2019届高考数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(七)(含解析)
2019届高三数学(文)二模试卷有解析
2019届高三数学（文）二模试卷有解析数学试题（文）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分。
满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合M= { } ,N= {-2，-1，0，1，2}，则等于A. {1}B. {-2,-1}C. {1,2}D. {0,1,2}2.设是虚数单位，则复数的模是A.10B.C.D.3. 己知是等差数列{ }的前n项和，，则A.20B.28C.36D.44.函数，若实数满足，则A.2B.4C. 6D.85. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A-M-N-A1，则蚂蚁爬行的最短路程是A. B.C. D.6. 函数的图象的大致形状是7.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形。
若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是A. B.C. D.8.为了计算，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.9.若函数在R上的最大值是3，则实数A.-6B. -5C.-3D. -210. 直线是抛物线在点(-2,2)处的切线，点P是圆上的动点，则点P 到直线的距离的最小值等于A.0B.C. D.11.如图是某个几何体的三视图，根据图中数据（单位：cm) 求得该几何体的表面积是A. B.C. D.12.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且函数满足，则下列命题中正确的是A.函数图象的两条相邻对称轴之间距离为B.函数图象关于点( )对称C.函数图象关于直线对称D.函数在区间内为单调递减函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
13.向量与向量(-1,2)的夹角余弦值是.14. 若双曲线的一条渐近线方程是,则此双曲线的离心率为.15.设实数满足不等式，则函数的最大值为.16.在△ABC中，AB= 1，BC = ，C4 = 3, 0为△ABC的外心，若，其中，则点P的轨迹所对应图形的面积是.三、解答题：本大题满分60分。
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(九) Word版含解析
小题必刷卷(九)
1.B [解析] 因为 A={x|x2-x-2>0}={x|x>2 或 x<-1},所以∁RA={x|-1≤x≤2}.
甲同学认为 a 一定比 b 大,乙同学认为 a 和 b 有可能相等.那么甲、乙两位同学的说法中( )
A.甲对乙不对 B.乙对甲不对 C.甲乙都对 D.甲乙都不对
12
21.[2018·安徽宿州一检] 若圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 关于直线 l:ax+by-2=0(a>0,b>0)对称,则������+������的最小
{������ - 2������ + 4 ≥ 0,
9.[2016·江苏卷] 已知实数 x,y 满足 2������ + ������ - 2 ≥ 0,则 x2+y2 的取值范围是 . 3������ - ������ - 3 ≤ 0,
角度 3 基本不等式及其应用
1
10.[2018·天津卷] 已知 a,b∈R,且 a-3b+6=0,则 2a+8������的最小值为 . 11.[2017·江苏卷] 某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/次,一年的总存储费 用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是 .
若这四位同学中只有两位同学的预测结果是正确的,则获得一等奖的团队是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2019届高考数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：解答必刷卷(二)三角函数、解三角形(含解析)
解答必刷卷(二)三角函数、解三角形考查范围:第16讲~第23讲题组一真题集训1.[2014·全国卷Ⅱ]四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.2.[2018·天津卷]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos B-π.6(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.3.[2016·四川卷]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosA+cosB=sinC.a b c(1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=6bc,求tan B.5题组二模拟强化4.[2018·湖南三湘名校三联]如图J2-1,a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,∠ABC=π,cos∠ADC=1,c=8,CD=2.37(1)求a的值;(2)求△ADC的外接圆的半径R.图J2-15.[2018·四川内江一模]△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b cos C+c sin B=0.(1)求C;(2)若a=√5,b=√10,点D在边AB上,CD=BD,求CD的长.6.[2018·武汉武昌区5月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,△c,已知ABC的外接圆半径R=√2,且tan B+tanC=√2sinA.cosC(1)求B和b的值;(2)求△ABC面积的最大值.解答必刷卷(二)1.解:(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos C=13-12cos C,①BD2=AB2+DA2-2AB·DA cos A=5+4cos C.②cos A=b +c2-a 2=3, 由①②得 cos C=1,故 C=60°,BD=√7. 2(2)四边形 ABCD 的面积 S=1AB ·DA sin A+1BC ·CD sin C=(1 × 1 × 2 + 1 × 3 × 2)sin 60°=2√3. 22 2 2 2△.解:(1)在 ABC 中,由正弦定理知a =b ,可得 sinA sinB b sin A=a sin B ,又 b sin A=a cos B-π ,所以 a sin B=a cos B-π ,即 sin B=cos B-π ,可得 tan B=√3. 66 6 又因为 B ∈(0,π),所以 B=π. 3(2)在△ABC 中,由余弦定理及 a=2,c=3,B=π,有 b 2=a 2+c 2-2ac cos B=7,故 b=√7. 3由 b sin A=a cos B-π ,可得 sin A=√3. 6√7 因为 a<c ,故 cos A= 2 .√7因此 sin 2A=2sin A cos A=4√3,cos 2A=2cos 2A-1=1. 77所以 sin(2A-B )=sin 2A cos B-cos 2A sin B=4√3×1-1×√3=3√3. 72 7 2 143.解:(1)证明:根据正弦定理,可设 a = b = c =k (k>0), sinA sinB sinC则 a=k sin A ,b=k sin B ,c=k sin C ,代入cosA +cosB =sinC 中,有 ab ccosA + cosB = sinC ,变形可得ksinA ksinB ksinC sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B ).在△ABC 中,由 A+B+C=π,有 sin(A+B )=sin(π-C )=sin C ,所以 sin A sin B=sin C.(2)由已知,b 2+c 2-a 2=6bc ,根据余弦定理,有 52 2bc5所以 sin A=√1 − cos 2A =4. 5由(1)知,sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B ,所以4sin B=4cos B+3sin B , 55 5故 tan B=sinB =4. cosB4.解:(1)因为 cos∠ADC=1, 7所以 sin∠ADC=sin∠ADB=4√3. 7所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠ABC )=4√3×1-1×√3=3√3, 7 2 7 2 14在△ADC 中,R= ·1 49√3= . 所以 c=5,所以a 2+c 2-b cos B= ==5+25−10 2√5. BC 2所以 =cos B ,所以 CD= a √5== .5 2cosB 2√52× 4 11 π √2因为 △S ABC = ac sin B= ac sin = ac , 所以 △S ABC = ac ≤ ×2(2+√2)=1+√2.√22sinB b=2R sin B=2√2× =2.√2,在△ABD 中,由正弦定理得 BD=csin ∠BAD =3,所以 a=3+2=5. sin ∠ADB(2)在△ABC 中,b=√a 2 + c 2-2accos ∠ABC =7.b 2 sin ∠ADC 245.解:(1)因为 b cos C+c sin B=0,所以由正弦定理知 sin B cos C+sin C sin B=0.因为 0<B<π,所以 sin B>0,于是 cos C+sin C=0,即 tan C=-1.因为 0<C<π,所以 C=3π. 4(2)由(1)结合余弦定理,得 c 2=a 2+b 2-2ab cos∠ACB=(√5)2+(√10)2-2×√5×√10×(- √2)=25, 2 2 2ac 2×√5×5 5 因为在△BCD 中, CD=BD 1 CD 5 6.解:(1)因为 tan B+tan C=√2si nA , cosC所以sinB +sinC =√2sinA , cosBcosC cosC所以 sin B cos C+cos B sin C=√2sin A cos B ,即 sin(B+C )=√2sin A cos B.因为 A+B+C=π,所以 sin(B+C )=sin A ,又因为 sin A ≠0,所以 cos B=√2,因为 0<B<π,所以 B=π. 24由正弦定理得 b =2R ,得2 (2)由余弦定理,得 b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以 4=a 2+c 2-√2ac.由基本不等式,得 4=a 2+c 2-√2ac ≥2ac-√2ac (当且仅当 a=c 时取等号),所以 ac ≤ 4 =2(2+√2). 2−√22 2 4 44 4 所以△ABC 面积的最大值为 1+√2.。
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(九) Word版含解析
小题必刷卷(九) 不等式、推理与证明考查范围:第33讲~第38讲题组一 刷真题角度1 一元二次不等式及其解法1.[2018·全国卷Ⅰ] 已知集合A={x|x 2-x-2>0},则∁R A=( )A .{x|-1<x<2}B .{x|-1≤x ≤2}C .{x|x<-1}∪{x|x>2}D .{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}2.[2014·全国卷] 不等式组的解集为( ){x (x +2)>0,|x |<1A .{x|-2<x<-1}B .{x|-1<x<0}C .{x|0<x<1}D .{x|x>1}3.[2016·全国卷Ⅰ] 若函数f (x )=x-sin 2x+a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( )13A .[-1,1]B .-1,13C .-,D .-1,-1313134.[2016·江苏卷] 函数y=的定义域是 .3‒2x -x 2角度2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题5.[2014·全国卷Ⅰ] 设x ,y 满足约束条件且z=x+ay 的最小值为7,则a=( ){x +y ≥a ,x -y ≤‒1,A .-5B .3C .-5或3D .5或-36.[2016·浙江卷] 在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影,由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB ,则|AB|=( ){x -2≤0,x +y ≥0,x -3y +4≥0A .2B .42C .3D .627.[2018·全国卷Ⅰ] 若x ,y 满足约束条件则z=3x+2y 的最大值为 .{x -2y -2≤0,x -y +1≥0,y ≤0,8.[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.9.[2016·江苏卷] 已知实数x ,y 满足则x 2+y 2的取值范围是 .{x -2y +4≥0,2x +y -2≥0,3x -y -3≤0,角度3 基本不等式及其应用10.[2018·天津卷] 已知a ,b ∈R ,且a-3b+6=0,则2a +的最小值为 .18b 11.[2017·江苏卷] 某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 .12.[2017·山东卷] 若直线+=1(a>0,b>0) 过点(1,2),则2a+b 的最小值为 . x a yb 角度4 推理与证明13.[2017·全国卷Ⅱ] 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A .乙可以知道四人的成绩B .丁可以知道四人的成绩C .乙、丁可以知道对方的成绩D .乙、丁可以知道自己的成绩14.[2014·全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市.乙说:我没去过C 城市.丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .15.[2016·山东卷] 观察下列等式:sin -2+sin -2=×1×2;π32π343sin -2+sin -2+sin -2+sin -2=×2×3;π52π53π54π543sin -2+sin -2+sin -2+…+sin -2=×3×4;π72π73π76π743sin -2+sin -2+sin -2+…+sin -2=×4×5;π92π93π98π943……照此规律,sin -2+sin -2+sin -2+…+sin -2= .π2n +12π2n +13π2n +12nπ2n +1题组二 刷模拟16.[2018·石家庄二中模拟] 已知集合A=x ≥0,B={-1,0,1,2,3},则A ∩B=( )x2‒x A .{-1,0,3}B .{0,1}C .{0,1,2}D .{0,2,3}17.[2018·福建莆田3月质检] “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸称为天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥称为地支.如:公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年,公元1986年农历为丙寅年.则公元2047年农历为( )A .乙丑年B .丙寅年C .丁卯年D .戊辰年18.[2018·甘肃西北师大附中月考] 已知点P (x ,y )在不等式组表示的平面区域内运动,{x -2≤0,y -1≤0,x +2y -2≥0则z=x-y 的取值范围是( )A .[-2,-1]B .[-2,1]C .[-1,2]D .[1,2]19.[2018·江西赣州模拟] 下列说法正确的是( )A. 若a>b ,则ac 2>bc 2B. 若a 2>b 2,则a>bC. 若a>b ,c<0,则a+c<b+cD. 若<,则a<ba b 20.[2018·郑州三模] 将标号为1,2,…,20的20张卡片放入下列表格中,一个格放入一张卡片,选出每列标号最小的卡片,将这些卡片中标号最大的数设为a ;选出每行标号最大的卡片,将这些卡片中标号最小的数设为b.甲同学认为a 一定比b 大,乙同学认为a 和b 有可能相等.那么甲、乙两位同学的说法中( )A .甲对乙不对B .乙对甲不对C .甲乙都对D .甲乙都不对21.[2018·安徽宿州一检] 若圆C :x 2+y 2-4x-2y+1=0关于直线l :ax+by-2=0(a>0,b>0)对称,则+的最小1a 2b 值为( )A .1B .5C .4D .4222.[2018·太原模拟] 已知命题p :∃x 0∈R ,-x 0+1≥0;命题q :若a<b ,则>.则下列为真命题的是x 201a 1b ( )A .p ∧qB .p ∧qC .p ∧qD .p ∧q23.[2018·天津一中月考] 已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b 的最小值是( )1a +11b +1A .3B .2C .3D .22224.[2018·辽宁大连二模] 在社会生产生活中,经常会遇到这样的问题:某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产 1吨甲、乙产品可获利润分别为4万元、6万元,问怎样设计生产方案,该企业每天可获得最大利润?我们在解决此类问题时,设x ,y 分别表示每天生产甲、乙产品的吨数,则x ,y 应满足的约束条件是( )生产甲产品1吨生产乙产品1吨每天原料限额(吨)原料A 数量(吨)3521原料B 数量(吨)2313A .B .C .D .{x ≥0,y ≥0,3x +5y ≤21,2x +3y ≥13{x ≥0,y ≥0,3x +5y ≥21,2x +3y ≤13{x ≥0,y ≥0,3x +5y ≤21,2x +3y ≤13{x ≥0,y ≥0,3x +5y ≥21,2x +3y ≥1325.[2018·北京朝阳区一模] 某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得一等奖”;小王说:“丁团队获得一等奖”;小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”; 小赵说:“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位同学的预测结果是正确的,则获得一等奖的团队是( )A .甲B .乙C .丙D .丁26.[2018·河南八市一联] 观察下列关系式:1+x=1+x ;(1+x )2≥1+2x ;(1+x )3≥1+3x ……由此规律,得到的第n 个关系式为 .27.[2018·安徽芜湖五月模拟] 已知实数x ,y 满足约束条件则z=x+y-2的最大值{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,y ≥1,12为 .28.[2018·菏泽一模] 若实数x ,y 满足|x-3|+|y-2|≤1,则z=的最小值是 .yx 29.[2018·重庆调研] 已知实数x ,y 满足若目标函数z=ax+y 在点(3,2)处取得最大值,则{x -3y +3≥0,x +y -1≥0,x -y -1≤0,实数a 的取值范围为 .30.[2018·山东枣庄二模] 已知实数x ,y 满足则的最大值为 . {x ≥0,y ≥0,x +y -1≤0,(x +1)2+y 2小题必刷卷(九)1.B [解析] 因为A={x|x 2-x-2>0}={x|x>2或x<-1},所以∁R A={x|-1≤x ≤2}.2.C [解析] 由得即0<x<1.{x (x +2)>0,|x |<1,{x >0或x <‒2,-1<x <1,3.C [解析] 方法一:对函数f (x )求导得f'(x )=1-cos 2x+a cos x=-cos 2x+a cos x+,因为函数f (x )在R 上单234353调递增,所以f'(x )≥0,即-cos 2x+a cos x+≥0恒成立.设t=cos x ∈[-1,1],则g (t )=4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,4353所以有解得-≤a ≤.{g (-1)=4×(-1)2-3a ×(‒1)‒5≤0,g (1)=4×12-3a ×1‒5≤0,1313方法二:取a=-1,则f (x )=x-sin 2x-sin x ,f'(x )=1-cos 2x-cos x ,但f'(0)=1--1=-<0,不满足f (x )在(-∞,+∞)单13232323调递增,排除A ,B ,D ,故选C .4.[-3,1] [解析] 令3-2x-x 2≥0可得x 2+2x-3≤0,解得-3≤x ≤1,故所求函数的定义域为[-3,1].5.B [解析] 当a<0时,作出相应的可行域,可知目标函数z=x+ay 不存在最小值.当a ≥0时,作出可行域如图,易知当->-1,即a>1时,目标函数在A 点取得最小值.由A ,知zmin =1a (a -12,a +12)+=7,解得a=3或-5(舍去).a -12a 2+a26.C [解析] 易知线性区域为图中三角形MNP (包括边界),且MN 与AB 平行,故|AB|=|MN|,易得M (-1,1),N (2,-2),则|MN|=3,故|AB|=3.227.6 [解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线y=-x+经过点A (2,0)时,z 最大,所32z2以z max =3×2+2×0=6.8.216 000 [解析] 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件,利润之和为z 元,则即{1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ∈N,y ∈N,目标函数为z=2100x+900y.{3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ∈N,y ∈N,作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y 经过点M 时,z 取得最大值.解方程组得M 的坐标为{10x +3y =900,5x +3y =600,(60,100),所以当x=60,y=100时,z max =2100×60+900×100=216 000.9.,13 [解析] 可行域如图中阴影部分所示,x 2+y 2为可行域中任一点(x ,y )到原点(0,0)的距离的平方.45由图可知,x 2+y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方,即2=,最大值为OB 2=22+32=13.|-2|54510. [解析] 由已知得a-3b=-6,由基本不等式得2a +≥2==(当且仅当a=-3b=-3时取等号).1418b 2a -3b 2231411.30 [解析] 总费用为×6+4x=4≥4×2=240,当且仅当x=30时等号成立,故x 的值是600x (900x +x )90030.12.8 [解析] 由条件可得+=1,所以2a+b=(2a+b )+=4++≥4+2=8,当且仅当=,即b=2a 1a 2b 1a 2b 4a b ba 44ab ba 时取等号,所以最小值为8.13.D [解析] 由于四人中有2位优秀,2位良好,甲看了乙、丙的成绩后不知道自己的成绩,说明乙、丙2位中优秀、良好各1位,所以甲、丁2位中也是优秀、良好各1位,所以乙看了丙的成绩后一定知道自己的成绩,同样,丁看了甲的成绩后一定知道自己的成绩.14.A [解析] 由甲没去过B 城市,乙没去过C 城市,而三人去过同一城市,可知三人去过城市A ,又由甲最多去过两个城市,且去过的城市比乙多,故乙只去过A 城市.15.n (n+1) [解析] 第一个等式中,1=,2=;第二个等式中,2=,3=;第三个等式中,3=433‒123+125‒125+127‒12,4=.由此可推得第n 个等式等于××=n (n+1).7+12432n +1‒122n +1+124316.B [解析] 由≥0,得≤0,解得0≤x<2,因此A ∩B={0,1},故选B .x2‒x xx -217.C [解析] 记公元1984年为第1年,则公元2047年为第64年,即天干循环了6次多4个为“丁”,地支循环了5次多4个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年.故选C .18.C [解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x-y 得y=x-z ,由图可知,当直线y=x-z 经过点C (2,0)时,直线y=x-z 在y 轴上的截距最小,此时z 取得最大值,即z max =2-0=2.当直线y=x-z 经过点A (0,1)时,直线y=x-z 在y 轴上的截距最大,此时z 取得最小值,即z min =0-1=-1.故-1≤z ≤2.故选C .19.D [解析] 选项A 中,当c=0时,ac 2=bc 2,所以A 中说法错误;选项B 中,当a=-2,b=-1时,满足a 2>b 2,但不满足a>b ,所以B 中说法错误;选项C 中,a+c>b+c ,所以C 中说法错误;选项D 中,由0≤<两边a b 平方,得()2<()2,即a<b ,所以D 中说法正确.故选D .a b 20.B [解析] 每列最小数中的最大数的最大值是17,即a ≤17,每行最大数中的最小数的最小值是5,即b ≥,所以乙对甲不对.故选B .521.D [解析] 由题知直线ax+by-2=0(a>0,b>0)过圆心C (2,1),即2a+b=2,因此+=+(2a+b )=1a 2b 121a 2b 122+++2≥×(4+4)=4,当且仅当b=2a=1时取等号,故选D .b a 4a b 1222.B [解析] 当x 0=0时,-x 0+1=1≥0,∴命题p 为真命题.∵-2<2,-<,∴命题q 为假命题.故p ∧q 为真命x 201212题,故选B .23.B [解析] ∵a>0,b>0,+=1,∴a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=[(a+1)+2(b+1)]·+-3=1a +11b +11a +11b +11+2++-3≥3+2-3=2,当且仅当=,即a=,b=时取等号.故选B .2(b +1)a +1a +1b +1222(b +1)a +1a +1b +122224.C [解析] 由原料A 的每天限额为21吨,得3x+5y ≤21,由原料B 的每天限额为13吨,得2x+3y ≤13,又x ≥0,y ≥0,故选C .25.D [解析] 若甲团队获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测结果都正确,与题意不符;若乙团队获得一等奖,则只有小张的预测结果正确,与题意不符;若丙团队获得一等奖,则四人的预测结果都错误,与题意不符;若丁团队获得一等奖,则小王、小李的预测结果都正确,小张、小赵的预测结果都错误,符合题意.故选D .26.(1+x )n ≥1+nx [解析] 左边为等比数列,右边为等差数列,所以第n 个关系式为(1+x )n ≥1+nx.27.8 [解析] 要求目标函数的最大值,只需求t=x+y-2的最小值.画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,在直线x-3y+5=0和直线y=1的交点(-2,1)处,t 取得最小值,即t min =-2+1-2=-3,所以z=x+y-2的最大值为-3=8.121228. [解析] |x-3|+|y-2|≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示.13z=表示该区域内的点与坐标原点连线的斜率,由图可知,当x=3,y=1时,z=取得最小值.y x y x 1329.-,+∞ [解析] 画出约束条件所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.13把目标函数z=ax+y 化为y=-ax+z ,则当直线y=-ax+z 在y 轴上的截距最大时,目标函数取得最大值,直线x-3y+3=0的斜率为,又目标函数z=ax+y 在点A (3,2)处取得最大值,所以由图可知-a ≤,即a ≥-,故实数a 的131313取值范围是-,+∞.1330.2 [解析] 画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示.表示可行域内的点到A (-1,0)的距离,由图可知,所求的最大距离为点P (1,0)到点A 的距离,(x +1)2+y 2故的最大值为2.(x +1)2+y 2。
全国通用-2019年最新高考数学文科第二次诊断试题及答案解析
最新高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={x|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，4）C．（0，1] D．（0，4）2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0） C．（0，1）D．（1，2）3．复数z=（其中i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=cos（2x+）B．g（x）=cos（2x+）C．g（x）=cos（+）D．g（x）=cos（+）6．已知直线l：x+y=2与圆C：x2+y2﹣2y=3交于A，B两点，则|AB|=（）A．B．2C．D．7．已知函数f（x）=，若f（f（﹣1））=2，在实数m的值为（）A．1 B．1或﹣1 C．D．或﹣8．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，104），[104，108），[108，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．409．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形10．已知抛物线y=x2的焦点为F，过点（0，2）作直线l与抛物线交于A，B两点，点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．2B．C．D．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．双曲线=l的一个焦点坐标为（3，0），则该双曲线的离心率为______．12．某单位有职工200人，其年龄分布如下表：年龄（岁）[20，30）[30，40）[40，60）人数70 90 40为了解该单位职工的身体健康状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查，则年龄在[30，40）内的职工应抽取的人数为______．13．已知实数x，y满足，则x﹣2y的取值范围是______．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为______15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①函数f（x）的图象关于坐标原点对称；②∀x＞0，不等式f（x）＜3x恒成立；③∃k∈R，使方程f（x）=k没有的实数根；④若数列{a n}是公差为的等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知数列{a n}中，a1=1，又数列{}（n∈N*）是公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球，小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖．现某顾客依次有放回的抽奖两次．（I）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；（Ⅱ）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．19．在三棱柱ABC﹣A1B l C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，AM=AC．（I）若三棱锥A1﹣C1ME的体积为，求AA1的长；（Ⅱ）证明：CB1∥平面A1EM．20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF2|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，设．若λ∈[1，2]，求△ABF2面积的取值范围．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）证明：当x∈[1，+∞）时，不等式恒成立；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与2tan（a﹣）的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={x|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，4）C．（0，1] D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】先求出集合A，再利用并集的定义求出集合A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B={x|﹣1≤x＜4}=[﹣1，4）．故选：B．2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0） C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（﹣1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（﹣1）=2﹣1+1﹣2=﹣＜0，f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，故有f（0）•f（1）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的区间是（0，1）故选：C．3．复数z=（其中i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z====1+2i．复数对应点（1，2）在第一象限．故选：A．4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断．【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A，（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B，（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=cos（2x+）B．g（x）=cos（2x+）C．g（x）=cos（+）D．g（x）=cos（+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得到结论．【解答】解：函数y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到g（x）=sin（2x+）的函数图象．故选：B．6．已知直线l：x+y=2与圆C：x2+y2﹣2y=3交于A，B两点，则|AB|=（）A．B．2C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的弦长公式|AB|=2，求出d与r，代入公式，可得答案．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=3是以（0，1）为圆心，以r=2为半径的圆，圆心到直线l：x+y=2的距离d=，故|AB|=2=，故选：A．7．已知函数f（x）=，若f（f（﹣1））=2，在实数m的值为（）A．1 B．1或﹣1 C．D．或﹣【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，建立方程关系进行求解即可，【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣1）=1+m2≥1，则f（f（﹣1））=f（1+m2）=log2（1+m2）=2，则1+m2=4，得m2=3，得m=或﹣，故选：D．8．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，104），[104，108），[108，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．40【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出得分数低于112分的频率，从而求出高三（1）班总人数，再求出分数不低于120分的频率，由此能求出分数不低于120分的人数．【解答】解：由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：（0.01+0.03+0.05）×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1）班总人数为：n==50，∵分数不低于120分的频率为：（0.03+0.02）×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人．故选：A．9．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【考点】棱锥的结构特征．【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF ⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．10．已知抛物线y=x2的焦点为F，过点（0，2）作直线l与抛物线交于A，B两点，点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．2B．C．D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB方程为y=kx+2，联立y=x2求解，设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离，利用四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2），可得S关于k的函数，利用导数知识即可求解．【解答】解：不妨设位于第一象限的交点为A（x1，y1）、第二象限的交点为B（x2，y2），则x1＞0，x2＜0．OA的直线方程为y=x=x1x，F点的坐标为（0，）．设直线AB方程为y=kx+2，联立y=x2求解，有x2﹣kx﹣2=0∴x1+x2=k，x1x2=﹣2，△=k2+8，x1=（k+）①；线段AB=②．设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离．∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1．∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2）．根据点到直线距离公式，d1=③，d2=④．又线段OA=⑤，∴将①～⑤代入S，有S=（k+17）．由S对k求导，令导函数=0，可得1+=0，解得k=﹣时，S最小，其值为3．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．双曲线=l的一个焦点坐标为（3，0），则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的焦点坐标，建立a，b，c的关系进行求解即可．【解答】解：∵双曲线=l的一个焦点坐标为（3，0），∴c=3，则c2=a2+5=9，即a2=9﹣5=4，则a=2，则双曲线的离心率e==，故答案为：12．某单位有职工200人，其年龄分布如下表：年龄（岁）[20，30）[30，40）[40，60）人数70 90 40为了解该单位职工的身体健康状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查，则年龄在[30，40）内的职工应抽取的人数为18 ．【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样原理进行求解即可．【解答】解：由已知得，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查，年龄在[30，40]内的职工应抽取的人数为：40×=18．故答案为：18．13．已知实数x，y满足，则x﹣2y的取值范围是[﹣4，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（1，0），联立，解得B（2，3），令z=x﹣2y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值，为1；当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，为2﹣2×3=﹣4．∴x﹣2y的取值范围是[﹣4，1]．故答案为：[﹣4，1]．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，S=•（2﹣），不满足退出循环的条件，k=2，α=；第二次执行循环体，S=•（2﹣）•，不满足退出循环的条件，k=3，α=；第三次执行循环体，S=•（2﹣）••1，不满足退出循环的条件，k=4，α=；第四次执行循环体，S=•（2﹣）••1•，不满足退出循环的条件，k=4，α=；第五次执行循环体，S=•（2﹣）••1••（2+），满足退出循环的条件，故输出的S值为：S=•（2﹣）••1••（2+）=，故答案为：15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①函数f（x）的图象关于坐标原点对称；②∀x＞0，不等式f（x）＜3x恒成立；③∃k∈R，使方程f（x）=k没有的实数根；④若数列{a n}是公差为的等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有①②④．（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的图象．【分析】①根据奇函数的性质可直接判断；②构造函数，利用导函数判断函数的单调性，求出最值即可；③根据函数的连续性和值域可判断；④根据函数表达式和题意可判断．【解答】解：①函数f（x）为奇函数，故图象关于坐标原点对称，故正确；②∀x＞0，f（x）﹣3x=sin2x﹣2，令g（x）=sin2x﹣2，g'（x）=2（cos2x﹣1）＜0，∴g（x）递减，g（x）＜g（0）=0，∴f（x）＜3x恒成立，故正确；③由函数为奇函数，且值域为（﹣∞，+∞），故无论R为何值，方程f（x）=k都有实数根，故错误；④若数列{a n}是公差为的等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，∴a l+a2+a3=3π，sin2a l+sin2a2+sin2a3=0，解得a2=π，故正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知数列{a n}中，a1=1，又数列{}（n∈N*）是公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）a1=1，又数列{}（n∈N*）是公差为1的等差数列．可得=2+（n﹣1），即可得出a n．（2）由a n==2．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵a1=1，又数列{}（n∈N*）是公差为1的等差数列．∴=2+（n﹣1）=n+1，∴a n=．（2）∵a n==2．∴数列{a n}的前n项和S n=2+…+=2=．17．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球，小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖．现某顾客依次有放回的抽奖两次．（I）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；（Ⅱ）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）先列举所有的结果，两次都没有中奖的情况有（1，1），（1，5），（5，1），（5，5），共4种，根据概率公式计算即可，（Ⅱ）分类求出顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率，再根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）该顾客有放回的抽奖两次的所有的结果如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）；共有25种，两次都没有中奖的情况有（1，1），（1，5），（5，1），（5，5），共4种，∴两次都没有中奖的概率为P=，（Ⅱ）两次抽奖奖金之和为100元的情况有：①第一次获奖100元，第二次没有获奖，其结果有（3，1），（3，5），故概率为P1=，②两次获奖50元，其结果有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），故概率为P2=②第一次没有中奖，第二次获奖100元，其结果有13.53，故概率为P3=，∴所求概率P=P1+P2+P3=．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由余弦定理可得：cosA===，即可得出．（II）由正弦定理可得：可得b=，可得bsinC=2sinBsin=+，根据B∈即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）由正弦定理可得：，可得b=，bsinC=•sinC=2sinBsin=2sinB=sin2B+=+，∵B∈，∴∈．∴∈．∴bsinC∈．19．在三棱柱ABC﹣A1B l C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，AM=AC．（I）若三棱锥A1﹣C1ME的体积为，求AA1的长；（Ⅱ）证明：CB1∥平面A1EM．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）由A1A⊥AB，AC⊥AB可知AB⊥平面ACC1A1，故E到平面ACC1A1的距离等于AB，于是VV=V，根据体积列出方程解出A1A；（II）连结AB1交A1E于F，连结MF，由矩形知识可知AF=，故MF∥CB1，所以CB1∥平面A1EM．【解答】解：（I）∵A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴A1A⊥AB，又A1A⊥AC，A1A⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，A1A∩AC=A，∴AB⊥平面ACC1A1，∵BB1∥平面ACC1A1，∴V=V====．∴A1A=．（II）连结AB1交A1E于F，连结MF，∵E是B1B的中点，∴AF=，又AM=，∴MF∥CB1，又MF⊂平面A1ME，CB1⊄平面A1ME∴CB1∥平面A1EM．20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF2|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，设．若λ∈[1，2]，求△ABF2面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意即可得出F1（﹣1，0），F2（1，0），根据抛物线的定义以及点P在抛物线上即可得出P点坐标，从而可以求出|PF1|，从而根据椭圆的定义可得出a=2，进而求出b2=3，这样即可得出椭圆的方程为；（Ⅱ）根据题意可设l：x=my﹣1，联立椭圆方程并消去x可得到（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，可设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理便可得到（1），而由可得到y1=﹣λy2，带入（1）并消去y1，y2可得．而由λ的范围便可求出的范围，从而得出，可以得到，根据m2的范围，换元即可求出△ABF2的面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义，得点P到直线x=﹣1的距离为，且点P在抛物线y2=4x 上；∴；∴；∴由椭圆定义得，；∴a=2；又a2﹣b2=1，∴b2=3；∴椭圆的方程为；（Ⅱ）据题意知，直线l的斜率不为0，设直线l：x=my﹣1，代入椭圆方程，消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则：（1）；∵；∴﹣y1=λy2带入（1）消去y1，y2得：；∵λ∈[1，2]；∴；∴；解得；∴==；令，则m2=t2﹣1；∴；∵；∴；∴△ABF2面积的取值范围为．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）证明：当x∈[1，+∞）时，不等式恒成立；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与2tan（a﹣）的大小，并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）可化为（x+1）lnx﹣2（x﹣1）≥0，构造函数，确定函数的单调性，即可证明：当x∈[1，+∞）时，不等式恒成立；（Ⅲ）已知a∈（0，），证明＜，分类讨论，即可比较f（tana）与2tan（a﹣）的大小．【解答】解：（I）函数g（x）=x﹣1﹣f（x）=x﹣1﹣lnx，g′（x）=（x＞0），∴g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，g（x）的极小值为0；证明：（Ⅱ）可化为（x+1）lnx﹣2（x﹣1）≥0，令h（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1）（x≥1），则h′（x）=+lnx﹣1，令φ（x）=+lnx﹣1（x≥1），则φ′（x）=，∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增，∴φ（x）≥φ（1）=0，即h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0，∴；解：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，＞．∵0＜x＜1，∴＞1∴＞，∴＜，∵f（tana）=lntana，2tan（a﹣）=2•，∴0＜a＜，0＜tana＜1，f（tana）＜2tan（a﹣），a=，tana﹣1，f（tana）=2tan（a﹣），＜a＜，tana＞1，f（tana）＞2tan（a﹣）．2016年9月20日。
2019高考数学(理)考前冲刺必刷卷：小题必刷卷7套 解答题必刷卷2套解答必刷卷(二)答案
解答必刷卷(二)题组一刷真题1.解:(1)由角α的终边过点P--得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.(2)由角α的终边过点P--得cos α=-,由sin(α+β)=得cos(α+β)=±.由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=.2.解:(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin ADB=.由题设知,ADB<90 ,所以cos ADB=-=.(2)由题设及(1)知,cos BDC=sin ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos BDC=25+8-2×5×2×=25,所以BC=5.3.解:(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=,由正弦定理得sin C sin B=.故sin B sin C=.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-,所以B+C=,故A=.由题设得bc sin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC的周长为3+.题组二刷模拟4.解:(1)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=2+5-2×××-=9,∴a=3.(2)在△ABC中,由cos A=-得A∈,∴sin A=-=--=.由正弦定理得=,即=,∴sin B=,又A∈,故B∈,∴cos B=-=-=,∴cos(B-A)=cos B cos A+sin B sin A=×-+×=.5.解:(1)由a2=b2+c2-2bc cos A,得b2+c2+bc=37,又3b-2c=6,所以19b2-48b-112=0,解得b=4(负值舍去).(2)由(1)知,b=4,c=3,在△ABD中,=,在△ACD中,=,又sin ADB=sin ADC,所以==,即BD=.在△ABC中,cos B=-=,所以sin B=,所以S△ABD=AB·BD·sin B=×3××=.6.解:(1)在△ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos B=57,所以AC=由正弦定理=2R,得R===,故△ABC外接圆的半径R为.(2)由AD=CD,得DCA=DAC,所以BAD=CAB-CAD=CAB-ACB=θ.由sin θ=sin BAD=,得cos θ=cos BAD=.设BD=x,则DC=8-x,DA=8-x.在△ABD中,BA=7,BD=x,DA=8-x,cos BAD=,由余弦定理得x2=72+(8-x)2-2×7×(8-x)×,解得x=3,所以BD=3,DA=5.由正弦定理得=,即=,所以sin B=,所以S△ABC=BA·BC·sin B=10,故△ABC的面积为10.。
2019年高考数学(文科)二轮专题复习小题提速练一(含答案)
小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]D ．[－1，2)解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.2．如果复数m 2＋i1＋m i是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1通解：选D.m 2＋i 1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝m 2＋m ＋（1－m 3）i1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D. 优解：设m 2＋i 1＋m i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2，b ＝1，解得m ＝－1或0，故选D.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．6D ．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.4．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B ．54 C.43D ．53解析：选D.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为y ＝±ba x ，所以根据一条渐近线经过点(3，－4)，可知3b ＝4a ∴b a ＝43.∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53. 5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，c ＝ln 3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c 通解：选B.因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.优解：因为a 3＝12＞b 3＝127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x解析：选C.因为y ＝2x为增函数，y ＝2－x为减函数，所以y ＝2x －2－x 为增函数，又y ＝2x －2－x为奇函数，所以选C.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.4 33π B ．12π C.33π D ．36π 解析：选D.由三视图可知该几何体为一个半圆锥，其中圆锥的底面半圆的半径为1，母线长为2，所以圆锥的高为3，所以该几何体的体积V ＝13×12π×12× 3＝36π，故选D.8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选 A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π3对称，故B 、D 错误．故选A.9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－3 3πB ．4－6 3πC.13－32πD ．23解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－6 3r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－6 3π，故选B. 10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )， ∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x，g (y )＝a y，则g (x ＋y )＝ax ＋y＝a x ·a y＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.11．已知抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－ 4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min ＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x2，则l AM ∶y －y A ＝x A2(x －x A )，即l AM ：y ＝12x A x －y A ，同理l BM：y ＝12x Bx －y B，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x Ax －y A，y ＝12x Bx －y B，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A＋x B2，x A·x B4.设l AB 为y ＝kx ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1C.22＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知y ′＝1x，则切线l的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 2，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln2 2＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故 2＜x 0＜3，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________．解析：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b ）＝0，故|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝12，故a与b 的夹角为60°.答案：60°14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为________．解：该程序框图的执行过程如下：v ＝1，i ＝2；v ＝1×2＋2＝4，i ＝1；v ＝4×2＋1＝9，i ＝0；v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1，此时输出v ＝18.答案：1815．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________．解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不的纵坐标为2 2，妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 即A (2，2 2)，所以直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由错误!解得错误!或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2，所以点B 的横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝32.解法二：如图，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |cos θ＋1＝2－13|BF |，所以|BF |＝32.答案：3216．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝5 3，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．解析：如图，在△ABC 中，BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以c os∠CDB ＝CD BD ＝52x.在△ACD 中，AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，则cos∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝x 2＋52－（5 3）22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos∠ADC ＝－cos∠CDB ，即x 2＋52－（5 3）22×x ×5＝－52x，解得x ＝5，所以AD 的长为5.答案：5。
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：解答必刷卷(三) 数列 Word版含解析
解答必刷卷(三) 数列考查范围:第28讲~第32讲题组一 真题集训1.[2018·全国卷Ⅲ] 等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3.(1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.2.[2017·全国卷Ⅲ] 设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列的前n 项和.{a n 2n +1}3.[2018·天津卷] 设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6.(1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.题组二 模拟强化4.[2018·重庆八中月考] 已知数列{a n }满足a 1=1,a n -a n-1=2n-1(n ≥2,n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列b n =log 2(a n +1),求数列的前n 项和S n .{1b n ·b n +1}5.[2018·长春二模] 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-11.(1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)令b n =|a n |,求数列{b n }的前10项和S 10.6.[2018·吉林梅河口五中月考] 在数列{a n }中,a 1=1,a n+1={13a n+n ,n 为奇数,a n -3n ,n 为偶数.(1)证明:数列a 2n -是等比数列;32(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和,求S 2n .7.[2018·江西九校二联] 已知数列{a n }为等差数列,且a 2+a 3=8,a 5=3a 2.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =,设{b n }的前n 项和为S n ,求使得S n >的最小的正整数n.2a n a n +120172018解答必刷卷(三)1.解:(1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n-1.由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(2)若a n =(-2)n-1,则S n =.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解.1‒(‒2)n 3若a n =2n-1,则S n =2n -1.由S m =63得2m =64,解得m=6.综上,m=6.2.解:(1)因为a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n ,故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)a n =2,所以a n =(n ≥2).22n -1又由题设可得a 1=2,从而{a n }的通项公式为a n =.22n -1(2)记的前n 项和为S n ,{a n 2n +1}由(1)知==-,a n 2n +12(2n +1)(2n -1)12n -112n +1则S n =-+-+…+-=.1113131512n -112n +12n 2n +13.解:(1)设等比数列{b n }的公比为q.由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,所以可得q=2,故b n =2n-1.所以T n ==2n -1.1‒2n1‒2设等差数列{a n }的公差为d.由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d=4.由b 5=a 4+2a 6,可得3a 1+13d=16,从而a 1=1,d=1,故a n =n ,所以S n =.n (n +1)2(2)由(1),有T 1+T 2+…+T n =(21+22+…+2n )-n=-n=2n+1-n-2.2×(1‒2n )1‒2由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,可得+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n 2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4.n (n +1)2所以,n 的值为4.4.解:(1)∵a n -a n-1=2n-1(n ≥2,n ∈N *),∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+(a n-2-a n-3)+…+(a 2-a 1)+a 1,即a n =2n-1+2n-2+2n-3+…+22+21+1,则a n ==2n -1.1×(1‒2n )1‒2(2)b n =log 2(a n +1)=n ,则==-,1b n ·b n +11n (n +1)1n 1n +1∴S n =-+-+-+…+-=1-=.1112121313141n 1n +11n +1nn +15.解:(1)证明:∵a n =2n-11,∴a n+1-a n =2(n+1)-11-2n+11=2(n ∈N *),∴数列{a n }为等差数列.(2)由(1)得b n =|a n |=|2n-11|,∴当n ≤5时,b n =|2n-11|=11-2n ,当n ≥6时,b n =|2n-11|=2n-11.∴S 10=[55-2×(1+2+3+4+5)]+[2×(6+7+8+9+10)-55]=50.6.解:(1)证明:设b n =a 2n -,则b 1=a 2-=a 1+1-=-,3232133216因为=====,b n +1b n a 2(n +1)-32a 2n -3213a 2n +1+(2n +1)‒32a 2n -3213(a 2n -6n )+(2n +1)‒32a 2n -3213a 2n -12a 2n -3213所以数列a 2n -是以-为首项,为公比的等比数列.321613(2)由(1)得b n =a 2n -=-·=-·,即a 2n =-·+,3216(13)n -112(13)n 12(13)n 32由a 2n =a 2n-1+(2n-1),得a 2n-1=3a 2n -3(2n-1)=-·-6n+,1312(13)n -1152所以a 2n-1+a 2n =-·+-6n+9=-2·-6n+9,12(13)n -1(13)n(13)n故S 2n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2n-1+a 2n )=-2×++…+-6×(1+2+…+n )+9n=-2×-6·13(13)2(13)n13[1‒(13)n ]1‒13+9n=-1-3n 2+6n=-3(n-1)2+2.n (n +1)2(13)n (13)n7.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,依题意有{2a 1+3d =8,a 1+4d =3a 1+3d ,解得从而数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,n ∈N *.{a 1=1,d =2,(2)因为b n ==-,所以S n =-+-+…+-=1-.2a n a n +112n -112n +11113131512n -112n +112n +1令1->,解得n>1008.5,故使得S n >的最小正整数为1009.12n +12017201820172018。
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(七) Word版含解析
3.[2018·浙江卷] 复数1 ‒ i(i 为虚数单位)的共轭复数是 ( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
1‒i
4.[2018·全国卷Ⅰ] 设 z=1 + i+2i,则|z|=( )
1
A.0 B.2 C.1 D. 2
1
5.[2018·北京卷] 在复平面内,复数1 ‒ i的共轭复数对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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小题必刷卷(七) 平面向量、数系的扩充与复数的引入
考查范围:第 24 讲~第 27 讲
题组一 刷真题
角度 1 复数的概念、几何意义及运算 1.[2017·全国卷Ⅰ] 下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 2.[2016·全国卷Ⅰ] 设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a= ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3
13
31
11.[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量������������= 2, 2 ,������������= 2 ,2 ,则∠ABC=
( )
A.30° B.45°
C.60° D.120° 12.[2018·全国卷Ⅱ] 已知向量 a,b 满足|a|=1,a·b=-1,则 a·(2a-b)=( )
31
A.4������������-4������������
13
B.4������������-4������������
31
C.4������������+4������������
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习解答必刷卷(一)函数与导数含答案解析
1
1.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-������.
解答必刷卷(一)
1
由题设知,f'(2)=0,所以 a=2������2.
1
11
从而 f(x)=2������2ex-ln x-1,f'(x)=2������2ex-������.
当 0<x<2 时,f'(x)<0;当 x>2 时,f'(x)>0.
2
������������ ‒ 2
[(2 ‒ ������)������ + 2](������ ‒ 1)
当 a<2 时,h(x)=f(x)-(a-2)x=������+aln x-(a-2)x(x≥1),所以 h'(x)= ������2 -a+2=
������2
,令 h'(x)=0,
2
解得 x=-2 ‒ ������<0 或 x=1,所以函数 h(x)在[1,+∞)上单调递增,所以 h(x)≥h(1)=4-a>2.
当 a≤2 时,因为 f'(x)>0 对于任意 x∈(1,+∞)恒成立,所以 f(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以 f(x)>f(1)=0,此时满足题意;
������
������
当 a>2 时,易知 f(x)在 1,2 上单调递减,在 2,+∞ 上单调递增,
������
所以当 x∈ 1,2 时,有 f(x)<f(1)=0,不满足题意.
而 f(x)至多有一个零点.
( ) 又
1
f(3a-1)=-6a2+2a-3=-6
2019高考数学二轮复习含解析27套
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(二) 函数概念与函数的性质 Word版含解析
小题必刷卷(二).函数概念与函数的性质考查范围:第4讲~第6讲题组一 刷真题角度1 函数的概念1.[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )A .y=xB .y=lg xC .y=2xD .y=√x2.[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )= ( )A .-74B .-54C .-34D .-143.[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=log 2(x 2+a ),若f (3)=1,则a= .4.[2018·江苏卷] 函数f (x )=√log 2x -1的定义域为 .5.[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )=ax 3-2x 的图像过点(-1,4),则a= . 角度2 函数的性质6.[2016·北京卷] 下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( ) A .y=11−x B .y=cos x C .y=ln (x+1) D .y=2-x7.[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=ln x+ln (2-x ),则 ( ) A .f (x )在(0,2)单调递增 B .f (x )在(0,2)单调递减C .y=f (x )的图像关于直线x=1对称D .y=f (x )的图像关于点(1,0)对称8.[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-√2),则a 的取值范围是( )A .-∞,12B .-∞,12∪32,+∞C.12,3 2D.32,+∞9.[2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.5010.[2018·上海卷]已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.11.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.12.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.13.[2016·北京卷]函数f(x)=xx-1(x≥2)的最大值为.14.[2016·四川卷]若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-52 +f(2)=.15.[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.16.[2018·江苏卷]函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cosπx2,0<x≤2,|x+12|,−2<x≤0,则f(f(15))的值为.题组二刷模拟17.[2018·广西部分重点中学联考]已知函数f(x)=5-log3x,x∈(3,27],则f(x)的值域是()A.(2,4]B.[2,4)C.[-4,4)D.(6,9]18.[2018·合肥联考]已知函数f(x)与g(x)=a x(a>0且a≠1)的图像关于直线y=x对称,则“f(x)是增函数”的一个充分不必要条件是()A.0<a<12B.0<a<1C.2<a<3D.a>119.[2018·洛阳三模]下列函数为奇函数的是()A.y=x3+3x2B.y=e x+e-x 2C.y=log23−x3+xD.y=x sin x20.[2018·四川南充二模] 设f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),则f (-92)= ( ) A .34B .-34C .14D .-1421.[2019·哈尔滨三中月考] 函数f (x )=|log 3x|在区间[a ,b ]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为 ( ) A .2 B .23C .13D .122.[2018·合肥二模] 已知函数f (x )=a -2xa+2x是奇函数,则f (a )= ( )A .-13B .3C .-13或3 D .13或323.[2018·昆明二模] 若函数f (x )={x 2-4x +a,x <1,lnx +1,x ≥1的最小值是1,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,4]B .[4,+∞)C .(-∞,5]D .[5,+∞)24.[2018·安阳二模] 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,则f(x)xg(x)的值为( )A .1B .2C .3D .1225.[2018·湖南郴州二模] 已知函数f (x )=e x -1ex ,其中e 是自然对数的底数,则关于x 的不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0的解集为 ( )A .(-∞,-43)∪(2,+∞) B .(2,+∞) C .(-∞,43)∪(2,+∞) D .(-∞,2)26.[2018·河南郑州三模] 设函数f (x )={x 2+x -2,x ≤1,-lgx,x >1,则f [f (-4)]= .27.[2018·广西南宁模拟] 若函数f (x )={(a -1)x +2,x ≤1,-5-2lgx,x >1是R 上的减函数,则a 的取值范围是 .28.[2018·广西梧州二模] 已知函数f (x )是奇函数,定义域为R ,且x>0时,f (x )=lg x ,则满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是 .29.[2018·福州3月质检] 已知函数f (x )对任意x ∈R 都满足f (x )+f (-x )=0,f x+32为偶函数,当0<x ≤32时,f (x )=-x ,则f (2017)+f (2018)= .小题必刷卷(二)1.D [解析] y=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D 满足题意.2.A [解析] 因为2x-1-2>-2恒成立,所以可知a>1,于是由f (a )=-log 2(a+1)=-3得a=7,所以f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=-74.3.-7 [解析] 由f (3)=log 2(9+a )=1, 得9+a=2,即a=-7.4.[2,+∞) [解析] 要使函数f (x )有意义,必须满足{log 2x -1≥0,x >0,解得x ≥2,则函数f (x )的定义域为[2,+∞).5.-2 [解析] 由函数图像过点(-1,4),得f (-1)=a×(-1)3-2×(-1)=4,解得a=-2.6.D [解析] 选项A 中函数y=11−x =-1x -1在区间(-1,1)上是增函数;选项B 中函数y=cos x 在区间(-1,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数;选项C 中函数y=ln (x+1)在区间(-1,1)上是增函数;选项D 中函数y=2-x =12x在区间(-1,1)上是减函数.7.C [解析] 因为函数f (x )的定义域为(0,2),f (x )=ln x+ln (2-x )=ln (-x 2+2x )=ln [-(x-1)2+1],所以函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A ,B 错.由于函数y=-(x-1)2+1,x ∈(0,2)的图像关于直线x=1对称,所以函数f (x )=ln x+ln (2-x )的图像关于直线x=1对称.故选C .8.C [解析] 由f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(-∞,0)上单调递增,可知f (x )在区间(0,+∞)上单调递减,∴由f (2|a-1|)>f (-√2),f (-√2)=f (√2),可得2|a-1|<√2,即|a-1|<12,∴12<a<32.9.C [解析] 因为f (x )是奇函数,所以f (0)=0,且f [-(1-x )]=-f (1-x ),即f (1-x )=-f (x-1),又由f (1-x )=f (1+x )得f (x+1)=-f (x-1),所以f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=-f (x+2)=-[-f (x )]=f (x ),所以f (x )是以4为周期的周期函数.因为f (1)=2,f (2)=f (1+1)=f (1-1)=f (0)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-2,f (4)=f (0)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,故f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=f (1)+f (2)=2,故选C .10.-1 [解析] 因为α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,所以α是奇数且α<0,所以α=-1.11.12 [解析] 因为函数f (x )为奇函数,所以f (2)=-f (-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.6 [解析] 由f (x+4)=f (x-2)可知周期T=6,所以f (919)=f (153×6+1)=f (1),又因为f (x )为偶函数,所以f (1)=f (-1)=6-(-1)=6.13.2 [解析] 因为函数f (x )=x x -1=1+1x -1在区间[2,+∞)上是减函数,所以当x=2时,函数f (x )有最大值f (2)=1+1=2.14.-2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x+2).又f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ),所以f (0)=0.所以f (-52)=f (-12)=-f (12)=-412=-2,f (2)=f (0)=0,所以f (-52)+f (2)=-2. 15.-2 [解析] 由题,f (-x )=ln (√1+x 2+x )+1.∵f (x )+f (-x )=ln (√1+x 2-x )+1+ln (√1+x 2+x )+1=ln (1+x 2-x 2)+2=2,∴f (a )+f (-a )=2,∴f (-a )=-2.16.√22[解析] 由f (x+4)=f (x )(x ∈R ),得f (15)=f (-1+4×4)=f (-1),又-1∈(-2,0],所以f (15)=f (-1)=-1+12=12.而12∈(0,2],所以f (f (15))=f (12)=cosπ2×12=cos π4=√22.17.B [解析] 因为3<x ≤27,所以1<log 3x ≤3,-3≤-log 3x<-1,则2≤f (x )<4.故选B .18.C [解析] 依题意得f (x )=log a x (a>0且a ≠1).当a>1时,f (x )是增函数,所以“2<a<3”是“f (x )是增函数”的充分不必要条件.故选C .19.C [解析] y=x 3+3x 2是非奇非偶函数,y=e x +e -x 2是偶函数,y=log 23−x3+x是奇函数,y=x sin x 是偶函数.故选C .20.B [解析] 因为函数f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),所以f (-92)=f -92+4=f (-12)=-f (12)=-12×1+12=-34,故选B .21.B [解析] 根据函数f (x )=|log 3x|的图像(图略)可知,若函数f (x )在[a ,b ]上的值域为[0,1],则a=13,1≤b ≤3或b=3,13≤a ≤1.易知当a=13,b=1时,b-a 取得最小值23.故选B . 22.C [解析] 因为f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),即a -2-xa+2-x =-a -2xa+2x 恒成立,整理可得a 2=1,所以a=±1.当a=1时,函数f (x )=1−2x 1+2x ,f (a )=f (1)=-13;当a=-1时,函数f (x )=-1-2x -1+2x ,f (a )=f (-1)=3.综上可得,f (a )=-13或3.故选C .23.B [解析] 当x ≥1时,y=ln x+1的最小值为1,所以要使f (x )的最小值是1,必有当x<1时,y=x 2-4x+a 的最小值不小于1.因为y=x 2-4x+a 在(-∞,1)上单调递减,所以当x<1时,y>a-3,则a-3≥1,即a ≥4,故实数a的取值范围是[4,+∞),故选B . 24.B [解析] 因为12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以12f (-x )-g (-x )=-12f (x )-g (x )=-x -1x 2+1,可得f (x )=2xx 2+1,g (x )=1x 2+1,所以f(x)xg(x)=2,故选B .25.B [解析] 由指数函数的性质可得f (x )是增函数.因为f (-x )=e -x -1e-x =-e x -1e x=-f (x ),所以f (x )是奇函数,则不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0等价于f (2x-1)>f (x+1),即2x-1>x+1,解得x>2,故选B . 26.-1 [解析] f (-4)=(-4)2+(-4)-2=10,所以f [f (-4)]=f (10)=-lg 10=-1. 27.[-6,1) [解析] 由题意可得{a -1<0,a -1+2≥-5-2lg1,则-6≤a<1.28.(-1,0) [解析] 作出函数f (x )的图像如图所示.当x>1时,f (x )<0无解;当x<1时,由f (x )>0,得-1<x<0,所以满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是(-1,0).29.-2[解析]因为f x+32为偶函数,所以f x+32=f-x+32,则f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,且图像的对称轴是直线x=32,所以f(2017)+f(2018)=f(336×6+1)+f(336×6+2)=f(1)+f(2)=2f(1)=-2.。
2019高考数学(理)考前冲刺必刷卷：小题必刷卷7套 解答题必刷卷2套小题必刷卷(七)答案
小题必刷卷(七)题组一刷真题角度11.D[解析]-=-=-=-+i.2.C[解析]由题知z==--==i+1,则|z|==.3.B[解析]-==1+i,其共轭复数为1-i,故选B.4.2[解析]由i·z=1+2i,得z==2-i,则z的实部为2.5.52[解析]由(a+b i)2=3+4i,得a2+2ab i+b2i2=3+4i,即a2-b2+2ab i=3+4i,又a,b∈R,所以由复数相等的充要条件,得-解得ab=2,a2=4,b2=1,因此a2+b2=5.角度26.A[解析]由题意知=+=+=+(-)=-+.7.-3[解析]因为m a+n b=(2m+n,m-2n)=(9,-8),所以--解得故m-n=-3.角度38.A[解析]cos∠ABC==×+×=,又∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°.9.D[解析]a+b=(4,m-2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.10.A[解析]建立平面直角坐标系,设e=(1,0),向量a与e的夹角为,则向量a的终点在射线y=x(x>0)上.设向量b=(x,y),则x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,则|a-b|表示圆上任意一点P到射线y=x(x>0)上任意一点A的距离,显然当A,P,C三点在同一条直线上,即AC垂直于射线y=x(x>0)时,|a-b|取得最小值,最小值为|AC|-1=-1,故选A.11.2[解析]|a+2b|===2.角度412.C[解析]显然∠BOC为锐角,所以I1=·<0,I2=·>0,I3=·<0,如图所示,过点B作BM⊥AC于M,过点A作AN⊥BD于N.三角形ABD与三角形ABC均为等腰三角形,所以BN=ND,AM=MC,所以<,<,∠AOB=∠COD>,所以I1>I3.所以I3<I1<I2.因此选C.13.A[解析]连接DB.根据余弦定理可得DB=.由题易知△BCD为正三角形,所以DC=.设=λ,0≤λ≤1,则=+=+λ,=-=+λ-,所以·=(+λ)·(+λ-)=-·+λ2-λ·,其中=1,·=-,=3,·=1×cos30°=,所以·=3λ2-λ+,该式当λ=时取得最小值,最小值为-+=.题组二刷模拟14.D[解析]由题意,得x(x-1)-1×2=0,解得x=-1或x=2,故选D.15.B[解析]=+=(3,1).又=-=(-1,1),所以=+=(1,1),所以+=(4,2),故选B.16.D[解析]因为=2,所以-=2(-),整理得=+,所以λ=,μ=,则+=,故选D.17.B[解析]∵(3+4i)(1+a i)=(3-4a)+(3a+4)i=b i,∴3-4a=0,即a=.故选B.18.D[解析]因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=0,所以cos<a,b>==-=-,则a与b的夹角为,故选D.19.C[解析]∵+=--+--=--=-i,∴复数+的虚部为-,故选C.20.B[解析]如图所示,设AB的中点是E,连接CE,易得点O在CE上.∵O是△ABC的重心,∴=++2=(+2).∵2=,∴=(4+)=,∴P在AB边的中线上,是中线的三等分点,且不是重心,故选B.=2-2i--=2-i,所以复数z在复平面内21.D[解析]由题意得-+z=2-2i,则z=2-2i--=2-2i----对应的点为(2,-1),位于第四象限,故选D.22.D[解析]以O为原点,分别以,的方向为x轴,y轴正方向建立直角坐标系,设B1(a,0),B2(0,b),M(x,y),由=+得P(a,b).由==得(x-a)2+y2=2,x2+(y-b)2=2,两式相加得x2+y2+(x-a)2+(y-b)2=4,即+=4,所以=4-,又∈[0,1),所以∈(3,4],即的取值范围是(,2],故选D.+-=+-=-,∵z的实部与虚部之和为1,∴+-=1,解得a=2. 23.2[解析]∵z=-24.-1[解析]∵-=6,|a+b|=4,∴a2-2a·b+b2=36,a2+2a·b+b2=16,∴a·b=-5,设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=,向量b在向量a方向上的投影为cosθ==-1.25.3[解析]如图所示,连接AP,则=+=+(-)=+=+,∵M,P,N三点共线,∴+=1,∴+=3,则m+2n=(m+2n)+=5++≥×5+2=3,当且仅当m=n=1时等号成立,故m+2n的最小值为3.26.-2[解析]建立如图所示的平面直角坐标系,使得点D在原点处,点A在y轴上,则A(0,2).连接OP,设点P的坐标为(x,y),则=(-x,2-y),=(-x,-y),故·+·=·(+)=2·=2(x2+y2-2y)=2[x2+(y-1)2]-2≥-2,当且仅当x=0,y=1时等号成立.所以·+·的最小值为-2.。
2019年全国普通高等学校招生统一考试数学(文)(新课标II卷)试题(解析版)
2019年全国普通高等学校招生统一考试数学（文）（新课标II卷）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、单选题1．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据公式，可直接计算得详解：，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.2．已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据集合可直接求解.详解：,,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.3．函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4．已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.7．在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8．为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.详解：在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以则.故选C.点睛：求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10．若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1). (2)周期 (3)由求对称轴， (4)由求增区间;由求减区间.11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．二、填空题13．曲线在点处的切线方程为__________．【答案】y=2x–2【解析】分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.详解：由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.14．若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】9【解析】分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.详解：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.点睛：线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.15．已知，则__________．【答案】【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.16．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．【答案】8π【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算即可.详解：如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.三、解答题17．记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）a n=2n–9，（2）S n=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，（2）利用模型②得到的预测值更可靠．【解析】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.详解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点求参数.19．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．【答案】解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．【解析】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.20．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】(1) y=x–1,(2)或．【解析】分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．21．已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【答案】解：（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．令f ′（x）=0解得x=或x=．当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；当x∈（，）时，f ′（x）<0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）由于，所以等价于．设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．【解析】分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得.详解：（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．令f ′（x）=0解得x=或x=．当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；当x∈（，）时，f ′（x）<0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）由于，所以等价于．设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．详解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23．[选修4－5：不等式选讲]设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2019年高三二模数学(文科)(含答案)
2019年高三二模数学（文科）（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合A={x|x＜2}，B={x|x2-5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（）A. 49B. 42C. 35D. 284.函数y=的部分图象大致是（）A. B.C. D.5.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 1B.C.D.6.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是( )A.B.C.D.7.已知F是抛物线C：y2＝4x（p＞0）的焦点，抛物线C的准线与双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e＝A. B. C. D.8.定义在R上的函数满足：且，若，则的值是A. B. 0 C. 1 D. 无法确定9.已知f（x）=sin x cosx+cos2x-，将f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象．若对任意实数x，都有g（a-x）=g（a+x）成立，则=（）A. B. 1 C. D. 010.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A. B. C. D.11.函数f（x）=的零点个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 012.设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A. B. 3 C. 或3 D. 5或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为______．14.在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（），则cos（2θ+）=______．15.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=-1，a n+1=S n•S n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．16.已知曲线x2-4y2=4，过点A（3，-1）且被点A平分的弦MN所在的直线方程为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18.国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁______ ______ 80年龄大于50岁10______ ______合计______ 70100（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．附：，n=a+b+c+d，P（K2＞k）0.1000.0500.0250.010k 2.706 3.841 5.024 6.63519.在平面xOy中，已知椭圆过点P（2，1），且离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l方程为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．20.已知函数f(x)=x2+a ln x．（1）当a=-2时，求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若g(x)=f(x)+在上是单调增函数，求实数a的取值范围．21.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，直线l与曲线C交于A，B两点，点P（1，3）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求其共轭复数得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．【解答】解：∵=，∴复数的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选B．2.【答案】A【解析】解：集合A={x|x＜2}，B={x|x2-5x+6＜0，x∈Z}={x|2＜x＜3，x∈Z}=∅，则A∩B=∅，其中元素的个数为0．故选：A．化简集合B，根据交集的定义写出A∩B，再判断其中元素个数．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选：B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．4.【答案】A【解析】解：当x=2时，f（2）==ln3＞0，故排除C，当x=时，f（）==4ln＞0，故排除D，当x→+∞时，f（x）→0，故排除B，故选：A．根据函数值的变化趋势，取特殊值即可判断．本题考查了函数图象的识别，考查了函数值的特点，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由于=-，则n=1，S=-1；n=2，S=-+-1=-1；n=3，S=2-+-+-1=2-1；…n=2016，S=-1；n=2017，S=-1.2017＞2016，此时不再循环，则输出S=-1．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6.【答案】C【解析】根据三视图知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的直三棱柱，画出几何体的直观图，结合图中数据计算它的表面积即可．本题考查了根据几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题目．解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，高为2的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，结合图中数据，计算它的表面积是S三棱柱=2××2×1+2×2+2×2+2×2=6+8．故选：C．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的性质，双曲线的渐近线方程及其性质，属于中档题. 【解答】解：已知抛物线方程为，则2p=4，解得p=2，则F(1,0)，抛物线准线方程为x=-1，设AB与x轴交点为M，则|MF|=2，双曲线：的渐近线方程为：，将x=-1代入到，解得，则，又△ABF为等边三角形，则，则，则，则，解得.故选D.8.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）满足f（2-x）+f（x-2）=0，∴f（2-x）=-f（x-2），∴f（-x）=-f[2-（x+2）]=-f[（x+2）-2]=-f（x），∴函数f（x）为奇函数，又f（x）满足f（x）=f（4-x），∴f（x）=f（x-4），∴f（x+8）=f（x+8-4）=f（x+4）=f（x+4-4）=f （x），∴函数为周期函数，周期T=8，∴f（2014）=f（251×8+6）=f（6），又f（6）=f（6-8）=f（-2）=-f（2）=-1，故选：A．先由条件f（2-x）+f（x-2）=0推出f（-x）=-f[2-（x+2）]=-f[（x+2）-2]=-f（x），故函数f（x）为奇函数，再由条件f（x）=f（4-x）推出函数为周期函数，根据函数奇偶性和周期性之间的关系，将条件进行转化即可得到结论．本题主要考查了抽象函数及其应用，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得的值，属于中档题．【解答】解：∵f（x）=sinxcosx+cos2x-=sin2x+•-=sin（2x+），将f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）=sin（2x-+）+1=sin2x+1的图象．若对任意实数x，都有g（a-x）=g（a+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=a对称，再根据g（x）的周期为=π，可得=1，故选B．10.【答案】C【解析】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．本小题主要考查直三棱柱ABC-A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：函数f（x）=，可得：-1+lnx=0，可得：x=e；3x+4=0可得x=-．函数的零点为：2个．故选：B．利用分段函数，分别为0，然后求解函数的零点即可．本题考查函数的零点的求法，考查计算能力．12.【答案】B【解析】解：如图所示，当a≥1时，由，解得，y=．∴．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，∴，化为a2+2a-15=0，解得a=3，a=-5舍去．当a＜1时，不符合条件．故选：B．如图所示，当a≥1时，由，解得．当直线z=x+ay经过A 点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．13.【答案】-4【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由图象可知当直线经过点A时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小，由，得A（-2，-1）此时z=-2+2×（-1）=-4．故答案为：-4．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．14.【答案】-1【解析】解：角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（），∴cosθ=，sinθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=，cos2θ=2cos2θ-1=-，则cos（2θ+）=cos2θ-sin2θ=--=-1，故答案为：-1．利用任意角的三角函数的定义求得cosθ 和sinθ的值，再利用二倍角公式求得sin2θ和cos2θ的值，再利用两角和的余弦公式求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．由已知数列递推式可得数列{}是以-1为首项，以-1为公差的等差数列，求其通项公式后，利用a n=S n-S n-1求得数列{a n}的通项公式．【解答】解：由a n+1=S n•S n+1，得：S n+1-S n=S n•S n+1，即，∴数列{}是以-1为首项，以-1为公差的等差数列，则，∴．∴当n≥2时，．n=1时上式不成立，∴．故答案为：．16.【答案】3x+4y-5=0【解析】【分析】设两个交点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），利用点差法求得直线的斜率，进一步求出直线方程，然后验证直线与曲线方程由两个交点即可．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分运用数形结合的数学思想、方程的数学思想和转化的数学思想来解决较为复杂的综合题．【解答】解：设两个交点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）所以x12-4y12=4，，两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=4(y1+y2)(y1-y2)，又=3，=-1，∴=-，所以直线的方程为y+1=-（x-3），即3x+4y-5=0．由点A（3，-1）在双曲线内部，直线方程满足题意．∴MN所在直线的方程是3x+4y-5=0．故答案为：3x+4y-5=0．17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin（π-（A+B））=sin C2cos C sinC=sin C∴cos C=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【解析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.【答案】解：（1）20；60；10；20；30.（2），所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；（3）记5人为abcde，其中ab表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde共10个，其中至多1位教师有7个基本事件：acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，所以所求概率是．【解析】本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错．（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表．支持不支持合计年龄不大于50岁20 60 80年龄大于50岁10 10 20合计30 70 100（2）假设聋哑没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事件，即可求出概率．19.【答案】解：（1）椭圆C：过点P（2，1），且离心率．可得：，解得a=2，c=，则b=，椭圆方程为：；（2）设直线方程为，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组整理得：x2+2mx+2m2-4=0，x1+x2=-2m，-4，直线与椭圆要有两个交点，所以,即：，利用弦长公式得：，由点线距离公式得到P到l的距离．S=|AB|•d=•=≤=2．当且仅当m2=2，即时取到最大值，最大值为：2．【解析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．（1）利用已知条件列出方程组，然后求解a，b即可得到椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过基本不等式求解最值即可．20.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+a ln x，∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=-2时，=．当x变化时，f′（x）和f（x）的值的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）-0+f（x）递减极小值递增由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是f（1）=1．（Ⅱ）由g（x）=x2+a ln x+，得．若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式2x-+≥0在[1，+∞）上恒成立．也即a≥在[1，+∞）上恒成立．令φ（x）=，则φ′（x）=-．当x∈[1，+∞）时，φ′（x）=--4x＜0，∴φ（x）=在[1，+∞）上为减函数，∴φ（x）max=φ（1）=0．∴a≥0．∴a的取值范围为[0，+∞）．【解析】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=-2时，=，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ）由g（x）=x2+alnx+，得，令φ（x）=，则φ′（x）=-．由此利用导数性质能求出a的取值范围．21.【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y=2x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，即ρ2sin2θ=16ρcosθ，得y2=16x即直线l的普通方程为y=2x+1，曲线C的直角坐标方程为y2=16x；（2）直线的参数方程改写为（t为参数），代入y2=16x，得，，，．即的值为.【解析】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线的参数方程改写为（t为参数），代入y2=16x，利用参数的几何意义求的值．。
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习小题必刷卷(六)解三角形含答案解析
( )
11.[2018·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC 的面积 为 .
3 ������
12.[2018·北京卷] 若△ABC 的面积为 4 (a2+c2-b2),且∠C 为钝角,则∠B= ;������的取值范围是 . 角度 4 正、余弦定理综合应用 13.[2018·浙江卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 7,b=2,A=60°,则 sin B= ,c= . 14.[2016·上海卷] 已知△ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .
5
������
3
������������������ 2.D [解析] 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D,设 BC=3,则有 AD=BD=1,AB= 2,由余弦定理得 AC= 5.由正弦定理得 4=������������������������,解 3×
2 2
3 10
得 sin A=
5
5
=
10
.
题组二 刷模拟
3
16.[2018·浙江绍兴 3 月模拟] 在△ABC 中,内角 C 为钝角,sin C=5,AC=5,AB=3 5,则 BC= A.2 B.3 C.5 D.10
3
( )
17.[2018·新疆维吾尔自治区二模] 在△ABC 中,“A>60°”是“sin A> ”的
2 3
= 3+1.
11.
3
[解析] 由 b2+c2-a2=8 得 2bccos A=8,可知 A 为锐角,且 bccos A=4.由已知及正弦定理得 sin Bsin C+si C,因为 sin B≠0,sin C≠0,所以可得 sin A=2,所以 A=30°,所以 bccos 30°=4,即 bc= A=2×
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习小题必刷卷(四)导数及其应用含答案解析
1
9.8 [解析] 对函数 y=x+ln x 求导得 y'=1+������,函数图像在点(1,1)处的切线的斜率 k=y'|x=1=2,所以在点(1,1)处的切线方程为
{ ������ = 2������ ‒ 1,
y=2x-1,又该切线也为函数 y=ax2+(a+2)x+1 的切线,所以由 ������ = ������������2 + (������ + 2)������ + 1得 ax2+ax+2=0,此方程应有唯一解,所 以 Δ=a2-8a=0,得 a=8 或 a=0(舍).
1
1
方程分别为 l1:y=-������1(x-x1)-ln x1,l2:y=������2(x-x2)+ln x2.则点 A 的坐标为(0,1-ln x1),点 B 的坐标为(0,-1+ln x2),由此可得|AB|=2-ln
{1
������
=‒
(������
������1
‒
������1)
‒
������������
( )
A.{x|1<x<3} B.{x|x<1}
1
C. x x<3或 x>1 3
1
D. x 3<x<1
22.[2018·山东德州二模] 函数 f(x)在实数集 R 上连续可导,且 2f(x)-f'(x)>0 在 R 上恒成立,则以下不等式一定成立的是 ( )
������(2)
A.f(1)> ������2
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
( ) 1, + ∞
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(一) 含解析
小题必刷卷(一)集合与常用逻辑用语考查范围;第1讲~第3讲题组一刷真题角度1集合1.[2018·全国卷Ⅲ]已知集合A={|-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}2.[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(,y)|2+y2≤3,∈,y∈},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.43.[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A={|<2},B={|3-2>0},则()A.A∩B= .A∩B=⌀C.A∪B= .A∪B=R4.[2015·全国卷Ⅰ]已知集合A={|=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.25.[2018·天津卷]设全集为R,集合A={|0<<2},B={|≥1},则A∩(∁R B)=()A.{|0<≤1}B.{|0<<1}C.{|1≤<2}D.{|0<<2}6.[2017·天津卷]设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}7.[2015·陕西卷]设集合M={|2=},N={|lg ≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]8.[2013·江西卷]若集合A={∈R|a2+a+1=0}中只有一个元素,则a=()A.4B.2C.0D.0或49.[2013·福建卷]若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∩B的子集个数为()A.2B.3C.4D.16角度2命题、充要条件10.[2014·全国卷Ⅱ]函数f()在=0处导数存在.若p;f'(0)=0,q;=0是f()的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件11.[2018·天津卷]设∈R,则“-12<12”是“3<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.[2015·山东卷]设m∈R,命题“若m>0,则方程2+-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程2+-m=0有实根,则m>0B.若方程2+-m=0有实根,则m≤0C.若方程2+-m=0没有实根,则m>0D.若方程2+-m=0没有实根,则m≤013.[2018·北京卷]设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.[2014·广东卷]在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件角度3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词15.[2014·湖南卷]设命题p;∀∈R,2+1>0,则 p为 ()A.∃0∈R,+1>0B.∃0∈R,+1≤0C.∃0∈R,+1<0D.∀∈R,2+1≤016.[2017·山东卷]已知命题p;∃∈R, 2-+1≥0;命题q;若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是 ()A.p∧qB.p∧ qC. p∧qD. p∧ q17.[2018·北京卷]设集合A={(,y)|-y≥1,a+y>4,-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤32时,(2,1)∉A题组二刷模拟18.[2018·西南名校联考]函数y=e的值域为M,函数y=ln 的值域为N,则M∩N= ()A.{y|y>1}B.{y|y≥0}C.{y|y>0}D.{y|y∈R}19.[2018·河北衡水联考]已知命题p;∀∈R,(2-)12<0,则命题 p为()A.∃0∈R,(2-0)12>0B.∀∈R,(2-)12>0C.∀∈R,(2-)12≥0D.∃0∈R,(2-0)12≥020.[2018·佛山二模]已知函数f()=3-3-,a,b∈R,则“a>b”是“f(a)>f(b)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件21.[2018·南昌4月模拟]已知集合A={|y=,∈N*},B={|=2n+1,n∈},则A∩B=()A.(-∞,4]B.{1,3}C.{1,3,5}D.[1,3]22.[2018·乌鲁木齐二模]若集合A={|(-1)<0},B={y|y=2},则()A.A=BB.A⊆BC.A∪B=RD.B⊆A23.[2018·湖北重点中学联考]已知集合A={∈|-2≤<2},B={y|y=||,∈A},则集合B的子集的个数为()A.7B.8C.15D.1624.[2018·哈尔滨九中二模]设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则()A.∀∈Q,∈PB.∀∉Q,∉PC.∃0∉Q,0∈PD.∃0∈P,0∉Q图1-125.[2018·云南曲靖一测]已知全集U=R,集合A={|y=},集合B=y y=+32,则图1-1中阴影部分表示的集合是()A.1,32B.1,32C.1,32D.32,+∞26.[2018·四川4月联考]已知命题p;“事件A与事件B对立”的充要条件是“事件A与事件B互斥”,命题q;偶函数的图像一定关于y轴对称.下列命题为假命题的是()A.p或qB.p且qC. p或qD. p且q27.[2018·湖南湘潭三模] 已知集合M={|-1<<2},N={|2-m<0},若M ∩N={|0<<1},则m 的值为 ( ) A .1 B .-1 C .±1D .228.[2018·安徽蚌埠三模] 已知命题p ;∃m ∈R,f ()=2+m 是偶函数,命题q ;若a<b ,则1a >1b.下列命题为真命题的是( )A .p ∧ qB . p ∧qC .p ∧qD . p ∧ q29.[2018·西安一模] 已知集合M={-1,0,1},N={|=ab ,a ,b ∈M 且a ≠b },则集合M 与集合N 的关系是( )A .M=NB .N ⫋MC .M ⊆ND .M ∩N=⌀30.[2018·河北衡水中学月考] 已知数集A={-1,0,1,2,3},B={-1,0,1},设函数f ()是从A 到B 的函数,则函数f ()的值域的可能情况的个数为 ( )A .1B .3C .7D .831.[2018·郑州三模] 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,则“S n <na n 对n ≥2恒成立”是“数列a n 为递增数列”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件32.[2018·太原二模] 若命题“∀∈(0,+∞),+≥m ”是假命题,则实数m 的取值范围是 .小题必刷卷(一)1.C[解析] ∵A={|≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.2.A[解析] 当=-1时,y=-1,0,1;当=0时,y=-1,0,1;当=1时,y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9个元素.3.A[解析] 由题得,B=,B⊆A,所以A∩B=B=,∪B=A={|<2}.故选A.4.D[解析] 集合A={2,5,8,11,14,17,…},所以A∩B={8,14},所以A∩B中有2个元素.5.B[解析] ∁R B={|<1},所以A∩(∁R B)={|0<<1}.故选B.6.B[解析] (A∪B)∩C={1,2,4,6}∩{1,2,3,4}={1,2,4}.7.A[解析] 由题得集合M={0,1},N=(0,1],所以M∪N=[0,1].8.A[解析] 当a=0时,A=⌀;当a≠0时,Δ=a2-4a=0,则a=4,故选A.9.C[解析] A∩B={1,3},子集共有22=4(个),故选C.10.C[解析] 函数在=0处有导数且导数为0,=0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则不是极值点;反之,若=0为函数的极值点,则函数在=0处的导数一定为0 ,所以p是q的必要不充分条件.11.A[解析] 由-12<12,解得0<<1,可推出3<1,反之不成立,故为充分而不必要条件.12.D[解析] ∵逆否命题是将原命题的条件与结论互换并分别否定,∴命题“若m>0,则方程2+-m=0有实根”的逆否命题是“若方程2+-m=0没有实根,则m≤0”.13.B[解析] 当ad=bc时,例如1×8=4×2,但1,4,2,8不能构成等比数列,故充分性不成立;反之,由等比数列的性质易得必要性成立.14.A[解析] 设R是三角形外接圆的半径,R>0.由正弦定理,得a=2R sin A,b=2R sin B.∵sin A≤sin B,∴2R sin A ≤2R sin B,∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B.故选A.15.B[解析] 由全称命题的否定形式可得 p;∃0∈R,+1≤0.16.B[解析] 易知命题p为真命题,命题q为假命题,所以 q为真命题,由复合命题真值表知,p∧ q为真命题,故选B.17.D[解析] 当a=0时,A为空集,排除A;当a=2时,(2,1)∈A,排除B;当a=32时,作出可行域如图中阴影部分所示,由得P2,1),又∵a+y>4,取不到边界值,∴(2,1)∉A.故选D.18.C[解析] 依题意得M={y|y=e}={y|y>0},N={y|y=ln }={y|y∈R},所以M∩N={y|y>0}.故选C.19.D[解析] 含有一个量词的命题的否定写法是“变量词,否结论”,故 p;∃0∈R,(2-0)12≥0.故选D.20.C [解析] 因为y=3为增函数,y=3-为减函数,所以f ()=3-3-为增函数,故a>b ⇔f (a )>f (b ).故选C . 21.B [解析] 由题意可得A={|≤4,∈N *}={1,2,3,4},B={…,-5,-3,-1,1,3,5,…},所以A ∩B={1,3}.故选B . 22.B [解析] 由已知得A={|(-1)<0}={|0<<1},B={y|y=2}={y|y ≥0},所以A ⊆B.故选B . 23.B [解析] 依题意得,A={-2,-1,0,1},B={0,1,2},所以集合B 的子集有23=8(个),故选B . 24.B [解析] 由于P ∩Q=P ,因此不属于集合Q 的元素一定不属于集合P.故选B . 25.A [解析] A={|y=}={|≥1},B=y y=+32=y y ≥32,∁U B=y y<32,题图中阴影部分表示的集合是A ∩(∁UB ),且A ∩(∁U B )=1,32.故选A .26.B [解析] 由于“事件A 与事件B 对立”是“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件,故命题p 是假命题.显然命题q 为真命题,所以“p 且q ”是假命题.故选B .27.A [解析] 因为M={|-1<<2},M ∩N={|0<<1},显然m>0,所以N={|2-m<0}={|0<<m },则m=1.故选A . 28.A [解析] 当m=0时,f ()=2+m 是偶函数,所以命题p 是真命题.当a<0,b>0时,a<b ,但1a >1b不成立,所以命题q 是假命题,从而 q 是真命题,所以p ∧ q 是真命题.故选A .29.B [解析] 因为M={-1,0,1},N={|=ab ,a ,b ∈M 且a ≠b },所以N={-1,0},于是N ⫋M.故选B .30.C [解析] 函数f ()的值域是B 的非空子集,即{-1},{0},{1},{-1,0},{0,1},{-1,1},{-1,0,1},共7种不同的情况.故选C .31.C [解析] 设{a n }的公差为d ,由S n <na n 得n(a 1+a n )2<na n ,即na 1<na n ,a 1<a n ,所以a 1<a 1+(n-1)d ,因为n ≥2,所以d>0,所以数列{a n }为递增数列;反之,若数列{a n }为递增数列,则d>0,即S n <na n (n ≥2).故选C . 32.(2,+∞) [解析] 原命题的否命题“∃0∈(0,+∞),0+<m ”为真命题,所以m>+min=2,当且仅当=1时取等号,所以m ∈(2,+∞).。
2019高考数学(理)考前冲刺必刷卷：小题必刷卷7套 解答题必刷卷2套小题必刷卷2答案
小题必刷卷(二)题组一刷真题角度11.C[解析]因为f(-2)=1+log24=3,f(log212)=-=6,所以f(-2)+f(log212)=9,故选C.2.C[解析]当0<a<1时,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1)=2a,解得a=,此时f=f(4)=2×(4-1)=6;当a≥1时,a+1≥2,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),此时方程无解.综上可知,f=6,故选C.3.B[解析]不妨令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)-f(2x)=-x,故sgn[g(x)]=sgn(-x),排除A;sgn[f(x)]=sgn(x+1)≠sgn[g(x)],又sgn[g(x)]≠-sgn[f(x)],所以排除C,D.故选B.4.(-∞,8][解析]当x<1时,由e x-1≤2,得x<1;当x≥1时,由≤2,解得1≤x≤8.综合可知x的取值范围为x ≤8.5.-[解析]∵f(x)=∴f-=-f(x)+f->1,即f->1-f(x).画出y=f-与y=1-f(x)的图像如图所示.由图可知,满足f->1-f(x)的解集为-.6.[解析]由f(x+4)=f(x)(x∈R),得f(15)=f(-1+4×4)=f(-1),又-1∈(-2,0],所以f(15)=f(-1)=-1+=.而∈(0,2],所以f(f(15))=f=cos×=cos=.角度27.D[解析]y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D满足题意.8.C[解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.9.C[解析]因为函数f(x)的定义域为(0,2),f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x)=ln[-(x-1)2+1],所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A,B错.由于函数y=-(x-1)2+1,x∈(0,2)的图像关于直线x=1对称,所以函数f(x)=ln x+ln(2-x)的图像关于直线x=1对称.故选C.10.[解析]由f(x)是偶函数,且f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,得f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.又f(2|a-1|)>f(-),f(-)=f(),∴2|a-1|<,即|a-1|<,∴<a<.11.(-1,3)[解析]根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-2<x-1<2,解得-1<x<3.12.3[解析]因为函数图像关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1),又函数为偶函数,所以f(-1)=f(1),故f(-1)=3.13.[-3,1][解析]令3-2x-x2≥0可得x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,故所求函数的定义域为[-3,1].14.6[解析]由f(x+4)=f(x-2)可知周期T=6,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1),又因为f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.15.-2[解析]因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)=f(x+2).因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以f(1)=f(-1),f(1)=-f(-1),即f(1)=0.又f-=f-=-f,f==2,所以f-=-2,从而f-+f(1)=-2.题组二刷模拟的定义域为(-1,1),故选A.16.A[解析]由题意可得--解得-1<x<1,所以函数y=--17.B[解析]由2x-a≥0得x≥log2a,故函数f(x)的定义域为[log2a,+∞),易知函数f(x)在[log2a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(log2a)=log2a=2,解得a=4.故选B.18.C[解析]由题意得f(1)=a+3,故可得f[f(1)]=f(a+3)=1.①当a+3≤0时,可得1-a(a+3)=1,即a(a+3)=0,解得a=-3或a=0(舍去).②当a+3>0时,可得(a+3)2+2(a+3)+a=1,即a2+9a+14=0,解得a=-2或a=-7(舍去).综上可得,a=-3或a=-2.19.B[解析]该函数的定义域为R,=x2-=-=-=--=-x2+=-f(x),f(-x)=(-x)2---所以函数f(x)是奇函数.因为f(1)=1-=,f(-1)=1-=-,所以函数f(x)不是偶函数,故选B.20.C[解析]由题得函数的定义域为R,f(-x)=-x3+log2(-x+)=-x3+log2=-x3-log2(+x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.当x≥0时,y=x3是增函数,y=log2(+x)是增函数,所以函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.因为函数f(x)是奇函数,所以函数f(x)是R上的增函数,所以f(a)+f(b)>0⇔f(a)>-f(b)⇔f(a)>f(-b)⇔a>-b⇔a+b>0,所以“f(a)+f(b)>0”是“a+b>0”的充要条件.故选C.21.C[解析]∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),又∵f(x+1)是定义在R上的偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)的周期是4,∴f=f-=f-=-f=-×(3-1)=-1,故选C.22.B[解析]因为偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=-2,所以由f(x-1)≥-2,得f(x-1)≥f(2),得|x-1|≥2,解得x≤-1或x≥3.23.A[解析]当x≥0时,f(x)=-=-=-=-1+,此时函数单调递减,所以当x=0时,f(x)max=2.当x<0时,f(x)=2.所以不等式f(x2-2x)<f(2x)可以化为-或-解得x∈(-∞,0)∪(4,+∞).24.D[解析]当x∈[0,1]时,f(x)=2x+1,则f(x)在[0,1]上是增函数.∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为2,∴a=f(log0.56)=f(-log26)=f=f=f-=f,b=f(log27)=f(-2+log27)=f,c=f(8)=f(0)=f(log21).∵1<<,∴0=log21<log2<log2<1,∴f(log21)<f<f,即c<a<b.25.B[解析]∵对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2),∴f(-2+4)=f(-2)+2f(2)⇒f(-2)+f(2)=0⇒2f(2)=0⇒f(2)=0,∴f(x+4)=f(x)+2f(2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,∴f(2019)=f(4×504+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=3.故选B.26.A[解析]f(x+1)是偶函数,其图像关于直线x=0对称,向右平移1个单位长度后,得到函数y=f(x)的图像,所以f(x)的图像关于直线x=1对称.又f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.故选A.27.A[解析]设g(x)=x2-,可得g(x)为奇函数,其图像关于点(0,0)对称,则f(x)=x2-+1的图像关于点(0,1)对称.又易知函数g(x)=x2-在-,上的最大值与最小值之和为0,所以M+N=2.28.[解析]由f(x)+g(x)=2x+x①,得f(-x)+g(-x)=2-x-x,由函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,得f(x)-g(x)=2-x-x②.联立①②,可得f(x)=-,∴f(log25)==.29.e-1[解析]∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-2019)=f(2019),∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为2,又当x∈[0,1]时,f(x)=e x-1,∴f(2018)=f(0)=0,f(2019)=f(1)=e-1,∴f(-2019)+f(2018)=f(2019)+f(2018)=e-1.故答案为e-1.30.(0,2)[解析]根据题意可知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称, 又f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,1)上是减函数.由f(ax)<f(x-1)可得|ax-1|<|x-1-1|,即|ax-1|<|x-2|,因为x∈,所以|x-2|=2-x,所以上述不等式可以化为x-2<ax-1<2-x,即不等式组--在x∈时恒成立,从而有----解得0<a<2,故答案为(0,2).。
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小题必刷卷(七)平面向量、数系的扩充与复数的引入考查范围:第24讲~第27讲题组一刷真题角度1复数的概念、几何意义及运算1.[2017·全国卷Ⅰ]下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)2.[2016·全国卷Ⅰ]设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.33.[2018·浙江卷]复数21−i(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i4.[2018·全国卷Ⅰ]设z=1−i1+i+2i,则|z|=()A.0B.12C.1D.√25.[2018·北京卷]在复平面内,复数11−i的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.[2018·江苏卷]若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为.7.[2018·天津卷] i是虚数单位,复数6+7i1+2i=.角度2平面向量的概念、平面向量基本定理及向量坐标运算8.[2015·全国卷Ⅱ]向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.29.[2018·全国卷Ⅰ]在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB⃗⃗⃗⃗⃗ =()A.34AB⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC⃗⃗⃗⃗⃗B.1 4AB⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC⃗⃗⃗⃗⃗C.3 4AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗D .14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 10.[2018·全国卷Ⅲ] 已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ),若c ∥(2a +b ),则λ= . 角度3 平面向量的数量积及应用 11.[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,√32,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =√32,12,则∠ABC= ( )A .30°B .45°C .60°D .120°12.[2018·全国卷Ⅱ] 已知向量a ,b 满足|a|=1,a ·b=-1,则a ·(2a-b )= ( )A .4B .3C .2D .013.[2017·全国卷Ⅱ] 设非零向量a ,b 满足|a+b|=|a-b|,则 ( ) A .a ⊥b B .|a|=|b| C .a ∥bD .|a|>|b|14.[2018·天津卷] 在如图X7-1的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )图X7-1A .-15B .-9C .-6D .015.[2017·全国卷Ⅲ] 已知向量a =(-2,3),b =(3,m ),且a ⊥b ,则m= .16.[2017·天津卷] 在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 .17.[2017·北京卷] 已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .18.[2018·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 .题组二 刷模拟19.[2018·贵州黔东南二模] 若复数z=1−i1+i,则z = ( )A .1B .-1C .iD .-i20.[2018·北京西城区4月模拟] 若复数(a+i )(3+4i )的实部与虚部相等,则实数a= ( )A .7B .-7C .1D .-121.[2018·河南安阳二模] 若复数z=1-i ,z 为z 的共轭复数,则复数zz -1的虚部为 ( )A .iB .-iC .1D .-122.[2018·福州5月质检] 设向量a =(m ,2m+1),b =(m ,1),若|a -b |2=|a |2+|b |2,则实数m= ( ) A .-2±√3 B .-1 C .0 D .123.[2018·广东东莞三模] 已知向量a 与b 满足|a |=√2,|b |=2,(a -b )⊥a ,则向量a 与b 的夹角为( )A .5π12B .π3C .π4D .π624.[2018·安徽蚌埠三模] 已知△ABC 中,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= ( ) A .1 B .2 C .3 D .425.[2018·四川成都七中月考] 若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,√32,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1),则△ABC 的面积为 ( ) A .12B .√32 C .1 D .√326.[2018·济南模拟] 欧拉公式e i x =cos x+i ·sin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x=π时,e iπ+1=0被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知,e 4i 表示的复数在复平面内位于 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限27.[2018·郑州三模] 在△ABC 中,AD ⊥AB ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A .1B .2C .3D .428.[2018·石家庄一模] 在△ABC 中,点D 在边AB 上,且BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a , CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .13a +23b B .23a +13b C .35a +45b D .45a +35b29.[2018·重庆巴蜀中学月考] 在平行四边形ABCD 中,∠BAD=π3,AB=2,AD=1,若M ,N 分别是边BC ,CD 的中点,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 ( )A .72B .2C .3D .15430.[2018·安徽安庆二模] 若|a |=1,|b |=√3且|a -2b |=√7,则向量a 与向量b 夹角的大小是 .31.[2018·常州模拟] 若复数z 满足z ·2i =|z|2+1(其中i 是虚数单位),则|z|= .32.[2018·广东佛山二模] 在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=1,BC=2,D 为BC 的中点,点E 在斜边AC 上,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ = . 33.[2018·合肥三模] 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,t ∈R .当|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时,t= .小题必刷卷(七)1.C [解析] 因为i (1+i )2=-2,i 2(1-i )=-1+i ,(1+i )2=2i ,i (1+i )=-1+i ,所以选C.2.A [解析] 因为(1+2i )(a+i )=a-2+(1+2a )i ,所以由已知,得a-2=1+2a ,解得a=-3. 3.B [解析]21−i =2(1+i)2=1+i ,其共轭复数为1-i ,故选B .4.C [解析] z=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i =1−2i -12+2i =i ,所以|z|=√02+12=1,故选C .5.D [解析] ∵11−i =1+i (1-i)(1+i)=12+12i ,∴其共轭复数为12-12i ,在复平面内对应的点位于第四象限. 6.2 [解析] 由i ·z=1+2i ,得z=1+2ii=2-i ,则z 的实部为2.7.4-i [解析]6+7i 1+2i =(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=20−5i5=4-i. 8.C [解析] 2a +b =2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b )·a =(1,0)·(1,-1)=1.9.A [解析] 如图,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A .10.12 [解析] 2a+b=(4,2),由c ∥(2a+b )可得14=λ2,即λ=12. 11.A [解析] cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×√32+√32×12=√32,∵∠ABC ∈[0°,180°],∴∠ABC=30°. 12.B [解析] a ·(2a-b )=2a 2-a ·b=2-(-1)=3,故选B .13.A [解析] 将|a+b|=|a-b|两边平方,得a 2+2a ·b+b 2=a 2-2a ·b+b 2,于是有a ·b=0,所以a ⊥b. 14.C [解析] 连接MN ,由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得MN ∥BC ,且BC=3MN ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=3×(1×2×cos 120°-12)=-6.故选C . 15.2 [解析] ∵a ⊥b ,∴a ·b =-2×3+3m=0,解得m=2.16.311[解析] ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×cos 60°=3,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ3×3+2λ3×4-13×9-23×3=-4,解得λ=311.17.6 [解析] 设P (x 1,y 1).因为AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,y 1),所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(x 1+2)=2x 1+4.由题意可知-1≤x 1≤1,所以2≤2x 1+4≤6,故AO⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6. 18.3 [解析] 因为点A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,所以可设A (a ,2a )(a>0),则AB 的中点为Ca+52,a ,圆C 的方程为(x-5)(x-a )+y (y-2a )=0.由{(x -5)(x -a)+y(y -2a)=0,y =2x,得D (1,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-a ,-2a ),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a -32,2-a ,又AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以(5-a )·-a -32+(-2a )(2-a )=0,解得a=3或a=-1.又a>0,所以a=3,则点A 的横坐标为3. 19.C [解析] z=1−i 1+i =(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i ,则z =i .故选C .20.B [解析] (a+i )(3+4i )=3a-4+(4a+3)i ,依题意3a-4=4a+3,得a=-7.故选B . 21.C [解析] 因为z=1-i ,所以z z =2,所以zz -1=i2−1=i ,其虚部为1,故选C .22.B [解析] |a -b |2=(m-m )2+(2m+1-1)2=4m 2,|a |2=m 2+(2m+1)2=5m 2+4m+1,|b |2=m 2+1,因为|a -b |2=|a |2+|b |2,所以4m 2=5m 2+4m+1+m 2+1,即m 2+2m+1=0,解得m=-1.故选B .23.C [解析] 设向量a 与b 的夹角为α,由(a -b )⊥a 得(a -b )·a =0,a 2-a ·b =0,a 2-|a ||b |cos α=0,2-√2×2cos α=0,所以cos α=√22,所以α=π4.故选C .24.C [解析] AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=3.故选C .25.A [解析] 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,√32,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1),所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√32,所以∠ABC=150°,所以S △ABC =12×1×2×12=12,故选A .26.C [解析] 由已知有e 4i =cos 4+i ·sin 4,因为π<4<3π2,所以4在第三象限,所以cos 4<0,sin 4<0,故e 4i 表示的复数在复平面内位于第三象限,故选C .27.D [解析] AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AD ⊥AB ,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠ADB=4|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4.故选D .28.B [解析] 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a -b ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a -23b ,所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +23a -23b =23a +13b ,故选B .29.D [解析] 由题得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×12+12×2×2+12×1×1+14×1×2×12=154,故选D . 30.π6[解析] 由|a -2b |=√7得|a |2-4a ·b +4|b |2=7,∴1-4a ·b +4×3=7,∴a ·b =32,∴cos <a ,b >=321×3=√32,∴<a ,b >=π6.31.1 [解析] 设z=a+b i (a ,b ∈R ),因为z ·2i =|z|2+1,所以-2b+2a i =a 2+b 2+1,所以{a =0,-2b =a 2+b 2+1,解得{a =0,b =−1,所以z=-i ,则|z|=1.32.13[解析] 以B 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则B (0,0),A (1,0),C (0,2),D (0,1),E 13,43.所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13,13,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =13×(-1)+13×2=13.33.12[解析] 因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-t )OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-2t ,2t ),|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2-2t)2+(2t)2=2√2(t -12)2+12,当t=12时,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |有最小值√2.。