偏微分实验报告五-张伟-20122058
偏微分方程稳定性判断 实验报告
2
方法
前向差分法 注:用有限差分方法来求偏微分方程的近似解 ,想法是对自变量建立网格并把偏微分方程离散化 ,把连续问题 变成有限多个方程的离散化问题.若这个偏微分方程是线性的,那么它的离散方程也是线性的.
实验 2
云南财经大学实验报告
系 （院）：统数学院 专 业：信息与计算科学 班 级：信计 07-1 学 号：200705001507 姓 名：邹凌波 课程名称：偏微分方程数值解法 实验时间：2010 年 5 月 24 日 指导教师：陈龙伟
云南财经大学教务处制
填表说明
1．实验名称 要用最简练的语言反映实验的内容。 2．实验目的 目的要明确，要抓住重点，可以从理论和实践两个方面考虑。在
τ
2h
程序:
附录 1
实验 内容 （算 法、
程 序、 步骤 和方 法）
function u=bjdlfc(xa,xb,ya,yb,M,N) %xa、xb 为 x 方向的起始与终止值;ya、yb 为 t 方向的起始与终止值; %M、N 分别为空间步数与时间步数. c=1;%c 为差分方程中的参数 h=(xb-xa)/M;m=M-1;n=N;%h、k 分别为空间与时间步长;k=(yb-ya)/N; k=(yb-ya)/N; sigma=c*k/(2*h);%网格比 a=diag(ones(m,1))+diag(-sigma*ones(m-1,1),1); a=a+diag(sigma*ones(m-1,1),-1);%定义矩阵 A lside=l(ya+(0:n)*k);rside=r(ya+(0:n)*k); u(:,1)=f(xa+(1:m)*h)';%初始条件 for j=1:n
偏微分实验
微分方程数值解实验指导（一）实验一: 二阶椭圆型方程差分格式的程序实现1. 实验内容用五点差分格式求解Poisson 方程边值问题⎩⎨⎧∂∈=∈=-=∆,),(,0,),(,:2G y x u G y x f u （1） 其中}1|||,||),{(<=y x y x D 。
（1）用正方形网格)(h k =列出相应的差分方程。
（2）对161,81,51,21=h 分别求出数值解，观察数值解的情况，分析计算结果。
（最好画出数值解的图形）注意：在区域G 的边界上为齐次Dirichlet 条件，在这类边界上不需要给出差分格式。
2. 实验目的及要求按照给定的差分格式编程实现求出数值解；结合格式的相容性和收敛性条件简单分析计算结果。
要求在实验课上算出数值结果；按要求格式写出实验报告；下次实验课前交本次实验的实验报告。
3. 实验原理与实验过程: 以下是求解问题的步骤第一步: 对求解区域作网格剖分。
按照要求得网格剖分图如下（图1为21=h 的情况，图2为51=h 的情况）-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81区域划分示意图图1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81区域划分示意图图2第二步: 差分法的目的是：求边值问题的解),(y x u 在节点),(j i y x 的近似值ij u （m j n i ,...,2,1,,2,1==， ）。
为此，需要构造逼近微分方程定解问题的差分格式。
采用五点差分格式，取定x 轴和y 轴方向的步长相等，即h=k ，作两族与坐标轴平行的直线：ih x i +-=1，i=0,1,…,2/h,jh y j +-=1，j=0,1,…,2/h,两族直线的交点为网点（或节点）。
位于G 内的节点为内点，位于G 的边界上的节点为界点。
微积分实验报告
实验名称：微积分基本定理的应用实验目的：1. 理解微积分基本定理的概念和意义。
2. 掌握利用微积分基本定理计算定积分的方法。
3. 通过实验加深对微积分基本定理的理解和应用。
实验时间：2021年10月25日实验地点：教室实验器材：1. 微积分教材2. 计算器3. 笔记本实验内容：一、实验原理微积分基本定理是微积分学中的一个重要定理，它建立了微分和积分之间的内在联系。
该定理表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，那么它在该区间上的定积分等于函数在区间端点的原函数值之差。
二、实验步骤1. 阅读教材，了解微积分基本定理的概念和证明过程。
2. 选择一个具体的函数，例如f(x) = x^2，在区间[0, 1]上计算其定积分。
3. 利用微积分基本定理，找到函数f(x)在区间[0, 1]上的一个原函数，例如F(x) = (1/3)x^3。
4. 根据微积分基本定理，计算定积分I = F(1) - F(0)。
5. 使用计算器验证计算结果，并与理论值进行比较。
6. 改变函数和区间，重复上述步骤，加深对微积分基本定理的理解。
三、实验结果与分析1. 对于函数f(x) = x^2，在区间[0, 1]上的定积分I为：I = F(1) - F(0) = (1/3)(1)^3 - (1/3)(0)^3 = 1/3计算器验证结果也为1/3，与理论值一致。
2. 对于函数f(x) = e^x，在区间[0, 1]上的定积分I为：I = F(1) - F(0) = e - 1计算器验证结果为e - 1，与理论值一致。
3. 通过改变函数和区间，可以发现微积分基本定理在不同情况下均成立，证明了其普适性。
四、实验结论通过本次实验，我们成功地验证了微积分基本定理的正确性，并掌握了利用该定理计算定积分的方法。
实验结果表明，微积分基本定理在微积分学中具有重要的地位和应用价值。
五、实验心得1. 微积分基本定理是微积分学的基础，理解和掌握该定理对于学习后续课程具有重要意义。
偏微分方程数值解上机实验报告(matlab做的)
偏微分方程数值解法上机报告（一）一、实验题目：用Ritz-Galerkin 方法求解边值问题2u '',01(0)0,(1)1u x x u u ⎧-+=<<⎨==⎩的第n 次近似()n u x ，基函数()sin(),1,2,...,i x i x i n ϕπ==.二、实验目的：通过本次上机实验，理解求解初值问题的变分问题的最重要的近似解法——Ritz-Galerkin 方法，以便为学习有限元法打好基础。
此外，要熟悉用Matlab 解决数学问题的基本编程方法，提高运用计算机解决问题的能力。
三、实验代码：n=5;syms x;for i=1:np(i)=sin(i*pi*x);q(i)=-i^2*pi^2*sin(i*pi*x);endfor i=1:nb(i)=2*int(p(i),0,1);for j=1:nA(i,j)=int((-q(j)+p(j))*p(i),0,1);endendt=inv(A)*b'四、运行结果：t=2251799813685248/3059521645650671/pi281474976710656/9481460623939047/pi281474976710656/43582901062631895/pi五、总结：通过本次上机，我了解了Ritz-Galerkin 方程 n j j p f cj p i p a n i i ,...,2,1)),(,())(),((1==∑=，明白了用Ritz-Galerkin 方法解决边值问题的变分问题的基本原理，并接近一步提高自己的编程动手能力，受益匪浅。
偏微分方程数值解法上机报告（二）一、 实验题目：用线性元求下列边值问题的数值解2''2sin ,0142(0)0,'(1)0y y x x y y ππ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩二、 实验目的：通过本次上机，熟悉和掌握用Galerkin 法观点出发导出的求解处置问题数值解的线性有限元法。
偏微分方程数值解实验报告
（2） u
uh H 1 、 u
uh
L2
、
max
0 x1
u - uh
2、用线性元求解下列问题的数值解：
u = -2,-1< x, y < 1, u(x,-1)= u(x,1)= 0,-1< x < 1, ux(-1, y)= 1,ux = 0,-1< y < 1.
精确到小数点后第六位，并画出解曲面。
偏微分实验
微分方程数值解实验指导（一）实验一: 二阶椭圆型方程差分格式的程序实现1. 实验内容用五点差分格式求解Poisson 方程边值问题⎩⎨⎧∂∈=∈=-=∆,),(,0,),(,:2G y x u G y x f u （1） 其中}1|||,||),{(<=y x y x D 。
（1）用正方形网格)(h k =列出相应的差分方程。
（2）对161,81,51,21=h 分别求出数值解，观察数值解的情况，分析计算结果。
（最好画出数值解的图形）注意：在区域G 的边界上为齐次Dirichlet 条件，在这类边界上不需要给出差分格式。
2. 实验目的及要求按照给定的差分格式编程实现求出数值解；结合格式的相容性和收敛性条件简单分析计算结果。
要求在实验课上算出数值结果；按要求格式写出实验报告；下次实验课前交本次实验的实验报告。
3. 实验原理与实验过程: 以下是求解问题的步骤第一步: 对求解区域作网格剖分。
按照要求得网格剖分图如下（图1为21=h 的情况，图2为51=h 的情况）-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81区域划分示意图图1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81区域划分示意图图2第二步: 差分法的目的是：求边值问题的解),(y x u 在节点),(j i y x 的近似值ij u （m j n i ,...,2,1,,2,1==， ）。
为此，需要构造逼近微分方程定解问题的差分格式。
采用五点差分格式，取定x 轴和y 轴方向的步长相等，即h=k ，作两族与坐标轴平行的直线：ih x i +-=1，i=0,1,…,2/h,jh y j +-=1，j=0,1,…,2/h,两族直线的交点为网点（或节点）。
位于G 内的节点为内点，位于G 的边界上的节点为界点。
偏微分实验
姓名 董珊珊 实验项目 学号
实验 3
201000820135
最简差分格式
日期
2014/1/10
指导教师 吴亭亭
一、上机实验的问题和要求（需求分析） ：
பைடு நூலகம்
目的与要求： 掌握向前向后差分格式的程序实现 掌握分析算法误差的方法 实验内容： (i) 分别用向前和向后差分格式计算一维抛物问题 ut uxx f ,求解区域为 [0,1]*[0,T],其中 T=1,精确解
二、程序设计的基本思想，原理和算法描述： 1.向前查分方法 步长为1/10 clear clc close all l=1; N=10; h=l/N;
M=200; T=1; t=T/M; U0=zeros(1,N+1); U1=zeros(1,N+1); U0(1)=0; U0(N+1)=0; U=zeros(1,N+1); x=0:h:1; U=exp(-1)*sin(pi*x); for n=2:N U0(n)=sin((n-1)*h*pi); end for k=0:M-1 for n=2:N f(n)=(pi^2-1)*exp(-k*t)*sin((n-1)*h*pi); U1(n)=(t/(h^2))*U0(n+1)-(2*t/(h^2)-1)*U0(n)+(t/(h^2))*U0(n-1)+t*f(n ); end U0=U1; end e=U(2:N+1)-U0(2:N+1);%%寻找最大误差 mmax=abs(e(1)); for i=1:N-1 mmax=max(abs(e(i)),mmax); end mmax %%L2误差 L2=e*e'; L2=sqrt(L2*h); zL2=L2; zL2 plot(x,U0,'r*',x,U,'g'); title('步长为1/10'); 结果如下：
偏微分实验报告
s=a*k/h;
[X,T]=meshgrid(x,t);
Z=zeros(n,m);
U=zeros(n,m);
for i=2:m-1
U(1,i)=feval(fx1,x(i));
U(2,i)=U(1,i)+k*feval(fx2,x(i))+k^2/2*(a^2/h^2*...
要求：
1．写出数值求解格式；
2．给出所用程序代码；
function varargout=wang(varargin)
a=1;T=1;b=;h=1/5;k=1/20;
f=inline('0','x','t');
fx1=inline('exp(x)');
fx2=inline('exp(x)');
ft1=inline('exp(t)');
for i=n-1:-1:1
x1(i)=Y(i)-B1(i)*x1(i+1);
end
x=x1;
function z=f0(x,t)
z=exp(x+t)
3、给出实验结果。
xtz
00
实验总结：本次实验我学会了利用Crank-Nicolson差分格式计算抛物型方程定解问题，掌握了用Matlab为其编写程序。
U(i,1)=feval(fx,x(i));
end
for j=2:n
U(1,j)=feval(ft1,t(j));
U(m,j)=feval(ft2,t(j));
end
A=-r/2*ones(1,m-2);
B=(1+r)*ones(1,m-2);
微分方程数值解法实验报告
微分方程数值解法实验报告实验题目：数值解微分方程的实验研究引言：微分方程是描述自然现象、科学问题和工程问题中变量之间的关系的重要数学工具。
然而，大部分微分方程很难找到解析解，因此需要使用数值方法来近似求解。
本实验旨在研究数值解微分方程的方法和工具，并通过实验验证其有效性和准确性。
实验步骤：1.了解微分方程的基本概念和求解方法，包括欧拉法、改进的欧拉法和龙格-库塔法。
2. 配置实验环境，准备实验所需的工具和软件，如Python编程语言和相关数值计算库。
3.选择一种微分方程进行研究和求解，可以是一阶、二阶或更高阶的微分方程。
4.使用欧拉法、改进的欧拉法和龙格-库塔法分别求解选定的微分方程，并比较其结果的准确性和稳定性。
5.计算数值解与解析解之间的误差，并进行误差分析和讨论。
6.对比不同数值解法的性能，包括计算时间和计算精度。
7.结果展示和总结，根据实验结果对数值解方法进行评价和选取。
实验结果：以一阶线性常微分方程为例，我们选择经典的“衰减振荡”问题进行实验研究。
该问题的微分方程形式为：dy/dt = -λy其中，λ为正实数。
我们首先使用Python编程语言实现了欧拉法、改进的欧拉法和龙格-库塔法。
进一步，我们选择了λ=0.5和初始条件y(0)=1，使用这三种数值解法求解该微分方程，并比较结果的准确性。
通过对比数值解和解析解可以发现，在短时间内，欧拉法、改进的欧拉法和龙格-库塔法的结果与解析解非常接近。
但随着时间的增加，欧拉法的结果开始偏离解析解，而改进的欧拉法和龙格-库塔法仍然能够提供准确的近似解。
这是因为欧拉法采用线性逼近的方式，误差随着步长的增加而累积，而改进的欧拉法和龙格-库塔法采用更高阶的逼近方式，可以减小误差。
为了更直观地比较不同方法的性能，我们还计算了它们的计算时间。
实验结果显示，欧拉法计算时间最短，而龙格-库塔法计算时间最长。
这表明在计算时间要求较高的情况下，可以选择欧拉法作为数值解方法。
偏微分中心差分格式实验报告(含matlab程序)
二阶常微分方程的中心差分求解学校:中国石油大学（华东）理学院 姓名：张道德一、 实验目的1、 构造二阶常微分边值问题:22,(),(),d uLu qu f a x bdx u a u b αβ⎧=-+=<<⎪⎨⎪==⎩其中,q f 为[,]a b 上的连续函数，0;,q αβ≥为给定常数的中心差分格式；2、 根据中心差分格式求解出特定例题的数值解，并与该例题的精确解进行比较。
二、 中心差分格式的构造将区间[,]a b 分成N 等分，分点为： 0,1,2,,i x a ih i N =+=()/h b a N =-。
于是我们得到区间的一个网络剖分。
称为网格的节点称为步长。
得中心差分格式为：11202,1,2,,1,,.i i i h i i i i N u u u L u q u f i N h u u αβ+--+⎧=-+==-⎪⎨⎪==⎩其中式中(),()i i i i q q x f f x ==。
三、 差分格式求解根据中心差分格式可以构造出：1112222222233322212211210012101201001200N N N u f q h h u f q h h h u f q h hh q u f h h ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦可以看出系数矩阵为三对角矩阵，而对于系数矩阵为三对角矩阵的方程组可以用“追赶法”求解，则可以得出二阶常微分方程问题的数值解。
四、 举例求解我们选取的二阶常微分方程边值问题为：222242,01(0)1,(1),x d u Lu x u e x dx u u e ⎧=-+=-<<⎪⎨⎪==⎩其精确解为：2x u e=。
则我们具体求解出的解如下：1、 当10N =时，数值解与精确解为： (1) 表1、10N =时，数值解与精确解统计表x 的值 0.10.20.30.40.5 u 的数值解 1.011069 1.042744 1.096904 1.176896 1.28789 u 的精确解 1.01005 1.040811 1.094174 1.173511 1.284025 两者之差 0.001019 0.001934 0.002729 0.003385 0.003864 x 的值 0.60.70.80.9u 的数值解 1.437443 1.636363 1.900001 2.250209 u 的精确解 1.433329 1.632316 1.896481 2.247908 两者之差0.0041140.0040460.003520.002301将两者绘于同一图中如下：(2)结论：可以看出数值解与精确解之间的误差很小， 在 210-这样一个数量级上。
偏微分实验资料报告材料1
for j=1:n
U(1,j)=feval(g1y,y(j));
U(m,j)=feval(g2y,y(j));
end
for i=2:m-1
for j=2:n-1
qu=f0(x(i),y(j));
Z(i,j)=abs(qu-U(i,j));
end
end
function z=f0(x,y)
z=exp(x)*sin(pi*y)
实验地点及时间
机房127 2012年10月31日
实验容：
利用Crank-Nicolson差分格式计算抛物型方程定解问题
实验习题：
用Crank-Nicolson差分格式求解抛物型方程定解问题：
该问题的精确解为：
要求：
1、写出数值求解格式；
2、给出所用程序代码；
function varargout=liu(varargin)
g1x=inline('0');
g2x=inline('0');
g1y=inline('sin(pi*y)');
g2y=inline('exp(2)*sin(pi*y)');
[X,Y,Z]=chfenmethed(f,g1x,g2x,g1y,g2y,a,b,c,d,h1,h2);
function [X,Y,Z]=chfenmethed(f,g1x,g2x,g1y,g2y,a,b,c,d,h1,h2)
f1(m-2)=f1(m-2)+r/2*U(m,j);
U(2:m-1,j)=zgf(A,B,C,f1);
Z(2:m-1,j)=abs(U(2:m-1,j)-UU');
end
图像处理偏微分方法实验报告
图像处理偏微分方法实验报告偏微分方程在图像处理领域的研究开始于六、七十年代，从最初的去噪角度和图像恢复的角度出发，相应地引入了偏微分方程。
但直到九十年代才比较系统地将偏微分方程引入图像处理领域，结合其他一些数学工具如数学形态学和仿射几何等，形成了比较完整的理论体系。
由s．Osher等提出的水平集方法具有良好的几何插值性，将灰度插值转化为曲线插值，在图像处理中有很大的影响，在图像修复与去噪、边缘检测、图像匹配、图像识别等方面都取得了相对较好的结果。
一、偏微分方程在图像处理中的应用偏微分方程在图像处理领域的研究开始于六、七十年代，Gabor，Rudin，Osher 等人分别从去噪的角度出发，把偏微分方程引入了图像处理领域。
同时，Osher 还从图像恢复的角度出发，使用最小化全局变差(Total Vadation)方法和变分法，也使用了相应的偏微分方程。
但直到上世纪九十年代，Alvarez，Lions，Morel等才首次系统地将偏微分方程引入了图像处理领域，在理论上有比较大的突破，并结合其他数学工具，如数学形态学、变分法、逼近论、仿射几何等，形成了比较完整的理论体系。
由于理论体系本身的优点，从二维图像(静止图像，如照片)到三维图像(运动图像，如电影)应用的拓展相对容易一些。
这也是偏微分方程在图像处理研究领域中的一个优势。
当然，时间这一维数有它本身的特点，与图像平面有本质的区别，在应用中需要加以注意。
概括地说，偏微分方程的图像处理技术具有以下的特点：(1)基于PDE的方法具有良好的数学基础，可以提供深刻的理论结果，并且算法具备良好的稳定性；(2)一些经典的方法如高斯滤波、中值滤波、膨胀和腐蚀在PDE的统一框架下得到全新的解释；(3)这种视角产生了新的方法，它们比经典的方法包容更多的不变性，如保持结构的滤波、线形增强等；(4)PDE是连续的模型，与具体的离散网格无关，并且具有旋转不变性。
偏微分方程在图像处理中的研究主要集中在图像处理的两个基础部分：图像滤波和图像边缘提取。
偏微分方程报告
2009级数学与应用数学和信息与计算科学专业偏微分方程数值解上机实验实验题目利用有限元方法和有限差分方法求解偏微分方程完成日期 2012年12月17日学生姓名张灵刚所在班级 1102090 任课教师王晓东西北工业大学理学院应用数学系目录一．实验目的 (2)二．实验要求 (2)三．实验题目 (3)四．实验二 (4)1.实验内容 (4)2.实验原理.................................................（4）. 3算法流程. (5)4结果分析 (5)5总结讨论 (6)6源程序 (6)五. 实验三1.实验内容 (17)2.实验原理...............................................（17）. 3算法流程. (18)4结果分析……………………………………….….（18）.5总结讨论 (21)6源程序 (21)偏微分方程数值解上机实验报告实验地点：数学系机房实验时间：第13—15周，周一、四下午5、6节实验分数：占期末考试成绩的30%一、实验目的及意义掌握有限元方法和有限差分方法的程序实现；学会选择合适的有限差分格式求解一维非线性对流占优的非定常对流扩散问题；学会使用三角线性元和四边形线性元的有限元方法求解二维椭圆方程边值问题，并对计算结果进行收敛性分析；尝试采用有限元方法或有限差分方法实现二维初边值抛物型方程的大规模数值求解。
通过实验可以提高学生的动手能力，加深学生对算法的理解。
二、实验要求在下列给出的三个问题中，最少选择两个问题进行编程实现。
要求给出格式的推导过程、算法流程、实现程序、选取的网格参数、以表格或图形的方式给出计算结果、对计算结果进行分析、最后对实验进行总结和讨论。
问题2：用三角线性元和四边形线性元的有限元方法求解方程：28cos(2)sin(2),(,)(0,1)(0,1)(,0)(,1)0;(0,)(1,)sin(2).u x y x y u x u x u y u y y ππππ-∆=∈⨯====取=1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64,h 比较两种方法的计算精度，并给出数值收敛率.问题3：选用合适的数值方法求解方程：22122(444),(,)(0,1)(0,1)(0,,)(1,,)(,0,)(,1,)0;(,,0)sin()cos().y y ux y u x y tu y t u y t u x t u x t u x y x y ππππ-∂=-++∆∈⨯∂''=====求0.1,0.5,1.0t =时，点3331(,)6464、1517(,)6464、4749(,)6464、7137(,)128128、4367(,)128128、10989(,)128128、127129(,)256256、6391(,)256256、3133(,)256256处的数值解。
微分先行实验报告
一、实验目的1. 理解微分的概念，掌握微分的基本运算方法。
2. 通过实验加深对微分几何意义和物理意义的理解。
3. 培养学生动手操作能力和实验分析能力。
二、实验仪器1. 计算机及软件：MATLAB、Excel等。
2. 集成电路实验箱。
3. 导线、开关、电压表、电流表、电阻等实验器材。
三、实验步骤步骤一：实验准备1. 熟悉实验原理和实验步骤。
2. 准备实验所需仪器和材料。
3. 安装并启动实验软件。
步骤二：实验操作1. 微分的几何意义(1) 准备实验数据：选取一条曲线，记录其上若干点的坐标。
(2) 在曲线上选取一点，过该点作曲线的切线，测量切线斜率。
(3) 利用微分公式计算该点的微分值。
(4) 比较切线斜率和微分值，分析其关系。
2. 微分的物理意义(1) 准备实验数据：测量一段直线的长度、宽度、厚度等。
(2) 利用微分公式计算长度的微分、宽度的微分、厚度的微分。
(3) 分析微分值与实际测量值的关系。
3. 微分运算(1) 选择一个函数，利用微分公式计算其一阶导数和二阶导数。
(2) 利用MATLAB或Excel等软件绘制函数图像，观察导数的几何意义。
(3) 分析导数与原函数的关系。
步骤三：实验数据记录与分析1. 将实验过程中测量的数据记录在表格中。
2. 对实验数据进行处理和分析，得出结论。
3. 撰写实验报告，总结实验结果。
四、实验结论1. 通过实验，加深了对微分概念的理解，掌握了微分的基本运算方法。
2. 实验结果表明，微分在几何和物理学中具有广泛的应用。
3. 微分可以描述曲线的局部变化趋势，为研究曲线的性质提供了一种有效方法。
4. 微分在物理学中可以描述物体的运动规律，为研究物体的运动提供了一种有效方法。
五、反思与体会1. 本次实验让我对微分有了更深入的认识，明白了微分在数学和物理学中的重要性。
2. 在实验过程中，我学会了如何运用微分公式进行计算，提高了自己的动手操作能力。
3. 通过实验，我明白了理论与实践相结合的重要性，只有将所学知识运用到实际中，才能真正掌握知识。
偏微分方程数值解实验报告
偏微分方程数值解上机实验报告（一）实验一一、上机题目：用线性元求解下列边值问题的数值解：-y′′+π24y=π22sinπ2x，0<x<1y(0)=0，y′(1)=0二、实验程序：function S=bzx=fzero(@zfun,1);[t y]=ode45(@odefun,[0 1],[0 x]);S.t=t;S.y=y;plot(t,y)xlabel('x:´从0一直到1')ylabel('y')title('线性元求解边值问题的数值解')function dy=odefun(x,y)dy=[0 0]';dy(1)=y(2);dy(2)=(pi^2)/4*y(1)-((pi^2)/2)*sin(x*pi/2);function z=zfun(x);[t y]=ode45(@odefun,[0 1],[0 x]);z=y(end)-0;三、实验结果：1．以步长h=0.05进行逐步运算，运行上面matlab程序结果如下：2．在0<x<1区间上，随着x 的不断变化，x ，y 之间关系如下图所示：（二）实验二四、 上机题目：求解Helmholtz 方程的边值问题：21u k u -∆-=，于(0,1)*(0,1)Ω=0u =，于1{0,01}{01,1}x y x y Γ==≤≤≤≤= 12{0,01}{01,1}0,{01,0}{1,01}x y x y u x y x y n Γ==≤≤≤≤=∂=Γ=≤≤==≤≤∂于其中k=1,5,10,15,20五、实验程序：（采用有限元方法，这里对[0,1]*[0,1]采用n*n的划分，n为偶数）n=10;a=zeros(n);f=zeros(n);b=zeros(1,n);U=zeros(n,1);u=zeros(n,1);for i=2:na(i-1,i-1)=pi^2/(12*n)+n;a(i-1,i)= pi^2/(24*n)-n;a(i,i-1)= pi^2/(24*n)-n;for j=1:nif j==i-1a(i,j)=a(i,i-1);else if j==ia(i-1,j-1)=2*a(i-1,i-1);else if j==i+1a(i,j)=a(i,i+1);elsea(i,j)=0;endendendendenda(n,n)=pi^2/(12*n)+n;for i=2:nf(i-1,i)=4/pi*cos((i-1)*pi/2/n)-8*n/(pi^2)*sin(i*pi/2/n)+8*n/(pi^2)*s in((i-1)*pi/2/n);endfor i=1:nf(i,i)=-4/pi*cos(i*pi/2/n)+8*n/(pi^2)*sin(i*pi/2/n)-8*n/(pi^2)*sin((i -1)*pi/2/n);end%b(j)=f(i-1,j)+f(i,j)for i=1:(n-1)b(i)=f(i,i)+f(i,i+1);endb(n)=f(n,n);tic;n=20;can=20;s=zeros(n^2,10);h=1/n;st=1/(2*n^2);A=zeros((n+1)^2,(n+1)^2);syms x y;for k=1:1:2*n^2s(k,1)=k;q=fix(k/(2*n));r=mod(k,(2*n));if (r~=0)r=r;else r=2*n;q=q-1;endif (r<=n)s(k,2)=q*(n+1)+r;s(k,3)=q*(n+1)+r+1;s(k,4)=(q+1)*(n+1)+r+1;s(k,5)=(r-1)*h;s(k,6)=q*h;s(k,7)=r*h;s(k,8)=q*h;s(k,9)=r*h;s(k,10)=(q+1)*h;elses(k,2)=q*(n+1)+r-n;s(k,3)=(q+1)*(n+1)+r-n+1;s(k,4)=(q+1)*(n+1)+r-n;s(k,5)=(r-n-1)*h;s(k,6)=q*h;s(k,7)=(r-n)*h;s(k,8)=(q+1)*h;s(k,9)=(r-n-1)*h;s(k,10)=(q+1)*h;endendd=zeros(3,3);B=zeros((n+1)^2,1);b=zeros(3,1);for k=1:1:2*n^2L(1)=(1/(2*st))*((s(k,7)*s(k,10)-s(k,9)*s(k,8))+(s(k,8)-s(k,10))*x+(s(k,9)-s(k,7))*y);L(2)=(1/(2*st))*((s(k,9)*s(k,6)-s(k,5)*s(k,10))+(s(k,10)-s(k,6))*x+(s (k,5)-s(k,9))*y);L(3)=(1/(2*st))*((s(k,5)*s(k,8)-s(k,7)*s(k,6))+(s(k,6)-s(k,8))*x+(s(k ,7)-s(k,5))*y);for i=1:1:3for j=i:3d(i,j)=int(int(((((diff(L(i),x))*(diff(L(j),x)))+((diff(L(i),y))*(dif f(L(j),y))))-((can^2)*L(i)*L(j))),x,0,1),y,0,1);d(j,i)=d(i,j);endendfor i=1:1:3for j=1:1:3A(s(k,(i+1)),s(k,(j+1)))=A(s(k,(i+1)),s(k,(j+1)))+d(i,j);endendfor i=1:1:3b(i)=int(int((L(i)),x,0,1),y,0,1);B(s(k,(i+1)),1)=B(s(k,(i+1)),1)+b(i);endendM=zeros((n+1)^2,n^2);j=n^2;for i=(n^2+n):-1:1if ((mod(i,(n+1)))~=1)M(:,j)=A(:,i);j=j-1;else continueendendpreanswer=M\B;answer=zeros((n+1)^2,1);j=1;for i=1:1:(n^2+n)if ((mod(i,(n+1)))~=1)answer(i)=preanswer(j);j=j+1;else answer(i)=0;endendZ=zeros((n+1),(n+1));for i=1:1:(n+1)^2s=fix(i/(n+1))+1;r=mod(i,(n+1));if(r==0)r=n+1;s=s-1;elseendZ(r,s)=answer(i);end[X,Y]=meshgrid(1:-h:0,0:h:1);surf(X,Y,Z);toc;t=toc;K=a ;B=b';U=inv(K)*Bfor i=1:nu(i,1)=4/(pi^2)*sin(pi*i/n/2);endue=U-u六、实验结果：程序中的变量can为问题中的k，为了方便比较，采用了画图的方式。
简单偏微分的计算
简单偏微分的计算
偏微分是微积分中的一个概念，用于描述函数在某一点处对一个或多个变量的变化率。
偏微分的计算公式为：
对于一个函数f(x, y)，其关于x的偏微分为∂f∂x，关于y的偏微分为∂f∂y。
对于多元函数f(x, y)，其全微分为df = ∂f∂xdx + ∂f∂ydy。
偏微分的基本公式为f=G/(G+G动)，其中G和G动分别为给定的两个函数。
对于包含未知函数的偏导数（或偏微分）的方程，全微分符合叠加原理，即全微分等于各偏微分之和。
偏微分也可以作为偏增量的近似，例如f(x+△x, y, z)-f(x, y, z)≈∂f∂x△x。
在计算偏微分时，需要注意以下几点：
确定函数的定义域和自变量的取值范围，确保在计算过程中不会出现未定义的情况。
掌握偏微分的基本公式和计算方法，熟悉常见的函数形式和它们的偏导数。
对于复杂的函数形式或多个自变量的情况，需要仔细分析并逐步计算每个偏导数。
注意计算过程中的符号和公式使用，确保结果的准确性和规范性。
通过以上步骤，可以逐步计算出给定函数的偏微分，并进一步求解相关问题。
偏微分
• 在此基础上，Perona和Malik提出了他们著 名的P-M方法：
• 其中
或
• 区域的内部，即图像的梯度模 u 比较小时 ，此时函数c 1，扩散方程近似于热扩散 过程，具有各向同性的特点。 • 在图像的边界或细节处，即梯度模 u 较大 的像素处，扩散系数c(s) -> 0，从而边界特 征被保持。
• 在80年代末，Hummel提出热传导方程并不 是唯一可以产生尺度空间的抛物方程，并 提出构成尺度空间的准则:只要满足最大原 则的演化方程就可以定义一个尺度空间。
• Perona和Malik提出各向异性扩散方程在这 个领域最具有影响力。他们提出用一个保 持边缘的有选择性的扩散来替换Gaussian 扩散。他们的工作引发了很多理论和实际 问题的研究。
• 梯度模(梯度向量的范数)为
u u x u
2
2 y
• 在图像处理中另外一个重要的几何量是方 向导数，任给一个方向向量，图像在该像 素处沿此方向的导数为图像的梯度与此方 向向量的内积:
uv u v
三、偏微分方程图像处理的优缺 点及应用结构
• 用偏微分方程进行图像处理的基本思想是 利用偏微分方程把图像变形，然后求解该 方程，这时方程的解就是我们所期望的结 果。
• 上述扩散方程是病态的，同一个初始条件 可以产生多个解.实际上，为了保证解的存 在性和唯一性，必须要求C(s)为非降函数. 如果此条件不满足，则此过程不稳定。
改进
• Catte 等通过对梯度模进行正则化实现了稳 定的Pernoa-Malik模型。 • Alvarez, dons等将平均曲率流引入到PM模 型中。 • 北京大学的石青云教授和微软亚洲研究院 的林宙辰博士(as)提出了一种能去噪和保持 真实感的各向异性扩散方程，它还能保持 图像中有意义的较强的尖峰和窄边缘。
偏微分方程实验模板
实验报告课程名称：偏微分方程数值解院系：数学科学系专业班级：信计1101学号：1131120140学生姓名：张军指导教师：沈林开课时间：2013至2014学年第二学期一、学生撰写要求按照实验课程培养方案的要求，每门实验课程中的每一个实验项目完成后，每位参加实验的学生均须在实验教师规定的时间内独立完成一份实验报告，不得抄袭，不得缺交。
学生撰写实验报告时应严格按照本实验报告规定的内容和要求填写。
字迹工整，文字简练，数据齐全，图表规范，计算正确，分析充分、具体、定量。
二、教师评阅与装订要求1.实验报告批改要深入细致，批改过程中要发现和纠正学生实验报告中的问题，给出评语和实验报告成绩，签名并注明批改日期。
实验报告批改完成后，应采用适当的形式将学生实验报告中存在的问题及时反馈给学生。
2.实验报告成绩用百分制评定，并给出成绩评定的依据或评分标准（附于实验报告成绩登记表后）。
对迟交实验报告的学生要酌情扣分，对缺交和抄袭实验报告的学生应及时批评教育，并对该次实验报告的分数以零分处理。
对单独设课的实验课程，如学生抄袭或缺交实验报告达该课程全学期实验报告总次数三分之一以上，不得同意其参加本课程的考核。
3.各实验项目的实验报告成绩登记在实验报告成绩登记表中。
本学期实验项目全部完成后，给定实验报告综合成绩。
4.实验报告综合成绩应按课程教学大纲规定比例（一般为10-15%）计入实验课总评成绩；实验总评成绩原则上应包括考勤、实验报告、考核（操作、理论）等多方面成绩；5.实验教师每学期负责对拟存档的学生实验报告按课程、学生收齐并装订，按如下顺序装订成册：实验报告封面、实验报告成绩登记表、实验报告成绩评定依据、实验报告（按教学进度表规定的实验项目顺序排序）。
装订时统一靠左侧按“两钉三等分”原则装订。
）[QS,FCNTS] =quad(L,- pi/4, pi/4,1.e-4,2)9 -0.7853981634 4.26596866e-01 0.25060214802）ans =1.0000 0.7500 0.6000 1.2500 4.0625 ans =愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。
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重庆大学
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2012 专业班信计1班
学生姓名张伟学号20122058 开课时间2014 至2015 学年第 2 学期
数学与统计学院制
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2015年6月3日
，即分别表示0,0.05,0.1,0.15,0.2
t=
综上，得到左偏心差分格式如下：
16,17,,25
t=
5,6,,25，即分别表示0,0.05,0.1
)(
（6）16,17,,29
四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件
图1 左偏心格式数值解
图2 Lax-Wendroff格式数值解
说明：从图1，图2可以看出，两者皆向x正向推移，前者无振荡，后者有振荡。
这也正好符合得到的数值解。