32.3.B 解析 设点P (x ,y ),则(x-3)2+(y-4)2≤1,圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=√32+42=6,则点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5. 4.C 解析 依题意,圆C 1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C 1(1,2),半径r 1=3.圆C 2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C 2(2,8),半径r 2=8, 故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2=√37+11.5.B 解析 直线过定点(-√3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB 是等边三角形,圆心O 到直线AB 的距离为√3,所以√3m-1|√1+m 2=√3,m=-√33,直线斜率为k=-m=√33,倾斜角为θ=π6, 所以|CD|=|AB|cosθ=2cosπ6=4√33. 6.A 解析 将圆C 的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C (2,1),半径r=2.将直线l 的方程整理为y=k (x-1)+2,则直线l 恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C 内. 最长弦MN 为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ 为过(1,2),且与最长弦MN 垂直的弦,∵k MN =2−11−2=-1,∴k PQ =1.直线PQ 方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 圆心C 到直线PQ 的距离为d=√2=√2,|PQ|=2√r 2-d 2=2√4−2=2√2.四边形PMQN 的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×2√2=4√2.7.C 解析 直线x+y+4=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,A (-4,0),B (0,-4),故|AB|=4√2.设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为d ,则d=√1+1=4√2.设点P 到直线x+y+4=0的距离为h ,故h max =d+r=4√2+√2=5√2,h min =d-r=4√2−√2=3√2,故h 的取值范围为[3√2,5√2],即△ABP 的高的取值范围是[3√2,5√2],又△ABP 的面积为12·|AB|·h ,所以△ABP 面积的取值范围为[12,20].8.C 解析 对于A,曲线C :x 2+y 2+4x+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m )2=m 2-1,曲线C 要表示圆,则m 2-1>0,解得m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件,故A 错误;对于B,m=3√3时,直线l :x+√3y+1=0,曲线C :(x+2)2+(y+3√3)2=26, 圆心到直线l 的距离d=√3×(−3√3)+1|√1+3=5,所以弦长=2√r 2-d 2=2√26−25=2,故B错误;对于C,若直线l 与圆相切,圆心到直线l 的距离d=2√9+m 2=√m 2-1,解得m=±3,所以“m=-3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件,C 正确;对于D,当m=-2时,曲线C :(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=√3,曲线C 与圆x 2+y 2=1两圆圆心距离为√(-2-0)2+(2−0)2=2√2>√3+1,故两圆相离,不会有两个公共点,D 错误.9.D 解析 由题意,圆M :(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为M (2,1),半径为r 1=1,圆N :(x+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为N (-2,-1),半径为r 2=1.如图所示,两圆相离,有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称,则有两条切线过原点O , 设切线l :y=kx ,则圆心M 到直线l 的距离为√1+k 2=1,解得k=0或k=43.故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.另两条切线与直线MN 平行且相距为1,又由l MN :y=12x , 设切线l':y=12x+b ,则√1+14=1,解得b=±√52, 此时切线方程为x-2y+√5=0或x-2y-√5=0. 结合选项,可得D 不正确.10.CD 解析 圆C 方程可化为(x-a )2+y 2=1,则圆心C (a ,0),半径r 1=1;由圆D 方程知圆心D (0,0),半径r 2=2.因为圆C 与圆D 有且仅有两条公切线,所以两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.观察4个选项,可知C,D两项中的a的取值满足题意.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,D正确.12.√5解析因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(1,2)对称,所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上,可得直线l2的方程y-0-1-0=x-20−2,即x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距离为d=√1+4=√5.13.(x-6)2+(y-1)2=1解析圆的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.14.2√10解析由题设知:l1∥l2,要使A,B,C,D四点构成正方形ABCD,正方形的边长等于.直线l1,l2之间的距离d,则d=√5若圆的半径为r,由正方形的性质知d=√2r=2√2,故=2√2,即有|m-n|=2√10.√515.√3相离解析x2+y2-4x+2my+1=0,即(x-2)2+(y+m)2=m2+3,圆心C(2,-m),半径r=√m2+3,)=-1,解得k=√3.因为直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,所以k·√3=√3+m.直线l:y=√3x+m.因为m>0,所以圆心到直线l的距离d=√3+m+m|√3+1因为d2=m2+2√3m+3>m2+3=r2,所以d>r.所以直线l与圆C的位置关系是相离.。
高考数学(理)二轮 二轮课时专题专题五 解析几何 第1讲 直线与圆 Word版含答案
第1讲直线与圆【课前热身】第1讲直线与圆(本讲对应学生用书第42~44页)1.(必修2 P83练习4改编)已知一条直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y=-2x+3 的斜率相等，则该直线的方程为.【答案】y=-2x+4【解析】设直线方程为y=-2x+b，代入点P(1，2)，得b=4，所以所求直线的方程为y=-2x+4.2.(必修2 P111练习8改编)在平面直角坐标系xOy中，若曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为.【答案】(-∞，-2)【解析】曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0可以变形为(x+a)2+(y-2a)2=4，它表示以(-a，2a)为圆心、2为半径的圆，该圆在第四象限的条件是-020|-|2|2|2aaaa>⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪>⎩，，，，解得a<-2.3.(必修2 P114练习2改编)自点A(-1，4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线l，则切线l的方程为.【答案】y=4或3x+4y-13=0【解析】当直线l垂直于x轴时，直线l：x=-1与圆相离，不满足条件.当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y-4=k(x+1)，由于直线与圆相切，所以21 k+=1，解得k=0，k=-34，因此，所求的方程为y=4或3x+4y-13=0.4.(必修2 P117习题10改编)圆x2+y2=9与圆x2+y2-4x+2y-3=0的公共弦的长为.【答案】125 5【解析】两圆的圆心分别为(0，0)，(2，-1)，公共弦的方程为2x-y-3=0，原点到公共弦的距离d=35，所以公共弦长为2239-5⎛⎫⎪⎝⎭=1255.5.(必修2 P117习题8改编)已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆上有点P，使得∠APB=90°，则m的最小值为.【答案】4【解析】显然AB=2m，因为∠APB=90°，所以OP=12AB=m，所以要求m的最小值，即求圆C上的点P到原点O的最小距离.因为OC=5，所以OP min=OC-r=4，即m 的最小值为4.【课堂导学】直线、圆的方程例1如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1，1)在直线AC上，斜边中点为M(2，0).(1)求BC边所在直线的方程；(2)若动圆P过点N(-2，0)，且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆的方程.(例1)【解答】(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为-3.故AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)，即3x+y+2=0.设C为(x0，-3x0-2)，因为M为BC中点，所以B(4-x0，3x0+2).将点B代入x-3y-6=0，解得x0=-4 5，所以C42 -55⎛⎫ ⎪⎝⎭，.所以BC边所在直线方程为x+7y-2=0.(2)因为Rt△ABC斜边中点为M(2，0)，所以M为Rt△ABC外接圆的圆心.又CM=2，从而Rt△ABC外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径22(2)a b++，圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由于圆P与圆M相交，则公共弦所在直线的方程m为(4-2a)x-2by+a2+b2-r2+4=0.因为公共弦长为4，r=22，所以M (2，0)到直线m 的距离d=2，即22222|2(4-2)-4|(4-2)(2)a a b r a b ++++=2，化简得b 2=3a 2-4a ， 所以r=22(2)a b ++=244a +. 当a=0时，r 取最小值为2，此时b=0，圆的方程为x 2+y 2=4.【点评】对于直线和圆的方程的求解问题，一般都采用待定系数法，即根据所给条件特征恰当地选择方程，将几何性质转化为代数的方程，解方程即可.变式 已知以点P 为圆心的圆经过点A (-1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD=410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程.【解答】(1)因为直线AB 的斜率k=1，AB 的中点坐标为(1，2). 所以直线CD 的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得 a+b-3=0. ① 又因为直径CD=410，所以PA=210.所以(a+1)2+b 2=40. ②由①②解得-36a b =⎧⎨=⎩，或5-2.a b =⎧⎨=⎩，所以圆心P (-3，6)或P (5，-2)，所以圆P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (2015·曲塘中学)已知圆心为C 的圆满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程.(2)设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行?若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【点拨】存在性问题，先假设存在.【分析】(1)根据圆心C 位于x 轴正半轴上，可设出圆的标准方程，然后利用直线与圆的位置关系列出方程组求解；(2)假设存在这样的直线方程，则斜率必须满足相应的条件，根据平行四边形法则，可得出D 点坐标与A ，B 两点坐标之间的关系，从而通过OD 与MC 平行建立起关于斜率k 的方程，从而求出斜率k 的值.【解答】(1)设圆C ：(x-a )2+y 2=r 2(a>0)，由题意知222343r a r =++=，，解得a=1或a=138，又因为S=πr 2<13，所以a=1. 所以圆C 的标准方程为(x-1)2+y 2=4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x=0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又因为l 与圆C 相交于不同的两点，联立223(-1)4y kx x y =+⎧⎨+=⎩，，消去y ，得(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0， 所以Δ=(6k-2)2-24(1+k 2)=12k 2-24k-20>0，解得k<1-26或k>1+26，且x 1+x 2=-26-21k k +，y 1+y 2=k (x 1+x 2)+6=2261k k ++，又OD u u u r=OA u u u r +OB u u u r =(x 1+x 2，y 1+y 2)，MC u u u u r=(1，-3)，假设OD u u u r ∥MC u u u u r，则-3(x 1+x 2)=y 1+y 2，解得k=34，因为34∉26-1-⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，∪261++⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，， 所以假设不成立， 所以不存在这样的直线l.【点评】判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.能用几何法，尽量不用代数法.变式 (2015·天一中学)已知A (-2，0)，B (2，0)，C (m ，n ). (1)若m=1，n=3，求△ABC 的外接圆的方程；(2)若以线段AB 为直径的圆O 过点C (异于点A ，B )，直线x=2交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ，试判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论.【分析】第(1)问已知三点在圆上，可设一般式利用待定系数法来求外接圆的方程；第(2)问要判断直线与圆的位置关系，可通过圆心到直线的距离和半径的关系进行判断.【解答】(1)设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由题意可得4-204201330D F D F D E F ⎧+=⎪++=⎨⎪+++=⎩，，，解得D=E=0，F=-4，所以△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2-4=0，即x 2+y 2=4.(2)由题意可知以线段AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4，设点R 的坐标为(2，t )，因为A ，C ，R 三点共线，所以AC u u u r∥AR u u u r.而AC u u u r=(m+2，n )，AR u u u r =(4，t )，则4n=t (m+2)，所以t=42nm +，所以点R 的坐标为422n m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，点D 的坐标为222n m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，所以直线CD 的斜率为k=2-2-2nn m m +=2(2)-2-4m n nm +=2-4mn m .而m 2+n 2=4，所以m 2-4=-n 2，所以k=2-mn n =-mn ，所以直线CD 的方程为y-n=-mn (x-m )，化简得mx+ny-4=0，所以圆心O 到直线CD 的距离d=224m n +=44=2=r ，所以直线CD 与圆O 相切.与圆有关的定点问题例3 (2016·淮阴中学)已知圆M ：x 2+(y-4)2=4，点P 是直线l ：x-2y=0上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B.(1)当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标.(2)若△PAM 的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)求线段AB 长度的最小值.【点拨】曲线过定点问题，往往转化为等式恒成立问题. 【解答】(1)由题可知，圆M 的半径r=2，设P (2b ，b )， 因为PA 是圆M 的一条切线，所以∠MAP=90°， 所以22(0-2)(4-)b b +22AM AP +4，解得b=0或b=85，所以P (0，0)或P 16855⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(2)设P (2b ，b )，因为∠MAP=90°，所以经过A ，P ，M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为(x-b )2+24-2b y +⎛⎫ ⎪⎝⎭=224(-4)4b b +，即(2x+y-4)b-(x 2+y 2-4y )=0，它对于任意的实数b 均成立，故222-40-40x y x y y +=⎧⎨+=⎩，， 解得04x y =⎧⎨=⎩，或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以圆过定点(0，4)，8455⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(3)因为圆N 方程为(x-b )2+24-2b y +⎛⎫ ⎪⎝⎭=224(-4)4b b +，即x 2+y 2-2bx-(b+4)y+4b=0， ①圆M ：x 2+(y-4)2=4，即x 2+y 2-8y+12=0， ②②-①得圆M 与圆N 的相交弦AB 所在的直线方程为2bx+(b-4)y+12-4b=0，点M 到直线AB 的距离d=25-816b b +， 相交弦长即AB=224-d =4241-5-816b b +=4241-4645-55b ⎛⎫+⎪⎝⎭，当b=45时，AB 有最小值11.【点评】在解有关圆的问题时，要注意平面几何中有关定理的应用，比如切线长定理、垂径定理等.变式 (2016·南师附中)已知直线l 1：y=x+1，圆O ：x 2+y 2=32，直线l 1被圆截得的弦长与椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的短轴长相等，椭圆的离心率e=2.(1)求椭圆C 的方程.(2)过点M 10-3⎛⎫ ⎪⎝⎭，的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ?若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】(1)因为圆心O 到直线l 1的距离d=，所以由题设知=1，又e=，所以a=，椭圆C 的标准方程是22x +y 2=1.(2)方法一：假设存在点T (u ，v )，若直线l 的斜率存在，设其方程为y=kx-13，将它代入椭圆方程，并整理，得(18k 2+9)x 2-12kx-16=0. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，2=，x 1+x 2=212189k k +，x 1x 2=2-16189k +.因为TA u u r =(x 1-u ，y 1-v )，TB u u r=(x 2-u ，y 2-v )及y 1=kx 1-13，y 2=kx 2-13，所以TA u u r ·TB u u r =(x 1-u )(x 2-u )+(y 1-v )(y 2-v ) =(k 2+1)x 1x 2-13u k kv ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(x 1+x 2)+u 2+v 2+23v +19 =222222(66-6)-4(332-5)63u v k ku u v v k +++++当且仅当TA u u r ·TB u u r=0恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ， 所以222266-600332-50u v u u v v ⎧+=⎪=⎨⎪++=⎩，，，解得u=0，v=1.此时以AB 为直径的圆恒过定点T (0，1).当直线l 的斜率不存在时，l 与y 轴重合， 以AB 为直径的圆为x 2+y 2=1，也过点T (0，1).综上可知，在坐标平面上存在一个定点T (0，1)，满足条件. 方法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2+y 2=1.若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是x 2+213y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=169. 由2222111639x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩，，解得01.x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0，1). 事实上点T (0，1)就是所求点，证明如下： 当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时， 以AB 为直径的圆为x 2+y 2=1，过点T (0，1)，当直线l 的斜率存在，设直线方程为y=kx-13，代入椭圆方程，并整理得(18k 2+9)x 2-12kx-16=0. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则12212212189-16.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因为TA u u r =(x 1，y 1-1)，TB u u r=(x 2，y 2-1)及y 1=kx 1-13，y 2=kx 2-13，所以TA u u r ·TB u u r=x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1) =(k 2+1)x 1x 2-43k (x 1+x 2)+169=22-16(1)189k k ++-43k·212189kk ++169=0， 所以以AB 为直径的圆恒过定点T (0，1).即证明了点T (0，1)就是所求以AB 为直径的圆恒过的定点.与圆有关的定值问题例4(2016·新海中学)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=25，圆O1的圆心为(m，0)，且与圆O交于点P(3，4).过点P且斜率为k(k≠0)的直线l分别交圆O，圆O1于点A，B.(1)若k=1，且BP=2，求圆O1的方程.(2)过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O，圆O1于点C，D.当m为常数时，试问：AB2+CD2是否是定值?若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由.【分析】弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形，可利用勾股定理列出等式；第二问中直线与圆相交，可利用求根公式、韦达定理等求出交点坐标，进而代数论证.【解答】(1)当k=1时，直线l：y-4=x-3，即x-y+1=0，由题意得22+272⎝⎭=(m-3)2+42，整理得m2-14m=0，解得m=14或m=0(舍去)，所以圆O1的方程为(x-14)2+y2=137.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4). 直线l：y-4=k(x-3)，即y=kx-(3k-4)，由22-(3-4)25y kx kx y=⎧⎨+=⎩，，消去y，得(k2+1)x2+(8k-6k2)x+9k2-24k-9=0，由韦达定理得3·x1=229-24-91k kk+，得x1=223-8-31k kk+.由2222-(3-4)(-)(-3)4y kx kx m y m=⎧⎨+=+⎩，，消去y，得(k2+1)x2+(8k-6k2-2m)x+9k2-24k-9+6m=0，由韦达定理得3·x2=229-24-961k k mk++，得x2=223-8-321k k mk++.所以x1-x2=223-8-31 k k k+-223-8-321k k mk++=2-21mk+，AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)22-21mk⎛⎫⎪+⎝⎭=2241mk+.同理可得CD2=2241-1mk⎛⎫+⎪⎝⎭=22241m kk+，所以AB2+CD2=2241mk++22241m kk+=4m2为定值.【点评】本题第二问运算过程中字母比较多，在求有关点的坐标时，用到了韦达定理，本题求点的坐标也可直接解方程；在计算AB2+CD2时，要注意化简的合理性和整体思想的运用.变式(2016·泰州中学)如图，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程.(2)当MN=219时，求直线l的方程.(3)BQu u u r·BPu u u r是否为定值?如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.(变式)【解答】(1)设圆A的半径为R.因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，所以525.所以圆A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x=-2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k (x+2)，即kx-y+2k=0.连接AQ ，则AQ ⊥MN.因为MN=219，所以AQ=20-19=1.由AQ=2|-2|1k k +=1，得k=34.所以直线l 的方程为3x-4y+6=0.所以所求直线l 的方程为x=-2或3x-4y+6=0.(3)因为AQ ⊥BP ，所以AQ u u u r·BP u u u r =0， 所以BQ u u u r·BP u u u r =(BA u u u r +AQ u u u r )·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r +AQ u u u r ·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r . 当直线l 与x 轴垂直时，得P -2，-52.则BP u u u r =50-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，又BA u u u r =(1，2)，所以BQ u u u r ·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r =-5. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k (x+2).由(2)270y k x x y =+⎧⎨++=⎩，，解得P-4-7-51212k k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，. 所以BP u u u r =-5-51212k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 所以BQ u u u r ·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r =-512k +-1012kk +=-5. 综上所述，BQ u u u r ·BP u u u r 是定值，且BQ u u u r·BP u u u r =-5.【课堂评价】1.(2016·泰州期末)已知直线y=kx(k>0)与圆C：(x-2)2+y2=1相交于A，B两点，若AB=25，则k=.【答案】1 2【解析】依题意，圆心到直线的距离251-5⎛⎫⎪⎪⎝⎭=25，21k+=25，解得k=±12.又k>0，所以k=12.2.(2016·武汉质检)若直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点.【答案】(0，2)【解析】直线l1：y=k(x-4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2).3.(2016·南通二模)在平面直角坐标系xOy中，过点P(-2，0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆(x-a)2+(y-3)2=3相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为.【答案】4【解析】因为PT与圆x2+y2=1相切于点T，所以在Rt△OPT中，OT=1，OP=2，∠OTP=π2，从而∠OPT=π6，PT=3，故直线PT的方程为x±3y+2=0.因为直线PT截圆(x-a)2+(y-3)2=3得弦长RS=3，设圆心到直线的距离为d，则d=|32|2a ±+，又=2，即d=32，即|a±3+2|=3，解得a=-8，-2，4.因为a>0，所以a=4.4.(2016·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x-a )2+(y+a-3)2=1(a>0)，点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 . 【答案】3【解析】由题意得两圆相切或相离，即1≤|r-1|或1≥r+1.因为r>0，所以r ≥2.由N 的任意性得r min =|OM-1|≥2，即OM ≥3.所以a 2+(3-a )2≥9，即a (a-3)≥0.因为a>0，所以a ≥3.故a 的最小值为3.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第21~22页.【检测与评估】专题五 解析几何第1讲 直线与圆一、 填空题1.(2016·沈阳检测)若直线l ：x a +y b =1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y轴的截距之和的最小值是 .2.(2016·连云港四校联考)已知圆C 的圆心C 在直线x-2y-1=0上，且圆C 经过A (0，4)，B (2，2)两点，则圆C 的方程为 .3.(2016·徐州、连云港、宿迁三模)若点P ，Q 分别是曲线y=4x x +与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ 长的最小值为 .4.(2016·苏锡常镇一模)在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 .5.(2016·苏州期末)若直线l 1：y=x+a 和直线l 2：y=x+b 将圆(x-1)2+(y-2)2=8分成长度相等的四段弧，则a 2+b 2= .6.(2016·南京、盐城二模)已知圆O ：x 2+y 2=1，圆M ：(x-a )2+(y-a+4)2=1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB=60°，则实数a 的取值范围为 .7.(2015·南通、扬州、泰州三调)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (-5，a )作圆x 2+y 2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2121--y y x x +1212-2x x y y ++=0，则实数a 的值为 .8.(2016·江苏高考预测题)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：x 2+y 2=16，点M (1，0)，动点P ，Q 分别在圆C 1和圆C 2上，满足MP ⊥MQ ，则线段PQ 的取值范围是 .二、 解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过二次函数f (x )x 2+2x-3)与两坐标轴的三个交点.(1)求圆C 的标准方程.(2)设点A (-2，0)，B (2，0)，试探究圆C 上是否存在点P 满足PB ?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.10.(2016·通州中学)已知定圆C 1：x 2+y 2=a 2(a>0)和定圆C 2：x 2+y 2=b 2(b>0)，P 为圆C 2上一点，过点P 作圆C 1的两条切线，切点分别为A ，B.(1)若a=2，点P 的坐标为，-)，求四边形OAPB 的面积.(2)当点P 在圆C 2上运动时，是否存在定圆恒与直线AB 相切?若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由.11.(2016·天一中学)已知圆M 的圆心为M (-1，2)，直线y=x+4被圆M 截得的弦长为P 在l ：y=x-1上.(1)求圆M 的标准方程；(2)设点Q 在圆M 上，且满足MP u u u r=4QM u u u u r ，求点P 的坐标；(3)设半径为5的圆N 与圆M 相离，过点P 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为A ，B ，若对任意的点P ，都有PA=PB 成立，求圆心N 的坐标.【检测与评估答案】专题五 解析几何第1讲 直线与圆一、 填空题1. 3+2【解析】由题意可得1a+2b=1，故a+b=(a+b )1a ⎛ ⎝+2b ⎫⎪⎭=3+b a +2a b ≥3+2，所以直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最小值是3+.2. (x+5)2+(y+3)2=74 【解析】因为圆心在直线x-2y-1=0上，所以设圆心C (2a+1，a )，则由AC=BC，解得a=-3，所以圆心为(-5，-3)，半径，故所求圆的方程为(x+5)2+(y+3)2=74.3.【解析】方法一：设与直线4x+y=0平行的直线l 与曲线y=4x x +切于点(x 0，y 0)，因为y'=-24x ，所以y'0 x x ==-204x =-4，所以x 0=±1，结合曲线y=4x x +与直线4x+y=0的位置关系可得切点(-1，-3)到直线4x+y=0的距离就是所求的线段PQ.方法二：设曲线y=4xx+上的点P4xxx+⎛⎫⎪⎝⎭，到直线4x+y=0的距离为d，则PQ≥因为1xx+=|x|+1||x≥2，所以当x+1x=-2，即x=-1时，PQ取得最小值为.4.【解析】由题意得C(3，0)，设A(a，b)，由点A恰为线段OB的中点，得B(2a，2b).因为点A，B均在圆C上，所以2222-65044-1250a b aa b a⎧++=⎨++=⎩，，解得A54⎛⎝⎭，，所以直线ly=0，圆心C到直线l的距离=.5. 18【解析】由题意知四段圆弧所对的圆心角均为90°，圆心C(1，2)到直线l1，l2的距离均为r=2.2，得|a-1|=，同理|b-1|=，所以a2+b2=18.6.2⎡⎢⎣⎦【解析】由题意得圆心M(a，a-4)在直线x-y-4=0上运动，所以动圆M是圆心在直线x-y-4=0上，半径为1的圆.又因为圆M上存在点P，使经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB=60°，所以OP=2，即点P也在x2+y2=4上，于是2-≤2+1，即≤3，解得实数a的取值范围是2⎡+⎢⎣⎦.7. 3或-2 【解析】方法一：由2121--y y x x +1212-2x x y y ++=0，得2121--y y x x ·12122-12y y x x++=-1，所以点(1，0)在直线PC 上，其中C 是圆心，所以2-2a+2×51aa ++=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P 在圆外，符合条件.方法二：由221111222222-22-10-22-10x y ax y x y ax y ⎧++=⎨++=⎩，，两式相减，得(x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)-2a (x 1-x 2)+2(y 1-y 2)=0，x 1+x 2+1212--y y x x (y 1+y 2)-2a+2×1212--y y x x =0.由2121--y y x x +1212-2x x y y ++=0，得2121--y y x x (y 1+y 2)=-(x 1+x 2-2)，代入上式得2-2a+2×1212--y y x x =0.又1212--y y x x =51a a ++，代入上式，得2-2a+2×51aa ++=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P 在圆外，符合条件.8. 19-1191⎡⎤+⎣⎦， 【解析】设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则22112222416.x y x y ⎧+=⎨+=⎩，设PQ 的中点N (x ，y )，即N 121222x x y y ++，，则x 2+y 2=222211221212()()2()4x y x y x x y y +++++=5+12(x 1x 2+y 1y 2).由MP ⊥MQ ，得x 1x 2+y 1y 2=x 1+x 2-1=2x-1，所以x 2+y 2=5+x-12，即21-2x ⎛⎫⎪⎝⎭+y 2=194.因为PQ=2MN ，MN ∈19-1191⎡+⎢⎣⎦，，所以PQ ∈19-1191⎤+⎦，.二、解答题9. (1) 设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x-3=0是同一个方程，故D=2，F=-3.令x=0，得y2+Ey+F=0，此方程有一个根为-3，代入得E=0，所以圆C的标准方程为(x+1)2+y2=4.(2) 假设存在点P(x，y)满足题意，则PA2=2PB2，于是(x+2)2+y2=2(x-2)2+2y2，化简得(x-6)2+y2=32.①又因为点P在圆C上，故满足(x+1)2+y2=4.②联立①②，解得点P的坐标为1717-2222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.所以存在点P满足题意，其坐标为1717-22⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.10. (1) 依题意，OA⊥AP，OB⊥BP，且OA=OB=2，PA=PB=224-2=23，所以S△OAP =S△OBP=12×2×23=23，所以四边形OAPB的面积为43.(第10题) (2) 设P(m，n)，则m2+n2=b2.当点P在圆C2上运动时，恒有22-b a.所以点A，B在以P 22-b a.该圆方程为(x-m )2+(y-n )2=b 2-a 2.又点A ，B 在圆C 1：x 2+y 2=a 2上.联立两圆方程，消二次项，得mx+ny-a 2=0. 所以直线AB 的方程为mx+ny-a 2=0.因为原点O 到直线AB 的距离d=2=2a b 为定值，所以圆x 2+y 2=42a b 恒与直线AB 相切.所以存在定圆恒与直线AB 相切，且定圆方程为x 2+y 2=42a b .11. (1) 因为圆心M (-1，2)到直线y=x+4的距离=，又直线y=x+4被圆M截得的弦长为，所以圆M 的半径为=1， 所以圆M 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=1. (2)由MP u u u r=4QMuuuu r，得|MP u u u r|=4|QMuuuu r|=4，所以点P 在圆(x+1)2+(y-2)2=16上.又点P 在直线y=x-1上，由22(1)(-2)16-1x y y x ⎧++=⎨=⎩，，解得-1-2x y =⎧⎨=⎩，或32x y =⎧⎨=⎩，，即点P 的坐标为(-1，-2)或(3，2).(3) 设P (t ，t-1)，N (a ，b )，则圆N 的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=25， PA 2=PM 2-12=(t+1)2+(t-1-2)2-1=2t 2-4t+9，PB 2=PN 2-52=(t-a )2+(t-1-b )2-25=2t 2-(2a+2b+2)t+a 2+(b+1)2-25. 因为PA=PB ，所以2t 2-4t+9=2t 2-(2a+2b+2)t+a 2+(b+1)2-25，即(2a+2b-2)t-a2-(b+1)2+34=0(*). 因为对任意的点P都有PA=PB，所以(*)式对任意实数t恒成立，得2222-20(1)-340a ba b+=⎧⎨++=⎩，，解得5-4ab=⎧⎨=⎩，或-34.ab=⎧⎨=⎩，又因为圆N与圆M相离，所以MN>1+5=6，>6，所以圆心N的坐标为(5，-4).。
2024届全国高考数学复习考点好题专项(直线与圆)练习(附答案)
A.x-√3y+3=0
B.x+√3y+3=0
C.√3x-y+3=0
D.√3x+y+3=0
)
7.(多选题)(2023 广东惠州模拟)已知直线 l:kx-y-k=0 与圆 M:x2+y2-4x-2y+1=0,则下列说法正确的是
(
)
A.直线 l 恒过定点(1,0)
B.圆 M 的圆心坐标为(2,1)
2
2
20 20
√2
√2,所以直线
和圆相切.
3.D 答案解析 如图,令直线 l 与圆 C 交于点 A,B,依题意,∠ACB=120°,而圆 C 的圆心 C(2,0),半
径 r=2,∠ABC=30°,因此点 C 到直线 l 的距离 d=rsin 30°=1,于是 d=
|3|
2 2
=1,
整理得 n=±2√2m,
√2
所以直线 l 的斜率 k=- =± .
4
4.C 答案解析 (方法一)由 x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为 3
的圆.
设 x-y=u,则 x-y-u=0,且由题意知直线 x-y-u=0 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 有公共点,则
2024 届全国高考数学复习考点好题专项（直线与圆）练习
一、必备知识夯ห้องสมุดไป่ตู้练
1.(2023 浙江温州三模)已知直线 l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,若 l1⊥l2,则 a+b=(
A.-1
B.0
高考数学方法技巧专题06 直线与圆问题(解析版)
方法技巧专题6直线与圆问题二、直线与圆的方程问题3、两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线21,l l 的斜率21,k k 存在，则1,//21212121-=⇔⊥=⇔k k l l k k l l ;若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.1.例题【例1】设R ∈λ，则“3-=λ是直线1)1(2=-+y x λλ与直线4)1(6=-+y x λ平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当3-=λ时，两条直线的方程分别为0223,0146=-+=++y x y x ，此时两条直线平行；若两条直线平行，则)1(6)1(2λλλ--=-⨯，所以3-=λ或1=λ，经检验，两者均符合；综上：“3-=λ是直线1)1(2=-+y x λλ与直线4)1(6=-+y x λ平行”的充分不必要条件，故选A.【答案】A【例2】过点（1，2）的直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最小时，直线l 的方程为（）A.042=-+y x B.05-2y x =+ C.03=-+y x D.0832=-+y x 【解析】设l 的方程为)0,0(1>>=+b a b y a x ，则有121=+b a ，因为0,0>>b a ，所以ab b a 2221≥+，即ab 221≥，所以8≥ab ，当且仅当2121==b a ，即4,2==b a 时，取“=”.即当4,2==b a 时，OAB ∆的面积最小.此时l 的方程为142=+yx ，即042=-+y x .故选A.【答案】A2.巩固提升综合练习【练习1】若两平行直线)0(02:1>=+-m m y x l 与062:2=-+ny x l 之间的距离是5，则=+n m （）A.0B.1C.-2D.-1【解析】因为21,l l 平行，所以m n ⨯≠-⨯-⨯=⨯2)6(1),2(21，解得3,4-≠-=m n ，所以直线2l 的方程是032=--y x ，又21,l l 之间的距离是5，所以5413=++m ，解得m =2或m =-8（舍去），所以2-=+n m ，故选C.【答案】C【练习2】直线l 过点P （1，4），分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于点A ，B 两点，O 为坐标原点，当OB OA +最小时，l 的方程为.【解析】经检验直线l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为)0<k k （，则直线l 的方程为)1(4-=-x k y ，令y=0得)0,41(kA -，令x=0得)4,0(k B -，则945)4(5)4(5)4(41(=+≥-+-+=+-=-+-=+k k k k k k OB OA ，当且仅当kk -=-4，即2-=k 时，OB OA +取得最小值.此时l 的方程为062=-+y x .【答案】062=-+y x1.例题【例1】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点)5,0(M 在圆C 上，且圆心到直线02=-y x 的距离为554，则圆C 的方程为.【解析】设圆心为)0)(0,(>a a ，则圆心到直线02=-y x 的距离5541402=+-=a d ，解得2=a ，半径3)50()0(22=-+-=a r ，所以圆C 的方程为9)2(22=+-y x .【答案】9)2(22=+-y x 【例2】圆心为点()4,7C ，并且截直线3410x y -+=所得的弦长为8的圆的方程（）A ．()224(7)5x y -+-=B ．()224(7)25x y -+-=C ．()227(4)5x y -+-=D ．()227(4)25x y -+-=【答案】B【解析】圆心到直线的距离d 3==，在直线3410x y -+=上截的的弦长为8∴圆的半径5r ==∴圆的方程为()()224725x y -+-=故选：B2.巩固提升综合练习【练习1】已知圆C 关于y 轴对称，经过点（1，0）且被x 轴分成两段弧长比为1：2，则圆C 的方程为（）A.34)33(22=+±y x B.31)33(22=+±y x C.3433(22=±+y x D.31)33(22=±+y x【解析】由题意知圆心在y 轴上，且被x 所分的劣弧所对的圆心角为32π，设圆心为),0(a ，半径为r ，则a r r ==3cos ,13sinππ，解得332=r ，即33342==a r ，，则33±=a ，故圆C 的方程为34)33(22=±+y x .【答案】C【练习2】以(1,0)C -为圆心，并且与圆22430x y x +-+=外切的圆的方程是()A ．22(1)2x y ++=B ．22(1)4x y ++=C ．22(1)2x y -+=D ．22(1)4x y -+=【答案】B【解析】根据题意，设圆C 的半径为R ，圆22430x y x +-+=，即()2221x y -+=，其圆心为()2,0，半径1r =，设()2,0M ，若圆C 与圆M 外切，则有3R r MC +==，则2R =，则所求圆的方程为()2214x y ++=；故选：B ．1、直线与圆的位置关系的判断直线0:=++C By Ax l （A ，B 不全为0）与圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 的位置关系的判断方法有：（1）几何法：圆心),(b a 到直线0:=++C By Ax l 的距离为d ，⇔<r d 直线与圆相交；⇔=r d 直线与圆相切；⇔>r d 直线与圆相离.（2）代数法：由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0rb y a x C By Ax 消元，得到的一元二次方程的判别式为∆，则⇔>∆0直线与圆相交；⇔=∆0直线与圆相切；⇔<∆0直线与圆相离.1.例题【例1】已知圆m y x -=-++2)1()1(22截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数=m （）A.2- B.4- C.6- D.8-【解析】圆心)1,1(-到直线02=++y x 的距离为2=d ，由弦长公式得4)2()2(22=--m 解得4-=m ，故选B.【答案】B【例2】若直线ax +by ＝1与圆x 2+y 2＝1有两个公共点，则点P （a ，b ）与圆x 2+y 2＝1的位置关系是（）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能【解析】根据题意，直线ax +by ＝1与圆x 2+y 2＝1有两个公共点，即直线与圆相交，则有圆心到直线ax +by ＝1的距离dr ＝1，变形可得a 2+b 2＞1，则点P （a ，b ）在圆x 2+y 2＝1的外部；故选：B ．【例3】若圆C ：x 2+y 2＝5﹣m 与圆E ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16有三条公切线，则m 的值为（）A ．2B ．C ．4D ．6【解析】若两圆有三条公切线，等价为两圆相外切，圆E （3，4），半径R ＝4，圆C （0，0），半径r ，则|EC |＝45，即1，得5﹣m ＝1，则m ＝4，故选：C ．【例4】已知圆02:221=+-+y kx y x C 与圆04:222=-++ky y x C 的公共弦所在直线恒过定点),(b a P ，且点P 在直线02=--ny mx 上，则mn 的取值范围是（）A.），（410 B.]410，（ C.），（41∞- D.]41，（∞-【解析】将0222=+-+y kx y x 与0422=-++ky y x 相减，得公共弦所在的直线方程为04)2(=--+y k kx ，即0)42()(=+-+y y x k ，由⎩⎨⎧=+=+0042y x y 得⎩⎨⎧-==22y x ，所以定点为），（22-P ，因此0222=-+n m ，所以414)(12=+≤=+n m mn n m ，，故选D.【答案】D【例5】已知点M （3，1）及圆4)2()1(22=-+-y x ，则过点M 的圆的切线方程为.【解析】由题意得圆心C （1，2），半径2=r ，当直线的斜率不存在时，方程为3=x ,由圆心C （1，2）到直线3=x 的距离r d ==-=213知，这条直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设方程为)3(1-=-x k y ，即031=-+-k y kx ，因为相切，所以213122=+-+-k kk ，解得43=k ，故方程为)3(431-=-x y ，即0543=--y x ；综上所述：过点M 的圆的切线方程为3=x 或0543=--y x .【答案】3=x 或0543=--y x 【练习1】已知直线03=-+m y x 与圆2:22=+y x C 相交于A ，B 两点，O为坐标原点，且=+，则实数m 的值为.2==，可知ABC ∆为等腰直角三角形，则点O 到AB 所在直线的距离为1.由1231==+-m m ，得2±=m .【答案】2±【练习2】已知两条平行直线l 1，l 2之间的距离为1，l 1与圆C ：x 2+y 2＝4相切，l 2与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝（）A．B．C．D．【解析】根据题意，l 1与圆C ：x 2+y 2＝4相切，则圆心C 到直线l 1的距离为2，又由两条平行直线l 1，l 2之间的距离为1，则圆心C 到直线l 2的距离d ＝2﹣1＝1，则|AB |＝22；故选：D ．【练习3】若直线l ：ax +y +2a ＝0被圆C ：x 2+（y ﹣4）2＝4所截得的弦长为，则a 的值为（）A ．﹣7或﹣1B ．7或1C ．7或﹣1D ．﹣7或1【解析】圆心为C （0，4），半径R ＝2，∵直线l ：ax +y +2a ＝0被圆C ：x 2+（y ﹣4）2＝4所截得的弦长为，∴圆心到直线的距离d 满足d 2＝R 2﹣（）2＝4﹣2＝2，即d，平方得2a2+2＝16+16a+4a2，即a2+8a+7＝0，即（a+1）（a+7）＝0，得a＝﹣1或a＝﹣7，故选：A．【练习4】已知圆x2+y2＝1的圆心为O，点P是直线l：mx﹣3y+3m﹣2＝0上的动点，若该圆上存在点Q 使得∠QPO＝30°，则实数m的最大值为【解析】直线l的方程可化为（x+3）m﹣（y+2）＝0，令，得，即直线l过定点（﹣3，﹣2），因为该圆上存在点Q使得∠QPO＝30°，故，即OP≥2，所以OP2，解得，故填：4【练习5】过直线l：y＝x﹣2上任意点P作圆C：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线最小时，△PAB的面积为．【解答】如图，要使切线长最小，则|OP |最小，过O 作直线y ＝x ﹣2的垂线，则垂足为P ，可得|OP|，∴A ，B 为圆C ：x 2+y 2＝1与两坐标轴的交点，则PA ＝PB ＝1，∠APB ＝90°，∴△PAB 的面积为．故答案为：．1．已知圆22:4C x y +=，直线:1(1)l y k x -=+，则直线l 与圆C 的位置关系（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上皆有可能【答案】C【解析】方法一：直线l 方程可整理为：10kx y k -++=由圆C 方程可知，圆心：()0,0；半径：2r =∴圆心到直线l的距离：d ===若0k ≤，则1d r ≤<，此时直线与圆相交若0k >，则d ==又12k k+≥（当且仅当1k =时取等号）2121k k∴+≤+则d r ≤<，此时直线与圆相交综上所述：直线与圆相交方法二：因为直线:1(1)l y k x -=+过定点（-1,1），点（-1,1）在圆22:4C x y +=内，所以直线:1(1)l y k x -=+与圆22:4C x y +=相交。
高考数学二轮：6.1《直线与圆》试题(含答案)
第1讲直线与圆1． (2015 ·徽安 )直线 3x＋4y＝ b 与圆 x2＋y2－2x－ 2y＋1＝ 0 相切，则 b 的值是 () A．－2或12B．2或－ 12C．－ 2 或－ 12D．2 或 122．(2015 ·南湖 )若直线 3x－4y＋ 5＝ 0 与圆 x2＋ y2＝ r 2(r>0) 订交于 A，B 两点，且∠ AOB＝120 °(O 为坐标原点 )，则 r＝________.3． (2014重·庆 )已知直线 ax＋ y－ 2＝0 与圆心为 C 的圆 (x－ 1)2＋ (y－ a)2＝ 4 订交于 A，B 两点，且△ ABC 为等边三角形，则实数a＝ ________.4． (2014课·标全国Ⅱ )设点 M(x0,1)，若在圆 O： x2＋y2＝1 上存在点N，使得∠ OMN ＝45°，则 x0的取值范围是 ________．考察要点是直线间的平行和垂直的条件、与距离相关的问题.直线与圆的地点关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热门一直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判断若两条不重合的直线l1，l 2的斜率 k1，k2存在，则l1∥ l2? k1＝k2，l1⊥ l2? k1k2＝－ 1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率能否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的限制性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不可以与x 轴垂直．而截距式方程不可以表示过原点的直线，也不可以表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线 l 1：Ax ＋ By ＋ C 1＝ 0，l 2： Ax ＋ By ＋ C 2＝ 0 间的距离 d ＝|C 1－ C 2|22.A ＋ B(2)点 (x 0 ，y 0 )到直线 l ：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0|Ax 0＋ By 0＋ C|的距离公式 d ＝.A 2＋B 2例 1 (1)已知直线 l 1：(k －3)x ＋ (4－ k)y ＋ 1＝ 0 与 l 2：2(k － 3)x － 2y ＋3＝ 0 平行，则 k 的值是 ( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2(2)已知两点 A(3,2)和 B(－1,4)到直线 mx ＋ y ＋3＝ 0 的距离相等，则 m 的值为 ()A ．0 或－1B.1或－ 622C ．－ 1或1D ．0或1222思想升华(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的状况； (2)对解题中可能出现的特别状况，可用数形联合的方法剖析研究．追踪操练 1已知 A(3,1)， B( －1,2)两点，若∠ ACB 的均分线方程为y ＝ x ＋ 1，则 AC 所在的直线方程为 ()1A ． y ＝ 2x ＋ 4B ． y ＝2x － 3C ．x － 2y － 1＝ 0D ． 3x ＋ y ＋ 1＝0热门二圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为 (a ，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x － a)2＋ (y － b)2＝ r 2 ，特别地， 当圆心在原点时，方程为 x 2＋ y 2＝ r 2 . 2．圆的一般方程2222DED 2＋E 2－ 4F x ＋ y ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0，此中 D ＋E － 4F>0，表示以 (－，－ )为圆心， 2 2径的圆．例 2 (1) 若圆 C 经过 (1,0) ， (3,0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为 (A ． (x － 2)2＋ (y ±2)2＝ 3B ．(x － 2)2＋( y ± 3)2＝ 32)为半C．(x－ 2)2＋( y±2) 2＝4D． (x－ 2)2＋ (y± 3)2＝ 4(2)已知圆 M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线 l1： x＝－ 2 的右边，若圆M 截直线 l1所得的弦长为 2 3，且与直线l 2： 2x－ 5y－ 4＝ 0 相切，则圆 M 的方程为 ()A ． (x－ 1)2＋ y2＝ 4B． (x＋ 1)2＋ y2＝ 4C．x2＋ (y－1) 2＝4D． x2＋(y＋1) 2＝ 4思想升华解决与圆相关的问题一般有两种方法：(1)几何法，经过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的地点关系，从而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．追踪操练 2(1)(2015 赣·州九校联考 )经过点 A(5,2)， B(3，－ 2)，且圆心在直线 2x－ y－ 3＝0上的圆的方程为________________ ．(2)已知直线 l 的方程是 x＋ y－ 6＝ 0， A， B 是直线 l 上的两点，且△ OAB 是正三角形 (O 为坐标原点 )，则△ OAB 外接圆的方程是 ____________________．热门三直线与圆、圆与圆的地点关系1．直线与圆的地点关系：订交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和鉴别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，则 d<r? 直线与圆订交， d＝ r ? 直线与圆相切， d>r ? 直线与圆相离．(2) 判别式法：设圆C ： (x － a)2＋ (y － b)2＝ r2，直线l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ，方程组Ax＋ By＋C＝ 0，消去 y，得对于x 的一元二次方程根的鉴别式，则直线与圆相x－ a2＋y－ b2＝r2离 ?<0，直线与圆相切?＝ 0，直线与圆订交?>0.2．圆与圆的地点关系有五种，即内含、内切、订交、外切、外离．设圆C1： (x－ a1)2＋(y－b1 )2＝ r21，圆C2： (x－ a2)2＋ (y－b2 )2＝ r 22，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种地点关系的判断方法以下：(1)d>r1＋ r 2?两圆外离；(2)d＝ r 1＋ r2 ?两圆外切；(3)|r1－ r2|<d<r1＋ r 2?两圆订交；(4)d＝ |r 1－ r 2|(r1≠r2)?两圆内切；(5)0≤d<|r1－ r2|(r 1≠r2)?两圆内含．例 3 (1) 已知直线2x＋ (y－ 3)m－ 4＝ 0(m∈R) 恒过定点 P，若点 P 均分圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y－4＝ 0 的弦 MN ，则弦 MN 所在直线的方程是 ( )A ． x ＋ y － 5＝0B ． x ＋y － 3＝ 0C ．x － y － 1＝ 0D ． x － y ＋ 1＝ 0(2)已知 P(x ，y)是直线 kx ＋ y ＋ 4＝ 0(k>0) 上一动点， PA ， PB 是圆 C ： x 2＋ y 2－ 2y ＝0 的两条切线， A ， B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为 ()A ．3 B. 21 C ．2 2 D ．22思想升华(1)议论直线与圆及圆与圆的地点关系时，要注意数形联合，充足利用圆的几何性质找寻解题门路，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，能够转变为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，能够转变为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，能够转变为圆心到圆心的距离问题．追踪操练 3 (1,0)且与直线(1)已知在平面直角坐标系x －y ＋ 1＝0 垂直．若直线xOy 中，圆 Cl 与圆 C 交于的方程为 x 2＋ y 2＝－ 2y ＋ 3，直线A 、 B 两点，则 △ OAB 的面积为l 过点()A ．1B. 2 C ．2 D ．2 2(2)两个圆 C 1：x 2＋ y 2＋2ax ＋ a 2－ 4＝ 0(a ∈ R )与 C 2： x 2＋ y 2－ 2by － 1＋ b 2＝ 0(b ∈ R )恰有三条公切线，则 a ＋ b 的最小值为 ()A ．－ 6B ．－ 3C ．－ 3 2D ．31．已知圆 C 对于 y 轴对称，经过点 (1,0)且被 x 轴分红两段弧长比为 1∶ 2，则圆 C 的方程为 ()A ． (x ± 3 2 24 3 ) ＋ y ＝ 3B ．(x ± 3 )2＋ y 2＝ 13 3C ．x 2＋ (y ± 3)2＝43 32 3 2 1 D ． x ＋ (y ±3 ) ＝32．已知点 A(－ 2,0)，B(0,2)，若点 C 是圆 x 2－ 2ax ＋y 2＋a 2－ 1＝ 0 上的动点， △ ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为()A ． 1B ．－ 5C．1 或－ 5D． 522223．若圆 x＋y＝ 4 与圆 x ＋ y ＋ ax＋ 2ay－ 9＝0(a>0)订交，公共弦的长为 2 2，则 a＝ ________.提示：达成作业专题六第1讲二轮专题加强练专题六第 1讲直线与圆A 组专题通关1．直线 l 过点 (－ 1,2)且与直线2x－ 3y－ 1＝ 0 垂直，则 l 的方程是 ()A ． 3x＋ 2y－1＝ 0B． 3x＋ 2y＋ 7＝0C．2x－ 3y＋ 5＝ 0D． 2x－ 3y＋ 8＝02．若直线 y＝ kx＋2k 与圆 x2＋ y2＋ mx＋ 4＝ 0 起码有一个交点，则m 的取值范围是 () A．[0，＋∞ )B． [4，＋∞)C．(4，＋∞ )D． [2,4]3．过 P(2,0)的直线 l 被圆 (x－ 2)2＋( y－3) 2＝ 9 截得的线段长为 2 时，直线 l 的斜率为 () 22A．±4B．±23C．±1D．±34．若圆 O：x2＋ y2＝ 4 与圆 C：x2＋ y2＋ 4x－4y＋ 4＝ 0 对于直线 l 对称，则直线 l 的方程是 ()A ． x＋ y＝ 0B． x－y＝ 0C．x－ y＋ 2＝ 0D． x＋ y＋ 2＝ 05．已知圆 C1： (x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝ 1，圆 C2： ( x－3)2＋(y－ 4)2＝ 9， M， N 分别是圆C1，C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 |PM |＋ |PN|的最小值为 ()A．5 2－4 B.17－ 1C．6－ 2 2 D.17π6．已知圆 O：x2＋ y2＝ 5，直线 l：xcos θ＋ ysin θ＝ 1(0<θ<)．设圆 O 上到直线 l 的距离等于 12的点的个数为k，则 k＝ ________.7． (2014 ·北湖 )直线 l1： y＝ x＋ a 和 l2： y＝ x＋ b 将单位圆 C： x2＋ y2＝ 1 分红长度相等的四段弧，则 a2＋ b2＝ ____.8． (2015 ·北湖 )如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点 A， B(B 在 A 的上方 )，且 |AB |＝2.(1)圆 C 的标准方程为_____________________________ ．(2)圆 C 在点 B 处的切线在x 轴上的截距为________．9．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线 l 的距离相等，且直线l 经过两直线 l1： 3x－y－ 1＝ 0 和 l2：x ＋ y－ 3＝ 0的交点，求直线 l 的方程．10．(2015 ·标全国Ⅰ课 )已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线 l 与圆 C： (x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝ 1 交于M，N 两点．(1)求 k 的取值范围；→→(2)若 OM ·ON＝ 12，此中 O 为坐标原点，求 |MN|.B 组能力提升211．圆心在曲线 y＝x(x>0) 上，与直线2x＋ y＋ 1＝0 相切，则面积最小的圆的方程为()A ． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝25B ．(x－ 2)2＋( y－1) 2＝ 5C．(x－ 1)2＋( y－2) 2＝ 25D． (x－ 1)2＋ (y－ 2)2＝512．已知圆面 C：(x－ a)2＋ y2≤a2－ 1 的面积为 S，平面地区 D：2x＋y≤4与圆面 C 的公共地区1的面积大于2S，则实数 a 的取值范围是 ()A．(－∞，2)B． (－∞， 0)∪ (0，＋∞)C．(－1,1)D． (－∞，－ 1)∪ (1,2)13．(2015 辽·宁师范大学附中期中)若圆 x2＋y2－4x－ 4y－ 10＝ 0 上恰有三个不一样的点到直线l：y＝ kx 的距离为 2 2，则 k＝ ________.14．已知圆 C： (x－ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 25，直线 l ：(2a＋ 1)x＋ (a＋ 1)y－ 7a－ 4＝ 0，此中 a∈R .(1)求证：无论实数 a 取何值，直线 l 和圆 C 恒有两个交点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的线段最短时，直线l 的方程和最短的弦长；(3)求过点 M(6，－ 4) 且与圆 C 相切的直线方程．学生用书答案精析专题六分析几何第1讲直线与圆高考真题体验1． D [∵圆方程可化为( x－1) 2＋ (y－1) 2＝ 1，∴该圆是以(1,1)为圆心，以1 为半径的圆，∵直线 3x＋ 4y＝ b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－ b|＝1，解得b＝2或b＝12，应选 D.]32＋422． 2分析如图，过 O 点作 OD ⊥ AB 于 D 点，在 Rt△ DOB 中，∠ DOB ＝ 60°，∴∠ DBO ＝ 30°，又 |OD |＝|3×0－4×0＋5|＝ 1，∴ r ＝2|OD|＝ 2. 53． 4± 15分析圆心 C(1，a)到直线 ax＋ y－ 2＝ 0 的距离为|a＋a－2|a2＋1.由于△ABC为等边三角形，所以|AB |＝ |BC|＝ 2，所以 (|a＋ a－ 2|222) ＋ 1＝ 2，解得 a＝ 4± 15.a2＋ 14． [－ 1,1]分析如图，过点M 作⊙ O 的切线，切点为 N，连结 ON.M 点的纵坐标为 1，MN 与⊙ O 相切于点 N.设∠ OMN ＝θ，则θ≥45°，即 sin θ≥2，2即 ON2OM≥2 .而 ON＝1，∴ OM≤ 2.∵ M(x 1)，∴x2＋ 1≤ 2，0,0∴x02≤1，∴－ 1≤x0≤1，∴x0的取值范围为 [ － 1,1]．热门分类打破例 1(1)C(2)B分析(1) 当 k＝ 4 时，直线 l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，则两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必需条件是3－ k13＝ k－ 3，解得 k＝ 3 或 k＝ 5.但一定知足k－4≠4－ k2(截距不相等 )才是充要条件，经查验知知足这个条件．(2)依题意，得|3m＋ 5|＝|－m＋ 7| m2＋1.m2＋ 1所以 |3m＋ 5|＝|m－ 7|.所以 (3m＋ 5)2＝ (m－7)2，所以 8m2＋ 44m－ 24＝ 0.所以 2m2＋ 11m－ 6＝ 0.所以 m＝1或 m＝－ 6. 2追踪操练 1 C[由题意可知，直线AC 和直线 BC 对于直线 y＝ x＋1 对称．设点 B(－ 1,2)关y0－ 2于直线 y＝ x＋ 1的对称点为 B′(x， yx0＋ 1＝－1，x0＝ 1，0)，则有?即 B′(1,0)．因0－ 1y0＝ 0，＋ 2y0＝ x0＋ 122为 B′(1,0)在直线 AC 上，1－01所以直线AC 的斜率为k＝＝，1所以直线AC 的方程为y－ 1＝2(x－ 3)，即 x－2y－ 1＝ 0.故C正确．]例 2 (1)D (2)B分析(1) 由于圆 C 经过 (1,0)， (3,0) 两点，所以圆心在直线x＝ 2 上，又圆与y 轴相切，所以半径 r＝2，设圆心坐标为(2，b) ，则 (2－ 1)2＋ b2＝ 4， b2＝3， b＝± 3，所以选D.(2)由已知，可设圆M 的圆心坐标为 (a,0)， a>－ 2，半径为r，得a＋2＋32＝r2，|2a－ 4|＝r，4＋ 5a ＝－ 1， 解得知足条件的一组解为r ＝ 2，所以圆 M 的方程为 (x ＋1)2＋y 2＝ 4.应选 B.追踪操练 2(1)(x － 2)2＋ (y － 1)2＝ 10 (2)(x － 2)2＋ (y － 2)2 ＝8分析 (1) 由题意知 K AB ＝ 2， AB 的中点为 (4,0) ， 设圆心为 C(a ，b)，∵圆过 A(5,2) ， B(3 ，－ 2)两点，∴圆心必定在线段AB 的垂直均分线上．b＝－1，a ＝ 2，∴C(2,1) ，则 a － 42解得b ＝ 12a － b － 3＝ 0，∴ r ＝ |CA|＝－2 ＋ － 2＝ 10.∴所求圆的方程为 (x － 2)2＋ (y － 1)2＝10.(2)设 △ OAB 的外心为 C ，连结 OC ，则易知 OC ⊥ AB ，延伸 OC 交 AB 于点 D ，则 |OD |＝ 3 2，且 △AOB 外接圆的半径R ＝ |OC|＝ 2|OD |＝2 2.又直线 OC 的方程是 y ＝x ，简单求得圆心C 的3坐标为 (2,2) ，故所求圆的方程是 (x － 2)2＋( y － 2) 2＝8.例 3 (1)A (2)D分析 (1) 对于直线方程 2x ＋ (y － 3)m － 4＝ 0(m ∈ R )，取 y ＝ 3，则必有 x ＝2，所以该直线恒过定点 P(2,3)．设圆心是 C ，则易知 C(1,2) ，3－ 2所以 k CP ＝ 2－ 1＝ 1，由垂径定理知 CP ⊥MN ，所以 k MN ＝－ 1.又弦 MN 过点 P(2,3)，故弦 MN 所在直线的方程为y － 3＝－ (x － 2)，即 x ＋ y － 5＝ 0.(2) 如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋ (y － 1) 2＝ 1，所以圆心为(0,1)，半径为 r ＝1，四边形 PACB 的面积 S ＝2S △PBC ，所以若四边形1PACB 的最小面积是 2，则 S △PBC 的最小值为 1.而 S △PBC ＝ 2r ·|PB|，即|PB|的最小值为 2，此时 |PC|最小， |PC|为圆心到直线 kx ＋ y ＋ 4＝0 的距离 d ，此时 d ＝|5| ＝ 12＋ 22＝ 5，即 k 2＝4，由于 k>0，所以 k ＝ 2.k 2＋ 1 追踪操练 3 (1)A(2)C分析 (1) 由于圆 C 的标准方程为x 2＋ (y ＋ 1)2＝ 4，圆心为 C(0，－ 1) ，半径 r ＝2，直线 l 的斜率为－ 1，其方程为 x ＋ y －1＝ 0.圆心 C 到直线 l 的距离 d ＝ |0－ 1－ 1|＝2，2弦长 |AB|＝ 2 r 2－ d 2＝ 2 4－2＝ 2 2，又坐标原点 O 到线段 AB 的距离为1 ，21 1＝ 1，应选 A. 所以 S △ OAB ＝ ×22×22(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆 C 1： (x ＋ a)2＋ y 2＝ 4，圆 C 2： x 2＋ (y － b)2＝1，所以 |C 1C 2|＝ a 2＋ b 2＝2＋ 1＝ 3，即 a 2＋ b 2＝ 9.a ＋b 2 a 2＋ b 22由 ( 2 ) ≤ 2 ，得 (a ＋ b) ≤ 18，所以－ 3 2≤a ＋ b ≤32，当且仅当 “a ＝ b ”时取 “＝”．所以选C.高考押题精练21． C [由已知得圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为3π.设圆心坐标为 (0，a)，半径为 r ，π π则 r sin ＝ 1， rcos ＝ |a|，33解得 r ＝ 2 ，即 r 2＝ 4，333，即 a ＝ ± 3，|a|＝ 33故圆 C 的方程为 x 2＋ (y ± 3)2＝ 4.33故应选 C.]2．C [圆的标准方程为 (x － a) 2＋ y 2＝ 1，圆心 M(a,0)到直线 AB ：x － y ＋ 2＝ 0 的距离为 d ＝|a ＋ 2|，2圆上的点到直线 AB 的最短距离为d － 1＝|a ＋2|－ 1，2△＝1|a＋ 2|－ 2＝3－2，(S ABC) min2×22×2解得 a＝ 1 或－ 5.]3.10222＝ 4，x＋ y分析联立两圆方程22＋ ax＋ 2ay－ 9＝ 0，x＋ y可得公共弦所在直线方程为ax＋ 2ay－ 5＝ 0，故圆心 (0,0) 到直线 ax＋2ay－ 5＝0 的距离为|－ 5|5a2＋ 4a2＝a (a>0)．25225故2 2－a＝ 22，解得 a＝2，10由于 a>0，所以 a＝.二轮专题加强练答案精析专题六 分析几何第 1 讲直线与圆1． A [方法一3，由题意可得 l 的斜率为－ 23所以直线 l 的方程为 y － 2＝－ 2(x ＋ 1)，即 3x ＋2y － 1＝ 0.方法二设直线l 的方程为3x ＋ 2y ＋ C ＝ 0，将点 (－ 1,2)代入，得C ＝－ 1，所以 l 的方程是3x ＋2y － 1＝ 0.]2．C[ 由y ＝ k(x ＋ 2)得直线恒过定点(－ 2,0)，所以可得点 (－ 2,0)必在圆内或圆上， 故有 (－ 2)2＋ 02－ 2m ＋ 4≤0? m ≥4又.由方程表示圆的条件， 故有 m 2－ 4×4>0? m<－4 或 m>4.综上可知 m>4.应选 C.]3．A [由题意得直线 l 的斜率存在，设为k ，则直线 l 的方程为 y ＝ k(x － 2)，即 kx － y － 2k ＝0.由点到直线的距离公式得，圆心到直线l的距离 d ＝|2k － 3－ 2k|3，由圆的性质可得＝k 2＋1k 2＋ 1d2＋ 12＝ r 2，32 ＋ 1 2即 ( 2 ) ＝ 9，k ＋ 121 2解得 k ＝ ，即 k ＝ ±4.]84． C [圆 x 2＋ y 2＋ 4x － 4y ＋ 4＝ 0，即 (x ＋ 2)2＋ ( y － 2)2＝ 4，圆心 C 的坐标为 (－ 2,2)．直线 l 过 OC 的中点 (－ 1,1)，且垂直于直线OC ，易知 k OC ＝－ 1，故直线 l 的斜率为 1，直线l 的方程为 y － 1＝ x ＋ 1，即 x － y ＋ 2＝ 0.应选 C.]5．A [ 两圆的圆心均在第一象限，先求 |PC 1|＋ |PC 2 |的最小值，作点 C 1 对于 x 轴的对称点C 1′ ，(2－ 3)，则 (|PC 12 |)min ＝ |C 1′C 2 2，所以 (|PM |＋ |PN|) min ＝ 52－(1＋ 3)＝ 5 2－ 4.]|＋ |PC |＝ 56． 41分析圆心 O 到直线 l 的距离 d ＝＝ 1，22而圆 O 半径为5，所以圆 O 上到 l 的距离等于1 的点有 4 个．7． 2分析依题意，不如设直线 y ＝ x ＋ a 与单位圆订交于 A ，B 两点，则∠ AOB ＝ 90°.如图，此时a ＝1，b ＝－ 1，知足题意， 所以 a 2 ＋b 2 ＝2.8． (1)(x － 1)2＋ (y － 2) 2＝ 2 (2)－ 2－1分析 (1) 由题意，设圆心 C(1，r)(r 为圆 C 的半径 )，则 r 2＝|AB| 2＋ 12＝ 2，解得 r ＝ 2.所以2圆 C 的方程为 ( x － 1)2 ＋(y － 2)2＝ 2. (2)方法一令 x ＝ 0，得 y ＝ 2±1，所以点B(0，2＋ 1)．又点 C(1， 2) ，所以直线 BC 的斜率为k BC ＝－ 1，所以过点 B 的切线方程为 y－ ( 2＋ 1)＝ x － 0，即 y ＝ x ＋ ( 2＋ 1)．令 y ＝0，得切线在 x 轴上的截距为－ 2－1. 方法二令 x ＝ 0，得 y ＝2±1，所以点B(0， 2＋ 1)．又点 C(1， 2)，设过点 B 的切线方程为 y － ( 2＋ 1)＝ kx ，即 kx － y ＋ ( 2＋ 1)＝ 0.由题意，得圆心 C(1， 2)到直线 kx － y ＋ ( 2＋ 1)＝ 0 的距离 d ＝|k －2＋2＋ 1|＝ r ＝ 2，k 2＋1解得 k ＝ 1.故切线方程为 x － y ＋ (2＋ 1)＝ 0.令 y ＝ 0，得切线在 x 轴上的截距为－ 2－ 1.9．解 解方程组3x －y － 1＝ 0， 得交点 P(1,2)．x ＋ y －3＝ 0，①若点 A ， B 在直线 l 的同侧，则 l ∥ AB.而 k AB ＝3－ 2＝－ 1， 3－ 5 2由点斜式得直线 l 的方程为1y － 2＝－ 2(x － 1)， 即 x ＋2y － 5＝ 0.②若点 A ， B 分别在直线 l 的异侧，则直线l 经过线段 AB 的中点 (4， 5)，25－2由两点式得直线 l 的方程为y －2＝2，x －1 4－ 1即 x －6y ＋ 11＝ 0.综上所述，直线 l 的方程为x ＋ 2y －5＝ 0 或 x － 6y ＋ 11＝ 0.10．解 (1)由题设，可知直线l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1，由于 l 与 C 交于两点，所以|2k － 3＋ 1|2 <1.1＋ k解得 4－ 74＋ 7<k<.33所以 k 的取值范围为4－ 7， 4＋ 7 .3 3(2)设 M(x 1， y 1)， N(x 2，y 2 )．将 y ＝ kx ＋ 1 代入方程 (x － 2)2＋ (y － 3)2 ＝1，2 2－ 4(1＋ k)x ＋7＝ 0.整理得 (1＋ k ) x 所以 x 1＋x 2 ＝＋ k， x 1 x 2＝ 71＋ k 21＋ k2.→ →OM ·ON ＝x 1 x 2＋y 1y 2＝ (1＋ k 2)x 1x 2＋k(x 1＋ x 2)＋1 4k ＋ k＝1＋ k 2＋ 8.由题设可得4k＋ k＋ 8＝ 12，解得 k ＝ 1，1＋ k 2所以 l 的方程为 y ＝x ＋1.故圆心 C 在 l 上，所以 |MN|＝ 2.2＋ 1 2222a ＋2a × ＋ 1a≥a＝ 5，11． D [ 设圆心坐标为 C(a ， a )(a>0)，则半径 r ＝55当且仅当 2a ＝2，即 a ＝ 1 时取等号．a所以当 a ＝ 1 时圆的半径最小，此时 r ＝ 5， C(1,2) ，所以面积最小的圆的方程为(x － 1)2＋ (y－ 2)2＝ 5，应选 D.]12．D[ 依题意并联合图形剖析可知(图略 )，圆面 C ：(x － a)2＋y 2≤a 2－ 1 的圆心 (a,0)应在不等a 2－ 1>0，由此解得 a<式 2x ＋ y ≤4表示的平面地区内， 且 (a,0)不在直线 2x ＋ y ＝ 4 上，即有2a ＋0<4 ，－ 1 或 1< a<2.所以，实数 a 的取值范围是 (－ ∞，－ 1)∪ (1,2)． ]13． 2± 3分析 x 2＋y 2－ 4x － 4y － 10＝ 0， 即 (x － 2)2＋ (y － 2)2＝ 18，其圆心为 C(2,2)，半径为 r ＝ 3 2.圆 x 2＋ y 2－ 4x －4y － 10＝0 上恰有三个不一样的点到直线l ：y ＝ kx 的距离为 2 2，应知足图中 A ，B ，D 到直线 l ：y ＝ kx 的距离为 22，所以， C(2,2)到直线 l ：y ＝ kx 的距离为3 2－ |2k － 2| ＝1＋ k 22 2，整理得 k 2－ 4k ＋ 1＝0，解得 k ＝ 2± 3.14． (1) 证明方法一 在直线 l 的方程中，分别取 a ＝ 0， a ＝－ 1，得 x ＋ y －4＝ 0，－ x ＋ 3＝ 0，联立方程得直线 l 恒过定点 N(3,1)．因圆心 C 的坐标为 (1,2) ，圆 C 的半径为r ＝ 5，|CN|＝－2＋－2＝5<5 ，故点 N方法二在圆 C直线内，所以，无论实数 a 取何值，直线 l 和圆 Cl 的方程能够化为 (2x ＋ y － 7)a ＋x ＋ y － 4＝ 0，恒有两个交点．2x ＋ y －7＝ 0， 由 a 的随意性得x ＋ y － 4＝ 0，x ＝ 3， 解得y ＝ 1.所以直线 l 恒过定点 N(3,1)．下边的解答过程与方法一同样．(2)解当 l ⊥ CN 时，直线 l 被圆 C 截得的线段最短．2－11由于 k CN ＝ 1－ 3＝－ 2，所以－ 2a ＋ 1＝ 2，a ＋ 13解得 a ＝－ ，这时，直线 l 的方程为 2x － y －5＝ 0.又 |CN|＝ 5， r＝ 5，所以半弦长为 52－ 5＝ 2 5，最短的弦长为 4 5.(3)解由于(6－1)2＋(－4－2)2>25，所以 M(6，－ 4)在圆外，过点M(6，－ 4)且与圆 C 相切的直线有两条．当斜率不存在时，所求的切线为x＝6；当斜率存在时，设所求的切线方程为y＋ 4＝ k(x－ 6)，即 kx－y－ 6k－ 4＝0，|k－ 2－ 6k－ 4|由2＝ 5，得 k＝－11，k＋ 160这时，所求的切线方程为11x＋ 60y＋ 174＝ 0.综上，所求的直线方程为x＝ 6 或 11x＋60y＋ 174＝0.。
全国高考数学第二轮复习 专题六 解析几何第1讲 直线与圆 文
专题六 解析几何第1讲 直线与圆真题试做1．(2012·安徽高考，文9)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)2．(2012·山东高考，文9)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )．A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离3．(2012·福建高考，文7)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )．A ．2 5B ．2 3C ． 3D ．14．(2012·北京高考，文9)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为__________． 5．(2012·天津高考，文12)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．6．(2012·江苏高考，12)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．考向分析直线与方程是解析几何的基础，高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线方程；直线平行与垂直的关系的判定；两条直线的交点和距离问题等，一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程及一般方程；利用圆的性质求动点的轨迹方程；直线与圆，圆与圆的位置关系等问题，其中含参数问题为命题热点．一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，从能力要求看，主要考查函数与方程的思想，数形结合思想以及分析问题与解决问题的能力．热点例析热点一 直线方程与两条直线的位置关系【例1】经过点P (2，－3)作圆(x ＋1)2＋y 2＝25的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，求弦AB 所在直线方程．规律方法 (1)求直线方程的方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题目中另一条件求出待定系数．(2)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； ②两条不重合的直线a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0和a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行的充要条件为a 1b 2－a 2b 1＝0且a 1c 2≠a 2c 1或b 1c 2≠b 2c 1；③两条直线a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0和a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0垂直的充要条件为a 1a 2＋b 1b 2＝0.判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．(3)忽视对直线方程中的字母分类讨论而丢解或增解直线方程的截距式x a ＋y b＝1中，有ab ≠0的限制，而截距可以取正数、负数和零，所以需要对a ，b 分类讨论，否则容易造成丢解．如过点P (2，－1)，在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b 的直线易漏掉过原点的情形．变式训练 1 (1)“a ＝3”是“直线ax －2y －1＝0与直线6x －4y ＋c ＝0平行”的__________条件．( )A ．充要B ．充分而不必要C ．必要而不充分D ．既不充分也不必要(2)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为__________．热点二 圆的方程【例2】(2011·课标全国高考，文20)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 规律方法 圆的方程的求法求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程一般采用待定系数法．特别提醒：圆心到切线的距离等于半径，该结论在解题过程中经常用到，需牢记． 变式训练2 (1)已知圆C 经过点A (1,3)，B (2,2)，并且直线m ：3x －2y ＝0平分圆的面积，则圆C 的方程为__________．(2)我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”．在如图所示的“串圆”中，圆C 1和圆C 3的方程分别为x 2＋y 2=1和(x －3)2+(y －4)2=1，则圆C 2的方程为_____________________.热点三 直线与圆的位置关系【例3】如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程；(3)BQ ·BP 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．规律方法 (1)研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题．(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．变式训练3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：(x －3)2＋(y ＋6)2＝25. (1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及此时直线l 的方程． 思想渗透1．数形结合思想解答与圆有关的范围问题时，经常以形助数，巧妙破解．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )． A ．[－1,1＋22] B ．[1－22，1＋22] C ．[1－22，3] D ．[1－2，3]解析：方程y ＝x ＋b 表示斜率为1的平行直线系，曲线方程可化为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)表示圆心为(2,3)，半径为2的下半圆．如图所示，当直线y =x +b 与半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线x －y ＋b ＝0的距离等于2，即|1×2－1×3＋b |2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍)．当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，可得b ＝3，由图可知满足题意的b 的取值范围为1－22≤b ≤3.答案：C2．分类讨论思想遇到字母时往往要对其进行讨论．试判断方程x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋8＝0表示的曲线类型．解：将x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋8＝0配方，得(x ＋2)2＋(y ＋m )2＝m 2－4.(1)当m 2－4＞0，即m ＜－2或m ＞2时，原方程表示以(－2，－m )为圆心，m 2－4为半径的圆；(2)当m 2－4＝0，即m ＝±2时，原方程表示点(－2，－2)或(－2,2)；(3)当m 2－4＜0，即－2＜m ＜2时，原方程不表示任何曲线．1．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )．A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝23．(2012·安徽安庆二模，5)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 上的点到直线l 的距离最大值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．44．(2012·山东潍坊二模，14)若a ，b ，c 是Rt△ABC 的三边的长(c 为斜边长)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为__________．5．(2012·吉林长春实验中学二模，14)圆心在直线x －2y －1＝0上，且经过原点和点(2,1)的圆的方程为__________．6．(2012·湖北武昌5月模拟，13)在圆x 2＋y 2＝4上的点，与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离的最小值是__________．7．已知直线l 过点P (0,2)，斜率为k ，圆Q ：x 2＋y 2－12x ＋32＝0. (1)若直线l 和圆相切，求直线l 的方程； (2)若直线l 和圆交于A ，B 两个不同的点，问是否存在常数k ，使得OA ＋OB 与PQ 共线？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．C 解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2， 解得－3≤a ≤1.2．B 解析：圆O 1：(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为(－2,0)，半径r 1＝2，圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝9的圆心为(2,1)，半径r 2＝3，|O 1O 2|＝42＋12＝17， 因为r 2－r 1＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2， 所以两圆相交．3．B 解析：由题意作出图象如下图，由图可知圆心到直线AB 的距离d ＝|－2|1＋3＝1，故|AB |＝2|BC |＝222－12＝2 3.4．2 2 解析：由题意得，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y ＝0的距离d ＝22＝ 2.设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.5．3 解析：∵l 与圆相交所得弦的长为2，∴1m 2＋n2＝4－1，∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16.l 与x 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，与y 轴的交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，∴S △AOB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝12·1|mn |≥12×6＝3.6．43解析：圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，直线y ＝kx －2是过定点(0，－2)的动直线．圆心C 到直线y ＝kx －2的距离d ＝|4k －2|k 2＋1，要使其满足已知条件，则需d ≤1＋1，即|4k －2|k 2＋1≤1＋1，解得0≤k ≤43.故k 的最大值为43.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】解：设圆心为C ，则AB 垂直于CP .k CP ＝－3－02－(－1)＝－1，故直线AB 的方程为y ＋3＝x －2，即x －y －5＝0.【变式训练1】(1)C 解析：两条直线平行的充要条件是：a 6＝－2－4≠－1c，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ≠－2，故“a ＝3”是“直线ax －2y －1＝0与直线6x －4y ＋c ＝0平行”的必要而不充分条件．(2)x ＋y －3＝0 解析：设圆心坐标为(x 0,0)(x 0＞0)．由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|，圆心到直线l 的距离d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知⎝⎛⎭⎪⎫|x 0－1|22＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0－1)2＝4.∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)． 因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.【例2】解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.因此x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【变式训练2】(1)(x －2)2＋(y －3)2＝1 解析：由已知得，线段AB 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，k AB ＝3－21－2＝－1，故线段AB 的中垂线方程为y －52＝x －32，即x －y ＋1＝0.因为圆C 经过A ，B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上．又因为直线m ：3x －2y ＝0平分圆的面积，所以直线m 经过圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即圆心C (2,3)．而圆的半径r ＝|CB |＝(2－2)2＋(2－3)2＝1， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝94 解析：易求出C 1(0,0)，半径r 1＝1，圆心C 3(3,4)，半径r 3＝1.设圆C 2的圆心坐标为C 2(a ，b )，半径为r 2，据题意得⎩⎪⎨⎪⎧kC 1C 2＝kC 2C 3，|C 1C 2|＝|C 2C 3|，r 1＋2r 2＋r 3＝5，即可解出⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝2，r 2＝32，故圆C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝94.【例3】解：(1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1.由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ ·BP ＝0， ∴BQ ·BP ＝(BA ＋AQ )·BP ＝BA ·BP ＋AQ ·BP ＝BA ·BP .当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－52， 则BP ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52. 又BA ＝(1,2)，∴BQ ·BP ＝BA ·BP ＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x ＋2y ＋7＝0， 解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ，∴BP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴BQ ·BP ＝BA ·BP ＝－51＋2k －10k1＋2k＝－5.综上所述，BQ ·BP 是定值，且BQ ·BP ＝－5.【变式训练3】(方法一)(1)证明：设圆心C 到直线l 的距离为d ，则有d ＝|6m ＋6－8m －3|4m 2＋1， 整理可得4(d 2－1)m 2＋12m ＋d 2－9＝0，① 为使上面关于m 的方程有实数解，则Δ＝122－16(d 2－1)(d 2－9)≥0，解得0≤d ≤10. 可得d ＜5，故不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交． (2)解：由(1)可知0≤d ≤10，即d 的最大值为10.根据平面几何知识可知：当圆心到直线l 的距离最大时，直线l 被圆C 截得的线段长度最短．∴当d ＝10时，线段(即弦)的最短长度为252－(10)2＝215.将d ＝10代入①可得m ＝－16，代入直线l 的方程得直线被圆C 截得最短线段时l 的方程为x ＋3y ＋5＝0.(方法二)(1)证明：将直线l 的方程变形有：m (2x －8)－y －3＝0， 解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －8＝0，－y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，知直线l 过定点A (4，－3)． 又∵(4－3)2＋(－3＋6)2＜25，∴A 点在圆C 内部， 因此直线l 与圆C 总相交． (2)解：同方法一． 创新模拟·预测演练1．A 解析：直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切⇔圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r ，即|a －b ＋2|2＝2，|a －b ＋2|＝2.解得a －b ＝0或a －b ＝－4，故选A.2．B 解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上，不妨设为C (a ，－a )，∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，解得a ＝1，r ＝2，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3．C 解析：可利用数形结合法进行分析解决． 4．2 35．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1102＝2920解析：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，a －2b －1＝0，(a －2)2＋(b －1)2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝65，b ＝110，r 2＝2920，所以所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1102＝2920.6．25 解析：圆的半径是2，圆心(0,0)到l ：4x ＋3y －12＝0的距离d ＝|12|42＋32＝125，所以圆x 2＋y 2＝4上的点与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离的最小值是125－2＝25.7．解：(1)将圆的方程化简，得(x －6)2＋y 2＝4.圆心Q (6,0)，半径r ＝2. 直线l 的方程为：y ＝kx ＋2，故圆心到直线l 的距离d ＝|6k －0＋2|1＋k 2＝|6k ＋2|1＋k2， 因为直线l 和圆相切，故d ＝r ，即|6k ＋2|1＋k2＝2， 解得k ＝0或k ＝－34，所以，直线l 的方程为y ＝2或3x ＋4y －8＝0. (2)将直线l 的方程和圆的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，(x －6)2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0， 因为直线l 和圆相交，故Δ＝[4(k －3)]2－4×36×(1＋k 2)＞0，解得－34＜k ＜0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k2，x 1x 2＝361＋k 2，而y 1＋y 2＝kx 1＋2＋kx 2＋2＝k (x 1＋x 2)＋4，OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，PQ ＝(6，－2)．因为OA ＋OB 与PQ 共线，所以－2×(x 1＋x 2)＝6×(y 1＋y 2)， 即(1＋3k )(x 1＋x 2)＋12＝0，代入得(1＋3k )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4(k －3)1＋k 2＋12＝0，解得k ＝－34. 又因为－34＜k ＜0，所以没有符合条件的常数k .。
高考数学(理)二轮专题练习：解析几何(含答案)
解析几何1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC . [问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________． 答案 (1)错 (2)[0，π6]∪[5π6，π)2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋yb ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________．答案152613 4．两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．[问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 答案 －1 12 m ≠3且m ≠－1 35．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案 －16．直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切． (2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当|O 1O 2|>r 1＋r 2时，两圆外离；②当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2时，两圆相交；④当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|时，两圆内含．[问题6] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________．答案 内切7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：Fl ，否则定点的轨迹可能是过点F 且垂直于直线l 的一条直线．[问题7] 已知平面内两定点A (0,1)，B (0，－1)，动点M 到两定点A 、B 的距离之和为4，则动点M 的轨迹方程是________． 答案 x 23＋y 24＝18．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(4)抛物线标准方程焦点在x 轴上：y 2＝±2px (p >0)； 焦点在y 轴上：x 2＝±2py (p >0)．[问题8] 与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，且过点(－3,23)的双曲线方程为________．答案 4x 29－y 24＝19．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则(1)焦半径|CF |＝x 1＋p 2；(2)弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；(3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[问题9] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案 54解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.易错点1 直线倾斜角与斜率关系不清致误例1 已知直线x sin α＋y ＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是__________． 错解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，34π.找准失分点 直线斜率k ＝tan β(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续． 正解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当－1≤k <0时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎭⎫34π，π；当0≤k ≤1时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4. 故直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π 易错点2 忽视斜率不存在情形致误例2 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．错解 直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t， 直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1， 解得t ＝－1.找准失分点 (1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形． 正解 方法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存在时，由k 1·k 2＝－1得，t ＝－1. (2)若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直，综上t ＝－1或t ＝1.方法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0⇔t ＝1或t ＝－1. 答案 －1或1易错点3 忽视“判别式”致误例3 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 错解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2， 故所求直线方程为2x －y －1＝0.错解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以符合题设条件的直线的方程为2x －y －1＝0.找准失分点 没有判断直线2x －y －1＝0与双曲线是否相交． 正解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得，(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0， 解得k <32.设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2>32， 故不存在被点A (1,1)平分的弦．正解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以直线l 的方程为2x －y －1＝0， 再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x 2－y 22＝1，得2x 2－4x ＋3＝0.根据Δ＝－8<0，所以所求直线不存在．1．(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 D解析 方法一 如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，OA ＝1， 则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.故D. 方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π3]．2．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.3．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)与曲线x 2＋y 2＝|m －n |无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，1 B.⎝⎛⎭⎫0，32 C.⎝⎛⎭⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎫0，22解析 由于m 、n 可互换而不影响，可令m >n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 2n ＝1，x 2＋y 2＝m －n ，则x 2＝2m ·n －m 2n －m ，若两曲线无交点，则x 2<0，即m <2n ，则e ＝ m －nm< m －m 2m ＝22， 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知点F 1、F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是()A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)， PF →2＝(1－x 0，－y 0)．∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2，∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1.∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.5．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2 答案 C解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.6．(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.7．一直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32，且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，则此弦所在的直线方程为________．答案 x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0解析 ①当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3， 代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4. 所以弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．②当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3， 所以|k ·0－0＋3k －32|k 2＋1＝3，解得k ＝－34，所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 向其一条渐近线作垂线，垂足为M ，已知∠MFO＝30°(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________． 答案 2解析 由已知得点F 的坐标为(c,0)(c ＝a 2＋b 2)， 其中一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则|MF |＝bca 2＋b 2＝b ， 由∠MFO ＝30°可得|MF ||OF |＝b c ＝cos 30°＝32，所以c 2－a 2c ＝32，所以e ＝ca＝2.10．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b)，所以AB 的中点C 坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52.。
2023届高考复习数学专项(直线与圆)好题练习(附答案)
2023届高考复习数学专项（直线与圆）好题练习1.下面说法中错误的是（A. 经过定点P(x 。
,Yo )的直线都可以川方程Y-Yo = k(x -xo)表示B.经过定点P(x 。
,Yo)的直线都可以用方程x-x 。
=m(y -yo)表示C .经过定点A(O,b)的直线都可以用方程y= kx + b表示D.不经过原点的直线都可以用方程�+�=1表示E.经过任意两个不同的点P 1(X 1,Y 心乌(xz,迈）的直线都可以用方程(y -Y 1)C x 2 -X 1.) = (x-X 1)C Y 2 -Y 1)表示2.下列说法正确的是(. )XyA. 截距相等的直线都可以用方程—+—=1表示a a B.方程x + m y -2 = 0(m E R )能表示平行Y 轴的直线C.经过点P(l,l)'倾斜角为0的直线方程为y-l = tanB(x-1)D.经过两点片(x i ,Y 1),Pi(x 2,Y 2)的直线方程(Y 2-Yi)(x-x 1)-(x 2 -x 1)(y-y i ) = 03.已知方程m x 2+n y 2= mn 和m x +n y +p=O (其中mn-::t:-0且m ,n ER ,p>O), 它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（4. 下列说法正确的是()A .直线X —y —2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B.点(0,2)关于直线y=x +l 的对称点为(1,1)C .过(X i ,Y 1),(x 2,Y 2)两点的直线方程为＝y-Y i x-x 1Y 2 -y 1x 2 -x 1 D.经过点(1,1)且在X 轴和Y 轴上截距都相等的直线方程为x +y -2二5．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（ ）A ．()2,0B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2-6．以下四个命题表述正确的是（）A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2)7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=.若直线()1y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取可以是() A ．1B ．2C ．3D ．48．已知圆2221:C x y r +=，圆2222:()()(0)C x a y b r r -+-=>交于不同的()11,A x y ，()22,B x y 两点，下列结论正确的有（）A ．()()12120a x x b y y -+-=B ．221122ax by a b+=+C ．12x x a+=D ．122y y b+=9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90 ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1-C ．)D ．)1,110．设有一组圆224*:(1)()()k C x y k k k N -+-=∈.下列四个命题正确的是（ ） A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D．所有的圆均不经过原点答案解析1. 下面说法中错误的是（）A．经过定点P(x。
2023年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第1讲直线与圆(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第1讲 直线与圆[考情分析] 1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一 直线的方程 核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为零)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为零)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1 (1)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823C.3D.833答案 B解析 由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6， 解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823. (2)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x ＋3y ＋12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x －3y －12＝0答案 B解析 由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3,1)．设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)． 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)． ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0. 易错提醒 解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1 (1)已知直线l 经过直线l 1：x ＋y ＝2与l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的斜率为－23，则直线l 的方程是( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0D ．2x －3y ＋1＝0答案 C解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以两直线的交点为(1,1)． 因为直线l 的斜率为－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________． 答案252解析 由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0,4)，直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3,0)．易知直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，又M 是两条直线的交点，所以MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25，故|MA |·|MB |≤252⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”.考点二 圆的方程 核心提炼 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________． 答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.则圆C 的标准方程为________________________． 答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2 解析 设圆心C (a ，b )，半径为r ， ∵圆C 与x 轴相切于点T (1,0)， ∴a ＝1，r ＝|b |.又圆C 与y 轴正半轴交于两点， ∴b >0，则b ＝r ，∵|AB |＝2，∴2＝2r 2－1， ∴r ＝2，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. 规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55B.255 C.355 D.455答案 B解析 由题意可知圆心在第一象限，设为(a ，b )． ∵圆与两坐标轴都相切， ∴a ＝b ，且半径r ＝a ，∴圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2. ∵点(2,1)在圆上，∴(2－a )2＋(1－a )2＝a 2， ∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5. 当a ＝1时，圆心坐标为(1,1)， 此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×1－1－3|22＋－12＝255； 当a ＝5时，圆心坐标为(5,5)， 此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×5－5－3|22＋－12＝255. 综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y －3)2＝10解析 ∵P (3,4)为C 上一点，∴9m －162＝1，解得m ＝1，则B (1,0)，∴k PB ＝42＝2，PB 的中点坐标为(2,2)，PB 的中垂线方程为y ＝－12(x －2)＋2，令x ＝0，则y ＝3， 设外接圆圆心为M (0，t )，则M (0,3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10， ∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 考点三 直线、圆的位置关系 核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．例3 (1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2B ．42C ．6D ．210 答案 C解析 由题意，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，知圆C 的圆心为C (2,1)，半径为2.方法一 因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1， 所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB |＝6.方法二 由题意知，圆心在直线l 上，即2＋a －1＝0，解得a ＝－1，再由图知，|AB |＝6.(2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0答案 D解析 ⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4， 则圆心M (1,1)，⊙M 的半径为2. 如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形PAMB ＝12|PM |·|AB |＝|PA |·|AM |＝2|PA |， ∴|PM |·|AB |＝4|PA | ＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l . 故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P (－1,0)．又∵直线x ＝－1，即PA 与⊙M 相切， ∴PA ⊥x 轴，PA ⊥MA ，∴A (－1,1)． 又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠2)， 将A (－1,1)的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1. ∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0. 规律方法 直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3 (1)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A ．10B ．43C ．8D ．215答案 D解析 设圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ， 而r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝a44＋16，∵圆M 与x 轴交于A ，B 两点， ∴|AB |＝2r 2－a 2＝2a 44＋16－a 2＝a 4－4a 2＋64＝a 2－22＋60≥60＝215.(2)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52， 因为a >0，所以a ＝102. 专题强化练一、单项选择题1．过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．y －x ＝1B ．y ＋x ＝3C ．2x －y ＝0或x ＋y ＝3D ．2x －y ＝0或y －x ＝1答案 D解析 当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0，当直线不过原点时，设方程为x a ＋y－a＝1， 代入点(1,2)可得1a －2a＝1，解得a ＝－1，方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为2x －y ＝0或y －x ＝1.2．若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－32答案 A解析 由两直线平行的条件可得－2＋m ＋m 2＝0， ∴m ＝－2(舍)或m ＝1.3．已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( ) A ．－1B ．1C ．±1D．0 答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1. 则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称， ∴直线y ＝x 经过圆心， ∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不合题意， ∴k ＝－1.4．(2020·厦门模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0与直线l 相切于点P (3，3)，则直线l 的方程为( ) A ．3x －3y －6＝0 B ．x －3y －6＝0 C ．x ＋3y －4＝0 D ．x ＋3y －6＝0 答案 D解析 圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0可化为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心C (2,0)， 直线PC 的斜率为k PC ＝0－32－3＝3，∵l ⊥PC ，则直线l 的斜率为k ＝－1k PC ＝－33，∴直线l 的点斜式方程为y －3＝－33(x －3)，化为一般式得x ＋3y －6＝0. 5．(2020·长沙模拟)已知直线l 过点A (a,0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( ) A ．3 2 B ．±3 2 C ．±2 D ．± 2答案 D解析 直线l 的方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.圆上恰有三个点到直线l 的距离为1，可知圆心到直线的距离等于半径的一半，即|a |2＝1，a ＝± 2.6．已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4,0)，则|PA →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C ．226＋4 D ．226＋2 答案 C解析 取AB 的中点D (2，－3)， 则PA →＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|，又由题意知，圆C 的圆心C 的坐标为(1,2)，半径为2， |PD →|的最大值为圆心C (1,2)到D (2，－3)的距离d 再加半径r ， 又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2， ∴|2PD →|的最大值为226＋4， 即|PA →＋PB →|的最大值为226＋4.7．(2020·北京市陈经纶中学月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M 的轨迹是圆，若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则M 点的轨迹围成区域的面积为( )A ．πB．2πC．3πD．4π 答案 D解析 以A 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (3,0)．设M (x ，y )，依题意有，x 2＋y 2x －32＋y2＝2，化简整理得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，即(x －4)2＋y 2＝4，则M 点的轨迹围成区域的面积为4π.8．(2020·辽宁省大连一中模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x －y ＋6＝0，在直线l 上任取一点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，则直线AB 一定过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23 B ．(1,2)C ．(－2,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，43 答案 A解析 设点P (x 0，y 0)，则x 0－y 0＋6＝0.过点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，以CP 为直径的圆的方程为x (x －x 0)＋y (y －y 0)＝0，又圆C ：x 2＋y 2＝4，作差可得直线AB 的方程为xx 0＋yy 0＝4，将y 0＝x 0＋6，代入可得(x ＋y )x 0＋6y －4＝0，满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，6y －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝23，故直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.二、多项选择题9．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 AC解析 圆x 2＋y 2＝4的圆心是O (0,0)，半径为R ＝2，圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2的圆心是C (3,4)，半径为r ，|OC |＝5，当2＋r ＝5，r ＝3时，两圆外切，当|r －2|＝5，r ＝7时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合A ∩B 中只有一个元素． 10．下列说法正确的是( )A ．直线x －y －2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点P (0,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为P ′(1,1)C ．过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x ＋y －2＝0 答案 AB解析 选项A 中直线x －y －2＝0在两坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成的三角形的面积是2，所以A 正确；选项B 中PP ′的中点⎝⎛⎭⎪⎫0＋12，2＋12在直线y ＝x ＋1上，且P (0,2)，P ′(1,1)两点连线的斜率为－1，所以B 正确；选项C 中需要条件y 2≠y 1，x 2≠x 1，所以C 错误；选项D 中还有一条截距都为0的直线y ＝x ，所以D 错误．11．已知圆C 1：(x ＋6)2＋(y －5)2＝4，圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，M ，N 分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的值可以是( ) A ．6B ．7C ．10D ．15 答案 BCD解析 圆C 2关于x 轴的对称圆C 3为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 3(2，－1)，r 3＝1，点N 关于x 轴的对称点N ′在圆C 3上，又圆C 1的圆心C 1(－6,5)，r 1＝2，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|≥|PC 1|－r 1＋|PC 3|－r 3＝|PC 1|＋|PC 3|－3≥|C 1C 3|－3＝2＋62＋－1－52－3＝7，∴|PM |＋|PN |的取值范围是[7，＋∞)．12．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( ) A ．(0，2) B ．(1，2－1) C ．(2，0) D ．(2－1,1)答案 AC 解析如图所示，坐标原点O 到直线l ：x ＋y －2＝0的距离d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y2＝1相切，由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝ 2.设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得t 2－2t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)． 三、填空题13．若直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是________． 答案 3＋2 2解析 因为直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，所以1a ＋2b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a＋2ab≥3＋22，当且仅当a ＝2＋1，b ＝2＋2时等号成立．所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是3＋2 2.14．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是______________________． 答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 ∵⊙O 的圆心为(0,0)，半径r ＝1， 设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形， 故有|PO |＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离d ≤2， 即|2|1＋k2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.15．(2020·石家庄长安区期末)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积达到最大时，k ＝________. 答案 ±1解析 由圆O ：x 2＋y 2＝1，得到圆心坐标为O (0,0)，半径r ＝1，把直线l 的方程y ＝kx ＋1(k ≠0)，整理为一般式方程得l ：kx －y ＋1＝0，圆心O (0,0)到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1，弦AB 的长度|AB |＝2r 2－d 2＝2k 2k 2＋1，S △AOB ＝12×2k 2k 2＋1×1k 2＋1＝|k |k 2＋1＝1|k |＋1|k |，又因为|k |＋1|k |≥2|k |·1|k |＝2，S △AOB ≤12，当且仅当|k |＝1|k |，即k ＝±1时取等号，S △AOB 取得最大值，最大值为12，此时k ＝±1.16．已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确的结论是________．(填序号)答案 ①②③解析 公共弦所在直线的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0， 所以有2ax 1＋2by 1－a 2－b 2＝0，②正确； 又2ax 2＋2by 2－a 2－b 2＝0，所以a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，①正确；AB 的中点为直线AB 与直线C 1C 2的交点，又AB ：2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，C 1C 2：bx －ay ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，bx －ay ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2，y ＝b2.。
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题6_第1讲_直线与圆(含答案)
第1讲 直线与圆考情解读 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．1．直线方程的五种形式（1）点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)． （2）斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)． （3）两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．（4）截距式：x a ＋yb ＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．（5）一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： （1）两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. （2）两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． 3．三种距离公式（1）A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.（2）点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)．（3）两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)． 提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4．圆的方程的两种形式（1）圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.（2）圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．（2）圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.热点一 直线的方程及应用例1 （1）过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0（2）“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 思维启迪 (1)不要忽略直线过原点的情况；(2)分别考虑充分性和必要性．思维升华 (1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝0热点二 圆的方程及应用例2 （1）若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4（2）已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4 D ．x 2＋(y ＋1)2＝4思维启迪 (1)确定圆心在直线x ＝2上，然后待定系数法求方程；(2)根据弦长为23及圆与l 2相切列方程组． 思维升华 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．（1）已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过点A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0（2）已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________________．热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．思维启迪 (1)先求出圆C 的圆心坐标，再利用几何法求出切线斜率；(2)将|MA |＝2|MO |化为M 点坐标满足的条件后，可知点M 是两圆的交点．思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．（1）(2014·重庆)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.（2）两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．－6B ．－3C ．－3 2D ．31．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况． 2．确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：（1）直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)； （2）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （3）圆心在任一弦的中垂线上；（4）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；（5）圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称．3．直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4．过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0.5．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程.真题感悟1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________________． 2．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________． 押题精练1．在直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的 点P 的个数为__2．如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，则实数a 的取值范围是________． 3．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k 等于( ) A ．－3或－1 B ．3或1 C ．－3或1 D ．3或－12．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝03．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x ＋y ＋2＝04．若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则m 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．[2,4]5．动圆C 经过点F (1,0)，并且与直线x ＝－1相切，若动圆C 与直线y ＝x ＋22＋1总有公共点，则圆C 的面积()A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π6．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为( ) A ．1 B ．32C ．2 3D ． 3 二、填空题7．已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方程是________________．8．(2014·湖北)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝____. 9．(2013·湖北)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.10．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是________． 三、解答题11．（1）求圆心在x 轴上，且与直线y ＝x 相切于点(1,1)的圆的方程；（2）已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称，求圆C 的方程．12．已知圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得|DE |，|DO |，|DF |成等比数列，求DE →·DF →的取值范围．13．已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为⊙H . （1）若直线l 过点C ，且被⊙H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以点C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求⊙C 的半径r 的取值范围．例1 (1)B (2)C 变式训练 C例2 (1)D (2)B 变式训练 (1)B (2)x 2＋(y －1)2＝10例3 解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和直线y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋(y －3)2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则2－1≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 变式训练 答案 (1)4±15 (2)C 1．25552．[－1,1]解析 如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON . M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N . 设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ON OM ≥22. 而ON ＝1，∴OM ≤ 2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]．1．2 2．－22<a <0或0<a <22 3．(2－1，2＋1)CACCDD 7．3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0 8．2 9．4 10．3＋211．解 (1)根据题意可设圆心(a,0)，则1－01－a ＝－1⇒a ＝2，即圆心为(2,0)，半径r ＝(2－1)2＋(0－1)2＝2，则所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)设圆心为C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，又P (1,1)在圆上，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.12．解 (1)圆M 的方程可整理为(x －1)2＋(y －1)2＝8， 故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.圆O 的圆心为O (0,0)，因为|MO |＝2<22，所以点O 在圆M 内，故圆O 只能内切于圆M . 设圆O 的半径为r ，因为圆O 内切于圆M ，所以|MO |＝R －r ， 即2＝22－r ，解得r ＝ 2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)不妨设E (m,0)，F (n,0)，且m <n .由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2，y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝0，故E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由|DE |，|DO |，|DF |成等比数列，得|DE |×|DF |＝|DO |2， 即(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，整理得x 2－y 2＝1. 而DE →＝(－2－x ，－y )，DF →＝(2－x ，－y )，所以DE →·DF →＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y )＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1.由于点D 在圆O 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<2，x 2－y 2＝1，得y 2<12，所以－1≤2y 2－1<0， 即DE →·DF →∈[－1,0)．13．解 (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心为H (0,3)，半径为(－1)2＋32＝10， ⊙H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被⊙H 截得的弦长为2，所以d ＝10－1＝3. 当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求； 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0. (2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )， 因为点M 是线段PN 的中点， 所以M (m ＋x 2，n ＋y2)，又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(m ＋x 2－3)2＋(n ＋y 2－2)2＝r 2. 即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(x ＋m －6)2＋(y ＋n －4)2＝4r 2. 因为该关于x ，y 的方程组有解， 即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心， 2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2， 又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对∀m ∈[0,1]成立． 而f (m )＝10m 2－12m ＋10 在[0,1]上的值域为[325，10]，故r 2≤325且10≤9r 2.又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对∀m ∈[0,1]成立， 即r 2<325.故⊙C 的半径r 的取值范围为[103，4105)．。
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题6_第2讲_椭圆、双曲线、抛物线(含答案)
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线考情解读 1．以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2．以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质热点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 （1）若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°（2）已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－12的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________．思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值．思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图．（1）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A ．x 28＋y 22＝1 B ．x 212＋y 26＝1 C ．x 216＋y 24＝1 D ．x 220＋y 25＝1（2）如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x热点二 圆锥曲线的几何性质例2 （1）已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则e 等于( )A ．52 B ．52 C ．62D ．3 （2）设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，22 B ．⎝⎛⎦⎤0，33 C ．⎣⎡⎭⎫22，1 D ．⎣⎡⎭⎫33，1 思维启迪 (1)在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P 坐标为(a 2c ，y )，考察y 存在的条件．思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．（1）已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C ． 2 D ． 3（2）已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A ． 3 B ．3 C ．3m D ．3m热点三 直线与圆锥曲线例3 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613BC →.（1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．思维启迪 (1)根据AB →＝613BC →和点B 在椭圆上列关于a 、b 的方程；(2)联立直线y ＝kx ＋m 与椭圆方程，利用Δ＝0，PM →·QM →＝0求解．思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．（1）求椭圆C 的方程； （2）求F 2P →·F 2Q →的取值范围．1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；(2)根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5．抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． （1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；（2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；（3）S △AOB ＝p 22sin α；（4）1|F A |＋1|FB |为定值2p；（5）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．真题感悟1．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A ．433 B ．233C ．3D ．22．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A ．12 B ．23C ．34 D ．43押题精练1．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是_____________．2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；（2）若|AP |＝|OA |，证明：直线OP 的斜率k 满足|k |> 3.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1 B ． 2 C ．32D ． 32．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．2或233B ．6或233C ．2或 3D ．3或 63．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝14．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)，A (4,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( ) A ．463 B ．433 C ．863 D ．2335．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．946．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( ) A ．[14，12] B ．[12，22] C ．(22，1) D ．[12，1)二、填空题7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．8．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.9．抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线x 23－y 26＝1的右焦点重合，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A .若|OA |＝ b ，则该双曲线的离心率为_______． 三、解答题11．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B (1,0)的距离之比为 2. （1）求曲线C 的方程；（2）过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |＝4，求直线l 的方程．12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． （1）求E 的离心率；（2）设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．13．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．例1 (1)C (2)5－1 变式训练 (1)D (2)C 例2 (1)C (2)D 变式训练2 (1)C (2)A变式训练3 解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 因为椭圆C 过点(1，22)，所以1a 2＋12b2＝1.故a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)，得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ，直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x22＋y 2＝1消去y ，整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2＝19m 2－132m 2＋1.由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t .又1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上，F 2P →·F 2Q →的取值范围为[－1，125232)．AD 1．2642．(1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y 0≠0.由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP · k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明 方法一 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2，②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③ 由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2. 代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.DABCDB 7．x 23－y 212＝1 y ＝±2x 8．2 9．11 10．211．解 (1)由题意得|P A |＝2|PB |故(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2 化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求． (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2，所以|MN |＝4，满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2， 由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k 2，解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2. 综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.12．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].故43a ＝4ab 2a 2＋b2，得a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.13．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ， 将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y A －y C |＝ 3.∴菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．∵点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点， ∴可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k.又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．∴OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．。
高考数学(理科)-直线与圆-专题练习(含答案与解析)
高考数学（理科）专题练习已知2O x y ：＋的O 的两条切，求AOC的面积22：＋＋x y已知ABC的三个顶点坐标分别为圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为3＋，则k≥OA OB AB||||，＋A．(3)∞OA，OB满足-=+，则实数O A O B O A O B23||23|．(2016·滨州二模)在平面直角坐标系．已知ABC的三个顶点，其外接圆为H．）若直线l过点，且被H截得的弦长为的方程；）对于线段BH上的任意一点P，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点的中点，求C的半径的取值范围．高考数学（理科）专题练习直线与圆，＋][)1∞Rt ACD中，可得CD PD＝，，即0，－＝，x y()?5022被H 截得的弦长为3＝为所求；的C 上，222y r ⎫-=故C的半径山东省2017年高考数学（理科）专题练习直线与圆 －4－2＋－1－2－＝－1，将圆化为标准方程得⎝⎛x －1－2＋－－2＝＋y 2＝by －1＋4b 2＋b2＝，当且仅当＋－2＝分的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为4y＋20－2＋－2＋－2＝＋－2＝，∴以原点为圆心的圆若与三角形有唯一的公共点，则公共点为(0，，∴圆的半径为1或37则该圆的方程为x2．故选a－2＋b－2的最小值为B因为圆心(3，－5)到直线4x＝2的距离等于1时，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－－a ＋2＝|a |＝2，a ＝2，4分的方程是(2)2＋y 24．5分－2＋＋(y －3)2＝l 的距离为x 轴时，显然符合题意，即⎪⎧x －2＋y －2＝⎝⎛⎭⎫m ＋x 2－32＋⎝⎛⎭⎫n ＋y 2－2⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝x ＋m －2＋y ＋n －2＝因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3，为圆心，r 为半径的圆与以为半径的圆有公共点，。
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第1讲直线与圆考情解读考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa＋yb＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By＋C 2＝0)．提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法． (2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.热点一 直线的方程及应用例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0(2)“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件思维启迪 (1)不要忽略直线过原点的情况；(2)分别考虑充分性和必要性． 答案 (1)B (2)C解析 (1)当直线过原点时方程为2x －5y ＝0，不过原点时，可设出其截距式为x a ＋y2a ＝1，再由过点(5,2)即可解出2x ＋y －12＝0.(2)因为m ＝1时，两直线方程分别是x －y ＝0和x ＋y ＝0，两直线的斜率分别是1和－1，两直线垂直，所以充分性成立；当直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)×m ＝0，所以m ＝1，所以必要性成立．故选C.思维升华 (1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0 答案 C解析 由题意可知，直线AC 和直线BC 关于直线y ＝x ＋1对称．设点B (－1,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋1＝－1y 0＋22＝x 0－12＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝0，即B ′(1,0)．因为B ′(1,0)在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为k ＝1－03－1＝12，所以直线AC 的方程为y －1＝12(x －3)，即x －2y －1＝0.故C 正确． 热点二 圆的方程及应用例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4 D ．x 2＋(y ＋1)2＝4思维启迪 (1)确定圆心在直线x ＝2上，然后待定系数法求方程；(2)根据弦长为23及圆与l 2相切列方程组． 答案 (1)D (2)B解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，所以选D. (2)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a >－2，半径为r ，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B.思维升华 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．(1)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过点A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( ) A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0 B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0 D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0(2)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________________． 答案 (1)B (2)x 2＋(y －1)2＝10解析 (1)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，线段PQ 的中点为M ，由于|PQ |＝23， 易得|CM |＝1. 又|CM |＝|－3＋k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.故选B.(2)设所求圆的半径是r ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则r 2＝d 2＋(|AB |2)2＝10，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．思维启迪 (1)先求出圆C 的圆心坐标，再利用几何法求出切线斜率；(2)将|MA |＝2|MO |化为M 点坐标满足的条件后，可知点M 是两圆的交点．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和直线y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则2－1≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．(1)(2014·重庆)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.(2)两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( ) A ．－6 B ．－3 C ．－3 2 D ．3 答案 (1)4±15 (2)C解析 圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以(|a ＋a －2|a 2＋1)2＋12＝22，解得a ＝4±15.(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4， 圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1， 所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3， 即a 2＋b 2＝9.由(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时取“＝”．所以选C.1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．2．确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)； (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称． 3．直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4．过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0.5．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程.真题感悟1．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________________． 答案2555解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.2．(2014·课标全国Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________． 答案 [－1,1]解析 如图，过点M 作⊙O 的切线， 切点为N ，连接ON . M 点的纵坐标为1， MN 与⊙O 相切于点N . 设∠OMN ＝θ，则θ≥45°， 即sin θ≥22， 即ON OM ≥22. 而ON ＝1，∴OM ≤ 2. ∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]． 押题精练1．在直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为________． 答案 2解析 设P (x ，y )，则由|P A |2－|PB |2＝4， 得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，∴x ＋y ＝2，∴满足条件的点P 的个数转化为直线x ＋y ＝2和圆x 2＋y 2＝4的交点个数， ∵|0＋0－2|2＝2<2， ∴直线与圆相交，∴点P 有2个．2．如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，则实数a 的取值范围是____________________． 答案 －22<a <0或0<a <2 2解析 将圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0变形为(x －a )2＋(y －a )2＝4，可知圆心为C (a ，a )，半径为r ＝2.圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为R ＝2.当两圆总相交时|R －r |<|OC |<r ＋R ，即0<a 2＋a 2<4，解得－22<a <0或0<a <2 2.3．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________． 答案 (2－1，2＋1)解析 注意到与直线x －y －2＝0平行且距离为1的直线方程分别是x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以|2－2|2<r <|－2－2|2，即2－1<r <2＋1.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k 等于( ) A ．－3或－1 B ．3或1 C ．－3或1 D ．3或－1答案 C解析 若k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25满足两直线垂直．若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝kk －1，k 2＝1－k 2k ＋3，由k 1·k 2＝－1得k ＝－3，综上k ＝1或k ＝－3.2．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 答案 A解析圆的圆心为C(1,0)．由圆的性质知，直线PC垂直于弦AB所在的直线，则k AB＝－1k PC，即k AB＝－1k PC＝－10－(－1)1－2＝1.又点P(2，－1)是弦AB的中点，由直线的点斜式方程得直线AB的方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.故选A.3．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是() A．x＋y＝0B．x－y＝0C．x－y＋2＝0D．x＋y＋2＝0答案 C解析圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于直线OC，易知k OC＝－1，故直线l的斜率为1，直线l 的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.故选C.4．若直线y＝kx＋2k与圆x2＋y2＋mx＋4＝0至少有一个交点，则m的取值范围是() A．[0，＋∞) B．[4，＋∞)C．(4，＋∞) D．[2,4]答案 C解析由y＝k(x＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m＋4≤0⇒m≥4.又由方程表示圆的条件，故有m2－4×4>0⇒m<－4或m>4.综上可知m>4.故选C.5．动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x＝－1相切，若动圆C与直线y＝x＋22＋1总有公共点，则圆C的面积()A．有最大值8πB．有最小值2πC．有最小值3πD ．有最小值4π 答案 D解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ，r ＝|CF |＝|a ＋1|， 即(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2，即a ＝14b 2，∴圆心为(14b 2，b )，r ＝14b 2＋1，圆心到直线y ＝x ＋22＋1的距离为 d ＝|b 24－b ＋22＋1|2≤b 24＋1，∴b ≤－2(22＋3)或b ≥2， 当b ＝2时，r min ＝14×4＋1＝2，∴S min ＝πr 2＝4π.6．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为( ) A ．1 B.32C ．2 3 D. 3 答案 D解析 依题意，圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1，易知|PC |的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ＝2×(12|P A |·|AC |)＝|P A |·|AC |＝|P A |＝|PC |2－1，因此四边形P ACB 的面积的最小值是22－1＝3，故选D. 二、填空题7．已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方程是________________．答案 3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0解析 依题意，设所求直线l 1的方程是3x ＋4y ＋b ＝0，则由直线l 1与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切，可得圆心(0，－1)到直线3x ＋4y ＋b ＝0的距离为1，即有|b －4|5＝1，解得b ＝－1或b ＝9.因此，直线l 1的方程是3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0.8．(2014·湖北)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝____. 答案 2解析 依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意，所以a 2＋b 2＝2.9．(2013·湖北)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.答案 4解析 圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1， 而圆O 半径为5，所以圆O 上到l 的距离等于1的点有4个．10．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是________．答案 3＋ 2解析 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k 2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y 2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2. 三、解答题11．(1)求圆心在x 轴上，且与直线y ＝x 相切于点(1,1)的圆的方程；(2)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称，求圆C 的方程．解 (1)根据题意可设圆心(a,0)，则1－01－a＝－1⇒a ＝2，即圆心为(2,0)，半径r ＝(2－1)2＋(0－1)2＝2，则所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)设圆心为C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，又P (1,1)在圆上， 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.12．已知圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得|DE |，|DO |，|DF |成等比数列，求DE →·DF→的取值范围．解 (1)圆M 的方程可整理为(x －1)2＋(y －1)2＝8，故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.圆O 的圆心为O (0,0)，因为|MO |＝2<22，所以点O 在圆M 内，故圆O 只能内切于圆M .设圆O 的半径为r ，因为圆O 内切于圆M ，所以|MO |＝R －r ， 即2＝22－r ，解得r ＝ 2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)不妨设E (m,0)，F (n,0)，且m <n .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，y ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝0，或⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝0， 故E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由|DE |，|DO |，|DF |成等比数列，得|DE |×|DF |＝|DO |2， 即(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，整理得x 2－y 2＝1.而DE →＝(－2－x ，－y )，DF →＝(2－x ，－y )，所以DE →·DF →＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y )＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1.由于点D 在圆O 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<2，x 2－y 2＝1，得y 2<12， 所以－1≤2y 2－1<0，即DE →·DF →∈[－1,0)．13．已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为⊙H .(1)若直线l 过点C ，且被⊙H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以点C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求⊙C 的半径r 的取值范围．解 (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心为H (0,3)，半径为(－1)2＋32＝10，⊙H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被⊙H 截得的弦长为2，所以d ＝10－1＝3. 当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.(2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )，因为点M 是线段PN 的中点，所以M (m ＋x 2，n ＋y 2)， 又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(m ＋x 2－3)2＋(n ＋y 2－2)2＝r 2. 即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(x ＋m －6)2＋(y ＋n －4)2＝4r 2. 因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2，又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对∀m ∈[0,1]成立．而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为[325，10]， 故r 2≤325且10≤9r 2.又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对∀m ∈[0,1]成立，即r 2<325. 故⊙C 的半径r 的取值范围为[103，4105)．。