精编版2012全国各地中考数学试题分类解析汇编由运动产生的线段和差问题

(精编版)2012全国各地中考数学试题分类解析汇编由运动产生的线段和差问题
1.（2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy 中，对于任意两点P 1（x 1,y 1）与P 2（x 2,y 2）的“非常距离”， 给出如下定义：
若∣x 1－x 2∣≥∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣x 1－x 2∣； 若∣x 1－x 2∣＜∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣y 1－y 2∣.
例如：点P 1（1,2），点P 2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为 ∣2－5∣=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）。

（1）已知点A 1
(0)2
-，，B 为y 轴上的一个动点，
①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知C 是直线3
y x 34
=
+上的一个动点， ①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最 小值及相应的点E 和点C 的坐标。

【答案】解：（1）①（0，－2）或（0，2）。

②
2
1。

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】※（2）①设C 坐标为003x x 34⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，，如图，过点C 作CP⊥x 轴于点P ，作CQ⊥y 轴于
点Q 。

由“非常距离”的定义知，当OP=DQ 时，点C 与点D 的“非常距离”最小，
∴003
x 0x 314
-=
+-。

两边平方并整理，得2007x 48x 64=0--，解得，08x 7=-
或0x 8=（大于8
7
，舍去）。

∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值距离为87，此时815C 77⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，。

②设直线3
y x 3
4
=+与x 轴和y 轴交于点A ，B ，过点O
作直线3y x 34=
+的垂线交直线3
y x 34
=+于点C ，交圆于点E ，过点C 作CP⊥x 轴于点P ，作CQ⊥y 轴于点Q ，过点E 作EM⊥x 轴于点M ，作EN⊥y 轴于点N 。

易得，OA=4，OB=3，AB=5。

由△OAB∽△MEM，OE=1，得OM=35，ON=45。

∴34E 55⎛⎫
- ⎪⎝⎭，。

设C 坐标为003x x 34⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，
由“非常距离”的定义知，当MP=NQ 时，点C 与点E 的“非常距离”最小， ∴00334
x +
x 3545
=+-。

两边平方并整理，得200175x 840x 1792=0--， 解得，08x 5=-或0224x 35=（大于8
5
，舍去）。

∴点C 与点E 的“非常距离”的最小值距离为1，此时89C 55⎛⎫- ⎪⎝⎭，，34E 55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，。

【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。

【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。

（2）①解题关键是，过C 点向x 、y 轴作垂线，当CP 和CQ 长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C 点到达C’点，其与点D 的“非常距离”都会增大。

故而C 、D 为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。

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】※
②同①，同时理解当OC 垂直于直线3
y x 34
=
+时，点C 与点E 的“非常距离”最小。

2. （2012广西南宁10分）已知点A （3，4），点B 为直线x=-1上的动点，设B （－1，y ）． （1）如图1，若点C （x ，0）且－1＜x ＜3，BC⊥AC，求y 与x 之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，y 是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，当点B 的坐标为（－1，1）时，在x 轴上另取两点E ，F ，且EF=1．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E 的坐标．
【答案】解：（1）如图1，过点A 作AE⊥x 轴于点E ．
在△BCD 与△CAE 中，
∵∠BCD=∠CAE=90°－∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°， ∴△BCD∽△CAE，∴
BD CD
CE AE
=。

∵A（3，4），B （－1，y ），C （x ，0）且－1＜x ＜3， ∴
y x 1
3x 4
+=-。

∴y 与x 之间的函数关系式为2113
y x x 424
=++（－1＜x ＜3）。

（2）y 没有最大值。

理由如下：
∵222113131
y x x (x 2x)(x 1)1424444
=
++=-+=-+，
又∵－1＜x ＜3，∴y 没有最大值。

（3）如图2，过点A 作x 轴的平行线，并且在这条平行线上
截取线段AA′，使AA′=1，作点B 关于x 轴的对称点B′，连接A′B′，交x 轴于点E ，在x 轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF 的周长最小。

∵A（3，4），∴A′（2，4）。

∵B（－1，1），∴B′（－1，－1）。

设直线A′B′的解析式为y=kx+b ，
则2k b 4k b 1+=⎧⎨-+=-⎩，解得5k 3
2b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴直线A′B′的解析式为52
y x 33
=
+。

当y=0时，52x 033+=，解得2
x 5
=-。

∴线段EF 平移至如图2所示位置时，四边形ABEF 的周长最小， 此时点E 的坐标为（2
5
-
，0）。

【考点】一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，轴对称的性质，三角形三边关系。

【分析】（1）过点A 作AE⊥x 轴于点E ，先证明△BCD∽△CAE，再根据相似三角形对应边成比例即可 求出y 与x 之间的函数关系式。

（2）先运用配方法将2113
y x x 424
=
++写成顶点式，再根据自变量x 的取值范围即可求解。

（3）欲使四边形ABEF 的周长最小，由于线段AB 与EF 是定长，所以只需BE+AF 最小．为此，
先确定点E 、F 的位置：过点A 作x 轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B 关于x 轴的对称点B′，连接A′B′，交x 轴于点E ，在x 轴上截取线段EF=1，则点E 、F 的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出点E 的横坐标，从而得出点E 的坐标。

3. （2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2
+bx+c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax 2
+bx+c 的解析式；
（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值．
【答案】解：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y=ax 2
+bx+c 中，得
4a+2b+c=04a 2b+c=4c=0
⎧⎪
--⎨⎪⎩，解这个方程组，得1a=2b=1c=0⎧-⎪⎪⎨⎪⎪
⎩。

∴抛物线的解析式为y=﹣12
x 2
+x 。

（2）由y=﹣12x 2+x=﹣12（x ﹣1）2+12
，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB 。

∴OM=BM。

∴OM+AM=BM+AM。

连接AB 交直线x=1于M 点，则此时OM+AM 最小。

过点A 作AN⊥x 轴于点N ，
在Rt△ABN
中，== 因此OM+AM
最小值为
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。

（2）根据O 、B 点的坐标发现：抛物线上，O 、B 两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连
接A 、B ，直线AB 和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M 点，而AM+OM 的最小值正好是AB 的长。

对x=1上其它任一点M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有： O M′+A M′= B M′+A M′＞AB=OM+AM ， 即OM+AM 为最小值。