工具变量(IV)：估计与检验
工具变量(IV)详细解说
IV
The 2SLS name notwithstanding, we don‘t usually construct 2SLS estimates in two-steps. For one thing, the resulting standard errors are wrong, as we discuss later. （） Where si is the residual from a regression cov( si , si ) V ( si ) of si on X i .This follows from the multivariate regression anatomy formula and the fact that cov( si , si ) V ( si ) . It is also easy to show that, in a model with a single endogenous variable and a single instrument, the 2SLS estimator is the same as the corresponding ILS（ Indirect Least Squares ） estimator.（Q3） 由2SLS，
Zi 0 1si i cov( Zi ,i ) 0 cov(Yi , Zi ) cov(Yi , Zi ) / v( Zi ) (4.1.3) cov( si , Zi ) cov( si , Zi ) / v( Zi )
Zi
（IV）
IV
• Q1：The second equality in (4.1.3) is useful because its usually easier to think in terms of regression coefficients than in terms of covariance. 2.
工具变量法
ut )
1
ztut zt xt
(9.8.7)
(9.8.7)两边取期望值:
(ˆ1)
1
(
ztut zt xt
)
1
所以，ˆ1 不是1 的无偏估计量。
(9.8.7)两边取概率极限：
P lim
ˆ1
1
P lim P lim
1
n 1
n
ztut zt xt
1
COV COV
(zt ,ut) (zt , xt)
1
即
P lim ˆ1 1
表明 ˆ1 是1 的一致估计量。
(9.8.8) (9.8.9)
工具变量法是一种单方程估计方法，每次只适用于 模型中的一个结构方程。 显然，对于多个解释变量的单方程也是适用的。 三、工具变量法的有效性
y1 10 12 y2 1g1 y g1 11 x1 12 x2
第二步，分别用工具变量去乘结构方程，并对所有 的样本观测值求和，得到与未知参数一样多的线性 方程组成的方程组。解方程组就得到结构参数的估
二、工具变量法的应用举例 1.设有一个解释变量的结构方程：
yt 0 1 xt ut
(9.8Байду номын сангаас1)
其中xt是该方程所在模型中的内生变量，因而 COV(xt,ut) ≠ 0。在模型的其他结构方程中可找到这 样的外生变量zt，zt与xt高度相关,但zt与ut不相关即 COV(zt,ut)＝0，即zt
1k1 xk1 u1
(9.8.20)
模型(9.8.20)共有(g1-1)个内生说明变量和k1个前定
变量
1.若方程(9.8.20)
由阶条件知
K1 G1* G 1
或
stata上机实验第五讲 工具变量(IV)
究竟该用OLS 还是IV
即解释变量是否真的存在内生性？ 假设能够找到方程外的工具变量。 1。如果所有解释变量都是外生变量，则OLS
比IV 更有效。在这种情况下使用IV，虽然估 计量仍然是一致的，会增大估计量的方差。2。 如果存在内生解释变量，则OLS 是不一致的， 而IV 是一致的。
豪斯曼检验（Hausman specification test）原假设： H0 ：所有解释变量均为外生变量。 H1：至少有一个解释变量为内生变量。
检验方法： estat firststage 1。初步判断可以用偏R2(partial R2) (剔除掉模型中原有外生变量的影响)。 2。 Minimum eigenvalue statistic(最小特征 值统计量)，经验上此数应该大于10。
ivregress 2sls lw80 expr80 tenure80 (s80 iq=med kww mrt age), first
使用grilic.dta估计教育投资的回报率。
变量说明：lw80（80年工资对数），s80 （80年时受教育年限），expr80（80年时工 龄），tenure80（80年时在现单位工作年 限）， iq（智商），med（母亲的教育年 限），kww（在‘knowledge of the World of Work’测试中的成绩），mrt（婚姻虚拟变量， 已婚=1），age（年龄）。
ivregress 2sls lw80 expr80 tenure80 (s80 iq=med kww mrt age), first estat overid ivregress gmm lw80 expr80 tenure80 (s80 iq=med kww mrt age) estat overid
计量经济学重点知识归纳整理
1.一般最小二乘法(Ordinary Least Squares,OLS)：已知一组样本观测值{}n i Y X i i ,2,1:),(⋯=，一般最小二乘法要求样本回来函数尽可以好地拟合这组值，即样本回来线上的点∧i Y 及真实观测点Yt 的“总体误差”尽可能地小。
一般最小二乘法给出的推断标准是：被说明变量的估计值及实际观测值之差的平方和最小。
2.广义最小二乘法GLS ：加权最小二乘法具有比一般最小二乘法更普遍的意义，或者说一般最小二乘法只是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特别状况。
从今意义看，加权最小二乘法也称为广义最小二乘法。
3.加权最小二乘法WLS ：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采纳一般最小二乘法估计其参数。
4.工具变量法IV ：工具变量法是克服说明变量及随机干扰项相关影响的一种参数估计方法。
5.两阶段最小二乘法2SLS, Two Stage Least Squares ：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
6.间接最小二乘法ILS ：间接最小二乘法是先对关于内生说明变量的简化式方程采纳一般小最二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后过通参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量的一种方法。
7.异方差性Heteroskedasticity ：对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。
8.序列相关性Serial Correlation ：多元线性回来模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。
假如模型的随机干扰项违反了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
9.多重共线性Multicollinearity ：对于模型i k i i X X X Y μββββ++⋯+++=i k 22110i ，其基本假设之一是说明变量X 1,X 2,…,Xk 是相互独立的。
IV和GMM相关估计步骤,内生性、异方差性等检验方法
IV和GMM相关估计步骤，内⽣性、异⽅差性…⼯具变量和⼴义矩估计相关步骤⼀、解释变量内⽣性检验⾸先检验解释变量内⽣性（解释变量内⽣性的Hausman 检验：使⽤⼯具变量法的前提是存在内⽣解释变量。
Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外⽣变量，如果拒绝，则认为存在内⽣解释变量，要⽤IV；反之，如果接受，则认为不存在内⽣解释变量，应该使⽤OLS。
reg ldi lofdiest imat es st ore olsxt ivreg ldi (lofdi=l.lofdi ldep lexr)est imat es st ore ivhausman iv ols（在⾯板数据中使⽤⼯具变量，St at a提供了如下命令来执⾏2SLS:xt ivreg depvar [varlist1] (varlist_2=varlist_iv) （选择项可以为fe，re等，表示固定效应、随机效应等。
详⻅help xt ivreg）如果存在内⽣解释变量，则应该选⽤⼯具变量，⼯具变量个数不少于⽅程中内⽣解释变量的个数。
“恰好识别”时⽤2SLS。
2SLS的实质是把内⽣解释变量分成两部分，即由⼯具变量所造成的外⽣的变动部分，以及与扰动项相关的其他部分；然后，把被解释变量对中的这个外⽣部分进⾏回归，从⽽满⾜OLS前定变量的要求⽽得到⼀致估计量。
⼆、异⽅差与⾃相关检验在球型扰动项的假定下，2SLS是最有效的。
但如果扰动项存在异⽅差或⾃相关，⾯板异⽅差检验：xt gls enc invs exp imp esc mrl,igls panel(het)est imat es st ore het eroxt gls enc invs exp imp esc mrl,iglsest imat es st ore homolocal df = e(N_g) - 1lrt est het ero homo, df(`df')⾯板⾃相关：xt serial enc invs exp imp esc mrl则存在⼀种更有效的⽅法，即GMM。
工具变量的检验方法
工具变量的检验方法
工具变量的检验方法主要包括以下几种：
1. 过度识别检验：过度识别检验是一种常用的工具变量检验方法，用于检验工具变量是否有效。
该检验方法通过比较工具变量的拟合优度与其他解释变量的拟合优度，如果工具变量的拟合优度显著高于其他解释变量，则说明工具变量是有效的。
2. 弱工具变量检验：弱工具变量检验是一种用于检验工具变量是否具有足够的解释能力的方法。
该检验方法通过比较工具变量与其他解释变量的相关性，如果工具变量与其他解释变量的相关性较低，则说明工具变量是弱工具变量，可能无法有效地解释被解释变量。
3. 不可识别检验：不可识别检验是一种用于检验工具变量是否可以识别出模型中的参数的方法。
该检验方法通过比较工具变量与其他解释变量的系数，如果工具变量的系数不显著，则说明工具变量无法识别出模型中的参数。
4. 稳健性检验：稳健性检验是一种用于检验工具变量是否稳健的方法。
该检验方法通过比较不同工具变量的估计结果，如果估计结果在不同工具变量下具有相似性，则说明工具变量是稳健的。
这些检验方法可以帮助研究者确定工具变量是否有效，并提高研究结果的可信度。
在使用工具变量方法时，需要根据具体情况选择合适的检验方法，并结合实际数据进行分析和判断。
工具变量法IV两阶段最小二乘法TSLS
YY12
b12Y2 b23Y3
c11 X1 c12 X 2 c23 X 3 u2
u1
Y3 b31Y1 b32Y2 c33 X 3 u3
其中：Y1,Y2 ,Y3 为内生变量， X1, X 2 , X 3为外生变量。
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2）方程组系统估计法 包括：三阶段最小二乘法（3SLS）、完全信息最
大似然估计法（FIML）等。这些方法是对模型中所有 结构方程的参数同时进行估计，从而获得模型全部参 数的估计值。它利用了模型的全部方程信息，称为完 全信息方法。
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/ ˆ23 bˆ12ˆ21
cˆ12 ˆ12 bˆ12ˆ22
若已知πij，即可解出惟一的cij，第一个结构方程得以 估计。这样，结构方程的参数估计值用传统的OLS就 得到了。
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ILS的步骤
一、先对模型作识别判断，找出恰好识别的方程； 二、利用简约式和结构式参数的关系式 B
Y1 11 X1 12 X 2 13 X 3 v1 Y2 21 X1 22 X 2 23 X 3 v2 Y3 31 X1 32 X 2 33 X 3 v3
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第一阶段是对结构方程右端所包含的所有内生变量（作为解 释变量）所对应的简化式方程进行OLS估计,得到内生变量的估计 （回归)值；
(9)8.2工具变量法
即
ˆ P lim β1 = β1
ˆ 表明 β 1 是 β1 的一致估计量。
ˆ 同样可以证明，0是 β 0 的一致估计量(读者可以自己给出)。 β
ˆ ˆ 其中 β 0 的估计量为：β 0 = y − β 1 x 。
工具变量法是解决随机性解释变量与随机项相关时， 估计模型中参数的一种简单有效方法。但是，在实际 问题中，如何选择工具变量是一个比较困难的问题。
β 关于8.2节工具变量法，ˆ0 是 β 0 的一致估计量。
ˆ 在已证明 β 1 是 β 1 的一致估计量的条件下，证明：
ˆ ˆ β 0 不是 β 0 的无偏估计量，但 β 0 是 β 0 的一致估计量。
ˆ ˆ 由于 β 0 = y − β1x
ˆ ˆ ˆ β 0 = y − β1x = ( β 0 + β 1 x + u ) − β1x ˆ = β 0 + ( β 1 − β 1) x + u
选择工具变量应满足的条件： 1.工具变量必须是真正的外生变量； 2.工具变量与所替代的随机解释变量高度相关； 3.工具变量与模型中的其他解释变量不相关，或相关 性很小，避免出现多重共线性。 4.在同一个模型中采用多个工具变量，这些工具变量 之间也必须不相关，或相关性很小，避免出现多重共 线性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、工具变量法 为了讨论方便我们将(8.1.4)写成离差形式
ˆ ˆ E ( β 0) = β 0 + E[( β 1 − β 1) x ] + E (u ) ˆ = β 0 + E[( β 1 − β 1) x ] ≠ β 0
ˆ 其中 E[( β 1 − β 1) x ] ≠ 0
表明：有偏
ˆ ˆ P lim β 0 = P lim [ β 0 + ( β 1 − β 1) x + u ]
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用到 i E zi x 为对称矩阵
－1
秩条件r i E zi x ＝k意味着工具变量w i与内生解释 变量x i相关，若不相关，则秩条件无法满足。证略
阶条件：zi中至少包含k个变量 根据是否满足阶条件可分为三种情况：
1 不可识别：工具变量个数少于内生解释变量个数 2 恰好识别：工具变量个数等于内生解释变量个数 3 过度识别：工具变量个数多于内生解释变量个数
解释变量内生性检验
Hausman 检验
寻找工具变量的方法：几个实例
方法 例子
由来
经典假设 所有的解释变量Xi与随机误差项彼此 之间不相关。
Cov (u i , X i ) 0
若解释变量Xi和ui相关，则OLS估计量是非一致 的，也就是即使当样本容量很大时，OLS估计量 也不会接近回归系数的真值。 造成误差项与回归变量相关（内生性）的原因 很多，但我们主要考虑如下几个方面： • 遗漏变量变量 • 变量有测量误差 • 双向因果关系。
1、矩估计（Method of Moments，MM）
首先以一个例子来说明矩估计方法：假设随机变量 x N ， 2 ，其中， 2为待估参数。因为有两 个待估参数，故需要使用以下两个总体矩条件： 一阶中心矩：E x ＝
2 2 二阶中心矩：E x ＝Var x ＋ E x ＝ ＋ 2 2
可以引入工具变量w t 来解决内生变量问题。一个有 效的工具变量应满足以下两个条件： （1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即 Cov w t，p t 0，p t为内生解释变量 （2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即 Cov w t， t ＝0
二、工具变量法作为一种矩估计
2、工具变量法作为一种矩估计
假设回归模型为 yi＝1x i1＋ ＋ k-1x i，k-1＋ k x ik＋ i 假设只有最后一个解释变量x ik为内生变量，即 Cov x ik， i 0，因此OLS是不一致的。
假设有一个有效工具变量w满足Cov x ik，w i 0 （相关性），以及Cov w i， i ＝（外生性）。由于 0 x1， ，x k-1不是内生变量，故可以把自己作为自己 的工具变量（因为满足工具变量的两个条件）
－1
E i x i yi－x ＝0
＝ i i 可逆） E x i x E x i yi （假设E x i x
以样本矩替代上式中的总体矩，即可得到矩估计：
n 1 1 －1 ˆ ˆ MM＝ x i x x y ＝ X X X y ＝ i i i OLS n i=1 n i=1 显然这就是OLS估计量 n －1
3。Wright考虑了几个可能的工具变量； 其中一个是天气。例如，某牧场的降雨量低 于平均值会使牧草减少从而减少给定价格时 黄油的产量(会使供给曲线向左移动而使均 衡价格上升)，因此牧场地区降雨量满足工 具变量相关性的条件。但牧场地区降雨量对 黄油的需求没有直接影响，因此牧场地区降 雨量与ui的相关系数为零；也就是牧场地区 降雨量满足工具变量外生性条件。
我们的工作就是要寻找相应的工具变量将解 释变量分解成内生变量和外生变量，然后利 用两阶段最小二乘法(TSLS)进行估计。 一个例子：考虑货币政策对宏观经济的影响。 由于货币政策的制定者会根据宏观经济的运 行情况来调整货币政策，故货币政策是个内 生变量（双向因果关系）。Romer (2004) 通过阅读历史文献将货币政策的变动分解为 “内生”（对经济的反应）与“外生”（货 币当局的自主调整）的两部分。
上图表明若某个变量使供给曲线移动而使需求保待不 变时会发生什么样的情况。现在所有的均衡价格和均 衡量对都落在这条稳定的需求曲线
工具变量法的本质是联立方程，只不过 ，我们只关心原方程的可识别性
估计：矩估计、TSLS、GMM、LIML
一、工具变量法（Instrumental Variable，IV）
以上介绍的矩估计法仅适用于恰好识别的情况。 在过度识别的情况下，ZX不是方阵， ZX 不存在
－1
ˆ 。 无法得到工具变量估计量 IV
若扔掉多余的工具变量将会浪费有用的信息，有效 的方法是二阶段最小二乘法
三、二阶段最小二乘法
显然，多个工具变量的线性组合仍然是工具变量 因为仍满足工具变量的两个条件（相关性与外生性） 如果生成工具变量的k个线性组合，则又回到恰好 识别的情形。那么什么样的线性组合才是最有效率 的呢？可以证明在球形扰动项的假设下，由二阶段 最小二乘法（2SLS）所提供的工具变量线性组合是 所有线性组合中最渐近有效的。这个结论类似于小 样本理论中的高斯－马尔可夫定理。
用对应的样本矩来替代总体矩条件可得以下联立 方程组，求解后即得到期望与方差的矩估计：
1 n ˆ ˆ＝x n x i＝ i=1 2 1 n 2 n ˆ ＝ x i－x 2 2 1 x 2＝ ˆ ＋ ˆ n i=1 i n i=1 1 n 其中，x＝ x i为样本均值，上面推导中用到： n i=1
－1
E z x i i E g i ＝0
－1 ＝0
其中SZX
1 n 1 n zi x z i i i，g n i=1 n i=1
与第三章大样本最小二乘法类似的假定和推导，
d 可以证明，ng N 0，S， 2 其中S E gi g ＝ E i zi zi i
n 1 1 －1 ˆ IV＝ zi x zi yi ＝ ZX Zy i n i=1 n i=1 n －1
其中，Z z1
z n-1 z n 即Z z1
z n-1 z n
下面是工具变量法的大样本性质：
定理：若秩条件r i i 满 E zi x ＝k成立（方阵E zi x ˆ 是的一致估计 秩），则在一定的正则条件下， IV ˆ 服从渐近正态分布 且
工具变量(instrumental variable, IV)回 归是当回归变量X与误差项u相关时获得总体 回归方程未知系数一致估计量的一般方法。 我们经常称其为IV估计。 其基本思想是：假设方程是：
我们假设ui与Xi相关，则OLS估计量一定是 有偏的和非一致的。工具变量估计是利用另 一个“工具”变量Z将Xi分离成与ui相关和 不相关的两部分。
E i zi yi－x ＝0
－1
由此可得E zi i ＝0
－1
E zi yi ＝ i E zi x ＝ i i E zi x E zi yi （假定 E zi x 存在）
以样本矩代替上式中的总体矩，即可得到工具变 量估计量：
2 2 x － x ＝ x － nx i i 2 n n i=1 i=1
任何随机向量x的函数f x 的期望E f x 都被称为 总体矩。事实上，OLS也是一种矩估计。利用解释 变量与扰动项的正交性，可以得到以下总体矩条件
E x i i ＝0
E x i yi ＝E x i x i
在经济学中： （1）内生变量：由模型内的变量所决定 的变量称作内生变量。 （2）外生变量：由模型外的变量所决定 的变量称作外生变量。
重要概念：内生变量和外生变量
在计量经济学中，把所有与扰动项相关 的解释变量都称为“内生变量”。这与 一般经济学理论中的定义有所不同。 1。与误差项相关的变量称为内生变量 (endogenous variable)。 2。与误差项不相关的变量称为外生变量 (exogenous variable)。
谁开创了工具变量回归？
1928年的著作的“The Tariff on Animal and Vegetable Oils”的附录B。 作者是谁？ Philip Wright 还是他的儿子 Sewall Wright 文体计量学的分析
为什么IV回归是有效的？
例1: Philip Wright的问题 Philip Wright关心的是那个时期的一个重要 经济问题：即如何对诸如黄油，大豆油这样的 动植物油和食用动物设置进口关税。在20世 纪20年代，进口关税是美国主要的税收收入 来源。而理解关税的经济效应的关键在于要有 商品需求和供给曲线的定量估计。由前知供给 弹性为价格上涨1%引起的供给量变化的百分 率，而需求弹性为价格上涨1%引起的需求量 的百分率变化。
工具变量回归
由来 估计
矩估计（不好） 2SLS （最常用） GMM（异方差自相关）；LIML（若IV）
工具变量有效性检验
相关性 F检验; Partial R2，单内生解释变量Minimum eigenvalue statistic，最小特征值统计量，用于多内 生解释变量 外生性 过度识别约束检验 J统计量 （又称Sargan 统计量）
ˆ 渐近服从正态分布，即 进一步，工具变量估计量 IV
d ˆ － ＝S－1 ng ˆ ，其 n N 0 ， AVar IV ZX IV －1 －1 ˆ 中渐近方差矩阵AVar IV ＝ i i E zi x S E zi x
IV
－1 ˆ 证明：抽样误差 IV－＝ ZX Zy－
＝ ZX Z X＋ －＝ ZX Z
－1 －1
1 1 n －1 p ＝ zi x i zi i ＝SZX g n i=1 n i=1
n
记解释变量向量x i x i1 yi＝x i ＋ i zi zi1 zi，k-1 zik x i1
x i，k-1 x ik ，则原模型为 x i，k-1 w i 。
记工具变量向量为
定义gi zi i。由于工具向量与扰动项正交，故 E gi ＝E zi i ＝0为总体矩条件或正交条件