应用题类型行程问题

行程问题
行程问题是研究运动的物体，在某一段时间内运动的速度和经过的路程三者之间的相互关系.大致可以分为一般行程问题（单车、单人的运动）、追及问题（双车、双人向相同方向运动状态）、相遇问题（双车、双人相对运动的状态）和行船问题.
行程问题的基本数量关系是：（1）路程=速度⨯时间（2）速度=路程÷时间
（3）时间=路程÷速度
（一）一般行程问题
例1、一艘船从相距420千米的A 地到B 地去，每小时行40千米，几小时到达？
解法1：根据路程÷时间，可求得时间为：420÷40=10.5（小时）
解法2：设x 小时可到达，列方程为40420x =，解得10.5x =
例2、小明从家到学校，如果每分走50米，就要迟到三分钟，如果每分走70米，提前5分钟到校.小明家到学校的路程是多少？
解法1：设路程为x 米，根据小明从家出发离上课的时间保持不变， 可列方程为：
355070x x -=+
两边同乘最小公倍数350，得7105051750x x -=+
移项，及合并同类项，得22800x =
系数化为1，得1400x =（米） 解法2：设小明从家出发离上课还有x 分钟，根据小明家到学校的路程保持不变，
可列方程为：50(3)70(5)x x +=-
去括号，得5015070350x x +=-
移项，及合并同类项，得20500x -=-
系数化为1，得25x =（分钟）
所以，小明家到学校的路程为：50(253)50281400⨯+=⨯=（米） 备注：解法1的等量关系是：时间 等于 时间（基本等量关系：同一个量可以用两种形式表达）.
假设小明从家出发的时间为7点半，上课时间为8点整，每分走50米，花
50
x 分钟，迟到三分钟，说明如果花（350x -）分钟就不会迟到，即从家出发离上课还有（350x -）分钟；每分走70米，花70
x 分钟，提前5分钟到校，说明从家出发离上课还有（570x +）分钟. 解法2的等量关系是：路程 = 路程（基本等量关系：同一个量可以用两种形式表达）.设小明从家出发离上课还有x 分钟，若每分钟走50米，走的时间为(3)x +分钟，走的路程为50(3)x +；若每分钟走70米，走的时间为(5)x -分钟，走的路程为70(5)x -
题1：小利早上从家步行去学校上学，如果每分钟行80米，就迟到4分钟；如果每分钟行100米就早到学校6分钟，小利家离学校有多远？（用两种方法）
题2：一架飞机最多能在空中飞行4.5时，飞出时速度为每小时800千米，返回时速度每小时为1000千米，问这架飞机（最多）飞出去多远就应该返回？（用两种方法）
题3：一架飞机运送药品到地震灾区，原计划每分钟飞行9千米，现在将速度提高到每分钟12千米，结果比原计划早到30分，问机场与目的地相距多少千米？（用两种方法）
（二）追及问题
例1：兄弟二人由家向学校出发，弟弟步行每分走50米，哥哥骑自行车每分行200米.弟弟走12分钟后，哥哥骑车去追，几分钟后能追上弟弟？
分析：等量关系是：哥哥走的路程 = 弟弟走的路程
解：设x 分钟后能追上弟弟，可列方程为：20050(12)x x =+，解得4x = 答：4分钟后能追上弟弟.
例2：甲、乙两人从同地出发前往某地.甲步行，每小时走4公里，甲走了16公里后
乙骑自行车以每小时12公里的速度追赶甲，问乙出发后，几小时能追上甲？
解：设x 小时能追上甲
16412x x += 解得2x = 答：2小时能追上甲
例3：甲、乙两人练习50米短距离赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米.
（1）几秒后，甲在乙前面2米？
（2）如果甲让乙先跑4米，几秒可追上乙？
解：（1）设x 秒后，甲在乙前面2米，列方程为：7 6.52x x -= 解得4x =
(2)设x 秒可追上乙，列方程为：6.547x x += 解得8x =
题1：甲、乙二人分别从西村和东村同时向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米.2小时后，甲追上乙.求东西两村相距多少千米？
题2：小明和爸爸绕一个周长为400米的跑道进行晨练，爸爸每分跑200米，小明每分跑160米，两人同时同地同向出发，问至少要经过几分钟两人才能相遇？相遇时各跑了几圈？
（三）相遇问题
例1、甲、已两个车站相距168千米，一列慢车从甲站开出，速度为36千米/小时，一列
快车从乙站开出，速度为48千米/小时.
（1）两列火车同时开出，相向而行，多少小时相遇？
（2）慢车先开1小时，相向而行，快车开几小时与慢车相遇？
(1) 解：设x 小时相遇，列方程为：6x+48x=168 解得x=2. 答：2 小时相遇
（2） 解：设快车开x 小时与慢车相遇.
36（x+1）+48=168. 解得x= 117.答：快车开117
小时与慢车相遇. 例2、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米两地相向而行，甲的速度为17.5千米每小时，乙的速度为15千米每小时，经过了几小时两人相距32.5千米？
解：设经过了x 小时两人相距32.5千米.
17.5x+15x+32.5=65 解得x=1 或者x=3
答：经过了1或3小时两人相距32.5千米.
题1：甲、乙两城相距1030千米，从甲城往乙城开出一辆普通客车，每小时行65千米，2小时后，从乙城往甲城开出一列快车，每小时行85千米.快车开出多少小时后同普通客车相遇？
题2：甲、乙两地相距351千米，客车和货车同时分别从两地相对开出，经过4.5小时相遇.已知客车和货车的速度比为7：6，求货车行完全程要用几小时？
题3（相背问题）：甲、乙两人骑自行车从同一地点相背而行，甲每小时行13千米，乙每小时行11千米.如果乙先行34千米，那么两人同时行驶几小时后，他们之间的距离是82千米？
题3：电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还快20千米/时，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？
题4：学校两地相距416千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶32千米，汽车开出半小时后，一辆摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的1.5倍，则摩托车开出几小时后能与汽车相遇？
题5：甲、乙骑自行车同时从相距50千米的两地相向而行，2小时相遇，已知甲比乙每小时多骑5千米，求乙的速度.
（四）行船问题
行船问题基本等量关系：
逆水速度=静水船度-水速；顺水速度=静水船度+水速
水速=顺水船度-静水船度=静水船度-逆水船速=（顺水船度-逆水船速）÷2
逆风速度=无风速度-风速；顺风速度=无风速度+风速
风速=顺风速度-无风速度=无风速度-逆风速度=（顺风速度-逆风速度）÷2
例1：一艘轮船航行在甲、乙两个码头之间，已知水流的速度是3km/h ，轮船顺水航行需要5h ，逆水航行需要7h ，求甲、乙两个码头之间的距离
解法一：等量关系是：顺水路程 = 逆水路程.
这是两种基本等量关系中的第二种（同一个量可以用两种形式表达），
设船在静水中的速度为x km/h ，依题意，可列方程为：5(x+3)=7(x-3)，去括号得5x+15=7x-21， 移项及合并同类项得：-2x=-36，所以x=18，所以距离为：5(18+3)=5⨯21=105千米
解法二：等量关系是：船在静水中的速度 = 船在静水中的速度.
这是两种基本等量关系中的第二种（同一个量可以用两种形式表达），
设甲、乙两个码头之间的距离为x 千米，依题意，可列方程为：3357
x x -=+， 两边同乘最小公倍数35，得7x-105=5x+105，移项及合并同类项，得2x=210，所以x=105
例2：一架飞机在两城之间飞行，无风时飞机每小时飞行552千米，在一次往返飞行中，飞机顺风飞行用去152
小时，逆风飞行用了6小时，求这次飞行时的风速. 解：设这次飞行是的风速为x 千米/小时.. 152
（552—x ）=6(552-x) 23x=552解得x=24 答: 这次飞行时的风速为24千米/小时. 题1：一艘轮船往返于甲、乙两个码头，由甲码头到乙码头是顺水航行，由乙码头到甲码头是逆水航行.已知这艘轮船在静水中每小时可以航行30千米，已知从甲码头到乙码头要用7小时，返回时要用8小时，求水的速度.
题2：一个渔民驾驶的渔船在静水中每小时航行16千米.一天他从河的下游甲地开往上游的乙地共用去8小时，这条河水流速度是每小时4千米，他从乙地返回甲地需要多少小时？
题3：（课文97页）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用2.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度.
题4：一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程.
题5：一个人骑自行车从A 地到B 地去.去时顺风4小时就到达，返回时风速没有减，依然是去时的每小时5千米，如果他返回时用了8小时，那么A 、B 两地之间的距离是多少千米？
一般行程问题答案：
题1：小利早上从家步行去学校上学，如果每分钟行80米，就迟到4分钟；如果每分钟行100米就早到学校6分钟，小利家离学校有多远？
解法1：设路程为x 米，根据小利人家出发离上课的时间保持不变， 可列方程为：4680100
x x -=+ 两边同乘最小公倍数400，得5x-1600=4x+2400
移项，及合并同类项，得x=4000
系数化为1，得x=1400（米）
解法2：设小明从家出发离上课还有x 分钟，根据小明家到学校的路程保持不变，
可列方程为：80(x+4)=100(x-6)
去括号，得80x+320=100x-600
移项，及合并同类项，得-20x=-920
系数化为1，得x=47（分钟）
所以，小明家到学校的路程为：80⨯(47+3)=80⨯50=4000（米）
答：小利家离学校有4000米.
题2：小明在360米的环形跑道上跑了一圈，已知道他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，求他后一半路程用了多少妙？
分析：小明前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步的速度，因此前一半时间跑步的路程大于一周的一半180米.即在前半圈跑步的速度都是每秒5米，可求出前半圈所用的时间，只要求出跑一圈所
用时间，问题就能解决了.
解：设跑一圈用x秒，那么列出相应的方程是：5x÷2+4x÷2=360，
所以，2.5x+2x=4.5x=360，求得x=80
前一半路程所用时间是180÷5=36（秒），所以后一半路程所用时间就是80-36=44（秒）.
答：他后一半路程用了44秒.
题3：一架飞机最多能在空中飞行4.5时，飞出时速度为每小时800千米，返回时速度每小时为1000千米，问这架飞机（最多）飞出去多远就应该返回？
分析：根据题意可知，往返的路程是相等的，那飞出时的速度乘以所用时间，等于返回时的速度乘以返回的时间.
解：设飞出时所用时间为x时，返回时所用时间就是(4.5-x)小时
根据飞出去的路程等于返回的路程，可列方程为：800x=1000(4.5-x)
所以，800x=4500-1000x，移项得1800x=4500，求得x=2.5，800⨯2.5=2000（千米）答：这架飞机最多飞出2000千米就应该返回.
课后作业
题1：小明在360米的环形跑道上跑了一圈，已知道他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，求他后一半路程用了多少秒？
题2：小红从家到学校，先用每分50米的速度走了2分钟，这时她发现这样走下去，上课就要迟到8分钟，于是加快速度以每分钟60米的速度前进，到校后发现提前了5分钟，求小红家到学校的距离.（用两种方法）。