高考数学一轮复习第十二篇系列4选讲(选修4445)第2节不等式选讲习题理(含解析)

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2019年高考数学一轮复习(文理通用) 选修4-5 不等式选讲选修4-5 第2讲

(2)放缩法的注意事项： 12 3 12 ①舍去或加上一些项，如(a＋2) ＋4＞(a＋2) ； 1 1 1 1 1 2 ②将分子或分母放大(缩小)，如k2＜，k2＞，＜， k k － 1 kk＋1 k k＋ k－1 1 2 ＞ (k∈N*，k＞1)等． k k＋ k＋1 ③放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．
1．下列结论正确的个数为导学号 58533693 ( C ) (1)用反证法证明命题“a、b、c 全为 0”时假设为“a、b、c 全不为 0”． (2)若实数 x、y 适合不等式 xy＞1，x＋y＞－2，则 x＞0，y＞0. x＋2y (3)若 >1，则 x＋2y>x－y. x－y (4)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|. A．0 C．2 B．1 D．3
选考内容
选修4-5 不等式选讲
第二讲不等式的证明与柯西不等式
1 2
知识梳理
考点突破
知识梳理
1．均值不等式
2ab 定理 1：设 a、b∈R，则 a2＋b2≥________. 当且仅当 a＝b 时，等号成立．
a＋b ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成定理 2：如果 a、b 为正数，则 2 ≥________ 立．
n n n
bn an(当 ai＝0 时，约定 bi＝0，i＝1,2，„，n)时等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设 α、β 为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α· β|，当且仅当 α，β 共线时等号成立．
• 3．不等式的证明方法反证法放缩法 • 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、 ________、________等．

2021年高考数学复习第一轮选修4—5 不等式选讲

栏目索引
2 -1 x,y∈R,且|x +y|≤ ,|x1-y|≤ ,求1 证:|x +5y|≤1.
证明
因为|x
+5y|
=|3(x
6
+y)
-2(x
4
-y)|,
所以|x +5y| =|3(x +y) -2(x -y)|≤|3(x +y)| +|2(x -y)| =3|x +y| +2|x1-y|≤31× +2
=
=|x1|
x
+a ≥2
=2(当且仅当|x|
=1时取1等号a ). (x (2)f(x) +xf(2x) =|x
-aa|)+|2x1x
-aa|,a <0x.
1 x
1 |x|
|x| 1 |x|
当x≤a时, f(x) +f(2x) =a -x +a -2x =2a -3x,那么f(x) +f(2x)≥ -a;
3 -2 (2021河南开封模拟)设函数f(x) =|x -a|,a<0.
((12))证假明设不:f(x等) 式+f f(1xx≥)2+;f(2x1)< 的解集非空,求a的取值范围. 解析 (1)证明: f(x) =|x2-a|,a<0,
那么f(x) +f =|x -a| +
=|x
-a|
+ 1x≥
3
x
|
x
5或x
1 3
栏目索引
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考点突破
考点一绝|对值不等式的解法典例1 函数f(x) =|x +a| +|x -2|. (1)当a = -3时,求不等式f(x)≥3的解集; (2)假设f(x)≤|x -4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 解析 (1)当a = -3时, f(x)= 2x 5, x 2, 当x≤2时,由f(x)≥3得 -2x +51≥,23,解x 得 3x, ≤1; 当2<x<3时, f(x)≥3无解; 2x 5, x 3. 当x≥3时,由f(x)≥3得2x -5≥3,解得x≥4. 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}. (2)f(x)≤|x -4|⇔|x -4| -|x -2|≥|x +a|.

2018-2019学年高中一轮复习理数：选修4-5 不等式选讲含解析

选修4－5⎪⎪⎪不等式选讲第一节绝对值不等式本节主要包括2个知识点： 1.绝对值不等式的解法；2.绝对值三角不等式.突破点(一) 绝对值不等式的解法[基本知识](1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集不等式 a >0a ＝0 a <0 |x |<a {}x |－a <x <a ∅∅ |x |>a{}x |x >a 或x <－a{}x ∈R|x ≠0R(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．[基本能力]1．判断题(1)不等式|x |<a 的解集为{x |－a <x <a }．( )(2)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( ) (3)不等式|2x －3|≤5的解集为{x |－1≤x ≤4}．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．填空题(1)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.答案：2(2)不等式|2x －1|>3的解集为________．解析：由|2x －1|>3得，2x －1<－3或2x －1>3，即x <－1或x >2. 答案：{x |x <－1或x >2}(3)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53<x <13，则a ＝________. 解析：依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎨⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解．当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫5a，－1a ，从而有⎩⎨⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.答案：－3(4)不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________．解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1恒成立．所以不等式的解集为{x |x ≥1}．答案：{x |x ≥1}[全析考法]绝对值不等式的解法[典例] 解下列不等式： (1)|2x ＋1|－2|x －1|>0.(2)|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.[解] (1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1>4(x 2－2x ＋1)，解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，(2x ＋1)－2(x －1)>0.解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.(2)①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )<x 2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.[方法技巧]绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ， |x |>a ⇔x <－a 或x >a . (2)平方法两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．[全练题点]1．求不等式|x －1|－|x －5|<2的解集．解：不等式|x －1|－|x －5|<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，－(x －1)＋(x －5)<2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5<2或⎩⎪⎨⎪⎧x >5，x －1－(x －5)<2，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，－4<2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，2x <8或⎩⎪⎨⎪⎧x >5，4<2，故原不等式的解集为{x |x <1}∪{x |1≤x <4}∪∅＝{x |x <4}．2．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13.3．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋a |，g (x )＝|x －2|＋1.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥5；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－2，3，－2<x <1，2x ＋1，x ≥1，∴f (x )≥5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，－2x －1≥5或⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <1，3≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，2x ＋1≥5.解得x ≥2或x ≤－3，∴不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．(2)∵对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，∴{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}． ∵f (x )＝|x －1|＋|x ＋a |≥|(x －1)－(x ＋a )|＝|a ＋1|(当且仅当(x －1)(x ＋a )≤0时等号成立)，g (x )＝|x －2|＋1≥1，∴|a ＋1|≥1，∴a ＋1≥1或a ＋1≤－1，∴a ≥0或a ≤－2，∴实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． 4．(2018·湖北黄石调研)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|. (1)解不等式f (x )≥8；(2)若不等式f (x )<a 2－3a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x <3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x >1.当x <－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；当－3≤x≤1时，4≥8，不成立；当x>1时，由2x＋2≥8，解得x≥3.∴不等式f(x)≥8的解集为{x|x≤－5或x≥3}．(2)由(1)得f(x)min＝4.又∵不等式f(x)<a2－3a的解集不是空集，∴a2－3a>4，解得a>4或a<－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．突破点(二)绝对值三角不等式[基本知识]绝对值三角不等式定理定理1如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立定理2如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立[基本能力]1．判断题(1)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.()(2)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.()答案：(1)√(2)√2．填空题(1)函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，即函数y的最小值为8.答案：8(2)设a，b为满足ab<0的实数，那么下列正确的是________．①|a＋b|>|a－b|②|a＋b|<|a－b|③|a－b|<||a|－|b|| ④|a－b|<|a|＋|b|解析：∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.答案：②(3)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4][全析考法]证明绝对值不等式[例1] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1. [方法技巧]证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．绝对值不等式的恒成立问题[例2] (2018·湖南五市十校联考)设函数f (x )＝|x －a |＋|x －3|，a <3. (1)若不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥92，求a 的值；(2)若对∀x ∈R ，不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)法一：由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋3，x <a ，3－a ，a ≤x ≤3，2x －a －3，x >3，当x <a 时，－2x ＋a ＋3≥4，得x ≤a －12；当x >3时，2x －a －3≥4，得x ≥7＋a2.已知f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥92，则显然a ＝2.法二：由已知易得f (x )＝|x －a |＋|x －3|的图象关于直线x ＝a ＋32对称，又f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥92，则12＋92＝a ＋3，即a ＝2.(2)法一：不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，即|x －a |＋2|x －3|≥1恒成立．当x ≤a 时，－3x ＋a ＋5≥0恒成立，得－3a ＋a ＋5≥0，解得a ≤52；当a <x <3时，－x －a ＋5≥0恒成立，得－3－a ＋5≥0，解得a ≤2；当x ≥3时，3x －a －7≥0恒成立，得9－a －7≥0，解得a ≤2. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，2]．法二：不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，即|x －a |＋|x －3|≥－|x －3|＋1恒成立，由图象(图略)可知f (x )＝|x －a |＋|x －3|在x ＝3处取得最小值3－a ，而－|x －3|＋1在x ＝3处取得最大值1，故3－a ≥1，得a ≤2. 故实数a 的取值范围为(－∞，2]．[全练题点]1.[考点一]设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.当且仅当a ＝1时等号成立．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.2.[考点二]已知函数f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |(m >0)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集；(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )<|2＋t |＋|t －1|恒成立，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x －m |－|x ＋3m | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4m ，x ≥m ，－2x －2m ，－3m <x <m ，4m ，x ≤－3m .当m ＝1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2≥1，－3<x <1或x ≤－3，得x ≤－32，∴不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32.(2)不等式f (x )<|2＋t |＋|t －1|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )<(|2＋t |＋|t －1|)min 恒成立，即[f (x )]max <(|2＋t |＋|t －1|)min ，∵f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |≤|(x －m )－(x ＋3m )|＝4m ， |2＋t |＋|t －1|≥|(2＋t )－(t －1)|＝3， ∴4m <3，又m >0，∴0<m <34，即m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34. 3.[考点二]已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m . (1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R)；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．解：(1)不等式f (x )＋a －1>0，即|x －2|＋a －1>0.当a ＝1时，原不等式化为|x －2|>0，解得x ≠2，即解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a >1时，解集为全体实数R ；当a <1时，|x －2|>1－a (1－a >0)，解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)． (2)f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．又由绝对值三角不等式知，对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，当且仅当(x －2)(x ＋3)≤0时等号成立．于是得m <5，故m 的取值范围是(－∞，5).[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 3．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．[课时达标检测] 1．已知函数f (x )＝|x ＋m |－|5－x |(m ∈R )． (1)当m ＝3时，求不等式f (x )>6的解集；(2)若不等式f (x )≤10对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝3时，f (x )>6，即|x ＋3|－|5－x |>6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，x ＋3－(x －5)>6，解得x ≥5；或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <5，x ＋3＋(x －5)>6，解得4<x <5；或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋(x －5)>6，解集是∅. 故不等式f (x )>6的解集为{x |x >4}．(2)f (x )＝|x ＋m |－|5－x |≤|(x ＋m )＋(5－x )|＝|m ＋5|，由题意得|m ＋5|≤10，则－10≤m ＋5≤10，解得－15≤m ≤5，故m 的取值范围为[－15,5]． 2．(2018·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|. (1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．解：(1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪a 2－1，由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1，即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4]． (2)由2x －a ＝0得x ＝a 2，由x －1＝0得x ＝1，由a <2知a 2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x <a2，x －a ＋1⎝⎛⎭⎫a 2≤x ≤1，3x －a －1(x >1).函数的图象如图所示． ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a2＋1＝3，解得a ＝－4.3．(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；(2)若∀x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－32，不等式a ＋1<f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，f (x )>4，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x ＋2>4，解得x <－2或0<x ≤1或x >1.∴不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (2)由(1)知，当x <－32时，f (x )＝－3x －2，∵当x <－32时，f (x )＝－3x －2>52，∴a ＋1≤52，即a ≤32.∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 4．(2018·长春模拟)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>1；(2)当x >0时，函数g (x )＝ax 2－x ＋1x (a >0)的最小值大于函数f (x )，试求实数a 的取值范围．解：(1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，解集是∅. 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，即－1≤x <0；当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，即x <－1. 综上，原不等式的解集是{x |x <0}． (2)因为g (x )＝ax ＋1x －1≥2a －1，当且仅当x ＝aa 时等号成立，所以g (x )min ＝2a －1，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，0<x ≤2，－3，x >2，所以f (x )∈[－3,1)，所以2a －1≥1，即a ≥1，故实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 5．(2018·湖北四校联考)已知函数f (x )＝e |x ＋a |－|x －b |，a ，b ∈R.(1)当a ＝b ＝1时，解不等式f (x )≥e ；(2)若f (x )≤e 2恒成立，求a ＋b 的取值范围．解：(1)当a ＝b ＝1时，f (x )＝e |x＋1|－|x －1|，由于y ＝e x 在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (x )≥e 等价于|x ＋1|－|x －1|≥1，①当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝x ＋1－(x －1)＝2，则①式恒成立；当－1<x <1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ，①式化为2x ≥1，此时12≤x <1；当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解．综上，不等式的解集是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. (2)f (x )≤e 2等价于|x ＋a |－|x －b |≤2，② 因为|x ＋a |－|x －b |≤|x ＋a －x ＋b |＝|a ＋b |，所以要使②式恒成立，只需|a ＋b |≤2，可得a ＋b 的取值范围是[－2,2]．6．(2018·湖北枣阳一中模拟)已知f (x )＝|x －1|＋|x ＋a |，g (a )＝a 2－a －2. (1)当a ＝3时，解关于x 的不等式f (x )>g (a )＋2；(2)当x ∈[－a,1)时恒有f (x )≤g (a )，求实数a 的取值范围．解：(1)a ＝3时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ≤－3，4，－3<x <1，2x ＋2，x ≥1，g (3)＝4.∴f (x )>g (a )＋2化为|x －1|＋|x ＋3|>6，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2>6，x ≤－3，或⎩⎪⎨⎪⎧ 4>6，－3<x <1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2>6，x ≥1，解得x <－4或x >2.∴所求不等式解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)． (2)∵x ∈[－a,1)．∴f (x )＝1＋a .∴f (x )≤g (a )即为1＋a ≤a 2－a －2，可化为a 2－2a －3≥0，解得a ≥3或a ≤－1. 又∵－a <1，∴a >－1.综上，实数a 的取值范围为[3，＋∞)．7．(2018·安徽蚌埠模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|<5；(2)若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，∴－7<|x －1|<3，解得－2<x <4，∴原不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)∵对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， ∴{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|， g (x )＝|x －1|＋2≥2，∴|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5， ∴实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[－1，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54<x <12.(2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，103.第二节不等式的证明本节重点突破1个知识点：不等式的证明.突破点不等式的证明[基本知识]1．基本不等式定理1如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立定理2如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1. 3．综合法与分析法综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立[基本能力]1．判断题(1)已知x 为正实数，则1＋x ＋1x ≥3.( )(2)若a >2，b >2，则a ＋b >ab .( ) (3)设x ＝a ＋2b ，S ＝a ＋b 2＋1则S ≥x .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2．填空题(1)已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2，∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝4，∴1a ＋1b≥4a ＋b＝2，即1a ＋1b 的最小值为2(当且仅当a ＝b ＝1时，“＝”成立)．答案：2(2)已知正实数a ，b 满足2ab ＝a ＋b ＋12，则ab 的最小值是________．解析：由2ab ＝a ＋b ＋12，得2ab ≥2ab ＋12，当且仅当a ＝b 时等号成立．化简得(ab －3)(ab ＋2)≥0，解得ab ≥9，所以ab 的最小值是9.答案：9(3)已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c ，得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．答案：9(4)设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________________．解析：若x >y ，则x －y ＝a 2b 2＋5－(2ab －a 2－4a ) ＝a 2b 2－2ab ＋a 2＋4a ＋5 ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0， ∴ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－2[全析考法]比较法证明不等式[例1] 求证：(1)当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2； (2)当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b ≥(ab )a ＋b2.[证明] (1)法一：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x 3－x －1) ＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)＝(x －1)2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥0，所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 法二：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0，所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.(2)a a b b(ab )a ＋b2＝a a －b 2b b －a 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b 2，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b a －b2＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b2>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1，∴a a b b≥(ab )a ＋b 2. [方法技巧]作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．综合法证明不等式[例2] 已知a ，b ，c >0且互不相等，abc ＝1.试证明：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c . [证明] 因为a ，b ，c ＞0，且互不相等，abc ＝1，所以a ＋b ＋c ＝ 1bc＋ 1ac＋ 1ab＜1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c ，即a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .[方法技巧]综合法证明时常用的不等式(1)a 2≥0；|a |≥0. (2)a 2＋b 2≥2ab .(3)a ＋b 2≥ab ，它的变形形式有：a ＋1a ≥2(a >0)；a b ＋b a ≥2(ab >0)；a b ＋b a ≤－2(ab <0)．分析法证明不等式[例3] (2018·福建毕业班质量检测)已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )． [解] (1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1，①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2，解得x ＜－1，此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以，要证f (ab )＞f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |，即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0. 因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立． [方法技巧]分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2＋b 2≥2ab )、基本不等式⎝⎛⎭⎫ab ≤a ＋b 2，a >0，b >0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．[全练题点]1.[考点三]设x ≥1，y ≥1，求证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .证明：由于x ≥1，y ≥1，要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)，因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．2.[考点一]设不等式|2x －1|＜1的解集为M . (1)求集合M .(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解：(1)由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}． (2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0. 故ab ＋1＞a ＋b .3.[考点二]已知a ，b ，c ，d 均为正数，且ad ＝bc . (1)证明：若a ＋d >b ＋c ，则|a －d |>|b －c |；(2)t ·a 2＋b 2c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，求实数t 的取值范围．解：(1)证明：由a ＋d >b ＋c ，且a ，b ，c ，d 均为正数，得(a ＋d )2>(b ＋c )2，又ad ＝bc ，所以(a －d )2>(b －c )2，即|a －d |>|b －c |.(2)因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，所以t ·a 2＋b 2c 2＋d 2＝t (ac ＋bd )．由于a 4＋c 4≥2ac ，b 4＋d 4≥2bd ，又已知t ·a 2＋b 2c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，则t (ac ＋bd )≥2(ac ＋bd )，故t ≥2，当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤12；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以12≤x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.[课时达标检测]1．(2018·武汉调研)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤1. 证明：要证 a ＋b ≤1，只需证a ＋b ＋2ab ≤1，即证2ab ≤12，即证ab ≤14. 而a ＋b ＝12≥2ab ，∴ab ≤14成立， ∴原不等式成立．2．已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|，其最小值为t .(1)求t 的值；(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝t ，求证：1a ＋4b ≥94. 解：(1)因为|x ＋3|＋|x －1|＝|x ＋3|＋|1－x |≥|x ＋3＋1－x |＝4，所以f (x )min ＝4，即t ＝4.(2)证明：由(1)得a ＋b ＝4，故a 4＋b 4＝1，1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎫a 4＋b 4＝14＋1＋b 4a ＋a b ≥54＋2b 4a ×a b ＝54＋1＝94，当且仅当b ＝2a ，即a ＝43，b ＝83时取等号，故1a ＋4b ≥94. 3．设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0解得－12<x <12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2<14，b 2<14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0. 所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.4．(2018·广州模拟)已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，x ＋y ＋z ＝3.(1)求1x ＋1y ＋1z的最小值； (2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2<9.解：(1)因为x ＋y ＋z ≥33xyz >0，1x ＋1y ＋1z ≥33xyz>0，所以(x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＋1y ＋1z 取得最小值3.(2)证明：x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2＋(x 2＋y 2)＋(y 2＋z 2)＋(z 2＋x 2)3≥x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )3＝(x ＋y ＋z )23＝3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立．又因为x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )<0，所以3≤x 2＋y 2＋z 2<9.5．(2018·安徽百所重点高中模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|2x ＋a |＋2⎪⎪⎪⎪x －b 2＋1的最小值为2.(1)求a ＋b 的值；(2)求证：a ＋log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥3－b .解：(1)因为f (x )＝|2x ＋a |＋|2x －b |＋1≥|2x ＋a －(2x －b )|＋1＝|a ＋b |＋1，当且仅当(2x ＋a )(2x －b )≤0时，等号成立，又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋1＝2，所以a ＋b ＝1.(2)由(1)知，a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝1＋4＋b a ＋4a b≥5＋2 b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b 且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取等号．所以log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥log 39＝2，所以a ＋b ＋log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥1＋2＝3，即a ＋log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥3－b .6．(2018·长沙模拟)设α，β，γ均为实数．(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.证明：(1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|； |sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|，而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥cos 0＝1.7．(2018·安徽安师大附中、马鞍山二中阶段测试)已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式：f (x )＋f (x ＋1)≤2；(2)若a <0，求证：f (ax )－af (x )≥f (2a )．解：(1)由题意，得f (x )＋f (x ＋1)＝|x －1|＋|x －2|.因此只要解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1；当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1<x ≤2；当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤52. 综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52. (2)证明：由题意得f (ax )－af (x )＝|ax －2|－a |x －2|＝|ax －2|＋|2a －ax |≥|ax －2＋2a －ax |＝|2a －2|＝f (2a )，所以f (ax )－af (x )≥f (2a )成立．8．(2018·重庆模拟)设a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12； (2)a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥2.证明：(1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12. (2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bc a ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋c ⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．。

2021届高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲学案理含解析.doc

选修4-5 不等式选讲[最新考纲][考情分析][核心素养] 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|a＋b|≤|a|＋|b|；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.1.绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，与绝对值相关的参数问题是2021年高考考查的热点，题型为解答题，分值为10分.2.综合法、分析法、比较法证明不等式是2021年高考考查的热点，题型为解答题，分值为10分.1.逻辑推理2.数学运算‖知识梳理‖1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|1|a|＋|b|，当且仅当2ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，3|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当4(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0 |x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x∈R|x≠0}R①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． ►常用结论如果把实数a ，b 改为向量也成立，即|a ＋b |≤|a |＋|b |，这里|a ＋b |，|a|，|b|均为向量的模，当且仅当a 与b 方向相同或至少有一个向量为零时等号成立．3．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥立．4．比较法(1)比差法的依据是：a －b >0号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B >0，只需证AB ≥1.5．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的15推理、论证而得出命题(2)已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√二、走进教材2．(选修4－5P20T7改编)不等式3≤|5－2x|<9的解集为()A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7]C．(－2，－1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7)答案：D3．(选修4－5P20T8改编)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为________．答案：(－∞，4)三、易错自纠4．设a，b为满足ab<0的实数，那么()A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|解析：选B∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.5．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：∵|x－1|≤1，|y－2|≤1，∴－1≤x－1≤1，－1≤y－2≤1，∴|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤1＋2＋2＝5.答案：56．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，∴要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2，4]考点一绝对值不等式的解法【例1】(2019年全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0；当1≤x <2时，f (x )＝2(x －1)≥0；当x ≥2时，f (x )＝2x 2－4x ＋2>0，所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)． (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0，所以，a 的取值范围是[1，＋∞)． ►名师点津解绝对值不等式的常用方法基本性质法对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a平方法两边平方去掉绝对值符号零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解|跟踪训练|1．(2020届贵阳摸底)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )≥a －(x －7)2在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x ≤－1，6，－1＜x ≤5，2x －4，x ＞5，当x ≤－1时，由－2x ＋4≤10得－3≤x ≤－1；当－1＜x ≤5时，f (x )＝6＜10恒成立，则－1＜x ≤5；当x ＞5时，由2x －4≤10得5＜x ≤7.综上可得，不等式f (x )≤10的解集为{x |－3≤x ≤7}．(2)设g (x )＝a －(x －7)2，则g (x )的图象是以x ＝7为对称轴的抛物线，如图所示，在同一坐标系中作出f (x )的图象．“关于x 的不等式f (x )≥a －(x －7)2在R 上恒成立”等价于2x －4≥a －(x －7)2在(5，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2－12x ＋45在(5，＋∞)上恒成立，令φ(x )＝x 2－12x ＋45＝(x －6)2＋9，当x ＝6时，φ(x )min ＝9，经检验，y ＝2x －4恰为y ＝a －(x －7)2在(6，8)处的切线，∴a ≤9.考点二不等式的证明——多维探究不等式的证明是考查热点，归纳起来常见的命题角度有：(1)用比较法证明不等式；(2)用综合法证明不等式；(3)用分析法证明不等式．●命题角度一用比较法证明不等式【例2】设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． [证明] ∵a ，b 是非负实数，∴a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )[(a )5－(b )5]．当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，所以(a －b )[(a )5－(b )5]≥0；当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5，所以(a －b )[(a )5－(b )5]>0. 故a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． ►名师点津作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断差的正负．作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第(3)步要判断商与1的大小．●命题角度二用综合法证明不等式【例3】 (2019年全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，且abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c ，所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有 (a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3 ＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24，所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. ►名师点津1．综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．2．综合法证明时常用的不等式 (1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ； a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.●命题角度三用分析法证明不等式【例4】已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )>f (a )－f (－b )． [解] (1)由题意，知|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1； ②当－1<x <－12时，不等式可化为x ＋1<－2x －2，即x <－1，此时不等式无解；③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1.综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以要证f (ab )>f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab ＋1|2>|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1>0，即证(a 2－1)(b 2－1)>0.因为a ，b ∈M ，所以a 2>1，b 2>1，所以(a 2－1)(b 2－1)>0成立，所以原不等式成立． ►名师点津1．分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2＋b 2≥2ab )、基本不等式(ab ≤a ＋b2，a >0，b >0)没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．用分析法求证“若A 则B ”这个命题的模式为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… …只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 为真．|跟踪训练|2．(2020届石家庄摸底)(1)已知a ，b ，c 均为正实数，a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c ≥9；(2)已知a ，b ，c 均为正实数，abc ＝1，证明：a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.证明：(1)1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝b a ＋c a ＋1＋a b ＋c b ＋1＋a c ＋b c ＋1＝b a ＋ab ＋b c ＋c b ＋a c ＋ca＋3≥2b a ×a b＋2b c ×c b＋2a c ×ca＋3＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． (2)因为1a ＋1b ＋1c ＝121a ＋1b ＋1a ＋1c ＋1b ＋1c ≥12×⎝⎛⎭⎫21ab＋21ac＋21bc ，又abc ＝1，所以1ab ＝c ，1ac ＝b ，1bc ＝a ，所以1a ＋1b ＋1c ≥c ＋b ＋a ，当且仅当a ＝b ＝c时等号成立．考点三绝对值不等式的综合应用【例5】 (2020届湖北部分重点中学联考)已知a ，b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)求使得f (x )＞2成立的x 的取值集合M ；(2)求证：当x ∈∁R M 时，|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a ，b 都成立． [解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤1，1，1＜x ＜2，2x －3，x ≥2，由f (x )＞2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －3＞2，解得x ＜12或x ＞52. 所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，即M ＝⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.(2)证明：因为M ＝⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，所以当x ∈∁R M 时，f (x )≤2，即f (x )max ＝2. 因为|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )，a ≠0，所以|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，所以|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )在x ∈∁R M 时恒成立． ►名师点津1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ； f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .|跟踪训练|3．(2019届湘东五校联考)已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x ＋1|. (1)当m ＝5时，求不等式f (x )>2的解集；(2)若二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5＋2x ，x <－1，3，－1≤x ≤1，5－2x ，x >1，由f (x )>2，得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，5＋2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，3>2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，5－2x >2，解得－32<x <32.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <32.(2)因为y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，所以该函数在x ＝－1处取得最小值2.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2x ，x <－1，m －2，－1≤x ≤1，m －2x ，x >1在x ＝－1处取得最大值m －2，所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，即m ≥4.故实数m 的取值范围为{m |m ≥4}．。

【创新设计】高考数学一轮总复习选修4-5 不等式选讲(22张ppt)课件理湘教版

考向一含绝对值不等式的解法
【例1】►设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值．
－x－5
x＜－12，
解 (1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝3x－3 －12≤x＜4，
x＋5 x≥4.
当 x＜－12时，由 f(x)＝－x－5＞2 得，x＜－7.∴x＜－7；
解得 5＜b＜7.
答案 (5,7)
5．(2012·陕西)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案 [－2,4]
－1，x≥－12，
所以|h(x)|≤1，因此k≥1. 故k的取值范围是[1，＋∞)．
(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法． (2)f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a；f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
【训练3】 (2012·辽宁)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3 的解集为{x|－2≤x≤1}．
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围是[－3,0]．
考向二绝对值不等式的证明
所以aa－＋33＝＝－ 5，1，解得 a＝2.

全国版高考数学一轮复习选修4-5不等式选讲课件理

式,求出解集;
④取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集.
考点1 绝对值不等式
几何法(利
用|x-a|的
几何意义)
由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与
a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-
b|≤c(c>0)或|x-a|-|x-b|≥c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何
高考对这部分内容的考查一直比较稳定,预计2022年高考还
会延续此前的命题特点.
考点1 绝对值不等式
考点帮·必备知识通关
考点2 不等式的证明
考点3 柯西不等式
考点1 绝对值不等式
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集:
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{-a<x<a}
干个不等式解集的并集,而不是交集.
考点1 绝对值不等式
(4)|f(x)|>g(x),|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法:
①|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x);
②|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).
2.绝对值三角不等式
定理1
如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
意义求解更直观.
数形结合通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正
法
确求出函数的零点并画出函数图象是解题的关键.

高考数学一轮复习不等式选讲课件理a选修45a高三选修45数学课件

解析答案
[解] (1)当 a＝1 时，f(x)＝|x－1|＋|x－3|≥|x－1－x＋3|＝2， ∴f(x)的最小值为 2，当且仅当 1≤x≤3 时取得最小值． (2)∵x∈R 时，恒有|x－a|＋|x－3|≥|(x－a)－(x－3)|＝|3－a|，又不等式 f(x)≤3 的解集非空， ∴|3－a|≤3，∴0≤a≤6.∴a 的取值范围为[0,6]．
12/13/2021
第二页，共四十九页。
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课前·知识全通 (zhī shi)
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02 课堂(kètáng)·题型全突破
03 真题·自主验效果
12/13/2021
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课前知识全通关
12/13/2021
第四页，共四十九页。
1．绝对值不等式的解集
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法：
第七页，共四十九页。
4．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ _(a_c_＋__b_d_)_2 _(当且仅当 ad＝bc 时，等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设 α，β 是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当 α 或 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ(α，β 为非零向量)时，等号成立． (3)柯西不等式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则 x1－x22＋y1－y22＋ x2－x32＋y2－y32≥ x1－x32＋y1－y32. (4)柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当 bi＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．

高考数学一轮复习不等式选讲课件文北师大版选修4_5

定理
4:若
a1,a2,…,an
为
n
个正数,则��1
+��2
+…+��
≥
��
��1��2…�� ,当
且仅当 a1=a2=…=a理双基自测自测点评
12345
4.柯西不等式
(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当
关闭
5
解析答案
知识梳理双基自测自测点评
12345
5.已知x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围
为
.
由 |��| + |��-1| ≥ 1, |��| + |��-1| ≥ 1,
可知|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2.
12345
4.已知 a,b,m,n∈R,且 a2+b2=5,ma+nb=5,则 ��2 + ��2的最小值
为
.
关闭
由柯西不等式可知(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2,即 5(m2+n2)≥25,当且仅当 an=bm 时,等号成立,故 ��2 + ��2 ≥ 5.
ad=bc时,等号成立. (2)设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则(��12 + ��22+…+��2�� )(��12 +

高考数学一轮总复习不等式选讲课堂过关理(选修45)

选修4－5 不等式选讲第1课时绝对值不等式(对应学生用书(理)197～198页)含有绝对值的不等式的解法．① 理解绝对值的几何意义. ② 会解绝对值不等式：|ax ＋b|≤c，|ax ＋b|≥c.③ 了解绝对值不等式：|x －c|＋|x －b|≥a 的解法．1. 解不等式：|x ＋1|>3.解：由|x ＋1|＞3得x ＋1＜－3或x ＋1＞3，解得x ＜－4或x ＞2.所以解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．2. 解不等式：3≤|5－2x|<9.解：⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9|2x －5|≥3⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<92x －5≥3或2x －5≤－3⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<7，x ≥4或x≤1，得解集为(－2，1]∪[4，7)． 3. 已知|x －a|<b(a 、b∈R )的解集为{x|2<x<4}, 求a －b 的值．解：由|x －a|<b ，得a －b<x<a ＋b.又|x －a|<b(a 、b∈R )的解集为{x|2<x<4}，所以a －b ＝2.4. 解不等式：|2x －1|－|x －2|<0. 解：原不等式等价于不等式组 ① ⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，2x －1－（x －2）＜0，无解； ② ⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ＜2，2x －1＋（x －2）＜0，解得12<x<1；③ ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－（2x －1）＋（x －2）＜0，解得－1＜x≤12.综上得－1＜x ＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x ＜1}．5. 若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|<a ，求实数a 的取值范围．解：由绝对值不等式的性质知，|x －4|＋|x －3|≥|(x－4)－(x －3)|＝1，所以函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1.因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是(1，＋∞)．1. 不等式的基本性质① a>b b<a ；② a>b，b>c a>c ；③ a>b a ＋c>b ＋c ；④ a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc；⑤ a>b>0a n>b n(n∈N，且n>1)；⑥ a>b>0na>nb(n∈N，且n>1)．2. 含有绝对值的不等式的解法① |f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<－a；② |f(x)|<a(a>0)－a<f(x)<a.3. 含有绝对值的不等式的性质① |a|＋|b|≥|a＋b|；② |a|－|b|≤|a＋b|；③ |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.[备课札记]题型1 含绝对值不等式的解法 , 1) 解不等式：|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解： ① 当x<－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得x<10，∴ x<－3.② 当－3≤x<12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x)<x 2＋1，解得x<－25，∴ －3≤x<－25.③ 当x≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x>2，∴ x>2.综上可知，原不等式的解集为{x|x<－25或x>2}．备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|.(1) 当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2) 若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．解：(1) 当a ＝－3时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f (x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x －5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}． (2) f(x)≤|x－4||x －4|－|x －2|≥|x＋a|. 当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a| 4－x －(2－x)≥|x＋a| －2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3，0]．题型2 含绝对值不等式性质的运用, 2) (2014·苏锡常镇一模)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)．变式训练已知函数f(x)＝|x －a|.(1) 若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a 的值； (2) 在(1)的条件下，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 由f(x)≤3得|x －a|≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2) 当a ＝2时，f(x)＝|x －2|，设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)，于是g(x)＝|x －2|＋|x ＋3|≥|(2－x)＋(x ＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x ＋3)≥0即当－3≤x ≤2时等号成立．所以实数m 的取值范围是{m|m≤5}．题型3 含绝对值不等式综合运用, 3) 设函数f(x)＝|x －a|＋3x ，其中a ＞0.(1) 当a ＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2) 若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a 的值．解：(1) 当a ＝1时，f (x)≥3x＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1，故不等式f(x)≥3x ＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2) 由f(x)≤0得|x －a|＋3x≤0，此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥a，x －a ＋3x≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x≤a a －x ＋3x≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥a，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x≤a，x ≤－a 2.因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≤－a 2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.变式训练已知f(x)＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f(a)－f(b)|<|a －b|.证明：∵ |f(a)－f(b)|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b||a ＋b|1＋a 2＋1＋b 2，又|a ＋b|≤|a|＋|b|＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴ |a ＋b|1＋a 2＋1＋b2<1. ∵ a ≠b ，∴ |a －b|>0.∴ |f(a)－f(b)|<|a －b|.1. 若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，求实数a 的取值范围．解：因为|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8，所以要使不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则a≤8，即实数a 的取值范围是(－∞，8]．2. 在实数范围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集．解：由||x －2|－1|≤1，得－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，即－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4，所以原不等式的解集为[0，4]．3. (2014·南京、盐城一模)已知x 、y∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14，求证：|x ＋5y|≤1.证明：因为|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|. 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|≤|3(x ＋y)|＋|2(x －y)|＝3|x＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y|≤1.4. 设不等式|x －2|<a(a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12A.(1) 求a 的值；(2) 求函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值．解：(1) 因为32∈A ，且12A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32. 因为a∈N *，所以a ＝1.(2) 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x≤2时取等号，所以f(x)的最小值为3.1. 解不等式：|x －1|>2x.解：当x<0时，原不等式成立；当x≥1时，原不等式等价于x(x －1)>2，解得x>2或x<－1，所以x>2；当0<x<1时，原不等式等价于x(1－x)>2，这个不等式无解．综上，原不等式的解集是{x|x<0或x>2}．2. 若不等式|3x －b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b 的取值范围．解：由|3x －b|＜4，得－4＜3x －b ＜4，即b －43＜x ＜b ＋43.因为解集中整数有且只有1，2，3，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43＜1，3＜b ＋43≤4，解得⎩⎪⎨⎪⎧4≤b＜7，5＜b≤8，所以5＜b ＜7.3. 设函数f(x)＝|2x －a|＋5x ，其中a>0.(1) 若a ＝3时，求不等式f(x)≥5x＋1的解集；(2) 若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a 的值．解：(1) 当a ＝3时，不等式f(x)≥5x＋1可化为 |2x －3|≥1.由此可得x≥2或x≤1，故不等式f(x)≥5x＋1的解集为{x|x≤1，或x≥2}．(2) 由f(x)≤0得|2x －a|＋5x≤0，此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，2x －a ＋5x≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x<a 2，－（2x －a ）＋5x≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，x ≤a 7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a 2，x ≤－a 3.因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a 3}．由题设可得－a3＝－1，故a ＝3.4. 已知函数f(x)＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a)． (1) 当a ＝2时，求函数f(x)的最小值；(2) 当函数f(x)的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a>0，即|x －1|＋|x －5|>a.(1) 当a ＝2时，f(x)＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g(x)＝|x －1|＋|x －5|，则g(x)＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －6，x ≥5，4，1＜x ＜5，6－2x ，x ≤1，g(x)min＝4，f(x)min＝log2(4－2)＝1.(2) 由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4，|x－1|＋|x－5|－a>0，∴ a<4.∴ a的取值范围是(－∞，4)．1. |ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1) |ax＋b|≤c－c≤ax＋b≤c；(2) |ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.2. |x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法方法1：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法2：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法3：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．请使用课时训练(A)第1课时(见活页)．[备课札记]第2课时不等式证明的基本方法(对应学生用书(理)199～202页)证明不等式的基本方法．① 了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法，数学归纳法，放缩法. ②能用比较法，综合法，分析法证明简单的不等式．1. 设a、b∈R＋，试比较a＋b2与a＋b的大小．解：∵ (a＋b)2－⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝（a－b）22≥0，∴a＋b≥a＋b2.2. 若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值．解：(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即a＋b＋c的最大值为 3.3. 已知关于x的不等式x＋4x－a≥3，在x∈(a，＋∞)上恒成立，求实数a的最小值．解：∵ x＋4x－a＝x－a＋4x－a＋a≥24＋a＝4＋a，∴ a＋4≥3，∴ a≥－1.∴ 实数a 的最小值为－1.4. (2014·南通二模)已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R.求证：⎝⎛⎭⎪⎫ax＋byx＋y2≤a2x＋b2yx＋y.证明：因为x＞0，y＞0，所以x＋y＞0，所以要证⎝⎛⎭⎪⎫ax＋byx＋y2≤a2x＋b2yx＋y，即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)．即证xy(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故⎝⎛⎭⎪⎫ax＋byx＋y2≤a2x＋b2yx＋y.5. 用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n>12(n>1，n∈N*)的过程中，用n＝k ＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果是A，求代数式A.解：当n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k，n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1（k＋1）＋（k＋1），故左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1，即A＝1（2k＋1）（2k＋2）.1. 不等式证明的常用方法(1) 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．(2) 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式．(3) 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”．2. 不等式证明的其他方法和技巧 (1) 反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．(2) 放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C 1≥C 2≥…≥C n≥B ，利用传递性达到证明的目的．(3) 数学归纳法3. 柯西不等式的二维形式(1) 柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立)．(2) 柯西不等式的向量形式：设α、β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.(3) 三角形不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2. 4. 柯西不等式的一般形式设n 为大于1的自然数，a i ，b i (i ＝1，2，…，n)为任意实数，则∑ni ＝1a 2i ∑n i ＝1b 2i ≥(∑ni ＝1a ib i )2，其中等号当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n时成立(当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1，2，…，n)．5. 算术—几何平均不等式a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (a 1，a 2，…，a n ∈R ＋)．题型1 用比较法证明不等式, 1) 求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.证明：∵ (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b)2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0. ∴ a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1. 备选变式（教师专享）(2014·常州期末)已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1] ＝(1－y)(xy －1)(x －1)， ∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而，左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.题型2 用分析法、综合法证明不等式, 2) 已知x 、y 、z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .证明：(证法1：综合法)因为x 、y 、z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z .同理可得yzx＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.(证法2：分析法)因为x 、y 、z 均为正数，要证x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .只要证x 2＋y 2＋z2xyz≥yz ＋zx ＋xy xyz ，只要证x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy ，只要证(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0，而(x －y)2＋(y －z)2＋(z －x)2≥0显然成立，所以原不等式成立．变式训练已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a＋2，只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，即证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2，即证a 2＋1a2≥2，此式显然成立．∴ 原不等式成立．题型3 均值不等式与柯西不等式的应用, 3) (2014·泰州期末)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1，∴ abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．(2) 柯西不等式a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．变式训练若实数x 、y 、z 满足x ＋2y ＋3z ＝a(a 为常数)，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：∵ (12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x＋2y ＋3z)2＝a 2，即14(x 2＋y 2＋z 2)≥a 2，∴ x 2＋y 2＋z 2≥a 214，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为a 214.备选变式（教师专享）(2014·无锡期末)已知a 、b 、c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a 、b 、c 的值．解：∵ a ＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a 、b 、c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2，等号成立． 1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027., 4) 求函数y ＝1－x ＋4＋2x 的最大值．解：∵y 2＝(1－x ＋2·2＋x)2≤[12＋(2)2](1－x ＋2＋x)＝3×3，∴ y ≤3，当且仅当11－x ＝22＋x时取“＝”号，即当x ＝0时，y max ＝3.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1) 求m 的值；(2) 若a 、b 、c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9.解：(1) 因为f(x ＋2)＝m －|x|，f(x ＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m 有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(2) 证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又a 、b 、c∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a＋2b ＋3c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.1. (2014·南京二模)已知a 、b 、c∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．解：由柯西不等式，得[a 2＋(2b)2＋(3c)2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(a ＋b ＋c)2.因为a 2＋2b 2＋3c 2＝6，所以(a ＋b ＋c)2≤11，即－11≤a ＋b ＋c≤11.故a ＋b ＋c 的最大值为11，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝61111.2. 设x 、y 、z∈R ，且满足x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值．解：由柯西不等式可知(x ＋2y ＋3z)2＝14≤(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)，因为x 2＋y 2＋z 2＝1，所以当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．此时y ＝2x ，z ＝3x 代入x ＋2y ＋3z ＝14得x ＝1414，即 y ＝21414，z ＝31414，所以x ＋y ＋z ＝3147.3. 已知a≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.证明：∵ 2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b＝(2a 3－2ab 2)＋(a 2b －b 3)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a ＋b)(a －b)(2a ＋b)，又a≥b>0，∴ a ＋b>0，a －b≥0，2a ＋b≥0， ∴ (a ＋b)(a －b)(2a ＋b)≥0，∴ 2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，∴ 2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.4. (2014·南京、盐城期末)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. 证明：因为x 1、x 2、x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取等号．所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.1. (2014·江苏)已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥9xy. 证明：因为x>0，y>0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0， 1＋x 2＋y≥33x 2y>0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥33xy 2·33x 2y ＝9xy.2. 已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1) 求m 的值；(2) 若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9.解：(1) ∵ f(x＋2)＝m －|x|≥0，∴ |x|≤m ， ∴ m ≥0，－m≤x≤m，∴ f(x ＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m ＝1.(2) 由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，a 、b 、c∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥(a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c)2＝9.3. 已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1(1) 若2x 2＋3y 2＋6z 2＝1，求x ，y ，z 的值．(2) 若2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立，求正数t 的取值范围．解：(1) ∵ (2x 2＋3y 2＋6z 2)(12＋13＋16)≥(x＋y ＋z)2＝1，当且仅当2x 12＝3y 13＝6z 16时取“＝”．∴ 2x ＝3y ＝6z. ∵ x ＋y ＋z ＝1，∴ x ＝12，y ＝13，z ＝16.(2) ∵ (2x 2＋3y 2＋tz 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1t ≥(x ＋y ＋z)2＝1，∴ (2x 2＋3y 2＋tz 2)min ＝156＋1t.∵ 2x 2＋3y 2＋tz 2≥1恒成立，∴ 156＋1t ≥1. ∴ t ≥6.4. (2014·苏锡常镇二模)已知不等式|a －2|≤x 2＋2y 2＋3z 2对满足x ＋y ＋z ＝1的一切实数x 、y 、z 都成立，求实数a 的取值范围．解：由柯西不等式，得[x 2＋(2y)2＋(3z)2][12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132]≥(x＋y ＋z)2.所以x 2＋2y 2＋3z 2≥611.当且仅当x 1＝2y 12＝3z13时取等号，即x ＝611，y ＝311，z ＝211取等号．则|a －2|≤611.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1611，2811.1. 算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，n>1且n∈N *，则a 1＋a 2＋…＋a n n 叫做这n 个正数的算术平均数，na 1a 2…a n 叫做这n 个正数的几何平均数．基本不等式：(n∈N*，a i∈R＋，1≤i≤n)．2. 绝对值三角形不等式若a、b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.推论1：|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.推论2：如果a、b、c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3. 柯西不等式若a、b、c、d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.4. 三角不等式设x1、y1、x2、y2∈R，则x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]。

2020高考数学一轮复习不等式选讲教案理选修4-5

2020高考数学（理）一轮复习教案：选修4-5不等式选讲【2020年高考会这样考】 1．考查含绝对值不等式的解法． 2．考查有关不等式的证明． 3．利用不等式的性质求最值．【复习指导】本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.基础梳理1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(错误!2i )(错误!2i )≥(错误!i b i )2，当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝k b i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．5．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．双基自测1．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为________．答案 (－4，－2)∪(0,2)2．不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________．解析令：f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4＜x ≤8，－4，x ＞8，当x ≤4时，f (x )＝4＞2；当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5， ∴4＜x ＜5；当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立．故原不等式的解集为：{x |x ＜5}．答案 {x |x ＜5}3．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________．解析 ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1. 答案 k ＜14．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．解析由|3x －b |＜4，得b －43＜x ＜b ＋43，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43＜1，3＜b ＋43≤4，解得5＜b ＜7.答案 (5,7)5．(2020·南京模拟)如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是________．解析在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3.答案 (－∞，－5]∪[－3，＋∞)考向一含绝对值不等式的解法【例1】►设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．[审题视点] 第(1)问：采用分段函数解不等式；第(2)问：画出函数f (x )的图象可求f (x )的最小值．解 (1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－12，3x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4，x ＋5 x ≥4.当x ＜－12时，由f (x )＝－x －5＞2得，x ＜－7.∴x ＜－7；当－12≤x ＜4时，由f (x )＝3x －3＞2，得x ＞53，∴53＜x ＜4；当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5＞2，得x ＞－3，∴x ≥4.故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53. (2)画出f (x )的图象如图： ∴f (x )min ＝－92.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．【训练1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ， x ＜－1，2，－1≤x ≤1，2x ， x ＞1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －a ＋1， x ≥1，f (x )的最小值为1－a .若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1＜x ＜a ，2x －a ＋1，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2， ∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．考向二不等式的证明【例2】►证明下列不等式：(1)设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2； (2)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc ； (3)a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2.[审题视点] (1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不等式．证明 (1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2(a －b ) ＝(a －b )(3a 2－2b 2)．∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2＞0. ∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0. ∴3a 2＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. (2)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ，a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ，4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ， ∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc . (3)a 6＋8b 6＋127c 6≥3 3827a 6b 6c 6＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2，∴a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2.(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤是：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．【训练2】 (2020·辽宁)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明法一因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得，a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．法二因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥6 3.③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值【例3】►已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． [审题视点] 先将(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)平方后利用基本不等式；还可以利用柯西不等式求解．解法一利用基本不等式∵(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2＝(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋23a ＋1·3b ＋1＋23b ＋1·3c ＋1＋23a ＋1·3c ＋1≤(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋[(3a ＋1)＋(3b ＋1)]＋[(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＋[(3a ＋1)＋(3c ＋1)] ＝3[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2. 法二利用柯西不等式 ∵(12＋12＋12)[(3a ＋1)2＋(3b ＋1)2＋(3c ＋1)2]≥(1·3a ＋1＋1·3b ＋1＋1·3c ＋1)2∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]．又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2.当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1时，等号成立． ∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2.利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立．【训练3】已知a ＋b ＋c ＝1，m ＝a 2＋b 2＋c 2，求m 的最小值．解法一 ∵a ＋b ＋c ＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1，又∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc ，∴1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤3(a 2＋b 2＋c 2)． ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号，∴m min ＝13.法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)≥(1·a ＋1·b ＋1·c )＝a ＋b ＋c ＝1. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．∴m min ＝13如何求解含绝对值不等式的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对《不等式选讲》的考查难度要求有所降低，重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为填空题或解答题．【示例】► (本题满分10分)(2020·新课标全国)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．第(2)问解不等式|x －a |＋3x ≤0的解集，结果用a 表示，再由{x |x ≤－1}求a .[解答示范] (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1. (3分)故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(5分) (2)由f (x )≤0得，|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.(8分)因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.(10分)本题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档题．解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．【试一试】 (2020·辽宁)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．[尝试解答] (1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}.。

高考数学统考一轮复习选修4-5 不等式选讲(教师文档)教案文北师大版

学习资料选修4－5 不等式选讲授课提示：对应学生用书第204页［基础梳理]1．绝对值三角不等式(1）定理1：如果a,b是实数，则|a＋b｜≤｜a|＋｜b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)定理2：如果a,b，c是实数,那么｜a－c｜≤｜a－b|＋｜b－c｜，当且仅当(a－b）（b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解集（1不等式a>0a＝0a〈0|x|〈a ｛x|－a〈x〈a}∅∅|x|>a ｛x|x〉a或x〈－a}｛x∈R|x≠0｝R（2）｜ax①|ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c;②｜ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．3．基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a,b>0，那么错误!≥错误!,当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于（即大于或等于）它们的几何平均．定理3：如果a，b,c全为正实数，那么错误!≥错误!，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．4．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2)（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，等号当且仅当ad＝bc时成立．1．一组重要关系｜a＋b|与|a|－｜b|,|a－b｜与｜a|－｜b｜,|a|＋|b｜之间的关系:（1)|a＋b|≥|a｜－|b｜，当且仅当a＞－b＞0时,等号成立．（2）｜a|－|b｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋|b|,当且仅当|a|≥｜b｜且ab≥0时，左边等号成立,当且仅当ab≤0时，右边等号成立．2．两个等价关系(1)|x|＜a⇔－a＜x＜a(a＞0）．(2)｜x｜＞a⇔x＜－a或x＞a(a＞0）．3．一个关键解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．4．一个口诀解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间,逐个解，并起来．"[四基自测］1．(基础点：解绝对值不等式)不等式｜x－1|〈1的解集为（）A．（1,2)B．(0,2）C．(－1，1）D．（0，1)答案：B2．（基础点：绝对值不等式的等价转化)不等式｜x＋1｜〉｜x－1｜的解集为________．答案：（0,＋∞）3．（基础点：绝对值不等式的意义)若关于x的不等式｜ax－2|＜3的解集为错误!，则a＝________．答案：－3授课提示：对应学生用书第204页考点一解绝对值不等式[例]（2019·高考全国卷Ⅱ）已知f（x)＝｜x－a｜x＋|x－2｜（x－a)．（1）当a＝1时，求不等式f(x）<0的解集；（2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．［解析]（1）当a＝1时,f(x）＝|x－1|x＋｜x－2|(x－1)．当x＜1时，f（x）＝－2（x－1）2＜0；当x≥1时,f（x)≥0.所以，不等式f(x）＜0的解集为（－∞，1)．(2）因为f(a）＝0，所以a≥1。

高考数学一轮复习不等式选讲教学案理新人教A版选修4

选修4—5 不等式选讲考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式． (1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c .3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．1．含____________的不等式叫做绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x，－f x ，f x 去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|ax ＋b |≤c (c ＞0)⇔________； |ax ＋b |≥c (c ＞0)⇔__________.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数．．．，再平方，从而去掉绝对值符号．3．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当______时，等号成立． 4．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．5．|x －a |的几何意义：数轴上表示数x 与a 的两点间的______．6．形如|x －a |＋|x －b |≥c (a ≠b )与|x －a |＋|x －b |≤c (a ≠b )的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义； (2)零点分区间讨论法；(3)构造分段函数，结合函数图象求解．7．重要绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤________. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即 |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |⇔ab ≤0；|a |－|b |＝|a ＋b |⇔b (a ＋b )≤0； |a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0；注：|a |－|b |＝|a ＋b |⇔|a |＝|a ＋b |＋|b |⇔|(a ＋b )－b |＝|a ＋b |＋|b |⇔b (a ＋b )≤0.同理可得|a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0.1．若存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5，求实数m 的取值范围．2．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)．若不等式f (x )≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，求a 的值．3．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＞|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，求实数a 的取值范围．4．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )＞2；(2)若关于x 的不等式a ＞f (x )有解，求实数a 的取值范围．一、含有一个绝对值的不等式的解法【例1】 (2012辽宁高考)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．方法提炼1．解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号．对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图象法求解．2．已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值．请做演练巩固提升3二、含有两个绝对值的不等式的解法【例2】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．方法提炼1．解含两个绝对值符号的不等式，可先将其转化为|x －a |＋|x －b |≥c 的形式，对于这种绝对值符号里是一次式的不等式，一般有三种解法，分别是“零点划分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图象法”．此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用．2．绝对值不等式|x －a |≥c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离不小于c 的点的集合；反之，绝对值|x －a |＜c (c ＞0)表示数轴上到点a 的距离小于c 的点的集合．3．“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是： (1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n 个根把数轴分为n ＋1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．请做演练巩固提升1三、利用绝对值的几何意义或含绝对值的函数图象解不等式【例3】已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|. (1)作出函数y ＝f (x )的图象； (2)解不等式|x －8|－|x －4|＞2. 方法提炼1．不等式|x －a |＋|x －b |≥c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和不小于c 的点的集合；反之，不等式|x －a |＋|x －b |＜c 表示数轴上到两个定点a ，b 的距离之和小于c 的点的集合．2．构造形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |的函数，通过去掉绝对值，将其转化成分段函数，利用其图象求解不等式，体现了函数与方程的思想．请做演练巩固提升2 四、不等式的证明【例4】已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．方法提炼1．以下绝对值不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |或|a －b |≤|a －c |＋|c －b |，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去变量求最值．2．证明不等式时应注意以下几个问题：(1)比较法通常是进行因式分解或进行配方，利用非负数的性质来进行判断．(2)综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向上的差别，一个是“由因导果”，而另一个则是“执果索因”．(3)放缩法的要求较高，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中去寻找．(4)证明不等式的方法还有反证法、换元法、单调函数法、三角代换法等，应了解每一种证明方法的基本含义和适用范围，不宜盲目追求证明的难度和一题多证，宜以达到“双基”要求为准．请做演练巩固提升4等价转化思想在解含绝对值不等式中的应用【典例】 (10分)(2012课标全国高考)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．规范解答：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}．(5分) (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．(10分)答题指导：1.本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯直接求解f (x )≤|x －4|的解集的错误，应该是利用[1,2]是其解集而将绝对值先去掉再转化为[1,2]⊆ [－2－a,2－a ]这一问题，注意不要弄反．2．等价转化思想在数学中是一重要的数学思想方法之一，应用其思想的关键是强调“等价”两字，转化的目的是使问题简单化．1．(2012陕西高考改编)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，求实数a 的取值范围．2．对于x ∈R ，求不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集． 3．设不等式|2x －1|＜1的解集为M . (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．4．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，证明13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1.参考答案基础梳理自测知识梳理1．绝对值符号2．(2)－c ≤ax ＋b ≤c ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c 3．ab ≥04．(a －b )(b －c )≥0 5．距离 7．|a |＋|b | 基础自测1．解：存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |＜5⇔(|x －3|＋|x －m |)min ＜5，即|m －3|＜5，解得－2＜m ＜8.2．解：由题意，知f (－2)＝f (3)＝5，即1＋|2＋a |＝4＋|3－a |＝5，解得a ＝2.3．解：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1＜2，即|a －2|＜1，解得1＜a ＜3.4．解：(1)原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x ≤4，(2x ＋1)＋(x －4)>2或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，(2x ＋1)－(x －4)>2.解得x ＜－7或53＜x ≤4或x ＞4.所以原不等式的解集为{x |x ＜－7或x ＞53}．(2)由题意知a ＞f (x )min ，又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≤－12，3x －3，－12<x ≤4，x ＋5，x >4.所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－92. 所以a ＞－92.考点探究突破【例1】解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.【例2】解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，(方法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32.(方法二)不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－2x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≥3.所以不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a .f (x )的最小值为a －1.所以对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．【例3】解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|＞2，即f (x )＞2，由－2x ＋12＝2得x ＝5.由函数f (x )的图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．【例4】证法一：因为a ，b ，c 均为正数，所以a 2＋b 2＋c 2≥233()abc ，①1a ＋1b ＋1c≥133()abc -，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥239()abc -.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥233()abc ＋239()abc -.又233()abc ＋239()abc -≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当233()abc ＝239()abc -时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝143时，原式等号成立．证法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab＋31bc ＋31ac≥63.③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝143时，原式等号成立．演练巩固提升1．解：由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点x 到a 点与1点的距离的和小于等于3.由图可得－2≤a ≤4.2．解：令y ＝|x ＋10|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－12， x ≤－10，2x ＋8，－10<x <2，12， x ≥2.则可画出其函数图象如图所示：由图象可以观察出使y ≥8的x 的范围为[0，＋∞)．∴|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为[0，＋∞)．3．解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1. 所以M ＝{x |0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M，得0＜a ＜1,0＜b ＜1. 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0. 故ab ＋1＞a ＋b .4．证明：因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以，⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2，即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1.。

《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)

选修4－5 不等式选讲最新考纲:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)｜a+b｜≤|a|+｜b|(a，b∈R)．(２)|a-ｂ|≤|a－c|＋|c－b｜（ａ，ｂ∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+ｂ|≤c,｜ａx+b|≥c,｜x－c|+｜x－b|≥a．3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法（1)|f(x)｜＞a(a＞0)⇔f(x）>a或f（x）<-a；(2）|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x）<a;(3)对形如｜x-ａ|+|x－b｜≤ｃ，|x-ａ｜＋|x-b|≥ｃ的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质｜a|－|b｜≤|ａ±b｜≤|a|+|b｜.问题探究:不等式｜a|－｜b|≤|a±b|≤|ａ|＋｜ｂ|中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a｜-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤０且｜a｜≥｜ｂ|；不等式|ａ|-|b|≤｜a-b|≤|a|＋|ｂ|,右侧“＝”成立的条件是ab≤０,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a｜≥|ｂ|.3．基本不等式定理１:设ａ,b∈R,则a２+ｂ2≥2ab．当且仅当ａ=b时,等号成立.定理2:如果a、b为正数，则错误!未定义书签。

≥错误!未定义书签。

,当且仅当ａ=b时，等号成立．定理3:如果a、b、ｃ为正数，则错误!未定义书签。

≥３，abc,当且仅当a =b =c 时，等号成立．定理4:(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、ａ2、…、a ｎ为n 个正数，则a １＋a 2+…＋a n ｎ≥错误!，当且仅当a 1=a 2=…=a ｎ时,等号成立. 4.柯西不等式(１)柯西不等式的代数形式:设ａ,b ,ｃ，ｄ为实数，则(a 2+b 2)·(c 2+ｄ2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时等号成立．(2)若ａi ，b ｉ(ｉ∈N *)为实数，则(错误!错误!）(错误!未定义书签。

高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲课件文新人教版

选修4—5
不等式选讲
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤
时,等号成立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤
(a-b)(b-c)≥0
时,等号成立.
5
|a|+|b|
,当且仅当_______
-22考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
对点训练2设函数f(x)=|x+1|-m|x-2|.
(1)若m=1,求函数f(x)的值域;
(2)若m=-1,求不等式f(x)>3x的解集.
解:(1)当m=1时,f(x)=|x+1|-|x-2|.
∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,即函数f(x)的值域为[-3,3].
(3)柯西不等式的向量情势:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且
仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.不等式证明的方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,即
|| + |-1| = 1,
|| + |-1| = 1.

2019版高考数学一轮复习不等式选讲课时训练选修4_52018080721

选修45 不等式选讲第1课时绝对值不等式1. 解不等式1<|x －1|<3.解：原不等式可化为1<x －1<3或－3<x －1<－1, 解得不等式的解集为(－2,0)∪(2,4)． 2. 解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4.解：当x<－1时,不等式化为－x －1＋2－x<4,解得－32<x<－1；当－1≤x≤2时,不等式化为x ＋1＋2－x<4, 得－1≤x≤2；当x>2时,不等式化为x ＋1＋x －2<4,解得2<x<52.∴ 原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 3. 解不等式|x 2－2x ＋4|>2x.解：原不等式等价于x 2－2x ＋4<－2x ①,或x 2－2x ＋4>2x ②. 解①得解集为∅,解②得解集为{x|x∈R 且x≠2}．∴ 原不等式的解集为{x|x∈R 且x≠2}．4. 解不等式x 2－|x|－2<0.解：(解法1)当x≥0时,x 2－x －2<0, 解得－1<x<2,∴ 0≤x<2；当x<0时,x 2＋x －2<0,解得－2<x<1, ∴ －2<x<0.∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．(解法2)原不等式可化为|x|2－|x|－2<0, 解得－1<|x|<2.∵ |x|≥0,∴ 0≤|x|<2,∴ －2<x<2. ∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．5. 已知满足不等式|2x ＋a|＋|x －3|≤4的x 的最大值为3,求实数a 的值．解：因为x 的最大值为3,所以x≤3,即不等式为|2x ＋a|＋3－x≤4,所以|2x ＋a|≤x＋1,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x －1≤2x＋a≤x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x ≥－a －13，x ≤1－a ，因为x 的最大值为3,所以1－a ＝3,即a ＝－2.6. 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方,求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|,由题设,得|a 2－2a|<3,解得a∈(－1,3)． 7. 已知函数f(x)＝|x|－|x －3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)≥1；(2) 若存在x 0∈R ,使得关于x 的不等式m ≤f(x 0)成立,求实数m 的取值范围．解：(1) 原不等式等价于不等式组①：⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x ＋（x －3）≥1或②：⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，x ＋（x －3）≥1或③：⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，x －x ＋3≥1.不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解不等式组③得x≥3,所以原不等式的解集为[2,＋∞)．(2) 由题意知m≤f (x)max ,因为f(x)＝|x|－|x －3|≤|x－x ＋3|＝3,所以f(x)max ＝3,所以m≤3,即m∈(－∞,3]．8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|. (1) 求f(x)的最大值；(2) |2t －1|≥f(x)恒成立,求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3, 当且仅当x≤－2时等号成立,∴ f(x)max ＝3. (2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max , 即|2t －1|≥3,2t －1≥3或2t －1≤－3, 解得t≥2 或 t≤－1,∴ 实数t 的取值范围是(－∞,－1]∪[2,＋∞)． 9. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)． (1) 当a ＝1时,求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ,求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时,得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥12,解得x≥32或x≤12,∴ 不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2) ∵ |ax－1|＋|ax －a|≥|a－1|, ∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1. ∴ a ≥2或a≤0. ∵ a>0,∴ a ≥2.∴ 实数a 的取值范围是[2,＋∞)． 10. 设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集；(2) ∀x ∈R ,f (x)≥t 2－112t,求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－12，3x －1，－12≤x<2，x ＋3，x ≥2，当x<－12时,－x －3>2,x<－5,∴ x<－5；当－12≤x<2时,3x －1>2,x>1,∴ 1<x<2；当x≥2时,x ＋3>2,x>－1,∴ x ≥2.综上所述,不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}．(2) f(x)min ＝－52,若∀x ∈R ,f (x)≥t 2－112t 恒成立,则只需f(x)min ＝－52≥t 2－11t 2,解得12≤t ≤5.即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5.11. 设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D ；(2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2},使得3x ＋2－x>a 成立,求实数a 的取值范围．解：(1) 当x≤－1时,由f(x)＝－x ＋2≤0得x≥2,所以x ∈∅；当－1<x≤12时,由f(x)＝－3x≤0得x≥0,所以0≤x≤12；当x>12时,由f(x)＝x －2≤0得x≤2,所以12<x ≤2.综上,不等式f(x)≤0的解集D ＝{x|0≤x≤2}．(2) 3x ＋2－x ＝3x ＋2－x,由柯西不等式得(3x ＋2－x)2≤(3＋1)[x ＋(2－x)]＝8,∴ 3x ＋2－x ≤22,当且仅当x ＝32时取“＝”, ∴ a 的取值范围是(－∞,22)．第2课时不等式证明的基本方法 1. 已知x≥1,y ≥1,求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1),∵ x ≥1,y ≥1,∴ 1－y≤0,xy －1≥0,x －1≥0. 从而左边－右边≤0,∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y. 2. (2017·苏州期末)已知a,b,x,y 都是正数,且a ＋b ＝1,求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 证明：因为a,b,x,y 都是正数,所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)≥ab ·2xy ＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2xy. 又a ＋b ＝1,所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 当且仅当x ＝y 时等号成立．3. 已知x,y,z ∈R ,且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142,当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33,即x ＝z ＝0,y ＝－4时,取等号,所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|,函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M. (1) 求不等式f(x)≤3的解集；(2) 若t∈M ,求证：t 2＋1≥3t＋3t.(1) 解：依题意,得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1.2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12，于是得f(x)≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3,当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时,取等号,∴M ＝[3,＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t.∵t ∈M,∴t －3≥0,t 2＋1＞0.∴（t －3）（t 2＋1）t ≥0.∴t 2＋1≥3t＋3t.5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a,b,c 为正实数,求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.证明：∵ a ,b,c 为正实数,∴ a ＋b 2a ≥2b,b ＋c 2b ≥2c,c ＋a2c ≥2a,将上面三个式子相加得a ＋b ＋c ＋b 2a ＋c 2b ＋a2c≥2a ＋2b ＋2c,∴ b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.6. 设a 1,a 2,a 3均为正数,且a 1＋a 2＋a 3＝1,求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.证明：因为a 1,a 2,a 3均为正数,且a 1＋a 2＋a 3＝1,所以1a 1＋1a 2＋1a 3＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥3(a 1a 2a 3)13·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·1a 2·1a 313＝9(当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立),所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.7. 已知正数x,y,z 满足x ＋2y ＋3z ＝1,求1x ＋2y ＋3z的最小值．解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z)＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y3z≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36, 当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立,∴ 1x ＋2y ＋3z的最小值为36. 8. 已知x ＞0,y ＞0,z ＞0且xyz ＝1,求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx. 证明：∵ x＞0,y ＞0,z ＞0,∴ x 3＋y 3＋z 3≥3xyz.同理x 3＋y 3＋1≥3xy ,y 3＋z 3＋1≥3yz ,x 3＋z 3＋1≥3xz.将以上各式相加,得3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.∵ xyz ＝1,∴ x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.9. 已知a,b,c 均为正数,且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值,并指出取得最小值时a,b,c 的值．解：∵ a＋2b ＋4c ＝3,∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a,b,c 为正数,∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2时,等式成立．∴1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210, ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10,∴ c ＝8－527,b ＝152－177,a ＝23－1027.10. 已知a ＋b ＋c ＝1,a,b,c ＞0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc,而a ＋b ＋c ＝1⇒abc ≤127,当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．(2) 由柯西不等式得a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13,由(1)知3abc ≤13,∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc,当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等号．11. 已知函数f(x)＝3x ＋6,g(x)＝14－x.若存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立,求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立, 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a. ∵ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x,由柯西不等式得,(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64, ∴ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8,当且仅当x ＝10时取等号．故实数a 的取值范围是(－∞,8)．。

高考数学一轮复习不等式选讲教学案理(含解析)新人教A版选修4-5-新人教A版高三选修4-5数学教

选修4－5 不等式选讲[考纲传真] 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R)，|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ，c ∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c .3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解法：不等式 a >0a ＝0a <0|x |<a {x |－a ＜x ＜a } ∅ ∅ |x |>a{x |x ＞a 或x ＜－a }{x ∈R|x ≠0}R①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解． 2．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，那么|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na1a2…a n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ(α，β为非零向量)时，等号成立．(3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32. (4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．5．不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时，等号成立．( )(2)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.( )(3)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )(4)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”．( )[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)A[①当x<1时，原不等式等价于1－x－(5－x)<2，即－4<2，恒成立，∴x<1.②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)<2，即x<4，∴1≤x＜4.③当x>5时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解．综合①②③知x<4.]3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.2[∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]4．(教材改编)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值X 围是________．(－∞，－3]∪[3，＋∞) [由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3，要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，只需|a |≥3，∴a ≥3或a ≤－3.]5．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．9 [∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ×a b＋2c a ×ac＋2c b ×b c＝3＋6＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．]含绝对值不等式的解法【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值X 围． [解](1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时，|ax －1|＜1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a ＞0，|ax －1|＜1的解集为0＜x ＜2a ，所以2a≥1，故0＜a ≤2.综上，a 的取值X 围为(0,2]．[规律方法] 1解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.2不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x |＋a .(1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R，使f (x )≤g (x )成立，某某数a 的取值X 围． [解](1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|2x ＋1|≥|x |. 两边平方整理，得3x 2＋4x ＋1≥0，解得x ≤－1或x ≥－13.所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞. (2)由f (x )≤g (x )，得a ≥|2x ＋1|－|x |. 令h (x )＝|2x ＋1|－|x |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ≤－12，3x ＋1，－12<x <0，x ＋1，x ≥0.由分段函数图象可知h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12，从而所某某数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.不等式的证明【例2】 (2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.[证明](1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3a ＋b24(a ＋b )＝2＋3a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[规律方法] 不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.[证明] 因为x ＞0，y ＞0，所以1＝x ＋y ≥2xy . 所以xy ≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy≥1＋8＝9.当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．应用不等式解决最值问题►考法1 利用基本不等式求最值【例3】 (2014·全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解](1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. ►考法2 与绝对值三角不等式有关的最值【例4】 (2019·某某模拟)已知f (x )＝|x －a |＋|x －3|. (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若不等式f (x )≤3的解集非空，求a 的取值X 围．[解](1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋|x －3|≥|x －1－x ＋3|＝2， ∴f (x )的最小值为2，当且仅当1≤x ≤3时取得最小值．(2)∵x ∈R 时，恒有|x －a |＋|x －3|≥|(x －a )－(x －3)|＝|3－a |，又不等式f (x )≤3的解集非空，∴|3－a |≤3，∴0≤a ≤6.∴a 的取值X 围为[0,6]．[规律方法] 绝对值三角不等式、基本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，无论运用绝对值三角不等式还是运用基本不等式时应注意等号成立的条件.已知a ＞0，b ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最小值为1.(1)求证：2a ＋b ＝2；(2)若a ＋2b ≥tab 恒成立，某某数t 的最大值．[解](1)证明：f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 2，∵|x ＋a |＋x －b2≥(x ＋a )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2＝a ＋b 2且x －b2≥0，∴f (x )≥a ＋b 2，当x ＝b 2时取等号，即f (x )的最小值为a ＋b 2，∴a ＋b2＝1，即2a ＋b ＝2. (2)∵a ＋2b ≥tab 恒成立， ∴a ＋2bab≥t 恒成立， a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )·12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋2a b ＋2b a≥12⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋22a b ·2b a ＝92，当a ＝b ＝23时，a ＋2b ab 取得最小值92，∴92≥t ，即实数t 的最大值为92.柯西不等式的应用【例5】 (2017·某某高考)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac＋bd ≤8.[证明] 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8.[规律方法](1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋...＋1a 2n ≥(1＋1＋ (1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.[证明] 由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y [(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183，∴x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32，当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．1．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．[解](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |.。

2017高考文科数学一轮复习课件：选修4-5 不等式选讲第2讲

第十二页，编辑于星期六：二十一点五十四分。
当且仅当a13＝b13＝c13，即 a＝b＝c 时，等号成立，所以a13＋b13 ＋c13 ＋ abc≥a3bc＋ abc. 而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3，当且仅当a3bc＝abc，即 abc＝ 3时，等号成立，所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
3
第十五页，编辑于星期六：二十一点五十四分。
(2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，所以ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即ab2＋bc2＋ca2≥a ＋b＋c. 所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
第十六页，编辑于星期六：二十一点五十四分。
第十七页，编辑于星期六：二十一点五十四分。
第三页，编辑于星期六：二十一点五十四分。
考点一比较法证明不等式
求证：(1)当 x∈R 时，1＋2x4≥2x3＋x2；
a＋b
(2)当 a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab) 2 . 证明： (1)法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2) ＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)＝(x－1)(2x3－x－1) ＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]
第六页，编辑于星期六：二十一点五十四分。
a＋b
1.已知 a，b∈(0，＋∞)，求证 abba≤(ab) 2 .
证明：
abbaa＋b＝
a
ab－
＋
2
ba
ba－
＋
2
b＝ba
a－b
2
.
（ab） 2
当
a＝b
时，ba
a－b
2
＝
1；

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高考数学一轮复习第十二篇系列4选讲（选修4445）第2节不等
式选讲习题理（含解析）
【选题明细表】
知识点、方法题号
绝对值不等式的解法1,2
已知不等式的解集求参数的取值范围2,4
不等式的证明方法 3
1.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
解:(1)f(x)=
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)上恒成立,因此a+b的最小值为5.
2.(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a
=|1-a|+a,
当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.(*)
当a≤1时,(*)等价于1-a+a≥3,无解.
当a>1时,(*)等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
3.(2018·西安市一模)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|+1;
(2)若对于x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求证:f(x)<1.
(1)解:不等式f(x)<|x|+1,等价于|2x-1|<|x|+1.
当x≤0,不等式可化为-2x+1<-x+1,
即x>0,不成立;
当0≤x≤,不等式可化为-2x+1<x+1,
即x>0,所以0<x≤;
当x>,不等式可化为2x-1<x+1,
即x<2,所以<x<2;
故不等式f(x)<|x|+1的解集为(0,2).
(2)证明:因为|x-y-1|≤,|2y+1|≤,
所以f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|≤|2(x-y-1)|+|2y+1|≤2×+<1.
4.(2018·吉林白山市二模)已知函数f(x)=|x-m|-1.
(1)若不等式f(x)≤2的解集为{x|-1≤x≤5},求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥t-2对一切实数x恒成立,求实数t的取值范围. 解:(1)由f(x)≤2得,|x-m|≤3,
解得m-3≤x≤m+3.
又已知不等式f(x)≤2的解集为{x|-1≤x≤5},
所以解得m=2.
(2)当m=2时,f(x)=|x-2|-1.
由于f(x)+f(x+5)≥t-2对一切实数x恒成立,
则|x-2|+|x+3|-2≥t-2对一切实数x恒成立,
即|x-2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立.
设g(x)=|x-2|+|x+3|,
于是g(x)=|x-2|+|x+3|=
所以当x<-3时,g(x)>5;当-3≤x≤2时,g(x)=5;当x>2时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为5,所以t≤5,即t的取值范围为(-∞,5].。

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