高2020届高2017级高三数学一轮复习第8章第1节直线的倾斜角与斜率、直线方程
2020高三数学一轮复习(人教版理)：直线的倾斜角与斜率、直线方程
答案
1 (2)2
与直线方程有关的最值问题的解题思路 1．借助直线方程，用 y 表示 x 或用 x 表示 y。 2．将问题转化成关于 x(或 y)的函数。 3．利用函数的单调性或基本不等式求最值。
【变式训练】 (1)当 k>0 时，两直线 kx－y＝0,2x＋ky－2＝0 与 x 轴围 成的三角形面积的最大值为________。
解 (1)设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－4×13＝－43。又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为 y－3＝－43(x－1)，即 4x＋3y－13＝0。
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为2xa＋ay＝1，将(－5,2)代入所设方 程，解得 a＝－12，所以直线方程为 x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方 程为 y＝kx，则－5k＝2，解得 k＝－25，所以直线方程为 y＝－25x，即 2x＋5y＝ 0。故所求直线方程为 2x＋5y＝0 或 x＋2y＋1＝0。
解析 (1)由题意知 cosθ≠0，则斜率 k＝tanα＝scions2θθ－－01＝－cosθ∈ [－1,0)∪(0,1]，那么直线 AB 的倾斜角的取值范围是0，π4∪34π，π。
答案 (1)0，4π∪34π，π
(2)已知两点 M(2，－3)，N(－3，－2)，斜率为 k 的直线 l 过点 P(1,1)且 与线段 MN 相交，则 k 的取值范围是________。
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第1节 直线的倾斜
(1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y＝－4x 的斜率的13的直线方程． (2)求经过点 A(－5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程．
解析
解析：①当 m＝2 时，直线 l 的方程为 x＝2； ②当 m≠2 时，直线 l 的方程为3y－－11＝mx－－22， 即 2x－(m－2)y＋m－6＝0. 因为 m＝2 时，代入方程 2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为 x＝2， 所以直线 l 的方程为 2x－(m－2)y＋m－6＝0. 答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0
1．直线 x＝π3的倾斜角等于
A．0
B．π3
C．π2
解析：直线 x＝π3，知倾斜角为π2.
答案：C
D．π
()
2．(易错题)(2015·绥化一模)直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜角的
取值范围是
()
A．[0，π) C．0，π4
B．0，π4∪34π，π D．0，π4∪π2，π
第八章 解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
向上方向 平行或重合
[0，π)
y2－y1 x2－x1
tan α
名称 点斜式 斜截式
方程 _y－__y_0_＝__k_(_x_－__x_0)_
_y＝__k_x_＋__b__
适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线
名称
方程
适用范围
两点式 截距式
2．过点 M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方 程为________． 解析：①若直线过原点，则 k＝－43， 所以 y＝－43x，即 4x＋3y＝0. ②若直线不过原点．设xa＋ay＝1，即 x＋y＝a. 则 a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为 x＋y＋1＝0. 答案：4x＋3y＝0 或 x＋y＋1＝0
届数学一轮复习第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师文档教案文
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程授课提示：对应学生用书第150页［基础梳理]1．直线的倾斜角（1)定义：(2）范围:直线的倾斜角α的取值范围是：［0,π）．2条件公式直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tan__θ直线过点A(x1，y1），B（x2,y2)且x1≠x2k＝错误! 3.条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1,l2，斜率分别为k1,k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在4。
直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）y－y1＝k（x－x1)不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1）,（x2,y2）错误!＝错误!(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1(x1＝x2）和直线y＝y1（y1＝y2）截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!＋错误!＝1(a≠0,b≠0）不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1,y1)，（x2，y2），线段P1，P2的中点M的坐标为(x，y)，则错误!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点(1）倾斜角α的范围是[0,π)，斜率与倾斜角的函数关系为k＝tan α,图像为:（2）当倾斜角为90˚时,直线垂直于x轴,斜率不存在．2．直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0。
［四基自测]1．(基础点：根据两点求斜率）过点M(－2，m），N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(）A．1B．4C．1或3 D.1或4答案：A2．(基础点:直线的倾斜角与斜率的关系）直线x＋错误!y＋1＝0的倾斜角是（）A。
错误!B．错误!C。
高考一轮复习第8章解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程
第八章 解析几何第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，把x 轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__． 知识点二 直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．知识点三 直线方程的五种形式 名称 方程适用范围 点斜式 __y －y 0＝k(x －x 0)__不含直线x ＝x 0 斜截式 __y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于x 轴、平行于x 轴和__过原点的__直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0 其中要求__A 2＋B 2≠0__适用于平面直角坐标系内的所有直线重要结论直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k 0k ＞0且α越大，k 就越大不存在k ＜0且α越大，k 就越大双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 38T3)经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3．3．(必修2P 100A 组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0__．[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5．所以直线方程为x ＋y －5＝0． 题组三 走向高考4．(2016·北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x ，y)在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( C ) A ．－1 B ．3 C ．7D ．8[解析] 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)， 2≤x≤4．即2x ＋y －9＝0,2≤x≤4，因为P(x ，y)在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9．又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x －y 最大值为7．5．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( D )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π[解析] 由题意可知切线的斜率k ＝tan α＝－4exe x＋12＝－4e x＋1ex ＋2，∴－1≤tan α＜0，又0≤α＜π，∴3π4≤α＜π，故选D ．考点突破·互动探究考点一 直线的倾斜角与斜率——自主练透例 1 (1)(2021·兰州模拟)直线2xcos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(2020·贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π (3)已知曲线f(x)＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( C )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e[解析] (1)直线2xcos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α．由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3．(2)如图所示，设直线l 的倾斜角为α，α∈[0，π)． k PA ＝－1＋20－1＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1．∵直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点， ∴－1≤tan α≤1．∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π．故选A ．(3)解法一：∵f(x)＝ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x ．设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率k ＝f′(x 0)＝1x 0＝ln x 0x 0，∴ln x 0＝1，x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e．解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x 及曲线f(x)＝ln x 经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C ．[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l 的斜率的范围为__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．[引申2]若将题(2)中A(1，－2)改为A(－1,0)，其它条件不变，求直线l 斜率的取值范围为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__，倾斜角的取值范围为__⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4__．[解析]∵P(0，－1)，A(－1,0)，B(2,1)，∴k AP ＝－1－00－－1＝－1，k BP ＝1－－12－0＝1．如图可知，直线l 斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4．名师点拨(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．(2)求直线斜率的方法： ①定义法：k ＝tan α； ②公式法：k ＝y 2－y 1x 2－x 1；③导数法：曲线y ＝f(x)在x 0处切线的斜率k ＝f′(x 0)．(3)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为π2，直线垂直于x 轴．〔变式训练1〕(1)(2021·大庆模拟)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( B ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π (2)(多选题)(2021·安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的值可以是( ABC )A ．12 B ．－2 C ．0D ．1[解析] (1)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－sin α，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，选B ．(2)由已知直线l 恒过定点P(2,1)，如图所示，若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k≤k PB ， ∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k≤12，故选A 、B 、C ．考点二 直线的方程——师生共研例2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半； (3)过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍； (4)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．[解析] (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35．∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±34．又直线在y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5．即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0．(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3．又直线过点(－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0． (3)若直线过原点，则其斜率k ＝25，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0．若直线不过原点，则设其方程为x 2b ＋y b ＝1，由52b ＋2b ＝1得b ＝92，故所求直线方程为x 9＋2y9＝1，即x＋2y －9＝0．∴所求直线的方程为x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0．(4)直线3x －4y －5＝0的斜率为34，与y 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，故所求直线的斜率为－34，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，∴所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0．名师点拨求直线方程应注意的问题(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可．确定直线方程的常用方法有两种：①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0．〔变式训练2〕(1)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为__x ＋13y ＋5＝0__．(2)直线3x －y ＋4＝0绕其与x 轴的交点顺时针旋转π6所得直线的方程为__3x －3y ＋4＝0__．(3)已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为__x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0__．[解析] (1)由题意可知BC 的中点为H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴k AH ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－5－32＝－113．故所求直线的方程为y －0＝－113(x ＋5)，即x ＋13y ＋5＝0．(2)直线3x －y ＋4＝0与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，0，斜率为3，倾斜角θ为π3，可知所求方程直线的倾斜角为π6，斜率k ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫或由k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6求，故所求直线的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋433，即3x －3y ＋4＝0．(3)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则3b 2＝3，∴b ＝±1，故所求直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．考点三 直线方程的应用——多维探究例3 已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当△AOB 面积最小时，直线l 的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l 的方程； (3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l 的方程； (4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． [解析] 设直线的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b＝1．(1)∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4．此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1．即x ＋2y －4＝0．(2)a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·a b ＝3＋22．故a ＋b 的最小值为3＋22，此时2ba＝a b ，求得b ＝2＋1，a ＝2＋2．此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1．即x ＋2y －2－2＝0． (3)解法一：设∠BAO ＝θ，则sin θ＝1|MA|，cos θ＝2|MB|，∴|MA|·|MB|＝2sin θcos θ＝4sin 2θ，显然当θ＝π4时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时k l ＝－1，所求直线的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y－3＝0．解法二：|MA|·|MB|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2a ＋b －5＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4．当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0． 解法三：若设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1k＋－k ≥4，当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0．(4)同(3)|MA|＝1sin θ，|MB|＝2cos θ，∴|MA|2＋|MB|2＝1sin 2θ＋4cos 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ≥9． ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当cos 2θ＝2sin 2θ，即tan θ＝22时取等号∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9，此时直线的斜率k ＝－22， 故所求直线的方程为y －1＝－22(x －2)， 即2x ＋2y －2(2＋1)＝0．注：本题也可设直线方程为y －1＝k(x －2)(k ＜0)求解．名师点拨利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．〔变式训练3〕已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B ，O 为坐标原点．若S △AOB ＝92，求直线l的方程．[解析] 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1b ＝1，ab ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝32故所求直线方程为x 3＋y 3＝1或x 6＋2y3＝1，即x ＋y －3＝0或x ＋4y －6＝0．名师讲坛·素养提升(1)定点问题例4 (此题为更换后新题)已知直线l ：kx －y ＋1＋3k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第一象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋3)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－3,1)． (2)令x ＝0得y ＝3k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，3k ＋1≤0解得k≤－13．故k 的取值范围是(－∞，－13]．(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第四象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋2)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－2,1)． (2)令x ＝0得y ＝2k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，2k ＋1≥0解得k≥0．故取值范围是[0＋∞)．名师点拨过定点A(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．方程为y －y 0＝k(x －x 0)是直线过定点A(x 0，y 0)的充分不必要条件．(2)曲线的切线问题例5 (2021·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( A )A ．2B ．12C ．1D ．3[解析] 设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，1m ，m≠0，y ＝1x 的导数为y′＝－1x 2，可得切线的斜率k ＝－1m 2，切线方程为y －1m ＝－1m 2(x －m)，代入(2,0)，可得－1m ＝－1m 2(2－m)，解得m ＝1，则切线方程为y －1＝－x ＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为12×2×2＝2．故选A ．〔变式训练4〕(1)直线y ＝kx －k －2过定点__(1，－2)__．(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为__2x －y －2＝0__．。
高考数学大一轮复习 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
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对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(－3,0)，B(2,1)， C(－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程．
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【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点， 由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝ 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式 得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
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3
2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝_t_a_n_α__.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的 y2－y1
斜率 k＝__x_2－__x_1__.
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4
二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式
＝
.
【答案】 －
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8
4．一条直线经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直
线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线的一般式方程
是
，斜截式方程是
．
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理
⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。
2020年高考文科数学一轮总复习：直线的倾斜角与斜率、直线的方程
2020年高考文科数学一轮总复习：直线的倾斜角与斜率、直线的方程第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 的倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)直线l 的倾斜角为α≠π2，则l 的斜率k ＝tan__α．(2)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1．3．直线方程的五种形式判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)经过点P 0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：选D.由点斜式得直线方程为y －(－3)＝tan 45°(x －2)＝x －2，即x －y －5＝0，故选D.如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.由题意知直线的斜率k ＝－A B ＜0，直线在y 轴上的截距b ＝－CB ＞0，故选C.已知点A (－1，t )，B (t ，4)，若直线AB 的斜率为2，则实数t 的值为________． 解析：由题意知，k AB ＝2，即4－t t ＋1＝2，解得t ＝23.答案：23(教材习题改编)经过点(－4，3)且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________．解析：由题意可设方程为x ＋y ＝a ，所以a ＝－4＋3＝－1.所以直线方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0直线的倾斜角与斜率(典例迁移)(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π (2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B.(2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 【答案】 (1)B(2)(]－∞，－3∪[)1，＋∞[迁移探究1] (变条件)若本例(1)的条件变为：直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围为________．解析：直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，π3[迁移探究2] (变条件)若将本例(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解：因为P (－1，0)，A (2，1)，B (0，3)，所以k AP ＝1－02－（－1）＝13，k BP ＝3－00－（－1）＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，3.(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 求倾斜角时要注意斜率是否存在． (2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率； ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．1．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． 解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线， 所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：42．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.答案：[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1求直线的方程(师生共研)(1)若直线经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．【解析】 (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5，2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， 故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. 【答案】 (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0(1)求直线方程的两种常用方法①直接法：根据已知条件，确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)求直线方程应注意的问题①选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点；②求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)．1．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1，2)，B (3，6)，C (5，2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C.由题知M (2，4)，N (3，2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.2．过点(1，2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0直线方程的综合应用(典例迁移)(一题多解)已知直线l 过点M (2，1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．【解】 法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋（－4k ）＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k ＝－1k，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 法二：设直线l ：x a ＋y b ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2，1)，所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab ，故ab ≥8，故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l ：x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.[迁移探究] (变问法)在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：由本例法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.直线方程综合问题的两大类型及其解法(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．1．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．2．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析：直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2，0)，与y 轴的交点为B (0，1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝⎛⎭⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12. 答案：12[基础题组练]1．若直线过点(1，1)，(2，1＋3)，则此直线的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选C.设此直线的倾斜角为α，则k ＝tan α＝1＋3－12－1＝ 3.又a ∈[0，π)，所以α＝60°.故选C.2．(2019·大连模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a 表示的直线是( )解析：选C.因为x ＜0时，a x ＞1，所以0＜a ＜1. 则直线y ＝ax ＋1a 的斜率0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1.故选C.4．直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1解析：选D.设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1－2k，则－3＜1－2k ＜3，解得k ＞12或k ＜－1.5．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________．解析：设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 答案：3x ＋4y ＋15＝06．直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1，4)，D (5，0)，则直线l 的方程为________．解析：直线l 平分▱ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3，2)，则直线l ：y ＝23x .答案：y ＝23x7．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，所以BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC 边的垂直平分线DE 经过BC 的中点(0，2)，所以所求直线方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.8．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3，4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3，3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)×⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6， 所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.[综合题组练]1．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：选A.因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以y ＝4－x ，所以x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.2．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．所以直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.3．已知线段MN 两端点的坐标分别为M (－1，2)和N (2，3)，若直线kx －y ＋k －2＝0与线段MN 有交点，则实数k 的取值范围是________．解析：直线kx －y ＋k －2＝0过定点P (－1，－2)．MP 平行于y 轴，k NP ＝3＋22＋1＝53，所以k ≥53.答案：⎣⎡⎭⎫53，＋∞4．直线l 的倾斜角是直线4x ＋3y －1＝0的倾斜角的一半，若l 不过坐标原点，则l 在x轴上与y 轴上的截距之比为________．解析：设直线l 的倾斜角为θ. 所以tan 2θ＝－43.2tan θ1－tan 2θ＝－43， 所以tan θ＝2或tan θ＝－12，由2θ∈[0°，180°)知，θ∈[0°，90°)． 所以tan θ＝2.又设l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b . 所以tan θ＝－b a .即a b ＝－1tan θ＝－12.答案：－125．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1.(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线的方程．解：(1)根据直线l 的方程：x m ＋y4－m ＝1可得直线l 过点(m ，0)，(0，4－m )，所以k ＝4－m －m ＝2，解得m ＝－4.(2)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m )，则由m >0，4－m >0得0<m <4，则S △AOB ＝m （4－m ）2＝－（m －2）2＋42，则m ＝2时，S △AOB 有最大值2，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.6．(综合型)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E (30，0)，F (0，20)，2020年高考文科数学一轮总复习 第 11 页 共 11 页所以直线EF 的方程为x 30＋y 20＝1(0≤x ≤30)． 易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)， 所以n ＝20－23m . 所以S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)． 所以当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1. 所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．。
2017届高三数学(文)一轮复习课件：8-1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
或重合时，规定它的倾斜角为0° 。 [0° ，180° ) ②倾斜角的范围为_______ 。
(2)直线的斜率
正切值 ①定义：一条直线的倾斜角α的________ 叫做这条直线的斜率，斜率 tanα ，倾斜角是90° 常用小写字母k表示，即k＝______ 的直线斜率不存在。
②过两点的直线的斜率公式： 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝
1 (2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－ ； 4
解析：(2)设所求直线的斜率为k， 1 3 依题意k＝－ ×3＝－ 。 4 4 3 又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－ (x＋1)，即3x 4 ＋4y＋15＝0。
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5。
1 a ＋1
2
≥－1，故k∈[－1,0)，由图象知倾斜角α∈
(2)由题意知直线 l 恒过定点 P(2,1)，如右图。若 l 与线段 AB 相交，则 kPA≤k≤kPB。 1 ∵kPA＝－2，kPB＝ ， 2 1 ∴－2≤k≤ 。 2
微考点
直线的方程
【典例2】求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
微知识❹ 线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M
x＝x1＋x2， 2 的坐标为(x，y)，则 y＝y1＋y2。 2
此公式为线段P1P2的中点坐标公式。
二、小题查验 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置。( √)
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， 3 )为端点的线段有公共点，则 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞) 。 直线l斜率的取值范围为________________________
全国版2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率直线的方程课件理
பைடு நூலகம் 4.直线方程的五种形式
名 称 已知条件
点斜式 斜截式
斜率k与点 (x1,y1) 斜率k与直 线在y轴上 的截距b
方程
适用范围
_y_-_y_1_=_k_(_x_-_x_1)_ 不含直线x=x1
_______ y=kx+b
不含垂直于x 轴的直线
名 称 已知条件
方程
适用范围
两点式 截距式
两点(x1,y1), (x2,y2)
答案:
∪[5,（+∞ ), 1 ] 2
（ , 1 ] 2
【一题多解】解答本题,还有如下解法: 设直线l的斜率为k, 则直线l的方程为y-2=k(x+1), 即kx-y+k+2=0.
因为A,B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上,
所以(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)≤0,
即(k-5)(4k+2)≥0,所以k≥5或k≤
2.若将本例题(2)中点P的坐标改为P(-3,2),则直线l的 斜率的取值范围是什么?
【解析】因为P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则
k PA
3 2
2 3
5,
k PB
3
0
2
3
1 3
,
借助图形可知,直线l的斜率的取值范围为 [5, 1]. 3
【变式训练】已知△ABC的三个顶点为A(-3,0), B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC所在直线的方程. (2)BC边的垂直平分线DE的方程. (3)过点A与BC平行的直线的方程.
【解析】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,
高考数学一轮复习教案(含答案) 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
第8章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式牢记倾斜角α与斜率k 的关系(1)当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. (2)当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． ( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． ( )(4)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示． ( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．(教材改编)若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4A [由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.] 3．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°B [设直线的倾斜角为α，则tan α＝3，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.]4．(教材改编)经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＝1C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝yD [若直线过原点，则直线为y ＝x ，符合题意，若直线不过原点，设直线为x m ＋y m ＝1，代入点(1,1)，解得m ＝2，直线方程整理得x ＋y －2＝0，故选D.]5．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C B >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．]1( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B [由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.] 2．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________．4 [因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3. 由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.]3．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．]分【例1(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知横截距与纵截距都不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a＝1， 又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.为1，则此直线的方程为________．x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 [设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1. ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或(2)⎩⎨⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解． 故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．]O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程；(2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．[解] 设直线l ：x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1.(1)4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab ， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b ＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4b a ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y 3＝1，即x ＋2y －6＝0.12时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．[解] 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2， 所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154， 当a ＝12时，四边形的面积最小，故实数a 的值为12.。
高考数学一轮复习第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制1～2道小题，1道解答题，分值约占20～24分．2.考查内容(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基．(2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力.直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考试要求]1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是π2的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距，斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点，斜率y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y1y2－y1＝x －x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距xa ＋yb＝1 不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线一般式—Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)平面内所有直线都适用提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．[常用结论]1．直线的斜率k 和倾斜角α之间的函数关系 如图，当α∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．2．特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(3)直线的截距就是直线与坐标轴的交点到原点的距离．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生 1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A ．3 B ．－3 C ．33D ．－33D [k AB ＝3＋1－3－3＝－33，故选D.]2．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A.3x －3y ＋6＋3＝0 B ．3x －3y －6＋3＝0 C.3x ＋3y ＋6＋3＝0D ．3x ＋3y －6＋3＝0A [直线的斜率k ＝tan 30°＝33.由点斜式方程得y －2＝33(x ＋1)，即3x －3y ＋6＋3＝0，故选A.]3．(多选)下面说法中错误的是( )A ．经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程x －x 0＝m (y －y 0)表示C ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示ABC [对于A 选项，该方程不能表示过点P 且垂直于x 轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A 不正确；对于B 选项，该方程不能表示过点P 且平行于x 轴的直线，即该方程不能表示斜率为零的直线，所以B 不正确；对于C 选项，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C 不正确；对于D 选项，经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以D 正确．]4．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________． π4或3π4[设直线的倾斜角为α，则|tan α|＝1，∴tan α＝±1. 又α∈[0，π)，∴α＝π4或3π4.]考点一 直线的倾斜角与斜率斜率取值范围的两种求法 数形作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合结合法 正切函数的单调性确定 函数 图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2B [由题意可知错误!＝tan 错误!＝－1， 解得y ＝－3.故选B.]2．若直线l 的斜率k ∈[－1,1]，则直线l 的倾斜角θ的范围是________． ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π [当－1≤k ＜0时，3π4≤θ＜π， 当0≤k ≤1时，0≤θ≤π4.因此θ的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.]3．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．]点评：(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想．注意区分含有90°和不含90°两种情况的讨论．(2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π两种情况讨论．考点二 直线方程的求法求直线方程的两种方法[典例1] 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半；(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，求直线MN 的方程．[解] (1)（法一）设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为xa ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. （法二）由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ，令x ＝0，得y ＝2－3k ， 由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0.(3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋x02，y0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7＋x02，y0＋32. 因为点M 在y 轴上，所以5＋x02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.点评：当直线在x 轴、y 轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解．[跟进训练]已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．[解] (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D (x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x －3y＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．所求直线方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 考点三 直线方程的综合应用处理直线方程综合应用的两大策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．[典例2] 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．(1)证明：（法一）直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．（法二）方程kx －y ＋1＋2k ＝0可化为y －1＝k (x ＋2)，显然直线恒过定点 (－2,1)．(2)解：由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解：由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB | ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·错误!＝错误!错误! ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.点评：本例(3)在求解中常忽略条件⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ＜01＋2k ＞0，的书写，进而导致S 最值的求解失误．[跟进训练] 1．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当|MA →|·|MB→|取得最小值时，直线l 的方程为________． x ＋y －3＝0 [设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1. |MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2a b≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.]2．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.12 [由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2) ＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小， 故实数a 的值为12.]。
2017届高三数学一轮总复习(人教通用)课件：第8章 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
2．(教材习题改编)若过两点 A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜 率为 12，则 m＝________. 答案：－2
3．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点 A(－5,0)，B(3， －3)，C(0,2)，则 BC 边上中线所在的直线方程为________． 答案：x＋13y＋5＝0
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解析
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解析
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解析：将(1,1)代入直线xa＋by＝1 得1a＋1b＝1，a>0，b>0，故 a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2＝4，等号当且仅当 a ＝b 时取到，故 a＋b 的最小值为 4.
答案：C
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2．过点 M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方 程为________． 解析：①若直线过原点，则 k＝－43， 所以 y＝－43x，即 4x＋3y＝0. ②若直线不过原点．设xa＋ay＝1，即 x＋y＝a. 则 a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为 x＋y＋1＝0. 答案：4x＋3y＝0 或 x＋y＋1＝0
平面内所有直线都适用
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1．(教材习题改编)直线 3x－y＋a＝0 的倾斜角为 ( )
高三数学一轮复习 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第八章平面解析几何[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．3．从命题思路上看：(1)直线方程与其他知识相结合．(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．[导学心语]1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的．4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程————————————————————————————————[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°B[直线的斜率为k＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]3．(2014·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y ＋1＝0垂直，则直线l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0D[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.1或－2[令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋2 a.依题意2＋a＝1＋2a，解得a＝1或a＝－2.]5．(2017·西安模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．3x－2y＝0或x－y＋1＝0[当直线过原点时，方程为y＝32x，即3x－2y＝0.当直线l不过原点时，设直线方程为xa－ya＝1.将P(2,3)代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.](1)直线x－y cos θ＋1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________．(2)(2017·郑州模拟)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ＝0，直线为x ＋1＝0，其倾斜角为π2.当θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线l 的斜率为 tan α＝1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上，α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.(2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－(－3)＝－5，k PB ＝0－23－(－3)＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.][规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．第(2)问求解要注意两点：(1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.[变式训练1] (1)(2017·惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15 B ．k ＞1或k ＜12 C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. (2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.](1)过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程为________．(2)若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．(1)4x ＋3y －13＝0 [设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为 y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.](2)法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2).2分若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.5分 若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1， 因为直线l 过点M (3,2)，所以3a ＋2a ＝1，8分所以a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0. 综上，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.12分法二：易知M (3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3).2分令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k .5分 所以3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23.8分所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)， 即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.12分[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．[变式训练2] 求过点A (－1，－3)且倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍的直线方程．[解] 由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，2分 则所求直线的倾斜角为2α.5分 ∵tan α＝3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.8分又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.12分A ，B两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．【导学号：31222284】[解] (1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4，3分当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.5分 (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )，7分 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4.10分当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时，上式等号成立．所以当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0.12分 [规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA |＋|OB |与|MA |2＋|MB |2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．[变式训练3] 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2，2分∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)．易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ，5分则S 四边形OBAC ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，10分∴当a＝12时，四边形OBAC的面积最小.12分[思想与方法]1．求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．[易错与防范]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－A B.课时分层训练(四十五)直线的倾斜角与斜率、直线的方程A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0D[直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y ＋1＝0.]2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足() A．a＋b＝1 B．a－b＝1C．a＋b＝0 D．a－b＝0D[由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－ab，所以－ab＝－1，则a＝b.]3．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是()A．m≠－32B．m≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1D [由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．]4．在等腰三角形AOB 中，OA ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )【导学号：31222285】A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)D [设点B 的坐标为(a,0)(a ＞0)，由OA ＝AB ，得12＋32＝(1－a )2＋(3－0)2，则a ＝2， ∴点B (2,0)，易得k AB ＝－3，由两点式，得AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．]5．(2017·威海模拟)过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )【导学号：31222286】A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2A [∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π. 依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在， ∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.] 二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．【导学号：31222287】－23[设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)，∴k＝1＋1－2－1＝－23.]7．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．[－2,2][b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值，∴b的取值范围是[－2,2]．]8．(2017·惠州模拟)直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为________．4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0[由题意知，截距不为0，设直线l的方程为x a＋y12－a＝1.又直线l过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.]三、解答题9．(2017·潍坊模拟)直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，求l的方程．[解]若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，2分直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.5分 若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，10分此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0.12分 10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，3分 ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.6分 (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，8分 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.10分 综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( ) 【导学号：31222288】A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|P A |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.]2．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 3 [直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[]－(y －2)2＋4≤3，即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.]3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解] (1)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；3分当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.5分(2)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.7分∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，10分 ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.12分。
2017版高考一轮总复习数学课件：第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．(1)第(2)小题求解的关键是通过图形(略)直观发现当面积之差 最大时，所求直线与直线 OP 垂直．(2)截距可正、可负、可为 0，因 此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为 0”的情况，以防 漏解．
2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用 待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方 法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．
(1)若 A(1，－2)，B(5，6)，直线 l 经过 AB 的中点 M 且
在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为________．
(2)过点 P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部
分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
第十页，编辑于星期六：三点 三十分。
法二 易知 M(3，2)，由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且 k≠0， 则直线 l 的方程为 y－2＝k(x－3)．
令 y＝0，得 x＝3－k2；令 x＝0，得 y＝2－3k. 所以 3－k2＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝23. 所以直线 l 的方程为 y－2＝－(x－3)或 y－2＝23(x－3)，即 x＋y －5＝0 或 2x－3y＝0.
π 解析：(1)当 θ＝kπ＋ 2 (k∈Z)时，cos θ＝0，直线为 x＋1＝0，
π 其倾斜角为 2 .
第三页，编辑于星期六：三点 三十分。
π 当 θ≠kπ＋ 2 (k∈Z)时，直线 l 的斜率为
tan
α＝ 1 cos
θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
∴直线 l 的倾斜角的取值范围是[π4 ，π2 )∪(π2 ，3π4 ]．
2020年高考理科一轮复习：第8章 第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
点斜式方程为y－3＝7(x－1)， 整理得7x－y－4＝0.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
给定条件求直线方程的思路 (1)求直线方程常用的两种方法 ①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求 直线方程，则直接利用斜截式即可． ②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程 (组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例 说明2(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．
解析 如图，∵kAP＝12－ －01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
解析
1.直线的倾斜角与其斜率的关系
斜率k k＝tanα>0 k＝0
倾斜角α 锐角
0°
k＝tanα<0 钝角
不存在 90°
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案 D
解析
由题意得，直线l的截距式方程为
x k
＋
y 2k
＝1，又因为直线l过
(k,0)，(0,2k)两点，所以
2k－0 0－k
＝k，解得k＝－2，所以直线l的方程为
x －2
＋
－y4＝1，即2x＋y＋4＝0.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案 解析
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A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) 答案 D
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第8章平面解析几何
第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程
[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.
(2)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0,π).
2.斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°,则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1
.
3.直线方程的五种形式
牢记倾斜角α与斜率k 的关系
(1)当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭
⎪⎫α≠π2时,k 的值由0增大到＋∞. (2)当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π时,k 也是关于α的单调函数,当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大
到π(α≠π)时,k 的值由－∞趋近于0(k ≠0).
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置. ( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率. ( ) (3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.
( )
(4)过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示. ( ) (5)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(教材改编)若过点M (－2,m ),N (m,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 A [由题意得m －4
－2－m ＝1,解得m ＝1.]
3.直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( ) A.30° B.60°
C.150°
D.120°
B [设直线的倾斜角为α,则tan α＝3,∵0°≤α＜180°,∴α＝60°.] 4.(教材改编)经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A.x ＋y ＝2 B.x ＋y ＝1 C.x ＝1或y ＝1
D.x ＋y ＝2或x ＝y
D [若直线过原点,则直线为y ＝x ,符合题意,若直线不过原点,设直线为x m ＋y m ＝1,代入点(1,1),解得m ＝2,直线方程整理得x ＋y －2＝0,故选D.]
5.如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
C [由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C
A >0,在y 轴上的截距－C
B >0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.]
) A.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
3π4，π C.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π B [由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1,又－1≤－1
a 2＋1
＜0,所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
3π4，π.]
2.若点A (4,3),B (5,a ),C (6,5)三点共线,则a 的值为__________. 4 [因为k AC ＝5－36－4＝1,k AB ＝a －3
5－4＝a －3.
由于A ,B ,C 三点共线,所以a －3＝1,即a ＝4.]
3.直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为__________.
(－∞,－3]∪[1,＋∞) [如图,∵k AP ＝1－02－1＝1,k BP ＝3－0
0－1＝－3,∴k ∈(－
∞,－3]∪[1,＋∞).]
易错警示:由直线的斜率
【例1(1)直线过点(－4,0),倾斜角的正弦值为10
10;
(2)直线过点(－3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12. [解] (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为α,则sin α＝10
10(0≤α＜π), 从而cos α＝±31010,则k ＝tan α＝±
1
3. 故所求直线方程为y ＝±
1
3(x ＋4). 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.
(2)由题设知横截距与纵截距都不为0,设直线方程为x
a ＋
y
12－a
＝1, 又直线过点(－3,4),从而－3a ＋4
12－a ＝1,解得a ＝－4或a ＝9.
故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.
为1,则此直线的方程为________.
x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 [设所求直线的方程为x a ＋y
b ＝1. ∵A (－2,2)在直线上,∴－2a ＋2
b ＝1.①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,∴1
2|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或(2)⎩⎨⎧
a －
b ＝－1，ab ＝－2.
由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎨⎧
a ＝－1，
b ＝－2，
方程组(2)无解. 故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y
－2＝1,即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0
为所求直线的方程.]
为坐标原点.
(1)当△AOB 面积最小时,求直线l 的方程; (2)当|OA |＋|OB |取最小值时,求直线l 的方程. [解] 设直线l :x a ＋y
b ＝1(a ＞0,b ＞0), 因为直线l 经过点P (4,1),所以4a ＋1
b ＝1. (1)4a ＋1
b ＝1≥2
4a ·1b ＝4ab
, 所以ab ≥16,当且仅当a ＝8,b ＝2时等号成立, 所以当a ＝8,b ＝2时,△AOB 的面积最小, 此时直线l 的方程为x 8＋y
2＝1,即x ＋4y －8＝0. (2)因为4a ＋1
b ＝1,a ＞0,b ＞0,
所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·
⎝ ⎛⎭⎪⎫
4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4b
a ＝9,当且仅
当a ＝6,b ＝3时等号成立,
所以当|OA |＋|OB |取最小值时,直线l 的方程为x 6＋y
3＝1, 即x ＋2y －6＝0.
12
线l 1,l 2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a 的值.
[解] 由题意知直线l 1,l 2恒过定点P (2,2),直线l 1在y 轴上的截距为2－a ,直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2,
所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋1
2×2×(a 2＋2) ＝a 2
－a ＋4＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －122＋154, 当a ＝1
2时,四边形的面积最小, 故实数a 的值为1
2.。