人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第六章6-3实数(基础巩固)

第六章 实数
6.3 实数（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：
实数⎧⎨⎩
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按与0的大小关系分：
实数0⎧⎧⎨⎪
⎩⎪⎪
⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】 类型一、实数概念
例1、指出下列各数中的有理数和无理数：
22
2
,,0,,10.1010010001 (7)
3
π--
【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.
【答案与解析】有理数有22
2
,0,,7
3
-
,
10.1010010001π……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：
0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，
1举一反三：
【变式】在下列语句中： ①无理数的相反数是无理数； ②一个数的绝对值一定是非负数； ③有理数比无理数小； ④无限小数不一定是无理数． 其中正确的是（ ） A ．②③
B ．②③④
C ．①②④
D ．②④
【答案】C ；
解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确；
②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；
③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的； ④无限循环小数是有理数，故本选项正确． 类型二、实数大小的比较 例2、比较
5
2
和0.5的大小． 【答案与解析】
解：作商，得5
250.5
=．
因为51>，即5
210.5
>，所以5
0.52>． 【总结升华】根据若a ，b 均为正数，
则由“1a b >，1a b =，1a
b
<”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.
举一反三： 【变式】比较大小 ___ 3.14π--
7___5
4
__23
23___32 32 9___0－ 3___10-- |43|___(7)---
【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.
例3、实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A ．ac ＞bc
B ．|a ﹣b|=a ﹣b
C ．﹣a ＜﹣b ＜c
D ．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c
【答案】D ； 【解析】
解：∵由图可知，a ＜b ＜0＜c ，
∴A 、ac ＜bc ，故A 选项错误； B 、∵a ＜b ， ∴a ﹣b ＜0，
∴|a ﹣b|=b ﹣a ，故B 选项错误； C 、∵a ＜b ＜0，
∴﹣a ＞﹣b ，故C 选项错误； D 、∵﹣a ＞﹣b ，c ＞0，
∴﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c ，故D 选项正确． 故选：D ．
【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
类型三、实数的运算 例4、化简：
(1) 1.4|
(2)4||
(3)|12| 【答案与解析】
解： 1.4| 1.4=
-
4|| 4
|12|121=+=.
【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
例5、若2
|2|(4)0a c --=，则a b c -+=________．
【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.
【答案】3； 【解析】
解：由非负数性质可知：203040
a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩
，即234a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．
【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a a ，非负数的和为0，只能每个非
负数分别为0 .
举一反三：
【变式】已知2
(16)|3|30x y z ++++-=，求xyz 的值．
【答案】
解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
．
∴xyz ＝(16)(3)312-⨯-⨯=.
【巩固练习】
一.选择题 1.实数
，0，﹣π，
，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其
中无理数的个数是（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．3
2. 下列说法正确的是（ ） A ．无理数都是无限不循环小数
B ．无限小数都是无理数
C ．有理数都是有限小数
D ．带根号的数都是无理数 3.估计76的大小应在（ ） A ．7～8之间 B ．8.0～8.5之间 C ．8.5～9.0之间
D ．9～10之间
4.如图，数轴上点表示的数可能是（ ）. A ．
B ．
C ．
D ．
5. 实数2.67、和22的大小关系是（ ） A ．2.6227<< B ．7 2.622<< C ．2.6722<
< D ．22 2.67<<
6．一个正方体水晶砖，体积为1003
cm ，它的棱长大约在（ ） A ．4～5cm 之间 B ．5～6cm 之间 C ．6～7cm 之间
D ．7～8cm 之间
二.填空题
7.在5
4
，11-，•7.0，π2，38这五个实数中，无理数是_________________．
8.在数轴上与1距离是3的点，表示的实数为______． 9.｜3.14－π｜＝______；|2332|-= ______． 10. 55-的整数部分是________，小数部分是________． 11.已知x 为整数，且满足23x -≤≤，则x =________． 12. ﹣
的相反数是 ，
﹣2的绝对值是________，
的立方根是 ．
三.解答题 13．化简：|﹣|﹣|3﹣|．
14. 天安门广场的面积大约是4400002
m ，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到m ）
15. 2
|313|0,x y --=求x y +的值．
【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B ．
【解析】在实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一
个1）中，无理数有：﹣π，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共2个.
2. 【答案】A ；
【解析】根据无理数的定义作答. 3. 【答案】C ； 【解析】647681,8769<<<<，因为76比较接近81，所以76在8.5～
9.0之间.
4. 【答案】B ； 【解析】2＜＜3
5. 【答案】C ；
【解析】7822<=. 6. 【答案】A ；
【解析】3
33364100125,64100125,41005<<<<<<.
二.填空题
7． 【答案】11-，π2； 8. 【答案】13±；
【解析】与1的距离是3的点在1的左右两边各有一个点，分别是13-、
13+. 9. 【答案】π－3.14；3223-. 【解析】负数的绝对值等于它的相反数. 10.【答案】2；35-；
【解析】2553<-<，故整数部分为2，55-－2为小数部分. 11.【答案】 －1, 0, 1； 12.【答案】；2﹣
；2．
三.解答题 13.【解析】 解：|
﹣
|﹣|3﹣
|
=﹣（3﹣）
=2﹣
﹣3．
14.【解析】
解：设广场的边长为x ，由题意得：
2x =440000 440000x = ＝20011≈663m . 答：它的边长约为663m. 15.【解析】
2
2|313|0,x x y ---=
∴x －2＝0且2
313x y --＝0 解得x ＝2，y ＝－3， ∴x y +＝2－3＝－1.。