高中数学_ 平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学_2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【学习目标】 知识与技能 理解向量数量积的含义及其物理意义；初步掌握数量积的性质；培养抽象思维能力.过程与方法通过分析实际问题,经历由特殊到一般、由具体到抽象的过程；渗透分类讨论、数形结合等思想方法.情感态度价值观 通过物理背景，体会向量的科学价值,培养探索精神，提高应用意识.课前小组合作探究案【回顾旧知】问题1：我们已经学习了哪几种向量运算？向量运算数学符号运算结果问题2：两个非零向量,a b 的夹角θ是如何定义的？其取值范围是？ 问题3：物理背景：大力士拉飞机【小组合作探究】小组合作探究（一）理解数量积的含义1.（1）已知5a =,4b =,向量a 与b 的夹角为120︒，求a b ⋅. （2）已知4p =，3q =，12p q ⋅=-，求p 与q 的夹角；2.两个非零向量数量积的的正负由谁确定？请完成下表：θ 0θ=02πθ<<2πθ=2πθπ<<π如图所示：物理上的功是怎样计算的？a b ⋅值的正负3.已知ABC ∆中，AB a =，AC b =，当0a b ⋅<或0a b ⋅=时，试判断ABC ∆的形状.4.已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，求：（1）_______AB AC ⋅=（2）_______AB BC ⋅=（3）_______AC BC ⋅=探究结论：小组合作探究（二）通过理解投影的概念，体会数量积的几何意义.1.若4,,60,,90,,150OA OB OC OA l OB l OC l ====︒=︒=︒，分别作出,,OA OB OC 在向量l 上的投影，并求投影的值.2.根据提示： a b a ⋅=cos b θb =cos a θ探究a b ⋅的几何意义：___________________________________________________________________________ 小组合作探究（三）应用概念，探究数量积的性质.1.由向量数量积的定义，完成以下问题：（a 与b 是非零向量） （1）________a b a b ⊥⇔⋅=（2）当a 与b 同向时，________a b ⋅=；当a 与b 反向时，________a b ⋅=； 特别地，____________a a a ⋅=⇒= （3）____a b a b ⋅（比较大小） 2. 已知25p p ⋅=， 求p小组合作探究（四）与实数运算律类比，探究数量积的运算律运算律和运算紧密相连，引进向量的数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律.你能推导向量数量积的下列运算律吗？已知,,a b c 和实数λ，则：（1）a b b a ⋅=⋅（2）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅辨析：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅一定对吗？教学过程问题设计意图师生活动问题1：我们已经学习了哪几种向量运算？问题2：两个非零向量,a b 的夹角θ是如何定义的？其取值范围是？ 问题3：物理中的功是如何计算的？ 回顾旧知学生回答向量的“数量积”的概念：已知两个_______向量a 与b ，我们把数量________叫做a 与b 的数量积（或内积），记作__________，即：cos a b a b θ⋅=，其中θ是a 与b 的夹角，cos a θ（cos b θ）叫做向量a 在b 方向上（或b 在a 方向上）的投影.我们规定：0与任一向量的数量积为0. 形成概念 教师板书 学生明确关键几点： （1）数量 （2）“.”不能省. （3）关于零向量的规定小组合作探究（一）理解数量积的含义1.（1）已知5a =,4b =,向量a 与b 的夹角为120︒，求a b ⋅. （2）已知4p =，3q =，12p q ⋅=-，求p 与q 的夹角；2.两个非零向量数量积的的正负由谁确定？3.已知ABC ∆中，AB a =，AC b =，当0a b ⋅<或0a b ⋅=时，试判断ABC ∆的形状.4.已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，求：（1）_______AB AC ⋅=（2）_______AB BC ⋅=（3）_______AC BC ⋅=通过探究，理解数量积的定义，感受数量积是个实数. 教师展示学生探究成果，学生代表发言，师生共同点评小组合作探究（二）通过理解投影的概念，体会数量积的几何意义. 数形结合理解投影的概念，从形的由学生代表发言，师生共同探讨投1.若4,,60,,90,OA OB OC OA l OB l ====︒=︒,150OC l =︒，分别作出,,OA OB OC 在向量l 上的投影，并求投影的值.2.提示： a b a ⋅=cos b θb =cos a θ探究a b ⋅的几何意义： 角度认识数量积，理解数量积的几何意义影的概念及数量积的几何意义小组合作探究（三）应用概念，探究数量积的性质.1.由向量数量积的定义，完成以下问题：（a 与b 是非零向量） （1）________a b a b ⊥⇔⋅=（2）当a 与b 同向时，________a b ⋅=；当a 与b 反向时，________a b ⋅=；特别地，____________a a a ⋅=⇒= （3）____a b a b ⋅（比较大小） 2. 已知25p p ⋅=， 求p应用概念探究数量积的性质展示学生的探究成果，由学生讲解，师生共同点评小组合作探究（四）与实数运算律类比，探究数量积的运算律 运算律和运算紧密相连，引进向量的数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律.你能推导向量数量积的下列运算律吗？已知,,a b c 和实数λ，则：（1）a b b a ⋅=⋅（2）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； （3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅辨析：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅一定对吗？ 与实数运算律类比，探究数量积的运算律（1）（2）由学生解决 （3）教师用微课给出证明【例练结合】典型例题1：例练结合 能力提升变式练习已知6,4a b ==，a 和b 的夹角为典型例题2：已知3,4a b ==，且a 与b 不共线，变式练习2：12,e e 是互相垂直的单位向量，课堂小结 4,a b =学情分析青岛地区高一上学期已经学习了函数、三角函数两个知识模块，前面又学习了向量的概念、线性运算、平面向量基本定理，具备了学习本节课的知识基础。
高中数学_平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计教材分析本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4的第二章《平面向量》的第4节《平面向量的数量积》的第一课时《平面向量数量积的物理背景及其含义》。
数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容很丰富，包括定义、几何意义、性质与运算律，而且在物理和几何中具有广泛的应用。
它与向量的线性运算有着本质的区别，运算结果是一个数量。
数量积为解决有关几何问题提供了方便，可以利用平面向量的数量积求解向量的模及向量的夹角，解决线段的垂直问题。
本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。
学情分析我们的学生属于特长班，学生已有的知识和实验水平与普通班学生有差距。
有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细。
教学策略本课以问题为载体，以学生为主体，以数形结合为思想，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象过程。
应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
教学手段小组合作讨论探究，计算机多媒体教学教法与学法分析实验法：多媒体。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习课前准备1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
设计方案课题平面向量数量积的物理背景及其含义课型新授课教学目标知识目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
高中数学_平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计高中数学一、教学目标1、知识与技能掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义2、过程与方法（1）通过平面向量数量积的定义，让学生体会类比归纳的思维方法；（2）通过本节学习，体会求解一些比较简单向量数量积的方法。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会类比归纳思想。
二、重点、难点1、教学重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。
2、教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解；平面向量数量积的应用。
三、教学方法与教学手段本节课为新授课。
根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主导、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。
教学方法是综合法，多媒体辅助教学。
四、教学过程3、几何意义θcosbaba=⋅例2、在三角形ABC中，设向量CB=a ,CA=b ,a·b<0 ，AD为BC边上的高，AD=2.5，a=3，b =5,求a与b的夹角学生独立解决，教师进提问、引导、评价师生互动，教师给出数量积的几何意义。
幻灯片展示题目，师生互动，从不同的角度对向量夹角进行求解。
“温故而知新”，用学生已有的知识体系，构建新的知识体系。
教材上对这一知识点仅只概念而已，因此，有必要及时检测学生对几何意义这一知识点的掌握情况，查缺补漏。
4、性质（1）ae⋅=ea⋅=θcosa（2）ba⊥⇔0=⋅ba（3）当a与b同向时，baba=⋅，当a与b反向时，baba-=⋅（4）baba⋅=θcos（5）baba≤⋅学生思考，教师引导，师生共同完成证明进一步加深对平面向量数量积及其几何意义的理解，并做到灵活应用六、指导思想与理论依据1、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着丰富的实际背景。
高中数学_平面向量数量积的物理背景及其意义教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计一、引入新课二、自主学习1.平面向量数量积（内积）的定义：2．“投影”的概念：作图3.向量的数量积的几何意义：4．两个向量的数量积的性质：1︒设a 、b 为两个非零向量， a ⊥b ⇔a ⋅ b =2︒ 设a 为非零向量，e 是a 与同向的单位向量.：e ⋅a =a ⋅e =3︒ 当a 与同向时，a ⋅= ,当a 与反向时，a ⋅ = 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ = ： 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |三、合作探究探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题：（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S那么力F 所做的功：W=（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W （功）是 量， ②F （力）是 量，③S （位移）是 量， ④α是 。
2、明晰数量积的定义 （1）数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为α，我们把数量︱a ︱·︱︱cos α叫做a 与的数量积（或内积），记作：a ·，即：a ·= ︱a ︱·︱︱cos α（2）定义说明：①记法“a ·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？（例1 ：已知｜a ｜＝３，｜b ｜＝６，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求·.探究2：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把│b │cos α（│a │cos α） 叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影，2.提出问题：数量积的几何意义是什么？探究3：探究数量积的运算性质1、提出问题：比较︱a ·b ︱与︱a ︱×︱b ︱的大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质3.数量积的运算律 （1）、提出问题：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？（2例2、已知︱a ︱=6，︱b ︱=4, a 与b 的夹角为60°，求（a +2b ）·（a -3b ），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？四、学以致用1.已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，·＝8，则△ABC 的形状是________2.⊿ABC 中，AB=AC ，BC=6,则·=（ ）3.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(2)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.设a 和b 都是非零向量，则 1、a ⊥b a ·b =02、当a 与b 同向时，︱a ·b ︱=︱a ︱︱b ︱；当a 与b 反向时， ︱a ·b ︱= -︱a︱︱b ︱， 特别地，a ·a =︱a ︱2或︱a ︱=a a ⋅ 3、︱a ·b ︱≤︱a ︱×︱b ︱ 已知向量a 、 b 、c 和实数λ，则：（1）a ·b = b ·a （2）（λa ）·b =λ（a ·b )= a ·（λb ）（3）（a + b ）·c =a ·c +b ·c《平面向量数量积的物理背景及其意义》学情分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
高中数学_数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计一、教材分析1.地位与作用本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。
本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。
2.学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。
学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。
所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。
二、教学目标1.知识与技能⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律；⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；2.过程与方法本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。
设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。
3.情感态度与价值观通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。
课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。
三、教学重难点重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的垂直关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量数量积的物理背景及其含义
一、情景导入、引出新课
提出问题：如何去求拉力做功？
二、合作探究，精讲点拨
探究一：数量积的概念
1.如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ，
那么力F 所做的功：W= |F | |S | cos α。
2.这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W （功）是 量，
②F （力）是 量，
③S （位移）是 量，
④α是 。
3.文字语言表述“功的计算公式”
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
4.明晰数量积的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为α，我们把数量 ︱a ︱·︱b b ︱cos α叫做a 与的数量积（或内积），记作：a ·，即：a ·= ︱a ︱·︱︱cos α
5.定义说明： ①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
6.影响数量积大小的因素有哪些？
和向量a 与b 的模有关，还和它们的夹角有关。
学生讨论，并完成下表：
例
探究二：平面向量数量积运算性质
探究三：研究数量积的几何意义
1.给出向量投影的概念：如图，我们把│b│cosα（│a│cos α）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，
记做：OB1=︱│b│︱cosα
注：投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为|b|；当θ = 180︒时投影为-|b|.
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影
︱b︱cosα的乘积。
探究四：探究数量积的运算性质
1.举例证明一个公式
2.课堂练习 ()().,31323
,4,
3.θ的夹角与求且已知变式：b a b a b a b a =+⋅-== 3.课堂练习 .
,,4,3的值求实数垂直与且不共线，
与变式：已知k b k a b k a b a b a -+==
三．课堂小结
四．布置作业
本节课从总体上说是一节概念课，从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念，能激发学生的学习兴趣．通过问题形式引导学生自主探究数量积的性质及运算律，培养了学生类比、从特殊到一般的归纳概括能力，通过练习使学生掌握了数量积的计算，通过知识技能、思维方法两个方面加以总结，使学生深化对数量积的认识，形成了良好的认知结构．
通过讨论影响数量积结果的因素，使学生理解数量积的结果是数量而不是向量．数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，让学生自己去探究、去发现结论，由师生共同完成证明．这样能更清楚地看到运算法则间的联系与区别,体会平面向量运算法则的重要性．
例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则.
整体认为学生能够完成学习任务，课堂气氛稍沉闷，也说明学生在思考．课标要求是：
通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量数量积。
通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
数学核心素养中的直观想象，数学抽象在本课时都能得到很好的提现，运用数学的语言表达现实世界，数学的符号描述现实世界的一个好的知识载体．
教材分析
本节课是在学生学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘向量等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，也是高中数学的一个重要概念,在数学、物理等学科中应用十分广泛，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容具有承上启下的重要作用．
本节内容教材共安排两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的坐标运算,本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念,在此基础上探究数量积的性质与运算律,使学生体会类比的思想方法,进一步培养学生的数学抽象和逻辑推理。
其中数量积的概念既是对物理背景的抽象,又是研究性质和运算律的基础同时也因为在这个概念中,既有长度又有角度,既有形又有数,是代数、几何与三
角的最佳结合点,不仅应用广泛,能够培养学生的直观想象的数学素养,使得数量积的概念成为本节课的核心概念,自然也是本节课教学的重点。
学生学习了任意角的三角函数、向量的概念和线性运算等知识，对向量的物理背景有了一定的了解.如：力、位移、速度的合成与分解，力做功的有关知识. 已经具备了一定的数学建模能力，能从简单的物理背景及生活背景抽象出数学概念.
基于数量积的知识特点及学生的认知规律，教法采用启发诱导和问题探究相结合的教学方法.波利亚说：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现”.因此，指导学生采用发现式学习法.在课堂上坚持以教师为主导，学生为主体，以抽象类比与问题探究为主线.应用多媒体和导学案辅助教学.
1.下列各式：
（1）()()()
b a b a b a ⋅⋅=⋅=⋅λλλ （2）b a b a ⋅=⋅ （3）()
c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ （4）()()
c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ 正确的个数为
2.已知：()()7,4,3,2-==b a ，则a 在b 上的投影为
3.下列命题中，真命题的个数有
（1）0,0=⋅=b a b a 有则对任意向量若
（2）0,0≠⋅≠b a b a ，有则对任一个非零向量若
（3）0,0,0==⋅≠b b a a 则若
（4）0,,0 中至少有一个为则若b a b a =⋅
（5）若⋅⋅≠ （6）
时成立当且仅当则若0,, =≠⋅=⋅a c b c a b a 4.()
b a b a b a b a b a ++⋅===,,,150,4,320求的夹角与已知θ．
5.A C C B C b a ABC ⋅===求中，已知三角形 ,60,8,50
．
本节课从已知的物理背景“拉力做功”入手，引入了平面向量的数量积这一概念,引导学生类比拉力与向量，功与实数的关系，抽象总结出数量积的概念．强调了夹角的概念，还强调了两个向量的数量积不是一个向量,而是一个数量,这也是它与之前的线性运算的区别．通过分析平面向量数量积的定义,体会平面向量的数量积的几何意义,从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了充分的认识．
通过本节课的教学,我努力让学生体会知识的来龙去脉，通过创设问题情景,建立数学模型,让学生经历数学知识的形成与发展过程,体会蕴含在其中的思想方法．本节课以培养学生的数学核心素养为目标，对于抽象的数学概念，关注概念的物理或生活背景,帮助学生克服机械记忆概念的学习方法．
教学过程中鼓励学生自主探究、合作学习，尽可能地让所有学生都能主动参与问题情境的分析与解决，体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径．
本节课注重对学生数学思维的训练，由已知到未知，由特殊到一般，进行观察归纳、类比推理,探求定义、性质和几何意义．在整个探求过程中,充分利用“旧知识”探求“新知识”,既使学生获得新知识，更能培养学生数学素养。
我感觉不足的有:
(1)提出的问题要具体、准确,而不模棱两可，课堂语言还需要进一步提炼．
(2)课堂气氛活跃度不够好，应充分发挥学生的积极性和主动性．
(3)教师及时点评加以总结,要重视思维的提升,提高学生的认识问题和解决问题的能力，引导学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．。