1.5(2) 判定两个三角形全等(二)
全等三角形判定二(ASA,AAS)(基础)知识讲解
全等三角形判定二(ASA ,AAS )(基础)【学习目标】1.理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”,判定方法4——“角角边”;能运用它们判定两个三角形全等.2.能把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】【高清课堂:379110 全等三角形判定二,知识点讲解】要点一、全等三角形判定3——“角边角”全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”). 要点诠释:如图,如果∠A =∠'A ,AB =''A B ,∠B =∠'B ,则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”) 要点诠释:由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图,在△ABC 和△ADE 中,如果DE ∥BC ,那么∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,又∠A =∠A ,但△ABC 和△ADE 不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择已知条件可选择的判定方法 一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS2.如何选择三角形证全等(1)可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等;(2)可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等;(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等;(4)如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“角边角”【高清课堂:379110 全等三角形判定二,例5】1、已知:如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.求证:AE=CF.。
1.5 三角形全等的判定(第2课时)
如图,直线l⊥线段AB于点O,且OA=OB,点C是直线l 上任意一点,说明CA=CB的理由.
l
C
A
O
B
总结:①分析题意时,应注意由条件所可能产生的结论,如:已 知垂直,可得90°的角.
②结合图形,善于找出图中“天然”的条件,如:对顶角、公共 边等.
几何语言:
∵ 点C在线段AB的垂直平分线上 , ∴ CA=CB.
浙教版八年级 上册
1.5 三角形全等的判定
(第2课时)
一、想一想
小红为了测出池塘两端A,B 的距离,她在地面上选择了点 O,D,C,使OA=OC,OB=OD, 且点A,O,C和点B,O,D都各 在一条直线上,小红量出 DC=18米,她就知道AB的距离 了, 你想知道为什么吗?
A D
B O
C
二、探索新知
1.看一看:
把两根木条的一端用螺栓固定在一起. B
(1)连结另两端所成的三角形能唯一确
定吗?
B'
(2)如果将两木条之间的夹角(即∠BAC)
大小固定,那么△ABC能唯一确定吗?
A
C
(3)从这个实验中,你得到什么结论?
2.画一画:
( 1 ) 用 量 角 器 和 刻 度 尺 画 △ ABC , 使 AB=4cm , BC=6cm, ∠ABC= 60°.
三、体验转化
B
A
例3 如图,AC与BD相交于
点O,已知 OA = OC, OB =
O
OD , 说 明 △ AOB≌△COD 的
C
理由.
D
线段垂直平分线的概念:
l
垂直于一条线段,并且平分这条线段
C
的直线叫做这条线段的垂直平分线,
三角形全等的判定(含例题)
1.判定两个三角形全等的基本事实:边边边(SSS)(1)基本事实:三边分别相等的两个三角形全等,简写成“__________”或“SSS”.(2)这个基本事实告诉我们:当三角形的三边确定后,其形状、大小也随之确定.这也是三角形具有稳定性的原因.2.判定两个三角形全等的基本事实:边角边(SAS)(1)基本事实:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“__________”.(2)此方法包含“边”和“角”两种元素,必须是两边夹一角才行,而不是两边及一边对角分别相等,一定要注意元素的“对应”关系.【注意】(1)此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一,应用时,可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”,即“SAS”,不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等.(2)在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件,必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件.3.判定两个三角形全等的基本事实:角边角(ASA)(1)基本事实:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“__________”.(2)用“ASA”来判定两个三角形全等,一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等,证明时要加强对夹边的认识.4.判定两个三角形全等的基本事实:角角边(AAS)(1)基本事实:两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“__________”.(2)这一结论很容易由“ASA”推得,将这一结论与“ASA”结合起来,即可得出:两个三角形如果具备两角和一条边对应相等,就可判定其全等.5.直角三角形全等的判定方法:斜边、直角边(HL)(1)基本事实:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“________”.(2)“HL ”定理是直角三角形所独有的,对于一般三角形不成立. 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下: HL SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩一直角边一斜边—已知两边找夹角—找另一边—边为角的对边—找任一角—找夹角的另一边—已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角—找边的对角—找夹边—已知两角找任一角的对边—K 知识参考答案:1.(1)边边边2.(1)SAS 3.(1)ASA4.(1)AAS5.(1)HLK —重点 三角形全等的判定K —难点 三角形全等的判定和性质的综合运用 K —易错三角形全等的判定一、用边边边(SSS )证明三角形全等明确要证明全等的两个三角形,在书写两个三角形全等时,“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致.【例1】如图,ABC △中,AB AC =,EB EC =,则由“SSS ”可判定A .ABD △≌ACD △B .ABE △≌ACE △△D.以上答案都不对C.BDE△≌CDE【答案】B二、用边角边(SAS)证明三角形全等此方法包含“边”和“角”两种元素,必须是两边夹一角才行,而不是两边及一边对角分别相等,一定要注意元素的“对应”关系.【例2】如图,AB=AC,添加下列条件,能用SAS判断△ABE≌△ACD的是A.∠B=∠C B.∠AEB=∠ADC C.AE=AD D.BE=DC【答案】C【解析】∵AB=AC(已知),∠A=∠A(公共角),∴只需要AE=AD,∴△ABE≌△ACD,故选C.三、用角边角、角角边(ASA、AAS)证明三角形全等1.不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”,这是因为:假设这条边是两角的夹边,则根据角边角可知正确;假设一个三角形的一边是两角的夹边,而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边,则两个三角形不一定全等.2.有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【例3】如图,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,可以证明△EDC≌△ABC,得ED=AB,因此,测得ED的长,就得出AB的长,判定△EDC≌△ABC的理由是A.SSS B.SASC.SAA D.ASA【答案】D【解析】∵BF⊥AB,DE⊥BD,∴∠ABC=∠BDE.又∵CD=BC,∠ACB=∠DCE,∴△EDC≌△ABC(ASA).故选D.【例4】如图,已知点B、C、F、E在同一直线上,∠A=∠D,BF=EC,AB∥DE,若∠1=80°,求∠BFD 的度数.四、用斜边、直角边(HL)证明直角三角形全等1.当证明两个直角三角形全等时,若不适合应用“HL”,也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明.2.在用一般方法证明时,因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件,故只需找另外两个条件即可,在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法.【例5】如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌△Rt△DCF,则还需要添加一个条件是A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC【答案】D五、全等三角形的判定和性质的综合寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发,结合已知条件,逐步寻求解决问题所需要的条件.同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘,如对顶角、公共角、公共边等.【例6】如图,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠A=50°,∠B=30°,则∠D的度数为A.50°B.30°C.80°D.100°【答案】B【解析】∵OA=OC,OD=OB,∠AOD=∠COB,∴△AOD≌△COB(SAS),∴∠D=∠B=30°.故选B.【例7】如图,已知∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC.求证:BC=AD.【解析】∵∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC,∴∠DAB=∠CBA.在△ADB与△BCA中,CAB DBA AB ABDAB CBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ADB≌△BCA(ASA),∴BC=AD.。
1.5三角形全等的条件(2)
线段垂直平分线 上的点到线段两 端的距离相等。 端的距离相等。
l C A O B
QC是 段 的 直 分 上 点 线 AB 垂 平 线 的 中垂线的性质) ∴CA = CB (中垂线的性质)
思维提升
补充练习: 补充练习:
如图(1), ①. 如图 , △ABC中,BC=10cm,AB的中垂线 中 , 的中垂线 交于BC于 , 的中垂线交 的中垂线交BC于 , 交于 于D,AC的中垂线交 于E,则△ADE的 的 周长是______. 周长是 A
B
DE
C
如图(2), △ABC中,DE垂直平分 垂直平分AC,AE=2cm, ② 如图 中 垂直平分 的周长是9cm,则△ABC的周长是 的周长是_______. △ABD的周长是 的周长是 则 的周长是 A E B D C
生活中的数学
如图,把两根钢条AAˊ,BBˊ的中点连在一起, 如图,把两根钢条AAˊ,BBˊ的中点连在一起,可以做 AAˊ 的中点连在一起 成一个测量工件内槽宽的卡钳。只要测量出AˊBˊ的长 成一个测量工件内槽宽的卡钳。只要测量出AˊBˊ的长 AˊBˊ 就知道内槽AB的宽。请说明理由。 就知道内槽AB的宽。请说明理由。 AB的宽
A D
O
B
C
猜一猜: 猜一猜:
你能解决吗? 你能解决吗?
是不是两条边和一个角对应相等, 是不是两条边和一个角对应相等,这样 的两个三角形一定全等吗? 的两个三角形一定全等吗? A 你能举例说明吗? 你能举例说明吗? 如图△ABC与 ABD中 如图△ABC与△ABD中, AB=AB,AC=AD, AB=AB,AC=AD, ∠B=∠B ∆ABC和∆ABD全等吗? 和 全等吗? 全等吗 注:这个角一定要是这两边所夹的角
1.5 三角形全等的判定八年级上册数学浙教版
如果可以用“角边角”判定两个三角形全等,那么也可以转化为用“角角边”判定两个三角形全等,反之亦然
3.三角形全等的条件的灵活选用
已知条件
作出图形
是否全等
形成结论
三条边
是
两边一角
两边夹角
是
两边对角
运用角平分线的性质定理求线段长的步骤
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点1:判定两个三角形全等,主要考查根据题中所给的条件选择适当的方法证明两个三角形全等.
选择题、填空题、解答题
考点2:线段垂直平分线性质定理的应用,主要考查在三角形中求线段长(或周长),或解决实际问题.
2.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
垂直平分线上的任意一点几何语言:如图所示, , ,点 是直线 上任意一点, .
典例5 如图,在 中, , 的垂直平分线分别交 , 于点 , , 的周长为 ,求线段 的长.
解: 为 的垂直平分线, , . , .
典例6 [2022·义乌期末] 如图,在 和 中,点 , , , 在同一直线上,已知 ,且 ,若利用“ ”证明 ,则需添加的条件是( )
A. B. C. D.
C
[解析] 需添加的条件是 .理由: , .在 和 中,∵ .
例题点拨
知识点7 两个三角形全等的判定定理:角角边( ) 重点
选择题、填空题
考点3:角平分线性质定理的应用,主要考查在图形中求图形的面积.
选择题、填空题
考点1 判定两个三角形全等
典例9 [2021·杭州中考改编] 在① ,② ,③ 这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.问题:如图,在 中, ,点 在 边上(不与点 ,点 重合),点 在 边上(不与点 ,点 重合),连结 , , 与 相交于点 .若____________,求证: .
11.5两个三角形全等的判定(二)-边角边课件(八年级下)
四、教学过程
11.5
两个三角形全等的条件 第二课时) (第二课时)
上节课我们讨论了以下问题: 上节课我们讨论了以下问题:
思考
如果两个 三角形有三组对应相等 的元素 三角形有三组对应 边或角) 那么会有哪几种 可能的情况? 哪几种可能的情况 ( 边或角 ) , 那么会有 哪几种 可能的情况 ? 这时,这两个三角形一定会全等吗? 这时,这两个三角形一定会全等吗?
温馨 提示
探究新知⑴ 探究新知⑴
把你画的三角形与同桌画的三角形 进行比较,你们的三角形全等吗? 进行比较,你们的三角形全等吗?
知识点2:三角形全等的判定公理二: 知识点2 三角形全等的判定公理二:
如果两个三角形有两边及其 分别对应相等, 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等, SAS( 边角边). 那么这两个三角形全等.简记为SAS 那么这两个三角形全等.简记为SAS(或边角边).
(角夹在两条边的中间,形成两边夹一角) 角夹在两条边的中间,形成两边夹一角)
∵
∠BAD=∠CAD(已推出) = (已推出) AD=AD(公共边) = (公共边) ∴△ABD≌△ACD(SAS) B ≌ ( )
D
C
∴∠B ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等) 全等三角形的对应角相等)
利用“SAS” 利用“SAS”和“全等三角形的对应角相等”这两条公理证 全等三角形的对应角相等” 明了“等腰三角形的两个底角相等”这条定理。 明了“等腰三角形的两个底角相等”这条定理。
B D C A
?
已知: 已知 如图, 例4: :如图, AB=CB ,∠ ABD= ,△ 全等吗? ∠ CBD ,△ ABD 和△ CBD 全等吗? 解: CBD中 在△ ABD 和△ CBD中
1.5三角形全等的判定(2)
∴ AB=AD,CB=CD
(线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)
在△ABC和△ADC中,
B
D
AB=AD
∵ CB=CD
C
AC=AC
∴△ABC ≌△ADC (SSS)
巩固运用
2.如图,在△ABC中,BC=10cm,AB的中垂线交于BC于点D,AC的中垂线
交BC于E,则△ADE的周长是_1_0_c_m__.
C
几线何段语垂言直:平分线上的点到线段两端的距离相等.
几∵何l⊥语A言B,:OA=OB,
A
O
B
∵∴ll是是线线段段AABB的的垂垂直直平平分分线线.,且点C是直线 l 上一点,
∴AC=BC.
巩固运用
1.已知:如图,AC是线段BD的垂直平分线.
求证:△ABC≌△ADC.
A
解:∵AC是线段BD的垂直平分线,
A
B
C
巩固运用
2.如图,AB⊥DC于点B,BD=BA,BE=BC.判断线段DE与AC的 关系,并说明理由.
A F
E
D
B
C
探索新知
例2 已知:如图,直线 l⊥AB于点O,且OA=OB.点C是直:垂直于一条线段,并且平分这条线段 的线直段线垂叫直做平这分条线线的段性的质垂定直理平:分线(中垂线).
A
B
DE
C
3. 如图,在△ABC中,DE垂直平分AC,若AE=2.5cm,△ABC的周长是
13cm,则△ABD的周长是_8__c_m__.
A
E
B
D
C
课堂小结
经验 方法 知识
拓展延伸
1.已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2. 求证:CE=BD.
三角形全等的判定(第2课时)八年级数学教师集体备课教案
八年级数学教师集体备课教案1.知道“角边角”“角角边”条件的内容,会用“角边角”“角角边”证明全等.2.能运用全等三角形的条件,解决三角形全等的问题.3.通过探究三角形全等条件的活动,体验用操作、归纳得出数学结论的过程,培养学生发现问题、解决问题的能力.一、情境导入,初步认识导入一:教师:观察下列一组图片(图1),同学们,小明踢球时不慎把一块三角形的玻璃打碎成两块,他要去玻璃店买一块大小相同的玻璃,那么:图1请问:(1)要不要两块都带去?(2)带哪块去呢?(3)带第②块,带去了三角形的几个元素?带第①块呢?导入二:1.教师:三角形中已知三个元素,有哪几种情况?学生:三个角、三条边、两边一角、两角一边.教师:到目前为止,可以作为判定两个三角形全等的方法有几种?各是什么?学生:三种,分别是:①定义;②SSS;③SAS.注意:AAA是不能判定两个三角形全等的.2.在三角形中,已知三个元素的四种情况,我们研究了三种,今天我们探究已知两角一边是否可以判断两个三角形全等.二.探究新知教师:三角形中已知两角一边有几种可能?学生:(1)两角和它们的夹边;(2)两角和其中一角的对边.活动一:三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4 cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?鼓励学生积极动手操作.教师:将你画的三角形剪下来,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?学生归纳:将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.活动二:我们刚才作的三角形是一个特殊三角形,随意画一个△ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB=A′B′呢?按下列步骤完成作图(如图2):图2(1)先用量角器量出∠A 与∠B 的度数,再用直尺量出边AB 的长; (2)画线段A ′B ′,使A ′B ′=AB ; (3)分别以A ′,B ′为顶点,A ′B ′为一边作∠DA ′B ′,∠EB ′A ′,使∠DA ′B ′=∠CAB ,∠EB ′A ′=∠CBA.(4)射线A ′D 与B ′E 交于一点,记为C ′,即得到△A ′B ′C ′. 教师:将△A ′B ′C ′剪下来,放在△ABC 上,你们发现了什么? 学生:两个三角形完全重合,即它们全等.学生总结:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”).思考:在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA ”推出“两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等”呢?探究:如图3,在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D ,∠B=∠E ,BC=EF ,△ABC 与△DEF 全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?图3证明:∵ ∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°, ∠A=∠D ,∠B=∠E ,∴ ∠A+∠B=∠D+∠E ,∴ ∠C=∠F.在△ABC 和△DEF 中,{∠B =∠E,BC =EF,∠C =∠F,∴ △ABC ≌△DEF(ASA).学生总结:两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”).三.新知应用例1 如图4,点D 在AB 上,点E 在AC 上,AB=AC ,∠B=∠C.求证:AD=A E.例2 如图5,AB ⊥BC,AD ⊥DC ,∠1=∠2,求证:AB=AD.四.课堂小结1.三角形全等的判定:ASA 和AAS.2.至此,除了定义外,我们有四种判定三角形全等的方法:(1)边边边(SSS);(2)边角边(SAS);(3)角边角(ASA);(4)角角边(AAS).证明两个三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径.。
三角形全等的判定
三角形全等的判定一、概述在几何学中,我们经常会遇到判定两个三角形是否全等的问题。
判定三角形全等的方法有多种,包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL等。
本文将介绍这些方法,并给出相应的判定条件和证明过程。
二、SSS法则SSS法则是指当两个三角形的三边分别相等时,这两个三角形全等。
具体地说,如果两个三角形的三边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF,并且满足AB = DE,AC = DF和BC = EF,则可判定这两个三角形全等。
三、SAS法则SAS法则是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时,这两个三角形全等。
具体地说,如果两个三角形的边和夹角分别为AB、AC、∠BAC和DE、DF、∠EDF,并且满足AB = DE,AC = DF和∠BAC = ∠EDF,则可判定这两个三角形全等。
四、ASA法则ASA法则是指当两个三角形的两个角和夹边分别相等时,这两个三角形全等。
具体地说,如果两个三角形的角和夹边分别为∠BAC,∠BCA,AC和∠EDF,∠EFD,DF,并且满足∠BAC = ∠EDF,∠BCA = ∠EFD和AC = DF,则可判定这两个三角形全等。
五、AAS法则AAS法则是指当两个三角形的两个角和一个非夹边的长度分别相等时,这两个三角形全等。
具体地说,如果两个三角形的两个角和非夹边的长度分别为∠BAC, ∠BCA, AB和∠EDF, ∠EFD, DE,并且满足∠BAC = ∠EDF, ∠BCA = ∠EFD和AB = DE,则可判定这两个三角形全等。
六、HL法则HL法则是指当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时,这两个三角形全等。
具体地说,如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别为AC, BC和DF, EF,并且满足AC = DF和BC = EF,则可判定这两个直角三角形全等。
七、其他注意事项•在判定三角形全等时,两个三角形的对应边和对应角必须一一对应。
•如果两个三角形的边和角都相等,则这两个三角形必定全等。
1.5三角形全等的判定(2)
1.5 三角形全等的判定(2)教学目标:1.探索并掌握判定两个三角形全等的基本事实:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)2.会运用“SAS”判定两个三角形全等。
3.掌握线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
重点:本节教学的重点是两个三角形全等的基本事实:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等难点:线段垂直平分线性质定理的证明涉及分类讨论,是本节教学的难点书中学道——学习程序:课前独立预习课本第4——5页,完成“书中学道”。
课内先组内群学,再进行概念重点小展示,由学生点评和打分,最后教师补充,时间15分钟。
航标1:理解两边及其夹角对应相等的两个三角形全等1、回顾与思考:复习SSS的文字及几何表述2、判断引发思考(1) 有三个角对应相等的两个三角形(2) 有三条边对应相等的两个三角形(3) 有两边一角对应相等的两个三角形3、动画演示4、探究合作用量角器和刻度尺画△ABC,AB=4cm,BC=6cm,∠ABC=60°将你画出的三角形和其他同学画的三角形进行比较,它们互相重合吗?由此,你得到了什么结论?全等三角形的判定公理2:___________________________________的两个三角形______________。
这个定理可简写成___________________________。
几何表述:航标2:理解线段中垂线的性质1.线段的垂直平分线的概念: 于一条线段,并且 这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.2.直线MN 是线段AB 的中垂线,垂足为O ,P 是直线L 上的任意一点,则PA 与PB 相等吗?______________3.在直线L 上能找到__________个点到线段AB 两个端点的 距离相等。
航标3:会运用“SAS ”的判定方法判定两个三角形是否全等1. 以2.5cm ,3.5cm 为三角形的两边,长度为2.5cm 的边所对的角为40°,情况又怎样?动手画一画,你发现了什么?结论:两边及一角对应相等,两个三角形不一定全等2、星期天,小刚在家玩蓝球,不小心将一块三角形玻璃摔坏了(如图所示)。
1.5全等三角形的判定(2)教学反思
1.5全等三角形的判定(2)教学反思这节课的教学目标是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法,经历探索“两边一角”三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,培养学生合作精神,通过画图、比较、验证,培养学生注重观察,善于思考,不断总结的良好思维习惯。
以下是我对这节课的教学反思。
1.首先从我个人感觉来说,我觉得我比较成功的有以下几点:(1)目标明确,重点突出;(2)方法得当,充分调动了学生的学习积极性;(3)习题由浅入深,设计合理;(4)关注每一位学生,知识落实好;(5)体现了新课程的理念。
2.从学生角度来说:(1)学生自己动手操作,由感性认识上升到理性认识,训练了思维能力;(2)在课堂上能合作交流,不只学习了知识,情感也得到了释放和发展;(5)对三角形全等的判定(SAS)掌握的好。
3.我个人觉得迷惑的地方:(1)有老师提出“动手操作应两种情况同时进行,使学生明白“两边夹角”正确和“两边一角”不正确的原因。
”这原本就是我一开始的设想,如果两种情况同时进行,的确能深化学生对“两边夹角”的直观认识,但我担心动手操作时间是不可预测,而这节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法,假如动手操作用的时间太长,那后面的例题与练习以及老师的课堂上个别辅导时间就比较少,这就是我后来把两种情况分开操作的原因。
(2)以前上课,老师在最后总喜欢出一道难题,让学生从上课到下课都停不下来。
由于我校数学教学采用新的教学模式已有几年了。
我发现,学生现在有一个很不好的习惯,就是只要一拿到试卷,整节课就只顾自己做。
而因为这是几何的第一节课,对于几何的证明题来说,书写的格式非常重要,其实我也准备了两道难题,可在给学生做个别辅导时,我发现学生对格式的要求很不注意,所以没有把难题打出来,我担心学生只顾去想难题,而忽略了一些最基本的问题,而这节课就是为以后几何证明格式书写打下坚实的基础,所以这节课我更注重学生格式的书写与题型的变式。
1.5三角形全等的判定2
1.5三角形全等的判定(2) 【基础部分】1. 的三角形,叫做全等三角形。
2. 已知在ΔABC 中,∠B=70°, AB=3厘米,BC=4厘米,根据上述条件,我们能画出一个三角形吗?如果能,我们应该如何操作?(1)在纸上画出满足上述条件的ΔABC ;(2)与你身边的同学对一对,你发现了什么?判定公理 如果 ,那么 ,简记为:说明:(1)这个判定方法可以简单的用“边角边”或“SAS ”来表示。
(2)用符号表示:在ΔABC 和ΔDEF 中,⎪⎩⎪⎨⎧ ∴ΔABC ≌ΔDEF(SAS) 注意思考:“边角边”判定公里可以换成“边边角”吗?如果不能,你能不能画一对三角形,两条边和一个角对应相等,但是又不全等3.如图所示,D 是BC 的中点,AD ⊥BC ,求证AB=AC ;由此我们可以得到结论:B C A D F D【巩固练习】1如图,OA=OC ,OD=OB.求证:∠A=∠C.2如图,已知∠A=∠B , AD=BC ,AE=BF ,求证:∠ADF=∠BCE3、如图所示,在△ABC 中,已知AB=AC ,延长AB 到D ,使BD=AB ,延长AC 到E ,使CE=AC ,连结CD 、BE ,求证:CD=BE.4、如图,已知点A 、B 、C 、D 在同一条直线上,AB=CD ,∠D=∠ECA ,EC=FD ,求证:AE=BF .【拓展应用】5如图,要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A 、B 两点间的距离.请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案.(1)画出测量图案;(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);(3)计算AB 的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示).C B DA O。
1.5三角形全等的判定(2)
A
4
A
4
B6
C
B
6
C
由此,你得到了什么结论?
判定三角形全等的方法:
有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等 (简写成“边角边”或“SAS”)
➢注 意
这个角一定要是两条边的夹角
A
在 A BC 和 DE F 中
AB DE
B
C
ABC DEF
D
BC EF
ABC DEF(SAS) E
F
(已知)
AOB COD (SAS) D
B O
C
课堂练习:
1、如图, AB⊥DC于点B, 且BD=BA, BE=BC, 试说明DE=AC.
A
E
D
B
C
课堂练习:
2、已知: 如图, 点E在AB上, AC=AD, ∠CAB=∠DAB, 说明△BCE ≌ △BDE的理由.
C
E
A
B
D
3、如图,直线 l⊥AB,垂足为O且OA=OB,点C是直 线 l 上任意一点,说明CA=CB的理由。
例题解析:
例1. 如图AC与BD相交于点O.已知OA=OC,OB=
OD.说明 AOB COD 的理由.
分析:在AOB和COD中,已有哪些已知条件?
OA=OC ,OB=OD 你还能找到什么条件?
对顶角AOB COD
解;在AOD(对顶角相等)
OB OD
A
B
D
C
课堂小结:
1、判定两个三角形全等的方法有哪几种? 2、线段垂直平分线的定义和性质定理。
在实际生活中, 我们面对不能直接测量物体的 宽度或距离时. 可以把它们转化为数学问题,通过 三角形全等,再利用对应边相等来解决!
三角形全等的判定(2)——SAS
BD=BD
(公共边)
∴ △ABD ≌ △CBD(SAS)
A
B
D
C
精讲
3.如图,在四边形ABCD中AB=CD,∠ABD= ∠BDC,则AD=BC,
请说明理由。
解:在△ABD和△CDB中
D
C
AB=CD (已知)
∠ABD= ∠BDC (已知)
A
B
BD=DB (公共边)
∴ △ABD ≌ △CDB(SAS)
A 6-1.如图,AC=BD,BC=AD,求证:∠A=∠B
D B
课后回顾
课后回顾
01
02
03
谢谢~
∴ AD= BC
导学案P26
变式1;例2;
精讲
4.如图:己知AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、F都在直线AC上,
试说明DE∥BF。
A
D
E F
B
C
精讲
5.如图,AC=BD,∠1= ∠2,求证:BC=AD
5-1.如图,AC=BD,BC=AD,求证:∠1= ∠2
C
1 A
D 2 B
精讲
6.如图,AC=BD,BC=AD,求证:∠C=∠D C
D
A
BC
精讲
例1.在下列推理中填写需要补充的条件,使结论成立:
(1)如图,在△AEB和△DEC中
AE=DE(已知) ∠__A_E_B__ = _∠__D_E_C___( 对顶角相等 )
A E
BE=CE(已知)
B
∴ △AEB≌△DEC (SAS )
D C
精讲
(2)如图,在△AEC和△ADB中,已知AE=AD,AC=AB,请说明△AEC ≌ △ADB的理由。
有复习资料-直角三角形全等判定(基础)知识讲解
直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”,“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边,直角边定理在两个直角三角形中,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).这个判定方法是直角三角形所独有的,一般三角形不具备.要点诠释:(1)“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等,由于其中含有直角这个特殊条件,所以三角形的形状和大小就确定了.(2)判定两个直角三角形全等的方法共有5种:SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等,首先考虑用斜边、直角边定理,再考虑用一般三角形全等的证明方法.(3)应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件,书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知:如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC.求证:(1)AB=CD:(2)AD∥BC.【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB,再由内错角相等证两直线平行.【答案及解析】证明:(1)∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABD=∠CDB=90°在Rt△ABD 和Rt△CDB中,∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)∴AB=CD(全等三角形对应边相等)(2)由∠ADB=∠CBD∴AD∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等,首先考虑用斜边、直角边定理,再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知:如图,AE⊥AB,BC⊥AB,AE=AB,ED=AC.求证:ED⊥AC.【答案】证明:∵AE⊥AB,BC⊥AB,∴∠DAE=∠CBA=90°在Rt△DAE 及Rt△CBA中,∴Rt△DAE≌Rt△CBA (HL)∴∠E=∠CAB∵∠CAB+∠EAF=90°,∴∠E+∠EAF=90°,即∠AFE=90°即ED⊥AC.2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“×”,全等的注明理由:(1)一个锐角和这个角的对边对应相等;()(2)一个锐角和斜边对应相等;()(3)两直角边对应相等;()(4)一条直角边和斜边对应相等.()【答案】(1)全等,“AAS”;(2)全等,“AAS”;(3)全等,“SAS”;(4)全等,“HL”.【解析】理解题意,画出图形,根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中,正确的画“√”;错误的画“×”,并举出反例画出图形.(1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.()(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.()(3)有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.()【答案】(1)√;(2)×;在△ABC和△DBC中,AB=DB,AE和DF是其中一边上的高,AE=DF(3)×. 在△ABC和△ABD中,AB=AB,AD=AC,AE为第三边上的高,3、已知:如图,AC =BD ,AD ⊥AC ,BC ⊥BD .求证:AD =BC ;【答案及解析】证明:连接DC∵AD ⊥AC ,BC ⊥BD∴∠DAC =∠CBD =90°在Rt △ADC 及Rt △BCD 中,∴Rt △ADC ≌Rt △BCD (HL )∴AD =BC .(全等三角形对应边相等)【变式】已知,如图,AC 、BD 相交于O ,AC =BD ,∠C =∠D =90° .求证:OC =OD.【答案】∵∠C =∠D =90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形 在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BABD AC=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD =BC在△AOD 和△BOC 中∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD =OC .4、如图,将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上,且过A ,B 两点分别作直线l 的垂线,垂足分别为D ,E ,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.【答案及解析】解:全等三角形为:△ACD ≌△CBE.证明:由题意知∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE在△ACD 及△CBE 中,∴△ACD ≌△CBE (AAS ).【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .注意:AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参及,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1.下列说法正确的是()A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.斜边相等的两个直角三角形全等C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等D.一边长相等的两等腰直角三角形全等2.如图,AB=AC,AD⊥ BC于D,E、F为AD上的点,则图中共有()对全等三角形.A.3 B.4 C.5 D.63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt△ABC及Rt△'''A B C中, ∠C =∠'C= 90, A=∠'B, AB =''A B, 那么下列结论中正确的是( )A. AC =''B C D. ∠A C B.BC =''B C C. AC =''A =∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是()A.形状相同B.周长相等C.面积相等D.全等6. 在两个直角三角形中,若有一对角对应相等,一对边对应相等,则两个直角三角形()A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7.如图,BE,CD是△ABC的高,且BD=EC,判定△BCD≌△CBE 的依据是“______”.8. 已知,如图,∠A=∠D=90°,BE=CF,AC=DE,则△ABC ≌_______.9. 如图,BA∥DC,∠A=90°,AB=CE,BC=ED,则AC=_________.10. 如图,已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,EC⊥AC,AC=EC,若DE=2,AB=4,则DB=______.11.有两个长度相同的滑梯,即BC=EF,左边滑梯的高度AC及右边滑梯的水平方向的长度DF 相等,则∠ABC +∠DFE =________.12. 如图,已知AD 是△ABC 的高,E 为AC 上一点,BE 交AD 于F ,且BF =AC ,FD =CD.则∠BAD =_______.三、解答题13. 如图,工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔,要使孔口从墙壁对面的B 点处打开,墙壁厚是35cm ,B 点及O 点的铅直距离AB 长是20cm ,工人师傅在旁边墙上及AO 水平的线上截取OC =35cm ,画CD ⊥OC ,使CD =20cm ,连接OD ,然后沿着DO 的方向打孔,结果钻头正好从B 点处打出,这是什么道理呢?请你说出理由.13.【解析】解:在Rt △AOB 及Rt △COD 中,(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等)∴Rt △AOB ≌Rt △COD (ASA ) ∴AB =CD =20cm14. 如图,已知AB ⊥BC 于B ,EF ⊥AC 于G ,DF ⊥BC 于D ,BC =DF. 求证:AC =EF.证明:由EF ⊥AC 于G ,DF ⊥BC 于D ,AC 和DF 相交,可得: ∠F +∠FED =∠C +∠FED =90°即 ∠C =∠F (同角或等角的余角相等),在Rt △ABC 及Rt △EDF 中 B EDF BC DFC F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF (ASA ),∴AC =EF (全等三角形的对应边相等).15. 如图,已知AB =AC ,AE =AF ,AE ⊥EC ,AF ⊥BF ,垂足分别是点E 、F.求证:∠1=∠2.证明:∵AE⊥EC,AF⊥BF,∴△AEC、△AFB为直角三角形在Rt△AEC及Rt△AFB中∴Rt△AEC≌Rt△AFB(HL)∴∠EAC=∠FAB∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC,即∠1=∠2.【答案及解析】一、选择题1. 【答案】C;【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°,可由AAS定理证明全等.2. 【答案】D;【解析】△ABD≌△ACD;△ABF≌△ACF;△ABE≌△ACE;△EBF ≌△ECF;△EBD≌△ECD;△FBD≌△FCD.3. 【答案】D;4. 【答案】C;【解析】注意看清对应顶点,A对应'B,B对应'A.5. 【答案】C;【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C;【解析】如果这对角不是直角,那么全等,如果这对角是直角,那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL;8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD;【解析】通过HL证Rt△ABC≌Rt△CDE.10.【答案】6;【解析】DB=DC+CB=AB+ED=4+2=6;11.【答案】90°;【解析】通过HL证Rt△ABC≌Rt△DEF,∠BCA=∠DFE. 12.【答案】45°;【解析】证△ADC及△BDF全等,AD=BD,△ABD为等腰直角三角形.。
1.5.2三角形全等的判定
CB AC 'B 'A 'C B A课题:1.5 三角形全等的判定(2)导学案班级 _______ 组别__________ 姓名 学号 评价 ______ 一、学习目标:1、探索并掌握判定两个三角形全等的基本事实:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等“SAS ”2、会运用“SAS ”判定两个三角形全等3、掌握线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
二、自主导学:1、回忆:怎样的两个三角形是全等三角形?全等三角形的性质是什么?三角形全等的判定(一)的内容是什么?2、探究:(1)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等? 已知:△ABC求作:'''A B C ∆,使''A B AB =,''B C BC =,'A A ∠=∠总结:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 (可以简写成“ ”或“ ”) 用数学语言表述全等三角形判定(二) 在△ABC 和'''A B C ∆中,AB=______ ∵ ∠B=∠______ BC=______∴△ABC ≌ ( )(2)两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等?(请通过图形加以说明)3、中垂线定义:___________________________________________叫做这条线段的垂直平分线。
如图,直线l 是线段AB 的垂直平分线,若P 是l 上任意一点,则有______=_______ 总结:线段的垂直平分线的性质定理如下:___________________________________________________ 你能简要说明该性质成立的理由吗?三、探究展示:lABABCDEDC BA21DC BA1、已知:如图,AB=AC ,点D,E 分别在AC,AB 上,且AD=AE 。
求证:BD=CE例2 如图,AC=BD ,∠1= ∠2,求证:BC=AD.变式:如图,AC=BD,BC=AD,求证: (1)∠C=∠D (2)∠A=∠B四、当堂检测1、已知:如图,AC 是线段BD 的垂直平分线。
初中数学八上 1.5.2 ASA及AAS的判定 课件
SAS 应 相等的两个三角形全等.
角边角 有两角和它们的夹边对 ASA 应
收获与感悟
还有没有其它证明三角形全等的方法?
应用
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了, 如图,你能制作一张与原来同样大小的新教具 能恢复原来三角形的原貌吗?
怎么办?可以帮 帮我吗?
如图,已知AB=BC,AB⊥BC,AD ⊥DE于D, CE ⊥DE于E,求证:DB=EC
A
C
l
2
D
B
E
谢谢合作, 再见!
对于攀登者来说,失掉往昔的足迹并不可惜,迷失了继续前时的方向却很危险。 学会让自己安静,把思维沉浸下来,慢慢降低对事物的欲望。把自我经常归零,每天都是新的起点,没有年龄的限制,只要你对事物的欲望适 当的降低,会赢得更多的求胜机会。 成功的秘密在于始终如一地忠于目标。 有梦就去追,没死就别停。 永远不要浪费你的一分一秒时间去想任何你不喜欢的人。 愚者用肉体监视心灵,智者用心灵监视肉体。 经验是由痛苦中粹取出来的。 我们最值得自豪的不在于从不跌倒,而在于每次跌倒之后都爬起来。 不要在你的智慧中夹杂着傲慢。不要使你的谦虚心缺乏智慧。 你要做多大的事情,就该承受多大的压力。 一个人除非自己有信心,否则无法带给别人信心。
身体健康, 在没有明智的家庭教育的地方,父母对孩子的爱只能使孩子变成畸形发展。这种变态的爱有许多种,其中主要的有”1娇纵的爱;2专横的爱;3
赎买式的爱。
学习进步!
C
F
A
B
D
E
角边角公理:两角和它们的夹边对应相等 的两个三角形全等.(ASA)
探究与发现
几何语言:
C
F
A
B
D
E
在△ ABC和△DEF中