点啮合齿面主动设计理论和方法

吴训成文章编号:1003-8728(2000)03-0347-03点啮合齿面主动设计理论和方法吴训成,毛世民,吴序堂(西安交通大学,西安　710049)摘　要:齿面形状对齿轮传动的性能起着决定性的作用。

现行齿轮设计技术只能在有限的几种模式中被动地选择齿面形式,这限制了齿轮传动性能的进一步提高。

本文论述了一种齿面主动设计的理论和方法,提供了详细的计算公式,并通过设计、计算,证明了该理论方法的有效性。

齿面主动设计是对现行齿轮设计技术的重大革新和完善,它能按照要求的齿轮传动性能来设计齿面,这对于高速和重载齿轮以及有特殊要求的齿轮的设计具有十分重要的意义。

关　键　词:齿轮传动;齿面;主动设计中图分类号:T H132.41 文献标识码:A 引　言齿轮传动广泛应用于各种机械产品中,其性能和质量直接影响到整机产品的技术经济指标。

在现行的齿轮设计技术中,人们只能设计齿数、模数、压力角、螺旋角和修正系数等齿轮整体参数,齿面形式(由设计齿形和设计齿线确定)只能在有限的几种模式中选择。

例如,对于圆柱齿轮,设计齿形常用的是渐开线和圆弧,设计齿线常用的是直线和圆柱旋线。

锥齿轮的齿面形式取决于加工机床。

曲线齿锥齿轮的典型加工机床有三种:格利森(Gleason)、克林根贝格(K ling elnberg)和奥里康(O erliko n)机床,对应于这三种加工机床的齿形制分别称为格利森制、克林根贝格制和奥里康制。

齿面形状对齿轮的传动性能至关重要,它不但是影响齿轮副的相对运动特性、齿面润滑性能、传动效率和承载能力的直接因素,而且也是影响齿轮副的振动、噪声和工作可靠性的主要因素。

因此,在有限的几种模式中被动地选择齿面形式显然是不科学的,这是现行齿轮设计技术的一大缺陷。

本文作者研究的基于功能需求的齿面主动设计与先进制造技术是解决这一缺陷的有效方法。

该项研究涉及的领域很广,限于论文的的篇幅,本文仅介绍点啮合齿面主动设计技术的基本内容,其它有关研究内容将另文介绍。

1　坐标系在图1中,o-xy z和o p-x p y p z p是两个固定坐标系,其中,z轴与齿轮1齿面 (1)的回转轴线重合,z p轴与齿轮2齿面 (2)的回转轴线重合,z轴与z p轴的夹角(即齿轮副的轴交角)为 ;x轴与x p轴重合并指向两齿轮轴线的最短距离线方向,其最短距离(即中心距,或偏置距)为E。

o1-图1　空间啮合齿轮副的坐标系x1y1z1是与齿轮1固连的坐标系,z1轴与z轴重合,o到o1的距离为A1;o2-x2y2z2是与齿轮2固连的坐标系,z2轴与z p轴重合,o p到o2的距离为A2。

动标o1-x1y1z1相对于定标o-x yz的转角 1以及动标o2-x2y2z2相对于定标o p-x p y p z p的转角 2符合右手规则为正,反之为负。

2　点啮合齿面主动设计原理[1,2]本文提出的点啮合齿面主动设计的基本模式为:已知齿面 (1),设计齿面 (2),使 (1)与 (2)按照给定的相对运动规律和瞬时接触椭圆尺寸沿着 (1)上指定的接触点迹线啮合传动。

齿面 (2)需要确定的参数包括:(1)对应于齿面(1)上指定的接触点迹线,齿面 (2)上的接触点迹线上各点在o2-x2y2z2坐标系中的坐标(x2,y2,z2)和单位法线矢量(n(2)x2,n(2)y2,n(2)z2),简称一阶参数;(2)齿面 (2)上的接触点迹线各点处的主曲率k(2)1和k(2)2及相应的主方向e (2)1和e (2)2,简称二阶参数。

齿面 (2)上其它各点的参数是在不发生干涉的条件下加工 (2)时自然形成的。

2.1　齿面 (1)上的接触点迹线及其单位切线矢量 (1)在图2中,o1- z1和o1-RH都是齿轮1齿面在某轴截面内的旋转投影坐标系。

在o1-R H坐标系中,R轴在齿宽方向,H轴在齿高方向。

在实际齿面的有效范围内,空间齿面上的点(x1,y1,z1)与轴截面旋转投影坐标系中的点(R,H)第19卷　第3期2000年 5月机械科学与技术M ECHA N ICAL SCIEN CE AN D T ECHN O L OG YV ol.19　N o.3M ay　2000收稿日期:19990524　基金项目:国家自然科学基金资助项目(59775009)　作者简介:吴训成(1964-),男(汉族),四川荣县人,中国一拖集团有限公司技术中心高级工程师,西安交通大学博士研究生图2　齿轮1轴截面旋转齿面坐标系是一一对应的,因此,齿面 (1)上的接触点迹线在o 1-RH 坐标系中可表示为f 1(R ,H )=0(1)同样,我们也可以在o 1- z 1坐标系中表示齿面 (1)上的接触点迹线。

齿面 (1)上的接触点迹线的单位切线矢量 (1)为(1)=(d r(1)/d u )/ d r(1)/d u (2)式中d r (1)d u =( x 1 u + x 1 d du )i1+ (y 1 u + y 1 d du )j1+ (z 1 u + z 1 d d u )k1(3)其中,u 和 是齿面 (1)的两个参数。

d /d u =-( f 1/ u )/( f 1/ )(4)f 1/ u =( f 1/ R ) ( R / u )+( f 1/ H ) ( H / u )(5a) f 1/ =( f 1/ R ) ( R / )+( f 1/ H ) ( H / )(5b)2.2　齿面 (2)的一阶参数在齿面 (1)上确定一个设计基准点M ,齿面 (1)和 (2)在该点啮合时,齿轮副的传动比为名义值i *12。

以设计基准点为啮合起始位置,则相对运动规律可用转角函数表达为1= 10+i *12 2+c 2 22+c 3 32+…+c n n2(6)式中, 10是在啮合起始位置 2=0时,齿轮1的初始转角;i *12=±z 2/z 1,z 1和z 2分别是齿轮1和齿轮2的齿数;系数项c i (i =2～n )根据相对运动的其它要求确定。

自然,相对运动规律也可用其它形式的转角函数表示。

齿面 (1)上坐标为(x 1,y 1,z 1)、单位法线矢量为(n (1)x 1,n (1)y 1,n (1)z 1)的点在接触时应满足下面的啮合方程:U co s 1+V sin 1=i 12W +G(7)其中U =-n (1)x 1(z 1+A 1)sin -n (1)y 1E cos +n (1)z 1x 1sin V =n (1)y 1(z 1+A 1)sin -n (1)x 1E cos -n (1)z 1y 1s in W =n (1)x 1y 1-n (1)y 1x 1G =-(n (1)x 1y 1-n (1)y 1x 1)cos -n (1)z 1E s in (8)i 12是齿轮1相对于齿轮2的瞬时传动比i 12= 1/ 2=d 1/d 2(9)式中, 1和 2分别是齿轮1和齿轮2的瞬时角速度。

由式(6)可得i 12=i *12+2c 2 2+3c 3 22+…+nc n n -12(10) 将式(6)和(10)代入方程(7)后求解方程可得出转角 2,然后由式(6)得出转角 1。

利用坐标变换,将接触点的坐标(x 1,y 1,z 1)和单位法线矢量(n (1)x 1,n (1)y 1,n (1)z 1)变换到o 2-x 2y 2z 2坐标系,即可得到齿面 (2)上的接触点在o 2-x 2y 2z 2坐标系中的坐标(x 2,y 2,z 2)和单位法线矢量(n (2)x 2,n (2)y 2,n (2)z 2)。

将设计基准点的参数代入式(8)后可分别得到U 、V 、W 和G 的相应数值U 0、V 0、W 0和G 0,同时,在设计基准点啮合时, 2=0, 1= 10,i 12=i *12,将它们代入方程(7)可得U 0cos 10+V 0sin 10=i *12W 0+G 0(11)解方程(11)可得10=±ar cco si *12W 0+G 0U 2+V20+ar ct anV 0U 0(12)2.3　齿面 (2)的二阶参数为使问题的求解方便,令齿轮2的角速度 2=d 2/dt =1,则运动参数对时间t 的求导等效于对角度 2的求导,这不会影响最后结果的正确性。

齿面 (2)上接触点迹线的单位切线矢量t 1为t1=d 2r (2)d 2/ d 2r (2)d 2(13)其中d 2r (2)d 2=v (12)+n qp(1) (1)(14)p=k (1)nv v (12)+ (1)gv n ×v (12)+ (12)×n (15)q=(12)×((1)×r(1))+v(12)×(1)+d (12)d 2×r(1)(16)(12)= (1)-(2)(17)以上各式中,r (1)是齿面 (1)上接触点的径矢,n是接触点处的单位公法线矢量; (1)和(2)分别是齿轮1和齿轮2的角速度矢量;v (12)是接触点处的相对运动速度矢量;k (1)nv 和 (1)gv分别是齿面 (1)在相对运动速度v (12)方向的法曲率和短程挠率。

令t2=n ×t 1(18)则t2是接触点切平面上与t1垂直的单位矢量,且t1、t2、n构成右手系。

点啮合齿面 (2)在t 1和t 2方向的法曲率k (2)n 1和k (2)n 2及t1方向的短程挠率 (2)g 1分别为k (2)n 1=k (1)n 1-k (12)n 1(19a)k (2)n 2=k (1)n 2-k (12)n 2- k (2)n 2(19b) (2)g 1= (1)g 1- (12)g 1(19c)其中k (12)n 1=(p t 1)2/(n q +p v(12)) (20a)k (12)n 2=(p t 2)2/(n q +p v(12)) (20b) (12)g 1=(p t 1)(p t 2)/(n q +p v(12))(20c)k (2)n 2=k (12)2(k (12)n 1+k (12)n 2-k (12)2)/(k (12)n 1-k (12)2)(21) 上述各式中,k (1)n 1和k (1)n 2分别是齿面 (1)在t 1和t 2方向的法曲率; (1)g 1是齿面 (1)在t 1方向的短程挠率;k (12)1是瞬时接触椭圆长轴所对应的差曲面的主曲率,由预先给定的瞬时接触椭圆长轴尺寸确定。

齿面 (2)的主曲率k (2)1、k (2)2分别为k (2)1=k (2)n 1cos 2 2+2 (2)g 1sin 2co s 2+k (2)n 2sin 2 2(22a )k (2)2=k (2)n 1+k (2)n 2-k (2)1 (22b)其中2={arctan[2 (2)g 1/(k (2)n 1-k (2)n 2)]}/2(23)348机械科学与技术第19卷对应于主曲率k(2)1、k(2)的主方向单位矢量e (2)1、e (2)2分别为e (2)1=cos 2t 1+sin 2t 2　(24a)e (2)2=-sin 2t 1+cos 2t 2(24b)将e (2)1、e (2)2变换到与齿面 (2)固连的坐标系o2-x2y2z2中。