函数的奇偶性与周期性试题(答案)

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函数的奇偶性与周期性精选习题(含解析)

1 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（）. A ．-7B ．-9C ．-11D ．-132．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0B ．1C ．2D ．43．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（） A ． B ．C ．D ．4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（）A ．3B ．-3C ．2D ．-26．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与2 / 9(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（）A ．2020B ．2019C ．1010D ．10097．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（） A．B．)2C．2⎤⎦D．2⎤⎦二、填空题8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．3 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题解析一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（）. A ．-7 B ．-9C ．-11D ．-13【答案】C【解析】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11．故选C ．2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】对()f x 整理得，()22cos 21sin 21211x x f x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪++⎝⎭ 而易知2sin 2,1xy x y x ==+都是奇函数，则可设()()21sin 21g x f x x xx =-++=，可得()g x 为奇函数，即()g x 关于点()0,0对称所以可知()()1f x g x =+关于点()0,1对称，所以()f x 的最大值和最小值也关于点()0,1，因此它们的和为2. 故选C 项.3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（）4 / 9A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+，所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A【解析】Q ()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又Q (2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5 / 9又1111023--<-<-≤Q …，且函数在区间[1,0)-上是增函数， 11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】C【解析】由()()53f x f x +=-，得()()8f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[)0,4x ∈时，()()2log 2f x x =+，所以()()()76696822f f f =⨯-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数所以()()222log 42f f -===.故选C 。

函数的奇偶性及周期性综合运用

f ( x
) 1成立,
1
2
1
2
且当x>0时,
(1)求证:g(x)=f(x)-1
为奇函数;
(2)求证:f(x)是R上的增函数;
(3)若f(4)=5,
解不等式f (3 m2
m 2)
3.
【解】
(1)
证明:定义在R上的函数f(x)
对任意的x
x
2
R,都有
1
f (1x
2x)
f(1x)
f(2成x)立,1
3.已知f(x)
是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=
1
1 x 2时,f(x)=x-2,
则
f ( x)
f(6.5)等于⋯⋯( )
A.4.5
B.-4.5
C.0.5
D.-0.5
【答案】D
【解析】由f(x 2)
1
得f(x
4)
1
f ( x )
f ( x
2)
f(6.5)=f(2.5).
因为f(x)
R,且x1
x2则x2
x1
0
∵f ( x1
x2)
f
( x1)
f ( x2)
1
∴f ( x2
x1)
f
( x2)
f ( x1)
1
f ( x2)
[ f ( x1) 1]
f ( x2) f ( x1) 1.
∵当x>0时,f(x)>1,
∴f ( x2
x1)
f
( x2)
f ( x1)
1
1.
∴f ( x1)
f ( x2).
令x1

函数的奇偶性与周期性专题

函数的奇偶性与周期性专题1．已知R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝x 2＋x －1，则f (f (－1))＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－22．下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是 ( )A ．f (x )＝2x －2－xB ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝log 12 |x |D ．f (x )＝x sin x3．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.则f (2 017)＋f (2 018)的值为 ( )A ．－2B ．－1C ．0D ．14．设f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝e x＋1ex ，则( )A ．f (x )与g (x )都是奇函数B ．f (x )是奇函数，g (x )是偶函数C ．f (x )与g (x )都是偶函数D ．f (x )是偶函数，g (x )是奇函数5．已知f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－36．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，且∀x ∈R ，f (x )＝f (2－x )，则f (2 017.5)＝( )A ．－18 B.18 C ．0 D ．17．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝tan xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln 2＋x2－x8．已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)都是偶函数，且f (1)＝1，则f (－1)＋f (7)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．39．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]10．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R)，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( )A. －5B. －1C. 3D. 411．定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，且在区间[－3，－2]上是减函数，若A ，B 是锐角三角形的两个内角，则( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )>f (cos B )12．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )＝________.强化训练1．已知a 为实数，函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为( )A ．[1,8]B ．[3,8]C ．[1,3]D ．[ －1,8]2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12 a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A. [1,2]B. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D. (0,2]3．已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，且函数f (x ＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )A ．f (π)<f (3)<f (2)B ．f (π)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (3)<f (π)D ．f (2)<f (π)<f (3)4.已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有xf (x ＋1)＝(1＋x )·f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172的值是( ) A.2 0172 B ．1 C ．0 D ．2 0175．若函数f (x )＝log a |x －1|在(－∞，1)上单调递增，则f (a ＋2)与f (3)的大小关系是 ( )A ．f (a ＋2)>f (3)B ．f (a ＋2)<f (3)C ．f (a ＋2)＝f (3)D ．不能确定6．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1,0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b7．设函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且满足f (x －2)＝－f (x )对一切x ∈R 恒成立，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则下列四个命题：①f (x )是以4为周期的周期函数；②f (x )在[1,3]上的解析式为f (x )＝(2－x )3；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32处的切线方程为3x ＋4y －5＝0；④f (x )的图象的对称轴中，有x ＝±1. 其中正确的命题是 ( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④8．若函数y ＝f (x )，x ∈M ，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有af (x )＝f (x ＋T )恒成立，此时T 为f (x )的类周期，函数y ＝f (x )是M 上的a 级类周期函数．若函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的2级类周期函数，且T ＝2.当x ∈[0,2)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x ，1<x <2，函数g (x )＝－2ln x＋12x 2＋x ＋m .若存在x 1∈[6,8]，x 2∈(0，＋∞)，使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，52B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，132C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫132，＋∞9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．10．已知函数y ＝f (x )在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)≤0； (2)若f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．答案函数的奇偶性与周期性专题1．已知R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，则f(f(－1))＝( )A．－1 B．1 C．2 D．－2答案：A 解析：f(f(－1))＝f(－f(1))＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故选A.2．下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是 ( ) A．f(x)＝2x－2－x B．f(x)＝x2－1|x| D．f(x)＝x sin xC．f(x)＝log12答案：B 解析：f(x)＝2x－2－x是奇函数，故不满足条件；f(x)＝x2－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件；f(x)＝log1|x|是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不满足条2件；f(x)＝x sin x是偶函数，但是在(0，＋∞)上不单调，故选B. 3．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x ＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.则f(2 017)＋f(2 018)的值为 ( )A．－2 B．－1 C．0 D．1答案：D 解析：∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，由f(x)的图象关于x＝1对称，得f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)的周期T＝4.∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.∴f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (0) ＝2－1＋1－1＝1.故选D.4．设f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝e x＋1ex ，则( )A ．f (x )与g (x )都是奇函数B ．f (x )是奇函数，g (x )是偶函数C ．f (x )与g (x )都是偶函数D ．f (x )是偶函数，g (x )是奇函数答案：B 解析：首先，f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，两个函数的定义域都关于原点对称．对于f (x )，故f (－x )＝lg －x ＋1－x －1＝lg x －1x ＋1，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1·x ＋1x －1＝lg 1＝0，由此可得f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数；对于g (x )，可得g (－x )＝e －x＋1e －x ＝1ex ＋e x ，∴g (－x )＝g (x )，g (x )是偶函数．故选B. 5．已知f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3 答案：A 解析：由题可得f (－x )＝－x －1x－1，则f (－x )＋f (x )＝－2，所以f (－a )＋f (a )＝－2，则f (－a )＝－4. 故选A.6．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，且∀x ∈R ，f (x )＝f (2－x )，则f (2 017.5)＝( )A ．－18 B.18 C ．0 D ．1答案：B 解析：∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (x )＝f (2－x )＝－f (x －2)，即f (x )＝－f (x －2)，用x －2代换x ，可得f (x －2)＝－f (x －4)． ∴f (x )＝f (x －4)，故函数f (x )是周期函数，且周期为T ＝4.f (2 017.5)＝f (504×4＋1.5)＝f (1.5)．又f (x )＝f (2－x )， ∴f (1.5)＝f (0.5)．∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3， ∴f (2 017.5)＝f (0.5)＝0.53＝18，故选B.7．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝tan xC ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln 2＋x2－x答案：D 解析：函数y ＝e x 不是奇函数，不满足题意；函数y ＝tan x 是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数y ＝x 3－x 是奇函数，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，33时，y ′＝3x 2－1<0，为减函数，不满足题意；函数y ＝ln 2＋x 2－x 是奇函数，在定义域(－2,2)内，函数t ＝2＋x2－x ＝－1－4x －2为增函数，函数y ＝ln t 也为增函数，故函数y ＝＝ln 2＋x 2－x在定义域内为增函数，满足题意，故选D.8．已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)都是偶函数，且f (1)＝1，则f (－1)＋f (7)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C 解析：∵y ＝f (－x )为偶函数， ∴f [－(－x )]＝f (－x )，∴f (－x )＝f (x )， ∴y ＝f (x )为偶函数，∴当x ＝1时，有f (－1)＝f (1)＝1. 又y ＝f (x ＋2)是偶函数， ∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)， ∴f (x －2)＝f (x ＋2)．则f (x )＝f (x ＋4)，∴函数y ＝f (x )为周期函数，且周期为4. ∴f (7)＝f (8－1)＝f (－1)＝1. 故f (－1)＋f (7)＝2.故选C. 9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析：由于g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上是减函数，所以a >0；由于f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，且f (x )的对称轴为x ＝a ，则a ≤1.综上0<a ≤1.故选D.10．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R)，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( )A. －5B. －1C. 3D. 4 答案：C 解析：∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，① ∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f [lg(log 210)]＝f [－lg(lg 2)]＝5，又由③式知f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8，∴5＋f [lg(lg 2)]＝8， ∴f [lg(lg 2)]＝3.故选C.11．定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，且在区间[－3，－2]上是减函数，若A ，B 是锐角三角形的两个内角，则( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )>f (cos B ) 答案：A 解析：因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为2. 因为f (x )在[－3，－2]上为减函数，所以f (x )在[－1,0]上为减函数．因为f (x )为偶函数，所以f (x )在[0,1]上为增函数．因为在锐角三角形中，A ＋B >π2，所以π2>A >π2－B >0，所以sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B .因为f (x )在[0,1]上为单调增函数，所以f (sin A )>f (cos B )．12．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )＝________.答案：0 解析：设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数．又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0. 强化训练1．已知a 为实数，函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为( )A ．[1,8]B ．[3,8]C ．[1,3]D ．[ －1,8] 答案：A 解析：令函数g (x )＝x 2－ax －2， ∵g (x )＝0的判别式Δ＝a 2＋8>0， ∴函数g (x )一定有两个零点，设为x 1和x 2，且x 1<x 2， ∴函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2，x <x 1或x >x 2，2x 2－ax －2，x 1≤x ≤x 2，当x ∈(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)时，函数f (x )的图象是位于同一条直线上的两条射线，当x ∈(x 1，x 2)时，函数f (x )的图象是抛物线y ＝2x 2－ax －2下凹的一部分，且各段连在一起，如图所示．由于f (x )在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增， ∴a >0且函数g (x )较小的零点x 1＝a －a 2＋82≥－1，即a ＋2≥a 2＋8，平方得a 2＋4a ＋4≥a 2＋8，得a ≥1；同时由y ＝2x 2－ax －2的对称轴为x ＝a 4，得0<a4≤2，可得0<a ≤8.综上可得，1≤a ≤8，故实数a 的取值范围为[1,8]．2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12 a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A. [1,2]B. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D. (0,2]答案：C 解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12 a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )．又∵f (log 2a )＋f (log 12 a )≤2f (1)，∴f (log 2a )≤f (1)．又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C.3．已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，且函数f (x ＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )A ．f (π)<f (3)<f (2)B ．f (π)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (3)<f (π)D ．f (2)<f (π)<f (3) 答案：C 解析：因为函数f (x ＋2)为偶函数，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，所以当x ∈[2,6]时，f (x )单调递增，f (2)＝f (4－2)，因为2<4－2<3<π，所以f (2)<f (3)<f (π)．4.已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有xf (x ＋1)＝(1＋x )·f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172的值是( ) A.2 0172B ．1C ．0D ．2 017答案：C 解析：xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )等价于f x ＋1x ＋1＝f xx，所以函数y ＝f xx是T ＝1的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，化简为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又因为y ＝f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 01722 0172＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172＝0. 5．若函数f (x )＝log a |x －1|在(－∞，1)上单调递增，则f (a ＋2)与f (3)的大小关系是 ( )A ．f (a ＋2)>f (3)B ．f (a ＋2)<f (3)C ．f (a ＋2)＝f (3)D ．不能确定答案：A 解析：由函数f (x )＝log a |x －1|，可知函数关于x ＝1对称，且f (x )在(－∞，1)上单调递增，易得0<a <1. ∴2<a ＋2<3.又f (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴f (a ＋2)>f (3)．故选A.6．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1,0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b答案：D 解析：∵偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，∴函数的周期为2，∴a ＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b ＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c ＝f (0.5)＝f (－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x )在[－1,0]上单调递减， ∴a >c >b ，故选D.7．设函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且满足f (x －2)＝－f (x )对一切x ∈R 恒成立，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则下列四个命题：①f (x )是以4为周期的周期函数；②f (x )在[1,3]上的解析式为f (x )＝(2－x )3；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32处的切线方程为3x ＋4y －5＝0；④f (x )的图象的对称轴中，有x ＝±1. 其中正确的命题是 ( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①②③④答案：D 解析：∵f (x －2)＝－f (x )对一切x ∈R 恒成立， ∴f (x －4)＝－f (x －2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，①正确；当1≤x ≤3时，－1≤2－x ≤1. ∵当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3，∴f (2－x )＝(2－x )3＝－f (x －2)＝f (x )， ∴f (x )＝(2－x )3，②正确； ∵f ′(x )＝－3(2－x )2，∴k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝⎝⎛⎭⎪⎫2－323＝18，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32处的切线方程为y －18＝－34⎝⎛⎭⎪⎫x －32，即3x ＋4y －5＝0，③正确；由f (x －2)＝－f (x )＝f (－x )知函数图象的一条对称轴为x ＝－1，又∵f (x )为奇函数，其图象关于原点对称， ∴f (x )的图象的对称轴中，有x ＝1，④正确．故选D.8．若函数y ＝f (x )，x ∈M ，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有af (x )＝f (x ＋T )恒成立，此时T 为f (x )的类周期，函数y ＝f (x )是M 上的a 级类周期函数．若函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的2级类周期函数，且T ＝2.当x ∈[0,2)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x ，1<x <2，函数g (x )＝－2ln x＋12x 2＋x ＋m .若存在x 1∈[6,8]，x 2∈(0，＋∞)，使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，132C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫132，＋∞ 答案：B 解析：根据题意，对于函数f (x )，当x ∈[0,2)时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x ，1<x <2，则当0≤x ≤1时，f (x )＝12－2x 2有最大值f (0)＝12，最小值f (1)＝－32；当1<x <2时，f (x )＝f (2－x )，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则此时有－32<f (x )<12.由函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的2级类周期函数，且T ＝2，得2f (x )＝f (x ＋2)，故当x ∈[6,8)时，f (x )＝23·f (x －6)，则有－12≤f (x )≤4.又f (8)＝2f (6)＝4f (4)＝8f (2)＝16f (0)＝8，故函数f (x )在区间[6,8]上的最大值为8，最小值为－12，对于函数g (x )＝－2ln x ＋12x 2＋x ＋m ，有g ′(x )＝－2x ＋x ＋1＝x 2＋x －2x ＝x －1x ＋2x.则在(0,1)上，g ′(x )<0，函数g (x )为减函数，在(1，＋∞)上，g ′(x )>0，函数g (x )为增函数，故函数g (x )在(0，＋∞)上有最小值g (1)＝32＋m .若存在x 1∈[6,8]，x 2∈(0，＋∞)，使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，必有g (x )min ≤f (x )max ，即32＋m ≤8，解得m ≤132，即m的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，132.故选B.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)，知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．已知函数y ＝f (x )在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)≤0； (2)若f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然原不等式成立．若x 1＋x 2<0，则－1≤x 1<－x 2≤1，因为f (x )在[－1,1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)>0，所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)<0成立．若x 1＋x 2>0，则1≥x 1>－x 2≥－1，同理可证f (x 1)＋f (x 2)<0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)<0成立．综上所述，对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)解：因为f (1－a )＋f (1－a 2)<0⇔f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1,1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2>a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2<0，解得0≤a <1.故所求实数a 的取值范围是[0,1)．答案函数的奇偶性与周期性专题1．已知R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝x 2＋x －1，则f (f (－1))＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2答案：A 解析：f (f (－1))＝f (－f (1))＝f (－1)＝－f (1)＝－1，故选A.2．下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是 ( )A ．f (x )＝2x －2－xB ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝log 12|x |D ．f (x )＝x sin x答案：B 解析：f (x )＝2x －2－x 是奇函数，故不满足条件；f (x )＝x 2－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件；f (x )＝log 12|x |是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；f (x )＝x sin x 是偶函数，但是在(0，＋∞)上不单调，故选B.3．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.则f (2 017)＋f (2 018)的值为 ( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 答案：D 解析：∵函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，由f (x )的图象关于x ＝1对称，得f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )， ∴f (4－x )＝－f (2－x )＝f (－x )， ∴f (x )的周期T ＝4.∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.∴f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (0) ＝2－1＋1－1＝1.故选D. 4．设f (x )＝lgx ＋1x －1，g (x )＝e x ＋1ex ，则( ) A ．f (x )与g (x )都是奇函数 B ．f (x )是奇函数，g (x )是偶函数 C ．f (x )与g (x )都是偶函数 D ．f (x )是偶函数，g (x )是奇函数答案：B 解析：首先，f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，两个函数的定义域都关于原点对称．对于f (x )，故f (－x )＝lg －x ＋1－x －1＝lg x －1x ＋1，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1·x ＋1x －1＝lg 1＝0，由此可得f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数；对于g (x )，可得g (－x )＝e －x＋1e －x ＝1ex ＋e x ，∴g (－x )＝g (x )，g (x )是偶函数．故选B. 5．已知f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3 答案：A 解析：由题可得f (－x )＝－x －1x－1，则f (－x )＋f (x )＝－2，所以f (－a )＋f (a )＝－2，则f (－a )＝－4. 故选A.6．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，且∀x ∈R ，f (x )＝f (2－x )，则f (2 017.5)＝( )A ．－18 B.18 C ．0 D ．1答案：B 解析：∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (x )＝f (2－x )＝－f (x －2)，即f (x )＝－f (x －2)，用x －2代换x ，可得f (x －2)＝－f (x －4)． ∴f (x )＝f (x －4)，故函数f (x )是周期函数，且周期为T ＝4.f (2 017.5)＝f (504×4＋1.5)＝f (1.5)．又f (x )＝f (2－x )， ∴f (1.5)＝f (0.5)．∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3， ∴f (2 017.5)＝f (0.5)＝0.53＝18，故选B.7．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝tan xC ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln 2＋x2－x答案：D 解析：函数y ＝e x 不是奇函数，不满足题意；函数y ＝tan x 是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数y ＝x 3－x 是奇函数，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，33时，y ′＝3x 2－1<0，为减函数，不满足题意；函数y ＝ln 2＋x 2－x 是奇函数，在定义域(－2,2)内，函数t ＝2＋x2－x ＝－1－4x －2为增函数，函数y ＝ln t 也为增函数，故函数y ＝＝ln2＋x2－x 在定义域内为增函数，满足题意，故选D.8．已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)都是偶函数，且f (1)＝1，则f (－1)＋f (7)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C 解析：∵y ＝f (－x )为偶函数， ∴f [－(－x )]＝f (－x )，∴f (－x )＝f (x )， ∴y ＝f (x )为偶函数，∴当x ＝1时，有f (－1)＝f (1)＝1. 又y ＝f (x ＋2)是偶函数， ∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)， ∴f (x －2)＝f (x ＋2)．则f (x )＝f (x ＋4)，∴函数y ＝f (x )为周期函数，且周期为4. ∴f (7)＝f (8－1)＝f (－1)＝1. 故f (－1)＋f (7)＝2.故选C. 9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析：由于g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上是减函数，所以a >0；由于f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，且f (x )的对称轴为x ＝a ，则a ≤1.综上0<a ≤1.故选D.10．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R)，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( )A. －5B. －1C. 3D. 4 答案：C 解析：∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，① ∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f [lg(log 210)]＝f [－lg(lg 2)]＝5，又由③式知f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8，∴5＋f [lg(lg 2)]＝8， ∴f [lg(lg 2)]＝3.故选C.11．定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，且在区间[－3，－2]上是减函数，若A ，B 是锐角三角形的两个内角，则( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )>f (cos B ) 答案：A 解析：因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为2. 因为f (x )在[－3，－2]上为减函数，所以f (x )在[－1,0]上为减函数．因为f (x )为偶函数，所以f (x )在[0,1]上为增函数．因为在锐角三角形中，A ＋B >π2，所以π2>A >π2－B >0，所以sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B .因为f (x )在[0,1]上为单调增函数，所以f (sin A )>f (cos B )．12．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )＝________.答案：0 解析：设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数．又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0. 强化训练1．已知a 为实数，函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为( )A ．[1,8]B ．[3,8]C ．[1,3]D ．[ －1,8] 答案：A 解析：令函数g (x )＝x 2－ax －2， ∵g (x )＝0的判别式Δ＝a 2＋8>0， ∴函数g (x )一定有两个零点，设为x 1和x 2，且x 1<x 2， ∴函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2，x <x 1或x >x 2，2x 2－ax －2，x 1≤x ≤x 2，当x ∈(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)时，函数f (x )的图象是位于同一条直线上的两条射线，当x ∈(x 1，x 2)时，函数f (x )的图象是抛物线y ＝2x 2－ax －2下凹的一部分，且各段连在一起，如图所示．由于f (x )在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增， ∴a >0且函数g (x )较小的零点x 1＝a －a 2＋82≥－1，即a ＋2≥a 2＋8，平方得a 2＋4a ＋4≥a 2＋8，得a ≥1；同时由y ＝2x 2－ax －2的对称轴为x ＝a 4，得0<a4≤2，可得0<a ≤8.综上可得，1≤a ≤8，故实数a 的取值范围为[1,8]．2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12 a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A. [1,2]B. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D. (0,2]答案：C 解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12 a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )．又∵f (log 2a )＋f (log 12 a )≤2f (1)，∴f (log 2a )≤f (1)．又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C.3．已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，且函数f (x ＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )A ．f (π)<f (3)<f (2)B ．f (π)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (3)<f (π)D ．f (2)<f (π)<f (3) 答案：C 解析：因为函数f (x ＋2)为偶函数，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，所以当x ∈[2,6]时，f (x )单调递增，f (2)＝f (4－2)，因为2<4－2<3<π，所以f (2)<f (3)<f (π)．4.已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有xf (x ＋1)＝(1＋x )·f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172的值是( ) A.2 0172B ．1C ．0D ．2 017 答案：C 解析：xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )等价于f x ＋1x ＋1＝f xx，所以函数y ＝f xx是T ＝1的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，化简为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又因为y ＝f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2 01722 0172＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172＝0. 5．若函数f (x )＝log a |x －1|在(－∞，1)上单调递增，则f (a ＋2)与f (3)的大小关系是 ( )A ．f (a ＋2)>f (3)B ．f (a ＋2)<f (3)C ．f (a ＋2)＝f (3)D ．不能确定答案：A 解析：由函数f (x )＝log a |x －1|，可知函数关于x ＝1对称，且f (x )在(－∞，1)上单调递增，易得0<a <1. ∴2<a ＋2<3.又f (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴f (a ＋2)>f (3)．故选A.6．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1,0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b答案：D 解析：∵偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，∴函数的周期为2，∴a ＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b ＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c ＝f (0.5)＝f (－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x )在[－1,0]上单调递减， ∴a >c >b ，故选D.7．设函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且满足f (x －2)＝－f (x )对一切x ∈R 恒成立，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则下列四个命题：①f (x )是以4为周期的周期函数；②f (x )在[1,3]上的解析式为f (x )＝(2－x )3；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32处的切线方程为3x ＋4y －5＝0；④f (x )的图象的对称轴中，有x ＝±1. 其中正确的命题是 ( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①②③④答案：D 解析：∵f (x －2)＝－f (x )对一切x ∈R 恒成立， ∴f (x －4)＝－f (x －2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，①正确；当1≤x ≤3时，－1≤2－x ≤1. ∵当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3，∴f (2－x )＝(2－x )3＝－f (x －2)＝f (x )， ∴f (x )＝(2－x )3，②正确； ∵f ′(x )＝－3(2－x )2，∴k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝⎝⎛⎭⎪⎫2－323＝18，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32处的切线方程为y －18＝－34⎝⎛⎭⎪⎫x －32，即3x ＋4y －5＝0，③正确；由f (x －2)＝－f (x )＝f (－x )知函数图象的一条对称轴为x ＝－1，又∵f (x )为奇函数，其图象关于原点对称， ∴f (x )的图象的对称轴中，有x ＝1，④正确．故选D.8．若函数y ＝f (x )，x ∈M ，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有af (x )＝f (x ＋T )恒成立，此时T 为f (x )的类周期，函数y ＝f (x )是M 上的a 级类周期函数．若函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的2级类周期函数，且T ＝2.当x ∈[0,2)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x ，1<x <2，函数g (x )＝－2ln x＋12x 2＋x ＋m .若存在x 1∈[6,8]，x 2∈(0，＋∞)，使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，132C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫132，＋∞ 答案：B 解析：根据题意，对于函数f (x )，当x ∈[0,2)时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x ，1<x <2，则当0≤x ≤1时，f (x )＝12－2x 2有最大值f (0)＝12，最小值f (1)＝－32；当1<x <2时，f (x )＝f (2－x )，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则此时有－32<f (x )<12.由函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的2级类周期函数，且T ＝2，得2f (x )＝f (x ＋2)，故当x ∈[6,8)时，f (x )＝23·f (x －6)，则有－12≤f (x )≤4.又f (8)＝2f (6)＝4f (4)＝8f (2)＝16f (0)＝8，故函数f (x )在区间[6,8]上的最大值为8，最小值为－12，对于函数g (x )＝－2ln x ＋12x 2＋x ＋m ，有g ′(x )＝－2x ＋x ＋1＝x 2＋x －2x ＝x －1x ＋2x.则在(0,1)上，g ′(x )<0，函数g (x )为减函数，在(1，＋∞)上，g ′(x )>0，函数g (x )为增函数，故函数g (x )在(0，＋∞)上有最小值g (1)＝32＋m .若存在x 1∈[6,8]，x 2∈(0，＋∞)，使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，必有g (x )min ≤f (x )max ，即32＋m ≤8，解得m ≤132，即m的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，132.故选B.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)，知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．已知函数y ＝f (x )在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)≤0； (2)若f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然原不等式成立．若x 1＋x 2<0，则－1≤x 1<－x 2≤1，因为f (x )在[－1,1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)>0，所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)<0成立．若x 1＋x 2>0，则1≥x 1>－x 2≥－1，同理可证f (x 1)＋f (x 2)<0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)<0成立．综上所述，对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)解：因为f (1－a )＋f (1－a 2)<0⇔f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1,1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2>a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2<0，解得0≤a <1.故所求实数a的取值范围是[0,1)．答案函数的奇偶性与周期性专题1．已知R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，则f(f(－1))＝( )A．－1 B．1 C．2 D．－2答案：A 解析：f(f(－1))＝f(－f(1))＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故选A.2．下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是 ( ) A．f(x)＝2x－2－x B．f(x)＝x2－1|x| D．f(x)＝x sin xC．f(x)＝log12答案：B 解析：f(x)＝2x－2－x是奇函数，故不满足条件；f(x)＝x2－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件；f(x)＝log1|x|是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不满足条2件；f(x)＝x sin x是偶函数，但是在(0，＋∞)上不单调，故选B. 3．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x ＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.则f(2 017)＋f(2 018)的值为 ( )A．－2 B．－1 C．0 D．1答案：D 解析：∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，由f(x)的图象关于x＝1对称，得f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴f (x )的周期T ＝4.∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.∴f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (0)＝2－1＋1－1＝1.故选D.4．设f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝e x ＋1e x ，则( ) A ．f (x )与g (x )都是奇函数 B ．f (x )是奇函数，g (x )是偶函数C ．f (x )与g (x )都是偶函数D ．f (x )是偶函数，g (x )是奇函数答案：B 解析：首先，f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，两个函数的定义域都关于原点对称．对于f (x )，故f (－x )＝lg －x ＋1－x －1＝lg x －1x ＋1， ∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1·x ＋1x －1＝lg 1＝0，由此可得f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数；对于g (x )，可得g (－x )＝e －x＋1e －x ＝1e x ＋e x ， ∴g (－x )＝g (x )，g (x )是偶函数．故选B.5．已知f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．－1 D ．－3答案：A 解析：由题可得f (－x )＝－x －1x－1，则f (－x )＋f (x )＝－2，所以f (－a )＋f (a )＝－2，则f (－a )＝－4.故选A.6．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，且∀x ∈R ，f (x )＝f (2－x )，则f (2 017.5)＝( )A ．－18 B.18C ．0D ．1答案：B 解析：∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (x －2)，即f (x )＝－f (x －2)，用x －2代换x ，可得f (x －2)＝－f (x －4)．∴f (x )＝f (x －4)，故函数f (x )是周期函数，且周期为T ＝4.f (2 017.5)＝f (504×4＋1.5)＝f (1.5)．又f (x )＝f (2－x )，∴f (1.5)＝f (0.5)．∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，∴f (2 017.5)＝f (0.5)＝0.53＝18，故选B.7．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝tan xC ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln 2＋x 2－x 答案：D 解析：函数y ＝e x 不是奇函数，不满足题意；函数y ＝tan x 是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数y ＝x 3－x 是奇函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，33时，y ′＝3x 2－1<0，为减函数，不满足题意；函数y ＝ln 2＋x 2－x 是奇函数，在定义域(－2,2)内，函数t ＝2＋x 2－x＝－1－4x －2为增函数，函数y ＝ln t 也为增函数，故函数y ＝＝ln 2＋x 2－x在定义域内为增函数，满足题意，故选D.8．已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)都是偶函数，且f (1)＝1，则f (－1)＋f (7)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C 解析：∵y ＝f (－x )为偶函数，∴f [－(－x )]＝f (－x )，∴f (－x )＝f (x )，∴y ＝f (x )为偶函数，∴当x ＝1时，有f (－1)＝f (1)＝1.又y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，∴f (x －2)＝f (x ＋2)．则f (x )＝f (x ＋4)，∴函数y ＝f (x )为周期函数，且周期为4.∴f (7)＝f (8－1)＝f (－1)＝1.故f (－1)＋f (7)＝2.故选C.9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1] 答案：D 解析：由于g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上是减函数，所以a >0；由于f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，且f (x )的对称轴为x ＝a ，则a ≤1.综上0<a ≤1.故选D.10．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R)，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( )A. －5B. －1C. 3D. 4答案：C 解析：∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，②①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f [lg(log 210)]＝f [－lg(lg 2)]＝5，又由③式知f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8，∴5＋f [lg(lg 2)]＝8，∴f [lg(lg 2)]＝3.故选C.11．定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，且在区间[－3，－2]上是减函数，若A ，B 是锐角三角形的两个内角，则( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )>f (cos B )答案：A 解析：因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为2.因为f (x )在[－3，－2]上为减函数，所以f (x )在[－1,0]上为减函数．因为f (x )为偶函数，所以f (x )在[0,1]上为增函数．因为在锐角三角形中，A ＋B >π2，所以π2>A >π2－B >0，所以sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B . 因为f (x )在[0,1]上为单调增函数，所以f (sin A )>f (cos B )．12．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )＝________.答案：0 解析：设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数．又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.强化训练1．已知a 为实数，函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为( )A ．[1,8]B ．[3,8]C ．[1,3]D ．[ －1,8]答案：A 解析：令函数g (x )＝x 2－ax －2，∵g (x )＝0的判别式Δ＝a 2＋8>0，∴函数g (x )一定有两个零点，设为x 1和x 2，且x 1<x 2，∴函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋2，x <x 1或x >x 2，2x 2－ax －2，x 1≤x ≤x 2，当x ∈(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)时，函数f (x )的图象是位于同一条直线上的两条射线，当x ∈(x 1，x 2)时，函数f (x )的图象是抛物线y ＝2x 2－ax －2下凹的一部分，且各段连在一起，如图所示．由于f (x )在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，∴a >0且函数g (x )较小的零点x 1＝a －a 2＋82≥－1，即a ＋2≥a 2＋8，平方得a 2＋4a ＋4≥a 2＋8，得a ≥1；同时由y ＝2x 2－ax －2的对称轴为x ＝a 4，得0<a4≤2，可得0<a ≤8. 综上可得，1≤a ≤8，故实数a 的取值范围为[1,8]．2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A. [1,2]B. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D. (0,2] 答案：C 解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )．又∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴f (log 2a )≤f (1)．又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C. 3．已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，且函数f (x ＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )A ．f (π)<f (3)<f (2)B ．f (π)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (3)<f (π)D ．f (2)<f (π)<f (3)答案：C 解析：因为函数f (x ＋2)为偶函数，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，所以当x ∈[2,6]时，f (x )单调递增，f (2)＝f (4－2)，因为2<4－2<3<π，所以f (2)<f (3)<f (π)．4.已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有xf (x ＋1)＝(1＋x )·f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172的值是( )。

函数的奇偶性、对称性、周期试题

函数的奇偶性、对称性、周期试题+==⨯f1ff-=f335)4)4()1(6((-=2014)考点：函数的性质6．设)(x f是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系)(x20)(fx-，则)(x f=-f++，)20)(10(x10ff-=x是（）.A.偶函数，但不是周期函数B.偶函数，又是周期函数C.奇函数，但不是周期函数D.奇函数，又是周期函数【答案】D【解析】试题分析：∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．∴f（20+x）=-f（40+x），结合f（20+x）=-f（x）得到f （40+x）=f（x）∴f（x）是以T=40为周期的周期函数；又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f （20-（20-x））=-f（x）．∴f（x）是奇函数．故选：D考点：本题考查函数的奇偶性，周期性点评：解决本题的关键是准确理解相关的定义及其变形，即满足f(x+T)=f(x)，则f(x)是周期函数，函数的奇偶性，则考虑f(x)与f(-x)的关系7．设f （x ）定义R 上奇函数，且y ＝f （x ）图象关于直线x ＝13对称，则f （－23）＝（） A ．－1 B ．1 C ．0D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得，2()(),()()3f x f x f x f x -=-=-，所以22()()(0)033f f f -=-=-=，选C.考点：函数的奇偶性及对称性.8．已知)(x f 在R 上是奇函数,且满足)()4(x f x f =+,当)2,0(∈x 时,22)(x x f =,则)7(f 的值为（） A ．2- B ．2 C ．98-D ．98【答案】A【解析】试题分析：)()4(x f x f =+，根据周期函数定义可知()f x 是周期为4的周期函数，∴()()()7181f f f =-+=-，又根据函数()f x 是奇函数，可得()1f -=()1f -，因为()10,2∈，所以()211212f -=-⨯⨯=-.故正确答案为选项A.考点：周期函数的定义和性质;奇函数定义和性质.9．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意x R ∈，都有()()()63f x f x f +=+成立，若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，则()2013()f =A ．0B ．2013C ．3D ．2013-【答案】A ．【解析】试题分析：由题意得(2013)(20133356)335(3)336(3)f f f f =-⨯+⨯=，又有函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，则函数()f x 图像关于y 轴对称，即(3)(3)f f =-，还有(3+6)(3)(3)f f f -=-+，得(3)=0f -，则(2013)336(3)=336(3)0f f f =-=，故选A ．考点：函数的性质．10．设偶函数()f x 对任意x R ∈都有()()13f x f x +=- ,且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =,则()107.5f =（）A ．10B ．110C ．-10D ．110-【答案】B【解析】试题分析：因为()()13f x f x +=-，所以()()6f x f x +=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，又()()111860.5(0.5)(0.5)(2.5)( 2.5107.5)f f f f f f ⨯-==-=-=--=，而( 2.5)10f -=-，故()107.5f =110，故选B ．考点：函数的性质．11．函数()f x 的定义域为R ,若函数()f x 的周期6．当31x -≤<-时,()()22f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =．则()()()122013f f f ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()+2014f =（）A ．337B ．338C ．1678D ．2012【答案】A【解析】试题分析：由已知得(1)1f =，(2)2f =，(3)(3)1f f =-=-，(4)(2)0f f =-=，(5)(1)1f f =-=-，(6)(0)0f f ==，故()()()1261f f f ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，()()()122013f f f ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()+2014f =335+()()()()1234f f f f +++=337．考点：函数周期性．考点：函数的图象、周期性、对称性．13．已知函数f(x)在定义域上的值不全为零，若函数f(x+1)的图象关于( 1, 0 )对称，函数f(x+3)的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是（）A.()()f x f x -=B.(2)(6)f x f x -=+C.(2)(2)0f x f x -++--=D.(3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】试题分析：∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称，∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+， ∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线1=x 对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=∴()()f x f x -=；∴A 对；由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对；由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错. 考点：函数的图象与图象变化.15．设()f x 是定义在R 上且以5为周期的奇函数，若23(2)1,(3),3a a f f a ++>=-则a 的取值范围是( ).A 、(,2)-∞B 、()()3,02, -∞-C 、（0，3） D 、()()3,02, ∞-【答案】B【解析】试题分析：由题意，得:)()5(),()(x f x f x f x f =+-=-,所以1)2()2()3(-<-=-=f f f ，即1332-<-++a a a ，0322<-+∴a a a ，0)3)(2(<-+a a a ，302<<-<∴x a 或.考点：函数的奇偶性、周期性.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）16．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x ∈R，都有f（x＋8）＝f（x）＋f（4），且x ∈[0,4]时，f（x）＝4－x，则f（2 015）的值为________．【答案】3【解析】试题分析：因为定义在R上的偶函数()f x满足对任意x R∈，都有(8)()(4)+=+，f x f x f令4x=-，则(4)(4)(4)f f-===-+，故(4)(4)0f f f所以()f x f x+=，故函f x满足对任意x R∈，都有(8)()数()T=f x的周期8所以(2015)(25281)(1)(1)413=⨯-=-==-=f f f f故答案为3．考点：函数的周期性和奇偶性．18．定义在实数集R上的函数()f x满足()()20-=，现有以下三种叙f x f x4++=，且()()f x f x述：①8是函数()f x的一个周期；②()x=对称；f x的图象关于直线2③()f x是偶函数。

函数奇偶性与周期综合训练含详解

B．当 x 4,5 时， f x 2x 52
C．当 x 2,3 时， f x 单调递减
D．a 的取值范围是 0,
2 2
9．已知 f x 是定义域为 (, ) 的奇函数， f x 1是偶函数，且当 x 0,1 时，
f x x x 2 ，则（）
A． f x 是周期为 2 的函数
五、解答题 20．设 f (x) 是定义在实数集 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足 f (x 2) f (x) ，当 x [0, 2]时， f ( x) 2x x2 .
（1）求证： f (x) 是周期函数；（2）当 x [2, 4] 时，求 f (x) 的解析式；（3）计算： f (0) f (1) f (2) f (2021) .
试卷第 2页，总 3页
17．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f x 2 f x ，则T ________，当
0 x 1时 f (x) x(x 1) ，则 f 4 f 5 等于________.
18．定义在 R 上的奇函数 f (x) 又是周期为 4 的周期函数，已知在区间[2, 0) (0, 2] 上，
15．设函数 f x 的定义域为 R， f x 1为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1, 2 时，
f
(x)
ax 2
b
.若
f
0
f
3
6 ，则
f
13 3
_________.
四、双空题 16．已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数，并且是周期为 3 的周期函数，若 f (1)=2 ，则 f (2)= ________； f (2019)= ________.
8．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 0 ， f x 2 f x 0 ，且当

2023 届高考数学专项(函数的奇偶性与周期性)经典好题练习附答案

2023 届高考数学专项(函数的奇偶性与周期性)经典好题练习-x的图象关于()1.函数f(x)=1xA.y轴对称B.直线y=-x对称C.原点中心对称D.直线y=x对称2.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)3.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上单调递减,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)4.设偶函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}5.(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列判断错误的有()A.若f(-2)>f(2),则函数f(x)在R上是增函数B.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数C.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数D.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间(0,+∞)上也单调递增,则f(x)是R上的增函数6.(多选)(2020山东淄博一模,12)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x∈[0,2)时,f(x)=2x-1.给出下列结论,其中正确的是()A.f(2)=0B.点(4,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心C.函数y=f(x)在[-6,-2]上单调递增D.函数y=f(x)在[-6,6]上有3个零点7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)8.(2020山东潍坊临朐模拟一,14)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+4)=f (x ),且当x ∈(0,2)时,f (x )=x 2+1,则f (7)的值为 .9.定义在R 上的函数f (x )满足f (x+6)=f (x ),当x ∈[-3,-1)时,f (x )=-(x+2)2,当x ∈[-1,3)时,f (x )=x ,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 021)= .10.已知f (x )是R 上的奇函数,f (1)=2,且对任意x ∈R 都有f (x+6)=f (x )+f (3)成立,则f (2 017)= . 11.函数f (x )=π2sinx3 |x |的最大值是M ,最小值是m ,则f (M+m )的值等于( )A.0B.2πC.πD.π212.(2020全国2,理9)设函数f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,则f (x )( ) A.是偶函数,且在 12, ∞ 上单调递增 B.是奇函数,且在 -12,12 上单调递减 C.是偶函数,且在 -∞,-12 上单调递增 D.是奇函数,且在 -∞,-12 上单调递减13.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x+1)为偶函数,且f (1)=2,则f (4)+f (5)的值为( ) A.2 B.1 C.-1D.-214.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+2)=f (x ),当x ∈[0,1]时,f (x )=3x ,若12<a<34,关于x 的方程ax+3a-f (x )=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为 . 15.在下列函数中,与函数f (x )=2x-1-12x 1的奇偶性、单调性均相同的是()A.y=e xB.y=ln(x+√x 1)C.y=x 2D.y=tan x16.如果存在正实数a ,使得f (x-a )为奇函数,f (x+a )为偶函数,我们称函数f (x )为“和谐函数”.给出下列四个函数:①f (x )=(x-1)2+5;②f (x )=cos 2x-π4;③f (x )=sin x+cos x ;④f (x )=ln |x+1|.其中“和谐函数”的个数为 .参考答案1.C ∵f (-x )=-1x+x=-1x-x =-f (x ),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f (x )为奇函数,故f (x )的图像关于原点中心对称.故选C . 2.C f (x )的图像如图.当x ∈[-1,0)时,由xf (x )>0得x ∈(-1,0); 当x ∈[0,1)时,由xf (x )>0得x ∈⌀; 当x ∈[1,3]时,由xf (x )>0得x ∈(1,3). 故x ∈(-1,0)∪(1,3).故选C .3.D 由y=f (x+8)为偶函数,知函数f (x )的图像关于直线x=8对称.又因为f (x )在(8,+∞)上单调递减,所以f (x )在(-∞,8)上单调递增.可画出f (x )的草图(图略),知f (7)>f (10),故选D .4.B f (x-2)>0等价于f (|x-2|)>0=f (2).又f (x )=x 3-8在[0,+∞)上单调递增,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4,故选B .5.ACD 对于A,若f (-2)>f (2),则f (x )在R 上必定不是增函数,故A 错误;对于B,若函数f (x )是偶函数,则f (-2)=f (2),所以若f (-2)≠f (2),则函数f (x )不是偶函数,故B 正确;对于C,f (x )=x 2,满足f (0)=0,但不是奇函数,故C 错误;对于D,该函数为分段函数,在x=0处,有可能会出现右侧比左侧低的情况,故D 错误.故选ACD .6.AB 在f (x+4)=f (x )+f (2)中,令x=-2,得f (-2)=0,又因为函数y=f (x )是R 上的奇函数,所以f (2)=-f (-2)=0,f (x+4)=f (x ),故y=f (x )是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f (x )的图像的一个对称中心,所以点(4,0)也是函数y=f (x )的图像的一个对称中心,故A,B 正确;作出函数f (x )的部分图像如图所示,易知函数y=f (x )在[-6,-2]上不具单调性,故C 不正确;函数y=f (x )在[-6,6]上有7个零点,故D 不正确.故选AB .7.C ∵f (x )是奇函数,∴当x<0时,f (x )=-x 2+2x.作出函数f (x )的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f (x )是R 上的增函数,由f (2-a 2)>f (a ),得2-a 2>a ,解得-2<a<1,故选C .8.-2 因为f (x+4)=f (x ),所以f (x )的周期为4.又因为f (x )是奇函数,所以f (7)=f (8-1)=f (-1)=-f (1),由题意f (1)=12+1=2,所以f (7)=-2,故答案为-2.9.337 由题意得函数的周期为6,f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-3)=-1,f (4)=f (-2)=0,f (5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,所以数列{f (n )}从第一项起,每连续6项的和为1,则f (1)+f (2)+…+f (2 021)=336×1+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=337. 10.2 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)=0.又对任意x ∈R 都有f (x+6)=f (x )+f (3),∴当x=-3时,有f (3)=f (-3)+f (3), ∴f (-3)=0,f (3)=-f (-3)=0, ∴f (x+6)=f (x ),f (x )的周期为6. 故f (2 017)=f (1)=2. 11.D 设h (x )=sinx3 |x |,则h (-x )=-h (x ),所以h (x )是一个奇函数,所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0,所以M+m=π,所以f (M+m )=π2,故选D .12.D 由题意可知,f (x )的定义域为 x x 12,关于原点对称.∵f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,∴f (-x )=ln |-2x+1|-ln |-2x-1|=ln |2x-1|-ln |2x+1|=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.当x ∈ -12,12时,f (x )=ln(2x+1)-ln(1-2x ),∴f'(x )=22x 1 -21-2x4(2x 1)(1-2x )>0,∴f (x )在区间 -12,12上单调递增.同理,f (x )在区间 -∞,-12, 12, ∞ 上单调递减. 故选D .13.A ∵f (x+1)为偶函数,f (x )为奇函数,∴f (-x+1)=f (x+1),f (x )=-f (-x ),f (0)=0,∴f (x+1)=f (-x+1)=-f (x-1),∴f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=f (x+2+2)=-f (x+2)=f (x ), 则f (4)=f (0)=0,f (5)=f (1)=2, ∴f (4)+f (5)=0+2=2,故选A .14.5 ∵f (x+2)=f (x ),∴函数f (x )是周期为2的函数,若x ∈[-1,0],则-x ∈[0,1],f (-x )=-3x ,由题意f (-x )=f (x )=-3x.由ax+3a-f (x )=0,得a (x+3)=f (x ),设g (x )=a (x+3),分别作出函数f (x ),g (x )在区间[-3,2]上的图像如图.∵12<a<34,∴当a=12和34时,对应的直线为两条虚线,则由图像知两个函数有5个不同的交点,故方程有5个不相等的实数根. 15.B 由题意,f (-x )=2-x-1-12-x 112x 1-2x-1=-f (x ),所以f (x )为R 上的奇函数.因为2x-1和-12x 1都为R 上的增函数,所以f (x )=2x-1-12x 1为R 上的增函数.对于A,y=e x 不是奇函数,排除A;对于B,由f (-x )=ln(-x+ (-x ) 1)=ln1x x 2 1=-ln(x+√x 1)=-f (x ),所以f (x )为奇函数,由复合函数的单调性知y=ln(x+√x 1)为增函数,故B 正确;对于C,y=x 2不是奇函数,排除C;对于D,y=tan x 在R 上不是单调函数,排除D .故选B .16.1 ①中f (0)=6≠0,无论正数a 取什么值f (x-a )都不是奇函数,故不是“和谐函数”;②中f (x )=cos 2x-π2=sin 2x ,f (x )的图像向左或右平移π4个单位长度后其函数变为偶函数,f (x )的图像向左或右平移π2个单位长度后其函数变为奇函数,故不是“和谐函数”;③中f (x )=sin x+cos x=√2sin x+π4,因为f x-π4=√2sinx 是奇函数,f x+π4=√2cos x 是偶函数,故是“和谐函数”;④因为f (x )=ln |x+1|,所以只有f (x-1)=ln |x|为偶函数,而f (x+1)=ln |x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a 使得函数f (x )是“和谐函数”.综上可知,只有③是“和谐函数”.。

高考数学(人教a版,理科)题库：函数的奇偶性与周期性(含答案)

第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3 解析由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)解析当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3. 答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x－1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12 D ．1解析 f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D6．设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数解析显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 08．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案－19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)10．设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析 ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－72＋⎝⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案－8三、解答题11．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y ＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.14．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝12(x－2)．又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x－2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1. ∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154. 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

高一函数的奇偶性和周期性知识点+例题+练习含答案

1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数.关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)1．(2015·福建改编)下列函数中，①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e x－e－x为奇函数的是________．(填函数序号)答案 ④解析对于④，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 0解析由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 3．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为______________．答案 c ＜a ＜b解析由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0，所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)．4．(2014·天津)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f (32)＝________.答案 1解析函数的周期是2，所以f (32)＝f (32－2)＝f (－12)，根据题意得f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．题型一判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.解 (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f (－x )＝－f (x )．∴函数为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)下列四个函数：①f (x )＝－x |x |；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝ln xx，同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的是________．(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )分别是______________(填奇偶性)．答案 (1)① (2)偶函数，奇函数解析 (1)①中，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x >0，x 2，x ≤0，由函数性质可知符合题中条件，故①正确；②中，对于比较熟悉的函数f (x )＝x 3可知不符合题意，故②不正确；③中，f (x )＝sin x 在定义域内不具有单调性，故②不正确；④中，定义域关于原点不对称，故④不正确． (2)F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x ) ＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．题型二函数的周期性例2 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______.答案 (1)－1 (2)2.5解析 (1)因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， ②若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ，③若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝____________. 答案 12解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.题型三函数性质的综合应用命题点1 函数奇偶性的应用例3 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)1 (2)1解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合例4 (1)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为________．(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是__________________．答案 (1)(－1,4) (2)f (－25)<f (80)<f (11)解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.(2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)， f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数， f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln1＋e 3xe 3x ＋e 6x＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误．解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k，∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ).由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)．答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性． 3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． [失误与防范]1．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列函数中，①y ＝log 2|x |；②y ＝cos 2x ；③y ＝2x －2－x 2；④y ＝log 22－x 2＋x ，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是________．答案 ①解析对于①，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于②，函数y ＝cos 2x在区间(1,2)上不是增函数；对于③，函数y ＝2x －2－x 2不是偶函数；对于④，函数y ＝log 22－x2＋x 不是偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________．答案－4解析由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x －1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝3log 5(31)－－＝－4.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案－2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 019)＝－2.4．若函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )为偶函数，且函数y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为________．答案 1解析 ∵函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )＝ax 2＋(1－a 2)x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即f (－x )＝ax 2－(1－a 2)x －a ＝ax 2＋(1－a 2)x －a ， ∴1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝x 2－1，在x ∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1，在x ∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故a ＝1.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－2,1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案－－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________．答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)，∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3，∵⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.∴1<m <53. 12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋2 2，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.13．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案①②解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1，且f(x)是周期为2的周期函数．∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。

函数的奇偶性与周期性试卷(十四)(含答案)(真题).doc

函数的奇偶性与周期性试卷14.定义在R 上的偶函数/(%)满足：对任意的X 1?X 2G ［0,+OO )3 H X 2) 必少如＜0.则x 2 一兀1A. /⑶ 5—2)5)h(x) = ,则“ f(x) , g(x)均为偶函数”是“加兀)为偶函数”的 A.充要条件 B.充分而不必要的条件 G 必要而不充分的条件 D ・既不充分也不必要的条件4 .奇函数f(0在区间［3, 7］上递增，且最小值为5,那么在区间［ — 7, —3］上是()A. 增函数且最小值为一5B. 增函数H.最大值为一5C. 减函数J1最小值为一5D. 减函数且最大值为一55 .下列函数中，在其定义域内既是奇函数乂是减函数的是( )A. y = e xB. y = sin xC. y = -x 3D. y = log, x6 .已知/(兀)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数都有f (a • b) = qf (b) + b 、f (a),贝ij()A.于(兀)是奇函数，但不是偶函数B. /(x)是偶函数，但不是奇函数C. /(兀)既是奇函数，又是偶函数D. /(兀)既非奇函数，又非偶函数姓名 _____一、选择题(51分)班级学号分数.已知函数/(%) =-x 2 +x(x > 0) 兀2+兀(兀5 0)，则的奇偶性依次为 A.偶函数，奇函数 C.偶函数，偶函数B. D. 奇函数，偶函数奇函数，奇函数 C. /(-2) </(!)</(3) D. /(3) < /(I) < /(-2)/(x), g(%)是定义在R 上的函数,7.如果奇函数/⑴在区间［3,7］上是增函数且最大值为5,那么于⑴在区间［-7,-3］上是( )A.增函数且最小值是-5B.增函数且最犬值是-58 .已知函数/(x) = (m - l)x 2 + (m - 2)x + (m 2 - Im +12)为偶函数,那么m 的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 49 .已知函数f(Q 是定义域为/?的偶函数，且/(兀+ 1)= 丄，若/(町在［-1,0］上是减函数，那么/")在［2,3］上是15. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，它在［0,+oo)上为增函数11/(-) > 0,则不等式/(呃x)>03 -的解集为 A. (0?—) C.(㊁,l)u(2,+oo)16. 已知函数y = f(x)是定义在［a,b ］ ±的增函数，其中tz,/?eR,j=L0 </?<-«.设函数10. A.增苗数 B.减函数 C.先增后减的函数D.先减后增的函数已知定义域为的函数代Y )在(&+OO )上为减函数，.R 尸£(对8)函数为偶函数，则B. r(6)>A9)C. A7)>r(9) 11. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)二log 2(l-x),x<0 f(x -1) - / (x - 2), x > 0，则A2010)的值为 12.A. -1 1 函数g 讦A.是偶函数,在区间(-8,0)上单调递增C.是奇函数，在区间(0,+8)上单调递增 B. 0C. B.D. D. 2是偶函数，在区间(-8,0)上单调递减是奇函数,在区间(0,+ 8)上单调递减函数/(兀八/(x + 2)均为偶函数, 且当兀丘［0 , 2］时,f(x)是减函数,14. « = /(log s = c = /(—5),则 °、b 、C 的大小是A. a> b> cC. b> a> cD. c> a> b设/(兀)是R 上的奇函数，当x e [-1,0)时,/(x) = x, ja/(x +2)= -/(%),那么</a )< Xi12丿<f ~ < /(l)</(!)</ 4了3、(D) f - <f - < /(l)B. (2, +8) D. (0,—) u (2,+oo)F(X)=[/(X)]2-[/(-X)]2,KF(X)不恒等于0,则对于F(x)有如下说法:①定义域为［-伏刃②是奇函数③最小值为0 ④在定义域内单调递增其屮正确说法的个数有17.下列函数中，既是偶函数乂在(0,+oo)上单调递增的是( )3 1 】A. y = xB. y = cosxC. y = —D・y = In xx二、填空题(27分)18.设fd)是定义在R上的偶函数，且Hl+劝二A1 - x)，当一1W/W0时，f(x) =—* 兀,贝厅(86) = ______ .19.己知函数/(x) = 5znx4-c^(x + r)为偶函数,且r满足不等式r2-3r-40<0,则/的值为____________ •20.已知f (劝是泄义在实数集斤上的函数，且满足/(兀+ 2) = -——，/(1)=--,则于'/(x) 8 (2007)= __________2(7-321.设函数于(对是定义在R上以3为周期的奇函数，若/(1)>1,兀2)= —,则a的Q + 1 取值范围是______ .22.已知定义在R上的偶函数/⑴满足f(x + 2) = -^—对丁nw/?恒成立，且/(x)>0 ,/W则/(1)= ___________ 、/(H9)= ____________ •23.已知偶函数y = f(x),当x>0时，/(x) = (x-l)2,若当"［-2,-丄］时，不等式nW/⑴W2m恒成立，则m・n的最小值是 _______ .24.在直角坐标系内，已知点A (2, 3),则点A关于y轴対称的点的坐标是_________ ，点A关于x轴对称的点的坐标是______ ，点A关于直线y =兀对称的点的坐标是_______ ,点A关于直线y = -x对称的点的坐标是_________ ，点A关于原点对称的点的坐标是______ ，点A关于点(a,b)对称的点的坐标是________ ，点A关于克线兀=3对称的点的处标是______ .25.如果函数y = /(%),对于任意的xeR，恒有/(2 + x)=/(2-x),则函数.f(x)图像的对称轴是________ ,将其图像向_______ 平移____ 个单位，即得偶函数的图像. 26.若［幻表示不超过x的最大整数,如［e］二2, ［—2. 27］二一3,则函数f 3二x—［幻对于下列命题：①函数产f (力的泄义域为R,值域为［0, 1］②函数产f (0为偶函数③函数尸f(Q在斤上是增函数④函数尸f(Q是周期函数⑤方程f(Q 专有无数解•其小正确命题的序号为____________________________ ・三、解答题(22分)27.对于圧Z,用厶表示区间(2&T, 2&+1］。

函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。

(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。

(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。

3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。

二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。

(完整版)函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于（）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是（）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有（）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是（） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的是（） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

5函数函数的奇偶性与周期性练习题答案

函数函数的奇偶性与周期性一、函数的奇偶性知识点归纳1函数的奇偶性的定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x , 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数. 2奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=；若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4判断函数的奇偶性的方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区间，则立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区间，再判断f(-x)= -f(x )或f(-x)=f(x)是否成立判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- (2)图像法：奇（偶）函数的充要条件是它的图像关于原点（或y 轴）对称. 5设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇应用举例1、常见函数的奇偶性：奇函数：ax y =（a 为常数），x y sin =，x y tan =，k xky (=为常数）偶函数：a y =（a 为常数），0=a 时既为奇函数又为偶函数2ax y =（)0≠a ，c ax y +=2（)0≠a ，ax y =（a 为常数），x y cos = 非奇非偶函数：)0(≠+=b b kx y ，)0(2≠++=b c bx ax y ，)0(≠+=c c ax y ，)0(≠+=c cx ky ，)1,0(≠>=a a a y x ，)1,0(log ≠>=a a x y a既奇又偶函数：0=y2、对奇偶性定义的理解例1 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4分析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误;奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确;若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x ∈R ，故④错误，选A ．练习：1、（2007全国Ⅰ）)(x f ，是定义在R 上的函数，，则“)(x f ，均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的BA.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件解析:∵f (x )、g (x )均为偶函数,∴f (－x )=f (x ),g (－x )=g (x ).∴h (－x )=f (－x )+g (－x )=f (x )+g (x )=h (x ).∴h (x )为偶函数. 但若h (－x )=h (x ),即f (－x )+g (－x )=f (x )+g (x ), 不一定f (－x )=f (x ),g (－x )=g (x ), 例f (x )=x 2+x ,g (x )=－x . 2、（2007江苏）设f （x ）=l g （）是奇函数，则使f （x ）＜0的x 的取值范围是AA.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，0）D.（-∞，0）∪（1，+∞）解析:∵f (x )为奇函数,∴f (0)=0.解之,得a =－1. ∴f (x )=lg.令f (x )＜0,则0＜＜1,∴x ∈(－1,0).3、已知函数解析式，判断或证明函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性(1) f (x)=x 3+x (2) f (x)=3x 4+6x 2 +a (3) f (x)=3x+1 (4) f (x)=x 2 ，x ∈[- 4 , 4)，（5）1sin +=x y 例3判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；解：（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数（2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)- ，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-，∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数练习：1、判断函数 f ( x ) = 的奇偶性解：由题∴ 函数的定义域为 [－1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]此时 f ( x ) =故 f ( x ) 是奇函数4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4（2007北京西城）已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，2|2|12-+-x x ⎩⎨⎧≠-+≥-02|2|012x x ⎩⎨⎧±≠+≤-+⇒220)1)(1(x x x ⎩⎨⎧-≠≠≤≤-⇒4011x x x 且2)2(12-+-x x x x 21-=x x x f ---=-2)(1)(又x x 21--== －f ( x )令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数．（2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．例5．(2006年辽宁)设是上的任意函数，下列叙述正确的是（C ）Ａ．是奇函数Ｂ．是奇函数Ｃ．是偶函数Ｄ．是偶函数解：据奇偶函数性质：易判定f （x ）·f （-x ）是偶函数，f （x ）-f （-x ）是奇函数 f （x ）·|f （-x ）|的奇偶取决于f （x ）的性质，只有f （x ）+f （-x ）是偶函数正确。

函数的周期性,奇偶性,对称性经典小题练(含答案)

函数的周期性练习题一．选择题（共15小题）1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．56．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.58．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．29．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．310．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f（f（5））=（）A．﹣5 B．C．D．5 11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 12．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．913．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 14．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，则方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数（）A．4B．8C．9D．1015．已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共10小题）16．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有f（x+3）=，则f（2014）=．17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为．18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为．19．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=．20．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）=．21．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f （8）﹣f（14）=．23．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）＞1，f（2014）=，则实数a的取值范围是．24．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．25．若f（x+2）=，则f（+2）•f（﹣14）=．一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1 故f（log220）=﹣1 故选C2．【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B3．【解答】解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣，∴f（x+3）=﹣，则f（x+6）=f（x），即函数f（x）的周期为6，∴f（119.5）=f（20×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣=﹣，又∵偶函数f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，有f（x）=4x，∴f（119.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：C．4．【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；5．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣1），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．6．【解答】解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，故选：A7．【解答】解：∵，∴==f（x）∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵当2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴f（5.5）=2.5 故选D8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．9．【解答】解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0则：f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 故选：B 10．【解答】解：∵f（x+2）=∴f（x+2+2）==f（x）∴f（x）是以4为周期的函数∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）又∵f（﹣1）===﹣∴f（f（5））=﹣故选B11．【解答】解：∵f（x+5）=f（x﹣5），∴f（x+10）=f（x），则函数f（x）是周期为10的周期函数，则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4﹣3=1，故选：C．12．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x2﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，故选：B．13．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣2015）=﹣f（2015）=﹣f（1）=﹣1．∴f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）=0﹣1+0=﹣1．故选A．14．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，在同一坐标系中画出函数f（x）与y=的图象如下图：由图象可知：函数y=f（x）与y=在区间[﹣3，4]上有10个交点（互不相同），所以方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数是10个，故选：D．15．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为2，∴f（x+2）=f（x），∵f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|∴作图如下：∴函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选：C二．填空题（共10小题）16．【解答】解：∵对任意的x都有f（x+3）=，∴f（x+6）==f（x），∴函数f（x）为周期函数，且周期T=6，∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）=f（1+3）==﹣5 故答案为：﹣517【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；故答案为8；18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），即f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6．∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，故答案为：﹣3．19．【解答】解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．而2010=3×670，于是f （2010）=0；故答案为0．20．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），∴函数f（x）是周期函数且T=4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案为：8．21．【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f （5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：33822．【解答】解：由题意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣15）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案为﹣1．23．【解答】解：解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），又f（2）＞1，∴f（2014）＜﹣1，即＜﹣1，即为＜0，即有（3a﹣2）（a+1）＜0，解得，﹣1＜a＜，故答案为：．24．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，∴f（+2）•f（﹣14）=﹣×4=，故答案为：三．解答题（共5小题）26．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数；（2）解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，∴f（x）=x2+2x，又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4）=x2﹣6x+8，从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=﹣1，又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．27．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．28．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．29．【解答】解：∵函数f（x）的周期为3，∴f（﹣2014）=f（﹣671×3﹣1）=f（﹣1），∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12﹣1+2）=﹣2，∴f（﹣2014）=﹣2．30．【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，所以f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），且f（﹣1）=﹣f（1），于是f（﹣1）=0．…（2分）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x+2x）=﹣2x﹣2﹣x．…（5分）所以f（x）在[﹣1，0）上的解析式为…（7分）（2）f（x）在（﹣2，﹣1）上是单调增函数．…（9分）先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．设0＜x1＜x2＜1，则因为0＜x1＜x2＜1，所以，于是，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上亦为单调增函数．…（14分）。

函数的奇偶性与周期性-知识梳理与典型题(非常全面)

函数的奇偶性与周期性1．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )关于原点对称就叫做奇函数2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，非零常数T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（）A ．(][),13,-∞-+∞B ．(][],11,3-∞-C ．[][]1,01,3- D ．[][)1,03,-+∞ 2．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．1-B ．0C ．1D ．23．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()11f =，()22f =，则()()124f f --等于（）A ．-2B ．2C ．-1D ．14．（2021·江苏南通市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()22f =，且对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()11f x f x +≤+，若()()1g x f x x =+-，则()2020g =（）A ．2020B ．3C ．2D ．15．（2021·河南高三其他模拟（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]5,16-=-，[]3π=.已知函数()21xf x x =+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1D ．{}0,16．（2021·全国高三其他模拟）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A ．y ＝||2x e xB ．y ＝2(1)||xx e x +C ．y ＝|2|xe x D ．y ＝22xe x 7．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(2,2)-8．（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知函数()2xxf x e ex -=--，若不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0,e B ．[]0,e C ．(]0,1D ．[]0,19．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中（理））已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数x 有()()55f x f x +=-+，若函数()1f x -的图象关于直线1x =对称，()12f -=，则()2021f =（）A ．5B ．-2C ．1D ．210．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．211．（2021·新余市第一中学高三其他模拟（理））关于函数()sin xf x x=，()0,x ∈+∞的性质，以下说法正确的是（）A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 在()0,π上有极值C ．函数()f x 在()0,∞+单调递减D ．函数()f x 在()0,∞+内有最小值12．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()26f x f x -=-+，当[]0,4x ∈时，()31,02,164,24,x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩则()()()20202021f f f +=（）A ．1-B ．4C ．4-D ．113．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()πcos2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．514．（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．015．（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减16．（2019·全国高考真题（理））函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．17．（2010·安徽高考真题（理））若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -=A ．－1B ．1C ．－2D ．218．（2016·四川高考真题（理））已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5((1)2f f -+54-=____________.19．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．20．（2019·北京高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．1．C 【分析】首先将()10xf x -≤转化为()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，根据函数单调性解()10f x -≥和()10f x -≤，进而可以求出结果.【详解】因为()10xf x -≤，所以()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，所以()001310012x x x f x x ≥≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨-≤≤-≤⎩⎩，因为()f x 在R 上为奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，因此()001010211x x x f x x ≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨⎨-≥-≤-≤-⎩⎩，综上：不等式()10xf x -≤的解集为[][]1,01,3- .故选：C.2．C 【分析】由()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，可得函数的周期为4，再奇函数的性质可得()20log 0f a ==，从而可求出1a =，进而可求得()2021f 的值【详解】解：因为()y f x =为奇函数，即()()f x f x -=-，因为对任意x ∈R ，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，所以()20log 0f a ==，所以1a =，则()()()22021505411log 21=⨯+===f f f .故选：C.3．C 【分析】根据函数的周期性与奇偶性计算可得；【详解】解：∵若()f x 是R 上周期为5的奇函数，∴()()f x f x -=-，(5)()f x f x +=，∴(12)(12)f f -=-(2)2f =-=-，(4)(1)(1)1f f f =-=-=-，∴(12)(4)2(1)1f f --=---=-，故选：C .4．D 【分析】本题由不等式()()33f x f x +≥+和()()11f x f x +≤+，带入()()1g x f x x =+-后得到即()()1g x g x +≤，即()()1g x g x ≤+，可得()()1g x g x +=，可得周期为1，即可得解.【详解】因为对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()1g x f x x =+-，所以()()()33113g x x g x x +++-≥+-+，即()()3g x g x +≥.又对任意的x ∈R ，()()11f x f x +≤+，所以()()()11111g x x g x x +++-≤+-+，即()()1g x g x +≤，所以()()()()321g x g x g x g x ≤+≤+≤+，即()()1g x g x ≤+，所以()()1g x g x +=，从而()g x 是周期为1的周期函数.又()()22121g f =+-=，所以()()202021g g ==.故选：D5．B 【分析】由()21xf x x =+为奇函数，可先分析函数0x >时值域，即可得函数在R 上值域，利用高斯函数的意义求解即可.【详解】因为x ∈R ，()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数.当0x >时，()210122x x f x x x <=≤=+，所以当x ∈R 时，()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，从而()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}1,0-.故选：B 6．C 【分析】通过奇偶性及特殊值分析即可【详解】A 项为奇函数，排除，B 项，当0x >，1||e 2e 2||x xy x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，排除D 项2x =时218e y =<，排除故选：C7．A 【分析】先求出()f x 的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到()f x 的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出()g x 的值域．【详解】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．D 【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性即可将不等式转化为2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立，根据恒成立问题求解即可.【详解】解：()2xxf x e ex -=-- 的定义域为R 关于原点对称，且()()2xx f x ee xf x --=-+=-，()f x ∴为R 上的奇函数，又()12xx f x e e'=+- ，而12x x e e +≥=，当且仅当1xx e e =，即0x =时等号成立，故()120x x f x e e '=+-≥恒成立，故()f x 为R 上的增函数，不等式()()2120f axf ax +-≥对x R ∀∈恒成立，即()()212f axf ax ≥--对x R ∀∈恒成立，即()()221f ax f ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即221ax ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立，当0a =时，不等式恒成立，当0a ≠时，则()20240a a a >⎧⎪⎨∆=--≤⎪⎩，解得：01a <≤，综上所述：[]0,1a ∈.故选：D.9．D【分析】先根据对称性分析出()f x 的奇偶性，然后根据()()55f x f x +=-+分析出()f x 为周期函数并求解出一个周期，根据奇偶性和周期性求解出()2021f 的值.【详解】由函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称可知，函数()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，又由()()55f x f x +=-+，得()()()()555555f x f x f x f x ++=-++=--++=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是周期为10的偶函数.所以()()()()2021120210112f f f f =+⨯==-=，故选：D.结论点睛：通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：（1）若函数()y f x a =+的图象关于直线x a =-对称，则()f x 为偶函数；（2）若函数()y f x a =+的图象关于点(),0a -成中心对称，则()f x 为奇函数.10．C【分析】根据()f x 为R 上的奇函数可求出a ，又()1f x +为偶函数，可推出()f x 为周期函数，利用周期性即可求解.【详解】解： ()f x 为R 上的奇函数，且当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+∴()00f =，即2log 0a =，1a \=，∴当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，()1f x +为偶函数，()()11f x f x ∴+=-+，()()2f x f x ∴+=-，又 ()f x 为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，∴()f x 是周期为4的周期函数，∴()()()()22021450511log 111f f f =⨯+==+=，故选：C.【点睛】()数，利用周期性求解.11．D【分析】根据周期性的定义可知，函数()f x 的周期不是2π；再利用导数即可判断函数的单调性，极值和最值．【详解】对于A ，因为()()sin 2sin 222x x f x x x ππππ++==++，当sin 0x ≠时，()()2f x f x π+≠，所以函数()f x 的周期不是2π，A 错误；对于B ，因为()2cos sin x x x f x x-'=，设()cos sin g x x x x =-，()cos sin cos sin g x x x x x x x '=--=-，当()0,πx ∈时，()0g x '<，所以()()00g x g <=，即()0f x '<，故函数()f x 在()0,π上单调递减，B 错误；对于C ，()()20f f ππ==，所以函数()f x 在()0,∞+上不单调，C 错误；对于D ，因为当0sin 1x ≤≤时，()0f x ≥，当1sin 0x -≤<时，()sin 10x f x x x >=≥-，当且仅当()322x k k N ππ=+∈时取等号，而1y x=-在()0,∞+上单调递增，所以当32x π=时，函数()f x 取得最小值，D 正确．故选：D.12．C【分析】由已知可求得函数()f x 的周期为8，再利用函数的解析式代入可得选项．【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =，又()()26f x f x -=-+，所以()()2262f x f x ⎡⎤⎡⎤--=-+-⎣⎦⎣⎦，即()()()444f x f x f x -=-+=--，所以函数()f x 的周期为8，所以()()4164402020f f =-⨯==，()()()202000f f f ==，()()()()20215316434f f f ==-=--⨯=-，故选：C ．【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.13．A【分析】由()()2f x f x +=，可知()f x 是周期2T =的周期函数，结合函数的奇偶性，可作出()f x 的图象.令()0f x x -=，可将函数()y f x x =-的零点问题转化为()y f x =和()g x x =的图象交点个数问题，进而求出交点个数即可.【详解】因为()()2f x f x +=，即函数()f x 是周期2T =的周期函数.又∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且[0,1]x ∈时，()πcos2f x x =，∴当[1,0)x ∈-时，ππ()()cos()cos 22f x f x x x =-=-=，令()0f x x -=，则函数()y f x x =-的零点个数即为函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数，分别作出函数()y f x =和()g x x =的图象，如下图，显然()f x 与()g x 在[1,0)-上有1个交点，在[0,1]上有一个交点，当1x >时，()1g x >，而()1f x ≤，所以1x >或1x <-时，()f x 与()g x 无交点.综上，函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数为2，即函数()y f x x =-的零点个数是2.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查求函数零点个数问题.一般的，求函数()y f x =的零点个数，常用的方法：（1）直接解方程()0f x =，求出方程的解的个数，也就是函数()y f x =的零点个数；（2）作出函数()y f x =的图象，其图象与x 轴交点的个数就是函数()y f x =的零点的个数；（3）化函数零点个数问题为方程()()=g x h x 的解的个数问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是函数()y f x =的零点的个数.14．A【分析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22x x a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22x xf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.15．D根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．17．A【解析】∵f(x)是R 上周期为5的奇函数∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,f(3)-f(4)=-2+1=-118．-2【详解】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.考点：函数的奇偶性和周期性.19．②③【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．-1;(],0-∞.【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围.【详解】若函数()x x f x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x x f x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.-∞即实数a的取值范围是(],0。

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函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( )
A ．f(x)＝x2＋x
B ．f(x)＝tan x
C ．f(x)＝x ＋sin x
D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f(x)g(x)是偶函数
B ．|f(x)|g(x)是奇函数
C ．f(x)|g(x)|是奇函数
D ．|f(x)g(x)|是奇函数
3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23
，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43
4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )
A ．－2
B ．2
C ．－98
D ．98
5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )
A ．(1,3)
B ．(－1,1)
C ．(－1,0)∪(1,3)
D ．(－1,0)∪(0,1)
6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1
，则a 的取值范围是( )
A ．a<－1或a≥23
B ．a<－1
C ．－1<a≤23
D ．a≤23
二、填空题
7．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.
8．(2015·广州市调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是________．
9．(2015·嘉兴模拟)函数y ＝(x －2)|x|在[a,2]上的最小值为－1，则实数a 的取值范围为________．
10．(文科)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x ＋1)＝f(x
－1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121－x ，则 ①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的
最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －3. 其中所有正确命题的序号是________．
10．(理科)(2015·丽水模拟)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
三、解答题
11．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝x (0<x≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．
12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x2＋2x ，x>0，0，x ＝0，
x2＋mx ，x<0
是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．解析：函数f(x)＝x2＋x 不是奇函数；函数f(x)＝tan x 的定义域不是R ；函数f(x)＝lg 1－x 1＋x
的定义域是(－1,1)．故选C. 答案：C
2．解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A 错；|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B 错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C 正确；|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D 也错．
答案：C
3．解析：根据题意，f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1＝1＋x x2＋1，而h(x)＝x x2＋1
是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－23＝43
，故选C. 答案：C
4．解析：∵f(x ＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，
∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R 上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－
1)＝－f(1)，而当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.
答案：A
5．解析：f(x)的图象如图．
当x ∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x ∈(－1,0)；
当x ∈(0,1)时，由xf(x)<0得x ∈∅；
当x ∈(1,3)时，由xf(x)>0得x ∈(1,3)．
故x ∈(－1,0)∪(1,3)．
答案：C
6．解析：函数f(x)为奇函数，则f(1)＝－f(－1)．
由f(1)＝－f(－1)≥1，得f(－1)≤－1；
函数的最小正周期T ＝3，则f(－1)＝f(2)，
由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a≤23
. 答案：C
二、填空题
7．解析：由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e3x ＋1)＋ax ，
∴2ax ＝－ln e3x ＝－3x ，∴a ＝－32
. 答案：－32
8．解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，
又f(x)是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.
答案：2
9．解析：y ＝(x －2)|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2－2x ，x>0，0，x ＝0，
－x2＋2x ，x<0.
函数的图象如图所示，当x<0时，由－x2＋2x ＝－1，得x ＝1－ 2.
借助图形可知1－2≤a≤1.
答案：[1－2，1]
10．解析：由已知条件：f(x ＋2)＝f(x)，
则y ＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时0≤－x≤1，
f(x)＝f(－x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121＋x ，函数y ＝f(x)的图象如图所示：
当3<x<4时，－1<x －4<0，
f(x)＝f(x －4)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．答案：①②④
10．解析：∵f(x)为奇函数并且f(x －4)＝－f(x)．∴f(x －4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x －8)＝－f(x －4)＝f(x)，即y ＝f(x)的图象关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数．
∵f(x)在[0,2]上是增函数，∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出y ＝f(x)的图象，
其图象也关于x ＝－6对称，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8. 答案：－8
三、解答题
11．解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，
有f(x ＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x ＋2)．
又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，
故有f(－x)＝－f(x)．故f(x ＋2)＝－f(x)．
从而f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解：由函数f(x)是定义在R 上的奇函数，有f(0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]， f(x)＝－f(－x)＝－－x.
故x ∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.
x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x ＋4)＝－－x －4.
从而，x ∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x －4.
12．解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x ＝x2＋mx ，
所以m ＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a －2]上单调递增．
结合f(x)的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，
所以1<a≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。