结晶化学期末习题集

晶体对称性部分1, 列表比较晶体结构和分子结构的对称元素和对称操作。

晶体结构比分子结构增加了哪几类对称元素和对称操作？晶体结构的对称元素和对称操作受到哪些限制？原因是什么？（1）旋转操作——旋转轴 （2）反映操作——镜面 （3）反演操作——对称中心 由表可见，晶体结构比分子结构增加了（5）—（7）3类对称元素和对称操作。

晶体结构因为是点阵结构，其对称元素和对称操作要受到点阵制约，对称轴轴次为1，2，3，4，6。

螺旋轴和滑移面中的滑移量只能为点阵结构所允许的几种数值。

2, 分别写出晶体中可能存在的独立的宏观对称元素和微观对称元素，并说明它们之间的关系。

解：宏观对称元素有；。

微观对称元素有：点阵。

微观对称元素比宏观对称元素多相应轴次的螺旋轴和相同方向的滑移面，而且通过平移操作其数目是无限的。

3, 晶体的宏观对称操作集合可构成多少个晶体学点群？这些点群分属于多少个晶系？这些晶系共有多少种空间点阵型式？晶体的微观对称操作的集合可构成多少个空间群?这些空间群分属于多少个点群？解：32个晶体学点群，7个晶系，14种空间点阵型式，230个空间群，这些空间群分属于32个点群。

4, 从某晶体中找到、、和等对称元素，则该晶体所属的晶系和点群各是什么？解：六方晶系，因为。

点群是。

1,2,3,4,6,,,4i m ()112123123451,2,2,3,3,3,4,4,4,4,6,6,6,6,6,6,,,,,,,,4,i m a b c n d 3C 23C hσ3dσ36h C σ+-3hD5, 已知金刚石立方晶胞的晶胞参数。

写出其中碳原子的分数坐标，并计算键长和晶体密度。

解：金刚石中碳原子分数坐标为：。

C －C 键长可由及两个原子的距离求出；因为立方金刚石密度6, 许多由有机分子堆积成的晶体属于单斜晶系，其空间群记号为，说明该记号中各符号的意义。

利用图8.3.2中空间群对称元素的分布。

推出晶胞中和原子（0.15，0.25，0.10）属同一等效点系的其他3个原子的坐标，并作图表示。

解：在空间群记号中，为点群Schonflies 记号，为该点群的第5号空间群，“—”记号是空间群的国际记号，P 为简单点阵，对单斜晶系平行b 轴有螺旋轴，垂直b 轴有c 滑移面。

该空间群对称元素分布如下：b 轴从纸面向上1（0.15，0.25，0.10）；3（0.15，0.25，0.60）； 2（0.85，0.75，0.40）；4（0.85，0.75，0.90）图8.167， 1.晶体与非晶体最本质的区别是什么?准晶体是一种什么物态?答：晶体和非晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。

晶体是具有格子构造的固体，即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。

而非晶体不具有格子构造。

2晶体具有远程规律和近程规律，非晶体只有近程规律。

准晶态也不具有356.7a pm =C C -1111111113313131330,0,0;,,0;,0,;0,,;,,;,,;,,;,,222222444444444444()0,0,0111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭356.7a b c pm ===C C r -=356.7154.4pm pm ===/A D ZM N V=()()31231103812.0/6.0210/356.7103.51g mol mol cm g cm ----=⨯⨯⨯=5212/h C P c-12/P c5212/h C P c-2hC 52hC 12格子构造，即内部质点也没有平移周期，但其内部质点排列具有远程规律。

因此，这种物态介于晶体和非晶体之间。

8，从格子构造观点出发，说明晶体的基本性质。

答：晶体具有六个宏观的基本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格子构造所决定的。

现分别叙述：a.自限性晶体的多面体外形是其格子构造在外形上的直接反映。

晶面、晶棱与角顶分别与格子构造中的面网、行列和结点相对应。

从而导致了晶体在适当的条件下往往自发地形成几何多面体外形的性质。

b.均一性因为晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同部分，化学成分与晶体结构都是相同的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的。

c.异向性同一晶体中，由于内部质点在不同方向上的排布一般是不同的。

因此，晶体的性质也随方向的不同有所差异。

d.对称性晶体的格子构造本身就是质点周期性重复排列，这本身就是一种对称性；体现在宏观上就是晶体相同的外形和物理性质在不同的方向上能够有规律地重复出现。

e.最小内能性晶体的格子构造使得其内部质点的排布是质点间引力和斥力达到平衡的结果。

无论质点间的距离增大或缩小，都将导致质点的相对势能增加。

因此，在相同的温度条件下，晶体比非晶体的内能要小；相对于气体和液体来说，晶体的内能更小。

f.稳定性内能越小越稳定，晶体的稳定性是最小内能性的必然结果。

9，总结对称轴、对称面在晶体上可能出现的位置。

答：在晶体中对称轴一般出现在三个位置：a.角顶；b.晶棱的中点；c.晶面的中心。

而对称面一般出现在两个位置：a.垂直平分晶棱或晶面；b.包含晶棱。

10，L33L24P属于什么晶系?为什么?答：它属于六方晶系。

因为L33L24P也可以写成L i63L23P，而L i6为六次轴，级别比L3的轴次要高，因此在晶体分类中我们一般将L i63L23P归属六方晶系。

11，总结下列对称型中，各对称要素在空间的分布特点，它们与三个晶轴的关系：m3m，m3，3m。

答：在m3m对称型中，其所有对称要素为3L44L36L29PC。

其中对称中心C在原点；3个P分别垂直于其中一个结晶轴，另外6个P分别处于两个结晶轴夹角平分线处；6个L2分别是任意两个结晶轴的对角线；4和L3分别位于三个结晶轴的体对角线处，3个L4相互垂直且分别与一个结晶轴重合。

在m3对称型中，其所有对称要素为3L24L33PC。

其中对称中心C在原点；3个P相互垂直且分别垂直于其中一个结晶轴；4和L3分别位于三个结晶轴的体对角线处，3个L2相互垂直且分别与一个结晶轴重合。

在3m对称型中，其所有对称要素为L33P。

L3与Z轴重合，3个P分别垂直于X、Y、U轴。

12 .区别下列对称型的国际符号：23与32 3m与m3 6/mmm与6mm3m与mm 4/mmm与mmm m3m与mmm答：首先我们可以通过这些对称型的国际符号展示的对称要素，确定它们所属的晶系。

然后将对称要素按照国际符号书写的方位分别置于其所在的位置。

最后根据对称要素组合定律将完整的对称型推导出来。

23与32：23为等轴晶系，对称型全面符号为3L24L3；32为三方晶系，对称型全面符号为L33L2。

3m与m3：3m为三方晶系，对称型全面符号为L33P；m3为等轴晶系，对称型全面符号为3L24L33PC。

6/mmm与6mm：6/mmm为六方晶系，对称型全面符号为L66L27PC；6mm为六方晶系，对称型全面符号为L66P。

3m与mm：3m为三方晶系，对称型全面符号为L33P；mm为斜方晶系，对称型全面符号为L22P4/mmm与mmm：4/mmm为四方晶系，对称型全面符号为L44L25PC；mmm 为斜方晶系，对称型全面符号为3L23PC。

m3m与mmm：m3m为等轴晶系，对称型全面符号为3L44L36L29PC；mmm为斜方晶系，对称型全面符号为3L23PC。

13，将二次轴取作Z轴，用操作矩阵证明万能公式（即2（L2）、（C）、m(P)中任两个的复合操作等于第三个的操作）。

答：首先确定表示各个对称操作的矩阵：2（L2）：（C）：m（P）：然后进行计算：2（L2）×（C）=×== m（P）2（L2）×m（P）=×==（C）（C）×m（P）=×==2（L2）14，用矩阵运算证明点群4｛41，42，43，44｝符合群的四个基本条件。

证明：表示点群4的四个元素的矩阵分别为：41：42：43：44：其中42为41的矩阵自乘两次得到，43则自乘3次，等等。

（1）封闭性例如：41×42=×== 43（2）结合律同样可以用矩阵验证：（41×42）×43=41×（42×43）（3）单位元单位元为44 = 1（4）逆元素群中每一个元素都有逆元素，逆元素为每个元素的反向操作。

例如：41的逆操作即为4315，用矩阵运算证明点群mm2符合群的四个基本条件。

证明：点群mm2的群元素为{2（平行Z轴），m（⊥X），m（⊥Y），1}（1）封闭性2×m（⊥X）=×== m（⊥Y）（2）结合律同样可以用矩阵验证：（2×m（⊥X））×m（⊥Y）=2×（m（⊥X）×m（⊥Y））（3）单位元单位元为1（4）逆元素群中每一个元素都有逆元素，逆元素为每个元素的反向操作16，分析金红石晶体结构模型，找出图7-16中空间群各内部对称要素。

答：金红石晶体结构中的内部对称要素有：42，2，m，n，。

图中的空间群内部对称要素分别标注在下图中：17，.Fd3m是晶体的什么符号?从该符号中可以看出该晶体是属于什么晶系?具什么格子类型?有些什么对称要素?答：Fd3m是空间群的国际符号。

该符号第二部分可以看出该晶体属于等轴晶系。

具有立方面心格子。

从符号上看，微观对称有金刚石型滑移面d，对称轴3，对称面m。

该晶体对应的点群的国际符号为m3m，该点群具有的宏观对称要素为3L44L36L29PC。

18，.在一个实际晶体结构中，同种原子(或离子)一定是等效点吗?一定是相当点吗?如果从实际晶体结构中画出了空间格子，空间格子上的所有点都是相当点吗?都是等效点吗?答：实际晶体结构中，同种质点不一定是等效点，一定要是通过对称操作能重合的点才是等效点。

例如：因为同种质点在晶体中可以占据不同的配位位置，对称性就不一样，如：铝的铝硅酸盐，这些铝离子不能通过内部对称要素联系在一起。

同种质点也不一定是相当点。

因为相当点必须满足两个条件：质点相同，环境相同。

同种质点的环境不一定相同，如：金红石晶胞中，角顶上的Ti4+与中心的Ti4+的环境不同，故它们不是相当点。

空间格子中的点是相当点。

因为从画空间格子的步骤来看，第一步就是找相当点，然后将相当点按照一定的原则连接成为空间格子。

所以空间格子中的点是相当点。

空间格子中的点也是等效点。

空间格子中的点是相当点，那么这些点本身是相同的质点，而且周围的环境一样，是可以通过平移操作重合在一起的。

因此，它们符合等效点的定义，故空间格子中的点也是等效点。

19, 对于空间群Pbca的对称元素分布图，试说明：（1）其商群的对称元素，（2）由对称操作推导出其一般等效点的位置。

20， 立方Cu 2O 和六方Mg 的晶胞沿c 方向的投影分别如图， （1） 标出Cu 2O 结构中垂直于a 的滑移面，平行于c 的螺旋轴（2） 标出Mg 结构中平行于c 的螺旋轴，垂直于2a+b 的滑移面。