函数的奇偶性练习题及答案
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函数的奇偶性练习题
一、选择题
1.已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)是偶函数,那么g (x )=ax 3+bx 2+cx ( )
A .奇函数
B .偶函数
C .既奇又偶函数
D .非奇非偶函数
2.已知函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,且其定义域为[a -1,2a ],则( )
A .a=1/3,b =0
B .a =-1,b =0
C .a =1,b =0
D .a =3,b =0
3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-2x ,则f (x )在R 上的表达式是( )
A .y =x (x -2)
B .y =x (|x |-1)
C .y =|x |(x -2)
D .y =x (|x |-2)
4.已知f (x )=x 5+ax 3+bx -8,且f (-2)=10,那么f (2)等于( )
A .-26
B .-18
C .-10
D .10
5.函数1111)(22+++-++=x x x x
x f 是( )A 偶函数B 奇函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数
6.若)(x ϕ,g (x )都是奇函数,2)()(++=x bg a x f ϕ在(0,+∞)上有最大值5,则f (x )在(-∞,0)上有( )A .最小值-5 B .最大值-5 C .最小值-1 D .最大值-3
二、填空题
7.函数212
2)(x
x x f ---=的奇偶性为________(填奇函数或偶函数) 8.若y =(m -1)x 2+2mx +3是偶函数,则m =_________
9.已知f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,若11
)()(-=+x x g x f ,则f (x )的解析式为_______
10.已知函数f (x )为偶函数,且其图象与x 轴有四个交点,则方程f (x )=0的所有实根之和为________
三、解答题
11.设定义在[-2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围
12.已知函数f (x )满足f (x +y )+f (x -y )=2f (x )·f (y )(x ∈R ,y ∈R ),且f (0)≠0, 试证f (x )是偶函数
13.已知函数f (x )是奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3+2x 2
—1,求f (x )在R 上的表达式
14.f (x )是定义在(-∞,-5] [5,+∞)上的奇函数,且f (x )在[5,+∞)上单调递减,试判断f (x )在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明
15.设函数y =f (x )(x ∈R 且x ≠0)对任意非零实数x 1、x 2满足f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2), 求证f (x )是偶函数
1.解析:f (x )=ax 2+bx +c 为偶函数,x x =)(ϕ为奇函数,∴g (x )=ax 3+bx 2+cx =f (x )·)(x ϕ满
足奇函数的条件. 答案:A
2.解析:由f (x )=ax 2+bx +3a +b 为偶函数,得b =0.又定义域为[a -1,2a ],∴a -1=2a ,∴31=a .故选A .
3.解析:由x ≥0时,f (x )=x 2-2x ,f (x )为奇函数,∴当x <0时,f (x )=-f (-x )=-(x
2+2x )=-x 2
-2x =x (-x -2).∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f (x )=x (|x|-2)答案:D 4.解析:f (x )+8=x 5+ax 3+bx 为奇函数,f (-2)+8=18,∴f (2)+8=-18,∴f (2)=-26. 答
案:A
5.解析:此题直接证明较烦,可用等价形式f (-x )+f (x )=0. 答案:B
6.解析:)(x ϕ、g (x )为奇函数,∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数.又f (x )在(0,+∞)上有最大值5, ∴f (x )-2有最大值3.∴f (x )-2在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f (x )在(-∞,0)上有最小值-1. 答案:C
7.答案:奇函数
8.答案:0解析:因为函数y =(m -1)x 2+2mx +3为偶函数,∴f (-x )=f (x ),即(m -1)(-x )
2+2m (-x )+3=(m —1)x 2+2mx +3,整理,得m =0.
9.解析:由f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,可得11)()(--=
-x x g x f ,联立11)()(-=+x x g x f ,∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f .答案:1
1)(2-=x x f 10.答案:0 11.答案:2
1 13.解析:本题主要是培养学生理解概念的能力.f (x )=x 3+2x 2-1.因f (x )为奇函数,∴f (0)=0. 当x <0时,-x >0,f (-x )=(-x )3+2(-x )2-1=-x 3+2x 2-1,∴f (x )=x 3-2x 2+1. 因此,. )0()0()0(120 12)(,,2323 <=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评:本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力. 14.解析:任取x 1<x 2≤-5,则-x 1>-x 2≥-5.因f (x )在[5,+∞]上单调递减,所以f (-x 1)<f (-x 2)⇒f (x 1)<-f (x 2)⇒f (x 1)>f (x 2),即单调减函数. 点评:此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性,并及时转化. 15.解析:由x 1,x 2∈R 且不为0的任意性,令x 1=x 2=1代入可证,f (1)=2f (1),∴f (1)=0.又令x 1=x 2=-1,∴f [-1×(-1)]=2f (1)=0,∴(-1)=0.又令x 1=-1,x 2=x ,∴f (-x )=f (-1)+f (x )=0+f (x )=f (x ),即f (x )为偶函数. 点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x 1=x 2=1,x 1=x 2=-1或x 1=x 2=0等,然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可.