2013年高考文科数学真题及答案全国卷

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2
，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．
A ．{1,4}
B ．{2,3}
C ．{9,16}
D ．{1,2} 【答案】A
【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2
，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．
2．(2013课标全国Ⅰ，文2)
212i
1i +(-)＝( )．
A.
B ．1
1+i 2
- C ． D ．
【答案】B
【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】
2
12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1
1+i 2
-.
3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．
A ．12
B ．13
C ．14
D ．16
【答案】B
【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为
13
. 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
2，则C 的渐近线方程
为( )．
A ．
B ．
C ．1
2
y x =±
D ．
【答案】C
【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵5
e =5c a =2254
c a =.
∵c 2
＝a 2
＋b 2
，∴2214b a =.∴1
2
b a =.
∵双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±，
∴渐近线方程为1
2
y x =±.故选C.
5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2
，则下列命题中为真命题的是( )．
A ．p ∧q
B ．⌝p ∧q
C ．p ∧⌝q
D ．⌝p ∧⌝q 【答案】B
【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。

【解析】由20
＝30
知，p 为假命题．令h (x )＝x 3
－1＋x 2
， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0， ∴x 3
－1＋x 2
＝0在(0,1)内有解．
∴?x ∈R ，x 3
＝1－x 2
，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p
∧q 为真命题．故选B.
6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为
2
3
的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【考点】本题主要考查等比数列前n 项和公式。

【解析】11211321113
n
n
n n a a a q a q S q q --(-)===
---＝3－2a n ，故选D.
7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]， 则输出的s 属于( )．
A ．[－3,4]
B ．[－5,2]
C ．[－4,3]
D ．[－2,5] 【答案】A
【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。

【解析】当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)． 当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2
. ∵该函数的对称轴为t ＝2，
∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s max ＝4，s min ＝3. ∴s ∈[3,4]．
综上知s ∈[－3,4]．故选A.
8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝，
则△POF 的面积为( )．
A ．2
B ．．．4 【答案】C
【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。

【解析】利用|PF |＝P x =x P ＝
∴y P ＝±∴S △POF ＝
1
2
|OF |·|y P |＝故选C.
9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．
【答案】C
【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。

【解析】由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
时，f (x )＞0，排除A.
当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2
x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3
x =. 故极值点为2
π3
x =
，可排除D ，故选C.
10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2
A ＋cos 2A ＝0，
a ＝7，c ＝6，则
b ＝( )．
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5 【答案】D
【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。

【解析】由23cos 2
A ＋cos 2A ＝0，得cos 2
A ＝
125.∵A ∈π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或13
5
b =-(舍)．
故选D.
11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π 【答案】A
【考点】本题主要考查三视图。

简单组合体的体积。

【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V 半圆柱＝
12
π×22
×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.
所以所求体积为16＋8π.故选A.
12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝22,0,
ln(1),0.
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0] 【答案】D
【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。

【解析】可画出|f (x )|的图象如图所示．
当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立． 若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2
＋2x |相切为界限， 由2
,2,
y ax y x x =⎧⎨
=-⎩得x 2
－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2
＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D.
第Ⅱ卷（选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______. 【答案】2
【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。

【解析】∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122
⨯⨯=. ∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0，
即t a ·b ＋(1－t )b 2
＝0.
∴
1
2
t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2.
14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x ，y 满足约束条件
13,
10,x x y ≤≤⎧⎨
-≤-≤⎩
则z ＝2x －y 的最大值为______． 【答案】3
【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。

【解析】画出可行域如图所示．
画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3. 15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，
α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．
【答案】
9
π2
【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。

【解析】如图，
设球O 的半径为R ， 则AH ＝
23
R ， OH ＝
3
R . 又∵π·EH 2
＝π，∴EH ＝1.
∵在Rt△OEH 中，R 2＝2
2+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，∴R 2
＝98.
∴S 球＝4πR 2
＝9π2
.
16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.
【答案】5
-
【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。

【解析】∵f (x )＝sin x －2cos x sin(x －φ)，
其中sin φ＝
5，cos φ＝5. 当x －φ＝2k π＋π
2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．
即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π
2
＋φ(k ∈Z )．
∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝－sin φ＝.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列21211
n n a a -+⎧
⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和．
【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。

【解析】(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)
2
n n na d -+. 由已知可得
解得a 1＝1，d ＝－1.
故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知
21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫
=- ⎪(-)(-)--⎝⎭
，
从而数列21211
n n a a -+⎧
⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为
111111121113
2321n n ⎛⎫
-+-++
- ⎪---⎝⎭
＝12n n
-.
18．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好 (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好
【考点】本题主要考查统计的基本知识。

茎叶图等。

【解析】(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得
x ＝
1
20
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝，
y ＝
1
20
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝.
由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有
710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710
的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．
19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．
【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。

【解析】
(1)取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .
由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ?平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .
(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，
所以OC ＝OA 1
又A 1C ，则A 1C 2＝OC 2＋2
1OA ，故OA 1⊥OC .
因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．
又△ABC 的面积S △ABC ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.
20．(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x
(ax ＋b )－x 2
－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；
(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．
【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。

【解析】(1)f ′(x )＝e x
(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x
(x ＋1)－x 2
－4x ，
f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫-
⎪⎝⎭
. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.
从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.
故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2
)．
21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2
＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.
【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。

【解析】由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .
(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2
的椭圆(左顶点除外)，
其方程为22
=143
x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2， 所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2
＋y 2
＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |
＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则
1
||||QP R
QM r =，可求得
Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．
由l 与圆M
＝1，解得k
＝
当k ＝2
时，将22y x =+代入22=143
x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝
462-±， 所以|AB |＝2
1k +|x 2－x 1|＝187
.
当k ＝24-时，由图形的对称性可知|AB |＝18
7
.
综上，|AB |＝23或|AB |＝18
7
.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2013课标全国Ⅰ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .
(Ⅰ)证明：DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为1，BC=
，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。

【解析】 (1)连结DE ，交BC 于点G .
由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .
而∠ABE ＝∠CBE ， 故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，
所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .
(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线， 所以BG 3设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，
故Rt△BCF 3
23．(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为
45cos ,
55sin x t y t
=+⎧⎨
=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。

【解析】(1)将45cos ,55sin x t y t
=+⎧⎨
=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2
＝25，
即C 1：x 2
＋y 2
－8x －10y ＋16＝0.
将cos ,sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C 2的普通方程为x 2
＋y 2
－2y ＝0.
由2222
810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩
解得1,1x y =⎧⎨=⎩
或0,2.x y =⎧⎨=⎩
所以C 1与C 2
交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 24．(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.
(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。

【解析】(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，
则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
--≤≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.
所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．
(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.
所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭
都成立． 故2a -≥a －2，即a ≤43
. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。