圆的四种方程

圆的四种方程

(1）圆的标准方程 222

()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0). (3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ

=+⎧⎨

=+⎩.

(4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). ８7. 圆系方程

(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是

1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．

（2）过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程

是22

()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．

(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定

的系数．

８8.点与圆的位置关系

点00(,)P x y 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若d = d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上；d r <⇔点P 在圆内.

８９.直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;

0=∆⇔⇔=相切r d ;

0>∆⇔⇔<相交r d ． 其中22B A C

Bb Aa d +++=．

９0．两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O 1，Ｏ2，半径分别为r １，r ２，d O O =21

条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；

条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;

条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；

条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;

无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .

91.圆的切线方程

(１)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．

①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条,其方程是 0000()()022

D x x

E y y x x y y

F ++++++=.

当00(,)x y 圆外时, 0000()()022

D x x

E y y x x y y

F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．

③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b,必有两条切线.

（2)已知圆222

x y r +=．

①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=；

②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±.