导数应用测试题及参考答案
导数运算法则的应用试题及答案
导数运算法则的应用试题及答案导数运算法则的应用试题1.若函数()f x 在R 上可导，且满足'()()f x xf x < ，则( ) A.2(1)(2)f f < B.2(1)(2)f f > C.2(1)(2)f f = D.(1)(2)f f =2.已知函数()f x 的导函数为 '()f x ，满足 ln '()2()x xf x f x x +=，且1()2f e e=，则()f x 的单调性情况为（ ）A ．先增后减B 单调递增C ．单调递减D 先减后增3.定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()()f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <4.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0,+∞ B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞5.)0)()((),(≠x g x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<，且0)()(,0)3(<=-x g x f f的解集为（ ） A ．（－∞，－3）∪（3，+∞） B ．（－3，0）∪（0，3） C ．（－3，0）∪（3，+∞） D ．（－∞，－3）∪（0，3）6.若定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2(2009)f e 的大小关系为（ ）.A 、(2011)f <2(2009)f eB 、(2011)f =2(2009)f eC 、(2011)f >2(2009)f eD 、不能确定7.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立，则（ ） Aππ()2()43f B ．(1)2()sin16πf f C ππ()()64f D ππ()()63f8.定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足x x f x f >')()(，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <9.函数f(x)的定义域是R ，f(0)＝2，对任意x ∈R ，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x ·f(x)>e x ＋1的解集为( ) A ．{x|x>0} B ．{x|x<0}C ．{x|x<－1或x>1}D ．{x|x<－1或0<x<1}10.设函数在R 上存在导数，对任意的R ，有，且(0，+)时，．若，则实数a 的取值范围为( )(A)[1，+∞) (B)(-∞，1] (C)(-∞，2] (D)[2，+∞)()f x '()f x x ∈2()()f x f x x -+=x ∈∞'()f x x >(2)()22f a f a a --≥-11.设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '<-，对于任意的正数a ，下面不等式恒成立的是（ ）A.()()0a f a e f <B.()()0a f a e f >C.()()0a f f a e <D.()()0af f a e>12.已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意x R ∈，有()3f x '>，且()13f -=，则f （x ）＜3x ＋6的解集为( ) A.（－1, 1） B.（－1，+∞） C.（－∞，－1） D.（－∞，＋∞）13.已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，()()f x f x '>对于x R ∈恒成立，且e 为自然对数的底数，则（ ） A ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅<⋅ B ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅=⋅ C ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅>⋅D ．2013(2014)e f ⋅与2014(2013)e f ⋅的大小不能确定14.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（ ） A. (-2,0) ∪(2,+∞) B. (-2,0) ∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2)15．已知定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数)(x f '在R 上恒有21)(<'x f ，则不等式212)(+<x x f 的解集为（ ) A. ),1(+∞ B. )1,(-∞ C. )1,1(- D. )1,(-∞),1(+∞16.已知函数()y f x =是定义在数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，()()xf x f x '<-成立，若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,)41(log )41(log 22f c =,则,,a b c 的大小关系是（ ）A. c a b >>B. c b a >>C. a b c >>D. a c b >>17.设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（ ） A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f =C. 3(ln 2)2(ln3)f f <D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定导数运算法则的应用试题参考答案1.【答案】Ａ试题分析：设x x f x g )()(=，则2)()()(xx f x f x x g -'='， ∵'()()f x xf x <，∴0)(>'x g ，即g （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴),2()1(g g <即)2()1(22)2(1)1(f f f f <⇒<，故选：A ．2.【答案】C试题分析：由ln '()2()xxf x f x x+=知，22()2()(())ln x f x xf x x f x x ''+==，故2()x f x =ln x x x c -+，所以()f x =2ln 1x c x x x -+，因为1()2f e e =，所以c=2e ，所以()f x =2ln 12x ex x x-+，所以()f x ' =2231ln 1x e x x x -+-=32ln x x x ex --，设()h x =2ln x x x e --，所以()h x '=1ln x -，当0＜x ＜e 时，()h x '＞0，当x ＞e 时，()h x '＜0，则()h x 在（0，e ）是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，所以当x e =时，()h x 取最大值()h e =0，所以当x ＞0时，()h x ≤0，即()f x '≤0，所以()f x 单调递减，故选C ． 3.【答案】A 试题分析：∵()f x 为(0,)上的单调递减函数，∴0fx ，又∵'()()f x x f x ，∴＞0⇔＜0⇔[]′＜0，设h （x ）=，则h （x ）=为（0，+∞）上的单调递减函数，∵＞x ＞0，f′（x ）＜0，∴f （x ）＜0．∵h （x ）=为(0,)上的单调递减函数，∴＞⇔＞0⇔2f （3）﹣3f （2）＞0⇔2f （3）＞3f （2），故A 正确；由2f （3）＞3f （2）＞3f （4），可排除C ；同理可判断3f （4）＞4f （3），排除B ；1•f（2）＞2f （1），排除D ；故选A ． 4.【答案】A 试题分析：令()()3--=x x e x f e x g ，由于()()03100=--=f g ，()()()x x x e x f e x f e x g -'+='()()()01>-'+=x f x f e x 所用()x g 在R 上是增函数，()()0,0>∴>∴x g x g5.【答案】C ．试题分析：由题意()()f xg x 是奇函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<时，2()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，则()()f x g x 在(),0-∞上为减函数，在()0,+∞上也为减函数，又有(3)0f -=，则有(3)(3)0,0(3)(3)f f g g -==-，可知()0()f xg x <的解集为()3,0(3,)-⋃+∞.6.【答案】C 试题分析：构造函数x e x f x g )()(=，则x e x f x f x g )()()(''-=，因为()()f x f x '>，所以0)('>x g ；即函数)(x g 在R 上为增函数，则20092011)2009()2011(ef e f >，即2)2009()2011(e f f >. 7.【答案】D 【解析】()()tan f x f x x '<⋅0cos sin )(cos )(0cos sin )()('<'-⇔<⋅-⇔xxx f x x f x x x f x f ，又因为0cos ),2,0(>∴∈x x π，从而有：0sin )(cos )(<'-x x f x x f ；构造函数,sin )()(xx f x F =则)2,0(,0sin cos )(sin )()(2π∈>-'='x xx x f x x f x F ，从而有)(x F 在(0,)2π上是增函数，所以有)3()6(ππF F <即：)3()6(33sin )3(6sin )6(ππππππf f f f <⇒<，故选Ｄ．8.【答案】A 试题分析：∵f(x)在(0,)+∞上单调递减，∴'()0f x <,又∵x x f x f >')()(，∴f(x)<'()xf x ,令0)()(')('g ,)()(g 2>-=∴=x x f x xf x x x f x ，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，∴g(2)>g(1),即2)2(f 3)3(f >，即3f(2)<2f(3),A 正确． 9.【答案】A 【解析】构造函数g(x)＝e x ·f(x)－e x ，因为g′(x)＝e x ·f(x)＋e x ·f′(x)－e x ＝e x [f(x)＋f′(x)]－e x >e x －e x ＝0， 所以g(x)＝e x ·f(x)－e x 为R 上的增函数． 又因为g(0)＝e 0·f(0)－e 0＝1， 所以原不等式转化为g(x)>g(0)， 解得x>0.故选A.10.【答案】B 【解析】()221)(x x f x g -=,()()0>-'='x x f x g ,()()()()02=--+=-+x x f x f x g x g ,所以()x g 既是增函数又是奇函数，()()()()()()22221,2221222122a a f a g a a a f a a f a g -=-+--=---=-,由已知,得()()⇔≥-a g a g 21222≤⇒≥⇒≥-a a a a ,故选B.11.【答案】C 【解析】试题分析：构造函数()()x g x e f x =，则''()()()x x g x e f x e f x =+0<，∴()g x 在R 内单调递减，所以(a)g(0)g <，即：()(0)a e f a f <，∴()()0af f a e<. 12.【答案】C 试题分析：构造函数()()36g x f x x =--，则()()30g x f x ''=->，所以函数()g x 是增函数，又()()1130g f -=--=，所以()0g x <的解集是(),1-∞-，即()36f x x <+的解集是(),1-∞-.13.【答案】A 试题分析：函数()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，满足()()f x f x '>，则函数为指数函数，可设函数()()xf xg x e=，则导函数'''22()()(()())()x x x x xf x e f x e f x f x eg x e e --==，因为()()f x f x '>，所以'()0g x <，()g x 在(,)-∞+∞上为减函数，(2013)(2014)g g >，即20132014(2013)(2014)f f e e>，从而得20132014(2014)(2013)e f e f ⋅<⋅．(2)()22f a f a a --≥-14.【答案】D 试题分析：根据2()()0xf x f x x '-<和构造的函数()()f x g x x=在（0，+∞）上单调递减，又)(x f 是定义在R 上的奇函数，故)(x f 是定义在R 上单调递减. 因为f （2）=0，所以在（0，2）内恒有f （x ）＞0；在（2，+∞）内恒有f （x ）＜0．又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以在（-∞，-2）内恒有f （x ）＞0；在（-2，0）内恒有f （x ）＜0．又不等式x 2f （x ）＞0的解集，即不等式f （x ）＞0的解集．所以答案为（-∞，-2）∪（0，2）．15．【答案】A 试题分析：212)(+<x x f 可化为0212)(<--x x f ，令212)()(--=x x f x g ，则21)()(-'='x f x g ，因为21)(<'x f ，所以0)(<'x g 0，所以)(x g 在R 上单调递减，当1>x 时，02121)1()1()(=--=<f g x g ，即212)(+<x x f ．所以不等式212)(+<x x f 的解集为),1(+∞．故选A ．16.【答案】12试题分析：因为(,0)x ∈-∞时，()()xf x f x '<-，所以当(,0)x ∈-∞时，()()0xf x f x '--<，又因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当(,0)x ∈-∞时，()()0xf x f x '+<，构造函数()()g x xf x =，则()()()0,(,0)g x xf x f x x ''=+<∈-∞，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，又()()g x g x -=，所以()g x 是R 上的偶函数，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，因2lg 30>>>，所以(2)(lg 3)g g g >>，而21(2)(2)(log )4g g g =->，所以有c a b >>，选A.17.【答案】C 试题分析：令()()x f x g x e=，则'''2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e --==，因为对任意x R ∈都有'()()0f x f x ->，所以'()0g x >，即()g x 在R 上单调递增，又ln 2ln3<，所以(ln 2)(ln3)g g <，即ln 2ln3(ln 2)(ln 3)f f e e <，所以(ln 2)(ln 3)23f f <，即3(ln 2)2(ln3)f f <，故选C ．。
导数应用精选50题(含有答案)
)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图 象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
30.(本大题满分 14 分) 设 x=3 是函数 f（x）=（x2+a+b）e3-x(x∈R)的一个极值点． (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b)，并求 f（x）的单调区间；(2)a>0，g(x)=( a+ 25 ) ex．若
4 存在 x1、x2∈[0，4]使得| f（x1）- g(x2)|<1 成立，求 a 的取值范围．
（3）若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1，x2（xl <x2），且 x2 －xl >1n2，求实数 a 的取值范围．
28.（本题满分 14 分）
5
已知函数 f x a ln x 1 a x 1 x2, a R
2
（1）当 0 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）已知 f x 0 对定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的范围.
（1）求 a, b 的值；（2）求函数 f (x) 的极小值.
26.（本小题满分 13 分）已知定义在正实数集上的函数 f (x) 1 x2 2ex , g(x) 3e2 ln x b （其中 e 为常数， e 2.71828 ）,若这两个函数
导数及其应用测试题(有详细答案)
《导数及其应用》一、选择题1。
0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。
B. C 。
D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（ ）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56。
设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 （ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。
直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。
若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 （ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
高考数学导数及其应用专题训练参考答案
高考数学:导数及其应用专题训练【参考答案】1.A2.A3.D4.A5.C6.C7.A8.A9.C10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 12<x<2 ； 11. 4 ； 12. 32； 13.—16 ； 14.y ＝3x ＋1 ； 15.3－1【部分习题解析】4．解析：f ′(x)＝6x(x －2)，∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x ＝0时，f(x)＝m 最大．∴m ＝3，f(－2)＝－37，f(2)＝－5.答案：A5.解析：因为y ′＝－x2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0,9)时，y ′＞0，所以函数y ＝－13x3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值． 答案：C6．解析：∵f(x)＝－12x2＋bln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x)＝－x ＋bx ＋2<0在(－1，＋∞)上恒成立，即b<x(x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝x(x ＋2)＝(x ＋1)2－1在(－1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)>－1. ∴当b ≤－1时，b<x(x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．即f(x)＝－12x2＋bln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数．答案：C7．解析：由函数f(x)可知f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＜1，－x x ≥1.①当x ＜1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x ≤1，又x ＜1，所以－3≤x ＜1；②当x ≥1时，原不等式等价于x ＋(x＋1)(－x)≤3，即x2≥－3恒成立，所以x ≥1，综合①②可知，不等式的解集为{x|x ≥－3}．9．解析：船速度为x(x>0)时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx3，由6＝k ×103可得k ＝3500，∴Q ＝3500x3.∴总费用y ＝⎝⎛⎭⎫3500x3＋96·1x ＝3500x2＋96x ，y ′＝6500x －96x2.令y ′＝0得x ＝20，当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减，当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增，∴当x ＝20时，y 取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．答案：C10．[解析] 由题意可知a>0，且－2,1是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎨⎧－ba＝－1，ca ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ，c ＝－2a ，所以不等式cx2＋bx ＋a>c(2x －1)＋b 可化为－2ax2＋ax ＋a>－2a(2x －1)＋a ，整理得2x2－5x ＋2<0，解得12<x<2.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 12<x<2.11．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立． 当x ＞0，即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g ′(x)＝31－2x x4，所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0，即x ∈[－1,0]时， 同理，a ≤3x2－1x3. g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上，可知a ＝4. 答案：412．解析：由题意得f ′(x)＝3x2－12，令f ′(x)＝0得x ＝±2，且f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32. 答案：3215．解析：f ′(x)＝x2＋a －2x2x2＋a 2＝a －x2x2＋a 2，当x ＞a 时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，当－a ＜x ＜a 时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当x ＝a 时，f(x)＝a 2a ＝33，a ＝32＜1，不合题意． ∴f(x)max ＝f(1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1. 答案：3－116.解：(1)f ′(x)＝3x2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ， 即3x2－9x ＋(6－m)≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.17.解析：(1)∵f(x)＝1－x ax ＋lnx ，∴f ′(x)＝ax －1ax2(a>0)．∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x)＝ax －1ax2≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立．∴ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立．即a ≥1x 对x ∈[1，＋∞)恒成立． ∴a ≥1.（2）当a ＝1时，f ′(x)＝x －1x2.∴当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，f ′(x)<0， 故f(x)在x ∈⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减；当x ∈(1,2]时，f ′(x)>0，故f(x)在x ∈(1,2]上单调递增． ∴f(x)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上有唯一极小值点，故f(x)min ＝f(x)极小值＝f(1)＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2，f(12)－f(2)＝32－2ln2＝lne3－ln162， ∵e3>16，∴f ⎝⎛⎭⎫12－f(2)>0，即f ⎝⎛⎭⎫12>f(2)． ∴f(x)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln2. 综上可知，函数f(x)在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是1－ln2，最小值是0.(3)当a ＝1时，f(x)＝1－x x ＋lnx ，f ′(x)＝x －1x2，故f(x)在[1，＋∞)上为增函数．当n>1时，令x ＝nn －1，则x>1，故f(x)>f(1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫n n －1＝1－n n －1n n －1＋ln n n －1＝－1n ＋ln n n －1>0， 即ln n n －1>1n . ∴ln 21>12，ln 32>13，ln 43>14，…，ln n n －1>1n .∴ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n n －1>12＋13＋14＋…＋1n .∴lnn>12＋13＋14＋ (1).即对大于1的任意正整数n ，都有lnn>12＋13＋14＋…＋1n .本题的关键在于f(x)＝1－x x ＋lnx ，f ′(x)＝x －1x2，故f(x)在[1，＋∞)上为增函数．当n>1时，令x ＝n n －1，则x>1，故f(x)>f(1)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫n n －1＝1－nn －1n n －1＋lnnn －1＝－1n ＋ln n n －1>0，即ln n n －1>1n.怎么想到要这么做，主要受前面两小题的强烈提示．通过本题的学习，我们要掌握此类问题一般规律．本题出错在于同学完全没有想到利用前面的结论，而直接讨论函数f(x)＝ln x x －1－1x 的单调性求解，可以试试看，肯定行不通．18.解：(1)由f(x)＝g(x)，得k ＝lnxx2.令h(x)＝lnx x2，所以方程f(x)＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 内解的个数即为函数h(x)＝lnxx2，x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 的图象与直线y ＝k 交点的个数．h ′(x)＝1－2lnxx3，当h ′(x)＝0时，x ＝ e.当x 在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 内变化时，h ′(x)，h(x)变化如下： x ⎣⎡⎭⎫1e ，ee (e ，e] h ′(x) ＋ 0 － h(x)递增12e递减当x ＝1e 时，y ＝－e2；当x ＝e 时，y ＝12e ；当x ＝e 时，y ＝1e2.所以，①当k>12e 或k<－e2时，该方程无解．②当k ＝12e 或－e2≤k<1e2时，该方程有一个解．③当1e2≤k<12e 时，该方程有两个解．(2)由(1)知lnx x2≤12e ，∴lnx x4≤12e ·1x2.∴ln224＋ln334＋…＋lnn n4≤12e ⎝⎛⎭⎫122＋132＋…＋1n2. ∵122＋132＋…＋1n2<11·2＋12·3＋…＋1n －1·n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1－1n <1.∴ln224＋ln334＋…＋lnn n4<12e. 19．解析：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a2h ＝22(－x3＋30x2)，V ′＝62x(20－x)． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12. 即包装盒的高与底面边长的比值为12.引入恰当的变量、建立适当的模型是解题的关键．第(1)中侧面积 S是关于 x 的二次函数，可以利用抛物线的性质求最值，也可以利用导数求解；而第(2)题中容积 V 是关于 x 的三次函数，因此只能利用导数求最值．20．解析：(1)f ′(x)＝3ax2＋2bx ＋c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ f ′1＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′－1＝3a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，3a ＋c ＝0. 又f ′(0)＝－3，∴c ＝－3，a ＝1. ∴f(x)＝x3－3x.(2)设切点为(x0，x30－3x0)，∵f ′(x)＝3x2－3，∴f ′(x0)＝3x20－3. ∴切线方程为y －(x30－3x0)＝(3x20－3)(x －x0)， 又切线过点A(2，m)，∴m －(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)． ∴m ＝－2x30＋6x20－6. 令g(x)＝－2x3＋6x2－6，则g ′(x)＝－6x2＋12x ＝－6x(x －2)． 由g ′(x)＝0得x ＝0或x ＝2.g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2. 画出草图知(如图4－3－3)，当－6＜m ＜2时，m ＝－2x3＋6x2－6有三解， ∴ m 的取值范围是(－6,2)．21．解析：(1)由已知有f ′(x)＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x)＞0，f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)max ＝f(e)＝12e2＋1，f(x)min ＝f(1)＝12.(2)证明：设F(x)＝12x2＋lnx －23x3， 则F ′(x)＝x ＋1x －2x2＝1－x 1＋x ＋2x2x当x ∈[1，＋∞)时，F ′(x)＜0，F(x)在[1，＋∞)上为减函数，且F(1)＝－16＜0故x ∈[1，＋∞)时，F(x)＜0. ∴12x2＋lnx ＜23x3.∴在[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝23x3图像的下方．方法点睛 一般地，在闭区间[a ，b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a ，b)内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上单调递增，则f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，则f(a)是最大值，f(b)是最小值．22．解析：(1)f ′(x)＝3x2＋2ax.由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝0，f ′1＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，2a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2，f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)，f ′(x)与f(x)随x 变化情况如下：x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x)＋－＋f(x) 2 ↘ －2由f(x)＝f(0)解得x ＝0，或x ＝3.因此根据f(x)的图像当0＜t ≤2时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(t)＝t3－3t2＋2； 当2＜t ≤3时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2； 当t ＞3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为f(2)＝－2. 23．解析：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，因为f ′(x)＝x ＋ex －(ex ＋xex)＝x(1－ex)， 由f ′(x)＝x(1－ex)＞0得x ＜0，f ′(x)＜0得x ＞0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)由(1)知，f(x)在[0,2]上单调递减，在[－2,0)上单调递增，又f(－2)＝2＋3e2，f(2)＝2－e2，且2＋3e2＞2－e2，所以x ∈[－2,2]时，[f(x)]min ＝2－e2，故m ＜2－e2时，不等式f(x)＞m 恒成立．【方法点睛】 1.不等式恒成立问题一般转化为函数的最值(或值域)来求解．其解题步骤为①分离参数；②构造函数；③求函数的最值(或值域)；④由恒成立得出参数的取值范围．2.在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．24．规范解题：(1)f ′(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －lnx x ＋12－bx2.(1分)由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)．故⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f ′1＝－12，(3分) 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.(4分)(2)证明：由(1)知f(x)＝lnx x ＋1＋1x ，所以f(x)－lnx x －1＝11－x2⎝⎛⎭⎫2lnx －x2－1x .(5分) 考虑函数h(x)＝2lnx －x2－1x(x ＞0)，(6分)则h ′(x)＝2x －2x2－x2－1x2＝－x －12x2.(8分)所以当x ≠1时，h ′(x)＜0.而h(1)＝0，故 当x ∈(0,1)时，h(x)＞0，可得11－x2h(x)＞0；(9分)当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得11－x2h(x)＞0.(10分)从而当x ＞0，且x ≠1时，f(x)－lnxx －1＞0，即f(x)＞lnxx －1.(12分)【方法点睛】模板构建：利用导数证明不等式的基本步骤： 第一步 作差f(x)－lnxx －1； 第二步 构造新的函数h(x)； 第三步 对h(x)求导；第四步 利用h ′(x)判断11－x2h(x)的正负；第五步 结论.。
高二数学导数的实际应用试题答案及解析
高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数，则（）A．0B．1C．2D．【答案】C【解析】,.【考点】导数公式的应用.2.已知函数，则＝____________。
【答案】0；【解析】，所以；【考点】三角函数求导公式；3.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极小值点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】在极小值点处满足：,由图可知在右边第二个零点处满足条件，故A.【考点】极值点定义.4.已知．.（1）求函数在区间上的最小值；（2）对一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(3) 证明对一切，恒成立．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）对于研究非常规的初等函数的最值问题，往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性，利用单调性求函数在某个区间上的最值；（2）恒成立问题，一般都需要将常数和变量分离开来（分离常数法）转化为最值问题处理；（3）证明不等式恒成立问题，往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明，还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的，然后再证.试题解析：⑴，当，，单调递减，当，，单调递增． 1分（由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同，故对经行分类讨论.）①，t无解； 2分②，即时， 3分③，即时，在上单调递增，；所以 5分由题可知:,则.因对于,恒成立，故,设，则.单调递增，单调递减.所以，即.问题等价于证明(为了利用第（1）小问结论，并考虑到作差做函数证明不方便，下证的最值与最值的关系.)由（1）可知在的最小值是,当且仅当时取到.设,则,易得,当且仅当时取到.从而对于一切,都有恒成立.【考点】（1）含参量函数最值的讨论；（2）含参恒成立问题，参数取值范围；（3）利用倒数证明不等式.5.已知是的导函数，，且函数的图象过点．（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1）;（2）函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【解析】⑴注意到是常数,所以从而可求得;又因为函数的图象过点，所以点的坐标满足函数解析式,从而可求出m的值，进而求得的解析式．（2）由⑴可得的解析式及其定义域,进而就可应用导数求其单调区间和极值．试题解析：⑴，，函数的图象过点，，解得：函数的表达式为：（2）函数的定义域为，当时，；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【考点】1．函数的导数;2．函数的单调区间;3．函数的极值．6.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A．B．-1C．4D．2【答案】A【解析】对求导，知，令可得，解得.【考点】求导.7.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.8.函数在x=4处的导数= .【答案】.【解析】∵，∴，∴.【考点】复合函数的导数.9.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，单调递增区间有,，可得.【考点】由导数求函数的单调性.10.已知函数在上是单调递减函数,方程无实根，若“或”为真，“且”为假，求的取值范围。
(典型题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞2．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[),e +∞B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞3．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞D ．()8,+∞4．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（ ）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[4e ，)+∞D ．2(0,]4e5．设()f x 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若函数21()ln 2f x kx x x =-在区间(0,]e 上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(,]e -∞B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．2[,)e+∞7．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为A ．r 2B 3C 3D ．r8．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（ ） A ．(0,1)(2,3)⋃B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃9．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 10．已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(,1)-∞-11．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A ．2eB ．eC ．1D ．1212．设动直线x m =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于,M N ，则MN 的最小值为（ ） A ．11ln 222+ B ．11ln 222- C ．1ln2+ D ．ln21-二、填空题13．已知函数()()21,0e ,0x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，则实数m 的取值范围为______．14．函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()22sinx f x >的解集为_____________.15．已知函数()211020x e x x x ef x lnx x x⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，＞，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，则实数m 的取值范围是_____.16．如图所示，ABCD 是边长为30cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积3()V cm 最大，则EF 的长为________cm .17．函数()()21xf x x =-的最小值是______.18．已知函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩方程2()2()0()f x mf x m R -=∈有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．19．已知函数()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________. 20．若函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()212f x x =，()ln g x a x =.设()()()h x f x g x =+ （1）试讨论函数()h x 的单调性. （2）若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；22．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为 (米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少. 23．已知函数()2xf x eax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围.24．设函数21()2x f x x e =. (1)求f （x ）的单调区间；(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立，求实数m 的取值范围.25．一件要在展览馆展出的文物类似于圆柱体，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.5立方米，为了保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍，保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元，为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用和保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元. （1）若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用和保险费用之和； （2）为使气体费用和保险费用之和最低，保护罩该如何设计？ 26．已知函数2()2ln f x x mx x =-+ （m R ∈）.（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若45m <<，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求12()()f x f x -的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．2．D解析：D 【分析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln f e e e C ∴+=，()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，()2ln 0f x x x ∴+=，()2ln x f x x∴=-()1x >，不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x=-，则()()21ln ln x g x x -=′， 令()()21ln 0ln xg x x -==′，解得x e =，∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减， ∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，()()max ln eg x g e e e==-=-， a e ∴≥-，∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 3．B解析：B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-， 故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.4．C解析：C 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得a 的范围. 【详解】 由2(0)y axa =>，得2y ax '=，由xy e =，得x y e '=，曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线， 则设公切线与曲线1C 切于点211(,)x ax ，与曲线2C 切于点22(,)xx e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，将212x e ax =代入2211212x e ax ax x x -=-，可得2122=+x x ，11212+∴=x e a x ，记12()2+=x e f x x，则122(2)()4xex f x x +-'=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>. ∴当2x =时，2()4mine f x =. a ∴的范围是2[,)4e +∞. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．B解析：B 【详解】试题分析：函数的递减区间对应的()0f x '<，函数的递增区间对应()0f x '>，可知B 选项符合题意.考点：函数的单调性与导数的关系.6．C解析：C 【分析】求出函数导数，由题意知()0f x '≥即ln 1x k x+≥在(0,]e 上恒成立，利用导数求出函数ln 1()x g x x+=在(0,]e 上的最大值即可求得k 的范围. 【详解】()ln 1f x kx x '=--，由题意知()0f x '≥在(0,]e 上恒成立， 即ln 1x k x +≥在(0,]e 上恒成立，令ln 1()x g x x+=，则2ln ()x g x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,]x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，故1k .故选C 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数求函数的最值，属于基础题.7．D解析：D 【解析】设=COB θ∠，则上底为2cos r θ，高为sin r θ， 因此梯形面积为21(2cos 2)sin (1cos )sin 022S r r r r πθθθθθ=+=+∈，（，） 因为由22222=(sin cos cos )(1cos 2cos )0S r r θθθθθ'-++=-++=，得1cos 2θ=，根据实际意义得1cos 2θ=时，梯形面积取最大值，此时上底为2cos =r r θ，选D.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '=得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.8．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.9．C解析：C 【分析】由函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()0F x =，可得y k =和()2ln x g x x=有两个交点；当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，求得0k >，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 当0x >时，令()()0F x f x kx =-=， 可得2ln xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解， 即y k =和()2ln xg x x=有两个交点， 又由()312ln xg x x-'=， 令12ln 0x -=，可得x =当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x =()max 12g x e=， 若直线y k =和()2ln xg x x =有两个交点， 则1(0,)2k e∈，当0x <时，y k =和()21g x x =有一个交点， 则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的综合应用，着重考查了转化思想以及推理与运算能力.属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在[0，)+∞上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可． 【详解】解：2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=，则()f x 是偶函数，()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+，当0x 时，()0f x '，即函数在[0，)+∞上为增函数，则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<，即()()|23|1f x f +<， 则|23|1x +<，得1231x -<+<，得21x -<<-， 即不等式的解集为(2,1)--， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．11．C解析：C【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果.【详解】解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ， 则121221ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<， 而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x+=，()2ln x f x x -'=， 令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ，所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立， 即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.12．A解析：A【分析】将两个函数作差，得到函数()()y f x g x =-，利用导数再求此函数的最小值，即可得到结论.【详解】设函数()()()2ln 0=-=->y f x g x x x x ， ()212120-'∴=-=>x y x x x x， 令0y '<，0x，02∴<<x，函数在2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调减函数； 令0y '>，0x，∴>x，函数在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为单调增函数.2x ∴=时，函数取得极小值，也是最小值为111ln ln 22222-=+. 故所求MN 的最小值即为函数2ln y x x =-的最小值11ln 222+.故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于中档题.二、填空题13．【分析】转化为函数的图象与直线恰有2个交点作出函数的图象利用图象可得结果【详解】因为函数恰好有2个零点所以函数的图象与直线恰有2个交点当时当时所以函数在上为增函数函数的图象如图：由图可知故答案为：【 解析：34m > 【分析】 转化为函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点，作出函数的图象，利用图象可得结果.【详解】因为函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，所以函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点，当0x ≤时，22133()1()244y f x x x x ==++=++≥， 当0x >时，()x y f x x e x =-=-，10x y e '=->，所以函数()x y f x x e x =-=-在(0,)+∞上为增函数，函数()y f x x =-的图象如图：由图可知，34m >. 故答案为：34m >【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调 解析：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()sin f x g x x =，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】解：()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x =， 则()()()2sin cos f x x f x x g x sin x'-'=， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， ∴不等式()f x x >，即()6sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>== 即()6xg g π⎛>⎫ ⎪⎝⎭， 26x ππ∴<< 故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题.15．【分析】通过求导得出分段函数各段上的单调性从而画出图像若要方程f （x ）﹣m=0恰有两个实根只需y=m 与y=f （x ）恰有两个交点即可从而得出的取值范围【详解】（1）x≤0时f′（x ）=ex ﹣x ﹣1易知解析：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， 【分析】通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点即可，从而得出m 的取值范围.【详解】（1）x ≤0时，f ′（x ）=e x ﹣x ﹣1，易知f ′（0）=0，而f ″（x ）=e x ﹣1＜0，所以f ′（x ）在（﹣∞，0]上递减，故f ′（x ）≥f ′（0）=0，故f （x ）在（﹣∞，0]上递增， 且f （x ）≤f （0）11e=+，当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞. （2）x ＞0时，()21'lnx f x x-=，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜e ；f ′（x ）＜0得x ＞e ； 故f （x ）在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）递减， 故x ＞0时，()1()max f x f e e==；x →0时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→0. 由题意，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线y =m 在图示①，②位置时，与y =f （x ）有两个交点，所以m 的范围是：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，. 故答案为：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，. 【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题.16．【分析】设cm 根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式利用导数研究体积的最大值即可【详解】设cm 则cm 包装盒的高为cm 因为cm 所以包装盒的底面边长为cm 所以包装盒的体积 解析：10【分析】设EF x =cm ，根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式，利用导数研究体积(x)V 的最大值即可.【详解】设EF x =cm ，则302x AE BF -== cm ，包装盒的高为22GE x = cm ， 因为302x AE AH -== cm ，2A π∠=，所以包装盒的底面边长为2=(30)2HE x - cm ， 所以包装盒的体积为232222()[(30)](60900)224V x x x x x x =-⋅=-+，030x <<， 则22()(3120900)4V x x x '=-+，令()0V x '=解得10x =， 当(0,10)x ∈时，()0V x '>，函数(x)V 单调递增；当(10,30)x ∈时，()0V x '<，函数(x)V 单调递减，所以3max 2()(10)(100060009000)10002()4V x V cm ==-+=，即当10EF cm =时包装盒容积3()V cm 取得最大值310002()cm .故答案为：10【点睛】本题考查柱体的体积，利用导数解决面积、体积最大值问题，属于中档题.17．【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得；故当时单调递减；当时单调递增；当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示：故的最小值为解析：14- 【分析】对()f x 求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值,【详解】因为()()21xf xx=-，故可得()()311xf xx---'=，令()0f x'=，解得1x=-；故当(),1x∈-∞-时，()f x单调递减；当()1,1x∈-时，()f x单调递增；当()1,x∈+∞时，()f x单调递减.且()114f-=-，当x趋近于1时()f x趋近于正无穷；当x趋近于正无穷时，()f x趋近于零.函数图像如下所示：故()f x的最小值为14-.故答案为：14-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.18．【分析】作出函数的图象结合图象可求实数的取值范围【详解】当时当时函数为增函数；当时函数为减函数；极大值为且；作出函数的图象如图方程则或由图可知时有2个解所以有五个不相等的实数根只需要即；故答案为：【解析：1(0,)2【分析】作出函数21ln,0()log,0xxf x xx x+⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，结合图象可求实数m的取值范围.【详解】当0x >时，2ln ()x f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，函数为增函数； 当1x >时，()0f x '<，函数为减函数；极大值为(1)1f =，且x →+∞，()0f x →； 作出函数21ln ,0()log ,0x x f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，如图，方程2()2()0()f x mf x m R -=∈，则()0f x =或()2f x m =，由图可知()0f x =时，有2个解，所以2()2()0f x mf x -=有五个不相等的实数根，只需要021m <<，即102m <<； 故答案为：1(0,)2.【点睛】 本题主要考查导数的应用，利用研究方程根的问题，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.19．【分析】对函数进行求导得则方程在时有两个根利用导数研究函数的值域即可得答案；【详解】在时有两个根令令当时当时在单调递增在单调递减且当时当时与要有两个交点故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的值 解析：01a <<【分析】对函数进行求导得()1f x lnx ax '=+-，则方程ln 1x a x +=在0x >时有两个根，利用导数研究函数ln 1()x g x x+=的值域，即可得答案； 【详解】 ()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1f x lnx ax '=+-． ∴ln 1x a x+=在0x >时有两个根，令ln 1()x g x x+=， 令()1g x lnx ax =+-，'221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+==- 当01x <<时，'()0g x >，当1x >时，'()0g x <， ∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且(1)1g =，当x →+∞时，()0g x →，当0x →时，()g x →-∞，y a =与()y g x =要有两个交点，∴01a <<故答案为：01a <<.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.20．【分析】依题意可得在上恒成立参变分离得到在上恒成立令求出的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为的定义域为且函数在上单调递增在上恒成立即在上恒成立令当时所以即故答案为：【点睛】本题考查利用导 解析：18a ≥ 【分析】依题意可得()210a f x x x'=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离得到22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22g x x x =-，求出()g x 的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为()21ln f x x x a x =-++的定义域为()0,x ∈+∞，且函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，()210a f x x x'∴=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立， 即22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 当14x =时()max 18g x = 所以18a ≥即1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题. 三、解答题21．（1）答案见解析；（2）[)1,+∞.【分析】（1）求导后，分别在0a ≥和0a <两种情况下讨论导函数的正负即可得到结果； （2）将恒成立的不等式转化为()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立，从而只需构造函数()()2t x h x x =-，证明()t x 在()0,∞+上单调递增即可，从而将问题进一步转化为()0t x '≥在()0,∞+上恒成立，进而利用分离变量的方法可求得结果.【详解】（1）()()21ln 02h x x a x x =+>，则()()20a x a h x x x x x+'=+=>， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在()0,∞+上单调递增；当0a <时，若(x ∈，()0h x '<；若)x ∈+∞，()0h x '>； ()h x ∴在(上单调递减，在)+∞上单调递增. （2）设12x x >，则()()12122h x h x x x ->-等价于()()112222h x x h x x ->-， 即()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立. 令()()212ln 22t x h x x x a x x =-=+-，则只需()t x 在()0,∞+上单调递增， ()2a t x x x '=+-，∴只需()0t x '≥在()0,∞+上恒成立即可. 令()200a x x x+-≥>，则()220a x x x ≥-+>， 当1x =时，()2max 21x x-+=，1a ∴≥，即实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】 关键点点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想､逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22．（1）见解析；（2）若c<3102，则当v ＝3102时，总用氧量最少；若c≥3102，则当v ＝c 时，总用氧量最少．【分析】（1）结合题意可得y 关于v 的函数关系式．（2）由（1）中的函数关系，求导后得到当0<v<3102时，函数单调递减；当v>3102时，函数单调递增．然后再根据c 的取值情况得到所求的速度． 【详解】(1)由题意，下潜用时 (单位时间)，用氧量为×＝＋ (升)，水底作业时的用氧量为10×0．9＝9(升)，返回水面用时＝ (单位时间)，用氧量为×1．5＝ (升)， 因此总用氧量232409,(0)50v y v v=++>． (2)由（1）得232409,(0)50v y v v=++>， ∴y′＝－＝，令y′＝0得v ＝32当0<v<3102y′<0，函数单调递减；当v>32y′>0，函数单调递增．①若c<32 ，则函数在(c ，32上单调递减，在(310215)上单调递增， ∴ 当v ＝32②若c≥32，则y 在[c ，15]上单调递增，∴ 当v ＝c 时，总用氧量最少．【点睛】（1）在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．（2）用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．23．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）32a e > 【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；（2）由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围； 【详解】解：（1）因为()2x f x e ax b =-+所以()()220x f x e a a '=->，令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞，∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又a b =， ∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 即ln 0222a a a a -+< 所以3ln02a -< 所以32a e >【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．24．（1）(,2)(0,)()f x -∞-+∞和为的增区间，(2,0)()f x -为的减区间.（2）m ＜0 ．【详解】解：（1）21()(2)22xxx e f x xe x e x x '=+=+ 令(2)0,02,(,2)(0,)()2xe x x x xf x +>><-∴-∞-+∞或和为的增区间， (2)0,20,(2,0)()2xe x x xf x +<-<<∴-为的减区间. （2）x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立等价于min ()f x >m, 令：21()(2)022xxx e f x xe x e x x =+'=+= ∴x=0和x=－2,由（1）知x=－2是极大值点，x=0为极小值点2222(2),(2)2,(0)0,()[0,2]f f e f f x e e-===∴∈, ∴m ＜0 25．（1）23055元；（2）保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱【分析】（1）根据定义先求保险费用，再计算正四棱柱体积，进而求气体费用，最后求和得结果； （2）先列出气体费用和保险费用之和函数关系式，再利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）保险费用为24800076802.5= 正四棱柱体积为22.5(2 2.5)⨯⨯所以气体费用为2500[2.5(2 2.5)0.5]15375⨯⨯⨯-=因此气体费用和保险费用之和为76801537523055+=（元）；（2）设正四棱柱底面边长为a 米，则 1.2a ≥因此气体费用和保险费用之和23224800048000500[(2)0.5]1000250y a a a a a=+⨯⨯-=+- 因为2396000300002y a a a'=-+=∴= 当2a >时，0y '>，当1.22a ≤<时，0y '<， 因此当2a =时，y 取最小值，保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱时，气体费用和保险费用之和最低.【点睛】本题考查利用导数求函数最值、列函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题. 26．（1）4m ≤；（2）1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为22m x x ≤+在(0,)+∞上恒成立，利用基本不等式求得22x x+的最小值即可得解； （2）由题意结合函数极值点的概念可得122m x x +=，121x x ⋅=，进而可得1112x <<，转化条件为21211211()()4ln f x f x x x x -=-+，令221()4ln g x x x x =-+（112x <<），利用导数求得函数()g x 的值域即可得解.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴2()20f x x m x '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，即22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立，又224x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴4m ≤；（2）由题意2222()2x mx f x x m x x-+'=-+=， ∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴12,x x 为方程2220x mx -+=的两个不相等的实数根， 由韦达定理得122m x x +=，121x x ⋅=， ∵120x x <<，∴1201x x <<<， 又121112()2()(4,5)m x x x x =+=+∈，解得1112x <<， ∴()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+ ()()()()22121212122ln ln 2x x x x x x x x =-+--+-()()2221122ln ln x x x x =-+- 2112114ln x x x =-+， 设221()4ln g x x x x =-+（112x <<）， 则4222333242(21)2(1)()20x x x g x x x x x x ---+--=-+='=<， ∴()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数， 又1111544ln 4ln 22424g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，(1)1100g =-+=， ∴150()4ln 24g x <<-， 即12()()f x f x -的取值范围为1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.。
高三数学导数的实际应用试题答案及解析
高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数 ().（1）若,求函数的极值;（2）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】（1）参考解析；（2）①－1－e－1，②(－1,+∞)【解析】（1）由函数 ()，且，所以对函数求导，根据导函数的正负性可得到结论（2）①当时,对任意,都有成立，即时，恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x2－2x－ (x＞0)的最小值即可得到结论.②若存在,使.通过表示即可得到＝，所以求出函数u(x)＝(x＞1)的单调性即可得到结论.（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x)＝e x. 2分令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表(0,)(,＋∞)－↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝4. 4分（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 7分记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1. 9分解法二：因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以g(2)＝－e2＞0,因此b＜0. 5分g′(x)＝(1＋)e x＋(x－－2)e x＝．因为b＜0,所以：当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1 7分因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以(－1－b)e－1≥1,解得b≤－1－e－1因此b的最大值为－1－e－1. 9分②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． 11分因为a＞0,所以＝.设u(x)＝(x＞1),则u′(x)＝．因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞). 14分解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立. 11分设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x）≥0此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a－b因为存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立所以只要－a－b＜0即可,此时－1＜≤0 12分当b＞0时,令x0＝＞＝＞1,得u(x)＝b＞0,又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0,在(1,x)上必有零点即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此时＞0 13分综上有的取值范围为(－1,+∞)------14分【考点】1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.2.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴x＝(a＋b)．∵a<b，∴x∈，∴0<(a＋b)< ，∴1<<.3.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________.【答案】(1)；（2）2013.【解析】，，令，∴，∴∴对称中心为，∴，∴.【考点】1.新定义题；2.导数.4.已知，函数．（1）当时，写出函数的单调递增区间；（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值；（3）设，函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答，本题当时，函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成，画出其图象，容易判断函数的单调递增区间；（2）时，所以，这是二次函数，求其在闭区间上的最小值，一般要分类讨论，考虑对称轴和区间的相对位置关系，从而判断其单调性，从而求出最小值；（3）函数在开区间上有最大值和最小值，必然要使开区间上有极大值和极小值，且使极值为最值，由于函数是与二次函数相关，可考虑用数形结合的方法解答.试题解析：（1）当时，, 2分由图象可知，的单调递增区间为． 4分（2）因为，所以． 6分当，即时，； 7分当，即时，． 8分． 9分（3）， 10分①当时，图象如图1所示．图1由得． 12分②当时，图象如图2所示．图2由得． 14分【考点】含绝对值的函数、二次函数.5.设，当时，恒成立，则实数的取值范围为。
完整版)导数测试题(含答案)
完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。
3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。
4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。
6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。
8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。
9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。
10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。
11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。
13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。
14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。
15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。
16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。
17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。
18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。
导数考试题型及答案详解
导数考试题型及答案详解一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是：A. 2x + 3B. x^2 + 2C. 2x + 6D. 3x + 2答案：A2. 若f(x) = sin(x)，则f'(π/4)的值是：A. 1B. √2/2C. -1D. -√2/2答案：B二、填空题1. 求函数g(x) = x^3 - 2x^2 + x的导数，g'(x) = __________。
答案：3x^2 - 4x + 12. 若h(x) = cos(x)，求h'(x) = __________。
答案：-sin(x)三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的导数，并求f'(2)的值。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
然后将x = 2代入得到f'(2) = 3 * 2^2 - 12 * 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3。
2. 已知函数y = ln(x)，求y'。
解：根据对数函数的导数公式，y' = 1/x。
四、证明题1. 证明：若函数f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
证明：根据幂函数的导数公式，对于任意实数n，有f'(x) = n * x^(n-1)。
五、应用题1. 某物体的位移函数为s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5，求该物体在t = 3时的瞬时速度。
解：首先求位移函数的导数s'(t) = 3t^2 - 12t + 9。
然后将t = 3代入得到s'(3) = 3 * 3^2 - 12 * 3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0。
因此，该物体在t = 3时的瞬时速度为0。
六、综合题1. 已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5，求f'(x)，并求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率。
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)
单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。
导数测试题(含答案)
导数测试题姓名 班别 座号 分数一、选择题答题卡：二．填空题答题卡13. 14.15. 16.1.曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A.1B.2C.eD.1e2.设x x x x f ln 42)(2--=，则0)('>x f 的解集为（ ）A. ),0(+∞B. ),2()0,1(+∞-C. ),2(+∞D.)0,1(- 3.已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A ．9B ．6C ．-9D ．-64. 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．35.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（ ）（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞）6.设函数f （x ）=2x +lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点 7.曲线3ln 2y x x =++在点0P 处的切线方程为410x y --=,则点0P 的坐标是 （ ）A ．(0,1)B ．(1,1)-C ．(1,3)D ．(1,0)8.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）9.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为 ( ) A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,0- C ．[]0,1 D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 （ ）（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+11.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 （ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12- 12.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为 （ ） (A) 1n (B) 11n + (C) 1n n + (D) 1 二．填空题13.曲线y=x 3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．14.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________. 15.若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值，则a =16.已知函数32()42f x x ax x =-+-=在处取得极值,若,[1,1],()()m n f m f n '∈-+则的最小值是_______.三．解答题17.函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．。
高中数学导数及其应用多选题测试试题含答案
高中数学导数及其应用多选题测试试题含答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 D．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.3．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．fff <<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x ，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x+>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x+=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x =，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx-=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln ln 2ln ,242f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x--=，解得x =所以当0x <<()0g x '>，函数()g x在上单调递增；当x >()0g x '<，函数()g x在)+∞上单调递减，所以当x =()g x取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ） A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立 D ．2ln a a b b e e-<恒成立 【答案】AD 【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误.【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a bb a，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误.故选：AD 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.5．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x-'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln xt x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减.所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2xm x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.6．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x =+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10nn a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确；B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10nna a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.7．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a c b d -+-的值可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD【分析】 由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】 由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=- 由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。
导数函数综合应用(含答案)
导数函数综合应用一．选择题（共6小题）1．定义在R上的函数y＝f（x），满足f（4﹣x）＝f（x），（x﹣2）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞4，则有（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）＝f（x2）D．不确定2．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x；记函数g（x）＝f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[1，2）B．C．D．3．设函数f（x）是定义在实数集上的奇函数，在区间[﹣1，0）上是增函数，且f（x+2）＝﹣f（x），则有（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）+|x﹣1|﹣kx在定义域内有且只有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．[）B．[]C．[﹣）D．[﹣]5．设函数f（x）＝，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））＝2a2y2+ay，则正实数a的最小值是（）A．2B．C．D．46．已知函数f（x）＝2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）＝mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，8）C．（2，8）D．（﹣∞，0）二．填空题（共1小题）7．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝3恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是．三．解答题（共19小题）8．已知函数f（x）＝﹣alnx（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若存在实数x0＝[1，e]，使得f（x0）＜0，求正实数a的取值范围．9．已知函数f（x）＝x2﹣（a+）x+lnx，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；（Ⅱ）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a∈（0，），证明对任意x1，x2∈[，1]（x1≠x2），＜恒成立．10．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（1）若f′（1）＝﹣6，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线；（2）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；（3）若函数f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．11．已知a≠0，函数f（x）＝|e x﹣e|+e x+ax（1）讨论f（x）的单调性（2）若对∀x∈（﹣，+∞），不等式f（x）≥恒成立，求a的取值范围（3）已知当a＜﹣e时，函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：f（x1x2）＞a+e12．已知函数f（x）＝a（x﹣1）e x（a＞0），g（x）＝﹣cos x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意的实数x1，x2∈[0，]，（其中x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立求实数a的取值范围．13．已知函数f（x）＝a+2lnx﹣ax（a＞0），（1）求f（x）的最大值φ（a）；（2）若f（x）≤0恒成立，求a的值；（3）在（2）的条件下，设g（x）＝在（a，+∞）上的最小值为m，求证：﹣11＜f（m）＜﹣1014．已知函数f（x）＝（x2﹣mx）e x（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若m＝2，2n+1≥0，证明：关于x的不等式nf（x）+1≥e x在（﹣∞，0]上恒成立．15．已知函数f（x）＝（其中e是自然对数的底数），g（x）＝1﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），若a满足0＜a＜且ln2a+1＞0，试判断方程h（x）＝0的实数根个数，并说明理由．16．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明：x1•x2＞1．17．己知p：实数m使得函数f（x）＝lnx（m﹣2）x2﹣x在定义域内为增函数：q：实数m使得函数g（x）＝mx2+（m+1）x﹣5在R上存在两个零点x1，x2，且x1＜1＜x2（1）分别求出条件p，q中的实数m的取值范围；（2）甲同学认为“p是q的充分条件”，乙同学认为“p是q的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由．18．已知函数f（x）＝In+cos x﹣|x|．（Ⅰ）求证：函数f（x）在[0，+∞）上单调递减；（Ⅱ）若f（2x﹣3）+π+1+ln（2+3π2）＜0，求x的取值范围．19．已知函数f（x）＝lnx﹣sin（x﹣1），f′（x）为f（x）的导函数．证明：（1）f′（x）在区间（0，2）存在唯一极小值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．20．已知函数f（x）＝te2x+（t+2）e x﹣1，t∈R．（Ⅰ）当t＝﹣1时，求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）当t＞0时，若函数g（x）＝f（x）﹣4e x﹣x+1在R上有唯一零点，求t的值．21．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax+b（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a≥1，判断f（x）极值点个数；（Ⅱ）若f（x）≥f′（x）在x∈[﹣1，1]上恒成立，求a+b的取值范围．22．设函数f（x）＝lnx﹣a2x+2a（a∈R）（1）若函数f（x）在上递增，在上递减，求实数a的值．（2）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；（3）若方程x﹣lnx﹣m＝0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2＜1．23．已知函数f（x）＝2x3﹣3（a﹣1）x2﹣6ax+a2+1．（Ⅰ）设﹣1≤a≤1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为b，求b的最小值；（Ⅱ）若f（x）只有一个零点x0，且x0＜0，求a的取值范围．24．设函数f（x）＝x﹣﹣alnx（a∈R，a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k．问：是否存在a，使k＝2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．25．已知．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值且f（x）≥0，求实数a的取值范围；（3）求证：当x＞1时，．26．已知函数f（x）＝（ax+1）e x，a∈R（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值．（2）当a＝时，对于两个不相等的实数x1，x2，有f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＜2．导数函数综合应用参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．定义在R上的函数y＝f（x），满足f（4﹣x）＝f（x），（x﹣2）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞4，则有（B）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）＝f（x2）D．不确定【解答】解：由题意f（4﹣x）＝f（x），可得出函数关于x＝2对称,又（x﹣2）f′（x）＜0，得x＞2时，导数为负，x＜2时导数为正，即函数在（﹣∞，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数又x1＜x2，且x1+x2＞4，下进行讨论若2＜x1＜x2，显然有f（x1）＞f（x2）若x1＜2＜x2，有x1+x2＞4可得x1＞4﹣x2，故有f（x1）＞f（4﹣x2）＝f（x2）综上讨论知，在所给的题设条件下总有f（x1）＞f（x2）2．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x；记函数g（x）＝f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（C）A．[1，2）B．C．D．【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x 所以f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）＝k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为3．设函数f（x）是定义在实数集上的奇函数，在区间[﹣1，0）上是增函数，且f（x+2）＝﹣f（x），则有（A）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x＝﹣时，有f（）＝﹣f（﹣）＝f（），函数f（x）是定义在实数集上的奇函数，在区间[﹣1，0）上是增函数，则f（x）在区间（0，1]上是增函数，则有f（）＜f（）＜f（1），则有f（）＜f（）＜f（1），4．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）+|x﹣1|﹣kx在定义域内有且只有三个零点，则实数k的取值范围是（A）A．[）B．[]C．[﹣）D．[﹣]【解答】解：函数y＝f（x）+|x﹣1|﹣kx在定义域内有且只有三个零点，即为方程f（x）+|x﹣1|＝kx在[﹣3，+∞）内有3个不等实根，可令g（x）＝f（x）+|x﹣1|＝，作出g（x）的图象（如右），直线y＝kx，当k＝0时，y＝g（x）和y＝0显然有3个交点，符合题意；当直线y＝kx与y＝x2+3x+1相切，可得x2+（3﹣k）x+1＝0，△＝（3﹣k）2﹣4＝0，解得k＝1（k＝5舍去），由k＝1时，y＝g（x）和y＝x有两个交点，可得0≤k＜1时，符合题意；当k＜0时，且直线y＝kx经过点（﹣3，1）时，直线y＝kx与y＝g（x）有3个交点，此时k＝﹣，由y＝kx绕着原点旋转，可得﹣≤k＜0，综上可得，k的范围是[﹣，1）．5．设函数f（x）＝，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））＝2a2y2+ay，则正实数a的最小值是（C）A．2B．C．D．4【解答】解：函数f（x）＝的值域为R．∵f（x）＝2x，（x≤0）的值域为（0，1]；f（x）＝log2x，（x＞0）的值域为R．∴f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））＝2a2y2+ay在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1 （2a2y2+ay＞0）．∴f（x）＞2，即log2x＞2，解得：x＞4．当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系．∴问题转化为2a2y2+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0．∴（2ay﹣1）（ay+1）＞0，解得：y＞或者y＜﹣（舍去）．∴≤2，得a．6．已知函数f（x）＝2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）＝mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（B）A．（0，2）B．（0，8）C．（2，8）D．（﹣∞，0）【解答】解：当m≤0时，当x接近+∞时，函数f（x）＝2mx2﹣2（4﹣m）x+1与g（x）＝mx均为负值，显然不成立当x＝0时，因f（0）＝1＞0当m＞0时，若，即0＜m≤4时结论显然成立；若，时只要△＝4（4﹣m）2﹣8m＝4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8则0＜m＜8二．填空题（共1小题）7．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝3恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（﹣∞，6）．【解答】解：函数f（x）＝，当x≥1时，方程f（x）＝3，可得lnx+1＝3，解得x＝e2，函数有一个零点；x＜1时，函数只有一个零点，即x2﹣4x+a＝3，在x＜1时只有一个解，因为y＝x2﹣4x+a ﹣3开口向上，对称轴为x＝2，x＜1时，函数是减函数，所以f（1）＜3，可得﹣3+a＜3，解得a＜6．三．解答题（共19小题）8．已知函数f（x）＝﹣alnx（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若存在实数x0＝[1，e]，使得f（x0）＜0，求正实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝﹣alnx（a∈R），得f′（x）＝x﹣＝（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜．∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）由（1）知，当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．①当，即0＜a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增，＞0，不合题意；②当1＜＜e，即1＜a＜e2时，f（x）在[1，]上单调递减，在[，e]上单调递增，由＜0，解得e＜a＜e2；③当≥e，即a≥e2时，f（x）在[1，e]上单调递减，由＜0，解得a≥e2．综上所述，a的取值范围为（e，+∞）．9．已知函数f（x）＝x2﹣（a+）x+lnx，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；（Ⅱ）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a∈（0，），证明对任意x1，x2∈[，1]（x1≠x2），＜恒成立．【解答】（Ⅰ）解：当a＝2时，f（x）＝，f′（x）＝，∴f′（1）＝，∵f（1）＝．∴切线方程为：y+2＝（x﹣1），整理得：x+2y+3＝0；（Ⅱ）f′（x）x﹣＝（x＞0），令f′（x）＝0，解得：x＝a或x＝．①若0＜a＜1，，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：∴f（x）在区间（0，a）和（）内是增函数，在（a，）内是减函数；②若a＞1，，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：∴f（x）在区间（0，）和（a，+∞）内是增函数，在（，+∞）内是减函数；（Ⅲ）∵0＜a＜，∴f（x）在[，1]内是减函数，又x1≠x2，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），．于是等价于，即．令（x＞0），∵g′（x）＝在[，1]内是减函数，故g′（x）≤g′（）＝2﹣（a+）．从而g（x）在[，1]内是减函数，∴对任意，有g（x1）＞g（x2），即，∴当，对任意，恒成立．10．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（1）若f′（1）＝﹣6，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线；（2）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；（3）若函数f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x，∴f'（x）＝﹣2ax+2﹣a＝＝﹣．f′（﹣1）＝a+1＝﹣6，解得a＝﹣7，则函数f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k＝﹣6，切点为（1，16），则所求切线的方程为y﹣16＝﹣6（x ﹣1），即为6x+y﹣22＝0；（2）证明：设函数g（x）＝f（+x）﹣f（﹣x），则g（x）＝ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，g′（x）＝+﹣2a＝，当x∈（0，）时，g′（x）＞0，g（x）递增，而g（0）＝0，即有g（x）＞0，故当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）．（3）证明：当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增，即有函数y＝f（x）的图象与x轴至多有一个交点，故a＞0，从而f（x）的最大值为f（），且f（）＞0，不妨设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，则0＜x1＜＜x2，由（2）得，f（﹣x1）＝f（+﹣x1）＞f（x1）＝f（x2）＝0，又f（x）在（，+∞）单调递减，∴﹣x1＜x2，于是x0＝，当x∈（，+∞）（a＞0）时，f′（x）＜0，则f′（x0）＜0成立．11．已知a≠0，函数f（x）＝|e x﹣e|+e x+ax（1）讨论f（x）的单调性（2）若对∀x∈（﹣，+∞），不等式f（x）≥恒成立，求a的取值范围（3）已知当a＜﹣e时，函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：f（x1x2）＞a+e【解答】解：（1）函数f（x）＝|e x﹣e|+e x+ax＝，∴f′（x）＝，当a＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0时，x≥1时，令f′（x）＞0，⇒e x＞﹣⇒x＞ln（﹣），①ln（﹣）≤1，即﹣2e≤a＜0，f（x）在（﹣∞，1）是减函数；在（1，+∞）是增函数；②ln（﹣）＞1，即a＜﹣2e，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））是减函数；在（ln（﹣），+∞）是增函数；（2）函数f（x）＝|e x﹣e|+e x+ax＝，若x∈（﹣，1），ax+e．∴可得﹣，当x∈[1，+∞）时，，即2a，设g（x）＝，g′（x）＝，所以g（x）在[1，+∞）上是减函数，所以g（x）max＝g（1）＝﹣e，所以a．综上．（3）证明：∵f（1）＝a+e，∴不等式f（x1x2）＞a+e转化为f（x1x2）＞f（1），∵a＜﹣e，∴f（1）＝a+e＜0，∴f（x）的两个零点x1＜1＜x2，∴，∴，∴x1x2＝，令h（x）＝，h′（x）＝，令t（x）＝e x﹣xe x﹣e，t′（x）＝（1﹣x）e x＜0，∴t（x）在（1，+∞）上是减函数，t（x）＜t（1）＝0，即h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）是减函数，h（x）＜h（1）＝1，即x1x2＜1，∵a＜﹣e时，f（x）在（﹣∞，1）是减函数，∴f（x1x2）＞a+e．12．已知函数f（x）＝a（x﹣1）e x（a＞0），g（x）＝﹣cos x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意的实数x1，x2∈[0，]，（其中x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）＝a[e x+（x﹣1）e x]＝ax•e x．当x＝0时，f′（x）＝0；当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）．（2）不妨设x1＜x2，因为g（x）在[0，]上是增函数，所以g（x1）＜g（x2），即g（x1）﹣g（x2）＜0，由（1）得f（x）在[0，]上是增函数，所以f（x1）＜f（x2），即f（x1）﹣f（x2）＜0．由题意，得f（x2）﹣f（x1）＞g（x2）﹣g（x1），即f（x2）﹣g（x2）＞f（x1）﹣g（x1）．令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝a（x﹣1）e x+cos x在[0，]上是增函数，则h′（x）＝axe x﹣sin x≥0对任意的x恒成立．设F（x）＝（0），则F（x）≤0恒成立，．令，则，从而G（x）在[0，]上是减函数，所以，即．当a≥1时，F（x）≤0′，当且仅当a＝1，x＝0时取等号，所以F（x）在上是减函数，所以当x时，F（x）≤F（0）＝0，故a≥1满足题意．当0＜a＜1时，F′（0）＝1﹣a＞0，F．由零点存在定理，存在，使得F′（x0）＝0．因为G（x）在（0，）上是减函数，所以F′（x）＝G（x）﹣a在（0，）上是减函数，所以0＜x＜x0时，F′（x）＞F′（x0）＝0，所以F（x）在（0，x0）上是增函数，所以当x∈（0，x0）（这里（0，x0）⊊）时，F（x）＞F（0）＝0．所以0＜a＜1不满足题意，综上，实数a的取值范围是[1，+∞）．13．已知函数f（x）＝a+2lnx﹣ax（a＞0），（1）求f（x）的最大值φ（a）；（2）若f（x）≤0恒成立，求a的值；（3）在（2）的条件下，设g（x）＝在（a，+∞）上的最小值为m，求证：﹣11＜f（m）＜﹣10【解答】解：（1）∵f（x）＝a+2lnx﹣ax（a＞0），∴f′（x）＝（a＞0），由f′（x）＞0得0＜x＜；f′（x）＜0得x＞；所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．故f（x）max＝f（）＝a﹣2﹣2lna+2ln2即φ（a）＝a﹣2﹣2lna+2ln2（a＞0）（2）要使f（x）≤0 成立必须φ（a）＝a﹣2﹣2lna+2ln2≤0．因为φ′（a）＝，所以当0＜a＜2 时，φ′（a）＜0；当a＞2 时，φ′（a）＞0．所以φ（a）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．∴φ（a）min＝φ（2）＝0，所以满足条件的a只有2，即a＝2．（3）由（2）知g（x）＝，∴g′（x）＝令u（x）＝x-2lnx﹣4，则u′（x）＝＞0，u（x）是（2，+∞）上的增函数；又u（8）＜0，u（9）＞0，所以存在x0∈（8，9）满足u（x0）＝0，即2lnx0＝x0﹣4，且当x∈（2，x0）时，u（x）＜0，g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，u（x）＞0，g′（x）＞0；所以g（x）在（2，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．所以g（x）min＝g（x0）＝＝＝x0，即m＝x0．所以f（m）＝f（x0）＝2+2lnx0﹣2x0＝x0﹣2∈（﹣11，﹣10），即﹣11＜f（m）＜﹣10．14．已知函数f（x）＝（x2﹣mx）e x（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若m＝2，2n+1≥0，证明：关于x的不等式nf（x）+1≥e x在（﹣∞，0]上恒成立．【解答】解：（Ⅰ）依题意x∈R，f′（x）＝（x2﹣mx+2x﹣m）e x＝[x2+（2﹣m）x﹣m]e x令y＝x2+（2﹣m）x﹣m，则△＝（2﹣m）2+4m＝4+m2＞0令f′（x）＝0，则x2+（2﹣m）x﹣m＝0解得x＝结合二次函数图象可知：∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，）和（，+∞）单调递减区间为（，）（Ⅱ）令g（x）＝nf（x）+1﹣e x＝n（x2﹣2x）e x﹣e x+1当x∈（﹣∞，0]时，x2﹣2x≥0而2n+1≥0⇔n≥﹣故n（x2﹣2x）e x≥﹣（x2﹣2x）e x∴g（x）≥﹣（x2﹣2x）e x﹣e x+1令h（x）＝﹣（x2﹣2x）e x﹣e x+1，x∈（﹣∞，0]∴h′（x）＝﹣x2e x≤0故函数h（x）在（﹣∞，0]上单调递减，则h（x）≥h（0）＝0则任意的x∈（﹣∞，0]，g（x）≥h（x）≥0∴关于x的不等式nf（x）+1≥e x在（﹣∞，0]上恒成立．15．已知函数f（x）＝（其中e是自然对数的底数），g（x）＝1﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），若a满足0＜a＜且ln2a+1＞0，试判断方程h（x）＝0的实数根个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）易知，当x＜0时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，所以f（x）极大值＝f（0）＝1，但无极小值．（Ⅱ）因为，所以．导数因为，所以，于是，令h′（x）＝0，此时，当x＜0时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；所以．因为，所以，，又函数h（x）在R上连续，故h（x）有一个零点0，且在上也有一个零点；综上，方程h（x）＝0有2个实数根．16．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明：x1•x2＞1．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ax2﹣lnx．定义域为（0，+∞）∴f′（x）＝2ax﹣＝①当a≤0时，f′（x）＝＜0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．②当a＞0时，令f′（x）＝＜0，解得0＜x＜令f′（x）＝＞0，解得x＞∴f（x）＝ax2﹣lnx在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数综上a≤0时f（x）的单调减区间为（0，+∞）a＞0时f（x）的单调减区间为（0，），增区间是（，+∞）．（2）∵函数f（x）有两个零点x1，x2，由（1）知x＝是f（x）的最小值点，∴f（x）在（0，+∞）上的最小值f（）＝a•（）2﹣ln＜0时，f（x）有两个零点x1，x2∴解得0＜a＜要证x1•x2＞1⇔要证lnx1•x2＞ln1⇔要证lnx1+lnx2＞0∵函数f（x）有两个零点x1，x2，不防设0＜x1＜＜x2则f（x1）＝ax12﹣lnx1＝0 ①f（x2）＝ax22﹣lnx2＝0 ②①+②得：lnx1+lnx2＝a（x12+x22），而a（x12+x22）＞0，∴lnx1+lnx2＞0即x1•x2＞1得证．17．己知p：实数m使得函数f（x）＝lnx（m﹣2）x2﹣x在定义域内为增函数：q：实数m使得函数g（x）＝mx2+（m+1）x﹣5在R上存在两个零点x1，x2，且x1＜1＜x2（1）分别求出条件p，q中的实数m的取值范围；（2）甲同学认为“p是q的充分条件”，乙同学认为“p是q的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由．【解答】解：（1）p：实数m使得函数f（x）＝lnx（m﹣2）x2﹣x在定义域内为增函数：则有在R上恒成立．∴m﹣2＝（）2﹣∴m．q：实数m使得函数g（x）＝mx2+（m+1）x﹣5在R上存在两个零点x1，x2，且x1＜1＜x2则有m•f（1）＜0⇒m（m﹣2）＜0⇒0＜m＜2．（2）由（1）可得p：∴m．，q：0＜m＜2．∵{m|m}⊈{|0＜m＜2}{m|m}⊉{|0＜m＜2}∴p是q的既不充分也不必要条件．故两位同学都错．18．已知函数f（x）＝In+cos x﹣|x|．（Ⅰ）求证：函数f（x）在[0，+∞）上单调递减；（Ⅱ）若f（2x﹣3）+π+1+ln（2+3π2）＜0，求x的取值范围．【解答】（1）证明：∵函数f（x）＝In+cos x﹣|x|．∴x∈[0，+∞）时f（x）＝﹣ln（2+3x2）+cos x﹣x ∴f′（x）＝﹣sin x﹣1，∴x∈[0，+∞）时f′（x）＝﹣sin x﹣1＜0，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递减；（2）∵函数f（x）＝In+cos x﹣|x|．定义域为R∴f（﹣x）＝）＝﹣ln（2+3x2）+cos（﹣x）﹣|﹣x|＝﹣ln（2+3x2）+cos x﹣x＝f（x）∴f（x）是偶函数．由（1）知f（x）在[0，+∞）上单调递减；∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增；又f（2x﹣3）+π+1+ln（2+3π2）＜0⇔f（2x﹣3）＜f（π）∴|2x﹣3|＞π⇔2x﹣3＞π或2x﹣3＜﹣π解得x＞或x＜∴x的取值范围为：（﹣∞，）∪（，+∞）19．已知函数f（x）＝lnx﹣sin（x﹣1），f′（x）为f（x）的导函数．证明：（1）f′（x）在区间（0，2）存在唯一极小值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．【解答】解：（1）令g（x）＝f′（x）＝，，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0恒成立，当x∈（1，2）时，＞0．∴g′（x）在（1，2）递增，．故存在a∈（1，2）使得，x∈（1，a）时g′（x）＜0，x∈（a，2）时，g′（x）＞0．综上，f′（x）在区间（0，2）存在唯一极小值点x＝a．（2）由（1）可得x∈（0，a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（a，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递增．且g（1）＝0，g（2）＝．故g（x）的大致图象如下：当x∈（2，3）时，sin（x﹣1）∈（sin1，sin2），sin（x﹣1）＞sin30°∴此时g′（x）＞0，g（x）单调递增，而g（3）＝﹣cos2＞0．故存在∈（2，3），使得g（m）＝0故在x∈（0，3）上，g（x）的图象如下：综上，x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，m）时，g（x）＜0，x∈（m，3）时，g（x）＞0．∴f（x）在（0，1）递增，在（1，m）递减，在（m，3）递增，而f（1）＝0，f（3）＝ln3﹣sin2＞0，又当x＞3时，lnx＞1，f（x）＞0恒成立．故在（0，+∞）上f（x）的图象如下：∴f（x）有且仅有2个零点．20．已知函数f（x）＝te2x+（t+2）e x﹣1，t∈R．（Ⅰ）当t＝﹣1时，求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）当t＞0时，若函数g（x）＝f（x）﹣4e x﹣x+1在R上有唯一零点，求t的值．【解答】解：（Ⅰ）当t＝﹣1时，f（x）＝﹣e2x+e x﹣1，则f′（x）＝﹣2e2x+e x＝e x（1﹣2e x）令f′（x）＝0，解得x＝﹣ln2∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣ln2），单调递减区间是（﹣ln2，+∞）∴f（x）的极大值是f（﹣ln2）＝﹣，无极小值．（Ⅱ）当t＞0时，g（x）＝f（x）﹣4e x﹣x+1＝te2x+（t﹣2）e x﹣x∴g′（x）＝2te2x+（t﹣2）e x﹣1＝（te x﹣1）（2e x+1）＝0，解得x＝﹣lnt∴g（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣lnt），单调递增区间是（﹣lnt，+∞）∴g（x）的极小值是g（﹣lnt）∴g（﹣lnt）＝0，即lnt﹣+1＝0时，能满足题意．令F（t）＝lnt﹣+1，则F′（t）＝+＞0∴F（t）＝lnt﹣+1在（0，+∞）上单调递增，唯有t＝1时，F（1）＝0∴t＝121．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax+b（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a≥1，判断f（x）极值点个数；（Ⅱ）若f（x）≥f′（x）在x∈[﹣1，1]上恒成立，求a+b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）＝e x﹣x﹣a，x∈R，f″（x）＝e x﹣1可得函数f′（x）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）单调递增，f′（x）min＝f′（0）＝1﹣a当a＞1时，1﹣a＜0，且f′（﹣a）＝e﹣a＞0，取b＞0，使得b＞ln（b+a），∴f′（b）＝e b﹣（b+a）＞b+a﹣（b+a）＝0即函数f′（x）的图象与x轴有两个交点，此时f（x）极值点个数为2，；当a＝1时，f′（x）≥0，此时f（x）极值点个数为0；（Ⅱ）f（x）≥f′（x）在x∈[﹣1，1]上恒成立⇔e x﹣x2﹣ax+b≥e x﹣x﹣a在x∈[﹣1，1]上恒成立⇔a+b≥在x∈[﹣1，1]上恒成立．令h（x）＝①当1﹣a≥0时，h（x）．∴a+b②当1﹣a＜0时，h（x）max＝h（1）＝a﹣综上得，a+b22．设函数f（x）＝lnx﹣a2x+2a（a∈R）（1）若函数f（x）在上递增，在上递减，求实数a的值．（2）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；（3）若方程x﹣lnx﹣m＝0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2＜1．【解答】解：（1）由于函数函数f（x）在上递增，在上递减，由单调性知，是函数的极大值点，无极小值点．所以∵故，经验证成立．（2）∵f（x）＝lnx﹣a2x+2a，∴，①当a＝0时，在（1，+∞）上单调递增．②当a2≥1，即a≤﹣1或a≥1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减．③当﹣1＜a＜1且a≠0时，由f'（x）＝0得．令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得．∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．综上，当a＝0时，f（x）在（1，+∞）上递增；当a≤﹣1或a≥1时，f（x）在（1，+∞）上递减；当﹣1＜a＜1且a≠0时，f（x）在上递增，在上递减．（3）令h（x）＝x﹣lnx（x＞0），g（x）＝m，当x∈（0，1）时，，h（x）＝x﹣lnx（x＞0）单调递减；当x∈（1，+∞）时，，h（x）＝x﹣lnx（x＞0）单调递增；故h（x）在x＝1处取得最小值，h（1）＝1又当x→0，h（x）→+∞；x→+∞，h（x）→1，∴m∈（1，+∞）不妨设x1＜x2，则有0＜x1＜1＜x2，，要证x1x2＜1⇔即证⇔即证h（x1）＞h（）∵h（x1）＝h（x2）＝m，∴＝令，∴p（x）在（1，+∞）上单调递增，故p（x）＞p（1）＝0即＞0，∴∴x1x2＜1 得证23．已知函数f（x）＝2x3﹣3（a﹣1）x2﹣6ax+a2+1．（Ⅰ）设﹣1≤a≤1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为b，求b的最小值；（Ⅱ）若f（x）只有一个零点x0，且x0＜0，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2x3﹣3（a﹣1）x2﹣6ax+a2+1的导数为f′（x）＝6x2﹣6（a﹣1）x﹣6a，f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为6﹣6（a﹣1）﹣6a＝12﹣12a，切点为（1，6﹣9a+a2），可得切线方程为y﹣（6﹣9a+a2）＝（12﹣12a）（x﹣1），由x＝0，可得b＝a2+3a﹣6＝（a+）2﹣，由﹣1≤a≤1，可得b在[﹣1，1]上递增，可得b的最小值为﹣8；（Ⅱ）若f（x）只有一个零点x0，且x0＜0，可得f（0）＞0，f′（x）＝6x2﹣6（a﹣1）x﹣6a，由f′（x）＝0，可得x＝﹣1或x＝a，由f（﹣1）＜0，且f（a）＜0，即为a2+3a+2＜0，且a3+2a2﹣1＞0，解得＜a＜﹣1．24．设函数f（x）＝x﹣﹣alnx（a∈R，a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k．问：是否存在a，使k＝2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）显然定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝1+﹣＝，（a∈R，a＞0）．令g（x）＝x2﹣ax+2，其判别式△＝a2﹣8，①当0＜a时，△≤0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a时，△＞0，令f′（x）＝0，得x1＝，x2＝，∵在（0，x1）上f′（x）＞0，在（x1，x2）上f′（x）＜0，在（x2，+∞）上f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上为增函数，在（x1，x2）上为减函数．（2）由（1）知，a，∴f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣x2）+﹣a（lnx1﹣lnx2），∴k＝＝1+﹣a，∵x1x2＝2，∴k＝2﹣a，假设存在a，使k＝2﹣a，则2﹣a＝2﹣a，∴＝1，∴lnx1﹣lnx2＝x1﹣x2，即x2﹣﹣2lnx2＝0（•），其中x2＞1，令h（t）＝t﹣﹣2lnt，∴h′（t）＝1+﹣＝＝＞0，∴h（t）在（1，+∞）上是增函数，∴h（t）＞h（1）＝0，与（•）矛盾．故不存在a使k＝2﹣a成立．25．已知．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值且f（x）≥0，求实数a的取值范围；（3）求证：当x＞1时，．【解答】解：（1）显然定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝x﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，②当a＞0时，令f′（x）＝0，得x＝，∵在（0，）上f′（x）＜0，∴f（x）是单调递减函数；∵在（，+∞）上f′（x）＞0，∴f（x）是单调递增函数．（2）∵f（x）存在极值且f（x）≥0，∴a＞0，∴只需f（x）min≥0，由上知f（x）min＝f（）＝a﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，∴a∈（0，e]（3）设F（x）＝，∴F′（x）＝2x2﹣x﹣＝，∵x＞1，∴F′（x）＞0，即F（x）在（1，+∞）上为增函数，∴F（x）＞F（1）＝＞0，∴F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，故当x＞1时，．26．已知函数f（x）＝（ax+1）e x，a∈R（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值．（2）当a＝时，对于两个不相等的实数x1，x2，有f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＜2．【解答】解：（1）当a＝1，f（x）＝（x+1）e x，∴f′（x）＝（x+2）e x，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（﹣2）＝﹣．（2）当a＝时，f（x）＝（﹣x+1）e x，对于两个不相等的实数x1，x2，有f（x1）＝f（x2），∵f′（x）＝（1﹣x）e x，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，不妨设x1＜1＜x2，令g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），（x＜1）∴g′（x）＝（1﹣x）（e x﹣e2﹣x），当x＜1时，1﹣x＞0，x＜2﹣x，e x﹣e2﹣x＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）单调递减，∴g（x）＞g（1）＝f（1）﹣f（1）＝0，即f（x）﹣f（2﹣x）＞0，不妨设x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，由以上可知f（x1）＞f（2﹣x1），∵f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∵f（x1）＝f（x2），∴f（x2）＞f（2﹣x1），∵x2＞1，2﹣x1＞1，∵f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴x2＜2﹣x1，∴x1+x2＜2。
(典型题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(答案解析)
一、选择题1．若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()0,11,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞3．已知函数()2sin x m f x x +=-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,44ππ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 4．已知函数()23ln f x x ax x =-+在其定义域内为增函数，则a 的最大值为（ ）A．4B ．C ．D ．65．已知函数()f x 定义域为R ，其导函数为f x ，且()()30f x f x '->在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是（ ） A ．()()310f e f <B ．()()210f e f < C ．()()310f e f >D ．()()210f e f >6．已知函数()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R .若函数()f x 有三个零点，则（ ）A ．1a >，0b <B ．01a <<，0b >C ．0a <，0b >D ．01a <<，0b < 7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（ ）A ．(2020)(2021)f ef >B ．(2020)(2021)f ef <C ．(2020)(2021)ef f >D ．(2020)(2021)ef f <8．已知函数()()()110ln x f x x x++=>，若()1kf x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x k g x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩.若对函数()ln 22f x x x =-+，有()()g x f x =恒成立，则（ ）A ．k 的最大值为1ln2+B ．k 的最小值为1ln2+C ．k 的最大值为ln 2D ．k 的最小值为ln 210．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ） A ．12B ．1326-C ．1326+ D ．2311．函数()212x f x x -=+的值域是（ ） A ．30,⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+C ．()0,3D ．)3,⎡+∞⎣12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 二、填空题13．已知函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是_________．14．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是_______.15．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为___________．16．已知函数()2ln(1)f x x ax =+-，对任意的(0,1),(0,1)m n ∈∈，当m n ≠时，(1)(1)1f m f n m n+-+<-，则实数a 的取值范围是____________.17．函数21f x x x 的极大值为_________.18．已知函数3223,01()21,1x x m x f x mx x ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．19．函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是________.20．已知函数()321f x x x =++，若对于x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为：____________．三、解答题21．已知函数()2ln f x x a x x=--. （1）已知()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，求实数a 的值； （2）已知()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()xax f x e =． （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性； （2）若0a >，函数()()212g x f x x x =+-只有1个零点，求实数a 的取值范围． 23．已知函数32()691f x x x x =-++． （1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程．（2）证明：()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 24．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈． （1）函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：当()1x ∈+∞，时，()20f x +>． 25．已知函数21()ln (1)12f x a x x a x =+-++. （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极小值，求实数a 的取值范围.26．已知函数321()23f x x x ax =-++，21()42g x x =-. （1）若函数()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（2）设()()()G x f x g x =-.若02a <<，()G x 在[]1,3上的最小值为13-，求()G x 在[]1,3上取得最大值时，对应的x 值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】通过分离参数变成ln x a x x=-，构造函数()ln x f x xx =-，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a 的取值范围. 【详解】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=- ()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B 【点睛】方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.2．C解析：C 【分析】 构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()00g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数， 由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．A【分析】()0f x =有两解变形为2sin m xxe e =有两解， 设2sin ()xxg xe =，利用导数确定函数的单调性、极值，结合()g x 的大致图象可得结论． 【详解】 由()22sin x mf x e x +=-得2sin m xxe e =，设2sin ()xxg x e=，则2(cos sin )()x x g x -'=， 易知当04x π<<时，()0g x '>，()g x 递增，当344x ππ<<时，()0g x '<，()g x 递减，(0)0g =，414g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34314g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如图是()g x 的大致图象， 由2sin mx e =有两解得34411m e e eππ≤<，所以344m ππ-≤<-．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2sin m xe =2sin ()x g x =my e =有两个交点，利用导数研究函数()g x 的单调性、极值后可得．4．B解析：B 【分析】求导，则由题意导函数在0,上恒大于等于0，分参求a 范围.【详解】由题意可得()160f x x a x'=-+≥对()0,x ∈+∞恒成立，即16a x x ≤+，对()0,x ∈+∞因为16x x +≥16x x =即x =时取最小值所以a ≤ 故选：B 【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．5．A解析：A 【分析】 构造函数()()3xf xg x e=，由()()30f x f x '->得0g x ，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式. 【详解】()()3x f x g x e=，则()()()()()()3323333x x x x f x e f x e f x f x g x e e ⋅--=='''， 因为()()30f x f x '->在R 上恒成立， 所以0g x在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以()()10g g <，即()()3010f f e e <，即()()310f e f <， 故选：A. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.6．B解析：B 【分析】首先求出函数的导函数，要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即可求出参数a 的取值范围，再求出函数的单调区间，从而得到()10f a ->，即可判断b 的范围； 【详解】解：因为()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R 所以()()()()()()()222111111ax a a x a a ax x a f x ax a a xxx+--+---+-'=++--==要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即11x a=，21x a =-，所以1010a a->⎧⎪⎨>⎪⎩解得01a <<，此时111x a =>，211x a =-<，令()0f x '>，解得01x a <<-或1x a >，即函数在()0,1a -和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，解得11a x a -<<或1x a >，即函数在11,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在1x a =-处取得极大值，在1x a=处取得极小值； 因为当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，要使函数函数()f x 有三个零点，则()10f a ->，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭即()()()()()()2211ln 11112a f a a a a a a ab -=--+-+---+ ()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤=--++>⎢⎥⎣⎦且()()2211111ln 102a f a a a b a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为01a <<，所以011a <-<，20a -<，所以()()2102a a -+<，()ln 10a -<，所以()()()()211ln 102a a a a -+⎡⎤--+<⎢⎥⎣⎦，又()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤--++>⎢⎥⎣⎦，所以0b >故选：B 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．7．A解析：A 【分析】构造函数()()xg x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】解：依题意()()0f x f x '+<，令()()x g x e f x =，则()(()())0xg x f x f x e ''=+<在R 上恒成立，所以函数()()xg x e f x =在R 上单调递减， 所以(2020)(2021)g g >即20202021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>故选：A. 【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+． （2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()xF x e f x =．（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()()x f x F x e=． 8．B解析：B 【分析】 将不等式化为()()111ln x x k x +++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得()()001()g x x x g ≥=+，即求.【详解】()()()1ln 10x f x x x ++=>， ()1k f x x ∴>+可化为()111ln x k x x ++>+即()()111ln x x k x+++>， 令()()()111ln x g x xx ++=+， 则()()()()21ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()211x ln x x--+=令()()11h x x ln x =--+， 则()111h x x '=-+，()0,x ∈+∞时， ()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.又()()1ln 32ln 420,30,49g g --''=<=> ()02,3x ∃∈使()00g x '=，即()0011ln x x +=-.当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，()()000001ln 1))1(()(1x x g x x x x g +∴≥==+++， ()02,3x ∈，()013,4x +∴∈，∴正整数k 的最大值为3.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围.9．B解析：B 【分析】利用导数求出函数()f x 的最大值，由函数()g x 的定义结合()()g x f x =恒成立可知()f x k ≤，由此可得出k 的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x kg x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，且()()g x f x =恒成立，则()f x k ≤.函数()ln 22f x x x =-+的定义域为()0,∞+，且()111x f x x x-'=-=. 当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，()()max 11ln 2f x f ==+，1ln 2k ∴≥+. 因此，k 的最小值为1ln2+. 故选：B. 【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式()k f x ≥恒成立，从而将问题转化为求函数()f x 的最大值.10．C解析：C 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<， 设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-6(p p =---则函数y 在单调递减，在单调递增，故函数在36p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.11．A解析：A 【分析】求出函数的定义域，然后求出导函数，确定单调性，得值域．【详解】由21020x x ⎧-≥⎨+≠⎩得11x -≤≤，()f x '==当112x -≤<-时，()0f x '>，()f x 递增，112x -<≤时，()0f x '<，()f x 递减， 所以12x =-时，max()22f x ==-+(1)(1)0f f -==， 所以()f x的值域是⎡⎢⎣⎦． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数求函数的值域，解题方法是由导数确定函数的单调性，得出最大值和最小值，得值域．12．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x1=，x2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；二、填空题13．【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点由题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】则令可得列表如下： 极大值 极小值 所以函数的极大值点为 解析：()3,2--【分析】利用导数求出函数()f x 的极大值点和极小值点，由题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】()32133f x x x =++，则()()222f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，20x =，列表如下：所以，函数f x 的极大值点为2x =-，极小值点为0x =， 由于函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值， 所以，230m m <-⎧⎨+>⎩，解得32m -<<-.因此，实数m 的取值范围是()3,2--. 故答案为：()3,2--.【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算()0f x '=，求得x 的值，再验证极值点．由于导数为0的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．14．【分析】首先求函数的导数由条件是函数的唯一极值点说明在无解或有唯一解求实数的取值【详解】∵∴∴x ＝1是函数f （x ）的唯一极值点在上无解或有唯一解x=1①当x=1为其唯一解时k=e 令当时即h(x)的单 解析：(,]e -∞【分析】首先求函数的导数2(1)()()x x e kx f x x'--=，由条件1x =是函数()f x 的唯一极值点，说明0-=x e kx 在()0,x ∈+∞无解，或有唯一解1x =，求实数k 的取值. 【详解】∵()(ln )x e f x k x x x =+-，∴22(1)1(1)()()(1)x x x e x e kx f x k x x x'---=+-= ∴x ＝1是函数f （x ）的唯一极值点，0x x e k ∴-=在(0,)x ∈+∞上无解，或有唯一解x =1，①当x =1为其唯一解时，k =e ，令()(0)x h x e ex x =->，()xh x e e '=-，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，即h (x )的单调递减区间为(0,1)， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 的单调递增区间为(1,)+∞， ∴()h x 在x =1处，取得极小值， ∴k =e 时，x =1是f (x )的唯一极值点；②当xe k x=在(0,)x ∈+∞上无解，设()x e g x x =则2(1)()x e x g x x'-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，即g (x )的单调递减区间为(0,1)，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 的单调递增区间为(1,)+∞， ∴()g x 在x =1处，取得极小值，也是其最小值，min ()(1)g x g e ==，又k xe x=在(0,)x ∈+∞上无解，e k ∴<，综上k e ≤ 故答案为：(,]e -∞. 【点睛】易错点睛：本题考查根据函数的极值点求参数的取值范围，容易忽略k e =的情况，此时x e ex ≥恒成立.15．【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求解析：()0,1、()4,+∞ 【分析】利用图象得出不等式()()0f x f x '-<的解集，再利用导数可求得函数()()x f x g x e=的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='， 由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞． 故答案为：()0,1、()4,+∞. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间； （4）解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.16．【分析】把不等式恒成立转化为函数的导数小于1在内恒成立进而转化为在内恒成立结合函数的性质即可求解【详解】由题意分式的几何意义为：表示点与连线的斜率因为实数在区间内故和在区间内不等式恒成立所以函数图象解析：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】 把不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，转化为函数()f x 的导数小于1在(1,2)内恒成立，进而转化为()121a x ->+在(1,2)内恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】 由题意，分式(1)(1)f m f n m n+-+-的几何意义为：表示点(1,(1))m f m ++与(1,(1))n f n ++连线的斜率， 因为实数,m n 在区间(0,1)内，故1m + 和1n +在区间(1,2)内， 不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，所以函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1，故函数()2ln(1)f x x ax =+-的导数小于1在(1,2)内恒成立， 由函数()2ln(1)f x x ax =+-满足10x +>，即定义域为(1,)-+∞，即()2111f x ax x '=-<+在(1,2)内恒成立，即()121a x ->+在(1,2)内恒成立， 设函数()()121g x x -=+，根据函数的单调性可知函数()()121g x x -=+在(1,2)上是单调增函数，可得()()126g x g <=-，所以16a ≥-， 故答案为：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.17．【分析】利用导数研究函数的单调性由此可求得该函数的极大值【详解】定义域为令可得或当或时此时函数单调递增；当时此时函数单调递减所以函数在处取得极大值且极大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数 解析：427【分析】利用导数研究函数21f x x x 的单调性，由此可求得该函数的极大值.【详解】()()21f x x x =-，定义域为R ，()()()()()2121311f x x x x x x '=-+-=--.令()0f x '=，可得13x =或1x =. 当13x <或1x >时，()0f x '>，此时，函数21f x x x 单调递增；当113x <<时，()0f x '<，此时，函数21f x x x 单调递减.所以，函数21f xx x 在13x =处取得极大值，且极大值为21114133327f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：427. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值对分成三种情况进行分类讨论由此求得的取值范围【详解】当时所以在区间上递减最大值为最小值为当时在区间上没有零点在区间上递增而所以在区间上没有零点所以不符合题意解析：1(0,)2【分析】利用导数求得()f x 在区间[]0,1上的单调性和最值，对m 分成0,0,0m m m <=>三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，()()'26661fx x x x x =-=-，所以()f x 在区间[]0,1上递减，最大值为()0f m =，最小值为()11f m =-.当0m <时，()f x 在区间[]0,1上没有零点，在区间()1,+∞上递增， 而2110m -⨯+>，所以()f x 在区间()1,+∞上没有零点.所以0m <不符合题意.当0m =时，3223,01()1,1x x x f x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，所以()f x 在区间[)0,+∞上有唯一零点()00f =，所以0m =不符合题意.当0m >时，()f x 在区间[]0,1和区间()1,+∞上递减，要使()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则需0102110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪-⨯+>⎩，解得102m <<.综上所述，m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1(0,)2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19．【分析】根据函数求导解的解集即可【详解】因为函数所以令得或当时所以函数在上的递增区间是故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性还考查了转化问题和运算求解的能力属于中档题解析：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数2sin y x x =-，求导12cos y x '=-，解0y '>的解集即可. 【详解】因为函数2sin y x x =-， 所以12cos y x '=-， 令12cos 0y x '=-=，得3x π=或53x π=， 当533x ππ≤≤时，0y '>， 所以函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】根据在R 上递增结合将不等式恒成立转化为恒成立然后分和两种情况利用导数法求解【详解】因为所以成立所以在R 上递增又成立所以恒成立即恒成立当时转化为恒成立令当时单调递减当时单调递增所以当时求得最小解析：10a e≤≤ 【分析】根据()f x 在R 上递增，结合()01f =，将x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，转化为()2xa x e +≤ ，x R ∀∈恒成立，然后分20x +≤和20x +>两种情况，利用导数法求解. 【详解】因为()321f x x x =++，所以()2320f x x '=+>成立，所以()f x 在R 上递增，又()()01,21xf f ax e a =-+≤x R ∀∈成立，所以20x ax e a -+≤，x R ∀∈ 恒成立，即()2xa x e +≤，x R ∀∈恒成立，当20x +>时，转化为2xe a x ≤+恒成立，令()2xg x ex =+，()()()212x x e g x x +'=+，当21x -<<-时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以当1x =-时，()g x 求得最小值min 1()(1)g x g e=-=， 所以1a e≤， 当20x +≤时，转化为2xe a x ≥+恒成立，(),(,2)a g x x ≥∈-∞-上恒成立，(,2)x ∈-∞-时，()0,()g x g x '<单调递减，又(,2),()0x g x ∈-∞-<，所以0a ≥不等式恒成立， 综上：实数a 的取值范围为10a e≤≤ 故答案为：10a e≤≤ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）2a =；（2）(-∞. 【分析】（1）由题意可得出()11f '=，由此可求得实数a 的值；（2）求出函数()f x 的定义域为()0,∞+，由题意可知，()2210af x x x'=+-≥在()0,∞+上恒成立，利用参变量分离法得出min2a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出2x x +在()0,∞+上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 （1）()2ln f x x a x x =--，()221af x x x'∴=+-，()13f a '∴=-，又()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，()131f a '∴=-=，解得2a =； （2）()f x 的定义域为()0,∞+，()f x 在定义域上为增函数，()2210af x x x'∴=+-≥在()0,∞+上恒成立， 2a x x ∴≤+在()0,∞+上恒成立，min 2a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式2x x +=≥x时等号成立，故min2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故a的取值范围为(-∞. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立. 22．（1）当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增；在区间1,上单调递减；（2）当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）先对函数求导，然后分别由0f x 和0f x 可求出函数的增区间和减区间；（2）由0g x，得1x =，或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论，当ln 1a =可得()g x 只有1个零点，当ln 1a <时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，当ln 1a >时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，从而可求出实数a 的取值范围 【详解】解：（1）当1a =时，()xxf x e =，定义域为R ， 所以()1xxf x e -'=． 当1x <时，0f x，函数()f x 单调递增；当1x >时，0f x，函数()f x 单调递减．综上所述，当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增； 在区间1,上单调递减．（2）因为0a >，函数()212x ax g x e x x =+-， 所以()()()111x xx a x e a g x x x e e -⎛⎫-'=+-=- ⎪⎝⎭． 当0g x时，得1x =，或ln x a =．①若ln 1a =，即a e =，则0g x恒成立，函数()g x 在R 上单调递增，因为()00g =，所以函数()g x 只有1个零点． ②若ln 1a <，即0a e <<， 当ln x a <时，0g x，函数()g x 单调递增； 当ln 1a x <<时，0g x ，函数()g x 单调递减；当1x >时，0g x，函数()g x 单调递增．（Ⅰ）当ln 0a <，即01a <<时，()()()ln 001g a g g >=>， 又因为()2220ag e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意． （Ⅱ）当ln 0a =，即1a =时，()()()ln 001g a g g ==>， 又因为()2220g e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意．（Ⅲ）当ln 0a >，即1a e <<时，()()()ln 001g a g g >=>， 若函数()g x 只有1个零点，需()1102a e g =->， 解得2ea e <<．③若ln 1a >，即a e >，当1x <时，0g x，函数()g x 单调递增；当1ln x a <<时，0g x ，函数()g x 单调递减； 当ln x a >时，0g x，函数()g x 单调递增．所以()()100g g >=，()21ln ln 02g a a =>所以函数()g x 在R 上只有1个零点．综上所述，当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间和求函数的零点，第二问解题的关键是由0g x求得1x =或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论函数的单调性，从而由零点的情况求出参数的取值范围，属于中档题 23．（1）91y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数在0x =处的导数后可得切线方程.（2）设函数()1ln g x x x =+-，利用导数可证明在1(,)2+∞上有()()1,1f x g x ≥≥，但等号不同时成立，结合余弦函数的性质可证明()()1ln 2cos x x f x x +->在1()2,x ∈+∞恒成立.【详解】（1）解：2()3129f x x x -'=+，则()09f =，故曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为91y x =+． （2）证明：当1(,1)(3,)2x ∈⋃+∞时，()0f x '>， 则()f x 在1(,1),(3,)2+∞上单调递增；当()1,3x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()1,3上单调递减． 因为133()(3)128f f =>=， 所以()f x 在1(,)2+∞上的最小值为()31f =．设函数()1ln g x x x =+-．则1()(0)x g x x x -'=>． 当1(,1)2x ∈时，()0g x '<，则()g x 在1(,1)2上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在(1,)+∞上单调递增． 故()()12g x g ≥=．从而()()1ln 2x x f x +-≥，但由于()1f x ≥与()2g x ≥的取等条件不同， 所以()()1ln 2x x f x +->．因为2cos 2x ≤，所以()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立的问题，如果该不等式中含有三角函数，那么可以利用三角函数的有界性把前者转化为与三角函数无关的不等式，这样便于问题的讨论与处理. 24．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导()()1'(0)a x f x x x-=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解. 【详解】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x-=>，当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，； 同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间． （2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-， 所以12f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增， 所以当()1x ∈+∞，时，()()1f x f >． 即()2f x >-，所以()20f x +>． 【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 25．（I ）1y x =-；（Ⅱ）1a <. 【分析】（Ⅰ）当0a =时，利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的导数，2(1)()10a x a x af x x a x x'-++=+--==时，11x =和2x a =，并讨论a 与0,1的大小关系，求实数a 的取值范围. 【详解】（I ）当0a =时，21()12f x x x =-+. 所以()1f x x '=-， 所以(2)1k f '==，因为21(2)22112f =⨯-+=. 所以切线方程为1y x =-.（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为21()ln (1)12f x a x x a x =+-++ 所以2(1)()1a x a x af x x a x x'-++=+--=. 令()0f x '=，即2(1)0x a x a -++=，解得1x =或x a =.（1）当0a 时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以0a 成立.（2）当01a <<时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以01a <<成立.（3）当1a =时，()0f x '在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有板小值，不成立. （4）当1a >时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以1a >不成立. 综上所述，1a <. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据极值点求a 的取值范围，本题容易求出导函数的零点1和a ，但需讨论a 的范围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.26．（1）12a >-；（2）最大值点为36+.36x +=. 【分析】（1）根据()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，由()2220f x x x a =-++>'在()0,∞+上有解求解.（2）由()0G x '=得1x =2x =，根据02a <<，易得10x <，213x <<，则()G x 在[]1,3上的最大值点为2x ，最小值为()1G 或()3G ，然后由()()143143G G a -=-+，分14403a -+<，14403a -+≥确定最小值进而求得a 即可 【详解】（1）∵()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间， ∴()2220f x x x a =-++>'在()0,∞+上有解，即()max 0f x '>在()0,∞+上成立， 而()f x '的最大值为()112f a '=+， ∴120a +>， 解得：12a >-. （2）3211()()()2432G x f x g x x x ax =-=-+++， ∴()22G x x x a '=-++，由()0G x '=得：112x =，212x +=，则()G x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增， 又∵当02a <<时，10x <，213x <<，∴()G x 在[]1,3上的最大值点为2x ，最小值为()1G 或()3G ， 而()()143143G G a -=-+， 1︒当14403a -+<，即706a <<时，()113623G a =-=-，得136a =，此时，最大值点236x +=； 2︒ 当14403a -+≥，即726a ≤<时，()2511263G a =+=-，得94a =-（舍）.综上()G x 在[]1,3 【点睛】方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得； (2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．。
导数试题及答案
导数试题及答案一、选择题1. 设函数 $f(x)=2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$，则 $f'(x)$ 的值为：A) $6x^2 - 6x + 5$B) $6x - 5$C) $6x^2 - 3x + 5$D) $6x^2 - 6x - 3$2. 函数 $f(x) = e^x \sin x$ 的导数为：A) $e^x \sin x + e^x \cos x$B) $e^x \sin x - e^x \cos x$C) $e^x \sin x + e^{-x} \cos x$D) $e^{-x} \sin x + e^x \cos x$3. 设 $y = \arcsin(\cos x)$，则 $\frac{dy}{dx}$ 的值为：A) $-\sin(\cos x)$B) $-\sin x$C) $\cos(\cos x)$D) $\cos x$4. 函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ 的导数为：A) $-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$B) $\frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$C) $\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$D) $\frac{x^2 + 1}{2x}$5. 函数 $f(x) = \ln(2x + 1)$ 的导数为：A) $\frac{1}{2x + 1}$B) $\frac{1}{x}$C) $\frac{2}{2x + 1}$D) $\frac{2}{x}$二、解答题1. 求函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ 在 $x = 2$ 处的导数和导数值。
解：首先求导数 $f'(x)$，利用导数的定义及基本求导法则：$$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 2)' = (3x^2 - 12x + 9)$$然后代入 $x=2$，得到导数值 $f'(2)$：$$f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$$所以函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处的导数为 $-3$。
第二章,导数应用练习题答案
导数应用练习题答案1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。
2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 21(2)()[2,2]1f x x=-+；(3)()[0,3]f x =； 2(4)()1[1,1]xf x e =--解：2(1)()23[1,1.5]f x x x =---该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-， 使()410f ξξ'=-=，解出14ξ=。
解：21(2)()[2,2]1f x x=-+该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1(2)5f =，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-， 使222()0(1)f ξξξ-'==+，解出0ξ=。
解：(3)()[0,3]f x =该函数在给定闭区间上连续，其导数为()f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =，(3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈，使()0f ξ'=-=，解出2ξ=。
解：2(4)()e 1[1,1]x f x =--该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。
2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。
3(1)()[0,](0)f x xa a =>； (2)()ln [1,2]f x x=；32(3)()52[1,0]f x x x x =-+--解：3(1)()[0,](0)f x xa a =>该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()3f x x '=，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(0,)a ξ∈，使()(0)()(0)f a f f a ξ'-=-，即3203(0)a a ξ-=-，解出ξ=。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（ ） A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f ->>2．已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）A ．[1，)+∞B ．(0，1]C ．[2，)+∞D ．(0,)+∞3．已知定义域为R 的偶函数()f x ，其导函数为fx ，对任意[)0,x ∈+∞，均满足：()()2xf x f x >-'．若()()2g x x f x =，则不等式()()21g x g x <-的解集是（ ）A ．(),1-∞-B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭4．定义域为R 的连续可导函数()f x 满足()()xf x f x e '-=，且()00f =，若方程()()21016m f x f x ++=⎡⎤⎣⎦有四个根，则m 的取值范围是（ ） A ．2416e e m -<<B ．42em <<C ．216e m e >-D ．2e m >5．直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+，ln y x x =+相交于A ，B 两点，则AB的最小值为（） A ．1B ．2C D 6．若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．11a e<< C ．111a e-<< D ．111a e+<< 7．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)8．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ） ABCD9．奇函数()f x 满足0x ≥时,()cos 0f x x '+<，且()3,2f π=-则不等式()cos 22f x x π+>--的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(,)π-∞-C ．(,)2π-∞-D ．(,)π-∞10．已知f （x ）=-x 3-ax 在（-∞，-1]上递减，且g （x ）=2x-ax在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-B ．3a -≤C ．32a -≤<-D ．32a --≤≤11．已知0a >，函数()225,0,2,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A ．14a <<B ．24a <<C ．48a <<D ．28a <<12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）+xf '（x ）＞0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是_____．14．若函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是______.15．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，()f x '是()f x 的导函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点0(,1)x m m ∈+，则整数m 的值是__________.16．已知函数()()2ln 2f x x x g x x x a ==-++，，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），f （x 1）≥g（x 2）恒成立，则实数a 的取值范围为__________17．已知函数32()1f x x ax x =+++在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，则实数a 的取值范围是________．18．设函数()'f x 是偶函数()(0)f x x ≠的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________.19．已知函数()1ln f x x a x x=-+，存在不相等的常数m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()()f m f n -的最小值为____________.20．设函数()2()1xf x x e =-，当0x ≥时，()1(0)f x ax a ≤+>恒成立，则a 的取值范围是________.三、解答题21．设函数3222ln 11(),()28a x x f x g x x x x +==-+. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与30x y -+=垂直，求函数()f x 的解析式；（2）如果对于任意的1213,[,]22x x ∈，都有112()()x f x g x ⋅≥成立，试求实数a 的取值范围.22．设函数()ln 1x f x x+=， （1）求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；（2）当1≥x 时，不等式()()211a x f x x x--≥恒成立，求a 的取值范围． 23．已知函数()2xf x eax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围.24．已知函数22()ln a f x a x x x=⋅++(0a ≠).（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()2g a e ≤. 25．已知函数321()12f x x x ax =-++. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.26．已知函数ln xy x=（0x >）. （1）求这个函数的单调区间；（2）求这个函数在区间21,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及31log 2转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小. 【详解】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数， 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512->>->>， ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2．A解析：A 【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，等价于()'211f x ax =-≥，1x 时恒成立， 0a时，()'0f x <，不合题意，0a >时，只需211ax -，即1ax在[1，)+∞恒成立， 故max 1()1a x=，故a 的范围是[1，)+∞， 故选：A 【点睛】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，由此考虑利用导数进行求解.3．C解析：C 【解析】试题分析：[)0,x ∈+∞时()()()()()22(2)0g x xf x x f x x f x xf x =+='+'>'，而()()2g x x f x =也为偶函数，所以()()()()21212121321013g x g x g x g x x x x x x <-⇔<-⇔<-⇔+-<⇔-<<，选C.考点：利用函数性质解不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等4．A解析：A 【分析】构造函数()()xf x x b e =+，根据()00f =求出0b =，利用导数判断函数的单调性，作出其大致图像，令()t f x =，只需21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由()()()()()()()()221x xxxxx x f x e f x e f x f x e e f x e ef x e '-'-=-=⇒'=⇒，则()()()()1xx xf x f x x b x x b e e e f ⎡⎤=⇒=+=+⎢⎥⎣⎦⇒， 由()000f b =⇒=，则()xf x e x =⋅.由()()1xf x e x '=+，当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增；当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，当x →-∞，()0f x <，x →+∞，()0f x >，如图所示：令()t f x =，则21016mt t ++=，由已知可得 21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()2116g t mt t =++，由12121001016t t m m t t m ⎧+=-<⎪⎪⇒>⎨⎪⋅=>⎪⎩， 则()21000,41601102g e e g m e em ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪>⇒∈-⎨⎪∆>⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩. 故选：A 【点睛】本题考查了构造函数判断函数的单调性、根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了二次函数根的分布，此题综合性比较强，属于中档题.5．B解析：B 【分析】设A （a ，2 a+1），B （a ，a+lna ），求出|AB |，利用导数求出|AB |的最小值． 【详解】设A （a ，2a+1），B （a ，a+lna ），∴|AB |＝211a a lna a lna +-+=+-（）， 令y 1x lnx =+-，则y ′=11x-， ∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴x ＝1时，函数y 的最小值为20>，∴|AB |＝2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-（），其最小值为2.故选B ． 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．6．C解析：C 【分析】先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，即得解.【详解】由题得211()0f x x x '=+>在区间()1,e 上恒成立， 所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， 所以(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>， 可得111a e-<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【解析】y ′＝3x 2＋1>0对于任何实数都恒成立．8．A解析：A 【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：显然满足2224h r R =-，故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+，故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<，令()0V h '>，解得0h <<，故此时()V h 单调递增，令()0V h '<2h R <<，故此时()V h 单调递减.故()maxV h V ⎫=⎪⎪⎝⎭.即当3h R =时，圆柱的体积最大. 故选：A . 【点睛】本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.9．A解析：A 【分析】构造函数()()sin h x f x x =+，根据其单调性，求解目标不等式即可. 【详解】不妨令()()sin h x f x x =+，因为()()cos 0h x f x x =+'<'在[)0,+∞恒成立， 即()h x 在[)0,+∞单调递减；又()f x 是奇函数，sin y x =是奇函数， 故()h x 是奇函数，且()h x 是R 上的单调减函数.由()3,2f π=-故可得22h π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()cos 22f x x π+>--，即22h x h ππ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故22x ππ+<，则0x <.故选：A . 【点睛】本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数单调性以及利用单调性解不等式，属综合中档题.10．C解析：C 【分析】利用()f x 导数小于等于零恒成立，求出a 的范围，再由()2'2ag x x x =+在(]1,2上有零点，求出a 的范围，综合两种情况可得结果. 【详解】因为函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，所以()2'30f x x a =--≤对于一切(],1x ∈-∞-恒成立，得23,3x a a -≤∴≥-， 又因为()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值， 所以，可知()2'2ag x x x =+在(]1,2上有零点， 也就是极值点，即有解220ax x+=，在(]1,2上解得32a x =-， 可得82,32a a -≤<-∴-≤<-，故选C. 【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围. 11．D解析：D 【分析】根据分段函数，看成函数()f x 与直线()2y a x =-的交点问题，分0x =，0x ≤，0x >讨论求解.【详解】当0x =时，()502f a =，对于直线()2y a x =-，2y a =，因为0a >，所以无交点； 当0x ≤时，()2f x x '=，令2x a =-，解得 2ax =-，要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 2a >；当0x >时，()2f x x '=-，令2x a -=-，解得 2ax =，因为0x ≤时，方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则0x >时，无交点， 则2222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 8a <,综上：a 的取值范围为28a <<故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由0a >和直线()2y a x =-过定点()2,0，确定方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解只有一种情况：当0x ≤时，方程恰有2个互异的实数解，当0x >时，方程无实数解.12．A解析：A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42xxf x x x e e =-+-的定义域为R ， 又由3322()42e (42)()e x xx xf x x x x x e f x e -=-++-=--+-=-， 所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥， 当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤， 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、填空题13．（﹣∞﹣3）∪（3+∞）【分析】令当x ＞0时可得x ∈（0+∞）上函数单调递增由可得由函数是定义在R 上的奇函数可得函数是定义在R 上的偶函数进而得出不等式的解集【详解】解：令当x ＞0时∴x ∈（0+∞）上解析：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 【分析】令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝，当x ＞0时，()()0f x xf x '+>，可得x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．由()30f ＝，可得()30g ＝．由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得函数()g x 是定义在R 上的偶函数．进而得出不等式的解集． 【详解】解：令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝ 当x ＞0时，()()0f x xf x '+>∴x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．()30f ＝，∴()30g ＝．∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数． 由()()03g x g >＝，即()()3g x g ＞， ∴|x |＞3，解得x ＞3，或x ＜﹣3．∴不等式()0xf x ＞的解集是()(),33-，-∞⋃+∞． 故答案为：()(),33-，-∞⋃+∞． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．或【分析】首先求出函数的导函数当时可得在定义域上单调递减再根据零点存在性定理可得在上存在唯一的零点当时由导数可得函数的单调性及最小值为令利用导数说明的单调性即可求出参数的值；【详解】解：因为定义域为解析：0a ≤或1a = 【分析】首先求出函数的导函数，当0a ≤时，可得()f x 在定义域上单调递减，再根据零点存在性定理可得()f x 在()0,1上存在唯一的零点，当0a >时，由导数可得函数()f x 的单调性及最小值为()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+-⎪⎝⎭，令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞利用导数说明()g a 的单调性，即可求出参数a 的值； 【详解】解：因为()()2212ln 1f x ax a x x =+---，定义域为()0,∞+，所以()()()()()222122112221ax a x ax x f x ax a x x x+---+'=+--== 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，即()f x 在定义域上单调递减，()()1310f a =-<，当0x +→时，20ax →，()210a x -→，2ln x -→+∞，所以()f x →+∞，所以()f x 在()0,1上存在唯一的零点，满足条件； 当0a >时，令()()()2110ax x f x x -+'=>，解得1x a >即函数在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()()()2110ax x f x x-+'=<，解得10x a <<即函数在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()f x 在1x a =取值极小值即最小值，()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞，则()2221210a g a a a a +'=+=>恒成立，即()112ln g a a a=+-在定义域上单调递增，且()112ln110g =+-=， 所以要使函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则()min 1112ln 0f x f a a a ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭，解得1a =，综上可得0a ≤或1a =； 故答案为：0a ≤或1a = 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题.15．2【分析】先通过已知求出得到再利用导数研究得到函数在内没有零点函数的零点在内即得的值【详解】因为函数是定义在上的单调函数且对任意的都有所以是一个定值设所以所以或（舍去）所以所以所以所以函数在是增函数解析：2 【分析】先通过已知求出2()=+1,f x x 得到3()33F x x x =--，再利用导数研究得到函数()F x 在(0,1)内没有零点，函数()F x 的零点在(2,3)内，即得m 的值.【详解】因为函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，所以2()f x x -是一个定值，设2()f x x t -=， 所以2()=+f x x t ，()2f t =所以2()=+2,1f t t t t =∴=或2t =-（舍去）. 所以2()=+1,()2f x x f x x '=，所以23()(1)22333F x x x x x x =+-⨯-=--， 所以2()33=3(1)(1)F x x x x '=-+-，所以函数()F x 在(1,)+∞是增函数，在(0,1)是减函数，因为(0)30,(1)50F F =-<=-<,所以函数()F x 在(0,1)内没有零点.因为(2)86310,(3)2712150F F =--=-<=-=>,函数()F x 在(1,)+∞是增函数， 所以函数()F x 的零点在(2,3)内， 所以2m =. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．【分析】求导后即可求得根据二次函数的性质可得再由恒成立问题的解决方法可得即可得解【详解】求导得则当时函数单调递减；当时函数单调递增；所以；函数为开口向下对称轴为的二次函数所以当时；由题意可知即故答案解析：11a e≤--【分析】求导后即可求得()()11f x f ee --≥=-，根据二次函数的性质可得()()11g x g a ≤=+，再由恒成立问题的解决方法可得11a e -+≤-，即可得解. 【详解】求导得()ln 1f x x '=+，则当()10,x e -∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x e -∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以()()11f x f e e--≥=-；函数()22g x x x a =-++为开口向下，对称轴为1x =的二次函数，所以当()0,x ∈+∞时，()()11g x g a ≤=+； 由题意可知11a e -+≤-即11a e -≤--. 故答案为：11a e -≤--. 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.17．【分析】求导得转化条件为在区间内恒成立令求导后求得即可得解【详解】函数在区间内是减函数在区间内恒成立即在区间内恒成立令则当时单调递减；当时单调递增；又故答案为：【点睛】本题考查了导数的综合应用考查了 解析：2a ≥【分析】求导得2()321f x x ax '=++，转化条件为1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，求导后求得()max 2g x =即可得解. 【详解】32()1f x x ax x =+++，∴2()321f x x ax '=++，函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数， ∴()0f x '≤在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，即1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，则()2221312232x x x x g -++='=-，∴当2,3x ⎛∈- ⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当13x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增；又2734g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，123g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()2g x <，∴2a ≥.故答案为：2a ≥. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.18．【分析】构造函数讨论单调性和奇偶性结合特殊值即可求解【详解】设函数是偶函数所以函数是奇函数且当时即当时单调递减所以当时当时是偶函数所以当时当时所以使得成立的的取值范围是故答案为：【点睛】此题考查利用解析：()()1,00,1-⋃【分析】 构造函数()()f x F x x=，讨论单调性和奇偶性，结合特殊值即可求解. 【详解】 设函数()()f x F x x =，()f x 是偶函数，()()()()f x f x F x F x x x--=-=-=-， 所以函数()F x 是奇函数，且()()()()1110,10F f f F ==-=-=， 当0x >时，()2()()0xf x f x F x x'-'=<， 即当0x >时，()F x 单调递减，()01F =， 所以当01x <<时，()()0f x F x x=>，()0f x >， 当1x >时，()()0f x F x x=<，()0f x <， ()f x 是偶函数，所以当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，所以使得()0f x >成立的x 的取值范围是()()1,00,1-⋃. 故答案为：()()1,00,1-⋃ 【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性解决不等式相关问题，关键在于准确构造函数，需要在平常的学习中多做积累，常见的函数构造方法.19．【分析】求出由已知可得为的两根求出关系并将用表示从而把表示为关于的函数设为利用的单调性即可求解【详解】因为的定义域为令即因为存在使得且即在上有两个不相等的实数根且所以∴令则当时恒成立所以在上单调递减解析：4e【分析】求出()f x '，由已知可得,m n 为()0f x '=的两根，求出,,m n a 关系，并将,n a 用m 表示，从而把()()f m f n -表示为关于m 的函数设为()h m ，利用()h m 的单调性，即可求解. 【详解】 因为()1ln f x x a x x=-+的定义域为()0,∞+， ()22211'1a x ax x x xf x ++=++=， 令()'0f x =，即210x ax ++=，()0,x ∈+∞，因为存在m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即210x ax ++=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根m ，n ， 且m n a +=-，1⋅=m n ，所以1n m =，1a m m=--， ∴()()11111ln ln f m f m m m m m m m m m m n ⎛⎫⎛⎫=-+---+--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11l 2n m m m m m ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=，令()112ln h m m m m m m ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则()()()22211121ln l 'n m m m m h m m m -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 当10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'0h m <恒成立， 所以()h m 在10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 14h m h e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即()()f m f n -的最小值为4e. 故答案为：4e. 【点睛】本题考查最值问题、根与系数关系、函数的单调性，应用导数是解题的关键，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.20．【分析】求得在处的切线的斜率结合图像求得的取值范围【详解】函数对于一次函数令解得（负根舍去）所以在上递增在上递减画出的图像如下图所示由图可知要使当时恒成立只需大于或等于在处切线的斜率而所以故答案为： 解析：[1,)+∞【分析】求得()f x 在0x =处的切线的斜率，结合图像，求得a 的取值范围. 【详解】函数()2()1xf x x e =-，()01f =.对于一次函数()()10g x ax a =+>，()01g =.()()'221,0x f x xx e x =--+⋅≥，令'0f x，解得01x （负根舍去），所以()f x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减，画出()f x 的图像如下图所示.由图可知，要使当0x ≥时，()1(0)f x ax a ≤+>恒成立，只需a 大于或等于()f x 在0x =处切线的斜率.而()'01f=，所以1a ≥.故答案为：[1,)+∞【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题21．（1）21ln ()x x f x x+=；（2）12a ≥. 【分析】 （1）求导3ln 4()x x x a f x x --'=，由已知得(1)1f '=-，求出12a =得解（2）求导2()34g x x x '=-得到()g x 在(12)32， 上的最大值为1()12g = 转化11()1,x f x ⋅≥ 得到1112ln a x x x ≥-在113[,]22x ∈恒成立.构造函数1111()ln ,h x x x x =-求得1()h x 的最大值为(1)1h =，得解【详解】 （1）3ln 4()x x x af x x --'=，∵曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与30x y -+=垂直，∴(1)1f '=-， 12a ∴=.21ln ()x x f x x +∴= （2）2()34g x x x '=-，∴14(,)23x ∈，()0g x '<，43(,)32x ∈，()0g x '>，∴()g x 在14(,)23上递减，在43(,)32上递增， ∴()g x 在14(,)23上的最大值为131()1,()224g g ==较大者，即()1g x ≤， ∵对于任意的113[,]22x ∈，都有112()()x f x g x ⋅≥成立， ∴11()1,x f x ⋅≥ 1112ln 1,a x x x +∴≥ 即对任意的111113(,),2ln 22x a x x x ∈≥-成立. 令1111()ln ,h x x x x =-，11()ln h x x '=-，∴11(,1)2x ∈，1()0h x '>，13(1,)2x ∈，1()0h x '<，∴1()h x 在1(,1)2上递增，在3(1,)2上递减，1()h x 的最大值为(1)1h =， ∴21a ≥，12a ≥. 【点睛】本题考查函数导数几何意义及利用导数研究函数最值及不等式恒成立求参数范围.属于基础题.22．（1）230x e y e +-=（2）(,0]-∞ 【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()'f e ，最后根据点斜式求切线方程（2）构造函数()()2ln 1g x x a x =--，利用导数并按0a ≤，10<2a <，12a ≥进行分类讨论，通过函数的单调性以及最值进行与0比较，可得结果. 试题（1）根据题意可得，()2f e e=， ()2ln 'xf x x -=，所以()22ln 1'e f e e e -==-，即21k e=-， 所以在点()(),e f e 处的切线方程为()221y x e e e-=--，即230x e y e +-=． （2）根据题意可得，()()()221ln 110a x x a x f x x x x-----=≥在1≥x 恒成立，令()()2ln 1g x x a x =--，()1x ≥，所以()12g x ax x-'=， 当0a ≤时，()0g x '>，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递增， 所以()()10g x g ≥=， 所以不等式()()21a x f x x->成立，即0a ≤符合题意；当0a >时，令120ax x-=，解得x =1=，解得12a =，当10<2a <1，所以()g x '在⎛ ⎝上()0g x '>，在+⎫∞⎪⎪⎭上()0g x '<，所以函数()y g x =在⎛ ⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎪⎭上单调递减，21111ln 1ln g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()1ln h a a a a =--+，()222111'10a a h a a a a-+=-++=>恒成立，则()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1111ln 2ln2202222h a h ⎛⎫<=--+=+-<⎪⎝⎭， 所以存在10g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以102a <<不符合题意；②当12a ≥1≤ ()0g x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递减，所以()()10g x g ≤= 显然12a ≥不符合题意； 综上所述，a 的取值范围为{}|0a a ≤ 23．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）32a e >【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；（2）由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围； 【详解】解：（1）因为()2x f x e ax b =-+所以()()220x f x e a a '=->，令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞，∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又a b =， ∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 即ln 0222a a a a -+< 所以3ln02a -< 所以32a e >【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．24．（1）1a =-或32a =；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数几何意义列方程解得结果；（2）先求导函数，再根据a 的正负分类讨论，对应确定导函数符号，进而确定单调性； （3）根据（2）单调性确定()g a 解析式，再利用导数求()g a 最大值，即证得结果.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222()1a a f x x x =-+'， 根据题意有(1)2f '=-，则2230a a --=，解得1a =-或32a =； （2）22222222()(2)()1a a x ax a x a x a f x x x x x+--+=-'+==，①当0a >时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >，由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<，∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，②当0a <时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-， 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-，∴()f x 在(2,)a -+∞上单调递增，在(0,2)a -上单调递减，（3）证明：由（2）知，当(,0)a ∈-∞时()f x 的最小值为(2)-f a ， 即22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=⋅-+-=⋅---， 2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a -=-+⋅=-'---，令()0g a '=，得212a e =-， 当21(,)2a e ∈-∞-时()0g a '>，当21(,0)2a e ∈-时()0g a '<， 则212a e =-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点， 从而也是()g a 的最大值点， ∴22222max 11111()()ln[2()]3()22222g a g e e e e e =-=-⋅-⨯--⨯-=， ∴当(,0)a ∈-∞时，21()2g a e ≤恒成立. 【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数求单调性、利用导数求函数最值与证不等式，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.25．（1）210x y -+=；（2）4927. 【分析】(1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式方程即可求出切线方程。
高三数学导数的实际应用试题答案及解析
高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数，．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是．（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率为在点处的导数值. 由已知得．所以．，（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. 当时，,所以的单调增区间为．当时,令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当时，恒成立”等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”易得函数在处取得最小值，所以实数的取值范围．（Ⅰ）由已知得．因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以．所以．所以． 3分（Ⅱ）函数的定义域是，．（1）当时，成立，所以的单调增区间为．（2）当时，令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是． 8分（Ⅲ）当时，成立，．“当时，恒成立”等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”．令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；令得，，又因为，所以函数在上为增函数．所以函数在处取得最小值，且．所以．又因为，所以实数的取值范围． 13分（Ⅲ）另解：（1）当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以．所以当时，有成立．（2）当时，可得．由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立．（3）当时，可得．由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且．当时，要使成立，只需，解得．所以．综上所述，实数的取值范围．【考点】利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值2.已知y=f（x）与y=g（x）都为R上的可导函数，且f′（x）＞g′（x），则下面不等式正确的是（）A．f（2）+g（1）＞f（1）+g（2）B．f（1）+f（2）＞g（1）+g（2）C．f（1）﹣f（2）＞g（1）﹣g（2）D．f（2）﹣g（1）＞f（1）﹣g（2）【答案】A【解析】∵f'（x）＞g'（x），∴f'（x）﹣g'（x）＞0，∴[f（x）﹣g（x）]′＞0，∴函数f（x）﹣g（x）在R上为增函数．∵1＜2，∴f（1）﹣g（1）＜f（2）﹣g（2），移向即得f（2）+g（1）＞f（1）+g（2）故选A3.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A．150B．200C．250D．300【答案】D【解析】∵总利润由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.4.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】(1)；(2)；（3）是.【解析】（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高，从图形中可知高为，而，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里的最大值可利用导数知识求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，，由于在体积中出现，因此我们可求的最大值，这里可不用导数来求，因为，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.试题解析：（1）梯形的面积=，． 2分体积． 3分（2）．令，得，或（舍）．∵，∴． 5分当时，，为增函数；当时，，为减函数． 7分∴当时，体积V最大． 8分（3）木梁的侧面积=，．=，． 10分设，．∵，∴当，即时，最大． 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大． 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分【考点】（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.5.一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？【答案】速度为20 km/h时，总费用最少【解析】设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40＝k·203，∴k＝，则总费用f(x)＝(kx3＋400)·＝a.∴f(x)＝a (0＜x≤100)．由f′(x)＝＝0，得x＝20.当0＜x＜20时，f′(x)＜0；当20＜x＜100时，f′(x)＞0.∴当x＝20时，f(x)取最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少．6.已知函数（Ⅰ）若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：对，不等式成立.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.【解析】(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放缩和数列的裂项求和试题解析：（I）化为易知，，设，设，，，上是增函数，（Ⅱ）由（I）知：恒成立，令，取相加得：即证明完毕【考点】查导数，函数的单调性，数列求和，不等式证明7.设等差数列{an }的前n项和为Sn，已知(a5－1)3＋2 011·(a5－1)＝1，(a2 007－1)3＋2 011(a2 007－1)＝－1，则下列结论正确的是()A．S2 011＝2 011，a2 007<a5B．S2 011＝2 011，a2 007>a5C．S2 011＝－2 011，a2 007≤a5D．S2 011＝－2 011，a2 007≥a5【答案】A 【解析】令，在R上单调递增且连续的函数所以函数只有唯一的零点，从而可得，同理∵(a5－1)3＋2 011·(a5－1)＝1，(a2 007－1)3＋2 011(a2 007－1)＝－1两式相加整理可得，由，可得＞0，由等差数列的性质可得【考点】函数性质与等差数列及性质点评：本题的入手点在于通过已知条件的两数列关系式构造两函数，借助于函数单调性得到数列中某些特定项的范围，再结合等差数列中的相关性质即可求解，本题难度很大8.已知定义在上的函数满足，且，，若数列的前项和等于，则＝A．7B．6C．5D．4【答案】B【解析】由得，即为R上的减函数，所以，由，得，即，解得或，又，所以，故，数列即，其前项和为，整理得，解得，故选B．【考点】本题考查了导数与数列的综合运用点评：此类问题常常利用导数法研究函数的单调性，然后再利用数列的知识求解9.已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．（1）若对[1，+）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，，xk都有成立；（3）求证：．【答案】（1）；（2）的最大值为．（3）当时，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，化简得，。
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导数应用测试题一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分, 共60分) 1．设函数f(x)在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于 （ ）A ．)('0x fB ．)('0x f -C ．)('0x f --D ．)(0x f -- 2．若13)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f 等于 （ ） A ．32 B ．23C ．3D ．2 3．曲线x x y 33-=上切线平行于x轴的点的坐标是（ ）A ．（-1，2）B ．（1，-2）C ．（1，2）D ．（-1，2）或（1，-2） 4．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切 线的倾斜角为（ ）A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角5．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ）A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－1D ．5，－166．一直线运动的物体，从时间t 到t+△t 时，物体的位移为△s ，那么ts t ∆∆→∆0lim 为（ ）A ．从时间t 到t+△t 时，物体的平均速度B ．时间t 时该物体的瞬时速度C ．当时间为△t 时该物体的速度D ．从时间t 到t+△t 时位移的平均变化率7．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ）A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内，)(x f 为增函数8．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 （ ） A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f9．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ）A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5 , -1610．抛物线y=x 2到直线x-y-2=0的最短距离为 （ ）A ．2B 。
827 C 。
22 D 。
以上答案都不对 11．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （ ） （1）x x x f x f x ∆∆--→∆2)2()(lim000； （2）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 000；（3）x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()2(lim000（4）xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)2()(lim 000。
A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4）12．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（ ）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1，－2<b<0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.二、填空题：(本大题共4个小题,每小题4分,共16分) 13．设xx x f 1)(-=，则它与x 轴交点处的切线的方程为______________。
14．设3)('0-=x f ，则=---→hh x f h x f h )3()(lim000_____________。
15．垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线5323-+=x x y 相切的直线的方程是________．16．P 是抛物线2x y =上的点，若过点P 的切线方程与直线121+-=x y 垂直，则过P 点处的切线方程是____________。
三、解答题：(本大题共6个小题, 共76分)17．在抛物线2x y =上求一点P ，使过点P 的切线和直线3x-y+1=0的夹角为4π。
18．判断函数⎩⎨⎧<-≥=)0()0()(x x x x x f 在x=0处是否可导。
19．求曲线y=xcosx 在2π=x 处的切线方程。
20． a 、b 、x 、y 均为正数 且1=+b a N n ∈ 1>n求证：n n n by ax by ax )(+≥+21．（1）求函数x y =在x=1处的导数；（2）求函数b ax x y ++=2（a 、b 为常数）的导数。
22．已知,0>a 函数),0[,)(3+∞∈-=x a x x f ，设01>x ，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l 。
（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(2x ，证明：①312a x >；②若311a x >，则1231x x a <<。
参考答案：一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分, 共60分) 1－5 CBDCA ； 6－10 BDBAB ； 11—12 BB 二、填空题：(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)13．y=2(x-1)或y=2(x+1)14．-6 15．3x+y+6=0 16．2x-y-1=0三、解答题：(本大题共6个小题, 共76分)17．由导数定义得f′(x)=2x ，设曲线上P 点的坐标为),(00y x ，则该点处切线的斜率为02x k p =，根据夹角公式有13213200=⋅+-x x解得10-=x 或410=x ， 由10-=x ，得10=y ；由410=x ，得1610=y ； 则P （-1，1）或)161,41(P 。
18．10lim )0()0(lim lim 000=∆-∆=∆-∆+=∆∆+++→∆→∆→∆xx x f x f x y x x x ，10l i m )0()0(l i ml i m 000-=∆-∆-=∆-∆+=∆∆---→∆→∆→∆xx x f x f x y x x x ， ∵xy x y x x ∆∆≠∆∆-+→∆→∆00lim lim ，∴xyx ∆∆→∆0lim 不存在。
∴函数f(x)在x=0处不可导。
19．Y ’=x'cosx+x ·(cosx)'=cosx-xsinx 2|'2ππ-==x y ，切点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2π， ∴切线方程为：)2(20ππ--=-x y即0422=-+ππy x 。
20．证：由对称性不妨设 y x ≥（1）若y x = 显然成立（2）若y x > 设 nn n by ax by ax x f )()(+-+=∴ a by ax n nby naxx f n n n ⋅+-+='---111)()(])()[(111---+-+=n n n by ax x b a na ])()[(11--+-+=n n by ax bx ax na∵ y x > ∴ 0)(>'x f ∴ ),(∞+∈y x 时 ↑)(x f∴ 0)()(=>y f x f ∴ nn n by ax by ax )(+≥+21．分析：根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。
解（1）11-∆+=∆x y11111+∆+=∆-∆+=∆∆x x x x y ， 21111l i ml i m 00=+∆+=∆∆→∆→∆x xyx x ，∴21|'1==x y 。
（2）)(])()[(22b ax x b x x a x x y ++-+∆++∆+=∆ x a x x x ∆⋅+∆+∆⋅=2)(2，x a x xx x a x x y ∆++=∆∆+∆+=∆∆)2()()2(2。
[]ax x a x x yx x +=∆++==∆∆→∆→∆2)2(lim lim∴y ′=2x+a 说明应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。
22．解：（1）)(x f 的导数23)(x x f ='，由此得切线l 的方程 )(3)(12131x x x a x y -=--，（2）依题意，在切线方程中令0=y ，得2131213112323x a x x a x x x +=--=， （ⅰ）)32(3131213121312a x a x x a x -+=-0)2()(31311231121≥+-=a x a x x ，∴312a x ≥，当且仅当311a x =时取等成立。
（ⅱ）若311a x >，则031>-a x ，03213112<-=-x ax x x ，且由（ⅰ）312a x ≥，所以1231x x a <<。