高二数学课件：第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性

出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)
的解析式.

(3)求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法：利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的 恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.
(4)已知奇偶性判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的
1 x
x 2 x, x 0 (3)f(x)= 2 x x, x 0.
【解题指南】由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原 点对称，再计算f(-x)，并判断其与f(x)的关系，从而得出函数 的奇偶性.
【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又≧f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), ≨f(x)为奇函数. (2)使f(x)= x 1 1 x 有意义， 则有 1 x ≥0且1+x≠0,
又≧f(-x)=
4 x x
2
4 x 2 =-f(x)， x
≨函数f(x)为奇函数.
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函数奇偶性的应用
【方法点睛】
应用函数奇偶性可解决的问题及方法
(1)已知函数的奇偶性，求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)已知函数的奇偶性求解析式
将待求区间上的解析式，转化到已知区间上，再利用奇偶性求
【反思·感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、 求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数 值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化 与化归思想.
【变式备选】奇函数f(x)的定义 域为［-5,5］.若当x∈［0,5］时， f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)<0的解集是_________. 【解析】由奇函数图象对称性补出其在［-5,0)上的图象，由图
f (x)
期；
③f(x+a)=- 1 ，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个
f (x)
周期； (2)如果T是函数y=f(x)的周期，则 ①kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期， 即f(x+kT)=f(x)； ②若已知区间［m,n］(m<n)上的图象，则可画出区间 ［m+kT,n+kT］(k∈Z,k≠0)上的图象.
2 4 x (3)f(x)= . x 3 3
1 x2 0 【解析】(1)由 2 ,得x=-1或x=1. x 1 0
≨函数f(x)的定义域为{-1,1}.
又对于定义域内的任意x,f(-x)=0=〒f(x), ≨函数f(x)既是奇函数，又是偶函数.
(2)显然函数的定义域为R， 又≧f(-x)= ln( x x 2 1)
又≧f(-x)=
x
=-f(x)，
≨函数f(x)为奇函数．
【反思·感悟】利用定义法判断函数奇偶性时，先要求定义域，
当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算 f(-x),否则
可能得到错误结论.
【变式备选】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1 x 2 x 2 1;
(2)f(x)= ln(x x 2 1);
2.奇偶函数的图象性质
y轴 对称；奇函数的图象关于_____ 原点 对称. 偶函数的图象关于____
【即时应用】 (1)函数f(x)=x1 的图象关于_______对称. x
(2)已知y=f(x)是偶函数，且其图象与x轴有5个交点，则方程 f(x)=0的所有实根之和是_______. 【解析】(1)因为f(x)=x- 1 为奇函数，所以其图象关于原点对
【互动探究】在本例(1)中的条件下求f(x)在R上的解析式. 【解析】当x>0时，-x<0, 又x≤0时，f(x)=2x2-x, ≨f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x, 又f(-x)=-f(x), 即:-f(x)=2x2+x,≨f(x)=-2x2-x.
2 2x x, x 0 . 综上,f(x)= 2 2x x, x 0
x
称. (2)由于偶函数的图象关于y轴对称，故其与x轴的5个交点亦关 于y轴对称，或在y轴上，故其和为0. 答案：(1)原点 (2)0
3.周期性 (1)周期函数 对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域 f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期 内的任何值时，都有____________ 函数，T为这个函数的周期. (2)最小正周期 最小的正数 ，那么 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________ 最小的正数 就叫做它的最小正周期． 这个___________
=x2-x=-f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，
≨函数f(x)为奇函数.
2 lg(1 x ) 其奇偶 【互动探究】若将本例(2)的函数改为f(x)= ， x2 2
性又如何呢？
【解析】易知函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1)，关于原点对
称，
2 lg 1 x ， ≨f(x)= x lg 1 x 2
f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0. ≨f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1. 2 012=335〓6+2. f(1)+f(2)+f(3)+„+f(2 012)=335+f(1)+f(2)=338.
【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，
【即时应用】 (1)已知函数f(x),对 x∈R，都有f(x+4)=f(x),且x∈(0,2)时， f(x)=2 012x2,则f(2 013)=_________. (2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的最 小正周期为__________.
【解析】(1)≧f(x+4)=f(x), ≨f(x)的最小正周期为4， ≨f(2 013)=f(503〓4+1)=f(1)=2 012〓12=2 012. (2)≧f(x+1)=-f(x), ≨f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x). ≨最小正周期为2. 答案：(1)2 012 (2)2
2
(C) 3
4
(D)1
(3)已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(-∞,0］上是减函
数，若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是________.
【解题指南】解答本题需利用函数的奇偶性： (1)将求f(1)的值转化为求f(-1)的值的问题求解； (2)由题意可知f(-x)+f(x)=0，从而得到关于x的恒等式，再构 建a的方程求解； (3)得到f(x)在［0,+≦)上的单调性，即将原不等式转化为 f(|a|)≥f(2),从而求解.
【解析】(1)由奇函数、偶函数定义知，函数①,⑤为偶函数， ②,③,④为奇函数,⑥是非奇非偶函数. (2)由已知得a-1=-2a,解得a= 1 ,
3
≨f(x)= 1 x2+bx,又f(-x)=f(x),
3
即 1 x2-bx= 1 x2+bx⇒bx=0,
3 3 1 又x∈［- 2 , 2 ］,≨b=0,故a+b= +0= 1 . 3 3 3 3
象知解集为(-2,0)∪(2,5］.
答案：(-2,0)∪(2,5］
热点考向 3 【方法点睛】
函数周期性的应用
关于函数周期性的几个常用结论 (1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有： ①f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个 周期； ②f(x+a)= 1 ，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周
(3)由题意知f(0)=0,当x<0时，-x>0,
≨f(-x)=(-x)2=x2,
又f(-x)=-f(x),≨f(x)=-x2,
x 2 , x 0 综上，f(x)= 0，x 0 . x 2 , x 0
答案：(1)①否
②是
③是
④是
⑤否
⑥否
1 x 2 , x 0 (2) (3) 2 3 x , x 0
单调性.
奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同；偶函数在关于原
点对称区间上的单调性相反.
【例2】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)= 2x2-x，则f(1)=( (A)-3 (B)-1 ) (C)1 (D)3 )
(2)若函数f(x)= (A) 1 (B) 2
3
x 为奇函数，则a=( 2x 1 (x a)
【规范解答】(1)选A.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)，所以 f(1)=-f(-1)=-［2〓(-1)2+1］=-3. (2)选A.≧函数f(x)为奇函数,≨f(x)+f(-x)=0恒成立， 即
x x 0 恒成立. 2x 1 x a 2x 1 x a
1 x
1 x
解得函数的定义域为(-1,1］,不关于原点对称，因此函数f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为：
(-≦，0)∪(0,+≦)，关于原点对称，
≧当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x
=-x2-x=-f(x)；
当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x
【例3】(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x＜-1时，f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，