人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册 《排列与组合课时4》一等奖创新教学设计

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册《排列与组合课时4》一等奖创新教学设计
《排列与组合》教学设计
课时4组合的综合应用
必备知识学科能力学科素养高考考向
排列与排列数公式学习理解能力观察记忆概括理解应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决创造迁移能力综合问题解决猜想探究数学抽象逻辑推理【考查内容】排列问题、组合问题及排列与组合的综合应用【考查题型】选择题、填空题、解答题
排列的综合应用数学建模数学运算
组合与组合数公式数学抽象逻辑推理
组合的综合应用数学建模数学运算
一、本节内容分析
排列与组合是组合学最基本的概念,其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列,需要将它们排序;组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组,而不考虑将它们排序.
本节是在计数原理的基础上,将实际问题中抽取的对象抽象为元素,引入排列与组合的概念,然后用字母表示排列数和组合数,并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中,体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象,将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型,以及通过排列数与组合数公式便捷地求出计数结果的数学运算.
排列与组合是两类特殊的计数问题,是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题;在下一节中,二项式系数就是组合数;在后续学习中还可看到它们与概率紧密不可分.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识1.排列与排列数公式2.排列的综合应用3.组合与组
合数公式4.组合的综合应用数学抽象数学建模逻辑推理数学运算核心素养
二、学情整体分析
从学生的现有知识水平看,学生对两个计数原理已很好的掌握,但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考.从能力的角度看,学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力,对数学中归纳、化归、由特殊到一般的思想方法比较敏感,但抽象概括的能力较弱.教学中要借助学生已有的能力,提供实际问题情境,引导学生进行分析,向学生提供合适的探究材料,引发学生主动探究的兴趣,借助小组讨论、合作交流,全班展示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力.
学情补充:______ ________
_________ _________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.排列与排列数公式
2.排列的综合应用
3.组合与组合数公式
4.组合的综合应用
【教学目标设计】
1.能将实际问题中抽取的具体对象抽象为元素,从而将具体问题归纳为一般问题,得到排列的定义,并能利用定义判断排列问题.
2.能将所求排列数的结果归纳为一般形式,从而得出排列数公式,并能利用公式求具体问题的排列数.
3.能将实际问题中抽取的具体对象抽象为元素,从而将具体问题归纳为一般问题,得到组合的定义,并能利用定义判断组合问题,知道组合问题与排列问题的区别与联系.
4.能由组合数与排列数的关系得到所求组合数,再将具体结果归纳为一般形式,从而得到组合数公式,并能利用公式求具体问题的组合数.
【教学策略设计】
1.将数学文化和数学知识、实际生活有机地融合,让抽象的数学概念形成的过程丰富多元,避免单调枯燥.
2.以问题为载体,以学生为主体,创设有效问题情境,努力营造开放、民主、和谐的学习氛围,充分调动学生的兴趣与积极性.
3.让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中,体验从生活中发现数学的奇妙.
4.通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动,在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程.
5.注重渗透“特殊与一般”“分类讨论”“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法,让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质,真正做到“授之以鱼不如授之以渔”.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有_________
【教学重点难点】
重点 1.排列和排列数公式.
2.组合和组合数公式.
难点 1.推导组合数公式.
2.排列与组合的应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、______
2.其他材料:______ _
四、教学活动设计
教学精讲
师:同学们,上节课我们讲了组合与组合数公式.这节课我们将解决实际中的组合问题.先来回顾一下组合数公式.
生:组合数的公式分为两个:
(1)连乘形式:,其中,并且.
(2)阶乘形式:因为,所以,其中,并且.
另外,我们规定.
师:回答正确!首先我们研究一下简单的组合问题.
【以学论教】
通过回顾旧知,由学生已知的数学知识引出学习重点,提出疑问,启发思考,引出课题.
【典型例题】
简单的组合问题
例1 男运动员6名,女运动员4名,选派5人外出比赛,男运动员3名,女运动员2名,有多少种选派方法
【师生活动】在完成例1的过程中,可以向学生提出下列问题:
(1)选3名男运动员,有几种选法
(2)选2名女运动员,有几种选法
学生回答问题,教师展示答案.
【典例解析】
简单的组合问题
解:第一步:选3名男运动员,有种选法;第二步:选2名女运动员,有种选法,故共有(种)选法.
【师生活动】教师引导学生反思与感悟.
【少教精教】
由问题引导出要学习的内容,启发学生自己思考,以学生自己思考探索为主,教师少教精教.
师:求简单的组合问题的思路:
(1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.
(2)要注意两个基本计数原理的运用,即分类与分步的灵活运用,在分类和分步时,一定要注意有无重复或遗漏.
下面进行巩固练习.
【巩固练习】
简单的组合问题
在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必需参加;
【师生活动】学生独立完成,教师点评.
【自主学习】
学生独立思考,教师引导学生自主探究,学生自己锻炼解题的思路、思维,教师点评.
生解:(1)从中任选5人是组合问题,共有(种)不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需从另外9人中选2人,是组合问题,共有(种)不同的选法.
师:下面我们探究有限制条件的组合问题.
【典型例题】
有限制条件的组合问题
例2 课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,依下列条件各有多少种选法
(1)至少有一名队长当选;
(2)至多有两名女生当选;
(3)既要有队长,又要有女生当选.
【师生活动】在完成例2过程中,可以向学生提出下列问题:
(1)至少有一名队长含有几种情况
(2)至多有两名女生含有几种情况
学生积极思考,回答问题,教师指定同学回答解题思路.
【以学定教】
教师从学生实际出发,在熟悉的实际问题上深入探讨,引导学生的思路,培养学生有目的的解题意识.
生解:(1)至少有一名队长含有两种情况:有一名队长和两名队长,故共有(种).
或采用排除法有(种).
(2)至多有两名女生含有三种情况:有两名女生、只有一名女生、没有女生,故共有(种).
(3)分两种情况:
第一种女队长当选,有种;
第二种女队长不当选,则男队长当选,有种.
故共有(种).
【师生活动】教师引导学生反思与感悟.
师:常见的限制条件及解题方法:
(1)特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素的多少作为分类依据.
(2)含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以此作为分类依据,或采用间接法求解.
(3)分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解.
【深度学习】
通过教师引导学生反思与感悟,学生深度学习组合问题,得到常见的限制条件的组合问题及解题方法.
师:下面我们进行巩固练习.
【巩固练习】
有限制条件的组合问题
高二(1)班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中选出3名同学参加活动.
(1)其中某一女生必须在内,不同的选法有多少种
(2)其中某一女生不能在内,不同的选法有多少种
(3)恰有2名女生在内,不同的选法有多少种
(4)至少有2名女生在内,不同的选法有多少种
(5)至多有2名女生在内,不同的选法有多少种
【师生活动】学生独立完成,教师点评.
【自主学习】
学生能够在熟悉的数学问题情境中直接应用数学知识进行计算解决问题.通过巩固练习加深对知识的理解,引导学生自主探究.
生解:(1)从余下的34名学生中选取2名,有(种).
所以不同的选法有561种.
(2)从34名可选学生中选取3名,有(种).
或者(种).
所以不同的选法有5984种.
(3)从20名男生中选取1名,从15名女生中选取2名,有(种).
所以不同的选法有2100种.
(4)选取2名女生有种,选取3名女生有种,共有选取方式(种).
所以不同的选法有2555种.
(5)选取3名的总数有,因此选取方式共有(种).
所以不同的选法有6090种.
师:下面我们探究与几何有关的组合应用题.
【典型例题】
与几何有关的组合问题
例3 平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可构成多少个不同的三角形
【师生活动】在完成例3过程中,可以向学生提出下列问题:
(1)直接法如何分类有几种情况
(2)针对每一类有多少个不同的三角形
(3)能否采用间接法
学生积极思考,合作交流,回答问题,教师指定同学回答解题思路,教师展示答案.
【综合问题解决能力】
分析题目条件,在不熟悉的问题情境中,找出数学模型,运用相关解题方法计算得到与几何有关的组合问题解题规律,锻炼学生解决综合问题的能力.
【典例解析】
与几何有关的组合问题
解:方法一(直线法) 以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准.
第一类:共线的4个点中有2个点为三角形的顶点,共有(个)不同的三角形;
第二类:共线的4个点中有1个点为三角形的顶点,共有(个)不同的三角形;
第三类:共线的4个点中没有点为三角形的顶点,共有(个)不同的
三角形.
由分类加法计数原理知,不同的三角形共有(个).
方法二(间接法) 从12个点中任意取3个点,有(种)取法,而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形,即不能构成三角形的情况有(种).
故这12个点构成三角形的个数为.
【师生活动】教师引导学生反思与感悟:
(1)与几何有关的组合应用问题,主要考查组合的知识和空间想象能力,题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖,多个知识点交汇在一起,综合性强.
(2)解答与几何有关的组合应用问题的思考方法与解一般的组合问题基本一样,只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可.
(3)计算时可用直接法,也可用间接法,要注意在限制条件较多的情况下,需要分类计算符合题意的组合数.
【以学定教】
师生共同解决与几何有关的组合问题,并引导学生反思总结解决该问题的思路和方法,再进行巩固练习,使学生加深对该方法的掌握.
师:下面我们进行一组巩固练习.
【巩固练习】
与几何有关的组合问题
空间12个点,其中5个点共面,此外无任何4个点共面,这12个点可确定多少个不同的平面
【师生活动】学生独立思考,教师点评.
生解:这个问题可分四类加以考虑:
(1)5个共面点确定1个平面;
(2)5个共面点中任何2个点和其余7个点中任意一点确定个平面;
(3)5个共面点中任一点和其余7个点中任意2个点确定个平面;
(4)7个点中任何3个点确定个平面.
所以总共确定平面的个数为(个).
师:把3个苹果平均分成三堆共有几种分法为什么
生:共1种分法.因为三堆无差异.
师:若把3个不同的苹果分给三个人,共有几种方法
生:共有(种)分法.
【先学后教】
教师启发学生解题思路,学生先独立思考,然后教师总结整理答案,达到先学后教,更能使学生对知识理解深刻.
师:下面我们看分组、分配问题.
【典型例题】
分组、分配问题
例4 6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分法
(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;
(2)分为三份,每份两本;
(3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;
(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本;
(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本.
师:(1)是平均分组问题,与顺序无关,相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人,可以理解为一个人一个人地来取;(2)是“均匀分组问题”;(3)是分组问题,分三步进行;(4)分组后再分配;(5)明确“至少一本”包括“2,2,2型”“1,2,3型”“1,1,4型”.
【猜想探究能力】
通过探究问题,阶梯式引入分组分配问题,激发学生的深入思考,锻炼学生的分析计算能力.
【分析计算能力】
教师启发学生解题思路,学生独立做题,教师小结,培养学生自主解决问题和分析计算的能力.
【师生活动】学生根据教师的提示,合作交流,教师指定同学回答解题思路,并展示标准解答.
【典型解析】
分组、分配问题
解:(1)根据分步乘法计数原理得到:(种).
(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有种分法,这个过程可以分两步
完成:第一步分为三份,每份两本,设有种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种分法.根据分步乘法计数原理可得:,所以.因此分为三份,每份两本一共有15种分法.
(3)这是“不均匀分组”问题,一共有(种)分法.
(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有(种)分法.
(5)可以分为三类情况:①“型”,即(1)中的分配情况,有(种)分法;
②“型”,即(4)中的分配情况,有(种)分法;③“型”,有(种)分法.所以一共有(种)分法.
【师生活动】教师引导学生反思与感悟.
师:分组、分配问题的求解策略:分组问题属于“组合”问题,常见的三种分组问题如下.(1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等;
(2)部分均匀分组,应注意不要重复,有组均匀,最后必须除以;
(3)完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
【概括理解能力】
通过教师引导学生反思与感悟分组、分配问题的求解策略,提升学生的概括理解能力.
师:下面进行一组练习.
【巩固练习】
分组、分配问题
将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有__________种.
【师生活动】学生板演,教师点评解析.
生解:分两步完成:第一步,将4名大学生按分成三组,其分法有种;第二步,将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有种.所以满足条件的分配方案有(种).
【整体学习】
通过巩固练习,加深对分组、分配问题的理解和应用,有助于提升学生的解决问题的能力.
师:本节课你学到了哪些知识
【师生活动】教师引导学生回顾本节课学习的主要内容,并引导学生总结提升.
【课堂小结】
组合的综合应用
1.对于简单的组合问题,要分清分类还是分步,按照组合的定义正确地表示出相应的组合数,利用合适的计数原理去计算.
2.对于含有限制条件的组合问题,要合理分类,必要时可用间接法.
3.对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏,对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关.
【设计意图】
教师引导学生自主总结当堂课重点内容,整体学习,培养学生对本节学习内容的整体认识和把握.
教学评价
学完本节课,我们应该理解排列与组合的概念,能判断一个具体的计数问题是否是排列问题或者组合问题.掌握排列数公式与组合数公式,并能解决简单的计数问题.本节的数学思想方法主要包括分类讨论思想、转化与化归思想、特殊与一般思想.
应用所学知识,完成下面各题.
1.从1~9的九个数字中取3个偶数,4个奇数,问:
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数
(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个
思路:组数问题是一类典型的排列组合问题,往往涉及排列特殊数,如奇数,被5整除的数等.需要注意以下几个问题:
(1)最高位数字不为0;
(2)若所选数字中含有0,则可先排0,即“元素分析法”;
(3)若排列的是特殊数字,如偶数,则先排个位数字,即“位置分析法”;
(4)此类问题往往需要分类,可依据特殊元素,特殊位置分类.
解析:(1)分步完成:
第一步:在4个偶数中取3个,可有种情况;
第二步:在5个奇数中取4个,可有种情况;
第三步:3个偶数,4个奇数进行排列,可有种情况.
故符合题意的七位数共有(个).
(2)上述七位数中,将3个偶数排在一起有种情况;
故采用捆绑法求得3个偶数在一起的共有(个).
2.有4张分别标有数字的红色卡片和4张分别标有数字的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种
思路:解答排列、组合综合问题的思路及注意点:
(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.
(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题.
②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.
解析:取出4张卡片数字之和为10的共有1,2,3,4;1,1,4,4;2,2,3,3三类,按照先选再排的方法求解.分三类:
第一类,当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时,不同的排法有种;
第二类,当取出的4张卡片分别标有数字时,不同的排法有种;
第三类,当取出的4张卡片分别标有数字时,不同的排法有种.
故满足题意的所有不同的排法种数为(种).
【设计意图】教师引导学生整理知识,使学生体会排列与组合知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生用相应的学科能力解决问题,从而达到数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
【简单问题解决能力】
通过教学评价,考查学生本节课对排列组合综合问题解决的掌握情况,在解题过程中提升了学生的简单问题解决能力.
教学反思
本节课内容较多,分为4课时,依次重点学习的内容是:排列与排列数公式、排列的综合应用、组合与组合数公式、组合的综合应用.在本节课的总体教学设计中,教师的身份不仅是讲授知识,而是更侧重于
引导启发学生,采用多种方式:如和前边学过的排列的相关知识进行类比,从特殊到一般抽象出组合的概念;运用多媒体课件,利用生活中的具体实例帮助学生理解排列与组合的含义、排列数公式与组合数公式的推导;利用生活中的实例,突出排列与组合问题在统计中的重要位置,落实了数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的概括理解能力、分析计算能力、推测解释能力、猜想探究能力以及综合问题解决能力.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.通过生活中的实例,激发了学生学习的兴趣,学习组合时类比排列,培养了学生的自主学习能力.
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