大学物理学课件10

4．振幅与初相的确定
对给定的简谐振动系统，其角频率是由振动系统本身的性 质所决定的，而其振幅A和初相φ则是由振动的初始条件所决定 的。t＝0时，物体的位移x0和速度v0称为初始条件。 当t＝0时，有： x0 A cos （1） v0 A sin 联立解得：
2 A x0 2 v0
【例10-3】在弹簧振子系统中，有一质量m＝0.01kg的物体 做简谐振动，其振幅A＝0.08m，周期T＝4s，初始时刻物体在 x0＝0.04m处向Ox轴负方向运动，求：（1）t＝1s时，物体所处 的位置和所受的力；（2）由初始位置运动到x＝－0.04m处所 需要的最短时间。
【解】先求简谐振动方程，设x＝Acos（ωt＋φ），题意可知 A＝0.08m，ω＝2π/T＝π/2（rad/s）。因t＝0时，x0＝0.06m则 0.06＝0.12cosφ φ＝±π/3 作旋转矢量如下图所示，从图中可知，φ＝π/3，故简谐振动 方程为：
1 k m 故有： T 2π 2π m k 由上式可以看出，弹簧振子的周期和频率都是由物体的质量 m和弹簧的劲度系数k所决定的，即只与振动系统本身的物理性 质有关。因此，我们将这种由振动系统本身的性质所决定的周期 和频率称为固有周期和固有频率。
3．相位与初相
在简谐振动中，物体的运动状态由物体离开平衡位置的位 移和速度共同决定。在振幅A和角频率ω都已知的情况下，物体 在某一时刻的运动状态由ωt＋φ决定，ωt＋φ称为振动的相位， 它是决定简谐振动运动状态的物理量。 当t＝0时，相位ωt＋φ＝φ，φ称为初相位，简称初相，它是 决定初始时刻振动物体运动状态的物理量。在国际单位制中， 相位的单位为弧度（rad）。
10.1.4 旋转矢量法
如右图所示，一个模为A的矢量绕O点 以恒角速度ω沿逆时针方向转动。在此矢量 转动过程中，矢量的端点M在Ox轴上的投影 点P也以O点为平衡位置不断地往返运动。 在任意时刻，投影点P在Ox轴上的位置由方程x＝Acos（ωt ＋φ）确定，因此，投影点P的运动为简谐振动，即简谐振动可 以借助于一个旋转着的矢量来表示，这个矢量称为旋转矢量。其 对应关系为：旋转矢量的模A为简谐振动的振幅；旋转矢量的转 动角速度ω为简谐振动的角频率；旋转矢量在初始时刻与Ox轴的 夹角φ为简谐振动的初相；旋转矢量在t时刻与Ox轴的夹角ωt＋φ 为简谐振动的相位；旋转矢量旋转一周所用的时间为简谐振动的 周期。
1 M mgl sin 2
当摆角θ很小时，sinθ≈θ，故 1 M mgl 2 上式中负号表示重力矩使棒产生的转动趋势始终与棒的角位 移θ反向。 d 2 1 根据转动定律可得： M Jβ J 2 m gl
dt 2
2 d 3g 2 0 因J＝ml /3，将上式整理可得： 2 2l dt
3
10.1.5 简谐振动的能量
设在任一时刻t，物体的位移和速度分别为x和v，则由式（ 10–5）和式（10–6）可得简谐振动的动能和势能分别为：
1 2 1 1 2 2 2 2 2 Ek mv m A sin （t ） kA sin （t ） 2 2 2
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 （t ） 2 2
1．振幅
在简谐振动的运动方程x＝Acos（ωt＋φ）中，由于|cos （ωt＋φ）|≤1，所以，|x|≤A。我们把做简谐振动的物体离开平衡 位置的最大距离A称为振幅，它确定了物体的振动范围。在国际 单位制中，振幅的单位为米（m）。
2．周期与频率
物体完成一次全振动所经历的时间称为周期，用T表示。 物体从位置P经原点O到达位置P′，然后返回，再经原点O回到 位置P，物体就完成了一次全振动，其所经历的时间就是一个 周期。因此，物体在任意时刻t的位移和速度，分别与时刻t＋T 的位移和速度完全相同，即
π π x 0.08cos t 3 2
（1）t＝1s时
π π x 0.08cos 1 0.069 （m） 3 2
上式表明，t＝1s时，物体所处位置为平衡位置O的负方向 0.069m处。 此时，物体受力为： 2 π 2 3 F kx m x 0.01 （ 0.069 ） 1.7 10（ N） 2 力的方向指向平衡位置。 （2）设物体由起始位置运动到x＝－0.04m处所需的最短时 间为t，则 π π 0.04 0.08cos t 3 2 t＝0.667s 若根据上图所示，可得： π t＝0.667s t
由胡克定律可知，在弹性限度内，物体受到的弹力F的大小 与其相对平衡位置的位移x成正比，即F＝－kx 上式中，负号表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向 平衡位置，因此，此力又称为回复力。 根据牛顿第二定律可知，物体的加速度为：
F k a x m m
因k和m都是正值，其比值可用一个常数ω的平方表示，即ω2 ＝k/m，故上式可写为：
令ω2＝3g/2l，则上式可写为：
d 2 2 0 2 dt
将上式与式（10–4）比较可知，来自摆角很小的情况下，细 棒在平衡位置的摆动为简谐振动。
10.1.2 描述简谐振动的物理量
振幅、周期、频率、角频率、相位及初相等都是描述简谐 振动的物理量，其中，振幅、角频率和初相三个量可以完全确 定一个简谐振动，称为简谐振动的特征量。
用相位描述物体的运动状态，还能充分体现出振动的周期 性。例如： ωt＋φ＝0时，物体位于正位移最大处，且v＝0； ωt＋φ＝π/2时，物体位于平衡位置，且向x轴负方向运动 ，v＝ωA； ωt＋φ＝π时，物体位于负位移最大处，且v＝0； ωt＋φ＝3π/2时，物体位于平衡位置，且向x轴正方向运动 ，v＝ωA； ωt＋φ＝2π时，物体位于正位移最大处，且v＝0。
上式还可写为：
2 π
上式表明，ω是频率的2π倍，表示物体在2π秒内完成的全 振动次数，故ω称为角频率或圆频率。 周期、频率和角频率都是描述物体振动快慢的物理量。在 国际单位制中，周期的单位为秒（s）；频率的单位为赫兹（Hz ）；角频率的单位为弧度每秒（rad/s）。
对弹簧振子，由于
k m
第4篇 振动与波动
第10章 机械振动
本章学习要点


简谐振动
简谐振动的合成 阻尼振动、受迫振动与共振 本章小结
10.1 简谐振动
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余 弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为简谐振 动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆 动等都可视为简谐振动。
a 2 x
上式表明，物体做简谐振动时，其加速度的大小与位移的大 小成正比，方向与位移的方向相反。这是简谐振动的运动学特征
由于加速度a＝d2x/dt2，因此，上式可写为：
d2 x 2 x0 2 dt
上式称为简谐振动的动力学方程，它是一个微分方程，其 解为： x A cos （t ） 上式称为简谐振动的运动方程（或振动方程）。将上式分别 对时间t求一阶导数和二阶导数，可得简谐振动物体的速度和加 速度分别为： dx v A sin （t ） dt
【例10-4】在水平弹簧振子中，物体的质量m＝0.025kg，弹 簧的劲度系数k＝0.4N/m，当物体在正向离平衡位置0.1m处时运 动的速率v＝0.4m/s。求：（1）系统的总能量E；（2）振幅A； （3）物体的最大速率vmax；（4）物体在A/2处具有的动能Ek和 势能Ep。
（2）通过平衡位置时，x＝0，即 0.12cos（πt－π/3）＝0 解得：
πt
π π （ 2k 1 ） 3 2
1 t k （k＝1，2，3，…） 6
第一次通过平衡位置，应取k＝1，即
t 1 1 5 0.83s 6 6
10.1.3 简谐振动曲线
由式（10–6）和式（10–7）可 知速度和加速度的最大值分别为 vmax＝ωA，amax＝ω2A。根据式（ 10–5）、式（10–6）和式（10–7） 可作出如下图所示振动曲线，分别 表示位移、速度和加速度随时间的 变化情况，可以看出，物体做简谐 振动时，其位移、速度和加速度都 是呈周期性变化的。
d2 x a 2 2 A cos （t ） dt
【例10-1】如下图所示，一质量为m、长度为l的均质细棒 悬挂在水平轴O点。开始时，棒在垂直位置OO′，处于平衡状 态。将棒拉开微小角度θ后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点 在竖直平面内来回摆动。此装置是最简单的物理摆，又称为复 摆。若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证 明在摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动。 【解】以OO′为平衡位置，设逆时针转向为θ 角正向，棒在任意时刻的角位移都可用棒与OO′ 的夹角θ表示。根据题意，棒所受的重力矩为：
x A cos （t ） A cos[（t T） ] A cos （t T）
根据余弦函数的周期性，满足上述方程的T的最小值应为ωT ＝2π，于是
T 2π

单位时间内物体所完成的全振动次数称为频率，用 表示， 显然，频率等于周期的倒数，即 1 T 2π
10.1.1 简谐振动的运动方程
如下图所示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平 面上，一端固定，另一端连一质量为m的物体。这样的系统称为 弹簧振子，它是物理学中的又一理想模型。
如上图（a）所示，弹簧处于自然长度时，物体沿水平方向 所受的合外力为零，此时物体所在的位置O点称为平衡位置。以 O点为坐标原点，以弹簧的伸长方向为x轴正向建立坐标系。 如上图（b）所示，在弹簧的弹性限度内，将物体从平衡位 置向右拉至位置P点，然后放手。物体在向左的弹力作用下，向 左加速运动。当到达平衡位置O时，物体所受的弹力为零，加速 度也为零。 但此时物体的速度不为零，由于惯性作用，物体将继续向 左运动，使弹簧被压缩，从而产生向右的弹力阻碍物体运动， 使物体向左做减速运动，直到速度为零，此时，物体到达左边 最远处P′点，如上图（c）所示。然后，物体又在向右的弹力作 用下，从P′点返回，向右加速运动。这样，物体在弹力和惯性 的作用下，在平衡位置附近的P点和P′点之间做往复运动。