Geoffrey-高级微观经济学理论-课后习题答案
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好关系 。
1.20 假 定 偏 好 可 以 由 Cobb-Douglas 效 用 函 数 u(x1, x1) = A ⋅ x1α ⋅ x12−α 表 示 ， 其 中 0 < α < 1和A > 0 ，假定一个内点解可以解决效用极大化问题，求出 Marshall 需求。 解 L = u(x1, x1) + λ( y − p1x1 − p2 x2 )
{ ≡ min u(x1, , x2 ),ν (x1, x2) )}也是拟凹的。
证明：（a）∵ u(x1, , x2 )与ν (x1, x2) ) 是 r 次齐次的。
1
（b）
∴ k r u(x1, , x2 )= u(kx1 ， kx2 ）， k r v(x1 ， x2 ）= v(kx1 ， kx2 ）
x x x ∀m， m ⊂ Ψ(x) ⇒ u m ≥ u(x) ⇒ lim u m ≥ u(x)
m=1
m→∞
( )x x 即，u 0 = u( lim m) ≥ u(x) m→∞
x x 所以， 0 x 。则 0 ∈ Ψ (x) ，即 Ψ (x)是闭集。连续性得证。
1.15
{ } R 证明： （1）当 y = 0时，B = x ∈
则：x1= x2=…= x n =x*=y/p 也就是说，x*∈B,且对于所有 x∈B, x*≥x 亦即：x 为唯一极大值，且满足 y=p·x*的条件。 1.17 ① 若偏好关系是严格凸的
假设存在 x ∈ h( p,u) ， x'∈ h( p,u) ， x ≠ x' ，且 u(x) ≥ u'(x) ≥ u
而只能得到角解。
4
当无差异曲线的斜率大于预算约束线的斜率时，即 ∂u(x*) / ∂x1 ∂u(x*) / ∂x2
>
p1 p2
，即 MRS12
>
p1 p2
时，如图所示，消费者问题的解 x* 位于横轴上，这时， x1* > 0 并且 x2* = 0 ，它表示此时的
最优解是一个边角解，此时消费者将全部收入都购买 x1 ，并由此达到最大的效用水平。
= A ⋅ x1α ⋅ x12−α + λ( y − p1x1 − p2 x2 )
F.O.C: ∂L/∂x1 = Aαx1α-1x21-α - λp1 = 0 (1) ∂L/∂x2 = A(1-α)x1αx2-α - λp2 = 0 (2) ∂L/∂λ = y-p1x1-p2x2 = 0 (3)
⇒ x1 = (α/p1)y x2 = y(1-α)/p2
y ,
p 1
y
p 2
,...,
y
p
n
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
>
0
则 ∀x ∈ B,有(R, R,..., R) x.即B是有界集 。
⊂R R 综上，由 B
n +
，并且为有界闭集，所以可得
B
是
n +
上的紧集。
1.16
证明：由 1.15 题证明可知，预算集 B 为凸紧集。
3
由 Weierstrass 定理（即定理 A1.10）： 该定理保证在非空凸紧集 B 上的连续实值效用函数 u(x)存在极值。根据假设 1.2，效 用函数 u(x)为严格拟凹，且严格递减，因此，该函数存在极大值。 假设极大值不唯一，即：存在 x1,x2…,x n∈B，对于所有 x∈B，xi （i=1,2,…n）均为最 优选择，由题，B={x︱x∈R n + ，px≤y}，由于偏好关系严格单调，n 个极大值 x1,x2…,x n 必 满足等式预算条件，即：p·x1=y ; p·x2=y ; … p·x n =y;
−
λ* pi
=
0
⎪ ⎩
y
−
pix*
=
0
6
如果取v(x) = f (u(x))
max v(x)
受约束于pix - y
x∈
n +
L(x,λ) = v(x) + λ[ y − pix]
⎧ ∂L
⎪ ⎨
∂xi
=
∂v( x* ) ∂xi
− λ* pi
=
f
'(u(x*)) ∂u(x*) ∂xi
− λ* pi
=0
⎛⎝⎜⎜⎜1，12 ⎞⎠⎟⎟⎟
1.14
证明：设 u（·）可表示
。则
∀
x1,
x
,
2
u
(
x1)
≥
u
(
x
)
2
⇔
x1
x2
（1）
∀
x1,
x
2
∈
X
,
u
(
x1),
u
(
x
)
2
∈
R
。故总有
u
(
x1)
≥
u
(
x
)或u
2
(
x
)
2
≥
u
(
x1)
x x x x 那么，
或
成立，完备性得证
1
2
2
1
2
x x x x x x x （2） ∀ , ， ∈ X , 并且假定
x2
O
x1
1.19 定理 1.2：效用函数对正单调变换的不变性
证明：已知 是 R+n 上得一个偏好关系，u(x) 是一个代表此偏好关系的效用函数。在 R+n 中
取两点 x1, x 2 ，令 x1 x 2 ，∴ u(x1 ) ≥ u(x 2 ) 。又∵ f : ℜ → R 在 u 所确定的值集上是严
格递增的，∴ f (u(x1 )) ≥ f (u(x2 )),∵ v(x) = f (u(x)) ， ∴ v(x1 ) ≥ v(x 2 ) ∴ v(x) 也代表偏
,
1 23
1
22
3
所以，由题意知
u
(
x1)
≥
u
(
x
),
2
u
(
x
)
2
≥
u
(
x
)
3
成立。
那么，
⇒
u
(
x1)
≥
u
(
x
)
3
⇔
x1
x 。传递性得证 3
{ }∞
（3）设 xm ⊂ Ψ (x) = { y ∈ X ,且y x},并且当m → ∞时xm → x0 m=1
下面证 x0 ∈ Ψ(x)
{ } ( ) ( ) ∞
（若 x2 x1 ，则 u(x1) ≥ u(x2 ) 矛盾），因此可推出 是严格单调的。
充分性：如果 x2 ≥ x1 ，则由 是严格单调的可得 x1 x2 ，从而 u(x1) ≥ u(x2 ) ；如果
x1 x2 ，则由 的严格单调可知 x1 x2 ，但 x2 x1 ，故 u(x1) ≥ u(x2 ) ，但 u(x1) ≥ u(x2 ) ，
充分性： ⇐ ∀x1, x2 ∈ X , xt = t.x1 + (1− t).x2 , t ∈[0,1]
取 α ∈（0，1），令 x"= αx + (1 − α )x'
则 px"= p[αx + (1 − α )x'] = pαx + (1 − α ) px' = px = px'
又偏好关系是严格凸的，所以 x"> x' ； u(x") > u(x') ，这与 x'∈ h( p,u) 相矛盾
故 h( p, u) 是单值，即唯一解。
∴ s(kx1 ， kx2 ） ≡ u(kx1 ， kx2 ）+ v(kx1 ， kx2 ）
= k r u(x1, , x2 )+ k r v(x1 ， x2 ）
= k r s(x1, x2 ）
得证。
1.13
x (x x ) x (x x ) x x x ≠x （ a ） 对 于 两异 点 1 = 1, 1 , 2 = 2, 2 ， 总 有 1 ≠ 2,或 1
⎪ ⎩
y
−
pix*
=
0
显然，这只会影响λ*的取值，不会影响x*的取值。
1.23 证明：如果 u : R+n → R 可以表示偏好关系 ，则有
（1） u(•) 是严格递增的，当且仅当 是严格单调的。
（2） u(•) 是拟凹的，当且仅当 是凸的。
（3） u(•) 是严格拟凹的，当且仅当 是严格凸的。
证：（1）必要性：如果 x1 ≥ x2 ，依据 u(•) 是严格单调的，则有 u(x1) ≥ u(x2 ) ，又 u : R+n → R 可以表示偏好关系 ，则 x1 x2 ；如果 x1 x2 ，则有 u(x1) > u(x2 ) ，有 x1 x2 且 x2 x1
x 所以， t ∈ B,故B是凸集
x x x x （2）设 m ∈ B且 lim m = 0,则p m ≤ y m→∞
x x 由于 px 是连续函数，则 lim p m ≤ y ，即 p 0 ≤ y 。所以，B 是闭集。 m→∞
由于 p 0,则 p > 0(1≤ i ≤ n) i
令R
=
max ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
∵ 偏好关系是凸的
∴ u(x") = u[αx + (1 − α )x'] ≥ αu(x) + (1 − α )u(x') ≥ αu + (1 − α )u = u
即 x"∈ h( p,u) 亦即 h( p,u) 是凸集，不必是唯一解。
1．18．
解：根据要求，u(x) 是严格拟凹的，因此两物品的 MRS12 递减，无差异曲线凸向原点，这 时，x 和 y 具有一定的替代关系。但当 x 和 y 趋于完全替代时，无差异曲线和预算线无切点，
参考公理 3。
1.12 设 u(x1, , x2 )与ν (x1, x2) )是效用函数。 （ a ） 证 明 ： 如 果 u(x1, , x2 ) 与 ν (x1, x2) ) 均 为 r 次 齐 次 的 ， 那 么 ， s(x1, x2 ） ≡ u(x1, , x2 )+ν (x1, x2) )也为 r 次齐次的。 （ b ） 证 明 ： 如 果 u(x1, , x2 ) 与 ν (x1, x2) ) 是 拟 凹 的 ， 那 么 ， m(x1,x x2 ）
② 若偏好关系是凸的
设 x ∈ h( p,u) ， x'∈ h( p,u)
则 px = px' ， u(x) > u ， u(x') > u
取α ∈（0，1），令 x"= αx + (1 − α )x'
则同上 px"= p[αx + (1 − α )x'] = pαx + (1 − α ) px' = px = px'
马歇尔需求函数为：
（7）
x1
=
αy p1
，
x2
=
(1 − α ) y p2
由于效用函数对于正的单调转换不变，所求得的结果与第 20 题的结果相同。 1.22
max u(x)
x∈
n +
受约束于pix - y
L(x,λ) = u(x) + λ[ y − pix]
⎧ ∂L
⎪ ⎨
∂xi
=
∂u ( x* ) ∂xi
∂L ∂x2
= 1−α x2
− λp2
=0
（2）
∂L ∂λ
=
y
−
p1 x1
−
p2 x2
=
0
由（2）除以（1），得
（3）
x1
=
αx2 p2 (1 − α ) p1
（4）
y = p1x1 + p2 x2
（5）
将（4）代入（5），得
x2
=
(1 − α ) y p2
将（6）代入（5），得
（6）
x1
=
αy p1
1.21
5
解：拉格朗日函数为: L(x1, x2 , λ) = ln A + α ln x1 + (1 − α ) ln x2 + λ( y − p1x1 − p2 x2 )
因为只有一个内点解，库恩塔克条件正好和普通的拉格朗日一阶条件一致，所以得到以 下方程：
∂L ∂x1
=
α x1
− λp1
=
0
（1）
高微一 Ch1 习题参考答案（10－67） １.１０
x2 X3 Xp X1
Xt
X0
X2
O
x1
证明：如图：图中实线部分是一条无差异曲线，它由一个粗实线的“线性部分”和曲实 线的凸向原点部分组成，整条曲线所表示的偏好集满足公理 1、2、3、４。
（１）证明满足公理５’ 在曲线上任取两点 X1 与 X2 ，它们是无差异集上两个不同点，皆与 X0 无差异，显然
n +
px = 0
= {0}, 显然是紧凸集
当 y > 0时 ，设 x1, x2 ∈ B ，则有 px1 ≤ y, p x2 ≤ y
令 xt = t x1+ (1−t)x2 则， pxt = P ⎢⎣⎡t x1+ (1−t)x2⎥⎦⎤ = tp x1+ (1−t) p x2 ≤ ty + (1−t) y = y
12
12
1
1
2
2 ，则必有
2
x x x x x x x x 1 2或 2 1 ，但绝无 1 2和 2 1 同时成立，故其无差异曲线退化为单个点。
（b）不能，因为偏好本身就不连续。
x x 例如，
m
=
⎛⎜⎜⎜⎝1+
1 m
,
1 2
⎞⎠⎟⎟⎟,
m
∈
N
,
故
m
(1，1)，x
m
→
⎛⎝⎜⎜⎜1,
1 2
⎞⎠⎟⎟⎟，而(1，1)
知 u(x1) > u(x2 ) ，故 u(•) 是严格单调的。得证。
(2)必要性： ⇒ ∀x1, x2 ∈ X , x1 x2 ,设xt = t.x1 + (1− t).x2 , t ∈[0,1]
由 x1 x2 知， u(x1) ≥ u(x2 ) ，再由 u(•) 是拟凹的，
u(xt ) ≥ min{u(x1), u(x2 )} = u(x2 ) 故 xt x2 。
会有 X1\X2，Xt 是这两点的凸组合，且它位于 X0 的东北方向，所以 Xt\X2。得证。
（２）证明破坏了公理５ 在“线性部分”任选取两点 X1 和 X3，其凸组给为 Xp，与 X1 和 X3 位于同一条直线，所
以 Xp\X3,并不能得出 Xp>X3 的结论。故而破坏了公理５。
1.11 如果 是连续的，那么，定理 1.1 证明中定义的 A 与 B 集是 ℜ 的闭子集。
1.20 假 定 偏 好 可 以 由 Cobb-Douglas 效 用 函 数 u(x1, x1) = A ⋅ x1α ⋅ x12−α 表 示 ， 其 中 0 < α < 1和A > 0 ，假定一个内点解可以解决效用极大化问题，求出 Marshall 需求。 解 L = u(x1, x1) + λ( y − p1x1 − p2 x2 )
{ ≡ min u(x1, , x2 ),ν (x1, x2) )}也是拟凹的。
证明：（a）∵ u(x1, , x2 )与ν (x1, x2) ) 是 r 次齐次的。
1
（b）
∴ k r u(x1, , x2 )= u(kx1 ， kx2 ）， k r v(x1 ， x2 ）= v(kx1 ， kx2 ）
x x x ∀m， m ⊂ Ψ(x) ⇒ u m ≥ u(x) ⇒ lim u m ≥ u(x)
m=1
m→∞
( )x x 即，u 0 = u( lim m) ≥ u(x) m→∞
x x 所以， 0 x 。则 0 ∈ Ψ (x) ，即 Ψ (x)是闭集。连续性得证。
1.15
{ } R 证明： （1）当 y = 0时，B = x ∈
则：x1= x2=…= x n =x*=y/p 也就是说，x*∈B,且对于所有 x∈B, x*≥x 亦即：x 为唯一极大值，且满足 y=p·x*的条件。 1.17 ① 若偏好关系是严格凸的
假设存在 x ∈ h( p,u) ， x'∈ h( p,u) ， x ≠ x' ，且 u(x) ≥ u'(x) ≥ u
而只能得到角解。
4
当无差异曲线的斜率大于预算约束线的斜率时，即 ∂u(x*) / ∂x1 ∂u(x*) / ∂x2
>
p1 p2
，即 MRS12
>
p1 p2
时，如图所示，消费者问题的解 x* 位于横轴上，这时， x1* > 0 并且 x2* = 0 ，它表示此时的
最优解是一个边角解，此时消费者将全部收入都购买 x1 ，并由此达到最大的效用水平。
= A ⋅ x1α ⋅ x12−α + λ( y − p1x1 − p2 x2 )
F.O.C: ∂L/∂x1 = Aαx1α-1x21-α - λp1 = 0 (1) ∂L/∂x2 = A(1-α)x1αx2-α - λp2 = 0 (2) ∂L/∂λ = y-p1x1-p2x2 = 0 (3)
⇒ x1 = (α/p1)y x2 = y(1-α)/p2
y ,
p 1
y
p 2
,...,
y
p
n
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
>
0
则 ∀x ∈ B,有(R, R,..., R) x.即B是有界集 。
⊂R R 综上，由 B
n +
，并且为有界闭集，所以可得
B
是
n +
上的紧集。
1.16
证明：由 1.15 题证明可知，预算集 B 为凸紧集。
3
由 Weierstrass 定理（即定理 A1.10）： 该定理保证在非空凸紧集 B 上的连续实值效用函数 u(x)存在极值。根据假设 1.2，效 用函数 u(x)为严格拟凹，且严格递减，因此，该函数存在极大值。 假设极大值不唯一，即：存在 x1,x2…,x n∈B，对于所有 x∈B，xi （i=1,2,…n）均为最 优选择，由题，B={x︱x∈R n + ，px≤y}，由于偏好关系严格单调，n 个极大值 x1,x2…,x n 必 满足等式预算条件，即：p·x1=y ; p·x2=y ; … p·x n =y;
−
λ* pi
=
0
⎪ ⎩
y
−
pix*
=
0
6
如果取v(x) = f (u(x))
max v(x)
受约束于pix - y
x∈
n +
L(x,λ) = v(x) + λ[ y − pix]
⎧ ∂L
⎪ ⎨
∂xi
=
∂v( x* ) ∂xi
− λ* pi
=
f
'(u(x*)) ∂u(x*) ∂xi
− λ* pi
=0
⎛⎝⎜⎜⎜1，12 ⎞⎠⎟⎟⎟
1.14
证明：设 u（·）可表示
。则
∀
x1,
x
,
2
u
(
x1)
≥
u
(
x
)
2
⇔
x1
x2
（1）
∀
x1,
x
2
∈
X
,
u
(
x1),
u
(
x
)
2
∈
R
。故总有
u
(
x1)
≥
u
(
x
)或u
2
(
x
)
2
≥
u
(
x1)
x x x x 那么，
或
成立，完备性得证
1
2
2
1
2
x x x x x x x （2） ∀ , ， ∈ X , 并且假定
x2
O
x1
1.19 定理 1.2：效用函数对正单调变换的不变性
证明：已知 是 R+n 上得一个偏好关系，u(x) 是一个代表此偏好关系的效用函数。在 R+n 中
取两点 x1, x 2 ，令 x1 x 2 ，∴ u(x1 ) ≥ u(x 2 ) 。又∵ f : ℜ → R 在 u 所确定的值集上是严
格递增的，∴ f (u(x1 )) ≥ f (u(x2 )),∵ v(x) = f (u(x)) ， ∴ v(x1 ) ≥ v(x 2 ) ∴ v(x) 也代表偏
,
1 23
1
22
3
所以，由题意知
u
(
x1)
≥
u
(
x
),
2
u
(
x
)
2
≥
u
(
x
)
3
成立。
那么，
⇒
u
(
x1)
≥
u
(
x
)
3
⇔
x1
x 。传递性得证 3
{ }∞
（3）设 xm ⊂ Ψ (x) = { y ∈ X ,且y x},并且当m → ∞时xm → x0 m=1
下面证 x0 ∈ Ψ(x)
{ } ( ) ( ) ∞
（若 x2 x1 ，则 u(x1) ≥ u(x2 ) 矛盾），因此可推出 是严格单调的。
充分性：如果 x2 ≥ x1 ，则由 是严格单调的可得 x1 x2 ，从而 u(x1) ≥ u(x2 ) ；如果
x1 x2 ，则由 的严格单调可知 x1 x2 ，但 x2 x1 ，故 u(x1) ≥ u(x2 ) ，但 u(x1) ≥ u(x2 ) ，
充分性： ⇐ ∀x1, x2 ∈ X , xt = t.x1 + (1− t).x2 , t ∈[0,1]
取 α ∈（0，1），令 x"= αx + (1 − α )x'
则 px"= p[αx + (1 − α )x'] = pαx + (1 − α ) px' = px = px'
又偏好关系是严格凸的，所以 x"> x' ； u(x") > u(x') ，这与 x'∈ h( p,u) 相矛盾
故 h( p, u) 是单值，即唯一解。
∴ s(kx1 ， kx2 ） ≡ u(kx1 ， kx2 ）+ v(kx1 ， kx2 ）
= k r u(x1, , x2 )+ k r v(x1 ， x2 ）
= k r s(x1, x2 ）
得证。
1.13
x (x x ) x (x x ) x x x ≠x （ a ） 对 于 两异 点 1 = 1, 1 , 2 = 2, 2 ， 总 有 1 ≠ 2,或 1
⎪ ⎩
y
−
pix*
=
0
显然，这只会影响λ*的取值，不会影响x*的取值。
1.23 证明：如果 u : R+n → R 可以表示偏好关系 ，则有
（1） u(•) 是严格递增的，当且仅当 是严格单调的。
（2） u(•) 是拟凹的，当且仅当 是凸的。
（3） u(•) 是严格拟凹的，当且仅当 是严格凸的。
证：（1）必要性：如果 x1 ≥ x2 ，依据 u(•) 是严格单调的，则有 u(x1) ≥ u(x2 ) ，又 u : R+n → R 可以表示偏好关系 ，则 x1 x2 ；如果 x1 x2 ，则有 u(x1) > u(x2 ) ，有 x1 x2 且 x2 x1
x 所以， t ∈ B,故B是凸集
x x x x （2）设 m ∈ B且 lim m = 0,则p m ≤ y m→∞
x x 由于 px 是连续函数，则 lim p m ≤ y ，即 p 0 ≤ y 。所以，B 是闭集。 m→∞
由于 p 0,则 p > 0(1≤ i ≤ n) i
令R
=
max ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
∵ 偏好关系是凸的
∴ u(x") = u[αx + (1 − α )x'] ≥ αu(x) + (1 − α )u(x') ≥ αu + (1 − α )u = u
即 x"∈ h( p,u) 亦即 h( p,u) 是凸集，不必是唯一解。
1．18．
解：根据要求，u(x) 是严格拟凹的，因此两物品的 MRS12 递减，无差异曲线凸向原点，这 时，x 和 y 具有一定的替代关系。但当 x 和 y 趋于完全替代时，无差异曲线和预算线无切点，
参考公理 3。
1.12 设 u(x1, , x2 )与ν (x1, x2) )是效用函数。 （ a ） 证 明 ： 如 果 u(x1, , x2 ) 与 ν (x1, x2) ) 均 为 r 次 齐 次 的 ， 那 么 ， s(x1, x2 ） ≡ u(x1, , x2 )+ν (x1, x2) )也为 r 次齐次的。 （ b ） 证 明 ： 如 果 u(x1, , x2 ) 与 ν (x1, x2) ) 是 拟 凹 的 ， 那 么 ， m(x1,x x2 ）
② 若偏好关系是凸的
设 x ∈ h( p,u) ， x'∈ h( p,u)
则 px = px' ， u(x) > u ， u(x') > u
取α ∈（0，1），令 x"= αx + (1 − α )x'
则同上 px"= p[αx + (1 − α )x'] = pαx + (1 − α ) px' = px = px'
马歇尔需求函数为：
（7）
x1
=
αy p1
，
x2
=
(1 − α ) y p2
由于效用函数对于正的单调转换不变，所求得的结果与第 20 题的结果相同。 1.22
max u(x)
x∈
n +
受约束于pix - y
L(x,λ) = u(x) + λ[ y − pix]
⎧ ∂L
⎪ ⎨
∂xi
=
∂u ( x* ) ∂xi
∂L ∂x2
= 1−α x2
− λp2
=0
（2）
∂L ∂λ
=
y
−
p1 x1
−
p2 x2
=
0
由（2）除以（1），得
（3）
x1
=
αx2 p2 (1 − α ) p1
（4）
y = p1x1 + p2 x2
（5）
将（4）代入（5），得
x2
=
(1 − α ) y p2
将（6）代入（5），得
（6）
x1
=
αy p1
1.21
5
解：拉格朗日函数为: L(x1, x2 , λ) = ln A + α ln x1 + (1 − α ) ln x2 + λ( y − p1x1 − p2 x2 )
因为只有一个内点解，库恩塔克条件正好和普通的拉格朗日一阶条件一致，所以得到以 下方程：
∂L ∂x1
=
α x1
− λp1
=
0
（1）
高微一 Ch1 习题参考答案（10－67） １.１０
x2 X3 Xp X1
Xt
X0
X2
O
x1
证明：如图：图中实线部分是一条无差异曲线，它由一个粗实线的“线性部分”和曲实 线的凸向原点部分组成，整条曲线所表示的偏好集满足公理 1、2、3、４。
（１）证明满足公理５’ 在曲线上任取两点 X1 与 X2 ，它们是无差异集上两个不同点，皆与 X0 无差异，显然
n +
px = 0
= {0}, 显然是紧凸集
当 y > 0时 ，设 x1, x2 ∈ B ，则有 px1 ≤ y, p x2 ≤ y
令 xt = t x1+ (1−t)x2 则， pxt = P ⎢⎣⎡t x1+ (1−t)x2⎥⎦⎤ = tp x1+ (1−t) p x2 ≤ ty + (1−t) y = y
12
12
1
1
2
2 ，则必有
2
x x x x x x x x 1 2或 2 1 ，但绝无 1 2和 2 1 同时成立，故其无差异曲线退化为单个点。
（b）不能，因为偏好本身就不连续。
x x 例如，
m
=
⎛⎜⎜⎜⎝1+
1 m
,
1 2
⎞⎠⎟⎟⎟,
m
∈
N
,
故
m
(1，1)，x
m
→
⎛⎝⎜⎜⎜1,
1 2
⎞⎠⎟⎟⎟，而(1，1)
知 u(x1) > u(x2 ) ，故 u(•) 是严格单调的。得证。
(2)必要性： ⇒ ∀x1, x2 ∈ X , x1 x2 ,设xt = t.x1 + (1− t).x2 , t ∈[0,1]
由 x1 x2 知， u(x1) ≥ u(x2 ) ，再由 u(•) 是拟凹的，
u(xt ) ≥ min{u(x1), u(x2 )} = u(x2 ) 故 xt x2 。
会有 X1\X2，Xt 是这两点的凸组合，且它位于 X0 的东北方向，所以 Xt\X2。得证。
（２）证明破坏了公理５ 在“线性部分”任选取两点 X1 和 X3，其凸组给为 Xp，与 X1 和 X3 位于同一条直线，所
以 Xp\X3,并不能得出 Xp>X3 的结论。故而破坏了公理５。
1.11 如果 是连续的，那么，定理 1.1 证明中定义的 A 与 B 集是 ℜ 的闭子集。