工具变量(IV)：估计与检验

用到 i E zi x 为对称矩阵
－1
秩条件r i E zi x ＝k意味着工具变量w i与内生解释 变量x i相关，若不相关，则秩条件无法满足。证略
阶条件：zi中至少包含k个变量 根据是否满足阶条件可分为三种情况：
1 不可识别：工具变量个数少于内生解释变量个数 2 恰好识别：工具变量个数等于内生解释变量个数 3 过度识别：工具变量个数多于内生解释变量个数
解释变量内生性检验
Hausman 检验
寻找工具变量的方法：几个实例
方法 例子
由来
经典假设 所有的解释变量Xi与随机误差项彼此 之间不相关。
Cov (u i , X i ) 0
若解释变量Xi和ui相关，则OLS估计量是非一致 的，也就是即使当样本容量很大时，OLS估计量 也不会接近回归系数的真值。 造成误差项与回归变量相关（内生性）的原因 很多，但我们主要考虑如下几个方面： • 遗漏变量变量 • 变量有测量误差 • 双向因果关系。
1、矩估计（Method of Moments，MM）
首先以一个例子来说明矩估计方法：假设随机变量 x N ， 2 ，其中， 2为待估参数。因为有两 个待估参数，故需要使用以下两个总体矩条件： 一阶中心矩：E x ＝
2 2 二阶中心矩：E x ＝Var x ＋ E x ＝ ＋ 2 2
可以引入工具变量w t 来解决内生变量问题。一个有 效的工具变量应满足以下两个条件： （1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即 Cov w t，p t 0，p t为内生解释变量 （2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即 Cov w t， t ＝0
二、工具变量法作为一种矩估计
2、工具变量法作为一种矩估计
假设回归模型为 yi＝1x i1＋ ＋ k-1x i，k-1＋ k x ik＋ i 假设只有最后一个解释变量x ik为内生变量，即 Cov x ik， i 0，因此OLS是不一致的。
假设有一个有效工具变量w满足Cov x ik，w i 0 （相关性），以及Cov w i， i ＝（外生性）。由于 0 x1， ，x k-1不是内生变量，故可以把自己作为自己 的工具变量（因为满足工具变量的两个条件）
－1
E i x i yi－x ＝0
＝ i i 可逆） E x i x E x i yi （假设E x i x
以样本矩替代上式中的总体矩，即可得到矩估计：
n 1 1 －1 ˆ ˆ MM＝ x i x x y ＝ X X X y ＝ i i i OLS n i=1 n i=1 显然这就是OLS估计量 n －1
3。Wright考虑了几个可能的工具变量； 其中一个是天气。例如，某牧场的降雨量低 于平均值会使牧草减少从而减少给定价格时 黄油的产量(会使供给曲线向左移动而使均 衡价格上升)，因此牧场地区降雨量满足工 具变量相关性的条件。但牧场地区降雨量对 黄油的需求没有直接影响，因此牧场地区降 雨量与ui的相关系数为零；也就是牧场地区 降雨量满足工具变量外生性条件。
我们的工作就是要寻找相应的工具变量将解 释变量分解成内生变量和外生变量，然后利 用两阶段最小二乘法(TSLS)进行估计。 一个例子：考虑货币政策对宏观经济的影响。 由于货币政策的制定者会根据宏观经济的运 行情况来调整货币政策，故货币政策是个内 生变量（双向因果关系）。Romer (2004) 通过阅读历史文献将货币政策的变动分解为 “内生”（对经济的反应）与“外生”（货 币当局的自主调整）的两部分。
上图表明若某个变量使供给曲线移动而使需求保待不 变时会发生什么样的情况。现在所有的均衡价格和均 衡量对都落在这条稳定的需求曲线
工具变量法的本质是联立方程，只不过 ，我们只关心原方程的可识别性
估计：矩估计、TSLS、GMM、LIML
一、工具变量法（Instrumental Variable，IV）
以上介绍的矩估计法仅适用于恰好识别的情况。 在过度识别的情况下，ZX不是方阵， ZX 不存在
－1
ˆ 。 无法得到工具变量估计量 IV
若扔掉多余的工具变量将会浪费有用的信息，有效 的方法是二阶段最小二乘法
三、二阶段最小二乘法
显然，多个工具变量的线性组合仍然是工具变量 因为仍满足工具变量的两个条件（相关性与外生性） 如果生成工具变量的k个线性组合，则又回到恰好 识别的情形。那么什么样的线性组合才是最有效率 的呢？可以证明在球形扰动项的假设下，由二阶段 最小二乘法（2SLS）所提供的工具变量线性组合是 所有线性组合中最渐近有效的。这个结论类似于小 样本理论中的高斯－马尔可夫定理。
用对应的样本矩来替代总体矩条件可得以下联立 方程组，求解后即得到期望与方差的矩估计：
1 n ˆ ˆ＝x n x i＝ i=1 2 1 n 2 n ˆ ＝ x i－x 2 2 1 x 2＝ ˆ ＋ ˆ n i=1 i n i=1 1 n 其中，x＝ x i为样本均值，上面推导中用到： n i=1
－1
E z x i i E g i ＝0
－1 ＝0
其中SZX
1 n 1 n zi x z i i i，g n i=1 n i=1
与第三章大样本最小二乘法类似的假定和推导，
d 可以证明，ng N 0，S， 2 其中S E gi g ＝ E i zi zi i
n 1 1 －1 ˆ IV＝ zi x zi yi ＝ ZX Zy i n i=1 n i=1 n －1
其中，Z z1
z n-1 z n 即Z z1
z n-1 z n
下面是工具变量法的大样本性质：
定理：若秩条件r i i 满 E zi x ＝k成立（方阵E zi x ˆ 是的一致估计 秩），则在一定的正则条件下， IV ˆ 服从渐近正态分布 且
工具变量(instrumental variable, IV)回 归是当回归变量X与误差项u相关时获得总体 回归方程未知系数一致估计量的一般方法。 我们经常称其为IV估计。 其基本思想是：假设方程是：
我们假设ui与Xi相关，则OLS估计量一定是 有偏的和非一致的。工具变量估计是利用另 一个“工具”变量Z将Xi分离成与ui相关和 不相关的两部分。
E i zi yi－x ＝0
－1
由此可得E zi i ＝0
－1
E zi yi ＝ i E zi x ＝ i i E zi x E zi yi （假定 E zi x 存在）
以样本矩代替上式中的总体矩，即可得到工具变 量估计量：
2 2 x － x ＝ x － nx i i 2 n n i=1 i=1
任何随机向量x的函数f x 的期望E f x 都被称为 总体矩。事实上，OLS也是一种矩估计。利用解释 变量与扰动项的正交性，可以得到以下总体矩条件
E x i i ＝0
E x i yi ＝E x i x i
在经济学中： （1）内生变量：由模型内的变量所决定 的变量称作内生变量。 （2）外生变量：由模型外的变量所决定 的变量称作外生变量。
重要概念：内生变量和外生变量
在计量经济学中，把所有与扰动项相关 的解释变量都称为“内生变量”。这与 一般经济学理论中的定义有所不同。 1。与误差项相关的变量称为内生变量 (endogenous variable)。 2。与误差项不相关的变量称为外生变量 (exogenous variable)。
谁开创了工具变量回归？
1928年的著作的“The Tariff on Animal and Vegetable Oils”的附录B。 作者是谁？ Philip Wright 还是他的儿子 Sewall Wright 文体计量学的分析
为什么IV回归是有效的？
例1: Philip Wright的问题 Philip Wright关心的是那个时期的一个重要 经济问题：即如何对诸如黄油，大豆油这样的 动植物油和食用动物设置进口关税。在20世 纪20年代，进口关税是美国主要的税收收入 来源。而理解关税的经济效应的关键在于要有 商品需求和供给曲线的定量估计。由前知供给 弹性为价格上涨1%引起的供给量变化的百分 率，而需求弹性为价格上涨1%引起的需求量 的百分率变化。
工具变量回归
由来 估计
矩估计（不好） 2SLS （最常用） GMM（异方差自相关）；LIML（若IV）
工具变量有效性检验
相关性 F检验; Partial R2，单内生解释变量Minimum eigenvalue statistic，最小特征值统计量，用于多内 生解释变量 外生性 过度识别约束检验 J统计量 （又称Sargan 统计量）
ˆ 渐近服从正态分布，即 进一步，工具变量估计量 IV
d ˆ － ＝S－1 ng ˆ ，其 n N 0 ， AVar IV ZX IV －1 －1 ˆ 中渐近方差矩阵AVar IV ＝ i i E zi x S E zi x



IV
－1 ˆ 证明：抽样误差 IV－＝ ZX Zy－
＝ ZX Z X＋ －＝ ZX Z
－1 －1
1 1 n －1 p ＝ zi x i zi i ＝SZX g n i=1 n i=1
n
记解释变量向量x i x i1 yi＝x i ＋ i zi zi1 zi，k-1 zik x i1
x i，k-1 x ik ，则原模型为 x i，k-1 w i 。
记工具变量向量为
定义gi zi i。由于工具向量与扰动项正交，故 E gi ＝E zi i ＝0为总体矩条件或正交条件