高考数学小题强化专练8

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2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习小题专项集训8

小题专项集训(八) 不等式(建议用时：40分钟分值：75分)1．若b <a <0，则下列结论不正确的是 ( )．A ．a 22解析取a ＝－1，b ＝－2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4>⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.答案 C2．“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的 ( )．A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 “a ＋c ＞b ＋d ”/⇒“a ＞b 且c ＞d ”，∴“充分性不成立”，“a ＞b 且c ＞d ”⇒“a ＋c ＞b ＋d ”． ∴必要性成立．答案 A3．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3] 解析首先x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质，原不等式可以化为x ＋5≥2(x －1)2，即2x 2－5x －3≤0，即(2x ＋1)(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3，故原不等式的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]．答案 D4．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 ( )．A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析由a ＋b ＝2可得2≥2ab ，即ab ≤1；对于选项C ：a 2＋b 2≥2，即(a ＋b )2－2ab ≥2，可得ab ≤1.故选项C 正确．答案 C5．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析如图，画出约束条件表示的可行域，当直线z ＝x －2y 经过x ＋y ＝0与x －y －2＝0的交点A (1，－1)时，z 取到最大值3，故选B. 答案 B6．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ( )． A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析因为x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A. 答案 A7．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是 ( )．A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8解析 2a ＋2b ≥22a ＋b ＝42，当且仅当2a ＝2b ，即a ＝b 时等号成立．故选B. 答案 B8．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是( )．A.12B.π4 C ．1D.π2解析由题意可得，当x ＝0时，by ≤1恒成立，b ＝0时，by ≤1显然恒成立；b ≠0时，可得y ≤1b 恒成立，解得0<b ≤1，所以0≤b ≤1；同理可得0≤a ≤1.所以点P (a ，b )确定的平面区域是一个边长为1的正方形，故面积为1. 答案 C9．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( )．A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元解析设需用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题目条件可得约束条件为⎩⎨⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，目标函数z ＝400x ＋300y ，画图可知，当平移直线400x ＋300y ＝0过点(4,2)时，z 取得最小值2 200，故选B.答案 B10．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则ab 的最大值为( )．A ．1 B.12 C.32D ．2解析不等式组⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0所表示的可行域如图所示，当平行直线系ax ＋by ＝z 过点A (4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值，z 最大值＝4a ＋6b ＝12，∵4a ＋6b ＝12≥24a ×6b ，∴ab ≤32. 答案 C11．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．解析由不等式的解集知1,2是方程m (x －1)＝x 2－x 的根，将2代入可得m ＝2. 答案 212．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析因为正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，所以由基本不等式得xy ≥22·xy ＋6(当且仅当x ＝3，y ＝6时等号成立)，令xy ＝t ，得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或t ≥32，故xy 的最小值为18. 答案 1813．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)解析根据已知条件画出可行域(如下图所示)．平移直线3y －2x ＝0，当经过A 点时，z ＝2x －3y 取得最大值；当平移到C 点时，z ＝2x －3y 取得最小值，A 点坐标满足方程组⎩⎨⎧x －y ＝3，x ＋y ＝－1，解得A (1，－2)．C 点坐标满足方程组⎩⎨⎧x －y ＝2，x ＋y ＝4，解得C (3,1)，代入直线z ＝2x －3y 中求得z 的最大值为8，最小值为3，所以取值范围为(3,8)．答案 (3,8)14．设常数a >0，若对任意正实数x ，y 不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9恒成立，则a 的最小值为________．解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当y ＝a x时取等号．所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9，所以a ≥4，故a 的最小值为4.答案 415．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 答案 1。

四川省绵阳市2024高三冲刺(高考数学)人教版真题(强化卷)完整试卷

四川省绵阳市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（）①数列的任意一项都是正整数；②数列存在某一项是5的倍数.A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误第(2)题某中学有6名同学参加了2018年的自主招生考试，他们的数学成绩与物理成绩如下表：数学成绩（分）145130120105100110物理成绩（分）110901027870数据表明与之间有较强的线性关系，用最小二乘法估计表格中缺少的物理成绩大约为（）{参考公式：回归直线方程的系数}A．80分B．82分C．84分D．86分第(3)题甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有A．种B．种C．种D．种第(4)题已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：①以为直径的圆与抛物线准线相离；②直线与直线的斜率乘积为；③设过点，，的圆的圆心坐标为，半径为，则．其中，所有正确判断的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③第(5)题双曲线左、右焦点坐标分别是（）A．，B．，C．，D．，第(6)题已知集合，则A∪B=（）A．B．C．D．第(7)题把一个正四面体的骰子（它的4个面上分别写有1，2，3，4）随机抛两次，记第一次的底面上的点数大于第二次的底面上的点数为事件A，则事件A的概率为（）A．B．C．D．第(8)题如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数则（）A ．函数的图象关于点对称B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称C．函数在区间上有2个零点D．函数在区间上单调递增第(2)题下列命题中，正确的命题是（）A．若事件，满足，，则B．设随机变量服从正态分布，若，则C．若事件，满足，，，则与独立D．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5第(3)题在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点分别为线段的中点，则下列说法正确的是（）A．直线与所在平面相交B．三棱锥的外接球的表面积为C．直线与直线所成角的余弦值为D．二面角中，平面，平面为棱上不同两点，，若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设向量满足，则______.第(2)题已知，则________．第(3)题已知正项等比数列的前项和为，若，，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知分别为三个内角的对边，且(1)求；(2)若的面积为，为边上一点，满足，求的长．第(2)题某省为了坚决打赢脱贫攻坚战，在100个贫困村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第i个贫困村中贫困户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，．(1)试估计该省贫困村的贫困户年平均收入；(2)根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚任务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．参考公式：第(3)题在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点.(1)求曲线的方程；(2)设是轴左侧（不含轴）上一点，在曲线上存在不同的两点，满足的中点均在曲线上，设的中点为，证明：；(3)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若且直线与直线交于点，求证：为定值.第(4)题某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的．调查结果显示，男生中有的人喜欢课外阅读，女生中有的人喜欢课外阅读．(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？附：0.0500.0103.841 6.635，．第(5)题已知(1)求不等式的解集；(2)若，且，恒成立，求m的最大值．。

2021届新高考步步高大二轮数学专题复习：小题满分练8

小题满分练8一、单项选择题1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝1－x}，则A∩B等于() A．{1} B．(0，＋∞)C．(0,1) D．(0,1]答案 D解析∵A＝{y|y>0}，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝(0,1]．2．复数5i1－2i等于()A．2－i B．1－2i C．－2＋i D．－1＋2i 答案 C解析5i1－2i＝5i(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝－2＋i.3．(2020·新高考全国Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62% B．56% C．46% D．42%答案 C解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.4. (2020·新高考全国Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A ．20°B ．40°C ．50°D ．90° 答案 B解析如图所示，⊙O 为赤道平面，⊙O 1为A 点处的日晷面所在的平面，由点A 处的纬度为北纬40°可知∠OAO 1＝40°，又点A 处的水平面与OA 垂直，晷针AC 与⊙O 1所在的面垂直，则晷针AC 与水平面所成角为40°.5．(2020·郑州模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( ) A ．x ＝－π24B ．x ＝π4C ．x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，再将所得图象向左平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3，由4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝14k π－π24，k ∈Z ，当k ＝0时，所得对称轴离原点最近，即离原点最近的对称轴方程为x ＝－π24.6．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，若函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f (2 025)等于( )A ．0B ．2 025C ．3D ．－2 013 答案 A解析 ∵函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称， ∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0，即y 轴对称， ∴y ＝f (x )为R 上的偶函数，又对任意x ∈R ，均有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3，得f (6－3)＝f (－3)＋f (3)＝2f (3)， ∴f (3)＝0，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴函数y ＝f (x )是以6为周期的函数， ∴f (2 025)＝f (337×6＋3)＝f (3)＝0.7. (2020·大庆模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与函数y ＝x (x ≥0)的图象交于点P ，若函数y ＝x 的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点F (－4,0)，则双曲线的离心率是( )A.17＋44 B.17＋34 C.17＋24D.17＋14答案 D解析设P 的坐标为(m ，m )，又左焦点F (－4,0)，函数的导数y ′＝12x ，则在P 处的切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝12m ＝m m ＋4，即m ＋4＝2m ，得m ＝4，则P (4,2)，设右焦点为A (4,0)，则2a ＝|PF |－|P A |＝64＋4－0＋4＝2(17－1)，即a ＝17－1，∵c ＝4，∴双曲线的离心率e ＝ca ＝17＋14.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x ≤1，1x ，x >1，若0<a 1，若0<a <b 且满足f (a )＝f (b )，则－ln a ＝1b 且由0<－ln a <1，得1e<a <1，又af (b )＋bf (a )＝a ·1b ＋b (－ln a )＝－a ln a ＋1⎝⎛⎭⎫1e <a <1，令g (x )＝－x ln x ＋1⎝⎛⎭⎫1e <x <1，则g ′(x )＝－ln x －1，令g ′(x )＝0，则x ＝1e ，当1e<x <1时，g ′(x )<0， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1上单调递减，∴g (x )∈⎝⎛⎭⎫1，1e ＋1. 即af (b )＋bf (a )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，1e ＋1.二、多项选择题9．随着移动网络的发展，网上购物已经从当时雾里看花、遥不可及的状态，变成了当今非常流行的一种购物方式，大学生作为对网络很敏感的人群，他们对网上购物接受很快，是未来购物市场的主力军．某市场调查员对某市部分在校大学生在一定时间内的网购次数进行了随机调查，其相关数据统计如图所示．则下面结论中错误的是( )A ．每月最多网购1次的百分比小于每月至少网购4次的百分比B ．每周网购5次的百分比为2.1%C ．每月网购8次及以上的百分比为9.10%D ．每月网购不多于3次的百分比为69.93% 答案 ABC解析对于选项A ，每月最多网购1次的百分比为16.08%＋21.68%＝37.76%，每月至少网购4次的百分比为1－(37.76%＋32.17%)＝30.07%，故A 错误；对于选项B ，不能认为每周网购5次的百分比是每周网购4～5次的百分比的一半，故B 错误；对于选项C ，每月网购8次及以上的百分比为4.90%＋4.20%＋6.29%＝15.39%，故C 错误；对于选项D ，每月网购不多于3次的百分比为37.76%＋32.17%＝69.93%，故D 正确．10．(2020·山东新高考名校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，S △ABC ＝23，且c cos B ＋b cos C －2a cos A ＝0，则有( ) A ．A ＝π3B ．C ＝π2C ．a ＝ 3D ．c ＝2答案 AB解析由正弦定理知，c cos B ＋b cos C －2a cos A ＝0可化为sin C cos B ＋sin B cos C －2sin A cos A ＝0，即sin(B ＋C )－2sin A cos A ＝0，因为sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A >0，所以cos A ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.由b ＝2，S △ABC ＝12bc sin A ＝23，得c ＝4.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋42－2×2×4×12＝12，所以a ＝23，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，则sin C ＝c ·sin Aa＝4×sinπ323＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2.11．在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n >a 1a 2a 3…a n 的正整数n 的值可以为( )A ．10B ．11C ．12D ．13 答案 ABC解析 ∵正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝3，∴q 2＋q ＝6(q >0)．解得q ＝2或q ＝－3(舍)， ∴a 1＝132，∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝132(1－2n )1－2＝2n －132，∴2n －132>132n ×()122n n - .化简得2n －1>2111022n n -+，即2n －2111022n n -+>1，由于n 为正整数，当n ＝1时，上式不成立，所以n >1时，只需n >n 2－11n ＋102，即n 2－13n ＋10<0，解得1<n ≤12(n ∈N *)，故选ABC.12．(2020·山东新高考名校联考)已知抛物线C ：x 2＝3y 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为4，则( ) A ．直线l 的倾斜角为30°或150° B ．|AF |－|BF |＝4 C.|AF ||BF |＝13或3D ．S △AOB ＝92答案 ACD解析由题意知F ⎝⎛⎭⎫0，34，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋34，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y ，y ＝kx ＋34，消去y ，得4x 2－12kx －9＝0， Δ＝144k 2＋144>0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝3k ，x 1x 2＝－94，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3(1＋k 2)＝4，∴k ＝±33.设直线l 的倾斜角为θ，则θ＝30°或θ＝150°. 设|AF ||BF |＝λ，则当θ＝30°时，|AF |＋|BF |＝(λ＋1)|BF |＝4，又由抛物线的定义易知|AF |－|BF |＝(λ－1)|BF |＝2， ∴(λ＋1)|BF |(λ－1)|BF |＝42＝2， ∴λ＋1λ－1＝2，∴λ＝3，即|AF ||BF |＝3.由抛物线的对称性知，当θ＝150°时，λ＝13，即|AF ||BF |＝13.S △AOB ＝12×|OF |×|x 1－x 2|＝12×34×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝12×34×⎣⎡⎦⎤3－4×⎝⎛⎭⎫－94＝92. 三、填空题13．(2020·天津)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为________．答案 5解析设圆心为O (0,0)，圆心到直线的距离d ＝|0－3×0＋8|1＋3＝4.取AB 的中点M ，连接OM (图略)，则OM ⊥AB . 在Rt △OMA 中，r ＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝5. 14．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－17，则cos 2α＝________. 答案－725解析方法一因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－17，所以tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4tan π4＝－17－11－17＝－43，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－725.方法二 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－17，所以tan α＝－43，即sin α＝－43cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. 15.如图，在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝10，平面DEFH分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．答案 15解析取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，SG ，BG ⊂平面SGB ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD . 同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF ∥AC 且HF ＝12AC ，DE ∥AC 且DE ＝12AC ，所以HF ∥DE 且HF ＝DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝⎛⎭⎫12AC ·⎝⎛⎭⎫12SB ＝15.16．(2020·新高考全国Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC ＝35，BH ∥DG ，EF ＝12 cm ，DE ＝2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________ cm 2.答案5π2＋4 解析如图，连接OA ，过A 作AP ⊥EF ，分别交EF ，DG ，OH 于点P ，Q ，R . 由题意知AP ＝EP ＝7，又DE ＝2，EF ＝12，所以AQ ＝QG ＝5，所以∠AHO ＝∠AGQ ＝π4.因为OA ⊥AH ，所以∠AOH ＝π4，∠AOB ＝3π4.设AR ＝x ，则OR ＝x ，RQ ＝5－x .因为tan ∠ODC ＝35，所以tan ∠ODC ＝5－x 7－x ＝35，解得x ＝2，则OA ＝2 2. 所以S ＝S 扇形AOB ＋S △AOH －S 小半圆＝12×3π4×(22)2＋12×4×2－12π×12 ＝⎝⎛⎭⎫5π2＋4cm 2.。

新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练8(附解析)

强化训练8 等差数列与等比数列——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东威海三模]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝4，S 9＝18，则公差d ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－22．[2022·湖南常德一模]设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 4＝4，S 3＝S 2＋2，则a 1＝( )A ．12B ．1C ．2D ．23．[2022·湖南岳阳一模]已知等差数列{a n }满足a 2＝4，a 3＋a 5＝4(a 4－1)，则数列{a n }的前5项和为( )A ．10B ．15C ．20D ．304．[2022·湖南师大附中二模]设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则“a 1<0，且0<q <1”是“对于任意N *都有a n ＋1>a n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．[2022·辽宁鞍山二模]设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，若S n T n＝2n 3n ＋7，则 a 3b 3 ＝( ) A ．1 B ．511C ．2217D ．386．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝( )A ．2n －1B ．(n ＋1n)n ＋1 C ．n 2 D ．n7．[2022·河北邯郸一模]“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2 022这2 022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为( )A ．132B ．133C ．134D ．1358．[2022·北京北大附中三模]已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n 2，其中n ＝1，2，3，…，则数列{a n }( )A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．在数列{a n }中，a 1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1 是公比为2的等比数列，设S n 为{a n }的前n 项和，则( )A ．a n ＝12n －1B ．a n ＝12n ＋12C ．数列{a n }为递减数列D ．S 3>7810．[2022·湖南永州三模]已知等差数列{a n }是递减数列，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 8，则( )A ．d ＞0B ．a 8＝0C ．S 15>0D ．S 7、S 8均为S n 的最大值11．[2022·山东枣庄三模]给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第n (n ∈N *)次得到数列1，x 1，x 2，…，x k ，1，记a n ＝1＋x 1＋x 2＋…＋x k ＋1，数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A.a 4＝81B ．a n ＝3a n －1－1C ．a n ＝3n ＋1D ．S n ＝12 ×3n ＋1＋n －3212．[2022·河北沧州二模]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝(－1)n ＋1(a n －n )＋n ，记{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．a 48＋a 50＝100B ．a 50－a 46＝4C ．S 48＝600D ．S 49＝601三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·辽宁丹东一模]在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 7＝15，则a 2＋a 8＝________．14．[2022·广东潮州二模]记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则a 4＝________．15．[2022·山东泰安二模]已知数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 1＝2，且a 3＋2，a 4，a 6－4成等比数列，则a 10＝________．16．[2022·河北唐山二模]已知数列{a n }满足a 1＝a 5＝0，|a n ＋1－a n |＝2，则{a n }前5项和的最大值为________．强化训练8 等差数列与等比数列1．解析：由题可知⎩⎪⎨⎪⎧a1＋2d ＝49a1＋9×82·d ＝18 ⇒⎩⎨⎧a1＝6d ＝－1 . 答案：B2．解析：由已知a3＝S3－S2＝2，q ＝a4a3 ＝42 ＝2，所以a1＝a3q2 ＝222 ＝12 .答案：A3．解析：等差数列{an}中，2a4＝a3＋a5＝4（a4－1），解得a4＝2，于是得公差d ＝a4－a24－2＝－1，a1＝5，所以数列{an}的前5项和为S5＝5a1＋5（5－1）2d ＝15. 答案：B4．解析：若a1<0，且0<q<1，则an ＋1－an ＝a1qn －a1qn －1＝a1qn －1（q －1）>0，所以an ＋1>an ，反之，若an ＋1>an ，则an ＋1－an ＝a1qn －a1qn －1＝a1qn －1（q －1）>0，所以a1<0，且0<q<1或a1>0，且q>1，所以“a1<0，且0<q<1”是“对于任意N*，都有an ＋1>an”的充分不必要条件．答案：A5．解析：因为等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别是Sn ，Tn ，所以a3b3 ＝a1＋a52b1＋b52 ＝5（a1＋a5）25（b1＋b5）2＝S5T5 ＝1015＋7＝511 . 答案：B6．解析：由an ＝n （an ＋1－an ），得（n ＋1）an ＝nan ＋1，即an ＋1an ＝n ＋1n ，则an an －1 ＝n n －1 ，an －1an －2 ＝n －1n －2 ，an －2an －3 ＝n －2n －3，…，a2a1 ＝21 ，n≥2，由累乘法可得an a1 ＝n ，所以an ＝n ，n≥2，又a1＝1，符合上式，所以an ＝n.答案：D7．解析：因为由1到2 022这2 022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为14，公差为15的等差数列{an}，所以该数列的通项公式为an ＝14＋15（n －1）＝15n －1.令an ＝15n －1≤2 022，解得n≤134，即该数列的项数为134.答案：C8．解析：依题意，因为a1a2a3…an ＝n2，其中n ＝1，2，3，…，当n ＝1时，a1＝12＝1，当n≥2时，a1a2a3…an －1＝（n －1）2，a1a2a3…an ＝n2，两式相除有an ＝n2（n －1）2 ＝（1＋1n －1）2，n≥2，易得an 随着n 的增大而减小，故an≤a2＝4，且an>1＝a1，故最小项为a1＝1，最大项为a2＝4.答案：A9．解析：因为a1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ＋1 是公比为2的等比数列，所以1an ＋1＝2·2n －1＝2n ，所以an ＝12n －1，故A 正确，B 错误；因为y ＝2x －1，（x≥1）是单调增函数，故y ＝12x －1，（x≥1）是单调减函数，故数列{an}是减数列，故C 正确；S3＝a1＋a2＋a3＝1＋13 ＋17 >78 ，故D 正确．答案：ACD10．解析：因为等差数列{an}是递减数列，所以an ＋1－an<0，所以d<0，故A 错误；因为S7＝S8，所以a8＝S8－S7＝0，故B 正确；因为S15＝15（a1＋a15）2＝15a8＝0，故C 错误；因为由题意得，⎩⎨⎧a7>0a8＝0a9<0，所以S7＝S8≥Sn （n ∈N*），故D 正确．答案：BD11．解析：由题意得：a1＝4，a2＝10＝3×4－2，a3＝28＝3×10－2，a4＝82＝3×28－2，所以有an ＝3an －1－2，因此选项AB 不正确；an ＝3an －1－2⇒an －1＝3（an －1－1），所以数列{an －1}是以a1－1＝3为首项，3为公比的等比数列，因此有an －1＝3·3n －1＝3n ⇒an ＝3n ＋1，因此选项C 正确；Sn ＝3（1－3n ）1－3＋n ＝12 ×3n ＋1＋n －32 ，所以选项D 正确．答案：CD12．解析：因为a1＝1，an ＋2＝（－1）n ＋1（an －n ）＋n ，所以当n 为奇数时，an ＋2＝an ＝a1＝1；当n 为偶数时，an ＋an ＋2＝2n.所以a48＋a50＝96，选项A 错误；又因为a46＋a48＝92，所以a50－a46＝4，选项B 正确；S48＝a1＋a3＋a5＋…＋a47＋[（a2＋a4）＋（a6＋a8）＋…＋（a46＋a48）]＝24×1＋2×（2＋6＋…＋46）＝24＋2×（2＋46）×122＝600，故C 正确； S49＝S48＋a49＝600＋1＝601，选项D 正确．答案：BCD13．解析：由题意在等差数列{an}中，设公差为d ，则a1＋2a7＝3a1＋12d ＝3a5＝15，所以a5＝5，于是a2＋a8＝2a5＝10.答案：1014．解析：设等比数列{an}的公比为q ，由已知S3＝a1＋a1q ＋a1q2＝1＋q ＋q2＝34 ，即q2＋q ＋14 ＝0，解得q ＝－12 ，所以a4＝1·（－12 ）3＝－18 .答案：－1815．解析：设公差为d ，则a 24 ＝（a3＋2）（a6－4），即（2＋3d ）2＝（2＋2d ＋2）（2＋5d －4），化简得d2＋4d －12＝0，解得d ＝2或d ＝－6，又d>0，故d ＝2，则a10＝a1＋9d ＝20.答案：2016．解析：∵a1＝a5＝0，|an ＋1－an|＝2，∴|a2－a1|＝|a2|＝2，∵求an 前5项和的最大值，∴取a2＝2，∵|an ＋1－an|＝2，∴|a3－a2|＝|a3－2|＝2.∵求an 前5项和的最大值，∴取a3＝4，∵|a4－a3|＝|a4－4|＝2①|a5－a4|＝|0－a4|＝|a4|＝2②结合①和②，∴a4＝2时前5项和可有最大值．∴{an}前5项和的最大值为：0＋2＋4＋2＋0＝8.答案：8。

北京高考数学第8题经典解析及强化训练

北京高考数学第8题经典解析及强化训练面对创新题，记住一句话：无限变有限，变中找不变。

1、点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”解析：设(,1)P m m -，2(,)B n n ，PB 中点在抛物线上，得到关于m,n 的关系式，转化为关于n 的方程，发现判别式恒大于0，即表示，对于l 上任意一点都存在点B 使得它们的中点在抛物线上，即直线上所有的点都是点2、如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关解析：在变化的过程中找到不变的量，不论Q 如何移动，三角形EFQ 的面积是不变的，所以，四面体体积只与P 点位置有关。

3、设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（A ）{}9,10,11 （B ）{}9,10,12 （C ）{}9,11,12 （D ）{}10,11,12解析：建立坐标系，线段CD 在直线y=4上移动，在移动的过程中观察整点个数，只有9、11、12三种情况。

此题中线段CD 长度不变。

4、、已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为(A)（A ）32 （B ）12（C ） 1 （D ）2 解析：23λλ⋅取最大值时，根据均值定理，23λλ=，即23S S =,此时P 为EF 中点（各自分割为上下两个小三角形的面积之和），所以2PB PC PA →→→+=-. 5、已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数[()1]y f f x =+的零点个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1解析：令()1f x U +=，由()0f U =得10,0U U +=≤,或2log 0,0U x =<，又()1f x U+=，所以()2f x =-或()0f x =，最终得到4个零点。

2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章强化训练8 空间位置关系中的综合问题

7.如图所示，在三棱锥A－BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝ 1∶3，已知△BCD的周长是18，则△EFG的周长为__6__.
解析由已知得EF∥BD，EG∥BC，FG∥DC， ∴△EFG∽△BDC， ∴△△BEDFGC的的周周长长＝BEDF，又∵BEDF＝AAEB＝13， ∴△△BEDFGC的的周周长长＝13， ∴△EFG 的周长＝18×13＝6.
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解析如图，对∀F∈BC，EF与AC异面或相交，故①错误；当点F为BC的中点时，EF为异面直线AD和BC的公垂线段，此时EF取得最小值，当F与B，C重合时，EF取得最大值 3 ，故②正确；因为AD⊥BE，AD⊥CE，BE∩CE＝E，所以AD⊥平面BEC，故AD⊥EF，故③错误；
＝AD，PA＝PD，取AD的中点N，连接PN，
则PN⊥平面ABCD，因为 PA⊥PD，所以 PN＝12AD＝1，所以 VP－CEF＝12VP－BCF＝14VP－ABCD＝14×13×S 梯形 ABCD×PN＝112×6×1＝12.
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解析如图，过点F作FH∥AE交A1D1于H，易知D1H＝1，所以点H为A1D1的四等分点，连接AH，过点E作EP∥AH交CC1于点P，所以AA1AH1＝CCPE，解得 CP＝83，故截面与平面 BCC1B1 交线段 PE＝ CE2＋CP2＝
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因为E到平面BCD的距离为定值d，设直线 EF 与平面 BCD 的夹角为 θ，则 sin θ＝EdF，当F为BC的中点时，易知EF为异面直线AD和BC的公垂线段，此时 EF 取得最小值，sin θ＝EdF有最大值，此时 DF＝ 3，DE＝1，故 EF＝ 3－1＝ 2，由Rt△EFD可知，EF·DE＝DF·d，解得 d＝ 36，所以 sin θ＝EdF＝ 33，故④正确．

《最高考》聚焦小题强化训练50练（提升版）（含详细解答）

(第 7 题) 6.已知函数 f(x)＝sinx(x∈[0，π])和函数 g(x)＝12tanx 的图象交于 A，B，C 三点，则△ABC 的面积为________． 7.如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则VV12的值是________． 8.已知函数 f(x)＝mx3x＋＋x22＋，mx>，1，0≤x≤1，若函数 f(x)有且只有两个零点，则实数 m 的取值范围是 ________．
11.(本小题满分 16 分) 某农场有一块农田，如图，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ. (1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sinθ 的取值范围； (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3.求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
小题强化训练二
一、填空题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分． 1.已知复数 z 满足(z－2)i＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于第________象限． 2.设集合 A＝{x|y＝ln(x2－3x)}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则 A∪B＝____________． 3.若 θ∈(0，π4)，且 sin2θ＝14，则 sin(θ－π4)＝________． 4.已知一个正方体的外接球体积为 V1，其内切球体积为 V2，则VV12的值为________. 5.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝3，且数列{ Sn }也为等差数列，则 a11＝________． 6.在▱ABCD 中，∠BAD＝60°，E 是 CD 上一点，且A→E＝12A→B＋B→C，|A→B|＝λ|A→D|.若A→C·E→B＝12A→D 2，则 λ＝________． 7.设函数 f(x)＝lnx＋mx ，m∈R，若对任意 x2＞x1＞0，f(x2)－f(x1)＜x2－x1 恒成立，则实数 m 的取值范围是__________． 8.已知实数 x，y 满足 x2＋y2＝1，则（x－1y）2＋（x＋1y）2的最小值为________．二、解答题：本大题共 4 小题，共 60 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分 14 分) 在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求 cos∠ADB 的值； (2)若 DC＝2 2，求 BC 的值．

2023年高考数学微专题专练8含解析文

专练8 指数与指数函数命题范围：指数的意义与运算；指数函数的定义、图像与性质．[基础强化]一、选择题1．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2D ．a >0且a ≠12．已知函数g (x )＝3x＋t 的图像不经过第二象限，则t 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．(－∞，－3] D ．[－3，＋∞)3．若a 2x＝2－1，则a 3x ＋a －3xa x ＋a －x等于( )A ．22－1B ．2－2 2C ．22＋1D ．2＋14．函数y ＝a x(a >0且a ≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝( ) A ．12 B ．2 C ．4D ．145．函数f (x )＝a x －b 的图像如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <06．[2022·江西省景德镇市高三质检]设a ＝log 52，e b＝12，c ＝ln32，则( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b7．[2022·江西省南昌市高三模拟]已知a ＝log 0.62，b ＝sin1，c ＝20.6，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．a ＜b ＜c8．[2022·浙江杭州一中高三测试]函数f (x )＝(12)1－x 2的单调减区间为( )A ．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－1，1)9．[2022·安庆一中高三测试]已知函数f (x )＝e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( )A ．(－∞，－43)∪(2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，43)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2) 二、填空题10．(－278)－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0的值为________.11．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________. 12．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________.[能力提升]13．[2022·四川省成都高三“二诊模拟”]基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型I (t )＝e rt来描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT ，有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为( )(参考数据：ln3≈1.098)( )A ．2天B ．5天C ．4天D ．3天14．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．6915．已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax 的图像经过点P (p ，65)、Q (q ，－15).若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________．16．已知函数y ＝4x＋m ·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，则m 的取值范围是________．专练8 指数与指数函数1．C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，得a ＝2.2．A 若函数g (x )＝3x＋t 的图像不经过第二象限，则当x ＝0时，g (x )≤0，即30＋t ≤0，解得t ≤－1.3．A a 3x ＋a －3x a x ＋a －x ＝a 2x ＋a －2x －1＝2－1＋12－1－1＝2－1＋2＋1－1＝22－1. 4．B ∵y ＝a x在[0，1]上单调，∴a 0＋a 1＝3，得a ＝2. 5．D 由f (x )＝ax －b的图像知0<a <1，又f (0)＝a －b∈(0，1)，∴－b >0，∴b <0.6．A a ＝log 52＝12log 54，而0＜log 54＜1，即0＜a ＜12；由e b＝12，得b ＝ln 12＜ln1，即b ＜0；c ＝ln32，而ln3＞lne ＝1，即c ＞12；所以c ＞a ＞b . 7．D 因为a ＝log 0.62＜log 0.61＝0，0＜b ＝sin1＜1，c ＝20.6＞20＝1，所以a ＜b ＜c . 8．C 由复合函数的单调性可知，函数f (x )的单调减区间为(－∞，0).9．B ∵f (x )＝e x －1e x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －1e －x ＝e －x －e x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f (2x －1)＋f (－x －1)>0等价于f (2x －1)>f (x ＋1).又f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>x ＋1，∴x >2.10．答案：－1679解析：原式＝(－278)－23＋(1500)－12－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.11．答案：－32解析：①当0<a <1时，函数f (x )在[－1，0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝0，f （0）＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32.②当a >1时，函数f (x )在[－1，0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－1，f （0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解，所以a ＋b ＝－32.12．答案：1解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，所以a ＝1，所以函数f (x )＝2|x －1|的图像如图所示，因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.13．D 因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，则指数增长率r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间为t 1天，所以I (t )＝e rt＝e0.38t，则e0.38(t ＋t 1)＝3e0.38t，所以e0.38t 1＝3，即0.38t 1＝ln3. 所以t 1＝ln30.38≈1.0980.38≈3(天).14．C I (t *)＝K1＋e－0.23（t *－53）＝0.95K ，整理可得e0.23(t *－53)＝19，两边取自然对数得0.23(t *－53)＝ln19≈3，解得t *≈66.15．答案：6解析：由题意得f (p )＝65，f (q )＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p2p＋ap ＝65，①2q 2q＋aq ＝－15，②①＋②，得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p＋ap ）（2p ＋ap ）（2q＋aq ）＝1，整理得2p ＋q＝a 2pq ，又2p ＋q＝36pq ，∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，得a ＝6. 16．答案：[－12，＋∞)解析：设t ＝2x，则y ＝4x＋m ·2x－2＝t 2＋mt －2.因为x ∈[－2，2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4. 又函数y ＝4x＋m ·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，即y ＝t 2＋mt －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4上单调递增，故有－m 2≤14，解得m ≥－12.所以m 的取值范围为[－12，＋∞).。

新高考数学复习考点知识与题型专题练习8---二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)

新高考数学复习考点知识与题型专题练习 8 二次函数与一元二次方程、不等式一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．若26(8)0kx kx k -++≥（k 为常数）对一切x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤ B ．01k <<C ．01k <≤D ．0k <或1k >【答案】A【解析】由已知得，当0k =时，原不等式为80≥，显然恒成立；当0k ≠时，需满足2364(8)0k k k k >⎧⎨∆=-+≤⎩，解得01k <≤，所以k 的取值范围是01k ≤≤. 故选：A2．若0<m <1，则不等式(x －m )1()x m-<0的解集为（） A ．{}x m 或}x m > C ．{x∣x m >或1x m ⎫>⎬⎭D ．1|x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为1x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故选：D ． 3．与不等式302x x-≥-同解的不等式是（） A ．()()320x x --≥B ．021x <-≤C ．203xx -≥- D ．()()320x x -->【答案】B【解析】302x x -≥-，即()()32020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得23x <≤， A 项：()()320x x --≥，解得23x ≤≤，不正确； B 项：021x <-≤，解得23x <≤，正确； C 项：203xx -≥-，即()()32030x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得23x ≤<，不正确； D 项：()()320x x -->，解得23x <<，不正确，故选：B.4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x （单位：元）的取值范围是（） A ．{}1016x x ≤，所以1520x <<，这批台灯的销售单价x 的取值范围是{}1520x x <<，故选：C.5．不等式222x x x --->0的解集为（）A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2}【答案】A【解析】解析原不等式可化为()()10210202x x x x x +>-+⎧>⇒⎨-≠-⎩，解得x >－1且x ≠2．故选：A ．6．关于x 的不等式ax －b >0的解集是（1，＋∞），则关于x 的不等式（ax ＋b ）（x －3）>0的解集是（）A ．{1x <-或}3x >B ．{x |－1<x <3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |x <1或x >3}【答案】A【解析】由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以（ax ＋b ）（x －3）＝a （x ＋1）（x －3）>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为{x |x <－1或x >3}. 故选：A7．若关于x 的不等式2420x x a ---≥在{}|14x x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．{}|2a a ≤- B ．{}|2a a ≥- C ．{}|6a a ≥- D ．{}|6a a ≤-【答案】A【解析】不等式2420x x a ---≥在{}|14x x ≤≤内有解等价于14x ≤≤时，2max (42)a x x ≤--.当14x ≤≤时，()2max422x x --=-，所以2a ≤-.故选：A.8．不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（） A ．{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭B ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{}21x x -<<D ．{2x x <-或}1x >【答案】A【解析】由题意可知：-1、2是关于x 的二次方程220ax bx ++=的两根，由韦达定理可得21212a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，不等式220x bx a ++>即为2210x x +->，解得1x <-或12x >．因此，不等式220x bx a ++>的解集为{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．在一个限速40km/h 的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .又知甲､乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲=0.1x +0.01x 2，S 乙=0.05x +0.005x 2.则下列判断错误的是（） A ．甲车超速 B ．乙车超速 C ．两车均不超速 D ．两车均超速【答案】ACD【解析】设甲的速度为1x 由题得0.1x 1+0.0121x >12，解之得140x <-或130x >；设乙的速度为2x ，由题得0.05x 2+0.00522x >10. 解之得x 2<-50或x 2>40.由于x >0，从而得x 1>30km /h ，x 2>40km /h . 经比较知乙车超过限速. 故选：ACD10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】BCD【解析】解：当a ＝0时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x ≤0，解得0≤x ≤4，有5个整数解，∴A 错；当a ＝1时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x +1≤0解得2x ≤2有3个整数解“1，2，3”，∴B 对；当a ＝2时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x +2≤0，解得2x ≤22，有3个整数解“1，2，3”，∴C 对；当a ＝3时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x +3≤0，解得1≤x ≤3，有3个整数解“1，2，3”，∴D 对；故选：BCD ．11．已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（）A ．0a >B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>【答案】BCD【解析】解：对A ，不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故相应的二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，即0a <，故A 错误；对B ，C ，由题意知：2和12-是关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根，则有12()102c a =⨯-=-<，132()022b a -=+-=>，又0a <，故0,0bc >>，故B ，C 正确；对D ，1ca=-，0a c ∴+=，又0b >，0a b c ∴++>，故D 正确.故选：BCD.12．若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<，则能使不等式21()12()a x b x c ax ++-+<成立的x 可以为（） A ．{}|03x x < D ．{|2x x <-或}1x >【答案】BC【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<，所以1-和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，所以121,122b ca a-=-+==-⨯=-. 则,2b a c a =-=-.由21()12()a x b x c ax ++-+<，得230ax ax -<，因为0a <，所以230x x ->，解得0x <或3x >，所以不等式21()12()a x b x c ax ++-+<的解集为{|0x x <或3}x >. 故选：BC三、填空题：本题共4小题．13．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．【答案】{x |100<x <400} 【解析】解析5%<4%2007%200x x ⋅+⋅+<6%，解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．故答案为：{x |100<x <400}．14．一元二次不等式的一般形式：ax 2＋bx ＋c >0，ax 2＋bx ＋c <0，ax 2＋bx ＋c ≥0，ax 2＋bx ＋c ≤0，其中a ≠0，其中a ，b ，c 均为____ 【答案】常数【解析】根据一元二次不等式的一般形式的相关概念可知，式中的参数a b c ，，均为常数故答案为：常数. 15．在R 上定义运算：b a b c da d c =-．若不等式1211x a a x--≥+对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．【答案】32【解析】由题意可知，()()()121211x a x x a a a x--=---++，不等式1211x a a x--≥+恒成立即()()()1211x x a a ---+≥恒成立，()()()1211x x a a ---+≥，()()2121x x a a --≥-+，因为221551244x x x ⎛⎫--=--≥- ⎪⎝⎭，所以()()5214a a -≥-+，即2304a a --≤，解得1322a -≤≤，则实数a 的最大值为32，故答案为：32. 16．在一个限速40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离sm 与车速x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．这次事故的主要责任方为________．【答案】乙车【解析】解:由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10．分别求解，得 x 甲<－40或x 甲>30． x 乙<－50或x 乙>40．由于x >0，从而得x 甲>30km /h ，x 乙>40km /h ．经比较知乙车超过限速，应负主要责任．故答案为:乙车.四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知关于x 的不等式23208kx kx +-<.（1）若不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数k 的值；（2）若不等式23208kx kx +-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）18k =；（2）{}|30k k -<≤.【解析】（1）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以0k ≠，且32-和1时关于x 的方程23208kx kx +-=的两个实数根，则338122k--⨯=，解得18k =. （2）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<恒成立，所以0k =或22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩，即0k =或30k -<<，则实数k 的取值范围为{}|30k k -<≤.18．232(,,)y ax bx c a b c R =++∈，若0,(32)0a b c a b c c ++=++>.求证：（1）方程2320ax bx c ++=有实数根；（2）若21b a -<<-，且12,x x 是方程2320ax bx c ++=1223x x ≤-<. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】（1）若0a =，又0a b c ++=，则b c =-，2(32)0a b c c c ∴++=-≤，与已知矛盾，0a ∴≠.方程2320ax bx c ++=的判别式22(2)434(3)b a c b ac ∆=-⋅⋅=-，又知0a b c ++=，即()b a c =-+，22222134(3)4()4[()]024b ac a c ac a c c ∴∆=-=+-=-+>，故方程2320ax bx c ++=有实数根. （2）由题意得，12122,333b c a bx x x x a a a++=-==-， ∴22221212122244()43()()4(3)939b a b b b x x x x x x a a a a+-=+-=+=++22433431[()]()924923b b a a =++=++， 21b a -<<-，21214()39x x ∴≤-<，1223x x ≤-<. 19．设函数2y x mx n =++，已知不等式0y <的解集为{}|14x x <<. （1）求m 和n 的值；（2）若y ax ≥对任意0x >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）5,4m n =-=；（2）1a ≤-.【解析】（1）有题意得121,4x x ==是关于x 的方程20x mx n ++=的两个根，所以12125,4m x x n x x -=+==⋅=，故5,4m n =-=；（2）由（1）得254y x x =-+，则254x x ax -+≥对任意0x >恒成立，即45a x x≤+-，对任意0x >恒成立.又因为44x x +≥=（当且仅当2x =时，等号成立），所以451x x+-≥-，所以1a ≤-.20．已知关于x 的不等式2220()x mx m m R -++≤∈的解集为M . （1）当M 为空集时，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求2251m m m +++的最小值；（3）当M 不为空集，且{}|14M x x ⊆≤≤时，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}|12m m -<<；（2）4；（3）18|27m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）因为M 为空集，所以2244(2)02012m m m m m ∆=-+<⇒--<⇒-<<. 所以m 的取值范围为{}|12m m -<<；（2）由（1）可知12m -<<，则013m <+<，所以2225(1)4414111m m m m m m m ++++==++≥=+++，当且仅当4111m m m +=⇒=+等号成立，所以2252m m m +++的最小值为4.（3）设函数222y x mx m =-++，当M 不为空集时，由{}|14M x x ⊆≤≤，得22244(2)012201827482014m m m m m m m m ⎧∆=-+≥⎪-++≥⎪⇒≤≤⎨-++≥⎪⎪≤≤⎩. 所以实数m 的取值范围18|27m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.21．已知二次函数22y ax bx a =+-+.（1）若关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{}|13x x -<<.求实数,a b 的值；（2）若2,0b a =>，解关于x 的不等式220ax bx a +-+>. 【答案】（1）1a =-，2b =；（2）答案见解析.【解析】（1）因为关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{}|13x x -<< 所以1-和3是方程220ax bx a +-+=的两根，所以13213b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩，（2）当2b =时，220ax bx a +-+>即2220ax x a +-+>可化为()()120x ax a +-+>，因为0a >，所以()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭ 所以方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为1-和2a a -，当21a a--<即1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a -⎫>⎬⎭，当21a a--=即1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，当21a a -->即01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-，综上所述：当01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-，当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，当1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a -⎫>⎬⎭. 22．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】{m |0<m ≤3}.【解析】p ：－2≤x ≤10. q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0 (m >0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为q 是p 的充分不必要条件，所以{x |1－m ≤x ≤1＋m } {x |－2≤x ≤10}，故12110mmm-≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得03m<≤.所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．。

高考数学二轮复习练习：专项限时集训8 函数最值、恒成立及存在性问题含答案

专项限时集训(八) 函数最值、恒成立及存在性问题(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(镇江市2019届高三上学期期末)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝λ(x 2－1)(λ为常数)．(1)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线，求实数λ的值； (2)若λ＝12，且x ≥1，证明：f (x )≤g (x )；(3)若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数λ的取值范围． [解](1)f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(1)＝1且f (1)＝0. 所以函数y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为：y ＝x －1，从而g ′(x )＝2λx ，g ′(1)＝2λ＝1，即λ＝12.2分(2)证明：由题意知：设函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)，则h ′(x )＝ln x ＋1－x ，设p (x )＝ln x ＋1－x ，从而p ′(x )＝1x－1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，所以p (x )＝ln x ＋1－x ≤p (1)＝0，即h ′(x )≤0，因此函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)在[1，＋∞)上单调递减，即h (x )≤h (1)＝0，所以当x ≥1时，f (x )≤g (x )成立. 6分(3)设函数H (x )＝x ln x －λ()x 2－1，从而对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0＝H (1)恒成立．又H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，当H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0，即ln x ＋1x≤2λ恒成立时，函数H (x )单调递减．设r (x )＝ln x ＋1x ，则r ′(x )＝－ln x x2≤0，所以r (x )max ＝r (1)＝1，即1≤2λ⇒λ≥12，符合题意；当λ≤0时，H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≥0恒成立，此时函数H (x )单调递增．于是，不等式H (x )≥H (1)＝0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；当0＜λ＜12时，设q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，则q ′(x )＝1x －2λ＝0⇒x ＝12λ＞1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，q ′(x )＝1x －2λ＞0，此时q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx 单调递增，所以H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ＞H ′(1)＝1－2λ＞0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，函数H (x )单调递增．于是当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，H (x )＞0成立，不符合题意；综上所述，实数λ的取值范围为λ≥12.14分2．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝a ln x －bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e≈2.71828.(1)当a ＜0，b ＝－1时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若关于x 的方程f (x )＝0在区间(1，e]上有两个不同的实数解，求a b的取值范围.【导学号：56394114】[解](1)b ＝－1时，f (x )＝a ln x ＋x 3，则f ′(x )＝a ＋3x 3x，令f ′(x )＝0，解得：x ＝3－a3，∵a ＜0，∴3－a3＞0， x ，f ′(x )，f (x )的变化如下：故g (a )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3－a 3＝a 3ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－a3，令t (x )＝－x ln x ＋x ，则t ′(x )＝－ln x ，令t ′(x )＝0，解得：x ＝1，且x ＝1时，t (x )有最大值1，故g (a )的最大值是1，此时a ＝－3；8分(2)由题意得：方程a ln x －bx 3＝0在区间(1，e]上有2个不同的实数根，故a b ＝x 3ln x在区间(1，e]上有2个不同实数根，即函数y 1＝a b 的图象与函数m (x )＝x 3ln x 的图象有2个不同的交点，∵m ′(x )＝x 2 3ln x －1 ln x 2，令m ′(x )＝0，得：x ＝3e ， x ，m ′(x )，m (x )的变化如下：∴x ∈(1，3e)时，m (x )∈(3e ，＋∞)，x ∈(3e ，e]时，m (x )∈(3e ，e 3]，故a ，b 满足的关系式是3e ＜a b≤e 3，即a b的范围是(3e ，e 3].14分3．(本小题满分14分)(江苏省镇江市丹阳高中2019届高三下学期期中)已知函数f (x )＝x －1x，(1)函数F (x )＝f (e x)－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 36，其中k 为实数， ①求F ′(0)的值；②对∀x ∈(0,1)，有F (x )＞0，求k 的最大值；(2)若g (x )＝x 2＋2ln xa(a 为正实数)，试求函数f (x )与g (x )在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的a 的个数，若不存在，请说明理由． [解](1)由F (x )＝e x－1e x －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 36得F ′(x )＝e x＋1e x －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22，①F ′(0)＝2－k ，②记h (x )＝F ′(x )，则h ′(x )＝e x－1ex －kx ，记m (x )＝h ′(x )，则m ′(x )＝e x ＋1e x －k ，当x ∈(0,1)时，e x＋1e x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，e ＋1e .3分(ⅰ)当k ≤2时，m ′(x )＞2－k ≥0，x ∈(0,1)，即m (x )在(0,1)上是增函数，又m (0)＝0，则h ′(x )＞0，x ∈(0,1)，即h (x )在(0,1)上是增函数，又F ′(0)＝2－k ≥0，则F ′(x )＞0，x ∈(0,1)，即F (x )在(0,1)上是增函数，故F (x )＞F (0)＝0，x ∈(0,1)． (ⅱ)当k ＞2时，则存在x 0∈(0,1)，使得m ′(x )在(0，x 0)小于0，即m (x )在(0，x 0)上是减函数，则h ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，即h (x )在(0，x 0)上是减函数，又F ′(0)＝2－k ＜0，则F ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，又F ′(0)＝2－k ＜0，即F (x )在(0，x 0)上是减函数，故F (x )＜F (0)＝0，x ∈(0，x 0)，矛盾．故k 的最大值为2.8分(2)设函数f (x )与g (x )在其公共点x ＝x 1处存在公切线，则⎩⎨⎧x 1－1x 1＝x 21＋2ln x 1a， ①1＋1x 21＝2x 1＋2x 1a ， ②由②得(2x 1－a )(x 21＋1)＝0，即x 1＝a2，代入①得8ln a －8ln2－a 2＋8＝0，记G (a )＝8ln a －8ln2－a 2＋8，则G ′(a )＝8a－2a ，得G (a )在(0,2)上是增函数，(2，＋∞)上是减函数，又G (2)＝4＞0，G (4)＝8ln2－8＜0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ＝－4e 2＜0，得符合条件的a 的个数为2.(未证明小于0的扣2分)14分4．(本小题满分16分)(无锡市2019届高三上学期期末)已知f (x )＝x 2＋mx ＋1(m ∈R )，g (x )＝e x.(1)当x ∈[0,2]时，F (x )＝f (x )－g (x )为增函数，求实数m 的取值范围； (2)若m ∈(－1,0)，设函数G (x )＝f xg x ，H (x )＝－14x ＋54，求证：对任意x 1，x 2∈[1,1－m ]，G (x 1)＜H (x 2)恒成立．[解](1)∵F (x )＝x 2＋mx ＋1－e x ，∴F ′(x )＝2x ＋m －e x. ∵当x ∈[0,2]时，F (x )＝f (x )－g (x )为增函数， ∴F ′(x )≥0即2x ＋m －e x≥0在[0,2]上恒成立，即m ≥e x－2x 在[0,2]上恒成立．令h (x )＝e x－2x ，x ∈[0,2]，则h ′(x )＝e x－2，令h ′(x )＝0，则x ＝ln2.∴h (x )在[0，ln2]上单调递减，在[ln2,2]上单调递增． ∵h (0)＝1，h (2)＝e 2－4＞1， ∴h (x )max ＝h (2)＝e 2－4， ∴m ≥e 2－4.6分(2)证明：G (x )＝x 2＋mx ＋1ex，则G ′(x )＝－x 2＋ 2－m x ＋m －1e x ＝－ x －1 [x － 1－m ]e x. 要证任给x 1，x 2∈[1,1－m ]，G (x 1)≤H (x 2)恒成立，即证G (x )max ≤H (x )min ， ∵x ∈[1,1－m ]，∴G (x )在[1,1－m ]上单调递增，G (x )max ＝G (1－m )＝2－me 1－m ，∵H (x )在[1,1－m ]上单调递减，H (x )min ＝H (1－m )＝－14(1－m )＋54.10分要证G (x )max ≤H (x )min ，即证2－m e 1－m ≤－14(1－m )＋54，即证4(2－m )≤e1－m[5－(1－m )]．令1－m ＝t ，则t ∈(1,2)．设r (x )＝e x(5－x )－4(x ＋1)，x ∈[1,2]，即r (x )＝5e x－x e x－4x －4.r ′(x )＝(4－x )e x －4≥2e x －4＞0，∴r (x )＝e x(5－x )－4(x ＋1)在[1,2]上单调递增， ∵r (1)＝4e －8＞0，∴e x(5－x )≥4(x ＋1)，从而有－14(1－m )＋54≥2－m e ，即当x ∈[1,1－m ]时，G (x )max ≤H (x )min 成立.16分5．(本小题满分16分)(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2019届高三上学期期末)已知函数f (x )＝x 22e－ax ，g (x )＝ln x －ax ，a ∈R .(1)解关于x (x ∈R )的不等式f (x )≤0； (2)证明：f (x )≥g (x )；(3)是否存在常数a ，b ，使得f (x )≥ax ＋b ≥g (x )对任意的x ＞0恒成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【导学号：56394115】[解](1)当a ＝0时，f (x )＝x 22e，所以f (x )≤0的解集为{0}；当a ≠0时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2e －a ，若a ＞0，则f (x )≤0的解集为[0,2e a ]．若a ＜0，则f (x )≤0的解集为[2e a,0]．综上所述，当a ＝0时，f (x )≤0的解集为{0}；当a ＞0时，f (x )≤0的解集为[0,2e a ]；当a ＜0时，f (x )≤0的解集为[2e a,0].4分(2)证明：设h (x )＝f (x )－g (x )＝x 22e －ln x ，则h ′(x )＝x e －1x ＝x 2－ee x.令h ′(x )＝0，得x ＝e ，列表如下：所以函数h (x )所以h (x )＝x 22e－ln x ≥0，即f (x )≥g (x ).8分(3)假设存在常数a ，b 使得f (x )≥ax ＋b ≥g (x )对任意的x ＞0恒成立，即x 22e≥2ax ＋b ≥ln x 对任意的x ＞0恒成立．而当x ＝e 时，ln x ＝x 22e ＝12，所以12≥2a e ＋b ≥12，所以2a e ＋b ＝12，则b ＝12－2a e ，所以x 22e －2ax －b ＝x 22e －2ax ＋2a e －12≥0(*)恒成立，①当a ≤0时，2a e －12＜0，所以(*)式在(0，＋∞)上不恒成立；②当a ＞0时，则4a 2－2e (2a e －12)≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1e 2≤0，所以a ＝12e，则b ＝－12. 令φ(x )＝ln x －1ex ＋12，则φ′(x )＝e －x e x，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，e)上单调递增；当x ＞e 时，φ′(x )＜0，φ(x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以φ(x )的最大值为φ(e)＝0.所以ln x －1ex ＋12≤0恒成立．所以存在a ＝12e，b ＝－12符合题意.16分6．(本小题满分16分)(江苏省南京市、盐城市2019届高三第一次模拟)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋a －1x－3(a ∈R )． (1)当a ＝2时，解关于x 的方程g (e x)＝0(其中e 为自然对数的底数)；(2)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的单调增区间；(3)当a ＝1时，记h (x )＝f (x )·g (x )，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2λ≥h (x )有解？若存在，请求出λ的最小值：若不存在，请说明理由．(参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)[解](1)当a ＝2时，方程g (e x )＝0即为2e x＋1e x －3＝0，去分母，得2(e x )2－3e x ＋1＝0，解得e x ＝1或e x＝12，故所求方程的根为x ＝0或x ＝－ln2. 2分(2)因为φ(x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax ＋a －1x－3(x ＞0)，所以φ′(x )＝1x ＋a －a －1x 2＝ax 2＋x － a －1 x2＝ ax － a －1 x ＋1x2(x ＞0)， ①当a ＝0时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ②当a ＞1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞a －1a； ③当0＜a ＜1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ④当a ＝1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ⑤当a ＜0时，由φ′(x )＞0，解得0＜x ＜a －1a . 综上所述，当a ＜0时，φ(x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，a －1a ；当0≤a ≤1时，φ(x )的增区间为(0，＋∞)；a ＞1时，φ(x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ，＋∞.6分(3)法一：当a ＝1时，f (x )＝ln x ，g (x )＝x －3，h (x )＝(x －3)ln x ，所以h ′(x )＝ln x ＋1－3x 单调递增，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋1－2＜0，h ′(2)＝ln2＋1－32＞0，所以存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，使得h ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1－3x 0＝0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以h (x )min ＝h (x 0)＝(x 0－3)ln x 0＝(x 0－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－1＝－ x 0－3 2x 0＝6－⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋9x 0，记函数r (x )＝6－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ，则r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜h (x 0)＜r (2)，即h (x 0)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，由2λ≥－32，且λ为整数，得λ≥0，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. 16分法二：当a ＝1时，f (x )＝ln x ，g (x )＝x －3，所以h (x )＝(x －3)ln x ，由h (1)＝0得，当λ＝0时，不等式2λ≥h (x )有解，下证：当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立，即证(x －3)ln x ＞－2恒成立．显然当x ∈(0,1]∪[3，＋∞)时，不等式恒成立，只需证明当x ∈(1,3)时，(x －3)ln x ＞－2恒成立．即证明ln x ＋2x －3＜0.令m (x )＝ln x ＋2x －3，所以m ′(x )＝1x －2 x －3 2＝x 2－8x ＋9x x －3 2，由m ′(x )＝0，得x ＝4－7，当x ∈(1,4－7)时，m ′(x )＞0；当x ∈(4－7，3)时，m ′(x )＜0；所以m (x )max ＝m (4－7)＝ln(4－7)－7＋13＜ln(4－2)－2＋13＝ln2－1＜0. 所以当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立．综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. 16分。

高考数学倒计时20天正能量第1辑金题强化卷08理解析版

普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷数学理（8）第I卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 【改编题】若集合A＝｛－1，0，1｝，B＝｛y｜y＝cosx，x∈A｝，则A∩B＝A．｛0｝B．｛1｝C．｛0，1｝D．｛－1，0，1｝2. 【山东省莱芜市2012届高三4月高考模拟试题】设,p q是两个命题，1:0,:|21|1,xp q x p qx+≤+<则是(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件3. 【广州市高三年级1月调研测试】已知函数()230xx xf xxlog,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是A．9 B．19C．9- D．19-4. 【山东省日照市2012届高三下学期5月份模拟训练】要得到函数)42cos(3π-=xy的图象，可以将函数xy2sin3=的图象（A）沿x轴向左平移8π个单位（B）沿x向右平移8π个单位（C ）沿x 轴向左平移4π个单位（D ）沿x 向右平移4π个单位【答案】A【解析】.).8(2sin 3)42sin(3)]42(2sin[3)42cos(3A x x x x y 选πππππ+=+=-+=-= 5. 【河南省三门峡市高三第一次大练习】i 是虚数单位，1233ii+等于 A.13412i + B.33i + C.33i - D. 13412i -6. 【安徽省示范高中高三9月模底考试】样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为＝（） A 、305 B 、65C 、2D 、27. 【湖北省武汉市2012届高中毕业生五月供题训练（二）】设2920012929100129101010(12)(1)(1)b b x b x b x x a a x a x a x a x x x +++++=+++++++-，则a 9=A ．0B ．410C ．10·410D ．90·4108.[安徽省宣城市6校高三联合测评考]三个正数a,b,c 满足2a b c a ≤+≤，2b a c b ≤+≤，则ba的取值范围是（）A．23[,]32B．2[,2]3C．3[1,]2D．[1,2]【答案】A【解析】∵0,a>2,12b ca b c aa a∴≤+≤≤+≤由得,212.b c bb ac ba a a≤+≤≤+≤由得设,b cx ya a==,则有12112x yx yy x≤+≤⎧⎪≤+⎨⎪+≤⎩,其可行域如图: 其中A(21,33),B(31,22)，∴bxa=∈［23,32］.9.【江西省百所重点高中2012届高三下学期模拟考试】已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，函数，则()f x在x=时的导数的值等于A.554B.574C. 16D. 1810. 【临沂市高三教学质量检测考试】函数)42(cos2)21()(1≤≤-+=-xxxf xπ的所有零点之和等于（A）2 （B）4 （C）6 （D）8【答案】C【解析】xyπcos2-=由0cos2)21()(1=+=-xxf xπ，得xxπcos2)21(1-=-令)42(cos2,)21(1≤≤--==-xxyy xπ,在同一坐标系中分别做出函数1)21(-=xy，)42(cos2≤≤--=xxyπ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤==---12,241,)21()21(111xxyxxx，由图象可知，函数1)21(-=xy关于1=x对称，又1=x也是函数)42(cos2≤≤--=xxyπ的对称轴，所以函数)42(cos2,)21(1≤≤--==-xxyy xπ的交点也关于1=x对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

高考数学二轮复习之专练二中档小题(八)

中档小题(八)1．(2013·江西省高三上学期七校联考)已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x<1，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．如图，一个简单几何体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中圆的半径为 3.则该几何体的表面积为( )A ．15πB ．18πC ．21πD ．24π3．(2013·湖北省八校高三第二次联考)两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为( ) A ．(－516，0) B ．(－15，0) C ．(15，0) D ．(－25，0) 4．(2013·高考安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.23 B.25C.35D.9105．(2013·高考陕西卷)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定6．2013年，各大品牌汽车继续在中国的汽车市场上相互博弈，汽车的配置与销售价格以及维修费用等成为人们购买汽车时需要考虑的因素，某汽车制造商为了进一步拓宽市场，统计了某种品牌的汽车的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，得到的统计资料如表所示：若由资料，可知15年，若该品牌汽车在使用10年时报废，则这10年的维修总费用约为( )A ．11.28万元B ．11.38万元C ．12.28万元D ．12.38万元 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋k ≥0x －1≤0，如果目标函数z ＝3x －2y 的取值范围为[－4，3]，则k 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．28．若不等式|a －2x |≤x ＋3对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．[－1，3]C ．(1，3)D ．[1，3]9．(2013·郑州市高中毕业年级第一次质量预测))设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m ，0)(m >0)平移后的图象恰好是函数y ＝－f ′(x )的图象，则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3C.π2D.2π310．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．25B ．9C ．17D ．20 11．(2013·广东省惠州市高三第三次调研考试)sin(α＋π4)＝24，则sin 2α＝________． 12．(2013·安徽省“江南十校”高三联考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．13．(2013·海淀区高三年级第二学期期中练习)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为________．14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是集合A 的一个“好元素”．给定集合S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个．备选题1．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．52．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )3．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≥0，f （－x ），x <0，则函数g (x )的最小值是________． 4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成递减的等差数列．若A ＝2C ，则a c的值为________．答案：1．【解析】选A.由x >1得1x <1；反过来，由1x<1不能得知x >1，即綈p 是q 的充分不必要条件．2．【解析】选C.由三视图可知，该几何体是圆锥与等底面的圆柱组合而成的几何体，所以该几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积的和，所以该几何体的表面积S ＝12×2π×3×23＋2π×3×23＋π×(3)2＝21π.3．【解析】选B.由两个正数a ，b 的等差中项是92得a ＋b ＝9；a ，b 的一个等比中项是25得ab ＝20，且a >b ，故a ＝5，b ＝4，又由b a ＝45＝2p 得p 2＝15，故抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为(－15，0)． 4．【解析】选D.由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙、丁、戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910. 5．【解析】选B.由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2<1，故直线与圆相交． 6．【解析】选D.x ＝15(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y ＝15(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5，b ＝错误!＝1.23，a ＝5－1.23×4＝0.08.所以回归直线方程为错误!＝0.08＋1.23x ，当x ＝10时，y ^＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)．7．【解析】选B.作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝3x －2y 得y＝32x －z 2，由图象可知当直线y ＝32x －z 2经过点C (4－k 5，2＋2k 5)时，直线y ＝32x －z 2的截距最大，而此时z ＝3x －2y 取得最小值－4，所以12－3k 5－4＋4k 5＝－4，解得k ＝4. 8．【解析】选B.不等式|a －2x |≤x ＋3等价于－x －3≤a －2x ≤x ＋3，即x －3≤a ≤3x ＋3对任意x ∈[0，2]恒成立．所以当x ∈[0，2]时，(x －3)max ≤a ≤(3x ＋3)min ，即－1≤a ≤3.9．【解析】选C.f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，y ＝－f ′(x )＝－(cos x －sin x )＝2sin(x －π4)，∵将f (x )的图象按向量a ＝(m ，0)(m >0)平移后得到y ＝2sin(x －π4)的图象，∴2sin(x ＋π4－m )＝2sin(x －π4)．故m ＝π2＋2k π，k ∈N ，故m 的最小值为π2. 10．【解析】选C.由题知，第一次运行：S ＝1，T ＝0，不满足T >S ，则S ＝1＋8＝9，n ＝0＋2＝2，T ＝0＋22＝4；第二次运行：S ＝9，T ＝4，不满足T >S ，则S ＝9＋8＝17，n ＝2＋2＝4，T ＝4＋24＝20，此时20>17满足T >S ，故输出的S 的值为17.11．【解析】sin(α＋π4)＝22sin α＋22cos α＝24，∴sin α＋cos α＝12，(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝14，故sin 2α＝－34. 【答案】－3412．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12(2a＋2)×2＝3，解得a ＝2.【答案】213．【解析】依题意得，该几何体是一个四棱锥，其中底面是一个直角梯形(上底长是2、下底长是4、高是4)，一个侧面垂直于底面，因此该几何体的体积等于13×12×(2＋4)×4×4＝16.【答案】1614．【解析】依题意可知，若由S 的3个元素构成的集合不含“好元素”，则这3个元素一定是紧邻的3个数，故这样的集合共有6个．【答案】6备选题1．【解析】选D.由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝±15. ∵A 是锐角，∴cos A ＝15. 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴49＝b 2＋36－2×b ×6×15， ∴b ＝5或b ＝－135. 又∵b >0，∴b ＝5.2．【解析】选A.由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称，设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.3．【解析】当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 【答案】04．【解析】依题意知b ＝a ＋c 2，a c ＝sin A sin C ＝sin2C sin C ＝2cos C ＝2×a 2＋b 2－c 22ab ，即a c ＝a 2＋b 2－c 2ab＝（a ＋c ）（a －c ）＋b 2ab ＝2b （a －c ）＋b 2ab ＝2（a －c ）＋b a ，所以a 2＝c [2(a －c )＋a ＋c 2]，即(2a －3c )(a －c )＝0，又由a >c ，因此有2a ＝3c ，故a c ＝32. 【答案】32。

2024届新高考数学“8+4+4”小题期末狂练(8)解析版

2024届高三“8+4+4”小题期末冲刺练（8）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}02,Z B x x x =≤≤∈，则A B = （）A.{}0,2 B.{}1,2 C.{}0,1,2 D.{}1,2,4【答案】C【解析】{}{}02,Z 0,1,2B x x x =≤≤∈=，∴{}0,1,2A B = .故选: C.2.设复数()i 0R z x y x y =+>∈，，且满足218i z =，则z =（）A.32i +B.33i+ C.32i- D.33i-【答案】B【解析】由题意，得()2222i 2i 18i z x y x y xy =+=-+=，∴220,218,x y xy ⎧-=⎨=⎩解得3,3x y =⎧⎨=⎩或3,3.x y =-⎧⎨=-⎩∵0x >，∴33i z =+．故选:B．3.已知平面向量()2,1a =- ，()2,c t = ，则“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为()2,1a =- ，()2,c t =，向量a与b夹角为锐角，即需·0a c > 且a 与c不共线，得22022t t -⨯+>⎧⎨-≠⎩，解得：4t >，所以“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的充要条件.故C 项正确.故选：C.4.函数()2cos x xf x x+=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】()()()()22cos cos x x x x f x f x xx-+-+-==-=--，则函数()f x 为奇函数，故排除A D ，，当1x =时，()11cos10f =+>，故排除B ，故选：C．5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当PF PA的值最小时，PF =（）A.1B.2C. D.4【答案】B【解析】由题知，抛物线的准线方程为=1x -，(1,0)A -，过P 作PQ 垂直于准线于Q ，连接PA ，由抛物线定义知PQ PF =.sin PF PQ PAQPAPA∴==∠由正弦函数知，要使PF PA最小值，即PAQ ∠最小，即PAF ∠最大，即直线PA 斜率最大，即直线PA与抛物线相切.设PA 所在的直线方程为：(1)y k x =+，联立抛物线方程：24(1)y xy k x ⎧=⎨=+⎩，整理得：2222(24)0k x k x k ++﹣＝则()2242440k k ∆=﹣﹣＝，解得 1.k =±即2210x x +-＝，解得1x =，代入24y x =得 2.y =±(1,2)P ∴或(1,2)P -，再利用焦半径公式得2PF =故选：B.6.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的PP 棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L ，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L ，则PP 棉滤芯的层数最少为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）A.9B.8C.7D.6【答案】A【解析】设经过n 层PP 棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为y ，则128018033nny ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令28023n ⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，解得21340n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，两边取常用对数得21lg lg 340n ≤，即3lg lg 402n ≥即()lg3lg212lg2n-≥+，因为lg 20.30≈，lg 30.48≈，所以()0.480.30 1.60n -≥，解得809n ≥，因为*N n ∈，所以n 的最小值为9．故选：A7.对于一个给定的数列{}n a ，令1n n na b a +=，则数列{}n b 称为数列{}n a 的一阶商数列，再令1n n nb c b +=，则数列{}n c 是数列{}n a 的二阶商数列．已知数列{}n A 为1，2，8，64，1024，L ，且它的二阶商数列是常数列，则7A =（）A.152 B.192 C.212 D.282【答案】C【解析】设数列{}n A 的一阶商数列为{}n b ，二阶商数列为{}n c ，则1221b ==，2842b ==，2112bc b ==，又数列{}n A 的二阶商数列{}n c 是常数列，则12n c c ==，则{}n b 满足12n n nb c b +==，所以数列{}n b 是2为首项，2为公比的等比数列，则1222n n n b -=⋅=，所以12n n nA A +=，则112n n n A A --=，2122n n n A A ---=，3232n n n A A ---=，L ，2322A A =，1212AA =，等式左右分别相乘可得12321122222n n n n A A ---=⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()123212n n n -+-+-+++= ()()11122n n -+-=()122n n -=，所以()()1122122n n n n n A A --=⋅=，则()771212722A -==，故选：C.8.已知函数21()cos 22f x x x =+-，设()()()0.320.3log 0.2,log 0.2,0.2a f b f c f ===，则（）A .a c b>> B.a b c >>C.c b a >> D.b c a>>【答案】B【解析】函数21()cos 22f x x x =+-的定义域为R ，21()()cos()2()2f x x x f x -=-+--=，故21()cos 22f x x x =+-为偶函数，当0x ≥时，()sin f x x x '=-，令()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，即()sin g x x x =-在[0,)+∞上单调递增，故()(0)0g x g ≥=，所以()0f x '≥，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，由于2221log 0.2log log 5(3,2)5==-∈--，0.30.30.32log 0.09log 0.2log 0.31=>>=，0.300.21<<，所以a b c >>．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.下列命题正确的是（）A.若样本数据126,,,x x x 的方差为2，则数据12621,21,,21x x x --- 的方差为7B.若()0.6,()0.8,(|)0.5P A P B P A B ===，则2(|)3P B A =．C.在一组样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，（2n ≥，12,,,n x x x ，不全相等）的散点图中，若所有样本点()(,1,2,,)i i x y i n = 都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-D.以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，求得线性回归方程为ˆ40.3zx =+，则,c k 的值分别是0.3e 和4【答案】BD【解析】对于选项A ：若样本数据126,,,x x x 的方差为2，则数据12621,21,,21x x x --- 的方差为22287⨯=≠，故A 不正确；对于选项B ：若()0.6,()0.8,(|)0.5P A P B P A B ===，则()()(|)0.80.52(|)()()0.63P AB P B P A B P B A P A P A ⨯====，故B 正确；对于选项C ：在一组样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，（2n ≥，12,,,n x x x ，不全相等）的散点图中，若所有样本点()(,1,2,,)i i x y i n = 都在直线112y x =-+上，其中12-是线性回归方程的一次项系数，不是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[−1，1]，当相关系数为正时呈正相关关系，为负时呈负相关关系，故C 不正确；对于选项D ：以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，则ln ln ln e ln kx z y c c kx ==+=+，由题线性回归方程为ˆ40.3z x =+，则ln 0.3,4c k ==，故,c k的值分别是0.3e 和4，故D 正确.故选：BD .10.若直线:1l y kx =+与圆()22:29C x y -+=相交于,A B 两点，则AB 长度可能等于（）A.2B.4C. D.7【解析】由圆()22:29C x y -+=，可得圆心(2,0)C ，半径为3r =，又由直线1y kx =+恒过定点(0,1)M ，且点(0,1)M 在圆C 的内部，可得MC =当直线l MC ⊥时，此时直线l 与圆C 相交，截得的弦长AB 最短，此时4AB ==，当直线l 过圆心时，此时截得的弦长AB 最长，此时26AB r ==，所以弦长AB 的取值范围为[]4,6，结合选项，选项B 、C 符合题意.故选：BC.11.已知函数()3()ln 1()xf x eax a R =++∈，下列说法正确的是（）A.若()y f x =是偶函数，则32a =- B.若函数()y f x =是偶函数，则3a =-C.若2a =-，函数存在最小值 D.若函数存在极值，则实数a 的取值范围是(3,0)-【答案】ACD【解析】对于A 、B 中，函数的定义域为R ，且()()f x f x -=，则()()33ln 1()ln 1xxea x e ax -++-=++，则331ln 21x x e ax e -+=-+，则3ln 2x e ax =-，故32x ax =-恒成立，故32a =-，故A 正确，B 错误；对于C 中，当2a =-时，()3()ln 12xf x e x =+-，可得33333(++)111x x x e f x e e '==-，令()0f x '=，即3+3011x e -=，解得ln 23x =，所以当ln 2(,3x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，当ln 2(,)3x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()min ln 2()3f x f =，所以C 正确；对于D 中：33()(3)1x f x a e '=+-+，因为()f x 存在极值，则()0f x '=有零点，令()0f x '=，即33(3)01x a e +-=+，所以ln()33aa x -+=，则03a a ->+，即(3)0a a +<，解得30a -<<，所以D 正确.故选：ACD12.某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为13，则在比赛结束时（）A.甲队积分为9分的概率为127B.四支球队的积分总和可能为15分C.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为2243D.甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为8243【答案】ABD【解析】对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，所以甲队积分为9分的概率为111133327⨯⨯=，故A 正确；对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为15分，故B 正确；对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为13，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为311242333243⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故C 错误；对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队与甲比赛，甲输，133⨯，例如是丙甲，若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分，这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意，在丙输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；若甲全赢（概率是213⎛⎫⎪⎝⎭）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分，这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输，①若丙一平一输，概率2123⎛⎫ ⎪⎝⎭，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率23；②若丙两场均平，概率是213⎛⎫⎪⎝⎭，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；③若两场丙都输，概率是213⎛⎫⎪⎝⎭，乙丁这场比赛只能平，概率是13；综上概率为222211121118323333333243⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯++⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，则实数a 的取值范围是______.【答案】(],1-∞【解析】因为[]0,2x ∈，所以由220ax x a -+≤得221xa x ≤+，因为关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，所以2max21x a x ⎛⎫≤⎪+⎝⎭，当0x =时，2201x x =+，当0x ≠时，222111x x x x =≤=++，当且仅当1x =时，等号成立，综上221xx +的最大值为1，故1a ≤，即实数a 的取值范围是(],1-∞.故答案为：(],1-∞.14.已知5(21)x y -+的展开式中4x y 的系数为__________.【答案】10-【解析】由5(21)x y -+，则其展开式的通项()()()()()55555555C 122C C 12C C rrrrr r r k r k k r k r kr r r T x y x y xy -------=⋅+⋅-=-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅，令541r k r --=⎧⎨=⎩，解得1,0r k ==，所以5(21)x y -+的展开式中4x y 的系数为()()111010551542C C 2C C 10--⋅⋅=-⋅⋅=-.故答案为：10-.15.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图A，B 是直线2y =与曲线()y f x =的两个交点，2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且π12=AB ，则(2023π)f =___________.【答案】【解析】不妨设0ω>，1233,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()12sin sin 2x x ωϕωϕ+=+=，2πsin 03ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由图可知2π,,,03⎛⎫⎪⎝⎭A B 在一个周期内，则1π2π3ωϕ+=+x k ，22π2π3x k ωϕ+=+，2π2π2π,3ωϕ+=+∈k k Z ，又因为π||12=AB ，即21π12-=x x ，可得21ππ123ωωω-==x x ，解得4ω=，则2π42π2π,3ϕ⨯+=+∈k k Z ，解得2π2π,3ϕ=-+∈k k Z ，所以2π2π()sin 42πsin 4,33⎛⎫⎛⎫=-+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x k x k Z ，可知()f x 的最小正周期2ππ42T ==，所以()π2π2π(2023π)20460sin sin 2332⎛⎫⎛⎫=⨯==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f .故答案为：2.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，6BC =，AB AC ==，P 为线段11A B 上的一点，且二面角A BC P --的正切值为3，则三棱锥11A AC P -的外接球的体积为__________.【答案】6【解析】如图，作1PM //AA ，交AB 于M ，则13PM AA ==，过M 作MNBC ⊥交BC 于点N ，连接PN .因为111ABC A B C -为直三棱柱，则1AA ⊥平面ABC ，且1PM //AA ，则PM ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PM BC ⊥，又MNBC ⊥，PM MN M ⋂=，,PM MN ⊂平面PMN ，所以BC ⊥平面PMN ，PN ⊂平面PMN ，所以PN BC ⊥，则PNM ∠是二面角A BC P --的平面角，所以tan 3PMPNM MN∠==，所以1MN =，又AB AC ==，6BC =，所以MB ，所以AM =，1A P =.可把三棱锥11A AC P -补成棱长为3的长方体，则三棱锥11A AC P -的外接球的半径为2R ==，所以三棱锥11A AC P -的外接球的体积为34π326⎛= ⎝⎭.故答案为：6。

四川省成都市2024高三冲刺(高考数学)人教版真题(强化卷)完整试卷

四川省成都市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若等差数列的前3项和且，则等于（）．A．3B．4C．5D．6第(2)题已知函数，则下列说法正确的个数是（）①的最小正周期为；②图象的对称中心为，；③在区间上单调递增；④将的图象向右平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象.A．1B．2C．3D．4第(3)题函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．第(4)题设，则（）A．B．C．D．第(5)题已知定义在R上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题已知向量，线段的中点为，且，则（）A．B．C．D．第(7)题已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题已知函数，下列说法中，正确的是（）A．函数不是周期函数B．函数的最大值为C ．直线是函数图象的一条对称轴D．函数的增区间为二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称.当时，.则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于点中心对称B．函数的最小正周期为2C．当时，D．函数在上单调递减第(2)题设等差数列的前n项和是，若（，且），则必定有（）A．B．C．D．第(3)题对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下列联表：优秀不优秀总计甲班10b乙班c30总计已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法不正确的是（）.A．列联表中c的值为30，b的值是35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．有95%的把握认为成绩优秀与班级有关系D．没有95%的把握认为成绩优秀与班级有关系三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某工厂要对生产流水线上的600个零件（编号为001，002，...，599，600）进行抽检，若采用系统抽样的方法抽检50个零件，且编号为015的零件被抽检，则被抽检的零件的最小编号为___________.第(2)题已知点P在直线上，则的最小值为________．第(3)题已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，.(1)求证：平面；(2)若E为PC的中点，求与平面所成角的正弦值.第(2)题已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，且，证明：.第(3)题已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A、B．（1）求椭圆M的方程；（2）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C、D与点共线，求斜率k的值．已知函数．(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，，方程的根为、，且，求证：．第(5)题某企业为了扩大产能规模并提高生产效率，对生产设备进行升级换代，为了对比生产设备升级后的效果，采集了生产设备升级前后各20次连续正常运行的时间（单位：天），得到以下数据：升级前：21，32，25，24，33，19，28，26，39，36，22，18，28，26，31，17，24，21，22，26；升级后：33，28，40，23，27，38，41，35，44，39，33，25，40，35，41，27，38，33，46，34.(1)完成下面列联表；生产设备连续正常运行超过30天生产设备连续正常运行不超过30天合计生产设备升级前生产设备升级后合计(2)是否有的把握说明生产设备升级与设备连续正常运行的时间有关？参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879。

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高考数学小题强化专练(08)(满分：80分时间：45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ＝{x |log 3(x ＋2)＜1}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2＜x ＜1}__ B ．{x |x ≤1或x ≥2} C ．{x |x ＜1}D ．∅解析：选A ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ＝{x |log 3(x ＋2)＜1}＝{x |－2＜x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}．选A ．2．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝150，则a 5的值为( ) A ．75 B ．50 C ．40D ．30解析：选D 由等差数列的性质可得a 1＋a 9＝a 3＋a 7＝2a 5，故a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝150，故a 5＝30. 故选D ．3．对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，有下列四个结论： ①αβ＝1；②αβ＝－i ；③|αβ|＝1；④α2＋β2＝0，其中正确的结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；②αβ＝1－i1＋i＝－－＋－＝－2i 2＝－i ，故正确；③|αβ|＝|－i|＝1，正确；④ α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i －1＋1＋2i －1＝0，正确. 故选C ．4．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递增，若f (2)＝－2，则满足f (x －1)≥－2的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．[－1，－3]D ．(－∞，－2]∪(2，＋∞)解析：选B 由题偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递增，若f (2)＝－2，则f (x －1)≥－2⇔f (x －1)≥f (2)⇔f (|x －1|)≥f (2)，即|x －1|≥2，解得x ≤－1或x ≥3. 故选B ．5. 若α∈R ，则“α＝π6”是“sin α＜cos α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若α∈R ，则由“α＝π6”可得到“sin α＜cos α”，但当“sin α＜cos α”时不一定有“α＝π6”，故“α＝π6”是“sin α＜cos α”的充分不必要条件. 故选A ．6．(2018·黄山一模)《九章算术》中记载了一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V ＝112×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2解析：选A ∵圆堡瑽(圆柱体)的体积为V ＝112×(底面圆的周长的平方×高)，∴112×(2πr )2h ＝πr 2h ，解得π＝3．7．执行程序框图，假如输入两个数是S ＝1、k ＝2，那么输出的S ＝( )A ．1＋15B ．15C ．4D ．17解析：选C 模拟执行程序框图，可得是S ＝1、k ＝2，S ＝1＋12＋1，满足条件k ＜16，k ＝3，S ＝1＋12＋1＋13＋2，满足条件k ＜16，k ＝4，S ＝1＋12＋1＋13＋2＋14＋3，…满足条件k ＜16，k＝16，S ＝1＋12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋116＋15＝1＋2－1＋3－2＋4－3＋ (16)15＝1＋16－1＝4，不满足条件k ＜16，退出循环，输出S 的值为4.故选C ．8．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，x ＋y －5≥0，x ≤2，则目标函数z ＝12x －y 的最值是( )A ．z min ＝－4，z max ＝－2B ．z max ＝－2，z min ＝－3C ．z max ＝－72，z 无最小值D ．z 既无最大值，也无最小值解析：选C 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，x ＋y －5≥0，x ≤2，作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，x ＋y －5≥0，解得：A (1,4)．可知当目标函数z ＝12x －y 经过点A 时取得最大值，z max ＝12×1－4＝－72，没有最小值．9．把一根长为6米的细绳任意做成两段，则稍短的一根细绳的长度大于2米的概率是( ) A ．16 B ．56 C ．23D ．13解析：选D 记“稍短的一根细绳的长度大于2米”为事件A ，则只能在距离两段超过2米的绳子上剪断，即在中间的2米的绳子上剪断，才使得稍短的一根细绳的长度大于2米，所以由几何概型的公式得到事件A 发生的概率P (A )＝26＝13.故选D ．10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，函数的最大值是2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，则下列判断正确的是( )A ．要得到函数f (x )的图象，只需将y ＝2cos 2x 的图象向左平移π12个单位B ．x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，函数f (x )的最小值是－2C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－7π12对称D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π上单调递增解析：选D 由题A ＝2，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，∴函数f (x )的周期T ＝π，∵ω＞0，∴ω＝2，又f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，可得π6×2＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，|φ|＜π2解得φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将y ＝2cos 2x 的图象向左平移π12个单位，得到y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≠2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故A 错；x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，－π6≤2x ＋π6≤π2，函数f (x )的最小值不等于－2，故B 错；函数f (x )的图象关于直线2x ＋π6＝k π＋π2，即x ＝k π2＋π6，k ∈Z 对称，故C 错误；故选D ．11．古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯(Pappus, 约300～350)在《数学汇编》第3卷中记载着一个定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以重心旋转所得周长的积”．如图，半圆O 的直径AB ＝6 cm ，点D 是该半圆弧的中点，那么运用帕普斯的上述定理可以求得，半圆弧与直径所围成的半圆面(阴影部分含边界)的重心G 位于对称轴OD 上，且满足OG ＝( )A ．2 cmB ．4π cm C ．23πcm D ．6πcm 解析：选B 以AB 为轴，半圆旋转一周所得的球的体积为V 球＝43π·33＝36π.运用提供的定理求得，36π＝π·322·(2π·OG )，解得OG ＝4π，所以选B ．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ，|log 2x －x ＞则函数F (x )＝f [f (x )]－f (x )－1的零点个数是( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选A 令f (x )＝t ，函数F (x )＝f [f (x )]－f (x )－1的零点个数问题⇔f (t )－t －1＝0的根的个数问题．即y ＝f (t )，y ＝t ＋1的图象如图，结合图象可得f (t )－t －1＝0的根t 1＝0，t 2＝1，t 3∈(1,2)．方程f (x )＝0有1解，f (x )＝1有3解，f (x )＝t 3有3解．综上，函数f (t )－t －1＝0的零点个数是7.故选A ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝3，|b |＝1，则|12a －3b |＝________．解析：|12a －3b |2＝14a 2－3a ·b ＋9b 2＝94－3×3×1×12＋9＝274，∴|12a －3b |＝332．答案：33214．过点A (2，3)且与O ：x 2＋y 2＝4相切的直线方程为________________．解析：当直线的斜率不存在时，显然直线x ＝2与圆相切，当直线的斜率存在时，设切线方程为y －3＝k (x －2)，∵圆心到直线的距离等于半径，|－2k ＋3|1＋k 2＝2，解得k ＝－143，切线方程为x ＋43y －14＝0.即过点P (2，3)且与圆C 相切的直线l 的方程为x ＋43y －14＝0和x ＝2．答案：x ＋43y －14＝0和x ＝215．如图，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AA ′＝2，AB ＝3，BC ＝1，点D 在平面A ′BC 上的射影为H ，则△A ′BH 的面积是________．解析：如图，连接CD ′，平面A ′BC 即是平面A ′BCD ′且平面A ′BCD ′⊥平面DCC ′D ′，过D 作DH ⊥D ′C 于H ，则H 即是D 在平面A ′BC 上的射影．则△A ′BH 的面积为S ＝12A ′B ·BC ＝124＋9×1＝132．答案：13216．数表的第1行只有两个数2、3，从第2行开始，先保序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和，如下图所示，那么第20行的各个数之和等于________．2 32 53 2 7 5 8 32 9 7 12 5 13 8 11 3 …解析：记题设数表第n 行的各个数之和等于b n ，则b 1＝5，b n ＋1＝3b n －5(n ∈N *)，则b n ＋1－52＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －52，则b 20－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－52319＝52·319，所以第20行的各个数之和等于b 20＝52(319＋1)．答案：52(319＋1)。