浙江省2018年中考数学总复习第四章基本图形(一)第20讲多边形与平行四边形讲解篇

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(浙江专用)201x年中考数学总复习第四章图形的认识 4.4 多边形与平行四边形(试卷部分)

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(2)如图,由题意可知,△BAC≌△DEC(SAS),∴∠BAC=∠DEC,AC=EC,又∵AF=FE,FC=FC,∴
△ACF≌△ECF(SSS),∴∠CAF=∠CEF,∴∠BAC+∠CAF=∠DEC+∠CEF,即∠BAF=∠DEF=
120°.∴∠AFE=(6-2)×180°-120°×5=120°.
整理课件
)
2.(2015丽水,5,3分)一个多边形的每个内角均为120°,则这个多边形是 (
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.七边形
答案 C 解法一:∵多边形的每个内角均为120°,
∴每个外角的度数是180°-120°=60°.
∵多边形的外角和是360°,
∴这个多边形的边数是360÷60=6.故选C.
上的格点数,S表示多边形的面积.如图1,a=4,b=6,S=4+ 1 ×6-1=6.
2
(1)请在图2中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积;
(2)请在图3中画一个格点三角形,使它的面积为 7 ,且每条边上除顶点外无其他格点.
2
图1
图2
整理课件
图3
解析 (1)画法不唯一,如图①或图②,图①②中的格点正方形的面积分别为9,5.
(2)画法不唯一,如图③,图④.
整理课件
考点二平行四边形的性质
1.(2017丽水,7,3分)如图,在▱ABCD中,连接AC,∠ABC=∠CAD=45°,AB=2,则BC的长是 (
A. 2
B.2
C.2
2
D.4
答案 C ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=2,BC=AD,∠D=∠ABC=∠CAD=45°,

中考数学复习《多边形与平行四边形》

证明：∵BD垂直平分AC， ∴AB=BC，AD=DC.
在△ADB与△CDB中，
∴△ADB≌△CDB（SSS）. ∴∠BCD=∠BAD. ∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF， ∴AB∥FD. ∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD. ∴四边形ABDF是平行四边形.
考题再现
1. （2015广州）下列命题中，真命题的个数有（ B ）
（5）面积：①计算公式：S□=底×高=ah.
②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.
4. 平行四边形的判定（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形. （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 5. 三角形中位线定理（1）三角形的中位线：连接三角形两边的中点，所得线段叫做该三角形的中位线. （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
中考考点精讲精练
考点1 多边形的内角和与外角和
考点精讲
【例1】（2016临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这
个正多边形的每一个外角等于
（）
A. 108°
B. 90°
C. 72° D. 60°
思路点拨：首先设此多边形为n边形，根据题意，得180·
（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，
5. （2016梅州）如图1-4-6-6，平行
四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°， E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于点O. （1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG=1时，求 AE的长.

2019年浙江省中考《第20讲：多边形与平行四边形》总复习讲解

第20讲多边形与平行四边形1．多边形考试内容考试要求多边形的定义在同一平面内，若干条不在同一直线上的线段相接组成的图形叫做多边形．a 多边形的性质内角和n 边形内角和为． c 外角和任意多边形的外角和为．对角线n 边形从一个顶点出发可以画____________________条对角线，一共可以画____________________条对角线．正多边形定义各边____________________，各角也____________________的多边形叫做正多边形．a 性质正n 边形的每一个内角的度数都是，每一个外角的度数都是． c 2.平行四边形的性质、判定方法考试内容考试要求性质平行四边形的对边____________________.c平行四边形的对角____________________.平行四边形的对角线．平行四边形是对称图形，它的对称中心是两条对角线的．判定两组对边分别的四边形是平行四边形(定义法)．两组对边分别____________________的四边形是平行四边形.两组对角分别的四边形是平行四边形．一组对边____________________的四边形是平行四边形.对角线的四边形是平行四边形．拓展若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线等分平行四边形的面积、周长．考试内容考试要求基本方法1.面积法，在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是定值，从而得到不同底和高的关系．c2.四种辅助线：(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．1．(2019·舟山)已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是() A．6 B．7 C．8 D．92．(2019·绍兴)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是() A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③3．(2019·衢州)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD 的度数是()A．45°B．55°C．65°D．75°4．(2019·丽水)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为()A．13 B．17 C．20 D．265．(2019·衢州)如图，在▱ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于()A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【问题】(1)如图，你能从多边形中得到哪些信息？(2)如图，四边形ABCD是平行四边形，你能从这个图形中获取哪些信息？(3)如图是一张平行四边形ABCD的纸片沿对角线撕下的一部分，请你用不同方法复原平行四边形ABCD.【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形的性质、判定方法．类型一多边形的性质例1(1)(2019·乌鲁木齐)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．(2)(2019·河北)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.①甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；②若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.【解后感悟】如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．此题需要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．1．(1)(2019·丽水)一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是() A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形(2)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为()A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7类型二平行四边形的判定例2(1)(2019·荆门模拟)四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法是__________(填序号)；(2)(2019·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝________.【解后感悟】(1)探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．(2)注意：“以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形”与“四边形OABC是平行四边形”的区别．2．(1)(2019·嘉兴模拟)如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连结AD，CD，则有()A．∠ADC与∠BAD相等B．∠ADC与∠BAD互补C．∠ADC与∠ABC互补D．∠ADC与∠ABC互余(2)(2019·吉林)图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．①请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形(两个平行四边形不全等)；②图1中所画的平行四边形的面积为.3．(2019·遂宁)如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，求证：(1)AE＝CF；(2)四边形AECF是平行四边形．类型三平行四边形的性质例3如图，在▱ABCD中，(1)若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D＝________；(2)若∠A＋∠C＝240°，则∠B＝________；(3)若对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝5，BC＝3，则△BOC的周长是＝________；(4)若∠A的平分线交边BC于点E.若AB＝10cm，AD＝14cm，则BE＝________cm，EC＝________cm；(5)若∠BAD与∠ADC的角平分线分别交边BC于点E，F，且AB＝2EF＝2，则BC＝________．【解后感悟】利用图形和平行四边形的性质是解题关键；对于(5)注意分类讨论．4．(1)(2019·泸州模拟)平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为()A．4＜x＜6 B．2＜x＜8 C．0＜x＜10 D．0＜x＜6(2)(2019·丽水)如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC 的长是()A. 2 B．2 C．2 2 D．4(3)(2019·河南)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为()A．4 B．6 C．8 D．10(4)(2019·黄岗模拟)在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝25，则▱ABCD的周长等于____________________．类型四平行四边形的应用例4如图1是某公共汽车前挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2，雨刷EF丄AD，垂足为A，AB＝CD，且AD＝BC.这样能使雨刷EF在运动时．始终垂直于玻璃窗下沿BC.请证明这一结论．【解后感悟】本题是实际问题，首先构建关于平行四边形的问题，再利用平行四边形的判定和性质来解决．5．(2019·嘉兴模拟)将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为度．类型五平行四边形的综合运用例5 (2019·舟山模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，∠C ＝60°，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，BC ＝2CD.(1)求证：四边形MNCD 是平行四边形；(2)求证：BD ＝3MN.【解后感悟】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所需要的线段、角，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形．6．(1)(2019·东营)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是 .(2)(2019·温州模拟)如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连结CE ，F 是BC 边的中点，连结FD.①求证：四边形CEDF 是平行四边形；②若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．【作图探究题】如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：(甲)连结BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求．(乙)先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确()A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【方法与对策】本题综合运用正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，问题通过实验操作为条件进行分析、综合、对照平行四边形判定，说明甲正确、乙错误．通过作图来计算、判断、证明是中考出题常用方法．【各种判定方法易混淆不清】已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有() A．6种B．5种C．4种D．3种参考答案第20讲多边形与平行四边形【考点概要】1．首尾顺次 (n －2)×180° 360° (n －3) n （n －3）2相等相等（n －2）×180°n 360°n2.相等相等互相平分中心交点平行相等相等平行且相等互相平分【考题体验】1．D 2.D 3.A 4.B 5.C【知识引擎】【解析】(1)n 边形的内角和(n －2)·180°，外角和360°； (2)从平行四边形的性质的角度说明； (3)从平行四边形的判定方法的角度说明(四个方面)．【例题精析】例1 (1)6； (2)①∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°＋2＝2＋2＝4.答：甲同学说的n 边形的边数n 是4；②依题意有(n ＋x －2)×180°－(n －2)×180°＝360°，解得x ＝2.故x 的值是2.例2 (1)①②、③④、①③、①④；(2)根据题意画图如下：以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则C(4，1)或(－2，1)，则x ＝4或－2；故答案为：4或－2.例3 (1)108° (2)60° (3)7.5 (4)10，4 (5)3或5例4 ∵AB ＝CD 、AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC.又∵EF ⊥AD ，∴EF ⊥BC.例5 (1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴MD ＝NC ，MD ∥NC ，∴四边形MNCD 是平行四边形； (2)如图：连结ND ，∵四边形MNCD 是平行四边形，∴MN ＝DC.∵N 是BC 的中点，∴BN ＝CN ，∵BC ＝2CD ，∠C ＝60°，∴△NCD 是等边三角形．∴ND ＝NC ，∠DNC ＝60°.∵∠DNC 是△BND 的外角，∴∠NBD ＋∠NDB ＝∠DNC ，∵DN ＝NC ＝NB ，∴∠DBN ＝∠BDN ＝12∠DNC ＝30°，∴∠BDC ＝90°.∵tan ∠DBC ＝DC DB ＝33，∴DB ＝3DC ＝3MN.【变式拓展】1．(1)C (2)D 2.(1)B (2)①如图1，如图2；②63. 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD.∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ∠ABE ＝∠CDF BE ＝DF，∴△ABE ≌△CDF(SAS)．∴AE ＝CF.(2)∵△ABE ≌△CDF ，∴∠AEB ＝∠CFD ，∴∠AEF ＝∠CFE ，∴AE ∥CF ，∵AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．4. (1)B (2)C (3)C (4)12或205.306.(1)4 (2)①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵DE ＝12AD ，F 是BC 边的中点，∴DE ＝FC ，DE ∥FC ，∴四边形CEDF 是平行四边形；②过点D 作DN ⊥BC 于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，∴∠BCD ＝∠A ＝60°，∵AB ＝3，AD ＝4，∴FC ＝2，NC ＝12DC ＝32，DN ＝332，∴FN ＝12，则DF ＝EC ＝DN 2＋FN 2＝7.【热点题型】【分析与解】甲：如图1，∵正五边形的每个内角的度数是（5－2）×180°5＝108°，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝AE ，∴∠DEC ＝∠DCE ＝12×(180°－108°)＝36°，同理∠CBD ＝∠CDB ＝36°，∴∠ABP ＝∠AEP ＝108°－36°＝72°，∴∠BPE ＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A ，∴四边形ABPE 是平行四边形，即甲正确；乙：如图2，∵∠BAE＝108°，∴∠BAM ＝∠EAM ＝54°，∵AB ＝AE ＝AP ，∴∠ABP ＝∠APB ＝12×(180°－54°)＝63°，∠AEP ＝∠APE ＝63°，∴∠BPE ＝360°－108°－63°－63°≠108°，即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；故选C.【错误警示】利用判定方法可得①②、①③、②④、③④，这四种情况能判定四边形ABCD是平行四边形．故选C.。

中考数学复习第五章四边形第20节多边形与平行四边形正文课件

三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。
2019/5/27
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一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？

浙江省中考数学总复习第四章基本图形(一)第18讲三角形与全等三角形讲解篇(2021学年)

浙江省2０１8年中考数学总复习第四章基本图形(一）第１８讲三角形与全等三角形讲解篇编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（浙江省2018年中考数学总复习第四章基本图形（一)第18讲三角形与全等三角形讲解篇）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第18讲三角形与全等三角形１．三角形的概念及其分类错误!2．与三角形有关的线段考试内容考试要求高____＿____＿__________三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于＿＿__＿______＿____＿___;钝角三角形的三条高相交于三角形的外部.b中线三角形的三条中线相交于＿____________＿___＿_＿,每一条中线都将三角形分成面积____＿______＿___＿_＿＿_的两部分.角平分线三角形的三条角平分线相交于＿_＿＿_＿＿_____＿___＿__＿，这个点是三角形的__＿＿____＿_＿_＿_＿_＿＿__，这个点到三边的距离__________________＿_．三边关系三角形的两边之和＿＿_____________＿_＿__第三边,三角形的两边之差________＿_＿_______＿_第三边．ｃ稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.a 三角形的中位定义连结三角形两边____＿_______＿＿____＿＿的线段叫做三角形的中c３．与三角形有关的角４.全等三角形的性质与判定写成“角边角"或“ＡSＡ”）;判定4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”);判定５：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL＂)．考试内容考试要求基本方法1.分析问题思考方法：(1)顺推分析:从已知条件出发，运用相应的定理，联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标;（2)逆推分析:从欲证结论入手,分析达到欲证的可能途径,逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法;(3）顺推分析与逆推分析相结合；(4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目,分析它们之间的相同点与不同点,尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中,从而找到它的解法.c2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁．1.（201７·舟山)长度分别为2，７,x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）Ａ．4 B.5 C．6 D．９2．(2017·衢州）如图,直线AB∥ＣD,∠Ａ＝70°，∠C=40°,则∠E等于( ）A.3０°B.40°C．6０°D．70°3．(20１6·丽水）如图,在△ABC中，∠A＝63°,直线MN∥BC,且分别与AB,AC相交于点D，E，若∠AEN=１３３°，则∠B的度数为＿________________＿__．4．（20１７·温州）如图，在五边形ABCＤE中，∠BCD=∠EDC=９0°,BC=EＤ，AＣ=ＡD。

中考数学第四章图形的认识4.4多边形与平行四边形(讲解部分)素材

边形是平行四边形）．
ʑ 四边形ＢＥＤＦ是平行四边形（一组对边平行且相等的四 ȵ 四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ʑ ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ．又ＡＥ＝ＣＦ，ʑ ＯＥ＝ＯＦ．
解题导引㊀ ң ▱ＡＢＣＤ的性质和ＡＥ＝ＣＦ ң ң
证法一：证两组对边分别相等边平行且相等互相平分证法二：一组对证法三：对角线 ң 四边形ＢＥＤＦ是平行四边形
已知条件一组对边相等
１６８０ʎ ，求这个多边形的边数及去掉的那个内角的度数．
平行四边形判定方法的选择：
选择的判定方法两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定义一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形
ＡＢＣＤ记作：▱ＡＢＣＤ，读作：平行四边形ＡＢＣＤ．２．平行四边形的性质的两组对边分别⑧㊀相等㊀；
（２）表示方法：用 ▱ 表示平行四边形．例如平行四边形（１）边：平行四边形的两组对边分别 ⑦㊀平行㊀；平行四边形（２）角：平行四边形的两组对角分别相等；（３）对角线：平行四边形的对角线⑨㊀互相平分㊀；（５）面积：面积Ｓ＝底 ˑ 高＝ａｈ．（１）两组对边�� ㊀分别相等㊀的四边形是平行四边形； �� （３）两组对角�� ㊀分别相等㊀的四边形是平行四边形； �� （２）一组对边�� ㊀平行且相等㊀的四边形是平行四边形； �� （４）两条对角线�� ㊀互相平分㊀的四边形是平行四边形． ��

浙江省中考数学总复习第四章基本图形(一)第20讲多边形与平行四边形讲解篇

第20讲多边形与平行四边形1．多边形考试内容考试要求多边形的定义在同一平面内，若干条不在同一直线上的线段相接组成的图形叫做多边形．a 多边形的性质内角和 n 边形内角和为．c 外角和任意多边形的外角和为．对角线n 边形从一个顶点出发可以画____________________条对角线，一共可以画____________________条对角线．正多边形定义各边____________________，各角也____________________的多边形叫做正多边形．a 性质正n 边形的每一个内角的度数都是，每一个外角的度数都是．c 2.平行四边形的性质、判定方法考试内容考试要求性质平行四边形的对边____________________.c平行四边形的对角____________________.平行四边形的对角线．平行四边形是对称图形，它的对称中心是两条对角线的．判定两组对边分别的四边形是平行四边形(定义法)．两组对边分别____________________的四边形是平行四边形.两组对角分别的四边形是平行四边形．一组对边____________________的四边形是平行四边形. 对角线的四边形是平行四边形．拓展若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线等分平行四边形的面积、周长．考试内容考试要求基本方法1.面积法，在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是定值，从而得到不同底和高的关系．c2.四种辅助线：(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．1．(2016·舟山)已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是( ) A．6 B．7 C．8 D．92．(2016·绍兴)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( ) A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③3．(2016·衢州)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD 的度数是( )A．45°B．55°C．65°D．75°4．(2016·丽水)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )A．13 B．17 C．20 D．265．(2015·衢州)如图，在▱ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于( )A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【问题】(1)如图，你能从多边形中得到哪些信息？(2)如图，四边形ABCD是平行四边形，你能从这个图形中获取哪些信息？(3)如图是一张平行四边形ABCD的纸片沿对角线撕下的一部分，请你用不同方法复原平行四边形ABCD.【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形的性质、判定方法．类型一多边形的性质例1(1)(2016·乌鲁木齐)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．(2)(2016·河北)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.①甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；②若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.【解后感悟】如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．此题需要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．1．(1)(2015·丽水)一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形(2)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为( )A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7类型二平行四边形的判定例2(1)(2017·荆门模拟)四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法是__________(填序号)；(2)(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝________.【解后感悟】(1)探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．(2)注意：“以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形”与“四边形OABC是平行四边形”的区别．2．(1)(2017·嘉兴模拟)如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连结AD，CD，则有( )A．∠ADC与∠BAD相等B．∠ADC与∠BAD互补C．∠ADC与∠ABC互补D．∠ADC与∠ABC互余(2)(2016·吉林)图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．①请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形(两个平行四边形不全等)；②图1中所画的平行四边形的面积为.3．(2015·遂宁)如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，求证：(1)AE＝CF；(2)四边形AECF是平行四边形．类型三平行四边形的性质例3如图，在▱ABCD中，(1)若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D＝________；(2)若∠A＋∠C＝240°，则∠B＝________；(3)若对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝5，BC＝3，则△BOC的周长是＝________；(4)若∠A的平分线交边BC于点E.若AB＝10cm，AD＝14cm，则BE＝________cm，EC＝________cm；(5)若∠BAD与∠ADC的角平分线分别交边BC于点E，F，且AB＝2EF＝2，则BC＝________．【解后感悟】利用图形和平行四边形的性质是解题关键；对于(5)注意分类讨论．4．(1)(2017·泸州模拟)平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为( )A．4＜x＜6 B．2＜x＜8 C．0＜x＜10 D．0＜x＜6(2)(2017·丽水)如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )A. 2 B．2 C．2 2 D．4(3)(2015·河南)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为( )A．4 B．6 C．8 D．10(4)(2017·黄岗模拟)在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝25，则▱ABCD的周长等于____________________．类型四平行四边形的应用例4如图1是某公共汽车前挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2，雨刷EF丄AD，垂足为A，AB＝CD，且AD＝BC.这样能使雨刷EF在运动时．始终垂直于玻璃窗下沿BC.请证明这一结论．【解后感悟】本题是实际问题，首先构建关于平行四边形的问题，再利用平行四边形的判定和性质来解决．5．(2017·嘉兴模拟)将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为度．类型五平行四边形的综合运用例5(2017·舟山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC 的中点，BC＝2CD.(1)求证：四边形MNCD 是平行四边形；(2)求证：BD ＝3MN.【解后感悟】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所需要的线段、角，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形．6．(1)(2016·东营)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是 .(2)(2017·温州模拟)如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连结CE ，F 是BC 边的中点，连结FD.①求证：四边形CEDF 是平行四边形；②若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．【作图探究题】如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：(甲)连结BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求．(乙)先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确( )A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【方法与对策】本题综合运用正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，问题通过实验操作为条件进行分析、综合、对照平行四边形判定，说明甲正确、乙错误．通过作图来计算、判断、证明是中考出题常用方法．【各种判定方法易混淆不清】已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有( ) A．6种B．5种C．4种D．3种参考答案第20讲多边形与平行四边形【考点概要】1．首尾顺次(n－2)×180°360°(n－3)n（n－3）2相等相等（n－2）×180°n 360°n2.相等相等互相平分中心交点平行相等相等平行且相等互相平分【考题体验】1．D 2.D 3.A 4.B 5.C【知识引擎】【解析】(1)n 边形的内角和(n －2)·180°，外角和360°； (2)从平行四边形的性质的角度说明； (3)从平行四边形的判定方法的角度说明(四个方面)．【例题精析】例1 (1)6； (2)①∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°＋2＝2＋2＝4.答：甲同学说的n 边形的边数n 是4；②依题意有(n ＋x －2)×180°－(n －2)×180°＝360°，解得x ＝2.故x 的值是2.例2 (1)①②、③④、①③、①④；(2)根据题意画图如下：以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则C(4，1)或(－2，1)，则x ＝4或－2；故答案为：4或－2.例3 (1)108° (2)60° (3)7.5 (4)10，4 (5)3或5例4 ∵AB＝CD 、AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD∥BC.又∵EF⊥AD，∴EF ⊥BC.例5 (1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴MD ＝NC ，MD ∥NC ，∴四边形MNCD 是平行四边形； (2)如图：连结ND ，∵四边形MNCD 是平行四边形，∴MN ＝DC.∵N 是BC 的中点，∴BN ＝CN ，∵BC ＝2CD ，∠C ＝60°，∴△NCD 是等边三角形．∴ND＝NC ，∠DNC ＝60°.∵∠DNC 是△BND 的外角，∴∠NBD ＋∠NDB＝∠DNC，∵DN ＝NC ＝NB ，∴∠DBN ＝∠BDN＝12∠DNC ＝30°，∴∠BDC ＝90°.∵tan ∠DBC ＝DC DB＝33，∴DB ＝3DC ＝3MN.【变式拓展】1．(1)C (2)D 2.(1)B (2)①如图1，如图2；②63. 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD.∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ∠ABE＝∠CDF BE ＝DF，∴△ABE ≌△CDF(SAS)．∴AE＝CF. (2)∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB ＝∠CFD，∴∠AEF ＝∠CFE，∴AE ∥CF ，∵AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．4. (1)B (2)C (3)C (4)12或205.306.(1)4 (2)①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵DE ＝12AD ，F 是BC 边的中点，∴DE ＝FC ，DE ∥FC ，∴四边形CEDF 是平行四边形；②过点D 作DN⊥BC 于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，∴∠BCD ＝∠A＝60°，∵AB ＝3，AD ＝4，∴FC ＝2，NC ＝12DC ＝32，DN ＝332，∴FN ＝12，则DF ＝EC ＝DN 2＋FN 2＝7.【热点题型】【分析与解】甲：如图1，∵正五边形的每个内角的度数是（5－2）×180°5＝108°，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝AE ，∴∠DEC ＝∠DCE＝12×(180°－108°)＝36°，同理∠CBD＝∠CDB＝36°，∴∠ABP ＝∠AEP＝108°－36°＝72°，∴∠BPE ＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A，∴四边形ABPE 是平行四边形，即甲正确；乙：如图2，∵∠BAE ＝108°，∴∠BAM＝∠EAM＝54°，∵AB ＝AE ＝AP ，∴∠ABP ＝∠APB＝12×(180°－54°)＝63°，∠AEP ＝∠APE ＝63°，∴∠BPE ＝360°－108°－63°－63°≠108°，即∠ABP＝∠AEP，∠BAE ≠∠BPE ，∴四边形ABPE 不是平行四边形，即乙错误；故选C .【错误警示】利用判定方法可得①②、①③、②④、③④，这四种情况能判定四边形ABCD是平行四边形．故选C.。

浙江省中考数学总复习第四章基本图形(一)课后练习20多边形与平行四边形作业本(2021学年)

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课后练习２0 多边形与平行四边形A组1．下列多边形中，内角和与外角和相等的是( ）A.四边形Ｂ.五边形 C.六边形 D.八边形2．如图，在▱ABCD中,∠ODA＝９0°,AC＝10cｍ,BD=６cｍ,则ＡD的长为（）Ａ．4cm B.5cm C．6cm D.8cm第２题图3.如图,在▱ＡＢCD中，ＡC,BD为对角线,BC=６,BC边上的高为4,则阴影部分的面积为( )A．3 B.6 C．1２ D.24第3题图４．如图,在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD折叠,使点D,Ｃ分别落在点F，E处(点F,Ｅ都在AB所在的直线上）,折痕为MN，则∠AMF等于( )A．7０° B．４０° C．30° D．20°第4题图5．能伸缩的校门，它利用了四边形的一个性质是_＿_＿_____＿__＿___＿＿＿_．第5题图６．(2017·宁波模拟）如图，BD是平行四边形AＢCD的对角线，点E、F在BＤ上,要使四边形ＡＥCＦ是平行四边形,还需要增加的一个条件是___＿_____＿_____＿____．（填一个即可)第6题图7．（2017·温州模拟)如图,在▱ABＣD中，EF∥ＡB，点F为BD的中点，ＥＦ=4,则CD的长为_＿＿____＿＿＿＿＿___＿＿_＿_.第7题图8．已知:如图，在▱ABCD中，点Ｆ在AＢ的延长线上，且ＢＦ=AB,连结FD,交BC于点E。

浙江省中考数学备战策略课件：第一部分教材梳理阶段练习第20讲多边形与平行四边形(共68张PPT)

【点拨】由平行四边形的性质及已知可证△ CED≌△ BEF，得 BF＝ CD，从而可证 AB＝ BF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥ CD， AB＝ CD，∴∠ C＝∠ CBF. ∵点 E 是 BC 边的中点，∴ BE＝ EC．又∵∠ CED＝∠ BEF，∴△ CED≌△ BEF. ∴ BF＝ CD，∴ AB＝ BF. 方法总结：在平行四边形中，可根据平行四边形的性质和已知条件，得出相等的线段和相等的角，从而进一步证明三角形全等，进而证明线段相等．
方法总结：已知多边形的内角和求边数时，可列方程求解；已知正多边形的内角求边数时，可将内角转化为外角，然后利用外角和等于 360° 求解．
考点二
平行四边形的性质
例 2 (2017· 无锡 )如图，已知在 ▱ ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，连接 DE 并延长交 AB 的延长线于点 F，求证： AB＝ BF.
第五章第20讲
四边形
多边形与平行四边形
考点一
多边形的有关概念与计算
1．在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做多边形． 2．正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 3．多边形的对角线 (1)从 n 边形的一个顶点可以引 n－ 3 条对角线； n（ n－ 3） (2)n 边形共有条对角线． 2
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
3.(2017· 眉山 )如图， EF 过▱ ABCD 对角线的交点 O，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，若▱ ABCD 的周长为 18， OE＝ 1.5，则四边形 EFCD 的周长为 ( )
A． 14

人教版初中数学中考复习一轮复习-多边形和平行四边形(知识点+中考真题)

2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边平行且相等．（2）平行四边形的邻角互补，对角相．等．
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．（3）平行四边形的对角线互相平分．
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则：则二等这分条此直平线行被四一边组形对的边面截积下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直．线
是中心对称图形．②正n边形有 n 条对称轴．
3.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形
覆盖平面（或平面镶嵌）．平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内
角和为 360° 时，可以平面镶嵌．
知识点梳理——平行四边形
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行．四边形
【解答】证明：∵DE=DC，∴∠DEC=∠C． ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠DEC， ∴ AB∥BE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD=BE．
14.（10分）（2021•怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、 A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；
C ∠D＝58°，则∠AEC的大小是（）
A．61° B．109° C．119° D．122°
典型例题
7.（2021•恩施州）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，
AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（ B ）
A．30 B．60
C．65 D．
典型例题
8.(2021·安顺、贵阳) 如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，
形的边数是
．
2.（2020•陕西12/25）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD ，则∠BDM的度数是．

浙教版初中八年级下册数学精品教学课件第四章平行四边形 4.1 多边形 (2)

第4章平行四边形
知识点1 多边形的定义及相关概念
1.多边形的定义在同一平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形．
. .
概念
图示
边
组成多边形的各条线段.
.
内角
多边形相邻两所组成的角.
顶点
多边形每一个内角的顶点.
对角线
连结多边形不相邻两个顶点的线段.
4.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
拓展多边形可分为凸多边形和凹多边形（如图）.各条边都在任意一条边所在直线的同一侧的多边形是凸多边形，初中阶段介绍的多边形都是凸多边形.
知识点2 四边形的内角和重点
证明方法如下：
知识点3 多边形的内角和与外角和重难点
证明方法如下表（同样需要将多边形的内角转化为三角形的内角）：
选择题、填空题
考点1 多边形的内角和
典例5 [舟山中考] 正八边形一个内角的度数为______．
考点2 平面镶嵌
[解析] 分三种情况讨论：
典例2.（1）从四边形的一个顶点出发，可以引___条对角线，将四边形分成___个三角形，四边形共有___条对角线；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以引___条对角线，将五边形分成___个三角形，五边形共有___条对角线；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以引___条对角线，将六边形分成___个三角形，六边形共有___条对角线；

八年级数学下册第4章平行四边形 4.1 多边形教学课件 (新版)浙教版

在四边形ABCD中, ∠A=∠C= 90°,BE平分∠ABC,交CD
于点E,DF平分∠ADC,交AB于点F.求证:BE∥DF.
证明：∵ ∠A=∠C= 90°，
A
∴ ∠ABC+ ∠ADC=360°- ∠A-∠C=180°.
∵ BE平分∠ABC ,DF平分∠ADC,
∴ ∠ 2=
1 2
∠ABC,
∠
1=
1 2
∠ADC.
∴
∠
2
+∠
1=
1 2
∠ABC
+
12∠ADC
F
=90°.
2
∵ ∠A=90°,
B
∴∠AFD+∠1=90°.
1D E
C
∴ ∠ 2 =∠AFD,
∴BE∥DF.
如图，有一个四边形的建筑，围绕它的四个角分别是
半径为1米的扇形花坛，则花坛的总面积是 ( C )
A. π 米2
B.2π 米2
C. 3π 米2
四边形的内角和=2个三角形的内角和=2×180°=360°
探索：四边形的内角和等于360 °
A
D
B
C
探索：四边形的内角和等于360 °
A
D
A D
∟∟
B
C B
CA D
A
D
A
D
B
C
B
CB
C
四边形问题通常要转化为三角形来解决，而连接对角线
是其常用辅助线之一
例1 如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1，求它的四个内角的度数．
A
E
D
B
C
过点D作DE∥BC

浙教版初中数学初三中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解(提高)

中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（提高）【考纲要求】【：多边形与平行四边形考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．(2)平行四边形A：会识别平行四边形．B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．C：会运用平行四边形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段.2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．【要点诠释】在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线:1.对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关系特征；2.对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数；3.对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系.考点五：平行线间的距离1．两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.【要点诠释】1.距离是指垂线段的长度，是正值.2.平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.3.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2．平行四边形的面积：平行四边形的面积=底×高(等底等高的平行四边形面积相等).【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC 沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=_________.【思路点拨】首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA′E的内角和，由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE，再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠2．【答案与解析】∵四边形ADA′E的内角和为（4-2）•180°=360°，而由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE=360°-∠A-∠A′=360°-2×70°=220°，∴∠1+∠2=180°×2-（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）=140°．【总结升华】本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．举一反三：【变式】一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A.10B.11C.12D.以上都有可能【答案】D.2．（2015春•邗江区校级期末）已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC=（用含x、y的代数式表示）；（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE 与BF 的位置关系，并说明理由．（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x、y．②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．【思路点拨】（1）利用四边形内角和定理得出答案即可；（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出即可；（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB=y﹣x=30°，进而得出x，y的值；②当x=y时，DC∥BF，即∠DFB=0，进而得出答案．【答案与解析】解：（1）∠ABC+∠ADC=360°﹣x﹣y；故答案为：360°﹣x﹣y；（2）如图1，延长DE交BF于G∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，∴∠CDF+∠CBF=（x+y），如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB=180°﹣y，得∠FBD+∠FDB=180°﹣y+（x+y）=180°﹣y+x，∴∠DFB=y﹣x=30°，解方程组：，解得：；②当x=y时，DC∥BF，此时∠DFB=0，故x、y满足x=y时，∠DFB不存在．【总结升华】此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，正确应用角平分线的性质是解题关键．类型二、平行四边形及其他知识的综合运用3．（2012•阜新）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF=14AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2 D．AB：BC=5：8【思路点拨】根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当EF=14AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，同理可得：DC=DF，∴AE=DF，∴AE-EF=DE-EF，即AF=DE，当EF=14AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，∴AF=DE=12（AD-EF）=1.5x，∴AE=AB=AF+EF=2.5x，∴AB：BC=2.5：4=5：8．故选D．【总结升华】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．举一反三：【变式】已知：如图，，M为AB上一点，使AM=BC，N为BC上一点， CN=BM，连结AN、MC交于P.求：的度数【答案】过M点，作4.（2015•泰安样卷）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F．（1）当点P为AB的中点时，如图1，连接AF、BE．证明：四边形AEBF是平行四边形；（2）当点P不是AB的中点，如图2，Q是AB的中点．证明：△QEF为等腰三角形．【思路点拨】（1）首先证明△BFQ≌△AEQ可得QE=QF，再由AQ=BQ可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形AEBF是平行四边形；（2）首先证明△FBQ≌△DAQ可得QF=QD，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得QE=QF=QD，进而可得结论．【答案与解析】证明：（1）如图1，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，在△BFQ和△AEQ中：∴△BFQ≌△AEQ（AAS），∴QE=QF，∴四边形AEBF是平行四边形；（2）QE=QF，如图2，延长FQ交AE于D，∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中，∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，∴QE=QF=QD，即QE=QF，∴△QEF是等腰三角形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE 交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【思路点拨】（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．【答案与解析】∠BAD=∠ACFAB=CA∠FAC=∠B，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；（3）成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，在△ABD和△CAF中，∠BDA=∠AFC∠B=∠FACAB=CA∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC．【总结升华】此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．6 .（2011北京）在口ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．【思路点拨】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可．（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得．（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF 平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案.【答案与解析】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵EG=CG∠BEG=∠DCGBE=DC，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°，（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°∴△DAF为等腰三角形∴AD=DF∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵DH=DF∠BHD=∠GFDBH=GF，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°【总结升华】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．举一反三：【答案】20 3.。