导数复习题(含答案)

所以函数 在 上是增函数，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 化为 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，因为 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，不满足条件；当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为极小值点，要使 有两个零点，即要 ，即 ，则 的取值范围是 ，故选D.
6．函数 的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，
图象关于原点对称，
又 时， ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数都有 ，设 则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵
∴
∵对任意实数都有
∴ ，即 在 上为单调减函数
又∵
∴
∴不等式 等价于
∴不等式 的解集为
故选B
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， ，构造 ， 构造 ， 构造 等.
8．若函数 在定义域上单调递增，则实数 的取值范围为（）
18．若函数 的图象上存在与直线 平行的切线，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】函数 的导数为 ，
因为函数 存在与直线 平行的切线，
所以方程 在区间 上有解，
即 在区间 上有解，
因为 ，则 ，所以 ．
点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用问题，其中解答中涉及到函数的导数的求解，导数的几何意义的应用，以及存在性问题的转化等知识点的运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中把存在性命题转化为方程的有解问题是解答的关键．
∴ 且 ，
∴ ，
∴ ；
∴
当 时取等号。
故选B
点睛：本题主要考查了导数的运算，以及函数的最值及几何意义和不等式的应用，综合性强但并不难
14．设函数 是定义在 上的偶函数， 为其导函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设 ，则 恒成立，
所以函数 在 上是增函数，
导数复习题
一、单选题
1．函数 在 处的导数 的几何意义是（）
A.在点 处的斜率
B.在点 处的切线与 轴所夹的锐角的正切值
C.曲线 在点 处切线的斜率
D.点 与点 连线的斜率
【答案】C
【解析】由导数的几何意义可知，函数 在 的导数 为曲线在点 处的切线的斜率．
考点：导数的几何意义.
2．已知直线 与曲线 在点 处的切线互相垂直，则 为（）
20．若函数 在 处有极小值，则实数 等于_________.
【答案】1
【解析】函数 在 处有极小值得 是极值点，所以 得 =1
21．已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切，则 ____．
【答案】
【解析】 的导数为 ，
曲线 在 处的切线斜率为 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ．
由于切线与曲线 相切，故 可联立 ，得 ，
所以 即
所以
实数 的取值范围是 .
27．已知 .
（I）若 ，求曲线 在点 处的切线方程.
（II）若 ，求函数 的单调区间.
（III）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立，转化为 ;
（3）若 恒成立，可转化为 .
二、填空题
16．完成的导数 __________．
（ ）曲线 在 处的切线方程为__________．
试题解析：（1）令 ，解得 或 ，
令 ，解得： .
故函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2）由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
∴ ，
∵ 对 恒成立，
∴ ，即 ，∴
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
因为 在定义 上的偶函数，所以 是 上的奇函数，
所以函数 在 上是增函数，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 化为 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，即 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，即 ，
故所求不等式的解集为 ，故选A．
点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到右条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，利用单调性和奇偶性的关系，对不等式进行转化等知识点的考查，本题的解答中构造新函数 ，利用函数 的单调性和奇偶性，以及把握函数值为零的自变量的取值符号是解答的关键．
【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值（2）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，画出函数图像，根据图像确定实数 的取值范围.
试题解析：（1）因为
令 ，因为 ，所以
1
0
极小值
所以
（2）
所以
令 得
当 时， ；当 时，
故 在 上递减；在 上递增
点睛：本题主要考查了导数在求函数零点中的应用，难度一般；函数零点问题，可以研究函数的单调性、极值等，也可以等价转化为相对应方程的解，同时还可转化为两个函数图象交点的问题，在该题中，主要是利用对函数 进行求导，利用导数判断单调性，通过判断极值与0的关系，得参数的值.
12．若函数 在区间 上单调递增，则k的取值范围是（）
所以由 ，解得 ．
22．已知函数 ，若函数 的图象在 处的切线方程为 ，则 __________．
【答案】0
【解析】因为 ，所以由导数的几何意义可得切线的斜率 ，即 ，切线方程为 ，又 ，故 ，则 ，应填答案 。
23．若函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，则函数 的极小值是__________．
【答案】
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由条件知道 恒成立，即 恒成立， 是减函数，
所以 故选D．
点睛：已知函数单调性求参，化为恒成立求参的问题，变量分离.
13．已知二次函数 的导函数为 ， ，对于任意实数 ，有 ，则 的最小值为（）
A.1B.2C.-1D.-2
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ；
∵对于任意实数x都有 ，
25．已知函数
（1）当函数 在点 处的切线与直线 垂直时，求实数 的值；
（2）若 时, 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线的斜率 ，解得实数 的值（2）化简不等式得 在 时恒成立.利用导数研究函数 单调性并确定最大值，即得实数 的取值范围
（ ）函数 的导函数为 __________．
（ ）函数 ， 的导函数为 __________．
（5）函数 的单调递增区间为__________．
（6）三次函数 在 内是减函数，则实数 的取值范围是__________．
【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）
【解析】（ ） ， ．
（ ） ，令 ， ，
15．若不等式 对于一切 恒成立，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 对于一切 成立，
则等价为a⩾ 对于一切x∈(0, )成立，
即a⩾−x− 对于一切x∈(0, )成立，
设y=−x− ,则函数在区间(0, 〕上是增函数
∴−x− < −2= ，
∴a⩾ .
故选：C.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
19．已知函数 ，若 使得 ，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】满足题意时应有：f（x）在 的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，
由对勾函数的性质可知函数 在区间 上单调递减，
f（x）在 的最小值为f（1）=5，
当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，
g（x）在x2∈[2，3]的最小值为g（2）=a+4，
4．设 、 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， .且 .则不等式 的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因 .，即[f（x）g（x）]'＞0
故f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，